Kiedy pracujemy z różnymi wyrażeniami zawierającymi liczby, litery i zmienne, musimy wykonać dużą liczbę operacji arytmetycznych. Kiedy dokonujemy przeliczenia lub obliczamy wartość, bardzo ważne jest zachowanie właściwej kolejności tych czynności. Innymi słowy, operacje arytmetyczne mają swoją własną, specjalną kolejność wykonywania.

Yandex.RTB R-A-339285-1

W tym artykule podpowiemy, które czynności należy wykonać w pierwszej kolejności, a które później. Na początek przyjrzyjmy się kilku prostym wyrażeniom, które zawierają tylko zmienne lub wartości liczbowe, a także znaki dzielenia, mnożenia, odejmowania i dodawania. Następnie weźmy przykłady z nawiasami i zastanówmy się, w jakiej kolejności należy je obliczyć. W trzeciej części podamy niezbędną kolejność przekształceń i obliczeń w tych przykładach, które zawierają znaki pierwiastków, potęg i innych funkcji.

Definicja 1

W przypadku wyrażeń bez nawiasów kolejność działań jest określona jednoznacznie:

1. Wszystkie czynności wykonywane są od lewej do prawej.
2. Najpierw wykonujemy dzielenie i mnożenie, a następnie odejmowanie i dodawanie.

Znaczenie tych zasad jest łatwe do zrozumienia. Tradycyjny porządek zapisu od lewej do prawej określa podstawową kolejność obliczeń, a konieczność wykonania najpierw mnożenia lub dzielenia tłumaczy się samą istotą tych operacji.

Dla jasności weźmy kilka zadań. Użyliśmy tylko najprostszych wyrażeń liczbowych, aby wszystkie obliczenia można było wykonać mentalnie. W ten sposób możesz szybko zapamiętać żądaną kolejność i szybko sprawdzić wyniki.

Przykład 1

Stan : schorzenie: oblicz, ile to będzie 7 − 3 + 6 .

Rozwiązanie

W naszym wyrażeniu nie ma nawiasów, nie ma też mnożenia i dzielenia, więc wszystkie czynności wykonujemy w określonej kolejności. Najpierw odejmujemy trzy od siedmiu, następnie dodajemy sześć do reszty i otrzymujemy dziesięć. Oto transkrypcja całego rozwiązania:

7 − 3 + 6 = 4 + 6 = 10

Odpowiedź: 7 − 3 + 6 = 10 .

Przykład 2

Stan : schorzenie: w jakiej kolejności należy wykonać obliczenia w wyrażeniu? 6:2 8:3?

Rozwiązanie

Aby odpowiedzieć na to pytanie, przeczytajmy jeszcze raz sformułowaną wcześniej regułę dotyczącą wyrażeń bez nawiasów. Mamy tu tylko mnożenie i dzielenie, czyli zachowujemy pisemną kolejność obliczeń i liczymy sekwencyjnie od lewej do prawej.

Odpowiedź: Najpierw dzielimy sześć przez dwa, wynik mnożymy przez osiem i dzielimy wynikową liczbę przez trzy.

Przykład 3

Stan : schorzenie: oblicz, ile to będzie 17 − 5 · 6: 3 − 2 + 4: 2.

Rozwiązanie

Najpierw ustalmy poprawną kolejność działań, ponieważ mamy tutaj wszystkie podstawowe typy operacji arytmetycznych - dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie. Pierwszą rzeczą, którą musimy zrobić, to dzielić i mnożyć. Czynności te nie mają względem siebie pierwszeństwa, dlatego wykonujemy je w kolejności pisemnej od prawej do lewej. Oznacza to, że 5 należy pomnożyć przez 6, aby otrzymać 30, a następnie 30 podzielić przez 3, aby otrzymać 10. Następnie podziel 4 przez 2, otrzymasz 2. Podstawmy znalezione wartości do oryginalnego wyrażenia:

17 - 5 6: 3 - 2 + 4: 2 = 17 - 10 - 2 + 2

Nie ma tu już dzielenia ani mnożenia, więc wykonujemy pozostałe obliczenia po kolei i otrzymujemy odpowiedź:

17 − 10 − 2 + 2 = 7 − 2 + 2 = 5 + 2 = 7

Odpowiedź:17 - 5 6: 3 - 2 + 4: 2 = 7.

Dopóki kolejność wykonywania czynności nie zostanie dokładnie zapamiętana, możesz umieszczać liczby nad znakami operacji arytmetycznych, wskazując kolejność obliczeń. Na przykład dla powyższego problemu moglibyśmy zapisać to w ten sposób:

Jeśli mamy wyrażenia literowe, robimy z nimi to samo: najpierw mnożymy i dzielimy, następnie dodajemy i odejmujemy.

Jakie są działania pierwszego i drugiego etapu?

Czasami w podręcznikach wszystkie operacje arytmetyczne są podzielone na działania pierwszego i drugiego etapu. Sformułujmy niezbędną definicję.

Operacje pierwszego etapu obejmują odejmowanie i dodawanie, drugiego - mnożenie i dzielenie.

Znając te nazwy, możemy zapisać podaną wcześniej regułę dotyczącą kolejności działań w następujący sposób:

Definicja 2

W wyrażeniu niezawierającym nawiasów należy najpierw wykonać czynności drugiego etapu w kierunku od lewej do prawej, a następnie czynności pierwszego etapu (w tym samym kierunku).

Kolejność obliczeń w wyrażeniach w nawiasach

Same nawiasy są znakiem, który informuje nas o pożądanej kolejności działań. W takim przypadku wymaganą regułę można zapisać w następujący sposób:

Definicja 3

Jeśli w wyrażeniu znajdują się nawiasy, to pierwszym krokiem jest wykonanie w nich operacji, po czym mnożymy i dzielimy, a następnie dodajemy i odejmujemy od lewej do prawej.

Jeśli chodzi o samo wyrażenie w nawiasie, można je uznać za integralną część wyrażenia głównego. Obliczając wartość wyrażenia w nawiasach, zachowujemy tę samą znaną nam procedurę. Zilustrujmy nasz pomysł przykładem.

Przykład 4

Stan : schorzenie: oblicz, ile to będzie 5 + (7 - 2 3) (6 - 4): 2.

Rozwiązanie

W tym wyrażeniu znajdują się nawiasy, więc zacznijmy od nich. Najpierw obliczmy, ile będzie 7 − 2 · 3. Tutaj musimy pomnożyć 2 przez 3 i odjąć wynik od 7:

7 - 2 3 = 7 - 6 = 1

Wynik obliczamy w drugim nawiasie. Tam mamy tylko jedną akcję: 6 − 4 = 2 .

Teraz musimy zastąpić wynikowe wartości oryginalnym wyrażeniem:

5 + (7 - 2 3) (6 - 4): 2 = 5 + 1 2: 2

Zacznijmy od mnożenia i dzielenia, następnie wykonaj odejmowanie i otrzymaj:

5 + 1 2: 2 = 5 + 2: 2 = 5 + 1 = 6

Na tym kończą się obliczenia.

Odpowiedź: 5 + (7 - 2 3) (6 - 4): 2 = 6.

Nie przejmuj się, jeśli nasz warunek zawiera wyrażenie, w którym jedne nawiasy zawierają inne. Musimy jedynie konsekwentnie zastosować powyższą regułę do wszystkich wyrażeń w nawiasach. Weźmy ten problem.

Przykład 5

Stan : schorzenie: oblicz, ile to będzie 4 + (3 + 1 + 4 (2 + 3)).

Rozwiązanie

Mamy nawiasy w nawiasach. Zaczynamy od 3 + 1 + 4 · (2 ​​+ 3), czyli 2 + 3. Będzie 5. Wartość będzie musiała zostać podstawiona do wyrażenia i obliczona jako 3 + 1 + 4 · 5. Pamiętamy, że najpierw musimy pomnożyć, a potem dodać: 3 + 1 + 4 5 = 3 + 1 + 20 = 24. Zastępując znalezione wartości oryginalnym wyrażeniem, obliczamy odpowiedź: 4 + 24 = 28 .

Odpowiedź: 4 + (3 + 1 + 4 · (2 ​​+ 3)) = 28.

Innymi słowy, obliczając wartość wyrażenia zawierającego nawiasy w nawiasach, zaczynamy od nawiasów wewnętrznych i przechodzimy do nawiasów zewnętrznych.

Powiedzmy, że musimy znaleźć, ile (4 + (4 + (4 - 6: 2)) - 1) - 1 będzie. Zaczynamy od wyrażenia w nawiasach wewnętrznych. Ponieważ 4 - 6: 2 = 4 - 3 = 1, oryginalne wyrażenie można zapisać jako (4 + (4 + 1) - 1) - 1. Patrząc ponownie na wewnętrzne nawiasy: 4 + 1 = 5. Doszliśmy do wyrażenia (4 + 5 − 1) − 1 . Liczymy 4 + 5 − 1 = 8 i w rezultacie otrzymujemy różnicę 8 - 1, której wynikiem będzie 7.

Kolejność obliczeń w wyrażeniach z potęgami, pierwiastkami, logarytmami i innymi funkcjami

Jeżeli w naszym warunku znajduje się wyrażenie z potęgą, pierwiastkiem, logarytmem, funkcją trygonometryczną (sinus, cosinus, tangens i cotangens) lub inną funkcją, to w pierwszej kolejności obliczamy wartość tej funkcji. Następnie postępujemy zgodnie z zasadami określonymi w poprzednich akapitach. Inaczej mówiąc, funkcje mają taką samą wagę jak wyrażenia zawarte w nawiasach.

Spójrzmy na przykład takiego obliczenia.

Przykład 6

Stan : schorzenie: znajdź, ile wynosi (3 + 1) · 2 + 6 2: 3 - 7.

Rozwiązanie

Mamy wyrażenie ze stopniem, którego wartość należy najpierw znaleźć. Liczymy: 6 2 = 36. Podstawmy teraz wynik do wyrażenia, po czym przybierze ono postać (3 + 1) · 2 + 36: 3 − 7.

(3 + 1) 2 + 36: 3 - 7 = 4 2 + 36: 3 - 7 = 8 + 12 - 7 = 13

Odpowiedź: (3 + 1) 2 + 6 2: 3 - 7 = 13.

W osobnym artykule poświęconym obliczaniu wartości wyrażeń podajemy inne, bardziej złożone przykłady obliczeń w przypadku wyrażeń z pierwiastkami, stopniami itp. Zalecamy zapoznanie się z tym.

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

24 października 2017 admin

Łopatko Irina Georgiewna

Cel: kształtowanie wiedzy o kolejności wykonywania operacji arytmetycznych w wyrażeniach numerycznych bez nawiasów i z nawiasami, składające się z 2-3 działań.

Zadania:

Edukacyjny: rozwinięcie u uczniów umiejętności stosowania zasad kolejności działań przy obliczaniu konkretnych wyrażeń, umiejętności stosowania algorytmu działań.

Rozwojowy: rozwijać umiejętności pracy w parach, aktywność umysłową uczniów, umiejętność rozumowania, porównywania i kontrastowania, umiejętności liczenia i mowy matematycznej.

Edukacyjny: kultywować zainteresowanie tematem, tolerancyjną postawę wobec siebie, wzajemną współpracę.

Typ: nauka nowego materiału

Sprzęt: prezentacja, wizualizacje, ulotki, karty, podręcznik.

Metody: werbalne, wizualne i przenośne.

PODCZAS ZAJĘĆ

1. Organizowanie czasu

Pozdrowienia.

Przyjechaliśmy tu się uczyć

Nie bądź leniwy, ale pracuj.

Pracujemy pilnie

Słuchajmy uważnie.

Markuszewicz powiedział wspaniałe słowa: „Kto studiuje matematykę od dzieciństwa, rozwija uwagę, ćwiczy mózg, swoją wolę, kultywuje wytrwałość i wytrwałość w osiąganiu celów.” Witamy na lekcji matematyki!

1. Aktualizowanie wiedzy

Przedmiot matematyki jest tak poważny, że nie można przegapić żadnej okazji, aby uczynić go bardziej zabawnym.(B. Pascal)

Sugeruję wykonanie zadań logicznych. Jesteś gotowy?

Które dwie liczby po pomnożeniu dają taki sam wynik, jak po dodaniu? (2 i 2)

Spod płotu widać 6 par końskich nóg. Ile tych zwierząt jest na podwórku? (3)

Kogut stojący na jednej nodze waży 5 kg. Ile będzie ważył stojąc na dwóch nogach? (5kg)

Na dłoniach jest 10 palców. Ile palców jest na 6 rękach? (trzydzieści)

Rodzice mają 6 synów. Każdy ma siostrę. Ile dzieci jest w rodzinie? (7)

Ile ogonów ma siedem kotów?

Ile nosów mają dwa psy?

Ile uszu ma 5 dzieci?

Chłopaki, właśnie takiej pracy od was oczekiwałem: byliście aktywni, uważni i mądrzy.

Ocena: ustna.

Liczenie werbalne

SKRZYNKA WIEDZY

Iloczyn liczb 2 * 3, 4 * 2;

Liczby cząstkowe 15: 3, 10:2;

Suma liczb 100 + 20, 130 + 6, 650 + 4;

Różnica między liczbami wynosi 180 – 10, 90 – 5, 340 – 30.

Elementy mnożenia, dzielenia, dodawania, odejmowania.

Ocena: uczniowie samodzielnie oceniają się nawzajem

1. Komunikowanie tematu i celu lekcji

„Aby strawić wiedzę, trzeba ją wchłaniać z apetytem.”(A. Franz)

Czy jesteś gotowy, aby chłonąć wiedzę z apetytem?

Chłopakom, Maszy i Miszy zaoferowano taki łańcuch

24 + 40: 8 – 4=

Masza zdecydowała tak:

24 + 40: 8 – 4 = 25 prawda? Odpowiedzi dzieci.

A Misha zdecydowała tak:

24 + 40: 8 – 4= 4 prawda? Odpowiedzi dzieci.

Co Cię zaskoczyło? Wygląda na to, że zarówno Masza, jak i Misza zdecydowały poprawnie. Dlaczego więc mają różne odpowiedzi?

Liczyli w różnej kolejności, nie byli zgodni, w jakiej kolejności będą liczyć.

Od czego zależy wynik obliczeń? Z zamówienia.

Co widzisz w tych wyrażeniach? Liczby, znaki.

Jak nazywają się znaki w matematyce? Działania.

Na jaką kolejność chłopaki się nie zgodzili? O procedurze.

Czego będziemy uczyć się na zajęciach? Jaki jest temat lekcji?

Przeanalizujemy kolejność operacji arytmetycznych w wyrażeniach.

Dlaczego musimy znać procedurę? Wykonuj poprawnie obliczenia w długich wyrażeniach

„Kosz Wiedzy”. (Kosz wisi na desce)

Uczniowie wymieniają skojarzenia związane z danym tematem.

1. Nauka nowego materiału

Kochani, posłuchajcie, co powiedział francuski matematyk D. Poya: „Najlepszym sposobem, aby się czegoś nauczyć, jest odkrycie tego samemu”. Czy jesteś gotowy na odkrycia?

180 – (9 + 2) =

Przeczytaj wyrażenia. Porównaj je.

W czym są podobni? 2 akcje, te same liczby

Jaka jest różnica? Nawiasy, różne działania

Zasada nr 1.

Przeczytaj regułę na slajdzie. Dzieci głośno czytają regulamin.

W wyrażeniach bez nawiasów zawierających tylko dodawanie i odejmowanie Lub mnożenie i dzielenie, operacje wykonywane są w kolejności ich zapisu: od lewej do prawej.

O jakich działaniach tu mówimy? +, — Lub : , ·

Spośród tych wyrażeń znajdź tylko te, które odpowiadają zasadzie 1. Zapisz je w zeszycie.

Oblicz wartości wyrażeń.

Badanie.

180 – 9 + 2 = 173

Zasada 2.

Przeczytaj regułę na slajdzie.

Dzieci głośno czytają regulamin.

W wyrażeniach bez nawiasów najpierw wykonuje się mnożenie lub dzielenie, w kolejności od lewej do prawej, a następnie dodawanie lub odejmowanie.

:, · i +, — (razem)

Czy są nawiasy? NIE.

Jakie działania wykonamy w pierwszej kolejności? ·, : od lewej do prawej

Jakie działania podejmiemy dalej? +, — lewo, prawo

Znajdź ich znaczenie.

Badanie.

180 – 9 * 2 = 162

Zasada 3

W wyrażeniach z nawiasami najpierw oceń wartość wyrażeń w nawiasachmnożenie lub dzielenie wykonywane jest w kolejności od lewej do prawej, a następnie dodawanie lub odejmowanie.

Jakie operacje arytmetyczne są tutaj wskazane?

:, · i +, — (razem)

Czy są nawiasy? Tak.

Jakie działania wykonamy w pierwszej kolejności? W nawiasach

Jakie działania podejmiemy dalej? ·, : od lewej do prawej

I wtedy? +, — lewo, prawo

Zapisz wyrażenia powiązane z drugą zasadą.

Znajdź ich znaczenie.

Badanie.

180: (9 * 2) = 10

180 – (9 + 2) = 169

Po raz kolejny wszyscy wspólnie wyrażamy tę zasadę.

FIMINUTA

1. Konsolidacja

„Większa część matematyki nie pozostaje w pamięci, ale kiedy ją zrozumiesz, łatwo będzie ci przypomnieć sobie to, o czym czasami zapomniałeś”., powiedział M.V. Ostrogradski. Teraz przypomnimy sobie, czego się właśnie nauczyliśmy i zastosujemy nową wiedzę w praktyce .

Strona 52 nr 2

(52 – 48) * 4 =

Strona 52 nr 6 (1)

Uczniowie zebrali w szklarni 700 kg warzyw: 340 kg ogórków, 150 kg pomidorów, a reszta – paprykę. Ile kilogramów papryki zebrali uczniowie?

O czym oni rozmawiają? Co jest znane? Co musisz znaleźć?

Spróbujmy rozwiązać ten problem za pomocą wyrażenia!

700 – (340 + 150) = 210 (kg)

Odpowiedź: Uczniowie zebrali 210 kg pieprzu.

Pracujcie w parach.

Rozdawane są karty z zadaniem.

5 + 5 + 5 5 = 35

(5+5) : 5 5 = 10

Cieniowanie:

• prędkość – 1 b
• poprawność - 2b
• logika - 2 b

1. Praca domowa

Page 52 nr 6 (2) rozwiąż zadanie, zapisz rozwiązanie w formie wyrażenia.

1. Wynik, odbicie

Kostka Blooma

Nazwij to temat naszej lekcji?

Wyjaśnić kolejność wykonywania czynności w wyrażeniach w nawiasach.

Dlaczego Czy warto studiować ten temat?

Kontynuować pierwsza zasada.

Wymyśl to algorytm wykonywania działań w wyrażeniach w nawiasach.

„Jeśli chcesz uczestniczyć w wielkim życiu, wypełnij głowę matematyką, póki masz okazję. Będzie ci wtedy bardzo pomocna w całej twojej pracy.(M.I. Kalinin)

Dziękujemy za pracę na zajęciach!!!

UDZIAŁ Możesz

Szkoła podstawowa dobiega końca, a już niedługo dziecko wkroczy w zaawansowany świat matematyki. Ale już w tym okresie student staje w obliczu trudności nauki. Podczas wykonywania prostego zadania dziecko gubi się i gubi, co ostatecznie prowadzi do negatywnej oceny wykonanej pracy. Aby uniknąć takich problemów, rozwiązując przykłady, musisz umieć poruszać się w kolejności, w jakiej musisz rozwiązać przykład. Po nieprawidłowym rozłożeniu działań dziecko nie wykonuje poprawnie zadania. W artykule przedstawiono podstawowe zasady rozwiązywania przykładów zawierających cały zakres obliczeń matematycznych, łącznie z nawiasami. Postępowanie z matematyki, zasady i przykłady dla klasy 4.

Przed wykonaniem zadania poproś dziecko, aby ponumerowało czynności, które będzie wykonywało. Jeśli masz jakieś trudności, proszę o pomoc.

Kilka zasad, których należy przestrzegać przy rozwiązywaniu przykładów bez nawiasów:

Jeśli zadanie wymaga wykonania szeregu czynności, należy najpierw wykonać dzielenie lub mnożenie, a następnie . Wszystkie czynności są wykonywane w miarę postępu pisania listu. W przeciwnym razie wynik decyzji nie będzie prawidłowy.

Jeżeli w przykładzie trzeba wykonać, robimy to w kolejności od lewej do prawej.

27-5+15=37 (Rozwiązując przykład kierujemy się zasadą. Najpierw wykonujemy odejmowanie, potem dodawanie).

Naucz swoje dziecko, aby zawsze planowało i numerowało wykonywane czynności.

Odpowiedzi do każdego rozwiązanego działania są zapisane nad przykładem. Dzięki temu dziecku będzie znacznie łatwiej poruszać się po poszczególnych czynnościach.

Rozważmy inną opcję, w której konieczne jest rozdzielenie działań w kolejności:

Jak widać przy rozwiązywaniu obowiązuje zasada: najpierw szukamy produktu, potem szukamy różnicy.

Są to proste przykłady, które wymagają dokładnego rozważenia przy ich rozwiązywaniu. Wiele dzieci jest oszołomionych, gdy widzą zadanie zawierające nie tylko mnożenie i dzielenie, ale także nawiasy. Uczeń nie znający procedury wykonania czynności ma pytania, które uniemożliwiają mu wykonanie zadania.

Jak stwierdzono w regule, najpierw znajdujemy iloczyn lub iloraz, a następnie wszystko inne. Ale są nawiasy! Co zrobić w tym przypadku?

Rozwiązywanie przykładów za pomocą nawiasów

Spójrzmy na konkretny przykład:

• Wykonując to zadanie, najpierw znajdujemy wartość wyrażenia ujętego w nawiasy.
• Powinieneś zacząć od mnożenia, a potem dodawania.
• Po rozwiązaniu wyrażenia w nawiasach przystępujemy do działań poza nimi.
• Zgodnie z regulaminem kolejnym krokiem jest mnożenie.
• Ostatni etap będzie.

Jak widać na przykładzie wizualnym, wszystkie akcje są ponumerowane. Aby wzmocnić temat, poproś dziecko, aby samodzielnie rozwiązało kilka przykładów:

Kolejność obliczania wartości wyrażenia została już ustalona. Dziecko będzie musiało jedynie bezpośrednio wykonać tę decyzję.

Skomplikujmy zadanie. Pozwól dziecku samodzielnie odnaleźć znaczenie wyrażeń.

7*3-5*4+(20-19) 14+2*3-(13-9)
17+2*5+(28-2) 5*3+15-(2-1*2)
24-3*2-(56-4*3) 14+12-3*(21-7)

Naucz swoje dziecko rozwiązywania wszystkich zadań w formie roboczej. W takim przypadku uczeń będzie miał możliwość skorygowania błędnej decyzji lub plam. W skoroszycie nie można wprowadzać poprawek. Wykonując zadania samodzielnie, dzieci dostrzegają swoje błędy.

Rodzice z kolei powinni zwracać uwagę na błędy, pomagać dziecku je zrozumieć i poprawić. Nie należy przeciążać mózgu ucznia dużą ilością zadań. Takimi działaniami zniechęcisz dziecko do wiedzy. We wszystkim powinno być poczucie proporcji.

Zrób sobie przerwę. Dziecko powinno być rozproszone i odpocząć od zajęć. Najważniejszą rzeczą do zapamiętania jest to, że nie każdy ma umysł matematyczny. Być może Twoje dziecko wyrośnie na sławnego filozofa.

W tym artykule przyjrzymy się trzem przykładom:

1. Przykłady z nawiasami (czynności dodawania i odejmowania)

2. Przykłady z nawiasami (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie)

3. Przykłady z dużą ilością akcji

1 Przykłady z nawiasami (dodawanie i odejmowanie)

Spójrzmy na trzy przykłady. W każdym z nich kolejność działań oznaczona jest czerwonymi cyframi:

Widzimy, że kolejność działań w każdym przykładzie będzie inna, chociaż liczby i znaki są takie same. Dzieje się tak, ponieważ w drugim i trzecim przykładzie znajdują się nawiasy.

*Ta zasada dotyczy przykładów bez mnożenia i dzielenia. W drugiej części tego artykułu przyjrzymy się regułom dotyczącym przykładów z nawiasami obejmujących operacje mnożenia i dzielenia.

Aby uniknąć nieporozumień w przykładzie z nawiasami, możesz przekształcić go w zwykły przykład bez nawiasów. Aby to zrobić, wpisz uzyskany wynik w nawiasach nad nawiasami, następnie przepisz cały przykład, wpisując ten wynik zamiast nawiasów, a następnie wykonaj wszystkie czynności w kolejności od lewej do prawej:

W prostych przykładach możesz wykonać wszystkie te operacje w swoim umyśle. Najważniejsze jest, aby najpierw wykonać akcję w nawiasach i zapamiętać wynik, a następnie policzyć w kolejności, od lewej do prawej.

A teraz - symulatory!

1) Przykłady w nawiasach do 20. Symulator online.

2) Przykłady w nawiasach do 100. Symulator online.

3) Przykłady w nawiasach. Symulator nr 2

4) Wstaw brakującą liczbę – przykłady w nawiasach. Aparatura treningowa

2 Przykłady z nawiasami (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie)

Spójrzmy teraz na przykłady, w których oprócz dodawania i odejmowania występuje mnożenie i dzielenie.

Przyjrzyjmy się najpierw przykładom bez nawiasów:

Jest jeden trik, dzięki któremu nie pomylisz się przy rozwiązywaniu przykładów kolejności działań. Jeśli nie ma nawiasów, to wykonujemy operacje mnożenia i dzielenia, a następnie przepisujemy przykład, zapisując uzyskane wyniki zamiast tych działań. Następnie wykonujemy dodawanie i odejmowanie w następującej kolejności:

Jeśli przykład zawiera nawiasy, najpierw musisz się ich pozbyć: przepisz przykład, zapisując uzyskany w nich wynik zamiast nawiasów. Następnie musisz w myślach zaznaczyć części przykładu oddzielone znakami „+” i „-” i policzyć każdą część osobno. Następnie wykonaj dodawanie i odejmowanie w podanej kolejności:

3 przykłady z dużą ilością akcji

Jeśli w przykładzie jest wiele akcji, wygodniej będzie nie ustalać kolejności działań w całym przykładzie, ale wybrać bloki i rozwiązać każdy blok osobno. Aby to zrobić, znajdujemy wolne znaki „+” i „–” (wolne oznaczają nie w nawiasach, pokazane na rysunku strzałkami).

W V wieku p.n.e. starożytny grecki filozof Zenon z Elei sformułował swoje słynne aporie, z których najsłynniejszą jest aporia „Achilles i żółw”. Oto jak to brzmi:

Załóżmy, że Achilles biegnie dziesięć razy szybciej niż żółw i jest o tysiąc kroków za nim. W czasie, jaki potrzebuje Achilles na pokonanie tej odległości, żółw wykona sto kroków w tym samym kierunku. Kiedy Achilles przebiegnie sto kroków, żółw czołga się przez kolejne dziesięć kroków i tak dalej. Proces ten będzie trwał w nieskończoność, Achilles nigdy nie dogoni żółwia.

To rozumowanie stało się logicznym szokiem dla wszystkich kolejnych pokoleń. Arystoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Hilbert... Wszyscy oni w ten czy inny sposób rozważali aporię Zenona. Wstrząs był tak silny, że „ ... dyskusje trwają do dziś, w środowisku naukowym nie udało się jeszcze dojść do wspólnej opinii co do istoty paradoksów ... w badaniu tego zagadnienia zaangażowano analizę matematyczną, teorię mnogości, nowe podejścia fizyczne i filozoficzne ; żaden z nich nie stał się ogólnie przyjętym rozwiązaniem problemu...„[Wikipedia, „Aporia Zenona”. Każdy rozumie, że daje się oszukać, ale nikt nie rozumie, na czym to oszustwo polega.

Z matematycznego punktu widzenia Zenon w swoich aporiach wyraźnie pokazał przejście od ilości do. To przejście oznacza zastosowanie, a nie trwałe. O ile rozumiem, aparat matematyczny do stosowania zmiennych jednostek miary albo nie został jeszcze opracowany, albo nie został zastosowany do aporii Zenona. Stosowanie naszej zwykłej logiki prowadzi nas w pułapkę. My, ze względu na bezwładność myślenia, do wartości odwrotności stosujemy stałe jednostki czasu. Z fizycznego punktu widzenia wygląda to na spowolnienie czasu, aż do całkowitego zatrzymania się w momencie, gdy Achilles dogoni żółwia. Jeśli czas się zatrzyma, Achilles nie będzie już w stanie przegonić żółwia.

Jeśli odwrócimy naszą zwykłą logikę, wszystko ułoży się na swoim miejscu. Achilles biegnie ze stałą prędkością. Każdy kolejny odcinek jego ścieżki jest dziesięć razy krótszy od poprzedniego. W związku z tym czas poświęcony na jego pokonanie jest dziesięć razy krótszy niż poprzedni. Jeśli zastosujemy w tej sytuacji koncepcję „nieskończoności”, wówczas słuszne będzie stwierdzenie: „Achilles nieskończenie szybko dogoni żółwia”.

Jak uniknąć tej logicznej pułapki? Pozostań w stałych jednostkach czasu i nie przełączaj się na jednostki odwrotne. W języku Zenona wygląda to tak:

W czasie, jaki zajmie Achillesowi przebiegnięcie tysiąca kroków, żółw wykona sto kroków w tym samym kierunku. W następnym odstępie czasowym, równym pierwszemu, Achilles przebiegnie kolejne tysiąc kroków, a żółw przeczołga się sto kroków. Teraz Achilles jest osiemset kroków przed żółwiem.

Podejście to adekwatnie opisuje rzeczywistość, bez żadnych logicznych paradoksów. Ale to nie jest pełne rozwiązanie problemu. Stwierdzenie Einsteina o nieodpartej prędkości światła jest bardzo podobne do aporii Zenona „Achilles i żółw”. Musimy jeszcze przestudiować, przemyśleć i rozwiązać ten problem. A rozwiązania należy szukać nie w nieskończenie dużych liczbach, ale w jednostkach miary.

Kolejna interesująca aporia Zenona opowiada o lecącej strzałce:

Lecąca strzała jest nieruchoma, ponieważ w każdej chwili jest w spoczynku, a ponieważ jest w spoczynku w każdej chwili, jest zawsze w spoczynku.

W tej aporii paradoks logiczny zostaje przezwyciężony w bardzo prosty sposób - wystarczy wyjaśnić, że w każdym momencie lecąca strzała znajduje się w spoczynku w różnych punktach przestrzeni, co w rzeczywistości jest ruchem. Należy tutaj zwrócić uwagę na jeszcze jedną kwestię. Na podstawie jednego zdjęcia samochodu na drodze nie da się określić ani faktu jego ruchu, ani odległości do niego. Aby ustalić, czy samochód się porusza, potrzebne są dwa zdjęcia wykonane z tego samego punktu w różnych momentach w czasie, ale nie można określić odległości od nich. Aby określić odległość do samochodu, potrzebujesz dwóch zdjęć zrobionych z różnych punktów przestrzeni w tym samym momencie, ale na ich podstawie nie można określić faktu ruchu (oczywiście nadal potrzebujesz dodatkowych danych do obliczeń, trygonometria ci pomoże ). To na co chcę zwrócić szczególną uwagę to fakt, że dwa punkty w czasie i dwa punkty w przestrzeni to różne rzeczy, których nie należy mylić, gdyż dają odmienne możliwości badawcze.

środa, 4 lipca 2018 r

Różnice między zestawem a zestawem wielokrotnym są bardzo dobrze opisane w Wikipedii. Zobaczmy.

Jak widać „w zestawie nie mogą być dwa identyczne elementy”, ale jeśli w zestawie znajdują się identyczne elementy, taki zbiór nazywa się „multizbiorem”. Rozsądne istoty nigdy nie zrozumieją tak absurdalnej logiki. To jest poziom gadających papug i tresowanych małp, które nie mają inteligencji od słowa „całkowicie”. Matematycy zachowują się jak zwykli trenerzy, wmawiając nam swoje absurdalne pomysły.

Dawno, dawno temu inżynierowie, którzy zbudowali most, pływali łodzią pod mostem podczas testowania mostu. Jeśli most się zawali, przeciętny inżynier zginął pod gruzami swojego dzieła. Jeśli most wytrzymał obciążenie, utalentowany inżynier zbudował inne mosty.

Bez względu na to, jak matematycy ukrywają się za zwrotem „pamiętaj, jestem w domu” lub raczej „matematyka bada pojęcia abstrakcyjne”, istnieje jedna pępowina, która nierozerwalnie łączy ich z rzeczywistością. Ta pępowina to pieniądze. Zastosujmy matematyczną teorię mnogości do samych matematyków.

Bardzo dobrze uczyliśmy się matematyki, a teraz siedzimy przy kasie i wypłacamy pensje. Tak więc matematyk przychodzi do nas po swoje pieniądze. Odliczamy mu całą kwotę i układamy ją na naszym stole w różnych stosach, do których wkładamy banknoty o tym samym nominale. Następnie bierzemy po jednym rachunku z każdego stosu i dajemy matematykowi jego „matematyczny zestaw wynagrodzeń”. Wyjaśnijmy matematykowi, że resztę rachunków otrzyma dopiero wtedy, gdy udowodni, że zbiór bez identycznych elementów nie jest równy zbiorowi z identycznymi elementami. Tutaj zaczyna się zabawa.

Przede wszystkim sprawdzi się logika posłów: „Można to zastosować do innych, ale nie do mnie!” Wtedy zaczną nas uspokajać, że banknoty o tym samym nominale mają różne numery banknotów, a co za tym idzie, nie można ich uważać za te same elementy. OK, policzmy pensje w monetach - na monetach nie ma cyfr. Tutaj matematyk zacznie gorączkowo przypominać sobie fizykę: różne monety mają różną ilość brudu, struktura kryształu i układ atomów jest dla każdej monety unikalna...

I teraz mam najciekawsze pytanie: gdzie jest granica, za którą elementy multizbioru zamieniają się w elementy zbioru i odwrotnie? Taka linia nie istnieje – o wszystkim decydują szamani, nauka nawet nie jest bliska kłamstwa.

Popatrz tutaj. Wybieramy stadiony piłkarskie o tej samej powierzchni boiska. Pola pól są takie same - co oznacza, że ​​mamy multizbiór. Ale jeśli spojrzymy na nazwy tych samych stadionów, otrzymamy wiele, ponieważ nazwy są różne. Jak widać, ten sam zbiór elementów jest jednocześnie zbiorem i multizbiorem. Który jest poprawny? I tu matematyk-szaman-sostrzysta wyciąga z rękawa asa atutowego i zaczyna nam opowiadać albo o zestawie, albo o wielokrotności. W każdym razie przekona nas, że ma rację.

Aby zrozumieć, jak współcześni szamani operują teorią mnogości, wiążąc ją z rzeczywistością, wystarczy odpowiedzieć na jedno pytanie: czym różnią się elementy jednego zbioru od elementów innego zbioru? Pokażę ci, bez żadnego „wyobrażalnego jako pojedyncza całość” lub „niewyobrażalnego jako pojedyncza całość”.

Niedziela, 18 marca 2018 r

Suma cyfr liczby to taniec szamanów z tamburynem, który nie ma nic wspólnego z matematyką. Tak, na lekcjach matematyki uczy się nas znajdować sumę cyfr liczby i posługiwać się nią, ale po to są szamani, aby uczyć swoich potomków swoich umiejętności i mądrości, w przeciwnym razie szamani po prostu wymrą.

Czy potrzebujesz dowodu? Otwórz Wikipedię i spróbuj znaleźć stronę „Suma cyfr liczby”. Ona nie istnieje. W matematyce nie ma wzoru, za pomocą którego można by znaleźć sumę cyfr dowolnej liczby. Przecież liczby to symbole graficzne, za pomocą których piszemy liczby, a w języku matematyki zadanie brzmi tak: „Znajdź sumę symboli graficznych reprezentujących dowolną liczbę”. Matematycy nie potrafią rozwiązać tego problemu, ale szamani mogą to zrobić z łatwością.

Zastanówmy się, co i jak zrobić, aby znaleźć sumę cyfr danej liczby. I tak otrzymamy liczbę 12345. Co należy zrobić, aby znaleźć sumę cyfr tej liczby? Rozważmy wszystkie kroki w kolejności.

1. Zapisz numer na kartce papieru. Co my zrobiliśmy? Przekonwertowaliśmy liczbę na graficzny symbol liczbowy. To nie jest operacja matematyczna.

2. Jeden powstały obraz wycinamy na kilka obrazków zawierających indywidualne liczby. Cięcie obrazu nie jest operacją matematyczną.

3. Zamień poszczególne symbole graficzne na liczby. To nie jest operacja matematyczna.

4. Dodaj powstałe liczby. Teraz to jest matematyka.

Suma cyfr liczby 12345 wynosi 15. Są to „kursy krojenia i szycia”, prowadzone przez szamanów, z których korzystają matematycy. Ale to nie wszystko.

Z matematycznego punktu widzenia nie ma znaczenia, w jakim systemie liczbowym zapiszemy liczbę. Zatem w różnych systemach liczbowych suma cyfr tej samej liczby będzie inna. W matematyce system liczbowy jest oznaczony jako indeks dolny po prawej stronie liczby. Przy dużej liczbie 12345, nie chcę oszukiwać głowy, rozważmy liczbę 26 z artykułu o. Zapiszmy tę liczbę w systemie binarnym, ósemkowym, dziesiętnym i szesnastkowym. Nie będziemy patrzeć na każdy krok pod mikroskopem, już to zrobiliśmy. Spójrzmy na wynik.

Jak widać, w różnych systemach liczbowych suma cyfr tej samej liczby jest inna. Wynik ten nie ma nic wspólnego z matematyką. To tak, jakby wyznaczając pole prostokąta w metrach i centymetrach, otrzymałbyś zupełnie inne wyniki.

Zero wygląda tak samo we wszystkich systemach liczbowych i nie ma sumy cyfr. To kolejny argument przemawiający za tym, że. Pytanie do matematyków: jak w matematyce oznacza się coś, co nie jest liczbą? Co, dla matematyków nie istnieje nic poza liczbami? Mogę na to pozwolić szamanom, ale nie naukowcom. Rzeczywistość to nie tylko liczby.

Uzyskany wynik należy uznać za dowód, że systemy liczbowe są jednostkami miary liczb. W końcu nie możemy porównywać liczb o różnych jednostkach miary. Jeśli te same działania z różnymi jednostkami miary tej samej wielkości prowadzą do różnych wyników po ich porównaniu, to nie ma to nic wspólnego z matematyką.

Czym jest prawdziwa matematyka? Dzieje się tak wtedy, gdy wynik operacji matematycznej nie zależy od wielkości liczby, użytej jednostki miary i tego, kto wykonuje tę czynność.

Znak na drzwiach Otwiera drzwi i mówi:

Oh! Czy to nie jest damska toaleta?
- Młoda kobieta! To laboratorium do badania niedefilicznej świętości dusz podczas ich wznoszenia się do nieba! Aureola na górze i strzałka w górę. Jaka inna toaleta?

Kobieta... Aureola na górze i strzałka w dół oznaczają mężczyznę.

Jeśli takie dzieło sztuki projektowej przelatuje Ci przed oczami kilka razy dziennie,

Nic więc dziwnego, że nagle w swoim samochodzie znajdujesz dziwną ikonę:

Osobiście staram się widzieć minus cztery stopnie u osoby robiącej kupę (jeden obrazek) (kompozycja kilku obrazków: znak minus, cyfra cztery, oznaczenie stopni). I nie sądzę, że ta dziewczyna jest głupia, która nie zna fizyki. Ma po prostu silny stereotyp postrzegania obrazów graficznych. A matematycy uczą nas tego cały czas. Oto przykład.

1A nie oznacza „minus cztery stopnie” ani „jeden a”. To jest „kupujący człowiek” lub liczba „dwadzieścia sześć” w zapisie szesnastkowym. Osoby, które stale pracują w tym systemie liczbowym, automatycznie postrzegają cyfrę i literę jako jeden symbol graficzny.