Ako nájsť derivát, ako vziať derivát? V tejto lekcii sa naučíme, ako nájsť derivácie funkcií. Pred štúdiom tejto stránky však dôrazne odporúčam, aby ste sa oboznámili s metodickým materiálom.Horúce školské matematické vzorce. Referenčnú príručku je možné otvoriť alebo stiahnuť zo stránky Matematické vzorce a tabuľky . Aj odtiaľ potrebujemeTabuľka derivátov, je lepšie si ho vytlačiť, často sa naň budete musieť odvolávať, a to nielen teraz, ale aj offline.

existuje? Začnime. Mám pre vás dve správy: dobrú a veľmi dobrú. Dobrou správou je, že na to, aby ste sa naučili hľadať deriváty, nie je vôbec potrebné vedieť a rozumieť tomu, čo je to derivát. Navyše, definíciu derivácie funkcie, matematický, fyzikálny, geometrický význam derivácie je vhodnejšie stráviť neskôr, keďže kvalitatívne štúdium teórie si podľa mňa vyžaduje štúdium množstva iných tém, aj nejaké praktické skúsenosti.

A teraz je našou úlohou práve tieto deriváty technicky zvládnuť. Veľmi dobrou správou je, že naučiť sa brať derivácie nie je až také ťažké, existuje pomerne jasný algoritmus na riešenie (a vysvetlenie) tejto úlohy, napríklad integrály alebo limity sú náročnejšie na zvládnutie.

Odporúčam nasledujúce poradie štúdia témy: po prvé, Tento článok. Potom si musíte prečítať najdôležitejšiu lekciu Derivácia zloženej funkcie . Tieto dve základné triedy vám umožnia zvýšiť vaše schopnosti od nuly. Ďalej sa v článku budete môcť zoznámiť so zložitejšími derivátmi. komplexné deriváty.

logaritmická derivácia. Ak je lišta príliš vysoká, prečítajte si najprv položku Najjednoduchšie typické problémy s deriváciou. Okrem nového učiva sa lekcia venovala aj iným, jednoduchším typom odvodenín a je tu skvelá príležitosť na zlepšenie techniky diferenciácie. Okrem toho v práci s riadením sú takmer vždy úlohy na hľadanie derivácií funkcií, ktoré sú špecifikované implicitne alebo parametricky. Existuje na to aj návod: Deriváty implicitných a parametricky definovaných funkcií.

Pokúsim sa vás prístupnou formou, krok za krokom, naučiť, ako nájsť deriváty funkcií. Všetky informácie sú prezentované podrobne, jednoduchými slovami.

V skutočnosti okamžite zvážte príklad: Príklad 1

Nájdite deriváciu funkcie Riešenie:

Toto je najjednoduchší príklad, nájdete ho v tabuľke derivácií elementárnych funkcií. Teraz sa pozrime na riešenie a analyzujeme, čo sa stalo? A stalo sa nasledovné:

mali sme funkciu , ktorá sa v dôsledku riešenia zmenila na funkciu.

Celkom jednoduché, nájsť derivát

funkcií, musíte ho zmeniť na inú funkciu podľa určitých pravidiel . Pozrite sa znova na tabuľku derivácií - tam sa funkcie menia na iné funkcie. jediný

výnimkou je exponenciálna funkcia, ktorá

premení sa na seba. Operácia nájdenia derivátu sa nazývadiferenciácia.

Zápis: Derivát sa označuje príp.

POZOR, DÔLEŽITÉ! Zabudnúť urobiť ťah (ak je to potrebné) alebo nakresliť ďalší ťah (kde to nie je potrebné) je VEĽKÁ CHYBA! Funkcia a jej derivácia sú dve rôzne funkcie!

Vráťme sa k našej tabuľke derivátov. Z tejto tabuľky je žiaduce zapamätať si: pravidlá diferenciácie a derivácie niektorých elementárnych funkcií, najmä:

derivácia konštanty:

Kde je konštantné číslo; derivácia mocninovej funkcie:

Najmä:,,.

Prečo memorovať? Tieto znalosti sú základnými znalosťami o derivátoch. A ak neviete odpovedať na otázku učiteľa „Aká je derivácia čísla?“, tak sa pre vás štúdium na univerzite môže skončiť (osobne poznám dva reálne prípady zo života). Okrem toho sú to najčastejšie vzorce, ktoré musíme použiť takmer vždy, keď sa stretneme s derivátmi.

AT V skutočnosti sú jednoduché tabuľkové príklady zriedkavé, zvyčajne sa pri hľadaní derivácií najskôr použijú pravidlá diferenciácie a až potom tabuľka derivácií elementárnych funkcií.

AT V tejto súvislosti sa obrátime na úvahupravidlá diferenciácie:

1) Konštantné číslo môže (a malo by sa) vyňať zo znamienka derivácie

Kde je konštantné číslo (konštanta) Príklad 2

Nájdite deriváciu funkcie

Pozeráme sa na tabuľku derivátov. Derivácia kosínusu je tam, ale máme .

Je čas použiť pravidlo, vyberieme konštantný faktor za znamienkom derivácie:

A teraz otočíme náš kosínus podľa tabuľky:

Výsledok je žiaduce trochu „učesať“ - na prvé miesto dajte mínus a zároveň sa zbavte zátvoriek:

2) Derivácia súčtu sa rovná súčtu derivátov

Nájdite deriváciu funkcie

My rozhodujeme. Ako ste si už určite všimli, prvá akcia, ktorá sa vždy vykoná pri hľadaní derivácie, je, že celý výraz vložíme do zátvoriek a vpravo hore vložíme ťah:

Aplikujeme druhé pravidlo:

Upozorňujeme, že na odlíšenie musia byť všetky korene, stupne reprezentované ako , a ak sú v menovateli, potom

posunúť ich nahor. Ako to urobiť, rozoberám v mojich metodických materiáloch.

Teraz si pripomenieme prvé pravidlo diferenciácie - vyberieme konštantné faktory (čísla) mimo znamienka derivácie:

Zvyčajne sa pri riešení tieto dve pravidlá aplikujú súčasne (aby sa ešte raz neprepisoval dlhý výraz).

Všetky funkcie pod pomlčkami sú elementárne tabuľkové funkcie, pomocou tabuľky vykonávame transformáciu:

Všetko môžete nechať v tejto forme, pretože už neexistujú žiadne ťahy a derivát sa našiel. Takéto výrazy však zvyčajne zjednodušujú:

Je žiaduce opäť reprezentovať všetky stupne druhu ako korene,

stupne so zápornými exponentmi - resetovať na menovateľa. Aj keď to nemôžete urobiť, nebude to chyba.

Nájdite deriváciu funkcie

Skúste tento príklad vyriešiť sami (odpovedzte na konci hodiny).

3) Derivácia súčinu funkcií

Zdá sa, že analogicky sa vzorec navrhuje sám ...., ale prekvapením je, že:

Toto neobvyklé pravidlo(ako v skutočnosti iní) vyplýva z definície derivátu. Ale s teóriou si zatiaľ počkáme - teraz je dôležitejšie naučiť sa riešiť:

Nájdite deriváciu funkcie

Tu máme súčin dvoch funkcií v závislosti od . Najprv použijeme naše podivné pravidlo a potom transformujeme funkcie podľa tabuľky derivácií:

ťažké? Vôbec nie, celkom cenovo dostupné aj na čajník.

Nájdite deriváciu funkcie

Táto funkcia obsahuje súčet a súčin dvoch funkcií – štvorcového trinomu a logaritmu. Zo školy si pamätáme, že násobenie a delenie má prednosť pred sčítaním a odčítaním.

Tu je to rovnaké. NAJPRV použijeme pravidlo diferenciácie produktov:

Teraz pre zátvorku používame prvé dve pravidlá:

V dôsledku aplikácie pravidiel diferenciácie pod ťahmi nám ostali len elementárne funkcie, podľa tabuľky derivácií ich premeníme na iné funkcie:

S určitými skúsenosťami s hľadaním derivátov sa zdá, že jednoduché deriváty netreba tak podrobne popisovať. Vo všeobecnosti sa zvyčajne riešia ústne a je to okamžite zaznamenané .

Nájdite deriváciu funkcie Toto je príklad na samoriešenie (odpoveď na konci lekcie)

4) Derivácia súkromných funkcií

V strope sa otvoril poklop, nebojte sa, je to porucha. A tu je krutá realita:

Nájdite deriváciu funkcie

Čo tu nie je - súčet, rozdiel, súčin, zlomok .... Čím mám začať?! Existujú pochybnosti, žiadne pochybnosti, ale V KAŽDOM PRÍPADE najskôr nakreslite zátvorky a umiestnite ťah vpravo hore:

Teraz sa pozrieme na výraz v zátvorkách, ako by sme ho zjednodušili? V tomto prípade si všimneme faktor, ktorý je podľa prvého pravidla vhodné vyňať zo znamienka derivátu:

Zároveň sa zbavíme zátvoriek v čitateli, ktoré už nie sú potrebné. Všeobecne povedané, konštantné faktory pri hľadaní derivátu

Nájdenie derivácie matematickej funkcie sa nazýva diferenciácia. Nájsť deriváciu matematickej funkcie je bežným problémom vyššej matematiky. Môžete hovoriť rôznymi spôsobmi: nájsť deriváciu, vypočítať deriváciu, derivovať funkciu, vziať deriváciu, ale všetky sú to rovnaké pojmy. Existujú samozrejme zložité úlohy, pri ktorých je nájdenie derivácie len jednou zo zložiek problému. Na našej webovej stránke máte možnosť online vypočítať deriváciu elementárnych aj komplexných funkcií, ktoré nemajú analytické riešenie. Online odvodenie našej služby možno nájsť takmer z akejkoľvek matematickej funkcie, dokonca aj z tej najzložitejšej, ktorú za vás iné služby nedokážu vyriešiť. A prijatá odpoveď je vždy 100% správna a neobsahuje chyby. Na konkrétnych príkladoch si môžete pozrieť, ako prebieha proces hľadania derivátu na našej webovej stránke. Príklady sú napravo od tlačidla "Riešenie". Vyberte ľubovoľnú funkciu zo zoznamu príkladov, automaticky sa nahradí v poli funkcie a potom kliknite na tlačidlo "Riešenie". Uvidíte krok za krokom riešenie, váš derivát sa nájde rovnakým spôsobom. Výhody riešenia derivátu online. Aj keď viete, ako nájsť deriváty, tento proces môže trvať veľa času a úsilia. Stránka služby je navrhnutá tak, aby vás ušetrila od únavných a dlhých výpočtov, v ktorých sa navyše môžete pomýliť. Online derivácia sa vypočíta jedným kliknutím na tlačidlo „Riešenie“ po zadaní danej funkcie. Stránka je tiež ideálna pre tých, ktorí si chcú otestovať svoju schopnosť nájsť derivát matematickej funkcie a uistiť sa, že ich vlastné riešenie je správne, alebo nájsť v ňom chybu. Ak to chcete urobiť, stačí porovnať svoju odpoveď s výsledkom výpočtov online služby. Ak nechcete používať derivačné tabuľky, pri ktorých nájdenie požadovanej funkcie zaberie dosť času, tak na nájdenie derivácie použite namiesto derivačných tabuliek našu službu. Hlavnými výhodami našej stránky v porovnaní s inými podobnými službami je, že výpočet je veľmi rýchly (v priemere 5 sekúnd) a nemusíte zaň nič platiť – služba je úplne zadarmo. Nebude sa od vás vyžadovať registrácia, zadanie e-mailu ani vašich osobných údajov. Stačí zadať danú funkciu a stlačiť tlačidlo „Riešenie“. Čo je derivát. Derivácia funkcie je základným pojmom v matematike a počte. Opakom tohto procesu je integrácia, teda nájdenie funkcie známou deriváciou. Zjednodušene povedané, diferenciácia je pôsobením na funkciu a derivácia je už výsledkom takéhoto pôsobenia. Na výpočet derivácie funkcie v určitom bode sa argument x nahradí číselnou hodnotou a výraz sa vyhodnotí. Derivát je označený pomlčkou v pravom hornom rohu nad funkciou. Tiež mŕtvica môže byť označením špecifickej funkcie. Na nájdenie derivácie elementárnej funkcie budete potrebovať poznať derivačnú tabuľku alebo ju mať vždy po ruke, čo nemusí byť veľmi pohodlné, a tiež poznať pravidlá diferenciácie, preto odporúčame využiť našu službu, kde sa derivácia vypočíta online, stačí zadať funkciu do príslušného poľa. Argumentom musí byť premenná x, pretože diferenciácia sa vykonáva s ohľadom na ňu. Ak potrebujete vypočítať druhú deriváciu, môžete odpoveď rozlíšiť. Ako sa vypočíta derivát online. Tabuľky derivácií elementárnych funkcií sú už dávno vytvorené a tabuľky derivácií elementárnych funkcií sa dajú ľahko nájsť, takže výpočet derivácie elementárnej (jednoduchej) matematickej funkcie je pomerne jednoduchá záležitosť. Keď je však potrebné nájsť deriváciu zložitej matematickej funkcie, potom to už nie je triviálna úloha a bude si vyžadovať veľa úsilia a času. Nezmyselných a dlhých výpočtov sa môžete zbaviť, ak využijete našu online službu. Vďaka nemu bude derivácia vypočítaná v priebehu niekoľkých sekúnd.

Prvá úroveň

Derivácia funkcie. Komplexný sprievodca (2019)

Predstavte si rovnú cestu vedúcu cez kopcovitú oblasť. To znamená, že ide hore a dole, ale nezatáča doprava ani doľava. Ak je os nasmerovaná horizontálne pozdĺž cesty a vertikálne, potom bude čiara cesty veľmi podobná grafu nejakej súvislej funkcie:

Os je určitá úroveň nulovej výšky, v živote ako to používame hladinu mora.

Po takejto ceste vpred sa pohybujeme aj nahor alebo nadol. Môžeme tiež povedať: keď sa argument zmení (pohyb pozdĺž osi x), zmení sa hodnota funkcie (pohyb pozdĺž osi y). Teraz sa zamyslime nad tým, ako určiť „strmosť“ našej cesty? Aká by mohla byť táto hodnota? Veľmi jednoduché: ako veľmi sa zmení výška pri pohybe dopredu o určitú vzdialenosť. Skutočne, na rôznych úsekoch cesty, keď sa posunieme vpred (pozdĺž úsečky) o jeden kilometer, budeme stúpať alebo klesať o iný počet metrov v porovnaní s hladinou mora (pozdĺž ordináty).

Označujeme postup vpred (čítaj "delta x").

Grécke písmeno (delta) sa bežne používa v matematike ako predpona s významom „zmena“. To je - to je zmena veľkosti, - zmena; čo je potom? Presne tak, zmena veľkosti.

Dôležité: výraz je jedna entita, jedna premenná. Nikdy by ste nemali odtrhávať "delta" od "x" alebo akéhokoľvek iného písmena! To je napríklad .

Takže sme sa posunuli vpred, horizontálne, ďalej. Ak porovnáme čiaru cesty s grafom funkcie, ako potom označíme stúpanie? Samozrejme, . To znamená, že keď sa pohybujeme vpred, stúpame vyššie.

Je ľahké vypočítať hodnotu: ak sme na začiatku boli vo výške a po presune sme boli vo výške, potom. Ak sa ukáže, že koncový bod je nižší ako počiatočný bod, bude záporný - to znamená, že nestúpame, ale klesáme.

Späť na "strmosť": toto je hodnota, ktorá udáva, o koľko (strmé) sa výška zväčší pri pohybe dopredu na jednotku vzdialenosti:

Predpokladajme, že na niektorom úseku cesty pri postupovaní o km stúpa cesta o km. Potom je strmosť v tomto mieste rovnaká. A ak cesta pri postupe o m klesla o km? Potom je sklon rovnaký.

Teraz zvážte vrchol kopca. Ak vezmete začiatok úseku pol kilometra na vrchol a koniec - pol kilometra za ním, môžete vidieť, že výška je takmer rovnaká.

To znamená, že podľa našej logiky sa ukazuje, že sklon je tu takmer rovný nule, čo zjavne nie je pravda. Len pár kilometrov odtiaľ sa môže veľa zmeniť. Pre adekvátnejší a presnejší odhad strmosti je potrebné zvážiť menšie plochy. Ak napríklad zmeriate zmenu výšky pri pohybe o jeden meter, výsledok bude oveľa presnejší. Ale ani táto presnosť nám nemusí stačiť – veď ak je v strede cesty stĺp, môžeme sa cez neho jednoducho prešmyknúť. Akú vzdialenosť by sme teda mali zvoliť? Centimeter? Milimeter? Menej je lepšie!

V reálnom živote je meranie vzdialenosti s presnosťou na milimeter viac než dostatočné. Ale matematici sa vždy snažia o dokonalosť. Preto bol koncept nekonečne malý, to znamená, že hodnota modulo je menšia ako akékoľvek číslo, ktoré vieme pomenovať. Napríklad poviete: jeden bilión! O koľko menej? A toto číslo vydelíte - a bude ešte menej. A tak ďalej. Ak chceme napísať, že hodnota je nekonečne malá, napíšeme takto: (čítame „x inklinuje k nule“). Je veľmi dôležité pochopiť že toto číslo sa nerovná nule! Ale veľmi blízko k tomu. To znamená, že sa dá rozdeliť na.

Pojem opačný k nekonečne malému je nekonečne veľký (). Pravdepodobne ste sa s tým už stretli, keď ste pracovali na nerovnostiach: toto číslo je v module väčšie ako akékoľvek číslo, ktoré si dokážete predstaviť. Ak vám vyjde čo najväčšie číslo, stačí ho vynásobiť dvomi a dostanete ešte viac. A nekonečno je ešte viac ako to, čo sa deje. V skutočnosti sú nekonečne veľké a nekonečne malé navzájom inverzné, teda at, a naopak: at.

Teraz späť k našej ceste. Ideálne vypočítaný sklon je sklon vypočítaný pre nekonečne malý úsek cesty, to znamená:

Podotýkam, že pri nekonečne malom posunutí bude aj zmena výšky nekonečne malá. Ale pripomínam, že nekonečne malý neznamená rovný nule. Ak medzi sebou delíte nekonečne malé čísla, dostanete napríklad úplne obyčajné číslo. To znamená, že jedna malá hodnota môže byť presne dvakrát väčšia ako druhá.

Prečo toto všetko? Cesta, strmosť ... Nejdeme na rely, ale učíme sa matematiku. A v matematike je všetko úplne rovnaké, len sa inak volá.

Pojem derivát

Derivácia funkcie je pomer prírastku funkcie k prírastku argumentu pri infinitezimálnom prírastku argumentu.

Prírastok v matematike sa nazýva zmena. Ako veľmi sa zmenil argument () pri pohybe pozdĺž osi, sa nazýva prírastok argumentov a označuje sa ako veľmi sa zmenila funkcia (výška) pri pohybe vpred pozdĺž osi o vzdialenosť tzv. prírastok funkcie a je označený.

Derivácia funkcie je teda vzťah k tomu, kedy. Deriváciu označujeme rovnakým písmenom ako funkciu, len ťahom vpravo hore: alebo jednoducho. Takže napíšme odvodený vzorec pomocou týchto zápisov:

Rovnako ako v analógii s cestou, aj tu, keď sa funkcia zvyšuje, derivácia je kladná, a keď klesá, je záporná.

Ale rovná sa derivácia nule? Samozrejme. Napríklad, ak ideme po rovnej vodorovnej ceste, strmosť je nulová. V skutočnosti sa výška vôbec nemení. Takže s deriváciou: derivácia konštantnej funkcie (konštanta) sa rovná nule:

keďže prírastok takejto funkcie je nulový pre ľubovoľnú.

Vezmime si príklad z kopca. Ukázalo sa, že je možné usporiadať konce segmentu na opačných stranách vrcholu tak, aby výška na koncoch bola rovnaká, to znamená, že segment bol rovnobežný s osou:

Ale veľké segmenty sú znakom nepresného merania. Zdvihneme náš segment nahor rovnobežne so sebou, potom sa jeho dĺžka zníži.

Nakoniec, keď sme nekonečne blízko vrcholu, dĺžka segmentu bude nekonečne malá. Zároveň však zostal rovnobežný s osou, to znamená, že výškový rozdiel na jej koncoch sa rovná nule (nemá tendenciu, ale je rovný). Takže derivát

Dá sa to chápať takto: keď stojíme na samom vrchole, malý posun doľava alebo doprava zmení našu výšku zanedbateľne.

Existuje aj čisto algebraické vysvetlenie: vľavo od vrchu sa funkcia zvyšuje a vpravo klesá. Ako sme už skôr zistili, keď funkcia rastie, derivácia je kladná, a keď klesá, je záporná. Mení sa ale plynulo, bez skokov (pretože cesta nikde prudko nemení sklon). Preto musia existovať záporné a kladné hodnoty. Bude to tam, kde sa funkcia ani nezväčšuje, ani neznižuje – v bode vrcholu.

To isté platí pre údolie (oblasť, kde funkcia vľavo klesá a vpravo rastie):

Trochu viac o prírastkoch.

Takže zmeníme argument na hodnotu. Z akej hodnoty sa meníme? Čím sa stal (argument) teraz? Môžeme si vybrať ľubovoľný bod a teraz z neho budeme tancovať.

Zvážte bod so súradnicou. Hodnota funkcie v ňom je rovnaká. Potom urobíme rovnaký prírastok: zvýšime súradnicu o. Aký je teraz argument? Veľmi ľahké: . Akú hodnotu má funkcia teraz? Kam ide argument, tam ide funkcia: . A čo zvýšenie funkcie? Nič nové: toto je stále suma, o ktorú sa funkcia zmenila:

Precvičte si nájdenie prírastkov:

1. Nájdite prírastok funkcie v bode s prírastkom argumentu rovným.
2. To isté pre funkciu v bode.

Riešenia:

V rôznych bodoch, s rovnakým prírastkom argumentu, bude prírastok funkcie odlišný. To znamená, že derivácia v každom bode má svoj vlastný (to sme rozoberali úplne na začiatku – strmosť cesty v rôznych bodoch je rôzna). Preto, keď píšeme derivát, musíme uviesť, v ktorom bode:

Funkcia napájania.

Mocninná funkcia sa nazýva funkcia, kde je argument do určitej miery (logický, však?).

A - v akomkoľvek rozsahu: .

Najjednoduchší prípad je, keď je exponent:

Nájdite jeho derivát v bode. Pamätajte na definíciu derivátu:

Takže argument sa mení z na. Aký je prírastok funkcie?

Prírastok je. Ale funkcia v ktoromkoľvek bode sa rovná jej argumentu. Preto:

Derivát je:

Derivát je:

b) Teraz zvážte kvadratickú funkciu (): .

Teraz si to pripomeňme. To znamená, že hodnotu prírastku možno zanedbať, pretože je nekonečne malá, a preto na pozadí iného výrazu nevýznamná:

Takže máme ďalšie pravidlo:

c) Pokračujeme v logickom rade: .

Tento výraz je možné zjednodušiť rôznymi spôsobmi: otvorte prvú zátvorku pomocou vzorca na skrátené násobenie kocky súčtu alebo celý výraz rozložte na faktory pomocou vzorca pre rozdiel kociek. Skúste to urobiť sami niektorým z navrhovaných spôsobov.

Takže som dostal nasledovné:

A pripomeňme si to ešte raz. To znamená, že môžeme zanedbať všetky výrazy obsahujúce:

Dostaneme: .

d) Podobné pravidlá možno získať pre veľké právomoci:

e) Ukazuje sa, že toto pravidlo možno zovšeobecniť pre mocninnú funkciu s ľubovoľným exponentom, dokonca ani nie celým číslom:

(2)

Pravidlo môžete formulovať slovami: „stupeň sa posunie dopredu ako koeficient a potom sa zníži o“.

Toto pravidlo si preukážeme neskôr (takmer na samom konci). Teraz sa pozrime na niekoľko príkladov. Nájdite deriváciu funkcií:

1. (dvoma spôsobmi: vzorcom a pomocou definície derivácie - počítaním prírastku funkcie);

1. . Verte či nie, toto je mocenská funkcia. Ak máte otázky typu „Ako sa máš? A kde je titul? “, Pamätajte na tému„ “!
   Áno, áno, koreň je tiež stupeň, len zlomkový:.
   Takže naša druhá odmocnina je len mocnina s exponentom:
   .
   Hľadáme derivát pomocou nedávno naučeného vzorca:

   Ak to v tomto bode bude opäť nejasné, zopakujte tému "" !!! (asi stupeň so záporným ukazovateľom)

2. . Teraz exponent:

   A teraz cez definíciu (ešte ste zabudli?):
   ;
   .
   Teraz, ako obvykle, zanedbávame výraz obsahujúci:
   .

3. . Kombinácia predchádzajúcich prípadov: .

goniometrické funkcie.

Tu použijeme jeden fakt z vyššej matematiky:

Keď výraz.

Dôkaz sa naučíte v prvom ročníku inštitútu (a aby ste sa tam dostali, musíte dobre zložiť skúšku). Teraz to ukážem graficky:

Vidíme, že keď funkcia neexistuje - bod na grafe je prerazený. Ale čím bližšie k hodnote, tým bližšie je funkcia.

Toto pravidlo môžete navyše skontrolovať pomocou kalkulačky. Áno, áno, nehanbite sa, vezmite si kalkulačku, ešte nie sme na skúške.

Tak skúsme: ;

Nezabudnite prepnúť kalkulačku do režimu Radians!

atď. Vidíme, že čím je menší, tým je hodnota pomeru bližšie.

a) Uvažujme funkciu. Ako obvykle nájdeme jeho prírastok:

Premeňme rozdiel sínusov na produkt. Na tento účel používame vzorec (zapamätajte si tému ""):.

Teraz derivát:

Urobme náhradu: . Potom je pre nekonečne malý aj nekonečne malý: . Výraz pre má tvar:

A teraz si to pamätáme s výrazom. A tiež, čo ak sa dá v súčte (teda at) zanedbať nekonečne malá hodnota.

Takže dostaneme nasledujúce pravidlo: derivácia sínusu sa rovná kosínusu:

Ide o základné („tabuľkové“) deriváty. Tu sú v jednom zozname:

Neskôr k nim pridáme niekoľko ďalších, no tieto sú najdôležitejšie, keďže sa používajú najčastejšie.

Cvičenie:

1. Nájdite deriváciu funkcie v bode;
2. Nájdite deriváciu funkcie.

Riešenia:

1. Najprv nájdeme derivát vo všeobecnom tvare a potom namiesto neho dosadíme jeho hodnotu:
   ;
   .
2. Tu máme niečo podobné ako výkonová funkcia. Skúsme ju priviesť
   normálny pohľad:
   .
   Dobre, teraz môžete použiť vzorec:
   .
   .
3. . Eeeeeee.... Čo to je????

Dobre, máte pravdu, stále nevieme, ako takéto deriváty nájsť. Tu máme kombináciu niekoľkých typov funkcií. Ak chcete s nimi pracovať, musíte sa naučiť niekoľko ďalších pravidiel:

Exponent a prirodzený logaritmus.

V matematike existuje taká funkcia, ktorej derivácia pre ľubovoľnú sa rovná hodnote samotnej funkcie pre to isté. Nazýva sa „exponent“ a je to exponenciálna funkcia

Základom tejto funkcie – konštanta – je nekonečný desatinný zlomok, teda iracionálne číslo (ako napr.). Nazýva sa „Eulerovo číslo“, preto sa označuje písmenom.

Pravidlo teda znie:

Je veľmi ľahké si to zapamätať.

No nepôjdeme ďaleko, hneď zvážime inverznú funkciu. Aká je inverzia exponenciálnej funkcie? Logaritmus:

V našom prípade je základom číslo:

Takýto logaritmus (teda logaritmus so základom) sa nazýva „prirodzený“ a používame preň špeciálny zápis: namiesto toho píšeme.

čo sa rovná? Samozrejme, .

Derivácia prirodzeného logaritmu je tiež veľmi jednoduchá:

Príklady:

1. Nájdite deriváciu funkcie.
2. Aká je derivácia funkcie?

Odpovede: Exponent a prirodzený logaritmus sú funkcie, ktoré sú z hľadiska derivácie jedinečne jednoduché. Exponenciálne a logaritmické funkcie s akoukoľvek inou bázou budú mať inú deriváciu, ktorú budeme analyzovať neskôr, keď si prejdeme pravidlá diferenciácie.

Pravidlá diferenciácie

aké pravidlá? Opäť nový termín?!...

Diferenciácia je proces hľadania derivátu.

Iba a všetko. Aké je iné slovo pre tento proces? Nie proizvodnovanie... Diferenciál matematiky sa nazýva samotný prírastok funkcie at. Tento výraz pochádza z latinského differentia – rozdiel. Tu.

Pri odvodzovaní všetkých týchto pravidiel použijeme dve funkcie, napríklad a. Budeme tiež potrebovať vzorce pre ich prírastky:

Celkovo existuje 5 pravidiel.

Konštanta je vyňatá zo znamienka derivácie.

Ak - nejaké konštantné číslo (konštanta), potom.

Je zrejmé, že toto pravidlo funguje aj pre rozdiel: .

Poďme to dokázať. Nechajte, alebo jednoduchšie.

Príklady.

Nájdite deriváty funkcií:

1. v bode;
2. v bode;
3. v bode;
4. v bode.

Riešenia:

1. (derivácia je vo všetkých bodoch rovnaká, keďže je to lineárna funkcia, pamätáte?);

Derivát produktu

Všetko je tu podobné: predstavujeme novú funkciu a nájdeme jej prírastok:

odvodený:

Príklady:

1. Nájdite deriváty funkcií a;
2. Nájdite deriváciu funkcie v bode.

Riešenia:

Derivácia exponenciálnej funkcie

Teraz sú vaše znalosti dostatočné na to, aby ste sa naučili nájsť deriváciu akejkoľvek exponenciálnej funkcie, a nielen exponentu (zabudli ste už, čo to je?).

Tak kde je nejaké číslo.

Deriváciu funkcie už poznáme, takže skúsme preniesť našu funkciu na nový základ:

Na to používame jednoduché pravidlo: . potom:

No podarilo sa. Teraz skúste nájsť deriváciu a nezabudnite, že táto funkcia je zložitá.

Stalo?

Tu sa presvedčte:

Ukázalo sa, že vzorec je veľmi podobný derivátu exponentu: ako to bolo, zostalo, objavil sa iba faktor, ktorý je len číslom, ale nie premennou.

Príklady:
Nájdite deriváty funkcií:

Odpovede:

Toto je len číslo, ktoré sa nedá vypočítať bez kalkulačky, teda nedá sa napísať v jednoduchšej forme. Preto je v odpovedi ponechaná v tejto podobe.

Derivácia logaritmickej funkcie

Tu je to podobné: deriváciu prirodzeného logaritmu už poznáte:

Preto nájsť ľubovoľný z logaritmu s iným základom, napríklad:

Tento logaritmus musíme preniesť na základňu. Ako zmeníte základ logaritmu? Dúfam, že si pamätáte tento vzorec:

Len teraz namiesto napíšeme:

Ukázalo sa, že menovateľ je len konštanta (stále číslo, bez premennej). Derivát je veľmi jednoduchý:

Deriváty exponenciálnych a logaritmických funkcií sa v skúške takmer nikdy nenachádzajú, ale nebude zbytočné ich poznať.

Derivácia komplexnej funkcie.

Čo je to „komplexná funkcia“? Nie, toto nie je logaritmus ani arkus tangens. Tieto funkcie môžu byť ťažko pochopiteľné (hoci ak sa vám logaritmus zdá ťažký, prečítajte si tému „Logaritmy“ a všetko bude fungovať), ale z hľadiska matematiky slovo „zložitý“ neznamená „ťažký“.

Predstavte si malý dopravník: dvaja ľudia sedia a robia nejaké akcie s nejakými predmetmi. Napríklad prvý zabalí čokoládovú tyčinku do obalu a druhý ju previaže stuhou. Ukazuje sa taký zložený objekt: čokoládová tyčinka zabalená a zviazaná stuhou. Ak chcete jesť čokoládovú tyčinku, musíte urobiť opačné kroky v opačnom poradí.

Vytvorme si podobný matematický pipeline: najprv nájdeme kosínus čísla a potom výsledné číslo odmocníme. Takže nám dajú číslo (čokoládu), ja nájdem jeho kosínus (obal) a potom zarovnáte, čo som dostal (previažte to stuhou). Čo sa stalo? Funkcia. Toto je príklad komplexnej funkcie: keď, aby sme našli jej hodnotu, vykonáme prvú akciu priamo s premennou a potom ďalšiu druhú akciu s tým, čo sa stalo ako výsledok prvej.

Môžeme urobiť tie isté akcie v opačnom poradí: najprv odmocni a potom hľadám kosínus výsledného čísla:. Je ľahké uhádnuť, že výsledok bude takmer vždy iný. Dôležitá vlastnosť komplexných funkcií: keď sa zmení poradie akcií, funkcia sa zmení.

Inými slovami, Komplexná funkcia je funkcia, ktorej argumentom je iná funkcia: .

Pre prvý príklad, .

Druhý príklad: (rovnaký). .

Posledná akcia, ktorú vykonáme, bude tzv „vonkajšia“ funkcia, a úkon vykonaný ako prvý – resp „vnútorná“ funkcia(sú to neformálne názvy, používam ich len na vysvetlenie látky jednoduchým jazykom).

Skúste sami určiť, ktorá funkcia je vonkajšia a ktorá vnútorná:

Odpovede: Oddelenie vnútorných a vonkajších funkcií je veľmi podobné zmene premenných: napríklad vo funkcii

1. Aké kroky podnikneme ako prvé? Najprv vypočítame sínus a až potom ho zdvihneme na kocku. Ide teda o vnútornú funkciu, nie vonkajšiu.
   A pôvodnou funkciou je ich zloženie: .
2. Vnútorné: ; vonkajší: .
   Vyšetrenie: .
3. Vnútorné: ; vonkajší: .
   Vyšetrenie: .
4. Vnútorné: ; vonkajší: .
   Vyšetrenie: .
5. Vnútorné: ; vonkajší: .
   Vyšetrenie: .

zmeníme premenné a dostaneme funkciu.

Teraz vytiahneme našu čokoládu - hľadajte derivát. Postup je vždy opačný: najprv hľadáme deriváciu vonkajšej funkcie, potom výsledok vynásobíme deriváciou vnútornej funkcie. Pre pôvodný príklad to vyzerá takto:

Ďalší príklad:

Takže konečne sformulujme oficiálne pravidlo:

Algoritmus na nájdenie derivácie komplexnej funkcie:

Všetko sa zdá byť jednoduché, však?

Pozrime sa na príklady:

Riešenia:

1) Interné: ;

Vonkajšie: ;

2) Interné: ;

(len sa teraz nepokúšajte znížiť! Spod kosínusu sa nič nevyberá, pamätáte?)

3) Interné: ;

Vonkajšie: ;

Okamžite je jasné, že tu existuje trojúrovňová komplexná funkcia: koniec koncov, toto je už sama o sebe komplexná funkcia a stále z nej extrahujeme koreň, to znamená, že vykonávame tretiu akciu (vložiť čokoládu do obalu a so stuhou v kufríku). Nie je však dôvod na strach: každopádne túto funkciu „rozbalíme“ v rovnakom poradí ako obvykle: od konca.

To znamená, že najprv diferencujeme koreň, potom kosínus a až potom výraz v zátvorkách. A potom to všetko vynásobíme.

V takýchto prípadoch je vhodné akcie očíslovať. To znamená, predstavme si, čo vieme. V akom poradí vykonáme akcie na výpočet hodnoty tohto výrazu? Pozrime sa na príklad:

Čím neskôr sa akcia vykoná, tým „externejšia“ bude príslušná funkcia. Postupnosť akcií - ako predtým:

Tu je hniezdenie vo všeobecnosti 4-úrovňové. Poďme určiť postup.

1. Radikálne vyjadrenie. .

2. Koreň. .

3. Sínus. .

4. Štvorec. .

5. Daj to všetko dokopy:

DERIVÁT. STRUČNE O HLAVNOM

Derivácia funkcie- pomer prírastku funkcie k prírastku argumentu s nekonečne malým prírastkom argumentu:

Základné deriváty:

Pravidlá diferenciácie:

Konštanta je vyňatá zo znamienka derivácie:

Derivát súčtu:

odvodený produkt:

Derivát kvocientu:

Derivácia komplexnej funkcie:

Algoritmus na nájdenie derivácie komplexnej funkcie:

1. Definujeme „internú“ funkciu, nájdeme jej deriváciu.
2. Definujeme „vonkajšiu“ funkciu, nájdeme jej deriváciu.
3. Výsledky prvého a druhého bodu vynásobíme.

V tejto lekcii sa naučíme, ako nájsť derivácia komplexnej funkcie. Hodina je logickým pokračovaním lekcie Ako nájsť derivát?, na ktorej sme rozoberali najjednoduchšie derivácie a zoznámili sa aj s pravidlami diferenciácie a niektorými technickými metódami hľadania derivácií. Ak teda nie ste veľmi dobrí s derivátmi funkcií alebo niektoré body tohto článku nie sú úplne jasné, prečítajte si najprv vyššie uvedenú lekciu. Prosím, nalaďte sa na vážnu náladu - materiál nie je jednoduchý, ale aj tak sa ho pokúsim podať jednoducho a zrozumiteľne.

V praxi sa musíte s deriváciou komplexnej funkcie zaoberať veľmi často, dokonca by som povedal, že takmer vždy, keď dostanete úlohy na nájdenie derivácií.

V tabuľke sa pozrieme na pravidlo (č. 5) na diferenciáciu komplexnej funkcie:

Rozumieme. Najprv sa pozrime na zápis. Tu máme dve funkcie - a , pričom funkcia je, obrazne povedané, vnorená do funkcie . Funkcia tohto druhu (keď je jedna funkcia vnorená do inej) sa nazýva komplexná funkcia.

Zavolám funkciu vonkajšia funkcia a funkciu – vnútorná (alebo vnorená) funkcia.

! Tieto definície nie sú teoretické a nemali by sa objaviť v konečnom návrhu zadaní. Neformálne výrazy „vonkajšia funkcia“, „vnútorná“ funkcia používam len preto, aby som vám uľahčil pochopenie látky.

Ak chcete objasniť situáciu, zvážte:

Príklad 1

Nájdite deriváciu funkcie

Pod sínusom nemáme len písmeno "x", ale celý výraz, takže hľadanie derivátu okamžite z tabuľky nebude fungovať. Všimli sme si tiež, že tu nie je možné použiť prvé štyri pravidlá, zdá sa, že existuje rozdiel, ale faktom je, že nie je možné „roztrhnúť“ sínus:

V tomto príklade, už z mojich vysvetlení, je intuitívne jasné, že funkcia je komplexná funkcia a polynóm je vnútorná funkcia (vloženie) a vonkajšia funkcia.

Prvý krok, ktorý je potrebné vykonať pri hľadaní derivácie komplexnej funkcie je to pochopiť, ktorá funkcia je vnútorná a ktorá vonkajšia.

V prípade jednoduchých príkladov sa zdá byť jasné, že pod sínus je vnorený polynóm. Ale čo ak to nie je zrejmé? Ako presne určiť, ktorá funkcia je vonkajšia a ktorá vnútorná? Na tento účel navrhujem použiť nasledujúcu techniku, ktorú možno vykonať mentálne alebo na návrh.

Predstavme si, že potrebujeme vypočítať hodnotu výrazu pomocou kalkulačky (namiesto jednej môže byť ľubovoľné číslo).

Čo vypočítame ako prvé? Po prvé budete musieť vykonať nasledujúcu akciu: , takže polynóm bude internou funkciou:

Po druhé budete musieť nájsť, takže sínus - bude externá funkcia:

Po nás ROZUMIEŤ Pri vnútorných a vonkajších funkciách je čas použiť pravidlo diferenciácie zložených funkcií.

Začíname sa rozhodovať. Z lekcie Ako nájsť derivát? pamätáme si, že návrh riešenia akejkoľvek derivácie vždy začína takto - výraz uzavrieme do zátvoriek a vpravo hore umiestnime ťah:

najprv nájdeme deriváciu vonkajšej funkcie (sínus), pozrieme sa na tabuľku derivácií elementárnych funkcií a všimneme si, že . Všetky tabuľkové vzorce sú použiteľné, aj keď je "x" nahradené zložitým výrazom, v tomto prípade:

Všimnite si, že vnútorná funkcia sa nezmenil, nedotýkame sa ho.

No to je celkom zrejmé

Konečný výsledok použitia vzorca vyzerá takto:

Konštantný faktor je zvyčajne umiestnený na začiatku výrazu:

Ak dôjde k nejakému nedorozumeniu, zapíšte si rozhodnutie na papier a znova si prečítajte vysvetlenia.

Príklad 2

Nájdite deriváciu funkcie

Príklad 3

Nájdite deriváciu funkcie

Ako vždy píšeme:

Zisťujeme, kde máme vonkajšiu funkciu a kde vnútornú. Aby sme to dosiahli, snažíme sa (mentálne alebo na koncepte) vypočítať hodnotu výrazu pre . Čo je potrebné urobiť ako prvé? Najprv musíte vypočítať, čomu sa základ rovná:, čo znamená, že polynóm je vnútorná funkcia:

A až potom sa vykoná umocnenie, preto je výkonová funkcia vonkajšou funkciou:

Podľa vzorca musíte najskôr nájsť deriváciu vonkajšej funkcie, v tomto prípade stupeň. Požadovaný vzorec hľadáme v tabuľke:. Znova opakujeme: akýkoľvek tabuľkový vzorec platí nielen pre "x", ale aj pre komplexný výraz. Výsledkom aplikácie pravidla diferenciácie komplexnej funkcie je teda:

Opäť zdôrazňujem, že keď vezmeme deriváciu vonkajšej funkcie, vnútorná funkcia sa nemení:

Teraz zostáva nájsť veľmi jednoduchú deriváciu vnútornej funkcie a výsledok trochu „učesať“:

Príklad 4

Nájdite deriváciu funkcie

Toto je príklad na samoriešenie (odpoveď na konci hodiny).

Pre upevnenie pochopenia derivácie komplexnej funkcie uvediem príklad bez komentárov, skúste si na to prísť sami, rozumujte, kde je vonkajšia a kde vnútorná funkcia, prečo sa úlohy riešia tak?

Príklad 5

a) Nájdite deriváciu funkcie

b) Nájdite deriváciu funkcie

Príklad 6

Nájdite deriváciu funkcie

Tu máme koreň a na rozlíšenie koreňa musí byť reprezentovaný ako stupeň. Najprv teda uvedieme funkciu do správnej formy na diferenciáciu:

Pri analýze funkcie dospejeme k záveru, že súčet troch členov je vnútorná funkcia a umocňovanie je vonkajšia funkcia. Aplikujeme pravidlo diferenciácie komplexnej funkcie:

Stupeň je opäť reprezentovaný ako radikál (odmocnina) a pre deriváciu vnútornej funkcie použijeme jednoduché pravidlo na derivovanie súčtu:

Pripravený. Môžete tiež uviesť výraz do spoločného menovateľa v zátvorkách a napísať všetko ako jeden zlomok. Je to, samozrejme, krásne, ale keď sa získajú ťažkopádne dlhé deriváty, je lepšie to nerobiť (je ľahké sa zmiasť, urobiť zbytočnú chybu a pre učiteľa bude nepohodlné to kontrolovať).

Príklad 7

Nájdite deriváciu funkcie

Toto je príklad na samoriešenie (odpoveď na konci hodiny).

Je zaujímavé poznamenať, že niekedy namiesto pravidla na diferenciáciu komplexnej funkcie možno použiť pravidlo na derivovanie kvocientu , ale takéto riešenie by vyzeralo ako zvrátenosť vtipná. Tu je typický príklad:

Príklad 8

Nájdite deriváciu funkcie

Tu môžete použiť pravidlo diferenciácie kvocientu , ale je oveľa výnosnejšie nájsť deriváciu pomocou pravidla diferenciácie komplexnej funkcie:

Pripravíme funkciu na diferenciáciu - vyberieme znamienko mínus derivácie a zvýšime kosínus do čitateľa:

Kosínus je vnútorná funkcia, umocňovanie je vonkajšia funkcia.
Využime naše pravidlo:

Nájdeme deriváciu vnútornej funkcie, resetujeme kosínus späť nadol:

Pripravený. V uvažovanom príklade je dôležité nenechať sa zmiasť v znameniach. Mimochodom, skúste to vyriešiť pravidlom , odpovede sa musia zhodovať.

Príklad 9

Nájdite deriváciu funkcie

Toto je príklad na samoriešenie (odpoveď na konci hodiny).

Doteraz sme zvažovali prípady, keď sme mali len jedno hniezdenie v komplexnej funkcii. V praktických úlohách sa často dajú nájsť odvodeniny, kde sa ako hniezdiace bábiky jedna do druhej vnorí naraz 3 alebo aj 4-5 funkcií.

Príklad 10

Nájdite deriváciu funkcie

Rozumieme prílohám tejto funkcie. Výraz sa snažíme vyhodnotiť pomocou experimentálnej hodnoty . Ako by sme rátali s kalkulačkou?

Najprv musíte nájsť, čo znamená, že arcsínus je najhlbšie hniezdenie:

Tento arcsínus jednoty by sa potom mal odmocniť:

A nakoniec zdvihneme sedem k moci:

To znamená, že v tomto príklade máme tri rôzne funkcie a dve vnorenia, pričom najvnútornejšia funkcia je arcsínus a najvzdialenejšia funkcia je exponenciálna funkcia.

Začíname sa rozhodovať

Podľa pravidla musíte najprv vziať deriváciu externej funkcie. Pozrieme sa na tabuľku derivácií a nájdeme deriváciu exponenciálnej funkcie: Jediný rozdiel je v tom, že namiesto „x“ máme komplexný výraz, ktorý nepopiera platnosť tohto vzorca. Takže výsledok aplikácie pravidla diferenciácie komplexnej funkcie je nasledujúci.

Definícia. Nech je funkcia \(y = f(x) \) definovaná v nejakom intervale obsahujúcom bod \(x_0 \) vo vnútri. Zväčšíme \(\Delta x \) na argument, aby sme neopustili tento interval. Nájdite zodpovedajúci prírastok funkcie \(\Delta y \) (pri prechode z bodu \(x_0 \) do bodu \(x_0 + \Delta x \)) a zostavte vzťah \(\frac(\Delta y )(\Delta x) \). Ak existuje limita tohto vzťahu v \(\Delta x \rightarrow 0 \), potom sa zadaná limita nazýva derivačná funkcia\(y=f(x) \) v bode \(x_0 \) a označte \(f"(x_0) \).

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

Symbol y sa často používa na označenie derivácie. Všimnite si, že y" = f(x) je nová funkcia, ale prirodzene spojená s funkciou y = f(x), definovanou vo všetkých bodoch x, v ktorých existuje vyššie uvedená limita. Táto funkcia sa volá takto: derivácia funkcie y \u003d f (x).

Geometrický význam derivácie pozostáva z nasledujúceho. Ak je možné nakresliť dotyčnicu, ktorá nie je rovnobežná s osou y, ku grafu funkcie y \u003d f (x) v bode s os x \u003d a, potom f (a) vyjadruje sklon dotyčnice:
\(k = f"(a)\)

Keďže \(k = tg(a) \), platí rovnosť \(f"(a) = tg(a) \).

A teraz interpretujeme definíciu derivátu z hľadiska približných rovnosti. Nech funkcia \(y = f(x) \) má deriváciu v určitom bode \(x \):
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
To znamená, že v blízkosti bodu x je približná rovnosť \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \približne f"(x)\), t.j. \(\Delta y \približne f"(x) \cdot \Deltax\). Zmysluplný význam získanej približnej rovnosti je nasledovný: prírastok funkcie je „takmer úmerný“ prírastku argumentu a koeficient úmernosti je hodnota derivácie v danom bode x. Napríklad pre funkciu \(y = x^2 \) platí približná rovnosť \(\Delta y \cca 2x \cdot \Delta x \). Ak dôkladne analyzujeme definíciu derivátu, zistíme, že obsahuje algoritmus na jeho nájdenie.

Poďme to sformulovať.

Ako nájsť deriváciu funkcie y \u003d f (x) ?

1. Opravte hodnotu \(x \), nájdite \(f(x) \)
2. Zvýšte \(x \) argument \(\Delta x \), presuňte sa do nového bodu \(x+ \Delta x \), nájdite \(f(x+ \Delta x) \)
3. Nájdite prírastok funkcie: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. Zostavte vzťah \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. Vypočítajte $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Táto limita je deriváciou funkcie v x.

Ak funkcia y = f(x) má deriváciu v bode x, potom sa nazýva diferencovateľná v bode x. Zavolá sa postup na nájdenie derivácie funkcie y \u003d f (x). diferenciácia funkcie y = f(x).

Poďme diskutovať o nasledujúcej otázke: ako súvisí spojitosť a diferencovateľnosť funkcie v bode?

Nech je funkcia y = f(x) diferencovateľná v bode x. Potom je možné nakresliť dotyčnicu ku grafu funkcie v bode M (x; f (x)) a, pripomíname, sklon dotyčnice sa rovná f "(x). Takýto graf sa nemôže "zlomiť" v bod M, t.j. funkcia musí byť spojitá v x.

Bolo to uvažovanie „na prstoch“. Uveďme prísnejší argument. Ak je funkcia y = f(x) diferencovateľná v bode x, potom platí približná rovnosť \(\Delta y \cca f"(x) \cdot \Delta x \) nula, potom \(\Delta y \ ) bude mať tiež tendenciu k nule, a to je podmienka spojitosti funkcie v bode.

takže, ak je funkcia diferencovateľná v bode x, potom je v tomto bode aj spojitá.

Opak nie je pravdou. Napríklad: funkcia y = |x| je všade spojitá, najmä v bode x = 0, ale dotyčnica ku grafu funkcie v „spoločnom bode“ (0; 0) neexistuje. Ak v určitom bode nie je možné nakresliť tangens ku grafu funkcie, potom v tomto bode neexistuje žiadna derivácia.

Ešte jeden príklad. Funkcia \(y=\sqrt(x) \) je spojitá na celej číselnej osi, vrátane bodu x = 0. A dotyčnica ku grafu funkcie existuje v akomkoľvek bode, vrátane bodu x = 0 Ale v tomto bode sa dotyčnica zhoduje s osou y, to znamená, že je kolmá na os x, jej rovnica má tvar x \u003d 0. Pre takúto priamku neexistuje žiadny sklon, čo znamená, že \ ( f "(0) \) tiež neexistuje

Zoznámili sme sa teda s novou vlastnosťou funkcie – diferencovateľnosťou. Ako môžete zistiť, či je funkcia diferencovateľná od grafu funkcie?

Odpoveď je vlastne uvedená vyššie. Ak sa v určitom bode dá nakresliť dotyčnica ku grafu funkcie, ktorá nie je kolmá na os x, potom je funkcia v tomto bode diferencovateľná. Ak v určitom bode dotyčnica ku grafu funkcie neexistuje alebo je kolmá na os x, potom v tomto bode funkcia nie je diferencovateľná.

Pravidlá diferenciácie

Operácia nájdenia derivátu sa nazýva diferenciácia. Pri vykonávaní tejto operácie musíte často pracovať s kvocientmi, súčtami, súčinmi funkcií, ako aj s „funkciami funkcií“, teda komplexnými funkciami. Na základe definície derivátu vieme odvodiť pravidlá diferenciácie, ktoré túto prácu uľahčujú. Ak je C konštantné číslo a f=f(x), g=g(x) sú niektoré diferencovateľné funkcie, potom platí nasledovné pravidlá diferenciácie:

$$ C"=0 $$ $$ x"=1 $$ $$ (f+g)"=f"+g" $$ $$ (fg)"=f"g + fg" $$ $$ ( Cf)"=Cf" $$ $$ \left(\frac(f)(g) \right) " = \frac(f"g-fg")(g^2) $$ $$ \left(\frac (C)(g) \right) " = -\frac(Cg")(g^2) $$ Derivácia zloženej funkcie:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$

Tabuľka derivácií niektorých funkcií

$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $