Teraz a v nasledujúcom budeme predpokladať, že aspoň jedno z týchto čísel sa líši od nuly. Ak sa všetky zadané čísla rovnajú nule, ich spoločným deliteľom je ľubovoľné celé číslo a keďže celých čísel je nekonečne veľa, nemôžeme hovoriť o najväčšom z nich. Preto nemožno hovoriť o najväčšom spoločnom deliteľovi čísel, z ktorých každé je rovné nule.

Teraz môžeme dať nájdenie najväčšieho spoločného deliteľa dve čísla.

Definícia.

Najväčší spoločný deliteľ z dvoch celých čísel je najväčšie celé číslo, ktoré delí dve dané celé čísla.

Skratka GCD sa často používa na skrátenie najväčšieho spoločného deliteľa – Greatest Common Delitel. Tiež najväčší spoločný deliteľ dvoch čísel aab sa často označuje ako gcd(a, b) .

Poďme priniesť Príklad najväčšieho spoločného deliteľa (gcd). dve celé čísla. Najväčší spoločný deliteľ 6 a -15 je 3. Poďme to podložiť. Zapíšme si všetkých deliteľov čísla šesť: ±6, ±3, ±1 a deliče čísla −15 sú čísla ±15, ±5, ±3 a ±1. Teraz môžete nájsť všetkých spoločných deliteľov čísel 6 a −15, to sú čísla −3, −1, 1 a 3. Od −3<−1<1<3 , то 3 – это наибольший общий делитель чисел 6 и −15 . То есть, НОД(6, −15)=3 .

Definícia najväčšieho spoločného deliteľa troch alebo viacerých celých čísel je podobná definícii gcd dvoch čísel.

Definícia.

Najväčší spoločný deliteľ tri alebo viac celých čísel je najväčšie celé číslo, ktoré súčasne delí všetky dané čísla.

Najväčší spoločný deliteľ n celých čísel a 1 , a 2 , …, a n označíme ako gcd(a 1 , a 2 , …, a n) . Ak sa nájde hodnota b najväčšieho spoločného deliteľa týchto čísel, potom môžeme písať GCD(ai, a2, …, a n)=b.

Ako príklad, za predpokladu, že gcd štyroch celých čísel −8 , 52 , 16 a −12 , sa rovná 4 , čiže gcd(−8, 52, 16, −12)=4 . Dá sa to skontrolovať tak, že si zapíšete všetkých deliteľov daných čísel, vyberiete z nich spoločných deliteľov a určíte najväčšieho spoločného deliteľa.

Všimnite si, že najväčší spoločný deliteľ celých čísel sa môže rovnať jednému z týchto čísel. Toto tvrdenie je pravdivé, ak sú všetky uvedené čísla deliteľné jedným z nich (dôkaz je uvedený v ďalšom odseku tohto článku). Napríklad gcd(15, 60, −45)=15 . To je pravda, pretože 15 delí 15, 60 a -45 a neexistuje spoločný deliteľ 15, 60 a -45, ktorý by bol väčší ako 15.

Obzvlášť zaujímavé sú takzvané relatívne prvočísla, - také celé čísla, ktorých najväčší spoločný deliteľ sa rovná jednej.

Najväčšie vlastnosti spoločného deliteľa, Euklidov algoritmus

Najväčší spoločný deliteľ má množstvo charakteristických výsledkov, inými slovami, množstvo vlastností. Teraz uvedieme hlavné vlastnosti najväčšieho spoločného deliteľa (gcd), sformulujeme ich vo forme viet a hneď dáme dôkazy.

Sformulujeme všetky vlastnosti najväčšieho spoločného deliteľa pre kladné celé čísla, pričom budeme uvažovať iba o kladných deliteľoch týchto čísel.

Najväčší spoločný deliteľ čísel a a b sa rovná najväčšiemu spoločnému deliteľovi čísel b a a , teda gcd(a, b)=gcd(a, b) .

Táto vlastnosť GCD vyplýva priamo z definície najväčšieho spoločného deliteľa.

Ak je a deliteľné b , potom množina spoločných deliteľov a a b je rovnaká ako množina deliteľov b , konkrétne gcd(a, b)=b .

Dôkaz.

Akýkoľvek spoločný deliteľ čísel a a b je deliteľom každého z týchto čísel vrátane čísla b. Na druhej strane, keďže a je násobkom b, potom ľubovoľný deliteľ čísla b je tiež deliteľom čísla a, pretože deliteľnosť má vlastnosť tranzitivity, preto každý deliteľ čísla b je a spoločný deliteľ čísel a a b. To dokazuje, že ak je a deliteľné b, potom sa množina deliteľov čísel a a b zhoduje s množinou deliteľov jedného čísla b. A keďže najväčší deliteľ čísla b je samotné číslo b, potom sa najväčší spoločný deliteľ čísel a a b rovná aj b , teda gcd(a, b)=b .

Najmä, ak sú čísla a a b rovnaké, potom gcd(a, b)=gcd(a, a)=gcd(b, b)=a=b. Napríklad gcd(132, 132)=132.

Preukázaná vlastnosť najväčšieho deliteľa nám umožňuje nájsť gcd dvoch čísel, keď je jedno z nich deliteľné druhým. V tomto prípade sa GCD rovná jednému z týchto čísel, ktorým je iné číslo deliteľné. Napríklad gcd(8, 24)=8, pretože 24 je násobkom ôsmich.

Ak a=b q+c , kde a , b , c a q sú celé čísla, potom množina spoločných deliteľov čísel a a b sa zhoduje s množinou spoločných deliteľov čísel b a c , konkrétne gcd( a, b) = gcd (b, c).

Zdôvodnime túto vlastnosť GCD.

Keďže platí rovnosť a=b·q+c, potom ľubovoľný spoločný deliteľ čísel a a b delí aj c (vyplýva to z vlastností deliteľnosti). Z rovnakého dôvodu každý spoločný deliteľ b a c delí a . Preto je množina spoločných deliteľov čísel a a b rovnaká ako množina spoločných deliteľov čísel b a c. Najmä najväčší z týchto spoločných deliteľov sa musí tiež zhodovať, to znamená, že nasledujúca rovnosť musí platiť gcd(a, b)=gcd(b, c) .

Teraz sformulujeme a dokážeme vetu, ktorá je Euklidov algoritmus. Euklidov algoritmus vám umožňuje nájsť GCD dvoch čísel (pozri hľadanie GCD pomocou Euklidovho algoritmu). Navyše, Euklidov algoritmus nám umožní dokázať nasledujúce vlastnosti najväčšieho spoločného deliteľa.

Pred vyhlásením vety odporúčame osviežiť si pamäť vety z časti teória, ktorá hovorí, že dividendu a možno znázorniť ako b q + r, kde b je deliteľ, q je nejaké celé číslo nazývané parciálny kvocient, a r je celé číslo, ktoré spĺňa podmienku, nazývané zvyšok.

Takže, nech pre dve nenulové kladné celé čísla a a b platí séria rovnosti

končiace, keď r k+1 = 0 (čo je nevyhnutné, pretože b>r 1 >r 2 >r 3, … je rad klesajúcich celých čísel a tento rad nemôže obsahovať viac než konečný počet kladných čísel), potom r k – je najväčší spoločný deliteľ a a b , teda r k =gcd(a, b) .

Dôkaz.

Najprv dokážme, že r k je spoločný deliteľ čísel a a b , potom ukážeme, že r k nie je len deliteľ, ale najväčší spoločný deliteľ čísel a a b .

Po zapísaných rovnosti sa budeme pohybovať zdola nahor. Z poslednej rovnosti môžeme povedať, že r k−1 je deliteľné r k . Vzhľadom na túto skutočnosť, ako aj predchádzajúcu vlastnosť GCD, predposledná rovnosť r k−2 =r k−1 q k + r k umožňuje tvrdiť, že r k−2 je deliteľné r k , keďže r k−1 je deliteľné r k a rk je deliteľné podľa r k . Analogicky z tretej rovnosti zdola usúdime, že r k−3 je deliteľné r k . A tak ďalej. Z druhej rovnosti dostaneme, že b je deliteľné r k a z prvej rovnosti dostaneme, že a je deliteľné r k . Preto r k je spoločným deliteľom a a b.

Zostáva dokázať, že r k =gcd(a, b) . Lebo stačí ukázať, že akýkoľvek spoločný deliteľ čísel a a b (označíme ho r 0 ) delí r k .

Po počiatočných rovnosti sa budeme pohybovať zhora nadol. Na základe predchádzajúcej vlastnosti z prvej rovnosti vyplýva, že r 1 je deliteľné r 0 . Potom z druhej rovnosti dostaneme, že r 2 je deliteľné r 0 . A tak ďalej. Z poslednej rovnosti dostaneme, že r k je deliteľné r 0 . Teda rk =gcd(a, b) .

Z uvažovanej vlastnosti najväčšieho spoločného deliteľa vyplýva, že množina spoločných deliteľov čísel a a b sa zhoduje s množinou najväčšieho spoločného deliteľa týchto čísel. Tento dôsledok z Euklidovho algoritmu nám umožňuje nájsť všetkých spoločných deliteľov dvoch čísel ako deliteľov gcd týchto čísel.

Nech a a b sú celé čísla, ktoré sa súčasne nerovnajú nule, potom existujú také celé čísla u 0 a v 0 , potom platí rovnosť gcd(a, b)=a u 0 +b v 0. Posledná rovnosť je lineárne znázornenie najväčšieho spoločného deliteľa čísel a a b, táto rovnosť sa nazýva Bezoutov pomer a čísla u 0 a v 0 sú Bezoutove koeficienty.

Dôkaz.

Podľa Euklidovho algoritmu môžeme zapísať nasledujúce rovnosti



Z prvej rovnosti máme r 1 =a−b q 1 a pri označení 1=s 1 a −q 1 =t 1 má táto rovnosť tvar r 1 =s 1 a+t 1 b a čísla s 1 a ti sú celé čísla. Potom z druhej rovnosti dostaneme r 2 =b−r 1 q 2 = b−(s 1 a+t 1 b) q 2 =−s 1 q 2 a+(1−t 1 q 2) b. Ak označujeme −s 1 q 2 =s 2 a 1−t 1 q 2 =t 2 , poslednú rovnosť môžeme zapísať ako r 2 =s 2 a+t 2 b a s 2 a t 2 sú celé čísla (pretože súčet rozdiel a súčin celých čísel je celé číslo). Podobne z tretej rovnosti dostaneme r 3 =s 3 ·a+t 3 ·b, zo štvrtej r 4 =s 4 ·a+t 4 ·b atď. Nakoniec rk = s k ·a+tk ·b, kde s k a tk sú celé čísla. Pretože r k =gcd(a, b) a značíme s k =u 0 a tk =v 0 , dostaneme lineárne zobrazenie gcd požadovaného tvaru: gcd(a, b)=a u 0 +b v 0 .

Ak m je akékoľvek prirodzené číslo, potom gcd(ma, mb)=m gcd(a, b).

Zdôvodnenie tejto vlastnosti najväčšieho spoločného deliteľa je nasledovné. Ak vynásobíme obe strany každej z rovnosti Euklidovho algoritmu číslom m, dostaneme, že gcd(m a, m b)=m rk a rk je gcd(a, b) . v dôsledku toho gcd(ma, mb)=m gcd(a, b).

Táto vlastnosť najväčšieho spoločného deliteľa je základom pre metódu hľadania GCD pomocou prvočíselnej faktorizácie.

Nech p je teda ľubovoľný spoločný deliteľ čísel a a b gcd(a:p, b:p)=gcd(a, b):p, najmä ak p=gcd(a, b) máme gcd(a:gcd(a, b), b:gcd(a, b))=1, to znamená, že čísla a:gcd(a, b) a b:gcd(a, b) sú dvojčlenné.

Pretože a=p (a:p) a b=p (b:p) , a vzhľadom na predchádzajúcu vlastnosť, môžeme napísať reťaz rovnosti tvaru gcd(a, b)=gcd(p(a:p), p(b:p))= p·gcd(a:p, b:p), z čoho vyplýva rovnosť, ktorá sa má dokázať.

Najväčšia vlastnosť spoločného deliteľa sa práve ukázala ako základ .

Teraz vyslovme vlastnosť GCD, ktorá redukuje problém nájdenia najväčšieho spoločného deliteľa troch alebo viacerých čísel na postupné nájdenie GCD dvoch čísel.

Najväčší spoločný deliteľ čísel a 1 , a 2 , ..., a k sa rovná číslu d k , ktoré nájdeme pri sekvenčnom výpočte GCD(a 1 , a 2)=d 2 , GCD(d 2 , a 3) = d3, GCD (d3, a4) = d4, ..., GCD (dk-1, ak) = dk.

Dôkaz je založený na dôsledku Euklidovho algoritmu. Spoločné deliče čísel a 1 a a 2 sú rovnaké ako deliče d 2 . Potom sa spoloční delitelia čísel a 1 , a 2 a a 3 zhodujú so spoločnými deliteľmi čísel d 2 a a 3 , teda sa zhodujú s deliteľmi d 3 . Spoločné deliče čísel a 1 , a 2 , a 3 a a 4 sú rovnaké ako spoločné deliče d 3 a a 4 , teda rovnaké ako deliče d 4 . A tak ďalej. Napokon, spoločné deliče čísel a 1 , a 2 , …, a k sa zhodujú s deliteľmi d k . A keďže najväčším deliteľom čísla d k je samotné číslo d k GCD(a1, a2, …, a k)=d k.

Týmto sa uzatvára prehľad hlavných vlastností najväčšieho spoločného deliteľa.

Bibliografia.

• Vilenkin N.Ya. atď. Matematika. 6. ročník: učebnica pre vzdelávacie inštitúcie.
• Vinogradov I.M. Základy teórie čísel.
• Mikhelovič Sh.Kh. Teória čísel.
• Kulikov L.Ya. a iné Zbierka úloh z algebry a teórie čísel: Učebnica pre študentov fiz.-mat. odbornosti pedagogických ústavov.

Online kalkulačka vám umožňuje rýchlo nájsť najväčšieho spoločného deliteľa a najmenšieho spoločného násobku dvoch alebo akéhokoľvek iného počtu čísel.

Kalkulačka na nájdenie GCD a NOC

Nájdite GCD a NOC

GCD a NOC nájdené: 5806

Ako používať kalkulačku

• Do vstupného poľa zadajte čísla
• V prípade zadania nesprávnych znakov bude vstupné pole zvýraznené červenou farbou
• stlačte tlačidlo "Nájsť GCD a NOC"

Ako zadávať čísla

• Čísla sa zadávajú oddelené medzerami, bodkami alebo čiarkami
• Dĺžka zadávaných čísel nie je obmedzená, takže nájdenie gcd a lcm dlhých čísel nebude ťažké

Čo je NOD a NOK?

Najväčší spoločný deliteľ viacerých čísel je najväčšie prirodzené celé číslo, ktorým sú všetky pôvodné čísla bezo zvyšku deliteľné. Najväčší spoločný deliteľ je skrátený ako GCD.
Najmenší spoločný násobok niekoľko čísel je najmenšie číslo, ktoré je bezo zvyšku deliteľné každým z pôvodných čísel. Najmenší spoločný násobok sa označuje skratkou NOC.

Ako skontrolovať, či je číslo bezo zvyšku deliteľné iným číslom?

Ak chcete zistiť, či je jedno číslo deliteľné druhým bezo zvyšku, môžete použiť niektoré vlastnosti deliteľnosti čísel. Potom ich kombináciou možno skontrolovať deliteľnosť niektorými z nich a ich kombináciami.

Niektoré znaky deliteľnosti čísel

1. Znamienko deliteľnosti čísla 2
Ak chcete zistiť, či je číslo deliteľné dvoma (či je párne), stačí sa pozrieť na poslednú číslicu tohto čísla: ak sa rovná 0, 2, 4, 6 alebo 8, potom je číslo párne, čo znamená, že je deliteľné 2.
Príklad: zisti, či je číslo 34938 deliteľné 2.
Riešenie: pozrite sa na poslednú číslicu: 8 znamená, že číslo je deliteľné dvoma.

2. Znamienko deliteľnosti čísla 3
Číslo je deliteľné tromi, keď súčet jeho číslic je deliteľný tromi. Ak teda chcete zistiť, či je číslo deliteľné 3, musíte vypočítať súčet číslic a skontrolovať, či je deliteľné 3. Aj keď sa ukázalo, že súčet číslic je veľmi veľký, môžete zopakovať rovnaký postup znova.
Príklad: určite, či je číslo 34938 deliteľné 3.
Riešenie: spočítame súčet číslic: 3+4+9+3+8 = 27. 27 je deliteľné 3, čo znamená, že číslo je deliteľné tromi.

3. Znamienko deliteľnosti čísla 5
Číslo je deliteľné 5, ak je jeho posledná číslica nula alebo päť.
Príklad: určite, či je číslo 34938 deliteľné 5.
Riešenie: pozrite sa na poslednú číslicu: 8 znamená, že číslo NIE JE deliteľné piatimi.

4. Znamienko deliteľnosti čísla 9
Toto znamienko je veľmi podobné znamienku deliteľnosti tromi: číslo je deliteľné 9, ak súčet jeho číslic je deliteľný 9.
Príklad: určite, či je číslo 34938 deliteľné 9.
Riešenie: vypočítame súčet číslic: 3+4+9+3+8 = 27. 27 je deliteľné 9, čo znamená, že číslo je deliteľné deviatimi.

Ako nájsť GCD a LCM dvoch čísel

Ako nájsť GCD dvoch čísel

Najjednoduchší spôsob, ako vypočítať najväčšieho spoločného deliteľa dvoch čísel, je nájsť všetkých možných deliteľov týchto čísel a vybrať najväčšieho z nich.

Zvážte túto metódu pomocou príkladu hľadania GCD(28, 36):

1. Obe čísla rozkladáme na faktor: 28 = 1 2 2 7 , 36 = 1 2 2 3 3
2. Nájdeme spoločné faktory, teda tie, ktoré majú obe čísla: 1, 2 a 2.
3. Vypočítame súčin týchto faktorov: 1 2 2 \u003d 4 - toto je najväčší spoločný deliteľ čísel 28 a 36.

Ako nájsť LCM dvoch čísel

Existujú dva najbežnejšie spôsoby, ako nájsť najmenší násobok dvoch čísel. Prvým spôsobom je, že si môžete vypísať prvé násobky dvoch čísel a potom si z nich vybrať také číslo, ktoré bude spoločné pre obe čísla a zároveň najmenšie. A druhým je nájsť GCD týchto čísel. Len to zvážme.

Ak chcete vypočítať LCM, musíte vypočítať súčin pôvodných čísel a potom ho rozdeliť na predtým nájdené GCD. Nájdite LCM pre rovnaké čísla 28 a 36:

1. Nájdite súčin čísel 28 a 36: 28 36 = 1008
2. gcd(28, 36) je už známe ako 4
3. LCM(28,36) = 1008/4 = 252.

Hľadanie GCD a LCM pre viac čísel

Najväčší spoločný deliteľ možno nájsť pre niekoľko čísel, nielen pre dve. Na tento účel sa čísla, ktoré sa majú nájsť pre najväčšieho spoločného deliteľa, rozložia na prvočísla a potom sa nájde súčin spoločných prvočísel týchto čísel. Ak chcete nájsť GCD niekoľkých čísel, môžete použiť nasledujúci vzťah: gcd(a, b, c) = gcd(gcd(a, b), c).

Podobný vzťah platí aj pre najmenší spoločný násobok čísel: LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)

Príklad: nájdite GCD a LCM pre čísla 12, 32 a 36.

1. Najprv rozložme čísla na faktor: 12 = 1 2 2 3 , 32 = 1 2 2 2 2 2 , 36 = 1 2 2 3 3 .
2. Poďme nájsť spoločné faktory: 1, 2 a 2 .
3. Ich súčin dá gcd: 1 2 2 = 4
4. Teraz nájdime LCM: najprv nájdeme LCM(12, 32): 12 32 / 4 = 96 .
5. Ak chcete nájsť LCM všetkých troch čísel, musíte nájsť GCD(96, 36): 96 = 1 2 2 2 2 2 3 , 36 = 1 2 2 3 3, GCD = 1 2. 2 3 = 12 .
6. LCM(12, 32, 36) = 96 36/12 = 288.

Tento článok je o nájdenie najväčšieho spoločného deliteľa (gcd) dve alebo viac čísel. Najprv zvážte Euclidov algoritmus, ktorý vám umožňuje nájsť GCD dvoch čísel. Potom sa zameriame na metódu, ktorá nám umožňuje vypočítať GCD čísel ako súčin ich spoločných prvočísel. Ďalej sa budeme zaoberať hľadaním najväčšieho spoločného deliteľa troch alebo viacerých čísel a tiež uvedieme príklady výpočtu GCD záporných čísel.

Navigácia na stránke.

Euklidov algoritmus na nájdenie GCD

Všimnite si, že ak by sme sa hneď od začiatku obrátili na tabuľku prvočísel, zistili by sme, že čísla 661 a 113 sú prvočísla, z čoho by sme hneď mohli povedať, že ich najväčší spoločný deliteľ je 1.

odpoveď:

gcd(661,113)=1.

Nájdenie GCD rozdelením čísel na prvočísla

Zvážte iný spôsob, ako nájsť GCD. Najväčší spoločný deliteľ možno nájsť rozdelením čísel na prvočiniteľa. Formulujme pravidlo: Gcd dvoch kladných celých čísel aab sa rovná súčinu všetkých spoločných prvočiniteľov pri rozklade aab na prvočiniteľa.

Uveďme príklad na vysvetlenie pravidla na nájdenie GCD. Poznáme expanzie čísel 220 a 600 na prvočiniteľa, majú tvar 220=2 2 5 11 a 600=2 2 2 3 5 5 . Bežné prvočísla podieľajúce sa na rozširovaní čísel 220 a 600 sú 2, 2 a 5. Preto gcd(220, 600)=225=20.

Ak teda rozložíme čísla a a b na prvočísla a nájdeme súčin všetkých ich spoločných faktorov, nájdeme najväčšieho spoločného deliteľa čísel a a b.

Zvážte príklad nájdenia GCD podľa oznámeného pravidla.

Príklad.

Nájdite najväčšieho spoločného deliteľa 72 a 96.

Riešenie.

Rozložme čísla 72 a 96 na faktor:

To znamená, že 72 = 2 2 2 3 3 a 96 = 2 2 2 2 2 3 . Bežné prvočísla sú 2, 2, 2 a 3. Takže gcd(72, 96)=2 2 2 3=24 .

odpoveď:

gcd(72,96)=24.

Na záver tejto časti poznamenávame, že platnosť vyššie uvedeného pravidla pre nájdenie gcd vyplýva z vlastnosti najväčšieho spoločného deliteľa, ktorá hovorí, že GCD(m a1, mb1)=m GCD(a1, b1), kde m je ľubovoľné kladné celé číslo.

Nájdenie GCD troch alebo viacerých čísel

Hľadanie najväčšieho spoločného deliteľa troch alebo viacerých čísel možno zredukovať na postupné hľadanie gcd dvoch čísel. Spomenuli sme to pri štúdiu vlastností GCD. Tam sme sformulovali a dokázali vetu: najväčší spoločný deliteľ viacerých čísel a 1 , a 2 , …, a k sa rovná číslu d k , ktoré nájdeme pri sekvenčnom výpočte gcd(a 1 , a 2)=d 2 gcd(d2,a3)=d3, GCD(d3,a4)=d4, ..., GCD(dk-1, ak)=dk.

Pozrime sa, ako vyzerá proces hľadania GCD niekoľkých čísel, keď zvážime riešenie príkladu.

Príklad.

Nájdite najväčšieho spoločného deliteľa štyroch čísel 78, 294, 570 a 36.

Riešenie.

V tomto príklade a1=78, a2=294, a3=570, a4=36.

Najprv pomocou Euklidovho algoritmu určíme najväčšieho spoločného deliteľa d 2 prvých dvoch čísel 78 a 294 . Pri delení dostaneme rovnosti 294=78 3+60 ; 78=60 1+18; 60=18 3+6 a 18=63. Teda d2=GCD(78,294)=6.

Teraz poďme počítať d 3 \u003d GCD (d 2, a 3) \u003d GCD (6, 570). Opäť aplikujeme Euklidov algoritmus: 570=6·95 , teda d 3 =GCD(6, 570)=6 .

Zostáva vypočítať d 4 \u003d GCD (d 3, a 4) \u003d GCD (6, 36). Pretože 36 je deliteľné 6, potom d 4 \u003d GCD (6, 36) \u003d 6.

Najväčší spoločný deliteľ štyroch daných čísel je teda d 4 =6 , teda gcd(78, 294, 570, 36) = 6 .

odpoveď:

gcd(78,294,570,36)=6.

Rozloženie čísel na prvočísla tiež umožňuje vypočítať GCD troch alebo viacerých čísel. V tomto prípade najväčší spoločný deliteľ nájdeme ako súčin všetkých spoločných prvočísel daných čísel.

Príklad.

Vypočítajte GCD čísel z predchádzajúceho príkladu pomocou ich prvočíselných rozkladov.

Riešenie.

Čísla 78 , 294 , 570 a 36 rozložíme na prvočiniteľa, dostaneme 78=2 3 13, 294=2 3 7 7, 570=2 3 5 19, 36=2 2 3. 3 . Spoločné prvočísla všetkých daných štyroch čísel sú čísla 2 a 3. v dôsledku toho GCD(78, 294, 570, 36) = 2 3 = 6.

Nájdenie najmenšieho spoločného násobku (LCM) a najväčšieho spoločného deliteľa (GCD) prirodzených čísel.

	2						5
	2						5
	3						3
	5

60=2*2*3*5
75=3*5*5
2) Vypíšeme faktory zahrnuté do rozšírenia prvého z týchto čísel a pripočítame k nim chýbajúci faktor 5 z rozšírenia druhého čísla. Dostaneme: 2*2*3*5*5=300. Nájdené NOC, t.j. táto suma = 300. Nezabudnite na rozmer a napíšte odpoveď:
Odpoveď: Mama dáva po 300 rubľov.

Definícia GCD: Najväčší spoločný deliteľ (GCD) prirodzené čísla a a v pomenujte najväčšie prirodzené číslo c, ktorému a a, a b rozdelené bezo zvyšku. Tie. c je najmenšie prirodzené číslo, pre ktoré a a a b sú násobky.

Pripomienka: Existujú dva prístupy k definícii prirodzených čísel

• čísla používané pri: vyčíslení (číslovaní) položiek (prvý, druhý, tretí, ...); - zvyčajne v školách.
• s uvedením počtu predmetov (žiadny pokémon - nula, jeden pokémon, dvaja pokémoni, ...).

Záporné a necelé (racionálne, reálne, ...) čísla nie sú prirodzené. Niektorí autori zaraďujú do množiny prirodzených čísel nulu, iní nie. Množina všetkých prirodzených čísel sa zvyčajne označuje symbolom N

Pripomienka: Deliteľ prirodzeného čísla a zavolajte na číslo b, ku ktorému a rozdelené bezo zvyšku. Násobok prirodzeného čísla b nazývané prirodzené číslo a, ktorý je rozdelený podľa b bez stopy. Ak číslo b- deliteľ čísla a, potom a násobok b. Príklad: 2 je deliteľ 4 a 4 je násobok 2. 3 je deliteľ 12 a 12 je násobok 3.
Pripomienka: Prirodzené čísla sa nazývajú prvočísla, ak sú deliteľné bezo zvyšku len samy sebou a 1. Koprvé sú čísla, ktoré majú iba jedného spoločného deliteľa rovného 1.

Definícia toho, ako nájsť GCD vo všeobecnom prípade: Ak chcete nájsť GCD (najväčší spoločný deliteľ) Je potrebných niekoľko prirodzených čísel:
1) Rozložte ich na hlavné faktory. (Tabuľka prvočísel môže byť veľmi užitočná.)
2) Napíšte faktory zahrnuté do rozšírenia jedného z nich.
3) Vymažte tie, ktoré nie sú zahrnuté v rozšírení zostávajúcich čísel.
4) Vynásobte faktory získané v odseku 3).

Úloha 2 na (NOK): Do nového roka Kolja Puzatov kúpil v meste 48 škrečkov a 36 kávových kanvíc. Fekla Dormidontová ako najčestnejšie dievča v triede dostala za úlohu rozdeliť túto nehnuteľnosť na čo najväčší počet darčekových setov pre učiteľov. Aký je počet súprav? Aké je zloženie setov?

Príklad 2.1. riešenie problému nájdenia GCD. Nájdenie GCD výberom.
Riešenie: Každé z čísel 48 a 36 musí byť deliteľné počtom darov.
1) Napíšte deliteľov 48: 48, 24, 16, 12 , 8, 6, 3, 2, 1
2) Napíšte deliteľov 36: 36, 18, 12 , 9, 6, 3, 2, 1 Vyberte najväčšieho spoločného deliteľa. Op-la-la! Nájdené, toto je počet sád 12 kusov.
3) Vydelíme 48 12, dostaneme 4, 36 vydelíme 12, dostaneme 3. Nezabudnite na rozmer a napíšte odpoveď:
Odpoveď: V každej sade dostanete 12 sád po 4 škrečky a 3 kanvice na kávu.

Znaky deliteľnosti prirodzených čísel.

Volajú sa čísla deliteľné 2 bezo zvyškudokonca .

Volajú sa čísla, ktoré nie sú deliteľné 2 rovnomernezvláštny .

Znak deliteľnosti 2

Ak sa záznam prirodzeného čísla končí párnou číslicou, potom je toto číslo bezo zvyšku deliteľné 2 a ak sa záznam čísla končí nepárnou číslicou, potom toto číslo nie je bezo zvyšku deliteľné 2.

Napríklad čísla 60 , 30 8 , 8 4 sú bezo zvyšku deliteľné 2 a čísla 51 , 8 5 , 16 7 nie sú bezo zvyšku deliteľné 2.

Znak deliteľnosti 3

Ak je súčet číslic čísla deliteľný 3, potom je číslo deliteľné aj 3; Ak súčet číslic čísla nie je deliteľný 3, potom číslo nie je deliteľné 3.

Napríklad zistime, či je číslo 2772825 deliteľné 3. Na tento účel vypočítame súčet číslic tohto čísla: 2+7+7+2+8+2+5 = 33 - je deliteľné 3 Takže číslo 2772825 je deliteľné 3.

Znak deliteľnosti 5

Ak sa záznam o prirodzenom čísle končí číslom 0 alebo 5, potom je toto číslo deliteľné bez zvyšku 5. Ak sa záznam čísla končí inou číslicou, potom číslo bez zvyšku nie je deliteľné 5.

Napríklad čísla 15 , 3 0 , 176 5 , 47530 0 sú bezo zvyšku deliteľné 5 a čísla 17 , 37 8 , 9 1 nezdieľať.

Znak deliteľnosti 9

Ak je súčet číslic čísla deliteľný 9, potom je číslo deliteľné aj 9; Ak súčet číslic čísla nie je deliteľný 9, potom číslo nie je deliteľné 9.

Napríklad zistime, či je číslo 5402070 deliteľné 9. Aby sme to urobili, vypočítame súčet číslic tohto čísla: 5+4+0+2+0+7+0 = 16 - nie je deliteľné číslom 9. To znamená, že číslo 5402070 nie je deliteľné 9.

Znak deliteľnosti 10

Ak sa záznam prirodzeného čísla končí číslicou 0, potom je toto číslo bezo zvyšku deliteľné 10. Ak sa záznam prirodzeného čísla končí inou číslicou, potom nie je bezo zvyšku deliteľné 10.

Napríklad čísla 40 , 17 0 , 1409 0 sú bezo zvyšku deliteľné 10 a čísla 17 , 9 3 , 1430 7 - nezdieľať.

Pravidlo na nájdenie najväčšieho spoločného deliteľa (gcd).

Ak chcete nájsť najväčšieho spoločného deliteľa niekoľkých prirodzených čísel, musíte:

2) z faktorov zahrnutých do rozšírenia jedného z týchto čísel prečiarknite tie, ktoré nie sú zahrnuté do rozšírenia iných čísel;

3) nájdite súčin zostávajúcich faktorov.

Príklad. Nájdeme GCD (48;36). Využime pravidlo.

1. Čísla 48 a 36 rozložíme na prvočiniteľa.

48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3

36 = 2 · 2 · 3 · 3

2. Z faktorov zaradených do rozšírenia čísla 48 vypúšťame tie, ktoré nie sú zahrnuté do rozšírenia čísla 36.

48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3

Existujú faktory 2, 2 a 3.

3. Vynásobte zostávajúce faktory a získajte 12. Toto číslo je najväčším spoločným deliteľom čísel 48 a 36.

GCD (48; 36) = 2· 2 · 3 = 12.

Pravidlo na nájdenie najmenšieho spoločného násobku (LCM).

Ak chcete nájsť najmenší spoločný násobok niekoľkých prirodzených čísel, musíte:

1) rozložiť ich na hlavné faktory;

2) napíšte faktory zahrnuté do rozšírenia jedného z čísel;

3) pridajte k nim chýbajúce faktory z expanzií zostávajúcich čísel;

4) nájdite súčin výsledných faktorov.

Príklad. Nájdeme LCM (75;60). Využime pravidlo.

1. Čísla 75 a 60 rozložíme na prvočiniteľa.

75 = 3 · 5 · 5

60 = 2 · 2 · 3 · 3

2. Napíšte faktory zahrnuté do rozšírenia čísla 75: 3, 5, 5.

NOC (75; 60) = 3 · 5 · 5 · …

3. Doplňte k nim chýbajúce faktory z rozkladu čísla 60, t.j. 2, 2.

NOC (75; 60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2

4. Nájdite súčin výsledných faktorov

NOC (75; 60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2 = 300.