Problémy s aritmetickým postupom existujú už od staroveku. Objavili sa a požadovali riešenie, pretože mali praktickú potrebu.

Takže v jednom z papyrusov starovekého Egypta, ktorý má matematický obsah - Rhindov papyrus (19. storočie pred Kristom) - obsahuje nasledujúcu úlohu: rozdeľte desať mier chleba na desať ľudí za predpokladu, že rozdiel medzi každým z nich je jeden. ôsme opatrenie.

A v matematických dielach starých Grékov existujú elegantné vety súvisiace s aritmetickým postupom. Hypsikles z Alexandrie (2. storočie, ktorý zostavil mnoho zaujímavých problémov a pridal štrnástu knihu k Euklidovým „Prvkom“, sformuloval myšlienku: „V aritmetickom postupe s párnym počtom členov, súčet členov 2. pol. je väčší ako súčet členov 1. o štvorec 1/2 členov.

Označuje sa postupnosť an. Čísla sekvencie sa nazývajú jej členovia a zvyčajne sa označujú písmenami s indexmi, ktoré označujú poradové číslo tohto člena (a1, a2, a3 ... čítaj: „a 1st“, „a 2nd“, „a 3rd“ a tak ďalej).

Postupnosť môže byť nekonečná alebo konečná.

Čo je to aritmetická progresia? Rozumie sa ako získané pripočítaním predchádzajúceho člena (n) s rovnakým číslom d, čo je rozdiel progresie.

Ak d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, potom sa takáto progresia považuje za rastúcu.

Aritmetická progresia sa považuje za konečnú, ak sa berie do úvahy len niekoľko jej prvých členov. Pri veľmi veľkom počte členov je to už nekonečný postup.

Akákoľvek aritmetická progresia je daná nasledujúcim vzorcom:

an =kn+b, pričom b a k sú nejaké čísla.

Opačné tvrdenie je absolútne pravdivé: ak je postupnosť daná podobným vzorcom, potom ide presne o aritmetickú postupnosť, ktorá má vlastnosti:

1. Každý člen progresie je aritmetickým priemerom predchádzajúceho člena a nasledujúceho člena.
2. Opak: ak od 2. je každý člen aritmetickým priemerom predchádzajúceho a nasledujúceho, t.j. ak je podmienka splnená, potom je daná postupnosť aritmetickou progresiou. Táto rovnosť je zároveň znakom progresie, preto sa zvykne nazývať charakteristická vlastnosť progresie.
   Rovnakým spôsobom platí veta, ktorá odráža túto vlastnosť: postupnosť je aritmetickou progresiou iba vtedy, ak táto rovnosť platí pre ktorýkoľvek z členov postupnosti, počnúc od 2.

Charakteristická vlastnosť pre ľubovoľné štyri čísla aritmetickej progresie môže byť vyjadrená vzorcom an + am = ak + al, ak n + m = k + l (m, n, k sú čísla progresie).

V aritmetickej postupnosti je možné nájsť akýkoľvek potrebný (N-tý) člen použitím nasledujúceho vzorca:

Napríklad: prvý člen (a1) v aritmetickej postupnosti je daný a rovná sa trom a rozdiel (d) sa rovná štyrom. Musíte nájsť štyridsiaty piaty termín tohto postupu. a45 = 1+4 (45-1) = 177

Vzorec an = ak + d(n - k) umožňuje určiť n-tý člen aritmetickej postupnosti cez ktorýkoľvek z jej k-tých členov za predpokladu, že je známy.

Súčet členov aritmetickej progresie (za predpokladu 1. n členov konečnej progresie) sa vypočíta takto:

Sn = (al+an) n/2.

Ak je známy aj prvý člen, na výpočet je vhodný iný vzorec:

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.

Súčet aritmetickej progresie, ktorá obsahuje n členov, sa vypočíta takto:

Výber vzorcov pre výpočty závisí od podmienok úloh a počiatočných údajov.

Prirodzený rad ľubovoľných čísel ako 1,2,3,...,n,... je najjednoduchším príkladom aritmetickej progresie.

Okrem aritmetického postupu existuje aj geometrický postup, ktorý má svoje vlastné vlastnosti a charakteristiky.

Súčet aritmetického postupu.

Súčet aritmetickej progresie je jednoduchá vec. Aj vo význame, aj vo vzorci. Ale na túto tému sú všelijaké úlohy. Od základných až po celkom solídne.

Najprv sa pozrime na význam a vzorec súčtu. A potom sa rozhodneme. Pre vlastné potešenie.) Význam sumy je taký jednoduchý ako zníženie. Ak chcete nájsť súčet aritmetického postupu, stačí opatrne pridať všetky jeho členy. Ak je týchto výrazov málo, môžete pridať bez akýchkoľvek vzorcov. Ale ak je veľa, alebo veľa ... sčítanie je otravné.) V tomto prípade vzorec šetrí.

Vzorec súčtu je jednoduchý:

Poďme zistiť, aké písmená sú zahrnuté vo vzorci. Tým sa veľa vyjasní.

S n je súčet aritmetickej progresie. Výsledok sčítania všetkyčlenov, s najprv na posledný. To je dôležité. Zrátajte presne všetkyčlenov v rade, bez medzier a skokov. A presne, počnúc od najprv. V problémoch, ako je nájdenie súčtu tretieho a ôsmeho členu alebo súčtu členov päť až dvadsiaty, bude priame použitie vzorca sklamaním.)

1 - prvýčlen progresu. Všetko je tu jasné, je to jednoduché najprvčíslo riadku.

a n- poslednýčlen progresu. Posledné číslo riadku. Nie veľmi známy názov, ale pri aplikácii na množstvo je veľmi vhodný. Potom uvidíte sami.

n je číslo posledného člena. Je dôležité pochopiť, že vo vzorci toto číslo sa zhoduje s počtom pridaných výrazov.

Definujme pojem poslednýčlenom a n. Doplňujúca otázka: aký člen bude posledný, ak je daný nekonečné aritmetický postup?

Pre spoľahlivú odpoveď musíte pochopiť základný význam aritmetického postupu a ... pozorne si prečítajte zadanie!)

V úlohe nájsť súčet aritmetickej progresie sa vždy objaví posledný člen (priamo alebo nepriamo), ktorý by mal byť obmedzený. V opačnom prípade konečná, konkrétna suma proste neexistuje. Pri riešení nezáleží na tom, aký druh progresie je daný: konečný alebo nekonečný. Nezáleží na tom, ako je to dané: radom čísel, alebo vzorcom n-tého člena.

Najdôležitejšie je pochopiť, že vzorec funguje od prvého členu postupnosti až po člen s číslom n. V skutočnosti celý názov vzorca vyzerá takto: súčet prvých n členov aritmetickej progresie. Počet týchto úplne prvých členov, t.j. n, je určená výlučne úlohou. V úlohe sú všetky tieto cenné informácie často zašifrované, áno ... Ale nič, v príkladoch nižšie tieto tajomstvá odhalíme.)

Príklady úloh pre súčet aritmetického postupu.

V prvom rade užitočné informácie:

Hlavnou ťažkosťou úloh pre súčet aritmetickej progresie je správne určenie prvkov vzorca.

Autori zadaní zašifrujú práve tieto prvky s bezhraničnou fantáziou.) Tu ide hlavne o to nebáť sa. Aby sme pochopili podstatu prvkov, stačí ich len dešifrovať. Pozrime sa na niekoľko príkladov podrobne. Začnime úlohou založenou na skutočnom GIA.

1. Aritmetická postupnosť je daná podmienkou: a n = 2n-3,5. Nájdite súčet prvých 10 výrazov.

Dobrá práca. Jednoduché.) Na určenie množstva podľa vzorca, čo potrebujeme vedieť? Prvý člen 1, posledný termín a n, áno číslo posledného termínu n.

Kde získať posledné členské číslo n? Áno, na tom istom mieste, v stave! Hovorí sa nájsť sumu prvých 10 členov. No aké to bude číslo posledný, desiaty člen?) Neuveríte, jeho číslo je desiate!) Preto namiesto a n dosadíme do vzorca 10, ale namiesto toho n- desať. Opäť platí, že číslo posledného člena je rovnaké ako počet členov.

Zostáva určiť 1 a 10. Toto sa ľahko vypočíta podľa vzorca n-tého člena, ktorý je uvedený v probléme. Neviete ako na to? Navštívte predchádzajúcu lekciu, bez toho - nič.

1= 21 - 3,5 = -1,5

10\u003d 2 10 - 3,5 \u003d 16,5

S n = S 10.

Zistili sme význam všetkých prvkov vzorca pre súčet aritmetickej progresie. Zostáva ich nahradiť a počítať:

To je všetko. odpoveď: 75.

Ďalšia úloha založená na GIA. Trochu komplikovanejšie:

2. Daná aritmetická progresia (a n), ktorej rozdiel je 3,7; a 1 \u003d 2.3. Nájdite súčet prvých 15 výrazov.

Okamžite napíšeme vzorec súčtu:

Tento vzorec nám umožňuje nájsť hodnotu ľubovoľného člena podľa jeho čísla. Hľadáme jednoduchú náhradu:

a 15 \u003d 2,3 + (15-1) 3,7 \u003d 54,1

Zostáva nahradiť všetky prvky vo vzorci súčtom aritmetickej progresie a vypočítať odpoveď:

Odpoveď: 423.

Mimochodom, ak vo vzorci súčtu namiesto a n stačí dosadiť vzorec n-tého člena, dostaneme:

Dáme podobné, dostaneme nový vzorec pre súčet členov aritmetickej progresie:

Ako vidíte, n-tý termín sa tu nevyžaduje. a n. V niektorých úlohách tento vzorec veľmi pomáha, áno ... Tento vzorec si môžete zapamätať. A môžete ho jednoducho stiahnuť v správnom čase, ako tu. Koniec koncov, vzorec pre súčet a vzorec pre n-tý člen si treba zapamätať v každom smere.)

Teraz úloha vo forme krátkeho šifrovania):

3. Nájdite súčet všetkých kladných dvojciferných čísel, ktoré sú násobkami troch.

Ako! Žiadny prvý člen, žiadny posledný, vôbec žiadny postup... Ako žiť!?

Budete musieť premýšľať hlavou a vytiahnuť z podmienky všetky prvky súčtu aritmetického postupu. Čo sú to dvojciferné čísla - vieme. Skladajú sa z dvoch čísel.) Aké dvojciferné číslo bude najprv? 10, pravdepodobne.) posledná vec dvojciferné číslo? 99, samozrejme! Trojciferné ho budú nasledovať...

Násobky troch... Hm... To sú čísla, ktoré sú rovnomerne deliteľné tromi, tu! Desať nie je deliteľné tromi, 11 nie je deliteľné... 12... je deliteľné! Niečo sa teda objavuje. Už môžete napísať sériu podľa stavu problému:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Bude táto séria aritmetickým postupom? Samozrejme! Každý termín sa od predchádzajúceho líši striktne tromi. Ak sa k pojmu pridá 2, alebo 4, povedzme výsledok, t.j. nové číslo sa už nebude deliť 3. Okamžite môžete určiť rozdiel aritmetického postupu na haldu: d = 3. Užitočné!)

Takže si môžeme bezpečne zapísať niektoré parametre postupu:

Aké bude číslo n posledný člen? Každý, kto si myslí, že 99 sa fatálne mýli... Čísla - vždy idú za sebou a naši členovia preskakujú prvú trojku. Nezhodujú sa.

Tu sú dve riešenia. Jedna cesta je pre super pracovitých. Môžete si vymaľovať postupnosť, celý rad čísel a počet členov spočítať prstom.) Druhý spôsob je pre premýšľavých. Musíte si zapamätať vzorec pre n-tý člen. Ak vzorec použijeme na náš problém, dostaneme, že 99 je tridsiaty člen progresie. Tie. n = 30.

Pozrime sa na vzorec pre súčet aritmetickej progresie:

Pozeráme a radujeme sa.) Vytiahli sme všetko potrebné na výpočet sumy zo stavu problému:

1= 12.

30= 99.

S n = S 30.

Čo zostáva, je elementárna aritmetika. Dosaďte čísla vo vzorci a vypočítajte:

Odpoveď: 1665

Ďalší typ populárnych hádaniek:

4. Uvádza sa aritmetický postup:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Nájdite súčet členov od dvadsiateho do tridsiateho štvrtého.

Pozrieme sa na súčtový vzorec a ... sme naštvaní.) Vzorec, dovoľte mi pripomenúť, vypočíta súčet od prvéhočlenom. A v úlohe musíte vypočítať súčet od dvadsiateho... Vzorec nebude fungovať.

Môžete samozrejme namaľovať celý postup v rade a dať členov od 20 do 34. Ale ... nejako to dopadne hlúpo a dlho, nie?)

Existuje elegantnejšie riešenie. Rozdeľme náš seriál na dve časti. Prvá časť bude od prvého funkčného obdobia do devätnásteho. Druhá časť - dvadsať až tridsaťštyri. Je jasné, že ak spočítame súčet členov prvej časti S 1-19, pripočítajme to k súčtu členov druhej časti S 20-34, dostaneme súčet postupu od prvého termínu do tridsiateho štvrtého S 1-34. Páči sa ti to:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

To ukazuje, že nájsť súčet S 20-34 možno vykonať jednoduchým odčítaním

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

Zohľadňujú sa obe sumy na pravej strane od prvéhočlen, t.j. štandardný sumárny vzorec je pre nich celkom použiteľný. Začíname?

Z podmienky úlohy extrahujeme parametre postupu:

d = 1,5.

1= -21,5.

Na výpočet súčtu prvých 19 a prvých 34 termínov budeme potrebovať 19. a 34. termín. Počítame ich podľa vzorca n-tého člena, ako v úlohe 2:

19\u003d -21,5 + (19-1) 1,5 \u003d 5,5

34\u003d -21,5 + (34-1) 1,5 \u003d 28

Nezostalo nič. Odpočítajte súčet 19 termínov od súčtu 34 termínov:

S20-34 = S1-34 - S1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5

Odpoveď: 262,5

Jedna dôležitá poznámka! Pri riešení tohto problému existuje veľmi užitočná funkcia. Namiesto priamej kalkulácie čo potrebujete (S 20-34), počítali sme čo, zdá sa, nie je potrebné - S 1-19. A potom sa rozhodli S 20-34, vyradenie nepotrebného z úplného výsledku. Takáto „finta s ušami“ často zachraňuje zlé hádanky.)

V tejto lekcii sme skúmali problémy, pri ktorých stačí pochopiť význam súčtu aritmetickej progresie. No, musíte poznať pár vzorcov.)

Praktické rady:

Pri riešení akejkoľvek úlohy na súčet aritmetickej progresie odporúčam hneď vypísať dva hlavné vzorce z tejto témy.

Vzorec n-tého členu:

Tieto vzorce vám okamžite povedia, čo hľadať, akým smerom myslieť, aby ste problém vyriešili. Pomáha.

A teraz úlohy na samostatné riešenie.

5. Nájdite súčet všetkých dvojciferných čísel, ktoré nie sú deliteľné tromi.

V pohode?) Nápoveda je ukrytá v poznámke k problému 4. No, problém 3 pomôže.

6. Aritmetická progresia je daná podmienkou: a 1 =-5,5; a n+1 = a n +0,5. Nájdite súčet prvých 24 výrazov.

Nezvyčajné?) Toto je opakujúci sa vzorec. Môžete si o tom prečítať v predchádzajúcej lekcii. Neignorujte odkaz, takéto hádanky sa často nachádzajú v GIA.

7. Vasya našetril peniaze na sviatok. Až 4550 rubľov! A rozhodol som sa darovať najmilovanejšej osobe (sebe) pár dní šťastia). Žite krásne bez toho, aby ste si čokoľvek odopierali. Strávte 500 rubľov v prvý deň a každý nasledujúci deň miňte o 50 rubľov viac ako v predchádzajúci! Kým sa neminú peniaze. Koľko dní šťastia mala Vasya?

Je to ťažké?) Pomôže vám dodatočný vzorec z úlohy 2.

Odpovede (v neporiadku): 7, 3240, 6.

Ak sa vám táto stránka páči...

Mimochodom, mám pre vás niekoľko ďalších zaujímavých stránok.)

Môžete si precvičiť riešenie príkladov a zistiť svoju úroveň. Testovanie s okamžitým overením. Učenie - so záujmom!)

môžete sa zoznámiť s funkciami a deriváciami.

Ak každé prirodzené číslo n zodpovedať skutočnému číslu a n , potom hovoria, že daný číselná postupnosť :

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , . . . .

Takže číselná postupnosť je funkciou prirodzeného argumentu.

číslo a 1 volal prvý člen postupnosti , číslo a 2 — druhý člen postupnosti , číslo a 3 — tretí a tak ďalej. číslo a n volal n-tý člen postupnosti a prirodzené číslo n — jeho číslo .

Od dvoch susedných členov a n a a n +1 členské sekvencie a n +1 volal následné (smerom k a n ), a a n — predchádzajúce (smerom k a n +1 ).

Ak chcete zadať sekvenciu, musíte zadať metódu, ktorá vám umožní nájsť člena sekvencie s ľubovoľným číslom.

Často sa postupnosť uvádza s vzorce n-tého členu , teda vzorec, ktorý umožňuje určiť člen sekvencie podľa jeho čísla.

Napríklad,

postupnosť kladných nepárnych čísel môže byť daná vzorcom

a n= 2n- 1,

a postupnosť striedania 1 a -1 - vzorec

b n = (-1)n +1 . ◄

Poradie sa dá určiť opakujúci sa vzorec, teda vzorec, ktorý vyjadruje ľubovoľný člen postupnosti, počnúc niektorým, cez predchádzajúce (jeden alebo viacero) členov.

Napríklad,

ak a 1 = 1 , a a n +1 = a n + 5

a 1 = 1,

a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Ak 1= 1, a 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , potom sa prvých sedem členov číselnej postupnosti nastaví takto:

1 = 1,

a 2 = 1,

a 3 = 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,

a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,

a 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,

a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,

a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Sekvencie môžu byť finálny, konečný a nekonečné .

Sekvencia je tzv konečný ak má konečný počet členov. Sekvencia je tzv nekonečné ak má nekonečne veľa členov.

Napríklad,

postupnosť dvojciferných prirodzených čísel:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

finálny, konečný.

Poradie prvočísel:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

nekonečné. ◄

Sekvencia je tzv zvyšujúci sa , ak je každý z jeho členov, počnúc druhým, väčší ako predchádzajúci.

Sekvencia je tzv ubúdanie , ak je každý jeho člen, počnúc druhým, menší ako predchádzajúci.

Napríklad,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . je vzostupná sekvencia;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . je zostupná postupnosť. ◄

Postupnosť, ktorej prvky s rastúcim počtom neklesajú, alebo naopak nerastú, sa nazýva monotónna postupnosť .

Monotónne sekvencie sú najmä rastúce sekvencie a klesajúce sekvencie.

Aritmetický postup

Aritmetický postup volá sa postupnosť, ktorej každý člen od druhého sa rovná predchádzajúcemu, ku ktorému sa pridá rovnaké číslo.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n, . . .

je aritmetický postup pre akékoľvek prirodzené číslo n podmienka je splnená:

a n +1 = a n + d,

kde d - nejaké číslo.

Rozdiel medzi nasledujúcim a predchádzajúcim členom danej aritmetickej progresie je teda vždy konštantný:

a 2 - a 1 = a 3 - a 2 = . . . = a n +1 - a n = d.

číslo d volal rozdiel aritmetického postupu.

Na nastavenie aritmetického postupu stačí zadať jeho prvý člen a rozdiel.

Napríklad,

ak a 1 = 3, d = 4 , potom prvých päť členov postupnosti nájdete takto:

1 =3,

a 2 = 1 + d = 3 + 4 = 7,

a 3 = a 2 + d= 7 + 4 = 11,

a 4 = a 3 + d= 11 + 4 = 15,

a 5 = a 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

Pre aritmetický postup s prvým členom a 1 a rozdiel d jej n

a n = 1 + (n- 1)d.

Napríklad,

nájsť tridsiaty člen aritmetického postupu

1, 4, 7, 10, . . .

1 =1, d = 3,

30 = 1 + (30 - 1)d= 1 + 29· 3 = 88. ◄

a n-1 = 1 + (n- 2)d,

a n= 1 + (n- 1)d,

a n +1 = a 1 + nd,

potom samozrejme

a n=	a n-1 + a n+1
	2

každý člen aritmetického postupu od druhého sa rovná aritmetickému priemeru predchádzajúceho a nasledujúceho člena.

čísla a, b a c sú po sebe idúcimi členmi nejakej aritmetickej postupnosti vtedy a len vtedy, ak sa jedno z nich rovná aritmetickému priemeru ostatných dvoch.

Napríklad,

a n = 2n- 7 , je aritmetický postup.

Využime vyššie uvedené tvrdenie. Máme:

a n = 2n- 7,

a n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

a n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

v dôsledku toho

a n+1 + a n-1	=	2n- 5 + 2n- 9	= 2n- 7 = a n,
2		2

◄

Poznač si to n -tý člen aritmetického postupu možno nájsť nielen cez a 1 , ale aj akékoľvek predchádzajúce a k

a n = a k + (n- k)d.

Napríklad,

pre a 5 dá sa napísať

a 5 = 1 + 4d,

a 5 = a 2 + 3d,

a 5 = a 3 + 2d,

a 5 = a 4 + d. ◄

a n = a n-k + kd,

a n = a n+k - kd,

potom samozrejme

a n=	a n-k + a n+k
	2

ktorýkoľvek člen aritmetickej postupnosti, začínajúc od druhého, sa rovná polovici súčtu členov tejto aritmetickej postupnosti, ktoré sú od nej rovnako vzdialené.

Okrem toho pre akúkoľvek aritmetickú postupnosť platí rovnosť:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

Napríklad,

v aritmetickej progresii

1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;

2) 28 = 10 = a 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) 10= 28 = (19 + 37)/2 = (7 + 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, pretože

a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,

a 5 + a 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ a n,

najprv n členov aritmetickej progresie sa rovná súčinu polovice súčtu extrémnych členov počtom členov:

Z toho najmä vyplýva, že ak je potrebné sčítať termíny

a k, a k +1 , . . . , a n,

potom si predchádzajúci vzorec zachová svoju štruktúru:

Napríklad,

v aritmetickej progresii 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Ak je daná aritmetická postupnosť, potom množstvá a 1 , a n, d, n aS n spojené dvoma vzorcami:

Preto, ak sú uvedené hodnoty troch z týchto veličín, potom zodpovedajúce hodnoty ďalších dvoch veličín sú určené z týchto vzorcov kombinovaných do systému dvoch rovníc s dvoma neznámymi.

Aritmetický postup je monotónna postupnosť. kde:

• ak d > 0 , potom sa zvyšuje;
• ak d < 0 , potom sa znižuje;
• ak d = 0 , potom bude sekvencia nehybná.

Geometrická progresia

geometrický postup volá sa postupnosť, ktorej každý člen od druhého sa rovná predchádzajúcemu, vynásobený rovnakým číslom.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

je geometrická postupnosť pre akékoľvek prirodzené číslo n podmienka je splnená:

b n +1 = b n · q,

kde q ≠ 0 - nejaké číslo.

Pomer nasledujúceho člena tejto geometrickej postupnosti k predchádzajúcemu je teda konštantné číslo:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

číslo q volal menovateľ geometrickej postupnosti.

Na stanovenie geometrickej progresie stačí zadať jej prvý člen a menovateľa.

Napríklad,

ak b 1 = 1, q = -3 , potom prvých päť členov postupnosti nájdete takto:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 a menovateľ q jej n -tý člen možno nájsť podľa vzorca:

b n = b 1 · q n -1 .

Napríklad,

nájdite siedmy člen geometrickej postupnosti 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

bn-1 = b 1 · q n -2 ,

b n = b 1 · q n -1 ,

b n +1 = b 1 · q n,

potom samozrejme

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

každý člen geometrickej postupnosti, začínajúc od druhého, sa rovná geometrickému priemeru (proporcionálnemu) predchádzajúceho a nasledujúceho člena.

Keďže platí aj opak, platí nasledujúce tvrdenie:

čísla a, b a c sú po sebe idúce členy nejakej geometrickej postupnosti vtedy a len vtedy, ak sa druhá mocnina jedného z nich rovná súčinu ostatných dvoch, to znamená, že jedno z čísel je geometrickým priemerom ostatných dvoch.

Napríklad,

dokážme, že postupnosť daná vzorcom b n= -3 2 n , je geometrický postup. Využime vyššie uvedené tvrdenie. Máme:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

v dôsledku toho

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) (-32 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

ktorý dokazuje požadované tvrdenie. ◄

Poznač si to n člen geometrickej progresie možno nájsť nielen cez b 1 , ale aj akékoľvek predchádzajúce obdobie b k , na čo stačí použiť vzorec

b n = b k · q n - k.

Napríklad,

pre b 5 dá sa napísať

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · q n - k,

b n = b n - k · q k,

potom samozrejme

b n 2 = b n - k· b n + k

druhá mocnina ktoréhokoľvek člena geometrickej postupnosti, počínajúc druhým, sa rovná súčinu členov tejto postupnosti, ktoré sú od nej rovnako vzdialené.

Okrem toho pre akúkoľvek geometrickú progresiu platí rovnosť:

b m· b n= b k· b l,

m+ n= k+ l.

Napríklad,

exponenciálne

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , pretože

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

najprv n členov geometrickej postupnosti s menovateľom q ≠ 0 vypočítané podľa vzorca:

A kedy q = 1 - podľa vzorca

S n= n.b. 1

Všimnite si, že ak potrebujeme sčítať podmienky

b k, b k +1 , . . . , b n,

potom sa použije vzorec:

S n- Sk -1 = b k + b k +1 + . . . + b n = b k ·	1 - q n - k +1	.
	1 - q

Napríklad,

exponenciálne 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Ak je daná geometrická postupnosť, potom množstvá b 1 , b n, q, n a S n spojené dvoma vzorcami:

Preto, ak sú uvedené hodnoty akýchkoľvek troch z týchto veličín, potom zodpovedajúce hodnoty ďalších dvoch veličín sú určené z týchto vzorcov kombinovaných do systému dvoch rovníc s dvoma neznámymi.

Pre geometrický postup s prvým členom b 1 a menovateľ q prebieha nasledovné vlastnosti monotónnosti :

• progresia sa zvyšuje, ak je splnená jedna z nasledujúcich podmienok:

b 1 > 0 a q> 1;

b 1 < 0 a 0 < q< 1;

• Progresia sa znižuje, ak je splnená jedna z nasledujúcich podmienok:

b 1 > 0 a 0 < q< 1;

b 1 < 0 a q> 1.

Ak q< 0 , potom je geometrická postupnosť znamienkovo ​​striedavá: jej nepárne členy majú rovnaké znamienko ako jej prvý člen a párne členy majú opačné znamienko. Je jasné, že striedavý geometrický postup nie je monotónny.

Produkt prvého n členy geometrickej progresie možno vypočítať podľa vzorca:

P n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

Napríklad,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Nekonečne klesajúca geometrická progresia

Nekonečne klesajúca geometrická progresia sa nazýva nekonečná geometrická postupnosť, ktorej modul menovateľa je menší ako 1 , teda

|q| < 1 .

Všimnite si, že nekonečne klesajúca geometrická progresia nemusí byť klesajúca postupnosť. Toto sa hodí na prípad

1 < q< 0 .

S takýmto menovateľom je postupnosť znamienkovo ​​striedavá. Napríklad,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Súčet nekonečne klesajúcej geometrickej progresie pomenujte číslo, ku ktorému je súčet prvého n podmienky postupu s neobmedzeným nárastom počtu n . Toto číslo je vždy konečné a je vyjadrené vzorcom

S= b 1 + b 2 + b 3 + . . . =	b 1	.
	1 - q

Napríklad,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Vzťah medzi aritmetickými a geometrickými postupnosťami

Aritmetické a geometrické postupnosti spolu úzko súvisia. Uvažujme len o dvoch príkladoch.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . d , potom

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .

Napríklad,

1, 3, 5, . . . — aritmetický postup s rozdielom 2 a

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . je geometrická postupnosť s menovateľom 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . je geometrická postupnosť s menovateľom q , potom

log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . — aritmetický postup s rozdielom log aq .

Napríklad,

2, 12, 72, . . . je geometrická postupnosť s menovateľom 6 a

lg 2, lg 12, lg 72, . . . — aritmetický postup s rozdielom lg 6 . ◄

Príklady aritmetického a geometrického postupu prevzaté zo "Zbierky úloh pre žiadateľov. Matematika", ktorú v roku 2001 vydala Volynská štátna univerzita pomenovaná po Lesji Ukrainke. Pozorne si prečítajte odpovede a vyberte si pre seba to najpotrebnejšie.

Skupina A (1. úroveň)

Príklad 1. Vypočítajte šiesty člen aritmetickej postupnosti 21.3; 22,4; … ,
Riešenie: Nájdite rozdiel (krok) postupu
d \u003d a 2 -a 1 \u003d 22,4-21,3 \u003d 1,1.
Ďalej vypočítame šiesty člen aritmetickej progresie
a 6 \u003d a 1 + (6-1) d \u003d 21,3 + 5 * 1,1 \u003d 26,8.

Príklad 2. Vypočítajte šiesty člen geometrickej postupnosti 5; desať; dvadsať; ...
Riešenie: Nájdite menovateľa geometrickej postupnosti
q \u003d b 2 / b 1 \u003d 10/5 \u003d 2.
Vypočítame šiesty člen geometrickej postupnosti
b 6 \u003d b 1 q 6-1 \u003d 5 * 25 \u003d 5 * 32 \u003d 160.

Príklad 3. V aritmetickej postupnosti a 1 \u003d 2,1 a 10 \u003d 12,9. Vypočítajte rozdiel v postupe.
Riešenie: Predstavme si desiaty člen postupnosti ako vzorec
a 10 \u003d a 1 + (10-1) d \u003d a 1 + 9d.
Nahraďte známe hodnoty a vyriešte
12,9 = 2,1 + 9 d;
9d = 12,9-2,1 = 10,8;
d = 10,8/9 = 1,2.
Odpoveď: rozdiel v progresii d=1,2.

Príklad 4. V geometrickej postupnosti b 1 = 2,56; b 4 \u003d 4,42368. Vypočítajte menovateľa progresie.
Riešenie: Nájdite menovateľa postupu
q \u003d b 2 / b 1 \u003d 4,42368 / 2,56 \u003d 1,728.
Bez kalkulačky sa tu nezaobídete.
Odpoveď: menovateľ progresie je q=1,728.

Príklad 5. V aritmetickej postupnosti je 1 \u003d 20,1, d \u003d 1,3. Vypočítajte súčet prvých ôsmich členov progresie.
Riešenie: Súčet aritmetickej progresie nájdeme podľa vzorca

Vykonávanie výpočtov
S 8 \u003d (2 * 20,1 + (8-1) * 1,3) * 8 / 2 \u003d 197,2.
Odpoveď: S 8 \u003d 197,2.

Príklad 6. V geometrickej postupnosti b 1 = 1,5; q = 1,2. Vypočítajte súčet prvých štyroch členov progresie.
Riešenie: Súčet geometrickej postupnosti sa vypočíta podľa vzorca

Nájdenie súčtu progresie

Odpoveď: S 8 \u003d 8,052.

Príklad 7. V aritmetickej progresii a 1 \u003d 1,35 d \u003d -2,4. Vypočítajte číslo progresívneho člena, ktoré sa rovná -25,05.
Riešenie: Člen aritmetickej progresie nájdeme podľa vzorca
a n \u003d a 1 + (n-1) d.
Podľa podmienky je známe všetko okrem radovej číslovky, tú nájdeme
-25,05 = 1,35 + (n-1) (-2,4);

Odpoveď: n=12.

Príklad 8. Vypočítajte siedmy člen progresie 23,5; 24,82; 26,14; ...
Riešenie: Keďže podmienka nešpecifikuje, ktorá progresia je nastavená, musíte ju najprv nastaviť. Získajte tú aritmetiku
d = a2-ai = 24,82-23,5 = 1,32;
d \u003d a 3 -a 2 \u003d 26.14-24.82 \u003d 1.32.
Nájdenie siedmeho termínu postupu
a 7 \u003d a 1 + (7-1) d \u003d 23,5 + 6 * 1,32 \u003d 31,42.
Odpoveď: a 7 \u003d 31,42.

Príklad 9. Vypočítajte číslo postupujúceho člena 2.1; 3,3; 4,5; ... , rovná 11,7 .
Riešenie: Je ľahké overiť, či je daná aritmetická progresia. Nájdenie rozdielu v postupe
d \u003d a 2 -a 1 \u003d 3,3-2,1 \u003d 1,2.
Podľa vzorca progresie
a n \u003d a 1 + (n-1) d
nájsť číslo
11,7 = 2,1 + (n-1) * 1,2;

Odpoveď: n=9.

Príklad 10. Vypočítajte štvrtý člen progresie 1,5; 1,8; 2,16; ... .
Riešenie: Bez kontroly môžeme povedať, že progresia je geometrická. Nájdite jeho menovateľa
q \u003d b 2 / b 1 \u003d 1, 8 / 1,5 \u003d 1,2.
Vypočítajte 4. člen geometrickej postupnosti pomocou vzorca
b 4 \u003d b 1 q 3 \u003d 1,5 * 1,2 3 \u003d 2,592.
Odpoveď: b 4 \u003d 2,592.

Príklad 11. Vypočítajte číslo postupného člena 1,2; 1,8; 2,16; ... rovná 4,05.
Riešenie: Máme geometrickú postupnosť. Nájdite menovateľa postupu
q \u003d b 2 / b 1 \u003d 1, 8 / 1,2 \u003d 1,5.
Nájdite číslo postupu zo závislosti
bn = b1qn-1.
4,05 = 1,2 x 1,5 n-1;
1,5 n-1 \u003d 4,05 / 1,2 \u003d 3,375 \u003d 1,5 3;
n-l=3; n=4.
Odpoveď: n=4.

Príklad 12. V aritmetickej postupnosti a 5 \u003d 14,91 a 9 \u003d 20,11. Vypočítajte 1.
Riešenie: Vyjadríme 9. člen postupu cez 5
a 9 \u003d a 5 + (9-5) d
a nájdite krok postupu
20,11 = 14,91 + 4 d;
4d = 5,2; d = 5,2/4 = 1,3.
5. člen progresie vyjadríme ako 1 a vypočítame prvý
a5 = a1 + 4d;
14,91 \u003d a 1 + 5,2;
a 1 \u003d 14,91-5,2 \u003d 9,71.
Odpoveď: a 1 \u003d 9,71.

Príklad 13. V aritmetickej progresii je 7 \u003d 12,01; a 11 \u003d 17:61. Vypočítajte rozdiel v postupe.
Riešenie: Vyjadríme 11 podmienok postupu cez 7
a 11 \u003d a 7 + (11-7) d.
Odtiaľ vypočítame krok postupu
17,61 = 12,01 + 4d;
4d = 5,6; d = 5,6/4 = 1,4.
Odpoveď: d = 1,4.

Príklad 14. V geometrickom postupe b5 = 64; b8 = 1. Vypočítajte b 3 .
Riešenie: 8. člen progresie vyjadrujeme ako 5
b 8 \u003d b 5 q 8-5.
Odtiaľ nájdeme menovateľa progresie
1 = 64 q3;
q 3 \u003d 1/64 \u003d (1/4) 3;
q = 1/4.
Podobne nájdeme b 3 až b 5
b 3 \u003d b 5 / q 2 \u003d 64 * 4 2 \u003d 1024.
Odpoveď: b 3 \u003d 1024.

Príklad 15. V aritmetickej postupnosti a 9 + a 15 \u003d 14,8. Vypočítajte 12
Riešenie: V tomto príklade je potrebné poznamenať, že 12. člen postupu je v strede medzi jeho číslom 9 a 15. Preto susedné členy progresie (9, 15 ) možno vyjadriť pomocou 12 takto
a 9 \u003d a 12 - (12-9) d;
a 15 \u003d a 12 + (15-9) d;
a 9 \u003d a 12 -3d;
a 15 = a 12 + 3d.
Zhrňme extrémne podmienky progresie
a 9 + a 15 = a 12 -3d+ a 12 + 3d=2a 12.
Odtiaľto nájdeme 12. termín postupu
a 12 \u003d (a 9 + a 15) / 2 \u003d 14,8 / 2 \u003d 7,4.
Odpoveď: a 12 \u003d 7.4.

Príklad 16. Exponenciálne b10*b14=289. Vypočítajte modul 12 progresívneho člena | b 12 |.
Riešenie: Algoritmus na riešenie problému je obsiahnutý v predchádzajúcom príklade. Je potrebné vyjadriť 10 a 14 členov geometrickej postupnosti cez 12. Vlastnosťami geometrickej postupnosti dostaneme
b 10 \u003d b 12 / q 2; b14 = b12 * q2.
Je ľahké vidieť, že keď fungujú, znak progresie zmizne.
b 10 * b 14 \u003d (b 12) 2 \u003d 289 \u003d 17 2.
Odtiaľ nájdeme modul | b 12 |
(b 12) 2 = 289 = 17 2 -> | b 12 |=17.
Odpoveď: | b 12 |=17.

Príklad 17. Exponenciálne b8 = 1,3. Vypočítajte b 6 * b 10 .
Riešenie: Schéma výpočtu je podobná ako v predchádzajúcom príklade - vyjadríme 6 a 10 členov postupu cez 8.
b 6 \u003d b 8 / q 2; b10 = b8*q2.
Keď sa vynásobia, menovateľ sa zníži a dostaneme druhú mocninu známeho člena progresie
b 6 *b 10 \u003d (b 8) 2 \u003d 1,3 2 \u003d 1,69.
Odpoveď: b 6 * b 10 \u003d 1,69.

Príklad 18. V aritmetickej postupnosti a 10 \u003d 3,6: a 12 \u003d 8. Vypočítajte 8
Riešenie: Napíšme členy postupnosti v rade a 8 , a 10 , a 12 . Medzi nimi ten istý krok, poďme to nájsť
a12 = a10 + 2d;
2d \u003d a 12 - a 10 \u003d 8-3,6 \u003d 4,4.
Rovnakým spôsobom nájdeme 8
a10 = a8 + 2d;
a 8 \u003d a 10 -2d \u003d 3,6-4,4 \u003d -0,8.
Tu je niekoľko jednoduchých výpočtov.
Odpoveď: a 8 \u003d -0,8.

Príklad 19. Exponenciálne b14 = 8; b16 = 2. Vypočítajte b 12 .
Riešenie: Ak vynecháme podrobné vysvetlenia, zapíšeme súčin 14. a 16. termínu postupu
b14*b16=(b12)2.
To je ekvivalentné geometrickému priemeru. Nájdením koreňa súčinu pojmov dostaneme požadovanú hodnotu
(b 12) 2 \u003d 8 * 2 \u003d 16; b12 = 4.
Odpoveď: b 12 \u003d 4.

Príklad 20. V aritmetickej postupnosti je 5 \u003d 3,4; a 11 \u003d 6.9. Vypočítajte 17.
Riešenie: Medzi 5,11 a 17 členmi postupu je rovnaký krok a rovná sa 6d. Preto môže byť konečné riešenie napísané ako
a 17 \u003d a 11 + 6d \u003d a 11 + (a 11 - a 5) \u003d 2 * 6,9-3,4 \u003d 10,4.
Myslím, že chápete, prečo taký záznam. Ak nie - skúste namaľovať 11 členov postupu cez 5 a otočte 6d.
Odpoveď: a 17 \u003d 10.4.

Príklad 21. Vypočítajte 6. člen geometrickej postupnosti 3; 12;... .
Riešenie: Nájdite menovateľa postupu
q \u003d b 2 / b 1 \u003d 12/3 \u003d 4.
Použime všeobecný vzorec termínu geometrickej postupnosti
bn = b1*qn-1.
Odtiaľto sa dostaneme
b 6 \u003d b 1 * q 5 \u003d b 2 * q 4.
Ako vidíte, v zázname je hlavné, že súčet indexu (2) a stupňa (4) zodpovedá poradovému číslu postupového člena (6). Vykonávanie výpočtov
b 6 \u003d 12 * 4 4 \u003d 12 * 256 \u003d 3072.
Dostali sme veľké číslo, ale geometrický postup je odlišný v tom, že jeho členovia buď rýchlo rastú, alebo klesajú.
Odpoveď: b 6 \u003d 3072.

Príklad 22. V aritmetickej postupnosti 3 \u003d 48; a 5 = 42. Vypočítajte 7.
Riešenie: Keďže rozdiel medzi progresiou medzi danými členmi a požadovaným sa stal a je rovný 2d, potom vzorec pre 7. člen postupu bude vyzerať takto
a 7 \u003d a 5 + 2d \u003d a 5 + (a 5 - a 3);
a 7 \u003d 2 * 42-48 \u003d 36.
Odpoveď: a 7 \u003d 36.

Aritmetické a geometrické postupnosti

Teoretické informácie

Teoretické informácie

	Aritmetický postup	Geometrická progresia
Definícia	Aritmetický postup a n volá sa postupnosť, ktorej každý člen, počnúc druhým, sa rovná predchádzajúcemu členu, sčítanému s rovnakým číslom d (d- progresívny rozdiel)	geometrický postup b n volá sa postupnosť nenulových čísel, z ktorých každý člen od druhého sa rovná predchádzajúcemu členu vynásobenému rovnakým číslom q (q- menovateľ progresie)
Opakujúci sa vzorec	Pre akékoľvek prírodné n a n + 1 = a n + d	Pre akékoľvek prírodné n b n + 1 = b n ∙ q, b n ≠ 0
vzorec n-tého členu	a n = a 1 + d (n - 1)	b n \u003d b 1 ∙ q n - 1, b n ≠ 0
charakteristickú vlastnosť
Súčet prvých n členov

Príklady úloh s komentármi

Cvičenie 1

V aritmetickom postupe ( a n) 1 = -6, a 2

Podľa vzorca n-tého členu:

22 = 1+ d (22 - 1) = 1+ 21 d

Podľa podmienok:

1= -6, takže 22= -6 + 21 d.

Je potrebné nájsť rozdiel v postupnosti:

d= a 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2

22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

odpoveď: 22 = -48.

Úloha 2

Nájdite piaty člen geometrickej postupnosti: -3; 6;...

1. spôsob (pomocou n-členného vzorca)

Podľa vzorca n-tého člena geometrickej postupnosti:

b 5 \u003d b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.

Pretože b 1 = -3,

2. spôsob (pomocou rekurzívneho vzorca)

Keďže menovateľ progresie je -2 (q = -2), potom:

b 3 = 6 ∙ (-2) = -12;

b 4 = -12 ∙ (-2) = 24;

b 5 = 24 ∙ (-2) = -48.

odpoveď: b 5 = -48.

Úloha 3

V aritmetickom postupe ( a n) a 74 = 34; 76= 156. Nájdite sedemdesiaty piaty člen tohto postupu.

Pre aritmetickú progresiu má charakteristická vlastnosť tvar .

Preto:

.

Nahraďte údaje vo vzorci:

odpoveď: 95.

Úloha 4

V aritmetickom postupe ( a n) a n= 3n - 4. Nájdite súčet prvých sedemnástich členov.

Na nájdenie súčtu prvých n členov aritmetickej progresie sa používajú dva vzorce:

.

Ktorý z nich je v tomto prípade výhodnejší?

Podľa podmienky je známy vzorec n-tého člena pôvodnej postupnosti ( a n) a n= 3n - 4. Možno ihneď nájsť a 1, a 16 bez nájdenia d . Preto používame prvý vzorec.

Odpoveď: 368.

Úloha 5

V aritmetickej progresii a n) 1 = -6; a 2= -8. Nájdite dvadsiaty druhý termín postupu.

Podľa vzorca n-tého členu:

a 22 = a 1 + d (22 – 1) = 1+ 21 d.

Podľa podmienky, ak 1= -6 teda 22= -6 + 21 d. Je potrebné nájsť rozdiel v postupnosti:

d= a 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2

22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

odpoveď: 22 = -48.

Úloha 6

Zaznamenáva sa niekoľko po sebe nasledujúcich členov geometrickej progresie:

Nájdite člen postupnosti označený písmenom x .

Pri riešení používame vzorec pre n-tý člen b n \u003d b 1 ∙ q n - 1 pre geometrické postupnosti. Prvý člen postupu. Ak chcete nájsť menovateľa progresie q, musíte vziať ktorýkoľvek z týchto členov progresie a vydeliť ho predchádzajúcim. V našom príklade môžete brať a deliť podľa. Dostaneme, že q \u003d 3. Namiesto n dosadíme do vzorca 3, pretože je potrebné nájsť tretí člen danej geometrickej postupnosti.

Nahradením nájdených hodnôt do vzorca dostaneme:

.

Odpoveď: .

Úloha 7

Z aritmetických postupností daných vzorcom n-tého člena vyberte ten, pre ktorý je podmienka splnená 27 > 9:

Keďže špecifikovaná podmienka musí byť splnená pre 27. člen postupnosti, dosadíme 27 namiesto n v každej zo štyroch postupností. V 4. postupnosti dostaneme:

.

odpoveď: 4.

Úloha 8

V aritmetickom postupe 1= 3, d = -1,5. Zadajte najväčšiu hodnotu n, pre ktorú platí nerovnosť a n > -6.