výkyvy nazývané pohyby alebo procesy, ktoré sa vyznačujú určitým opakovaním v čase. Výkyvy sú v okolitom svete rozšírené a môžu mať veľmi odlišný charakter. Tie môžu byť mechanické (kyvadlo), elektromagnetické (oscilačný obvod) a iné druhy kmitov.
zadarmo, alebo vlastné oscilácie sa nazývajú oscilácie, ktoré sa vyskytujú v systéme ponechanom samom sebe po tom, čo bol vonkajším vplyvom vyvedený z rovnováhy. Príkladom je kmitanie guľôčky zavesenej na závite.

osobitnú úlohu v oscilačných procesoch má najjednoduchšiu formu oscilácie - harmonické vibrácie. Harmonické kmity sú základom jednotného prístupu pri štúdiu kmitov rôzneho charakteru, pretože kmity vyskytujúce sa v prírode a technike sú často blízke harmonickým a periodické procesy rôznej formy možno znázorniť ako superpozíciu harmonických kmitov.

Harmonické vibrácie nazývajú sa také kmity, pri ktorých sa hodnota kmitania mení s časom podľa zákona sínus alebo kosínus.

Harmonická vibračná rovnicavyzerá ako:

kde - amplitúda oscilácie (hodnota najväčšej odchýlky systému od rovnovážnej polohy); -kruhová (cyklická) frekvencia. Periodicky sa meniaci kosínusový argument - tzv oscilačná fáza . Fáza kmitania určuje posunutie kmitajúcej veličiny z rovnovážnej polohy v danom čase t. Konštanta φ je hodnota fázy v čase t = 0 a nazýva sa počiatočná fáza oscilácie . Hodnota počiatočnej fázy je určená výberom referenčného bodu. Hodnota x môže nadobúdať hodnoty od -A do +A.

Časový interval T, po ktorom sa opakujú určité stavy oscilačného systému, nazývaná perióda oscilácie . Kosínus je periodická funkcia s periódou 2π, preto sa v priebehu času T, po ktorom dostane fáza oscilácie prírastok rovný 2π, stav systému vykonávajúceho harmonické oscilácie zopakuje. Tento časový úsek T sa nazýva perióda harmonických kmitov.

Obdobie harmonických kmitov je : T = 2π/.

Počet kmitov za jednotku času sa nazýva frekvencia oscilácií ν.
Frekvencia harmonických vibrácií sa rovná: ν = 1/T. Jednotka frekvencie hertz(Hz) - jeden kmit za sekundu.

Kruhová frekvencia = 2π/T = 2πν udáva počet kmitov za 2π sekundy.

Graficky možno harmonické kmity znázorniť ako závislosť x na t (obr. 1.1.A) a metóda rotačnej amplitúdy (metóda vektorových diagramov)(Obr.1.1.B) .

Metóda rotačnej amplitúdy umožňuje vizualizovať všetky parametre zahrnuté v rovnici harmonických kmitov. Ak je totiž amplitúdový vektor ALE umiestnený pod uhlom φ k osi x (pozri obrázok 1.1. B), potom sa jeho priemet na os x bude rovnať: x = Acos(φ). Uhol φ je počiatočná fáza. Ak je vektor ALE uviesť do rotácie s uhlovou rýchlosťou rovnajúcou sa kruhovej frekvencii kmitov, potom sa projekcia konca vektora bude pohybovať pozdĺž osi x a nadobudne hodnoty v rozmedzí od -A do +A a súradnicu tejto projekcie sa časom zmení podľa zákona:
.

Dĺžka vektora sa teda rovná amplitúde harmonického kmitania, smer vektora v počiatočnom momente zviera s osou x uhol rovný počiatočnej fáze kmitania φ a zmena smeru uhol s časom sa rovná fáze harmonických kmitov. Čas, za ktorý amplitúdový vektor vykoná jednu úplnú otáčku, sa rovná perióde T harmonických kmitov. Počet otáčok vektora za sekundu sa rovná frekvencii kmitov ν.

Najjednoduchší typ vibrácií je harmonické vibrácie- kolísanie, pri ktorom sa posunutie kmitajúceho bodu z rovnovážnej polohy v čase mení podľa sínusového alebo kosínusového zákona.

Takže pri rovnomernom otáčaní gule po obvode jej premietanie (tieň v rovnobežných lúčoch svetla) vykonáva harmonický kmitavý pohyb na zvislej obrazovke (obr. 1).

Posun z rovnovážnej polohy pri harmonických vibráciách je opísaný rovnicou (nazýva sa to kinematický zákon harmonického pohybu) v tvare:

kde x - posunutie - hodnota charakterizujúca polohu kmitajúceho bodu v čase t vzhľadom k rovnovážnej polohe a meraná vzdialenosťou od rovnovážnej polohy k polohe bodu v danom čase; A - amplitúda kmitania - maximálne posunutie telesa z rovnovážnej polohy; T - perióda kmitania - čas jedného úplného kmitu; tie. najmenšia doba, po ktorej sa hodnoty fyzikálnych veličín charakterizujúcich osciláciu opakujú; - počiatočná fáza;

Fáza kmitania v čase t. Fáza kmitania je argumentom periodickej funkcie, ktorá pre danú amplitúdu kmitania určuje stav kmitavého systému (posunu, rýchlosť, zrýchlenie) telesa v ľubovoľnom čase.

Ak sa v počiatočnom okamihu oscilujúci bod maximálne posunie z rovnovážnej polohy, potom sa posun bodu z rovnovážnej polohy zmení podľa zákona

Ak je kmitajúci bod v polohe stabilnej rovnováhy, potom sa posunutie bodu z rovnovážnej polohy mení podľa zákona

Hodnota V, prevrátená hodnota periódy a rovná sa počtu úplných kmitov vykonaných za 1 s, sa nazýva frekvencia kmitov:

Ak v čase t telo urobí N úplných kmitov, potom

hodnota , ukazujúci, koľko kmitov teleso vykoná za s, sa nazýva cyklická (kruhová) frekvencia.

Kinematický zákon harmonického pohybu možno zapísať takto:

Graficky je závislosť posunu kmitajúceho bodu od času znázornená kosínusom (alebo sínusoidou).

Obrázok 2, a ukazuje časovú závislosť posunutia oscilujúceho bodu z rovnovážnej polohy pre prípad.

Poďme zistiť, ako sa mení rýchlosť oscilujúceho bodu s časom. Aby sme to dosiahli, nájdeme časovú deriváciu tohto výrazu:

kde je amplitúda projekcie rýchlosti na osi x.

Tento vzorec ukazuje, že počas harmonických kmitov sa mení aj priemet rýchlosti telesa na os x podľa harmonického zákona s rovnakou frekvenciou, s inou amplitúdou a je pred fázou miešania o (obr. 2, b) .

Aby sme zistili závislosť zrýchlenia, nájdeme časovú deriváciu projekcie rýchlosti:

kde je amplitúda projekcie zrýchlenia na osi x.

Pre harmonické kmity vedie projekcia zrýchlenia fázový posun o k (obr. 2, c).

Podobne môžete vytvárať grafy závislostí

Vzhľadom na to je možné napísať vzorec pre zrýchlenie

tie. pre harmonické kmity je projekcia zrýchlenia priamo úmerná výchylke a opačného znamienka, t.j. zrýchlenie je nasmerované v smere opačnom k ​​posunutiu.

Takže projekcia zrýchlenia je druhá derivácia posunu, potom výsledný pomer možno zapísať ako:

Posledná rovnosť je tzv rovnica harmonických kmitov.

Fyzikálny systém, v ktorom môžu existovať harmonické oscilácie, sa nazýva harmonický oscilátor a rovnica harmonických kmitov - rovnica harmonického oscilátora.

Pohyb kyvadla v hodinách, zemetrasenie, striedavý prúd v elektrickom obvode, procesy rádiového prenosu a rádiového príjmu sú úplne odlišné, nesúvisiace procesy. Každý z nich má svoje osobitné dôvody, ale spája ich jeden znak - znak spoločnej povahy zmeny fyzikálnych veličín v čase. Tieto a mnohé ďalšie procesy rôzneho fyzikálneho charakteru sa v mnohých prípadoch ukazuje ako vhodné považovať za jeden špeciálny druh fyzikálnych javov – kmitanie.

Spoločným znakom fyzikálnych javov, ktoré sa nazývajú kmity, je ich opakovanie v čase. S odlišnou fyzikálnou povahou sa mnohé oscilácie vyskytujú podľa rovnakých zákonov, čo umožňuje použiť všeobecné metódy na ich popis a analýzu.

Harmonické vibrácie. Z veľkého množstva rôznych vibrácií v prírode a technike sú bežné najmä harmonické vibrácie. Harmonické oscilácie sú tie, ktoré sa vyskytujú podľa zákona kosínusu alebo sínusu:

kde je hodnota, ktorá zažíva výkyvy; - čas; je konštantná hodnota, ktorej význam bude objasnený neskôr.

Maximálna hodnota veličiny, ktorá sa mení podľa harmonického zákona, sa nazýva amplitúda kmitov. Argument kosínusu alebo sínusu pre harmonické kmity sa nazýva fáza kmitania

Fáza kmitania v počiatočnom časovom okamihu sa nazýva počiatočná fáza. Počiatočná fáza určuje hodnotu množstva v počiatočnom časovom okamihu

Hodnoty sínusovej alebo kosínusovej funkcie sa opakujú, keď sa argument funkcie zmení na, preto sa pri harmonických osciláciách hodnoty magnitúdy opakujú, keď sa fáza oscilácie zmení na . Na druhej strane pri harmonickej oscilácii musí veličina nadobudnúť rovnaké hodnoty v časovom intervale nazývanom perióda oscilácie T. Preto dôjde k zmene fázy

cez periódu oscilácie T. Pre prípad, keď dostaneme:

Z výrazu (1.2) vyplýva, že konštanta v rovnici harmonických kmitov je počet kmitov, ktoré nastanú v sekundách. Hodnota sa nazýva frekvencia cyklických oscilácií. Pomocou výrazu (1.2) možno rovnicu (1.1) vyjadriť ako frekvenciu alebo periódu T kmitov:

Popri analytickej metóde popisu harmonických kmitov sú široko používané grafické metódy ich prezentácie.

Prvým spôsobom je nastavenie grafu oscilácií v karteziánskom súradnicovom systéme. Na vodorovnej osi je vynesený čas I a na zvislej osi je vynesená hodnota meniacej sa hodnoty Pre harmonické kmity je tento graf sínusová alebo kosínusová vlna (obr. 1).

Druhý spôsob znázornenia oscilačného procesu je spektrálny. Amplitúda sa meria pozdĺž osi y a frekvencia harmonických kmitov sa meria pozdĺž osi x. Harmonický oscilačný proces s frekvenciou a amplitúdou je v tomto prípade reprezentovaný vertikálnym segmentom s priamou dĺžkou vedenou z bodu so súradnicou na osi x (obr. 2).

Tretím spôsobom opisu harmonických kmitov je metóda vektorových diagramov. V tejto metóde sa na nájdenie hodnoty veličiny, ktorá sa mení podľa harmonického zákona, používa nasledujúca, čisto formálna technika:

Zvoľme si v rovine ľubovoľne smerovanú súradnicovú os, pozdĺž ktorej budeme počítať pre nás zaujímavú hodnotu.Z počiatku súradníc pozdĺž osi nakreslíme vektorový modul, ktorý sa rovná amplitúde harmonického kmitania xm. Ak si teraz predstavíme, že vektor rotuje okolo počiatku v rovine s konštantnou uhlovou rýchlosťou c proti smeru hodinových ručičiek, potom uhol a medzi rotujúcim vektorom a osou v ľubovoľnom čase je určený výrazom.

Ide o periodické kmitanie, pri ktorom sa súradnica, rýchlosť, zrýchlenie, charakterizujúce pohyb, menia podľa sínusového alebo kosínusového zákona. Rovnica harmonických kmitov určuje závislosť súradníc tela od času

Kosínusový graf má v počiatočnom okamihu maximálnu hodnotu a sínusový graf má v počiatočnom okamihu nulovú hodnotu. Ak začneme skúmať kmitanie z rovnovážnej polohy, potom kmitanie zopakuje sínusoidu. Ak začneme uvažovať kmitanie z polohy maximálnej výchylky, tak kmitanie bude opisovať kosínus. Alebo môže byť takáto oscilácia opísaná sínusovým vzorcom s počiatočnou fázou.

Matematické kyvadlo

Stavová rovnica ideálneho plynu. plynové zákony.

Počty stupňov voľnosti: ide o počet nezávislých premenných (súradníc), ktoré úplne určujú polohu systému v priestore. V niektorých úlohách sa za hmotný bod považuje monoatomická molekula plynu (obr. 1, a), ktorá má tri stupne voľnosti translačného pohybu. Toto nezohľadňuje energiu rotačného pohybu. V mechanike sa dvojatómová molekula plynu v prvej aproximácii považuje za súbor dvoch hmotných bodov, ktoré sú pevne spojené nedeformovateľnou väzbou (obr. 1, b). Tento systém má okrem troch stupňov voľnosti translačného pohybu ešte dva stupne voľnosti rotačného pohybu. Rotácia okolo tretej osi prechádzajúcej oboma atómami je nezmyselná. To znamená, že dvojatómový plyn má päť stupňov voľnosti ( i= 5). Triatomická (obr. 1, c) a polyatomická nelineárna molekula má šesť stupňov voľnosti: tri translačné a tri rotačné. Je prirodzené predpokladať, že medzi atómami neexistuje pevná väzba. Preto je pri reálnych molekulách potrebné brať do úvahy aj stupne voľnosti vibračného pohybu.

Pre ľubovoľný počet stupňov voľnosti danej molekuly sú tri stupne voľnosti vždy translačné. Žiadny z translačných stupňov voľnosti nemá výhodu oproti ostatným, čo znamená, že každý z nich má v priemere rovnakú energiu rovnajúcu sa 1/3 hodnoty<ε 0 >(energia translačného pohybu molekúl): V štatistickej fyzike Boltzmannov zákon o rovnomernom rozdelení energie cez stupne voľnosti molekúl: pre štatistický systém, ktorý je v stave termodynamickej rovnováhy, má každý translačný a rotačný stupeň voľnosti priemernú kinetickú energiu rovnajúcu sa kT/2 a každý vibračný stupeň voľnosti má priemernú energiu rovnajúcu sa kT. Vibračný stupeň má dvakrát toľko energie, pretože zodpovedá za kinetickú energiu (ako v prípade translačných a rotačných pohybov) aj potenciálnu energiu a priemerné hodnoty potenciálnej a kinetickej energie sú rovnaké. Takže priemerná energia molekuly kde i- súčet počtu translačných, počtu rotačných v dvojnásobku počtu vibračných stupňov voľnosti molekuly: i=i príspevok + i rotácia +2 i vibrácie V klasickej teórii sa o molekulách uvažuje s pevnou väzbou medzi atómami; pre nich i sa zhoduje s počtom stupňov voľnosti molekuly. Keďže v ideálnom plyne je vzájomná potenciálna energia interakcie molekúl rovná nule (molekuly medzi sebou neinteragujú), potom sa vnútorná energia pre jeden mól plynu bude rovnať súčtu kinetických energií N A molekúl: (1) Vnútorná energia pre ľubovoľnú hmotnosť m plynu. kde M je molárna hmotnosť, ν - množstvo hmoty.

Rovnica harmonických vĺn

Rovnica harmonických kmitov určuje závislosť súradníc tela od času

Kosínusový graf má v počiatočnom okamihu maximálnu hodnotu a sínusový graf má v počiatočnom okamihu nulovú hodnotu. Ak začneme skúmať kmitanie z rovnovážnej polohy, potom kmitanie zopakuje sínusoidu. Ak začneme uvažovať kmitanie z polohy maximálnej výchylky, tak kmitanie bude opisovať kosínus. Alebo môže byť takáto oscilácia opísaná sínusovým vzorcom s počiatočnou fázou.

Zmena rýchlosti a zrýchlenia počas harmonického kmitania

Nielen súradnice telesa sa menia s časom podľa zákona sínusu alebo kosínusu. Ale podobne sa menia aj veličiny ako sila, rýchlosť a zrýchlenie. Sila a zrýchlenie sú maximálne, keď je kmitajúce teleso v krajných polohách, kde je posunutie maximálne, a rovné nule, keď teleso prechádza rovnovážnou polohou. Rýchlosť je naopak v krajných polohách rovná nule a keď teleso prejde rovnovážnou polohou, dosiahne svoju maximálnu hodnotu.

Ak je oscilácia popísaná podľa kosínusového zákona

Ak je oscilácia popísaná podľa sínusového zákona

Maximálna rýchlosť a hodnoty zrýchlenia

Po analýze rovníc závislosti v(t) a a(t) možno uhádnuť, že maximálne hodnoty rýchlosti a zrýchlenia sa berú, keď sa trigonometrický faktor rovná 1 alebo -1. Určené vzorcom