Jednou z oblastí matematiky, s ktorou sa školáci vyrovnávajú s najväčšími ťažkosťami, je trigonometria. Niet divu: na slobodné zvládnutie tejto oblasti vedomostí potrebujete priestorové myslenie, schopnosť nájsť sínusy, kosínusy, tangenty, kotangens pomocou vzorcov, zjednodušiť výrazy a vedieť použiť pri výpočtoch číslo pí. Navyše pri dokazovaní viet musíte vedieť aplikovať trigonometriu, a to si vyžaduje buď rozvinutú matematickú pamäť, alebo schopnosť odvodzovať zložité logické reťazce.

Počiatky trigonometrie

Zoznámenie sa s touto vedou by malo začať definíciou sínusu, kosínusu a tangensu uhla, ale najprv musíte zistiť, čo robí trigonometria vo všeobecnosti.

Historicky boli pravouhlé trojuholníky hlavným predmetom štúdia v tejto časti matematickej vedy. Prítomnosť uhla 90 stupňov umožňuje vykonávať rôzne operácie, ktoré umožňujú určiť hodnoty všetkých parametrov uvažovaného obrázku pomocou dvoch strán a jedného uhla alebo dvoch uhlov a jednej strany. V minulosti si tento vzor ľudia všimli a začali ho aktívne využívať pri stavbe budov, navigácii, astronómii a dokonca aj v umení.

Prvé štádium

Spočiatku ľudia hovorili o vzťahu uhlov a strán výlučne na príklade pravouhlých trojuholníkov. Potom boli objavené špeciálne vzorce, ktoré umožnili rozšíriť hranice použitia v každodennom živote tejto časti matematiky.

Štúdium trigonometrie v škole sa dnes začína pravouhlými trojuholníkmi, po ktorých nadobudnuté vedomosti využívajú študenti vo fyzike a riešení abstraktných goniometrických rovníc, práca s ktorými sa začína už na strednej škole.

Sférická trigonometria

Neskôr, keď sa veda dostala na ďalší stupeň vývoja, začali sa vzorce so sínusom, kosínusom, dotyčnicou, kotangensom používať v sférickej geometrii, kde platia iné pravidlá a súčet uhlov v trojuholníku je vždy viac ako 180 stupňov. Táto sekcia sa v škole neštuduje, ale je potrebné vedieť o jej existencii, prinajmenšom preto, že zemský povrch a povrch akejkoľvek inej planéty je konvexný, čo znamená, že akékoľvek povrchové označenie bude mať „oblúkový tvar“ v trojrozmerný priestor.

Vezmite zemeguľu a nite. Pripevnite niť na ľubovoľné dva body na zemeguli tak, aby bola napnutá. Venujte pozornosť - získal tvar oblúka. Práve takýmito formami sa zaoberá sférická geometria, ktorá sa využíva v geodézii, astronómii a iných teoretických a aplikovaných odboroch.

Správny trojuholník

Keď sme sa trochu naučili o spôsoboch používania trigonometrie, vráťme sa k základnej trigonometrii, aby sme ďalej pochopili, čo sú sínus, kosínus, tangens, aké výpočty je možné s ich pomocou vykonať a aké vzorce použiť.

Prvým krokom je pochopenie pojmov súvisiacich s pravouhlým trojuholníkom. Po prvé, prepona je strana opačná k uhlu 90 stupňov. Je najdlhšia. Pamätáme si, že podľa Pytagorovej vety sa jej číselná hodnota rovná odmocnine súčtu štvorcov ostatných dvoch strán.

Napríklad, ak sú dve strany 3 a 4 centimetre, dĺžka prepony bude 5 centimetrov. Mimochodom, starí Egypťania o tom vedeli asi pred štyri a pol tisíc rokmi.

Dve zostávajúce strany, ktoré tvoria pravý uhol, sa nazývajú nohy. Okrem toho si musíme uvedomiť, že súčet uhlov v trojuholníku v pravouhlom súradnicovom systéme je 180 stupňov.

Definícia

Nakoniec, so solídnym pochopením geometrickej základne, môžeme prejsť k definícii sínusu, kosínusu a tangensu uhla.

Sínus uhla je pomer protiľahlej vetvy (t.j. strany protiľahlej k požadovanému uhlu) k prepone. Kosínus uhla je pomer priľahlého ramena k prepone.

Pamätajte, že ani sínus, ani kosínus nemôžu byť väčšie ako jedna! prečo? Pretože prepona je štandardne najdlhšia, bez ohľadu na dĺžku nohy bude kratšia ako prepona, čo znamená, že ich pomer bude vždy menší ako jedna. Ak teda v odpovedi na úlohu dostanete sínus alebo kosínus s hodnotou väčšou ako 1, hľadajte chybu vo výpočtoch alebo uvažovaní. Táto odpoveď je jednoznačne nesprávna.

Nakoniec tangens uhla je pomer protiľahlej strany k susednej strane. Rovnaký výsledok poskytne delenie sínusu kosínusom. Pozrite sa: podľa vzorca delíme dĺžku strany preponou, potom delíme dĺžkou druhej strany a násobíme preponou. Dostaneme teda rovnaký pomer ako pri definícii dotyčnice.

Kotangens je pomer strany susediacej s rohom k opačnej strane. Rovnaký výsledok dostaneme vydelením jednotky dotyčnicou.

Takže sme zvážili definície toho, čo sú sínus, kosínus, tangens a kotangens, a môžeme sa zaoberať vzorcami.

Najjednoduchšie vzorce

V trigonometrii sa bez vzorcov nezaobídeme – ako bez nich nájsť sínus, kosínus, tangens, kotangens? A to je presne to, čo sa vyžaduje pri riešení problémov.

Prvý vzorec, ktorý potrebujete vedieť, keď začnete študovať trigonometriu, hovorí, že súčet druhých mocnín sínusu a kosínusu uhla sa rovná jednej. Tento vzorec je priamym dôsledkom Pytagorovej vety, ale šetrí čas, ak chcete poznať hodnotu uhla, nie strany.

Veľa žiakov si nevie zapamätať druhý vzorec, ktorý je tiež veľmi obľúbený pri riešení školských úloh: súčet jednotky a druhej mocniny tangens uhla sa rovná jednej delenej druhou mocninou kosínusu uhla. Pozrime sa bližšie: ide predsa o rovnaký výrok ako v prvom vzorci, len obe strany identity boli rozdelené druhou mocninou kosínusu. Ukazuje sa, že jednoduchá matematická operácia úplne zmení goniometrický vzorec na nerozoznanie. Pamätajte: s vedomím toho, čo sú sínus, kosínus, tangens a kotangens, pravidlá prevodu a niekoľko základných vzorcov, môžete kedykoľvek nezávisle odvodiť požadované zložitejšie vzorce na hárku papiera.

Vzorce dvojitého uhla a pridanie argumentov

Dva ďalšie vzorce, ktoré sa musíte naučiť, súvisia s hodnotami sínusu a kosínusu pre súčet a rozdiel uhlov. Sú znázornené na obrázku nižšie. Upozorňujeme, že v prvom prípade sa sínus a kosínus vynásobia v oboch prípadoch a v druhom prípade sa pripočíta párový súčin sínusu a kosínusu.

Existujú aj vzorce spojené s argumentmi dvojitého uhla. Sú úplne odvodené od predchádzajúcich - ako prax sa ich pokúste získať sami, pričom uhol alfa sa rovná uhlu beta.

Nakoniec si všimnite, že vzorce s dvojitým uhlom možno previesť na zníženie stupňa sínusu, kosínusu a dotyčnice alfa.

Vety

Dve hlavné vety v základnej trigonometrii sú sínusová a kosínusová. Pomocou týchto teorémov môžete ľahko pochopiť, ako nájsť sínus, kosínus a tangens, a teda aj plochu obrázku a veľkosť každej strany atď.

Sínusová veta hovorí, že ako výsledok delenia dĺžky každej zo strán trojuholníka hodnotou opačného uhla dostaneme rovnaké číslo. Navyše sa toto číslo bude rovnať dvom polomerom kružnice opísanej, teda kružnice obsahujúcej všetky body daného trojuholníka.

Kosínusová veta zovšeobecňuje Pytagorovu vetu a premieta ju na ľubovoľné trojuholníky. Ukazuje sa, že od súčtu štvorcov dvoch strán odpočítajte ich súčin vynásobený dvojitým kosínusom uhla, ktorý k nim prilieha - výsledná hodnota sa bude rovnať štvorcu tretej strany. Pytagorova veta sa teda ukazuje ako špeciálny prípad kosínusovej vety.

Chyby v dôsledku nepozornosti

Aj keď vieme, čo sú sínus, kosínus a tangenta, je ľahké urobiť chybu kvôli neprítomnosti alebo chybe v najjednoduchších výpočtoch. Aby sme sa vyhli takýmto chybám, zoznámime sa s najpopulárnejšími z nich.

Po prvé, nemali by ste prevádzať obyčajné zlomky na desatinné miesta, kým nedosiahnete konečný výsledok – odpoveď môžete ponechať ako obyčajný zlomok, pokiaľ nie je v podmienke uvedené inak. Takúto transformáciu nemožno nazvať chybou, ale treba mať na pamäti, že v každej fáze problému sa môžu objaviť nové korene, ktoré by sa podľa autorovho nápadu mali obmedziť. V tomto prípade budete strácať čas zbytočnými matematickými operáciami. To platí najmä pre hodnoty, ako je koreň troch alebo dvoch, pretože sa vyskytujú v úlohách na každom kroku. To isté platí aj o zaokrúhľovaní „škaredých“ čísel.

Ďalej si všimnite, že kosínusová veta sa vzťahuje na akýkoľvek trojuholník, ale nie na Pytagorovu vetu! Ak omylom zabudnete odpočítať dvojnásobok súčinu strán vynásobeného kosínusom uhla medzi nimi, dostanete nielen úplne nesprávny výsledok, ale preukážete aj úplné nepochopenie témy. Toto je horšie ako neopatrná chyba.

Po tretie, nezamieňajte hodnoty uhlov 30 a 60 stupňov pre sínusy, kosínusy, tangens, kotangens. Zapamätajte si tieto hodnoty, pretože sínus 30 stupňov sa rovná kosínusu 60 a naopak. Je ľahké ich zamiešať, v dôsledku čoho nevyhnutne získate chybný výsledok.

Aplikácia

Mnohí študenti sa neponáhľajú začať študovať trigonometriu, pretože nerozumejú jej aplikovanému významu. Čo je sínus, kosínus, tangens pre inžiniera alebo astronóma? Ide o koncepty, vďaka ktorým môžete vypočítať vzdialenosť k vzdialeným hviezdam, predpovedať pád meteoritu, poslať výskumnú sondu na inú planétu. Bez nich nie je možné postaviť budovu, navrhnúť auto, vypočítať zaťaženie povrchu alebo trajektóriu objektu. A to sú len tie najzreteľnejšie príklady! Koniec koncov, trigonometria v tej či onej forme sa používa všade, od hudby po medicínu.

Konečne

Takže ste sínus, kosínus, tangenta. Môžete ich použiť pri výpočtoch a úspešne vyriešiť školské úlohy.

Celá podstata trigonometrie sa scvrkáva na skutočnosť, že neznáme parametre sa musia vypočítať zo známych parametrov trojuholníka. Celkovo existuje šesť parametrov: dĺžky troch strán a veľkosti troch uhlov. Celý rozdiel v úlohách spočíva v tom, že sú dané rôzne vstupné údaje.

Ako nájsť sínus, kosínus, tangens na základe známych dĺžok nôh alebo prepony, teraz viete. Keďže tieto pojmy neznamenajú nič iné ako pomer a pomer je zlomok, hlavným cieľom trigonometrickej úlohy je nájsť korene obyčajnej rovnice alebo sústavy rovníc. A tu vám pomôže obyčajná školská matematika.

Sinus ostrý uhol α pravouhlého trojuholníka je pomer opak katétra do prepony.
Označuje sa takto: hriech α.

Kosínus ostrý uhol α pravouhlého trojuholníka je pomer priľahlého ramena k prepone.
Označuje sa takto: cos α.

Tangenta ostrý uhol α je pomer protiľahlého ramena k susednému ramenu.
Označuje sa takto: tg α.

Kotangens ostrý uhol α je pomer priľahlej nohy k protiľahlej.
Označuje sa takto: ctg α.

Sínus, kosínus, tangens a kotangens uhla závisia len od veľkosti uhla.

pravidlá:

Základné goniometrické identity v pravouhlom trojuholníku:

(α - ostrý uhol oproti nohe b a priľahlé k nohe a . Side s - prepona. β - druhý ostrý uhol).

b sinα = - c	sin 2 α + cos 2 α = 1
a cosα = - c	1 1 + tg 2 α = -- cos 2 α
b tgα = - a	1 1 + ctg 2 α = -- sin2α
a ctgα = - b	1 1 1 + -- = -- tg 2 α sin 2 α
sinα tgα = -- cosα

Keď sa ostrý uhol zväčšujesinα azvýšenie tg α acos α klesá.

Pre akýkoľvek ostrý uhol α:

sin (90° - α) = cos α

cos (90° - α) = sin α

Vysvetľujúci príklad:

Vlož pravouhlý trojuholník ABC
AB = 6,
BC = 3,
uhol A = 30°.

Nájdite sínus uhla A a kosínus uhla B.

Riešenie .

1) Najprv nájdeme hodnotu uhla B. Tu je všetko jednoduché: keďže v pravouhlom trojuholníku je súčet ostrých uhlov 90º, potom uhol B \u003d 60º:

B \u003d 90º – 30º \u003d 60º.

2) Vypočítajte sin A. Vieme, že sínus sa rovná pomeru protiľahlej vetvy k prepone. Pre uhol A je opačná noha strana BC. Takže:

BC 3 1
hriech A = -- = - = -
AB 6 2

3) Teraz vypočítame cos B. Vieme, že kosínus sa rovná pomeru susednej vetvy k prepone. Pre uhol B je susedná noha rovnaká strana BC. To znamená, že opäť musíme rozdeliť BC na AB - to znamená vykonať rovnaké akcie ako pri výpočte sínusu uhla A:

BC 3 1
cos B = -- = - = -
AB 6 2

Výsledkom je:
sin A = cos B = 1/2.

sin 30º = cos 60º = 1/2.

Z toho vyplýva, že v pravouhlom trojuholníku sa sínus jedného ostrého uhla rovná kosínusu iného ostrého uhla - a naopak. Presne toto znamenajú naše dva vzorce:
sin (90° - α) = cos α
cos (90° - α) = sin α

Pozrime sa na to znova:

1) Nech α = 60º. Dosadením hodnoty α do sínusového vzorca dostaneme:
sin (90º - 60º) = cos 60º.
sin 30º = cos 60º.

2) Nech α = 30º. Dosadením hodnoty α do kosínusového vzorca dostaneme:
cos (90° - 30°) = sin 30°.
cos 60° = hriech 30°.

(Viac o trigonometrii nájdete v časti Algebra)

Inštrukcia

Trojuholník sa nazýva pravouhlý, ak jeden z jeho uhlov je 90 stupňov. Skladá sa z dvoch nôh a prepony. Prepona je najdlhšia strana tohto trojuholníka. Leží proti pravému uhlu. Nohy sa nazývajú jeho menšie strany. Môžu byť rovnaké alebo mať rôzne veľkosti. Rovnosť nôh, s ktorými pracujete, s pravouhlým trojuholníkom. Jeho krása spočíva v tom, že kombinuje dve postavy: pravouhlý a rovnoramenný trojuholník. Ak nohy nie sú rovnaké, potom je trojuholník ľubovoľný a podľa základného zákona: čím väčší je uhol, tým viac sa otáča ten, ktorý leží oproti nemu.

Existuje niekoľko spôsobov, ako nájsť preponu podľa a uhla. Ale pred použitím jedného z nich by ste mali určiť, ktorý a uhol sú známe. Vzhľadom na uhol a nohu priľahlú k nemu je ľahšie nájsť preponu pomocou kosínusu uhla. Kosínus ostrého uhla (cos a) v pravouhlom trojuholníku je pomer priľahlej vetvy k prepone. To znamená, že prepona (c) sa bude rovnať pomeru susedného ramena (b) ku kosínusu uhla a (cos a). Dá sa to napísať takto: cos a=b/c => c=b/cos a.

Ak je daný uhol a opačná noha, potom by sa malo pracovať. Sínus ostrého uhla (sin a) v pravouhlom trojuholníku je pomer protiľahlej vetvy (a) k prepone (c). Tu je princíp rovnaký ako v predchádzajúcom príklade, len namiesto kosínusovej funkcie sa použije sínus. sin a=a/c => c=a/sin a.

Môžete tiež použiť trigonometrickú funkciu, ako je . Nájsť požadovanú hodnotu je však o niečo zložitejšie. Tangenta ostrého uhla (tg a) v pravouhlom trojuholníku je pomer protiľahlej vetvy (a) k susednej vetve (b). Po nájdení oboch nôh použite Pytagorovu vetu (druhá mocnina prepony sa rovná súčtu druhých mocnín nôh) a nájde sa väčšia.

Poznámka

Pri práci s Pytagorovou vetou nezabúdajte, že máte do činenia s titulom. Po nájdení súčtu druhých mocnín nôh, aby ste dostali konečnú odpoveď, by ste mali vziať druhú odmocninu.

Zdroje:

• ako nájsť nohu a preponu

Prepona je strana pravouhlého trojuholníka, ktorá je oproti 90 stupňovému uhlu. Na výpočet jeho dĺžky stačí poznať dĺžku jednej z nôh a hodnotu jedného z ostrých uhlov trojuholníka.

Inštrukcia

Pri známom a ostrom pravom uhle je veľkosť prepony pomerom nohy k / tohto uhla, ak je daný uhol opačný / susediaci s ním:

h = Cl(alebo C2)/sina;

h = С1 (alebo С2)/cosα.

Príklad: Nech je ABC dané s preponami AB a C. Nech je uhol B 60 stupňov a uhol A 30 stupňov Dĺžka nohy BC je 8 cm, potrebujete dĺžku prepony AB. Na tento účel môžete použiť ktorúkoľvek z vyššie uvedených metód:

AB = BC/cos60 = 8 cm.

AB = BC/sin30 = 8 cm.

slovo " nohu“ pochádza z gréckych slov „kolmý“ alebo „zvislý“ – to vysvetľuje, prečo boli obe strany pravouhlého trojuholníka, ktoré tvoria jeho deväťdesiatstupňový uhol, takto pomenované. Nájdite dĺžku ktoréhokoľvek z nich nohu ov nie je ťažké, ak je známa hodnota uhla priľahlého k nemu a akýkoľvek iný z parametrov, pretože v tomto prípade budú skutočne známe hodnoty všetkých troch uhlov.

Inštrukcia

Ak je okrem hodnoty susedného uhla (β) dĺžka druhého nohu a (b), potom dĺžka nohu a (a) môže byť definovaný ako podiel dĺžky známeho nohu a pod známym uhlom: a=b/tg(β). Vyplýva to z definície tejto trigonometrie. Ak použijete vetu, môžete sa zaobísť bez dotyčnice. Z neho vyplýva, že dĺžka požadovaného k sínusu opačného uhla k pomeru dĺžky známeho nohu ale na sínus známeho uhla. Opak k požadovanému nohu y ostrý uhol možno vyjadriť pomocou známeho uhla ako 180°-90°-β = 90°-β, pretože súčet všetkých uhlov každého trojuholníka musí byť 180° a jeden z jeho uhlov sa rovná 90 °. Takže požadovaná dĺžka nohu a môže sa vypočítať podľa vzorca a=sin(90°-β)∗b/sin(β).

Ak je známa veľkosť susedného uhla (β) a dĺžka prepony (c), potom dĺžka nohu a (a) možno vypočítať ako súčin dĺžky prepony a kosínusu známeho uhla: a=c∗cos(β). Vyplýva to z definície kosínusu ako goniometrickej funkcie. Ale môžete použiť, ako v predchádzajúcom kroku, sínusovú vetu a potom požadovanú dĺžku nohu a sa bude rovnať súčinu sínusu medzi 90° a známym uhlom krát pomer dĺžky prepony k sínusu pravého uhla. A keďže sínus 90° je rovný jednej, môžeme ho zapísať takto: a=sin(90°-β)∗c.

Praktické výpočty je možné vykonávať napríklad pomocou softvérovej kalkulačky, ktorá je súčasťou operačného systému Windows. Ak ho chcete spustiť, vyberte položku "Spustiť" v hlavnom menu na tlačidle "Štart", zadajte príkaz calc a kliknite na tlačidlo "OK". Najjednoduchšia verzia rozhrania tohto programu, ktorá sa predvolene otvára, neposkytuje trigonometrické funkcie, preto po jej spustení musíte v ponuke kliknúť na sekciu „Zobraziť“ a vybrať riadok „Vedecké“ alebo „Inžinierstvo“ (v závislosti od na verzii operačného systému, ktorý používate).

Podobné videá

Slovo „katet“ prišlo do ruštiny z gréčtiny. V presnom preklade to znamená olovnica, teda kolmá na povrch zeme. V matematike sa nohy nazývajú strany, ktoré tvoria pravý uhol pravouhlého trojuholníka. Strana opačná k tomuto uhlu sa nazýva prepona. Pojem „noha“ sa používa aj v architektúre a technológii zvárania.

Nakreslite pravouhlý trojuholník ACB. Označte jeho nohy a a b a označte jeho preponu c. Všetky strany a uhly pravouhlého trojuholníka sú navzájom definované. Pomer nohy oproti jednému z ostrých uhlov k prepone sa nazýva sínus tohto uhla. V tomto trojuholníku sinCAB=a/c. Kosínus je pomer k prepone susednej nohy, t.j. cosCAB=b/c. Inverzné vzťahy sa nazývajú sekanta a kosekans.

Sekans tohto uhla sa získa vydelením prepony susednou vetvou, to znamená secCAB=c/b. Ukazuje sa prevrátená hodnota kosínusu, to znamená, že ju možno vyjadriť vzorcom secCAB=1/cosSAB.
Kosekans sa rovná podielu delenia prepony opačnou vetvou a je prevrátenou hodnotou sínusu. Dá sa vypočítať pomocou vzorca cosecCAB=1/sinCAB

Obe nohy sú vzájomne prepojené a kotangentné. V tomto prípade bude dotyčnica pomerom strany a ku strane b, to znamená opačnej vetvy k susednej. Tento pomer možno vyjadriť vzorcom tgCAB=a/b. V súlade s tým bude inverzný pomer kotangens: ctgCAB=b/a.

Pomer medzi veľkosťou prepony a oboch nôh určil starogrécky Pytagoras. Veta, jeho meno, ľudia stále používajú. Hovorí, že druhá mocnina prepony sa rovná súčtu štvorcov nôh, to znamená c2 \u003d a2 + b2. Podľa toho sa každá vetva bude rovnať druhej odmocnine rozdielu medzi druhými mocninami prepony a druhej vetvy. Tento vzorec možno zapísať ako b=√(c2-a2).

Dĺžka nohy sa dá vyjadriť aj vzťahmi, ktoré poznáte. Podľa teorémov sínusov a kosínusov sa noha rovná súčinu prepony a jednej z týchto funkcií. Môžete ju vyjadriť a alebo kotangens. Nohu a možno nájsť napríklad podľa vzorca a \u003d b * tan CAB. Presne rovnakým spôsobom, v závislosti od danej dotyčnice alebo , sa určí druhá vetva.

V architektúre sa používa aj pojem „noha“. Aplikuje sa na iónsky kapitál a vedie stredom chrbta. Teda v tomto prípade pod týmto pojmom kolmica na danú priamku.

V technológii zvárania existuje „noha kútového zvaru“. Rovnako ako v iných prípadoch ide o najkratšiu vzdialenosť. Tu hovoríme o medzere medzi jednou z častí, ktoré sa majú zvárať, k okraju švu umiestneného na povrchu druhej časti.

Podobné videá

Zdroje:

• aká je noha a prepona v roku 2019

Štúdium trigonometrie začíname pravouhlým trojuholníkom. Definujme, čo je sínus a kosínus, ako aj tangens a kotangens ostrého uhla. Toto sú základy trigonometrie.

Pripomeň si to pravý uhol je uhol rovný 90 stupňom. Inými slovami, polovica rozvinutého rohu.

Ostrý roh- menej ako 90 stupňov.

Tupý uhol- väčší ako 90 stupňov. Vo vzťahu k takémuto uhla nie je "tupé" urážka, ale matematický pojem :-)

Nakreslíme pravouhlý trojuholník. Pravý uhol sa zvyčajne označuje . Všimnite si, že strana oproti rohu je označená rovnakým písmenom, len malým. Takže strana ležiaca oproti uhlu A je označená.

Uhol je označený príslušným gréckym písmenom.

Hypotenzia Pravouhlý trojuholník je strana oproti pravému uhlu.

Nohy- strany oproti ostrým rohom.

Noha oproti rohu sa nazýva opak(vzhľadom na uhol). Druhá noha, ktorá leží na jednej strane rohu, sa nazýva priľahlé.

Sinus ostrý uhol v pravouhlom trojuholníku je pomer protiľahlej vetvy k prepone:

Kosínus ostrý uhol v pravouhlom trojuholníku - pomer priľahlej nohy k prepone:

Tangenta ostrý uhol v pravouhlom trojuholníku - pomer protiľahlej nohy k susednej:

Iná (ekvivalentná) definícia: dotyčnica ostrého uhla je pomer sínusu uhla k jeho kosínu:

Kotangens ostrý uhol v pravouhlom trojuholníku - pomer susednej vetvy k opačnej (alebo ekvivalentne pomer kosínusu k sínusu):

Venujte pozornosť základným pomerom pre sínus, kosínus, tangens a kotangens, ktoré sú uvedené nižšie. Budú nám užitočné pri riešení problémov.

Dokážme niektoré z nich.

Dobre, dali sme definície a napísané vzorce. Ale prečo potrebujeme sínus, kosínus, tangens a kotangens?

My to vieme súčet uhlov ľubovoľného trojuholníka je.

Poznáme vzťah medzi strany správny trojuholník. Toto je Pytagorova veta: .

Ukazuje sa, že keď poznáte dva uhly v trojuholníku, môžete nájsť tretí. Keď poznáte dve strany v pravouhlom trojuholníku, môžete nájsť tretiu. Takže pre uhly - ich pomer, pre strany - ich vlastné. Čo však robiť, ak v pravouhlom trojuholníku je známy jeden uhol (okrem pravého) a jedna strana, no potrebujete nájsť ďalšie strany?

Tomu čelili ľudia v minulosti, keď robili mapy oblasti a hviezdnej oblohy. Koniec koncov, nie je vždy možné priamo merať všetky strany trojuholníka.

Sínus, kosínus a tangenta - nazývajú sa tiež goniometrické funkcie uhla- uveďte pomer medzi strany a rohy trojuholník. Keď poznáte uhol, môžete nájsť všetky jeho trigonometrické funkcie pomocou špeciálnych tabuliek. A keď poznáte sínusy, kosínusy a dotyčnice uhlov trojuholníka a jednej z jeho strán, môžete nájsť zvyšok.

Nakreslíme tiež tabuľku hodnôt sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu pre „dobré“ uhly od do.

Všimnite si dve červené čiarky v tabuľke. Pre zodpovedajúce hodnoty uhlov tangens a kotangens neexistujú.

Poďme analyzovať niekoľko problémov v trigonometrii z úloh Banky FIPI.

1. V trojuholníku je uhol , . Nájsť .

Problém je vyriešený do štyroch sekúnd.

Pretože , .

2. V trojuholníku je uhol , , . Nájsť .

Hľadajme podľa Pytagorovej vety.

Problém je vyriešený.

Často sú v problémoch trojuholníky s uhlami a alebo s uhlami a . Zapamätajte si pre nich základné pomery naspamäť!

Pre trojuholník s uhlami a protiľahlou nohou je uhol v rovný polovica prepony.

Trojuholník s uhlami a je rovnoramenný. V ňom je prepona krát väčšia ako noha.

Zvažovali sme úlohy na riešenie pravouhlých trojuholníkov – teda na hľadanie neznámych strán alebo uhlov. Ale to nie je všetko! Vo variantoch skúšky z matematiky je veľa úloh, kde sa objavuje sínus, kosínus, tangens alebo kotangens vonkajšieho uhla trojuholníka. Viac o tom v ďalšom článku.

Pojmy sínus (), kosínus (), tangens (), kotangens () sú neoddeliteľne spojené s pojmom uhol. Aby sme dobre porozumeli týmto na prvý pohľad zložitým pojmom (ktoré u mnohých školákov vyvolávajú hrôzu) a aby sme sa uistili, že „čert nie je taký strašidelný, ako ho namaľovali“, začnime od začiatku a pochopiť pojem uhla.

Pojem uhla: radián, stupeň

Pozrime sa na obrázok. Vektor sa "otočil" vzhľadom na bod o určitú hodnotu. Takže miera tejto rotácie vzhľadom na počiatočnú polohu bude rohu.

Čo ešte potrebujete vedieť o koncepte uhla? No, jednotky uhla, samozrejme!

Uhol v geometrii aj trigonometrii možno merať v stupňoch a radiánoch.

Uhol (jeden stupeň) je stredový uhol v kruhu, založený na kruhovom oblúku, ktorý sa rovná časti kruhu. Celý kruh sa teda skladá z „kúskov“ kruhových oblúkov, alebo je uhol opísaný kruhom rovnaký.

To znamená, že obrázok vyššie ukazuje uhol, ktorý je rovnaký, to znamená, že tento uhol je založený na kruhovom oblúku veľkosti obvodu.

Uhol v radiánoch sa nazýva stredový uhol v kruhu na základe kruhového oblúka, ktorého dĺžka sa rovná polomeru kruhu. Dobre, pochopili ste? Ak nie, pozrime sa na obrázok.

Obrázok teda ukazuje uhol rovný radiánu, to znamená, že tento uhol je založený na kruhovom oblúku, ktorého dĺžka sa rovná polomeru kruhu (dĺžka sa rovná dĺžke alebo polomer sa rovná dĺžka oblúka). Dĺžka oblúka sa teda vypočíta podľa vzorca:

Kde je stredový uhol v radiánoch.

Keď to viete, viete odpovedať, koľko radiánov obsahuje uhol opísaný kruhom? Áno, na to si musíte zapamätať vzorec pre obvod kruhu. Tu je:

Teraz poďme dať do korelácie tieto dva vzorce a zistíme, že uhol opísaný kruhom je rovnaký. To znamená, že koreláciou hodnoty v stupňoch a radiánoch dostaneme to. Respektíve, . Ako vidíte, na rozdiel od „stupňov“ je vynechané slovo „radián“, pretože merná jednotka je zvyčajne jasná z kontextu.

Koľko je radiánov? To je správne!

Mám to? Potom upevnite dopredu:

Nejaké ťažkosti? Potom sa pozrite odpovede:

Pravý trojuholník: sínus, kosínus, tangens, kotangens uhla

Takže, s konceptom uhla prišiel na to. Aký je však sínus, kosínus, tangens, kotangens uhla? Poďme na to. K tomu nám pomôže pravouhlý trojuholník.

Ako sa nazývajú strany pravouhlého trojuholníka? Správne, prepona a nohy: prepona je strana, ktorá leží oproti pravému uhlu (v našom príklade je to strana); nohy sú dve zostávajúce strany a (tie, ktoré susedia s pravým uhlom), navyše, ak uvažujeme nohy s ohľadom na uhol, potom noha je susedná noha a noha je opačná. Takže teraz odpovedzme na otázku: aké sú sínusové, kosínusové, tangens a kotangens uhla?

Sínus uhla je pomer opačnej (vzdialenej) nohy k prepone.

v našom trojuholníku.

Kosínus uhla- toto je pomer priľahlej (blízkej) nohy k prepone.

v našom trojuholníku.

Tangenta uhla- to je pomer opačnej (vzdialenej) nohy k susednej (blízkej).

v našom trojuholníku.

Kotangens uhla- toto je pomer priľahlej (blízkej) nohy k opačnej (ďalekej).

v našom trojuholníku.

Tieto definície sú potrebné zapamätaj si! Aby ste si ľahšie zapamätali, ktorú nohu čím rozdeliť, musíte tomu jasne rozumieť dotyčnica a kotangens sedia len nohy a prepona sa objavuje len v sínus a kosínus. A potom môžete prísť s reťazcom asociácií. Napríklad tento:

kosínus→dotyk→dotyk→priľahlý;

Kotangens→dotyk→dotyk→priľahlý.

V prvom rade je potrebné si uvedomiť, že sínus, kosínus, dotyčnica a kotangens ako pomery strán trojuholníka nezávisia od dĺžok týchto strán (pod jedným uhlom). Nedôveruj? Potom sa presvedčte pohľadom na obrázok:

Zoberme si napríklad kosínus uhla. Podľa definície z trojuholníka: , ale môžeme vypočítať kosínus uhla z trojuholníka: . Vidíte, dĺžky strán sú rôzne, ale hodnota kosínusu jedného uhla je rovnaká. Hodnoty sínus, kosínus, tangens a kotangens teda závisia výlučne od veľkosti uhla.

Ak rozumiete definíciám, pokračujte a opravte ich!

Pre trojuholník zobrazený na obrázku nižšie nájdeme.

Dobre, pochopili ste to? Potom to skúste sami: vypočítajte to isté pre roh.

Jednotkový (trigonometrický) kruh

Pochopením pojmov stupňov a radiánov sme uvažovali o kružnici s polomerom rovným. Takýto kruh sa nazýva slobodný. Je veľmi užitočný pri štúdiu trigonometrie. Preto sa mu budeme venovať trochu podrobnejšie.

Ako vidíte, tento kruh je postavený v karteziánskom súradnicovom systéme. Polomer kruhu je rovný jednej, zatiaľ čo stred kruhu leží v počiatku, počiatočná poloha vektora polomeru je pevná pozdĺž kladného smeru osi (v našom príklade je to polomer).

Každý bod kruhu zodpovedá dvom číslam: súradnici pozdĺž osi a súradnici pozdĺž osi. Aké sú tieto súradnicové čísla? A vo všeobecnosti, čo majú spoločné s danou témou? Aby ste to dosiahli, nezabudnite na uvažovaný pravouhlý trojuholník. Na obrázku vyššie môžete vidieť dva celé pravouhlé trojuholníky. Zvážte trojuholník. Je obdĺžnikový, pretože je kolmý na os.

Čo sa rovná z trojuholníka? To je správne. Okrem toho vieme, že je to polomer jednotkovej kružnice, a preto . Dosaďte túto hodnotu do nášho kosínusového vzorca. Čo sa stane:

A čo sa rovná z trojuholníka? No, samozrejme,! Dosaďte hodnotu polomeru do tohto vzorca a získajte:

Môžete mi teda povedať, aké sú súradnice bodu, ktorý patrí do kruhu? No, v žiadnom prípade? A ak si to uvedomujete a sú to len čísla? Akej súradnici zodpovedá? No, samozrejme, súradnice! Akej súradnici zodpovedá? Správne, koordinovať! Teda pointa.

A čo sú si potom rovné a? Správne, použime príslušné definície tangens a kotangens a získajme to, a.

Čo ak je uhol väčší? Tu, napríklad, ako na tomto obrázku:

Čo sa zmenilo v tomto príklade? Poďme na to. Aby sme to urobili, opäť sa otočíme do pravouhlého trojuholníka. Uvažujme pravouhlý trojuholník: uhol (ako susediaci s uhlom). Akú hodnotu má sínus, kosínus, tangens a kotangens uhla? Správne, dodržiavame zodpovedajúce definície goniometrických funkcií:

No, ako vidíte, hodnota sínusu uhla stále zodpovedá súradnici; hodnota kosínusu uhla - súradnice; a hodnoty tangens a kotangens k príslušným pomerom. Tieto vzťahy sú teda použiteľné pre akékoľvek rotácie vektora polomeru.

Už bolo spomenuté, že počiatočná poloha vektora polomeru je pozdĺž kladného smeru osi. Doteraz sme tento vektor otáčali proti smeru hodinových ručičiek, ale čo sa stane, ak ho otočíme v smere hodinových ručičiek? Nič mimoriadne, získate aj uhol určitej veľkosti, ale iba negatívny. Pri otáčaní vektora polomeru proti smeru hodinových ručičiek teda dostaneme kladné uhly a pri otáčaní v smere hodinových ručičiek - negatívne.

Vieme teda, že celá otáčka vektora polomeru okolo kružnice je alebo. Je možné otočiť vektor polomeru o alebo o? No, samozrejme, že môžete! V prvom prípade teda vektor polomeru urobí jednu úplnú otáčku a zastaví sa v polohe resp.

V druhom prípade, to znamená, že vektor polomeru vykoná tri úplné otáčky a zastaví sa v polohe resp.

Z vyššie uvedených príkladov teda môžeme vyvodiť záver, že uhly, ktoré sa líšia o alebo (kde je akékoľvek celé číslo), zodpovedajú rovnakej polohe vektora polomeru.

Obrázok nižšie ukazuje uhol. Rovnaký obrázok zodpovedá rohu atď. Tento zoznam môže pokračovať donekonečna. Všetky tieto uhly možno zapísať všeobecným vzorcom alebo (kde je akékoľvek celé číslo)

Teraz, keď poznáte definície základných goniometrických funkcií a pomocou jednotkového kruhu, skúste odpovedať, čomu sa hodnoty rovnajú:

Tu je kruh jednotiek, ktorý vám pomôže:

Nejaké ťažkosti? Potom poďme na to prísť. Takže vieme, že:

Odtiaľ určíme súradnice bodov zodpovedajúcich určitým mieram uhla. No, začnime po poriadku: roh v odpovedá bodu so súradnicami, teda:

Neexistuje;

Ďalej, pri dodržaní rovnakej logiky, zistíme, že rohy v zodpovedajú bodom so súradnicami, resp. S týmto vedomím je ľahké určiť hodnoty goniometrických funkcií v zodpovedajúcich bodoch. Najprv si to vyskúšajte a potom skontrolujte odpovede.

Odpovede:

Neexistuje

Neexistuje

Neexistuje

Neexistuje

Môžeme teda zostaviť nasledujúcu tabuľku:

Nie je potrebné si pamätať všetky tieto hodnoty. Stačí si zapamätať zhodu medzi súradnicami bodov na jednotkovej kružnici a hodnotami trigonometrických funkcií:

Ale hodnoty goniometrických funkcií uhlov v a uvedené v tabuľke nižšie, treba pamätať:

Nebojte sa, teraz si ukážeme jeden z príkladov pomerne jednoduché zapamätanie zodpovedajúcich hodnôt:

Ak chcete použiť túto metódu, je dôležité zapamätať si hodnoty sínusu pre všetky tri miery uhla (), ako aj hodnotu tangenty uhla v. Keď poznáte tieto hodnoty, je celkom ľahké obnoviť celú tabuľku - hodnoty kosínusu sa prenášajú v súlade so šípkami, to znamená:

Keď to viete, môžete obnoviť hodnoty pre. Čitateľ „ “ sa bude zhodovať a menovateľ „ “ sa bude zhodovať. Hodnoty kotangens sa prenášajú v súlade so šípkami znázornenými na obrázku. Ak tomu rozumiete a pamätáte si diagram so šípkami, bude stačiť zapamätať si celú hodnotu z tabuľky.

Súradnice bodu na kružnici

Je možné nájsť bod (jeho súradnice) na kružnici, poznať súradnice stredu kružnice, jej polomer a uhol natočenia?

No, samozrejme, môžete! Poďme vyviesť všeobecný vzorec na zistenie súradníc bodu.

Tu máme napríklad taký kruh:

Máme dané, že bod je stredom kruhu. Polomer kruhu je rovnaký. Je potrebné nájsť súradnice bodu získané otočením bodu o stupne.

Ako je zrejmé z obrázku, súradnica bodu zodpovedá dĺžke segmentu. Dĺžka segmentu zodpovedá súradnici stredu kruhu, to znamená, že sa rovná. Dĺžka segmentu môže byť vyjadrená pomocou definície kosínusu:

Potom to máme pre bod súradnice.

Podľa rovnakej logiky nájdeme hodnotu súradnice y pre bod. Touto cestou,

Vo všeobecnosti sú teda súradnice bodov určené vzorcami:

Súradnice stredu kruhu,

polomer kruhu,

Uhol natočenia vektora polomeru.

Ako vidíte, pre jednotkový kruh, ktorý uvažujeme, sú tieto vzorce výrazne znížené, pretože súradnice stredu sú nulové a polomer sa rovná jednej:

No, skúsme si ochutnať tieto vzorce, precvičiť si hľadanie bodov na kruhu?

1. Nájdite súradnice bodu na jednotkovej kružnici získanej otočením bodu.

2. Nájdite súradnice bodu na jednotkovej kružnici získanej rotáciou bodu.

3. Nájdite súradnice bodu na jednotkovej kružnici získanej otočením bodu.

4. Bod - stred kruhu. Polomer kruhu je rovnaký. Je potrebné nájsť súradnice bodu získané otočením vektora počiatočného polomeru o.

5. Bod - stred kruhu. Polomer kruhu je rovnaký. Je potrebné nájsť súradnice bodu získané otočením vektora počiatočného polomeru o.

Máte problém nájsť súradnice bodu na kruhu?

Vyriešte týchto päť príkladov (alebo dobre pochopte riešenie) a naučíte sa ich nájsť!

1.

Je to vidieť. A vieme, čo zodpovedá úplnému otočeniu východiskového bodu. Požadovaný bod bude teda v rovnakej polohe ako pri otáčaní. Keď to vieme, nájdeme požadované súradnice bodu:

2. Kruh je jednotka so stredom v bode, čo znamená, že môžeme použiť zjednodušené vzorce:

Je to vidieť. Vieme, čo zodpovedá dvom úplným rotáciám počiatočného bodu. Požadovaný bod bude teda v rovnakej polohe ako pri otáčaní. Keď to vieme, nájdeme požadované súradnice bodu:

Sínus a kosínus sú tabuľkové hodnoty. Pamätáme si ich hodnoty a dostávame:

Požadovaný bod má teda súradnice.

3. Kruh je jednotka so stredom v bode, čo znamená, že môžeme použiť zjednodušené vzorce:

Je to vidieť. Znázornime uvažovaný príklad na obrázku:

Polomer zviera s osou uhly rovné a. Keď vieme, že tabuľkové hodnoty kosínusu a sínusu sú rovnaké, a keď sme určili, že kosínus tu má zápornú hodnotu a sínus je kladný, máme:

Podobné príklady sú podrobnejšie analyzované pri štúdiu vzorcov na zníženie goniometrických funkcií v téme.

Požadovaný bod má teda súradnice.

4.

Uhol natočenia vektora polomeru (podľa podmienky)

Na určenie zodpovedajúcich znamienok sínusu a kosínusu zostrojíme jednotkový kruh a uhol:

Ako vidíte, hodnota, to jest, je kladná a hodnota, teda záporná. Keď poznáme tabuľkové hodnoty zodpovedajúcich goniometrických funkcií, získame, že:

Nahraďte získané hodnoty do nášho vzorca a nájdime súradnice:

Požadovaný bod má teda súradnice.

5. Na vyriešenie tohto problému používame vzorce vo všeobecnom tvare, kde

Súradnice stredu kruhu (v našom príklade

Polomer kruhu (podľa podmienky)

Uhol natočenia vektora polomeru (podľa podmienky).

Nahraďte všetky hodnoty do vzorca a získajte:

a - tabuľkové hodnoty. Zapamätáme si ich a dosadíme do vzorca:

Požadovaný bod má teda súradnice.

SÚHRN A ZÁKLADNÝ VZOREC

Sínus uhla je pomer opačnej (vzdialenej) nohy k prepone.

Kosínus uhla je pomer priľahlého (blízkeho) ramena k prepone.

Tangenta uhla je pomer protiľahlej (vzdialenej) nohy k susednej (blízkej).

Kotangens uhla je pomer susednej (blízkej) nohy k opačnej (ďalekej).