Upang maunawaan kung paano kalkulahin ang LCM, dapat mo munang matukoy ang kahulugan ng terminong "maramihan".

Ang multiple ng A ay isang natural na numero na nahahati sa A nang walang natitira. Kaya, ang 15, 20, 25, at iba pa ay maaaring ituring na multiple ng 5.

Maaaring may limitadong bilang ng mga divisors ng isang partikular na numero, ngunit mayroong walang katapusang bilang ng mga multiple.

Ang karaniwang multiple ng mga natural na numero ay isang numero na nahahati ng mga ito nang walang natitira.

Paano mahanap ang hindi bababa sa karaniwang maramihang mga numero

Ang least common multiple (LCM) ng mga numero (dalawa, tatlo o higit pa) ay ang pinakamaliit na natural na numero na pantay na nahahati sa lahat ng numerong ito.

Upang mahanap ang NOC, maaari kang gumamit ng ilang mga pamamaraan.

Para sa maliliit na numero, maginhawang isulat sa isang linya ang lahat ng multiple ng mga numerong ito hanggang sa matagpuan ang isang karaniwan sa kanila. Ang mga multiple ay tinutukoy sa talaan na may malaking titik K.

Halimbawa, ang mga multiple ng 4 ay maaaring isulat tulad nito:

K(4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)

K(6) = (12, 18, 24, ...)

Kaya, makikita mo na ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng mga numero 4 at 6 ay ang numero 24. Ang entry na ito ay ginanap bilang sumusunod:

LCM(4, 6) = 24

Kung ang mga numero ay malaki, hanapin ang karaniwang multiple ng tatlo o higit pang mga numero, pagkatapos ay mas mahusay na gumamit ng ibang paraan upang makalkula ang LCM.

Upang makumpleto ang gawain, kinakailangan upang mabulok ang mga iminungkahing numero sa mga pangunahing kadahilanan.

Una kailangan mong isulat ang pagpapalawak ng pinakamalaki sa mga numero sa isang linya, at sa ibaba nito - ang natitira.

Sa pagpapalawak ng bawat numero, maaaring may ibang bilang ng mga salik.

Halimbawa, i-factorize natin ang mga numerong 50 at 20 sa prime factor.

Sa pagpapalawak ng mas maliit na bilang, dapat isalungguhitan ang mga salik na nawawala sa pagpapalawak ng unang pinakamalaking bilang, at pagkatapos ay idagdag ang mga ito dito. Sa ipinakita na halimbawa, isang deuce ang nawawala.

Ngayon ay maaari nating kalkulahin ang hindi bababa sa karaniwang maramihang ng 20 at 50.

LCM (20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

Kaya, ang produkto ng prime factor ng mas malaking bilang at ang mga factor ng pangalawang numero, na hindi kasama sa decomposition ng mas malaking numero, ay ang hindi bababa sa common multiple.

Upang mahanap ang LCM ng tatlo o higit pang mga numero, lahat ng mga ito ay dapat na mabulok sa mga pangunahing kadahilanan, tulad ng sa nakaraang kaso.

Bilang halimbawa, mahahanap mo ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng mga numero 16, 24, 36.

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

Kaya, dalawang deuces lamang mula sa decomposition ng labing-anim ang hindi kasama sa factorization ng mas malaking bilang (isa ay nasa decomposition ng dalawampu't apat).

Kaya, kailangan nilang idagdag sa agnas ng isang mas malaking bilang.

LCM (12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

May mga espesyal na kaso ng pagtukoy ng hindi bababa sa karaniwang maramihang. Kaya, kung ang isa sa mga numero ay maaaring hatiin nang walang natitira sa isa pa, kung gayon ang mas malaki sa mga numerong ito ay ang hindi bababa sa karaniwang maramihang.

Halimbawa, ang mga NOC ng labindalawa at dalawampu't apat ay magiging dalawampu't apat.

Kung kinakailangan upang mahanap ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng mga numero ng coprime na walang parehong divisors, kung gayon ang kanilang LCM ay magiging katumbas ng kanilang produkto.

Halimbawa, LCM(10, 11) = 110.

Ang GCD ay ang pinakamalaking karaniwang divisor.

Upang mahanap ang pinakamalaking karaniwang divisor ng ilang numero:

• matukoy ang mga kadahilanan na karaniwan sa parehong mga numero;
• hanapin ang produkto ng mga karaniwang salik.

Isang halimbawa ng paghahanap ng GCD:

Hanapin ang GCD ng mga numerong 315 at 245.

315 = 5 * 3 * 3 * 7;

245 = 5 * 7 * 7.

2. Isulat ang mga salik na karaniwan sa parehong mga numero:

3. Hanapin ang produkto ng mga karaniwang salik:

gcd(315; 245) = 5 * 7 = 35.

Sagot: GCD(315; 245) = 35.

Paghahanap ng NOC

Ang LCM ay ang hindi bababa sa karaniwang maramihang.

Upang mahanap ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng ilang numero:

• mabulok ang mga numero sa pangunahing mga kadahilanan;
• isulat ang mga salik na kasama sa pagpapalawak ng isa sa mga numero;
• idagdag sa kanila ang mga nawawalang salik mula sa pagpapalawak ng pangalawang numero;
• hanapin ang produkto ng mga nagresultang salik.

Isang halimbawa ng paghahanap ng NOC:

Hanapin ang LCM ng mga numero 236 at 328:

1. Binubulok namin ang mga numero sa mga pangunahing kadahilanan:

236 = 2 * 2 * 59;

328 = 2 * 2 * 2 * 41.

2. Isulat ang mga salik na kasama sa pagpapalawak ng isa sa mga numero at idagdag sa kanila ang mga nawawalang salik mula sa pagpapalawak ng pangalawang numero:

2; 2; 59; 2; 41.

3. Hanapin ang produkto ng mga nagresultang salik:

LCM(236; 328) = 2 * 2 * 59 * 2 * 41 = 19352.

Sagot: LCM(236; 328) = 19352.

Upang mahanap ang GCD (pinakamahusay na karaniwang divisor) ng dalawang numero, kailangan mo:

2. Hanapin (salungguhitan) ang lahat ng karaniwang pangunahing salik sa mga nakuhang pagpapalawak.

3. Hanapin ang produkto ng mga karaniwang pangunahing salik.

Upang mahanap ang LCM (least common multiple) ng dalawang numero, kailangan mo ng:

1. I-decompose ang mga numerong ito sa prime factors.

2. Dagdagan ang pagpapalawak ng isa sa kanila ng mga salik na iyon ng pagpapalawak ng iba pang numero, na wala sa pagpapalawak ng una.

3. Kalkulahin ang produkto ng nakuhang mga salik.

Paghahanap ng least common multiple (LCM) at ang greatest common divisor (GCD) ng mga natural na numero.

	2						5
	2						5
	3						3
	5

60=2*2*3*5
75=3*5*5
2) Isinulat namin ang mga salik na kasama sa pagpapalawak ng una sa mga numerong ito at idinaragdag sa kanila ang nawawalang salik 5 mula sa pagpapalawak ng pangalawang numero. Nakukuha namin ang: 2*2*3*5*5=300. Natagpuan ang NOC, i.e. ang halagang ito = 300. Huwag kalimutan ang sukat at isulat ang sagot:
Sagot: Ang nanay ay nagbibigay ng 300 rubles bawat isa.

Kahulugan ng GCD: Greatest Common Divisor (GCD) natural na mga numero A At V pangalanan ang pinakamalaking natural na bilang c, kung saan at a, At b hinati nang walang natitira. Yung. c ay ang pinakamaliit na natural na bilang kung saan at A At b ay multiple.

Paalala: Mayroong dalawang mga diskarte sa kahulugan ng mga natural na numero

• mga numerong ginamit sa: enumeration (numbering) ng mga item (una, pangalawa, pangatlo, ...); - sa mga paaralan, kadalasan.
• na nagpapahiwatig ng bilang ng mga item (walang pokemon - zero, isang pokemon, dalawang pokemon, ...).

Ang mga negatibo at hindi integer (makatuwiran, totoo, ...) na mga numero ay hindi natural. Ang ilang mga may-akda ay nagsasama ng zero sa hanay ng mga natural na numero, ang iba ay hindi. Ang hanay ng lahat ng mga natural na numero ay karaniwang tinutukoy ng simbolo N

Paalala: Divisor ng isang natural na numero a tawagan ang numero b, kung saan a hinati nang walang natitira. Maramihang natural na numero b tinatawag na natural na numero a, na hinati ng b walang bakas. Kung numero b- divisor ng numero a, Iyon a maramihan ng b. Halimbawa: Ang 2 ay isang divisor ng 4 at ang 4 ay isang multiple ng 2. Ang 3 ay isang divisor ng 12, at ang 12 ay isang multiple ng 3.
Paalala: Ang mga natural na numero ay tinatawag na prime kung sila ay nahahati nang walang natitira lamang sa kanilang mga sarili at sa pamamagitan ng 1. Ang Coprime ay mga numero na mayroon lamang isang karaniwang divisor na katumbas ng 1.

Kahulugan ng kung paano hanapin ang GCD sa pangkalahatang kaso: Para mahanap ang GCD (Greatest Common Divisor) Maraming natural na numero ang kailangan:
1) I-decompose ang mga ito sa pangunahing mga kadahilanan. (Ang Prime Number Chart ay maaaring maging kapaki-pakinabang para dito.)
2) Isulat ang mga salik na kasama sa pagpapalawak ng isa sa mga ito.
3) Tanggalin ang mga hindi kasama sa pagpapalawak ng natitirang mga numero.
4) I-multiply ang mga salik na nakuha sa talata 3).

Gawain 2 sa (NOK): Pagsapit ng bagong taon, bumili si Kolya Puzatov ng 48 hamster at 36 na kaldero ng kape sa lungsod. Si Fekla Dormidontova, bilang pinakatapat na batang babae sa klase, ay binigyan ng gawain na hatiin ang ari-arian na ito sa pinakamalaking posibleng bilang ng mga set ng regalo para sa mga guro. Ano ang bilang ng mga hanay? Ano ang komposisyon ng mga set?

Halimbawa 2.1. paglutas ng problema sa paghahanap ng GCD. Paghahanap ng GCD sa pamamagitan ng pagpili.
Solusyon: Ang bawat isa sa mga numero 48 at 36 ay dapat na mahahati sa bilang ng mga regalo.
1) Isulat ang mga divisors 48: 48, 24, 16, 12 , 8, 6, 3, 2, 1
2) Isulat ang mga paghahati 36:36, 18, 12 , 9, 6, 3, 2, 1 Piliin ang pinakamalaking karaniwang divisor. Op-la-la! Natagpuan, ito ang bilang ng mga hanay ng 12 piraso.
3) Hatiin ang 48 sa 12, makakakuha tayo ng 4, hatiin ang 36 sa 12, makakakuha tayo ng 3. Huwag kalimutan ang dimensyon at isulat ang sagot:
Sagot: Makakakuha ka ng 12 set ng 4 na hamster at 3 coffee pot sa bawat set.

Maraming divisors

Isaalang-alang ang sumusunod na problema: hanapin ang divisor ng numero 140. Ito ay malinaw na ang numero 140 ay hindi isang divisor, ngunit marami. Sa ganitong mga kaso, ang gawain ay sinasabing mayroon isang grupo ng mga solusyon. Hanapin natin silang lahat. Una sa lahat, nabubulok namin ang numerong ito sa mga pangunahing kadahilanan:

140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7.

Ngayon ay madali nating maisulat ang lahat ng mga divisors. Magsimula tayo sa mga simpleng divisors, iyon ay, ang mga naroroon sa pagpapalawak sa itaas:

Pagkatapos ay isusulat namin ang mga nakuha sa pamamagitan ng pairwise na pagpaparami ng mga prime divisors:

2∙2 = 4, 2∙5 = 10, 2∙7 = 14, 5∙7 = 35.

Pagkatapos - ang mga naglalaman ng tatlong simpleng divisors:

2∙2∙5 = 20, 2∙2∙7 = 28, 2∙5∙7 = 70.

Sa wakas, huwag nating kalimutan ang yunit at ang nabubulok na numero mismo:

Bumubuo ang lahat ng divisors na nakita namin isang grupo ng mga divisors ng numero 140, na isinulat gamit ang mga kulot na braces:

Ang hanay ng mga divisors ng numero 140 =

{1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, 140}.

Para sa kaginhawaan ng pang-unawa, isinulat namin ang mga divisors dito ( itakda ang mga elemento) sa pataas na pagkakasunud-sunod, ngunit sa pangkalahatan, hindi ito kinakailangan. Bilang karagdagan, ipinakilala namin ang isang pagdadaglat ng notasyon. Sa halip na "Ang hanay ng mga divisors ng numero 140" ay isusulat namin ang "D (140)". kaya,

Katulad nito, mahahanap ng isa ang hanay ng mga divisors para sa anumang iba pang natural na numero. Halimbawa, mula sa agnas

105 = 3 ∙ 5 ∙ 7

nakukuha natin:

D(105) = (1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105).

Mula sa hanay ng lahat ng mga divisors, dapat makilala ng isa ang hanay ng mga prime divisors, na para sa mga numero 140 at 105 ay pantay, ayon sa pagkakabanggit:

PD(140) = (2, 5, 7).

PD(105) = (3, 5, 7).

Dapat bigyang-diin na sa decomposition ng numero 140 sa prime factor, dalawa ang naroroon nang dalawang beses, habang sa set PD(140) ito ay isa lamang. Ang hanay ng PD(140) ay, sa esensya, ang lahat ng mga sagot sa problema: "Maghanap ng pangunahing kadahilanan ng numerong 140". Malinaw na ang parehong sagot ay hindi dapat ulitin nang higit sa isang beses.

Pagbabawas ng fraction. Pinakamahusay na Common Divisor

Isaalang-alang ang isang fraction

Alam natin na ang fraction na ito ay maaaring bawasan ng isang numero na parehong divisor ng numerator (105) at isang divisor ng denominator (140). Tingnan natin ang mga set D(105) at D(140) at isulat ang kanilang mga karaniwang elemento.

D(105) = (1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105);

D(140) = (1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, 140).

Mga karaniwang elemento ng set D(105) at D(140) =

Ang huling pagkakapantay-pantay ay maaaring maisulat nang mas maikli, ibig sabihin:

D(105) ∩ D(140) = (1, 5, 7, 35).

Dito, ang espesyal na icon na "∩" ("bag na may butas sa ibaba") ay nagpapahiwatig lamang na mula sa dalawang set na nakasulat sa magkabilang panig nito, mga karaniwang elemento lamang ang dapat piliin. Ang entry na "D (105) ∩ D (140)" ay nagbabasa ng " interseksyon set ng Te mula sa 105 at Te mula sa 140.

[Tandaan sa daan na maaari kang magsagawa ng iba't ibang mga pagpapatakbo ng binary na may mga set, halos tulad ng sa mga numero. Ang isa pang karaniwang operasyon ng binary ay Unyon, na ipinapahiwatig ng icon na "∪" ("bag na may butas sa itaas"). Kasama sa unyon ng dalawang set ang lahat ng elemento ng parehong set:

PD(105) = (3, 5, 7);

PD(140) = (2, 5, 7);

PD(105) ∪ PD(140) = (2, 3, 5, 7). ]

Kaya, nalaman namin na ang fraction

maaaring bawasan sa alinman sa mga numerong kabilang sa set

D(105) ∩ D(140) = (1, 5, 7, 35)

at hindi maaaring bawasan ng anumang iba pang natural na numero. Narito ang lahat ng posibleng paraan para mabawasan (maliban sa hindi kawili-wiling pagbawas ng isa):

Malinaw na pinakapraktikal na bawasan ang fraction sa pamamagitan ng isang numero, kung maaari, isang mas malaki. Sa kasong ito, ito ay ang numero 35, na sinasabing pinakamalaking karaniwang divisor (GCD) bilang 105 at 140. Ito ay isinusulat bilang

gcd(105, 140) = 35.

Gayunpaman, sa pagsasagawa, kung bibigyan tayo ng dalawang numero at kailangan nating hanapin ang kanilang pinakamalaking karaniwang divisor, hindi na natin kailangang bumuo ng anumang mga set. Sapat na i-factor ang parehong numero sa prime factor at salungguhitan ang mga salik na ito na karaniwan sa parehong factorization, halimbawa:

105 = 3 ∙ 5 ∙ 7 ;

140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7 .

Ang pagpaparami ng mga may salungguhit na numero (sa alinman sa mga pagpapalawak), makukuha natin ang:

gcd(105, 140) = 5 ∙ 7 = 35.

Siyempre, posibleng mayroong higit sa dalawang may salungguhit na salik:

168 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 7;

396 = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 11.

Mula dito ay malinaw na

gcd(168, 396) = 2 ∙ 2 ∙ 3 = 12.

Ang espesyal na pagbanggit ay nararapat sa sitwasyon kung saan walang mga karaniwang salik at walang dapat bigyang-diin, halimbawa:

42 = 2 ∙ 3 ∙ 7;

Sa kasong ito,

gcd(42, 55) = 1.

Dalawang natural na numero kung saan ang gcd ay katumbas ng isa ay tinatawag coprime. Kung gumawa ka ng isang fraction mula sa mga naturang numero, halimbawa,

pagkatapos ay tulad ng isang fraction ay hindi mababawasan.

Sa pangkalahatan, ang panuntunan para sa pagbabawas ng mga fraction ay maaaring isulat tulad ng sumusunod:

		a/ gcd( a, b)
		b/ gcd( a, b)

Dito ipinapalagay na a At b ay mga natural na numero, at lahat ng mga fraction ay positibo. Kung magtatalaga tayo ngayon ng minus sign sa magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay na ito, makukuha natin ang kaukulang panuntunan para sa mga negatibong fraction.

Pagdaragdag at pagbabawas ng mga fraction. Hindi bababa sa karaniwang maramihang

Ipagpalagay na gusto mong kalkulahin ang kabuuan ng dalawang fraction:

Alam na natin kung paano nabubulok ang mga denominator sa pangunahing mga kadahilanan:

105 = 3 ∙ 5 ∙ 7 ;

140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7 .

Kaagad na sinusundan mula sa agnas na ito na, upang dalhin ang mga fraction sa isang karaniwang denominator, sapat na upang i-multiply ang numerator at denominator ng unang fraction sa 2 ∙ 2 (ang produkto ng hindi naka-stress na prime factor ng pangalawang denominator), at ang numerator at denominator ng pangalawang bahagi ng 3 (“produkto” na walang salungguhit na mga pangunahing salik ng unang denamineytor). Bilang resulta, ang mga denominator ng parehong mga fraction ay magiging katumbas ng isang numero na maaaring katawanin bilang sumusunod:

2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 = 105 ∙ 2 ∙ 2 = 140 ∙ 3 = 420.

Madaling makita na ang parehong orihinal na denominator (parehong 105 at 140) ay mga divisors ng numerong 420, at ang bilang na 420, sa turn, ay isang multiple ng parehong denominator - at hindi lamang isang multiple, ito ay hindi bababa sa karaniwang maramihang (NOC) mga numero 105 at 140. Ito ay nakasulat tulad nito:

LCM(105, 140) = 420.

Kung titingnang mabuti ang pagpapalawak ng mga numerong 105 at 140, makikita natin iyon

105 ∙ 140 = LCM(105, 140) ∙ GCD(105, 140).

Katulad nito, para sa mga arbitrary na natural na numero b At d:

b ∙ d= LCM( b, d) ∙ GCD( b, d).

Ngayon kumpletuhin natin ang kabuuan ng ating mga fraction:

3 ∙ 5 ∙ 7		2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7

2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7		2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7

2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7

2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7

2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5

Tandaan. Upang malutas ang ilang mga problema, kailangan mong malaman kung ano ang parisukat ng isang numero. Numerong parisukat a tinawag ang isang numero a pinarami sa sarili, ibig sabihin a∙a. (Tulad ng nakikita mo, ito ay katumbas ng lugar ng isang parisukat na may gilid a).

Pinakamahusay na Common Divisor

Kahulugan 2

Kung ang isang natural na numero a ay nahahati sa natural na bilang na $b$, kung gayon ang $b$ ay tinatawag na divisor ng $a$, at ang bilang na $a$ ay tinatawag na multiple ng $b$.

Hayaang maging natural na mga numero ang $a$ at $b$. Ang numerong $c$ ay tinatawag na karaniwang divisor para sa parehong $a$ at $b$.

Ang hanay ng mga karaniwang divisors ng mga numerong $a$ at $b$ ay may hangganan, dahil wala sa mga divisors na ito ang maaaring mas malaki sa $a$. Nangangahulugan ito na sa mga divisors na ito ay mayroong pinakamalaki, na tinatawag na pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numerong $a$ at $b$, at ang notasyon ay ginagamit upang tukuyin ito:

$gcd \ (a;b) \ ​​​​o \ D \ (a;b)$

Upang mahanap ang pinakamalaking karaniwang divisor ng dalawang numero:

1. Hanapin ang produkto ng mga numerong makikita sa hakbang 2. Ang resultang numero ay ang nais na pinakamalaking karaniwang divisor.

Halimbawa 1

Hanapin ang gcd ng mga numerong $121$ at $132.$

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Piliin ang mga numerong kasama sa pagpapalawak ng mga numerong ito

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Hanapin ang produkto ng mga numerong makikita sa hakbang 2. Ang resultang numero ay ang nais na pinakamalaking karaniwang divisor.

$gcd=2\cdot 11=22$

Halimbawa 2

Hanapin ang GCD ng mga monomial na $63$ at $81$.

Mahahanap namin ayon sa ipinakita na algorithm. Para dito:

I-decompose natin ang mga numero sa prime factors

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Pinipili namin ang mga numero na kasama sa pagpapalawak ng mga numerong ito

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Hanapin natin ang produkto ng mga numerong makikita sa hakbang 2. Ang resultang numero ay ang nais na pinakamalaking karaniwang divisor.

$gcd=3\cdot 3=9$

Mahahanap mo ang GCD ng dalawang numero sa ibang paraan, gamit ang hanay ng mga divisors ng mga numero.

Halimbawa 3

Hanapin ang gcd ng mga numerong $48$ at $60$.

Solusyon:

Hanapin ang hanay ng mga divisors na $48$: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$

Ngayon hanapin natin ang hanay ng mga divisors na $60$:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right\)$

Hanapin natin ang intersection ng mga set na ito: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - tutukuyin ng set na ito ang set ng mga common divisors ng mga numero $48$ at $60 $. Ang pinakamalaking elemento sa set na ito ay ang bilang na $12$. Kaya ang pinakamalaking karaniwang divisor ng $48$ at $60$ ay $12$.

Kahulugan ng NOC

Kahulugan 3

karaniwang maramihan ng mga natural na numero Ang $a$ at $b$ ay isang natural na numero na isang multiple ng parehong $a$ at $b$.

Ang mga karaniwang multiple ng mga numero ay mga numero na nahahati sa orihinal na walang natitira. Halimbawa, para sa mga numerong $25$ at $50$, ang mga karaniwang multiple ay ang mga numerong $50,100,150,200$, atbp.

Ang least common multiple ay tatawagin na least common multiple at tinutukoy ng LCM$(a;b)$ o K$(a;b).$

Upang mahanap ang LCM ng dalawang numero, kailangan mo:

1. I-decompose ang mga numero sa prime factor
2. Isulat ang mga salik na bahagi ng unang numero at idagdag sa kanila ang mga salik na bahagi ng pangalawa at huwag pumunta sa una

Halimbawa 4

Hanapin ang LCM ng mga numerong $99$ at $77$.

Mahahanap namin ayon sa ipinakita na algorithm. Para dito

I-decompose ang mga numero sa prime factor

$99=3\cdot 3\cdot 11$

Isulat ang mga salik na kasama sa una

idagdag sa kanila ang mga salik na bahagi ng pangalawa at hindi napupunta sa una

Hanapin ang produkto ng mga numerong makikita sa hakbang 2. Ang resultang numero ay ang nais na hindi bababa sa karaniwang maramihang

$LCC=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

Ang pag-compile ng mga listahan ng mga divisors ng mga numero ay kadalasang napakatagal. Mayroong isang paraan upang mahanap ang GCD na tinatawag na Euclid's algorithm.

Mga pahayag kung saan nakabatay ang algorithm ni Euclid:

Kung ang $a$ at $b$ ay mga natural na numero, at $a\vdots b$, kung gayon ang $D(a;b)=b$

Kung ang $a$ at $b$ ay mga natural na numero tulad ng $b

Gamit ang $D(a;b)= D(a-b;b)$, maaari naming sunud-sunod na bawasan ang mga numerong isinasaalang-alang hanggang sa maabot namin ang isang pares ng mga numero upang ang isa sa mga ito ay mahahati ng isa. Kung gayon ang mas maliit sa mga numerong ito ay ang gustong pinakamalaking karaniwang divisor para sa mga numerong $a$ at $b$.

Mga katangian ng GCD at LCM

1. Anumang common multiple ng $a$ at $b$ ay nahahati sa K$(a;b)$
2. Kung $a\vdots b$ , kung gayon K$(a;b)=a$

Kung K$(a;b)=k$ at $m$-natural na numero, kung gayon ang K$(am;bm)=km$

Kung ang $d$ ay karaniwang divisor para sa $a$ at $b$, kung gayon ang K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d ) $

Kung ang $a\vdots c$ at $b\vdots c$ , ang $\frac(ab)(c)$ ay isang common multiple ng $a$ at $b$

Para sa anumang natural na bilang na $a$ at $b$ ang pagkakapantay-pantay

$D(a;b)\cdot K(a;b)=ab$

Anumang karaniwang divisor ng $a$ at $b$ ay isang divisor ng $D(a;b)$