Problemy z postępem arytmetycznym istniały od czasów starożytnych. Pojawili się i zażądali rozwiązania, bo mieli praktyczną potrzebę.

Tak więc w jednym z papirusów starożytnego Egiptu, który ma treść matematyczną - papirus Rhinda (XIX wiek pne) - zawiera następujące zadanie: podzielić dziesięć miar chleba na dziesięć osób, pod warunkiem, że różnica między nimi wynosi jedną ósma miary.

A w matematycznych dziełach starożytnych Greków są eleganckie twierdzenia związane z postępem arytmetycznym. Tak więc Hypsicles z Aleksandrii (II wiek, który zebrał wiele interesujących problemów i dodał czternastą księgę do „Elementów” Euklidesa), sformułował pomysł: „W ciągu arytmetycznym o parzystej liczbie członków suma elementów drugiej połowy jest większa niż suma członków pierwszego o kwadrat 1/2 członków.

Sekwencja an jest oznaczona. Numery sekwencji nazywane są jej elementami i są zwykle oznaczane literami z indeksami, które wskazują numer seryjny tego elementu (a1, a2, a3 ... czytaj: „a 1st”, „a 2nd”, „a 3rd” i tak dalej).

Sekwencja może być nieskończona lub skończona.

Co to jest postęp arytmetyczny? Rozumie się, że otrzymano go przez dodanie poprzedniego wyrazu (n) o tej samej liczbie d, która jest różnicą progresji.

jeśli d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, to taka progresja jest uważana za rosnącą.

Mówi się, że postęp arytmetyczny jest skończony, jeśli weźmie się pod uwagę tylko kilka jego pierwszych wyrazów. Przy bardzo dużej liczbie członków jest to już nieskończony postęp.

Każdy postęp arytmetyczny wyraża się następującym wzorem:

an =kn+b, podczas gdy b i k to jakieś liczby.

Stwierdzenie przeciwne jest bezwzględnie prawdziwe: jeśli ciąg jest dany podobnym wzorem, to jest to dokładnie ciąg arytmetyczny, który ma własności:

1. Każdy członek progresji jest średnią arytmetyczną poprzedniego członka i następnego.
2. Przeciwnie: jeśli, począwszy od drugiego, każdy wyraz jest średnią arytmetyczną poprzedniego i następnego, tj. jeśli warunek jest spełniony, to dany ciąg jest postępem arytmetycznym. Ta równość jest jednocześnie oznaką postępu, dlatego nazywa się ją zwykle cechą charakterystyczną postępu.
   W ten sam sposób twierdzenie, które odzwierciedla tę właściwość, jest prawdziwe: ciąg jest postępem arytmetycznym tylko wtedy, gdy ta równość jest prawdziwa dla któregokolwiek z elementów ciągu, począwszy od drugiego.

Własność charakterystyczną dla dowolnych czterech liczb ciągu arytmetycznego można wyrazić wzorem an + am = ak + al, jeśli n + m = k + l (m, n, k to liczby ciągu).

W postępie arytmetycznym każdy niezbędny (N-ty) wyraz można znaleźć, stosując następujący wzór:

Na przykład: pierwszy wyraz (a1) ciągu arytmetycznego jest dany i równy trzy, a różnica (d) równa się cztery. Musisz znaleźć czterdziesty piąty wyraz tej progresji. a45 = 1+4(45-1)=177

Formuła an = ak + d(n - k) pozwala wyznaczyć n-ty element ciągu arytmetycznego przez dowolny jego k-ty element, pod warunkiem, że jest on znany.

Suma członków ciągu arytmetycznego (zakładając 1 n członków ciągu końcowego) jest obliczana w następujący sposób:

Sn = (a1+an) n/2.

Jeśli znany jest również pierwszy termin, do obliczenia wygodny jest inny wzór:

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.

Suma ciągu arytmetycznego zawierającego n wyrazów jest obliczana w następujący sposób:

Wybór wzorów do obliczeń zależy od warunków zadań i danych wyjściowych.

Ciąg naturalny dowolnych liczb, takich jak 1,2,3,...,n,... jest najprostszym przykładem ciągu arytmetycznego.

Oprócz postępu arytmetycznego istnieje również postęp geometryczny, który ma swoje własne właściwości i cechy.

Suma postępu arytmetycznego.

Suma ciągu arytmetycznego to prosta sprawa. Zarówno pod względem znaczenia, jak i formuły. Ale jest wiele zadań na ten temat. Od elementarnego do całkiem solidnego.

Najpierw zajmijmy się znaczeniem i formułą sumy. A potem zdecydujemy. Dla własnej przyjemności.) Znaczenie sumy jest tak proste, jak nucenie. Aby znaleźć sumę ciągu arytmetycznego, wystarczy ostrożnie dodać wszystkie jego elementy. Jeśli tych terminów jest niewiele, możesz dodawać bez żadnych formuł. Ale jeśli jest dużo lub dużo ... dodawanie jest denerwujące.) W tym przypadku formuła zapisuje.

Formuła sumy jest prosta:

Zastanówmy się, jakie litery są zawarte we wzorze. To wiele wyjaśni.

S n jest sumą postępu arytmetycznego. Wynik dodawania Wszystko członków, z Pierwszy Przez ostatni. To jest ważne. Dodaj dokładnie Wszystko członków w rzędzie, bez przerw i skoków. A dokładnie, począwszy od Pierwszy. W problemach takich jak znalezienie sumy trzeciego i ósmego wyrazu lub sumy wyrazów od piątego do dwudziestego bezpośrednie zastosowanie wzoru będzie rozczarowujące.)

1 - Pierwszy członek progresji. Tutaj wszystko jest jasne, to proste Pierwszy Numer wiersza.

jakiś- ostatni członek progresji. Ostatni numer rzędu. Niezbyt znana nazwa, ale po zastosowaniu do kwoty jest bardzo odpowiednia. Wtedy sam zobaczysz.

N jest numerem ostatniego członka. Ważne jest, aby zrozumieć, że we wzorze ta liczba pokrywa się z liczbą dodanych terminów.

Zdefiniujmy pojęcie ostatni członek jakiś. Wypełniające pytanie: jakiego rodzaju członek będzie ostatni, jeśli podano nieskończony postęp arytmetyczny?

Aby uzyskać pewną odpowiedź, musisz zrozumieć elementarne znaczenie postępu arytmetycznego i ... uważnie przeczytać zadanie!)

W zadaniu znalezienia sumy ciągu arytmetycznego zawsze pojawia się ostatni wyraz (bezpośrednio lub pośrednio), które należy ograniczyć. W przeciwnym razie skończoną, określoną kwotę po prostu nie istnieje. Dla rozwiązania nie ma znaczenia, jaki rodzaj postępu jest podany: skończony czy nieskończony. Nie ma znaczenia, jak jest podany: przez serię liczb lub przez formułę n-tego członka.

Najważniejszą rzeczą jest zrozumienie, że formuła działa od pierwszego terminu progresji do terminu z liczbą N. Właściwie pełna nazwa formuły wygląda tak: suma pierwszych n wyrazów ciągu arytmetycznego. Liczba tych pierwszych członków, tj. N, zależy wyłącznie od zadania. W zadaniu wszystkie te cenne informacje są często szyfrowane, tak ... Ale nic, w poniższych przykładach ujawnimy te tajemnice.)

Przykłady zadań na sumę ciągu arytmetycznego.

Przede wszystkim przydatne informacje:

Główną trudnością w zadaniach na sumę ciągu arytmetycznego jest prawidłowe określenie elementów wzoru.

Autorzy zadań szyfrują właśnie te elementy z nieograniczoną wyobraźnią.) Najważniejsze tutaj to nie bać się. Aby zrozumieć istotę elementów, wystarczy je rozszyfrować. Przyjrzyjmy się szczegółowo kilku przykładom. Zacznijmy od zadania opartego na prawdziwym GIA.

1. Postęp arytmetyczny jest określony przez warunek: a n = 2n-3,5. Znajdź sumę pierwszych 10 wyrazów.

Dobra robota. Łatwe.) Aby określić kwotę zgodnie ze wzorem, co musimy wiedzieć? Pierwszy członek 1, ostatni termin jakiś, tak numer ostatniego terminu N.

Skąd wziąć ostatni numer członkowski N? Tak, w tym samym miejscu, w takim stanie! Mówi znaleźć sumę pierwszych 10 członków. No właśnie, jaki to będzie numer ostatni, dziesiąty członek?) Nie uwierzysz, jego liczba jest dziesiąta!) Dlatego zamiast jakiś podstawimy do wzoru 10, lecz N- dziesięć. Ponownie, liczba ostatniego członka jest taka sama jak liczba członków.

Pozostaje do ustalenia 1 I 10. Można to łatwo obliczyć ze wzoru na n-ty wyraz, który jest podany w zadaniu zadania. Nie wiesz jak to zrobić? Odwiedź poprzednią lekcję, bez tego - nic.

1= 2 1 - 3,5 = -1,5

10\u003d 2 10 - 3,5 \u003d 16,5

S n = S 10.

Poznaliśmy znaczenie wszystkich elementów wzoru na sumę postępu arytmetycznego. Pozostaje je zastąpić i policzyć:

To wszystko. Odpowiedź: 75.

Kolejne zadanie oparte na GIA. Trochę bardziej skomplikowane:

2. Biorąc pod uwagę postęp arytmetyczny (a n), którego różnica wynosi 3,7; za 1 \u003d 2,3. Znajdź sumę pierwszych 15 wyrazów.

Natychmiast piszemy formułę sumy:

Ta formuła pozwala nam znaleźć wartość dowolnego członka według jego liczby. Szukamy prostego podstawienia:

za 15 \u003d 2,3 + (15-1) 3,7 \u003d 54,1

Pozostaje zastąpić wszystkie elementy we wzorze sumą postępu arytmetycznego i obliczyć odpowiedź:

Odpowiedź: 423.

Nawiasem mówiąc, jeśli we wzorze sumy zamiast jakiś wystarczy podstawić formułę n-tego wyrazu, otrzymamy:

Dajemy podobne, otrzymujemy nowy wzór na sumę członków ciągu arytmetycznego:

Jak widać, n-ty wyraz nie jest tutaj wymagany. jakiś. W niektórych zadaniach ta formuła bardzo pomaga, tak… Możesz zapamiętać tę formułę. I możesz po prostu wycofać go we właściwym czasie, tak jak tutaj. W końcu wzór na sumę i wzór na n-ty wyraz należy zapamiętać pod każdym względem.)

Teraz zadanie w postaci krótkiego szyfrowania):

3. Znajdź sumę wszystkich dodatnich liczb dwucyfrowych, które są wielokrotnościami trzech.

Jak! Żadnego pierwszego członka, żadnego ostatniego, żadnej progresji... Jak żyć!?

Będziesz musiał pomyśleć głową i wyciągnąć z warunku wszystkie elementy sumy ciągu arytmetycznego. Co to są liczby dwucyfrowe - wiemy. Składają się z dwóch liczb.) Jaka liczba dwucyfrowa będzie Pierwszy? 10, przypuszczalnie). Ostatnia rzecz numer dwucyfrowy? 99, oczywiście! W ślad za nim pójdą trzycyfrowe...

Wielokrotności trzech... Hm... To są liczby, które są podzielne przez trzy, tutaj! Dziesięć nie jest podzielne przez trzy, 11 nie jest podzielne... 12... jest podzielne! A więc coś się pojawia. Możesz już napisać serię zgodnie ze stanem problemu:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Czy ten szereg będzie postępem arytmetycznym? Z pewnością! Każdy termin różni się od poprzedniego ściśle o trzy. Jeśli do terminu zostanie dodane 2 lub 4, powiedzmy, wynik, tj. nowa liczba nie będzie już dzielona przez 3. Możesz od razu określić różnicę postępu arytmetycznego do sterty: re = 3. Użyteczne!)

Możemy więc spokojnie zapisać niektóre parametry progresji:

Jaki będzie numer N ostatni członek? Każdy, kto myśli, że 99 jest w śmiertelnym błędzie... Liczby - zawsze idą pod rząd, a nasi zawodnicy przeskakują pierwszą trójkę. Nie pasują.

Istnieją tutaj dwa rozwiązania. Jeden sposób jest dla super pracowitych. Możesz namalować progresję, całą serię liczb i policzyć liczbę wyrazów palcem.) Drugi sposób jest dla myślących. Musisz zapamiętać wzór na n-ty wyraz. Jeśli zastosujemy ten wzór do naszego problemu, otrzymamy, że 99 jest trzydziestym elementem progresji. Te. n = 30.

Spójrzmy na wzór na sumę postępu arytmetycznego:

Patrzymy i radujemy się.) Wyciągnęliśmy wszystko, co niezbędne do obliczenia kwoty ze stanu problemu:

1= 12.

30= 99.

S n = S 30.

Pozostaje elementarna arytmetyka. Podstaw liczby we wzorze i oblicz:

Odpowiedź: 1665

Inny rodzaj popularnych puzzli:

4. Dany jest ciąg arytmetyczny:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Znajdź sumę wyrazów od dwudziestej do trzydziestej czwartej.

Patrzymy na formułę sumy i… jesteśmy zdenerwowani.) Formuła, przypominam, oblicza sumę od pierwszego członek. A w problemie musisz obliczyć sumę od dwudziestego... Formuła nie zadziała.

Można oczywiście pomalować całą progresję pod rząd i umieścić członków od 20 do 34. Ale… jakoś głupio i na długo wychodzi, prawda?)

Istnieje bardziej eleganckie rozwiązanie. Podzielmy naszą serię na dwie części. Pierwsza część będzie od pierwszej do dziewiętnastej. Druga część - dwadzieścia do trzydziestu czterech. Oczywiste jest, że jeśli obliczymy sumę warunków pierwszej części S 1-19, dodajmy to do sumy członków drugiej części S 20-34, otrzymujemy sumę progresji od pierwszego wyrazu do trzydziestego czwartego S 1-34. Lubię to:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

To pokazuje, że aby znaleźć sumę S 20-34 można to zrobić przez proste odejmowanie

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

Uwzględniane są obie sumy po prawej stronie od pierwszego członek, tj. formuła sumy standardowej ma do nich całkiem zastosowanie. Zaczynamy?

Wyodrębniamy parametry progresji z warunku zadania:

re = 1,5.

1= -21,5.

Aby obliczyć sumy pierwszych 19 i pierwszych 34 wyrazów, będziemy potrzebować 19. i 34. wyrazu. Liczymy je według wzoru n-tego wyrazu, jak w zadaniu 2:

19\u003d -21,5 + (19-1) 1,5 \u003d 5,5

34\u003d -21,5 + (34-1) 1,5 \u003d 28

Nic nie zostało. Odejmij sumę 19 wyrazów od sumy 34 wyrazów:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5

Odpowiedź: 262,5

Jedna ważna uwaga! Istnieje bardzo przydatna funkcja w rozwiązaniu tego problemu. Zamiast bezpośredniej kalkulacji czego potrzebujesz (S 20-34), policzyliśmy co, jak się wydaje, nie jest potrzebne - S 1-19. A potem ustalili S 20-34, odrzucając niepotrzebne z pełnego wyniku. Taki „zwód uszami” często ratuje w złych zagadkach.)

W tej lekcji przeanalizowaliśmy problemy, dla których wystarczy zrozumieć znaczenie sumy ciągu arytmetycznego. Cóż, musisz znać kilka formuł.)

Praktyczne porady:

Rozwiązując dowolny problem dotyczący sumy postępu arytmetycznego, zalecam natychmiastowe wypisanie dwóch głównych wzorów z tego tematu.

Formuła n-tego wyrazu:

Te formuły od razu podpowiedzą, czego szukać, w jakim kierunku myśleć, aby rozwiązać problem. pomaga.

A teraz zadania do samodzielnego rozwiązania.

5. Znajdź sumę wszystkich liczb dwucyfrowych, które nie są podzielne przez trzy.

Fajne?) Podpowiedź jest ukryta w notatce do zadania 4. Cóż, zadanie 3 pomoże.

6. Postęp arytmetyczny jest określony przez warunek: a 1 =-5,5; za n+1 = za n +0,5. Znajdź sumę pierwszych 24 wyrazów.

Niezwykłe?) To powtarzająca się formuła. Możesz o tym przeczytać na poprzedniej lekcji. Nie ignoruj ​​\u200b\u200blinku, takie zagadki często znajdują się w GIA.

7. Vasya zaoszczędził pieniądze na wakacje. Aż 4550 rubli! I postanowiłem dać najukochańszej osobie (sobie) kilka dni szczęścia). Żyj pięknie, niczego sobie nie odmawiając. Pierwszego dnia wydaj 500 rubli, a każdego kolejnego dnia wydawaj o 50 rubli więcej niż poprzedniego! Aż skończą się pieniądze. Ile dni szczęścia miała Vasya?

Czy to trudne?) Pomocna będzie dodatkowa formuła z zadania 2.

Odpowiedzi (w nieładzie): 7, 3240, 6.

Jeśli podoba Ci się ta strona...

Przy okazji, mam dla ciebie jeszcze kilka interesujących stron.)

Możesz ćwiczyć rozwiązywanie przykładów i sprawdzać swój poziom. Testowanie z natychmiastową weryfikacją. Nauka - z zainteresowaniem!)

możesz zapoznać się z funkcjami i pochodnymi.

Jeśli każda liczba naturalna N dopasować liczbę rzeczywistą jakiś , wtedy mówią, że dane sekwencja numerów :

A 1 , A 2 , A 3 , . . . , jakiś , . . . .

Tak więc sekwencja liczbowa jest funkcją argumentu naturalnego.

Numer A 1 zwany pierwszy członek ciągu , liczba A 2 — drugi członek ciągu , liczba A 3 — trzeci i tak dalej. Numer jakiś zwany n-ty element ciągu , a liczba naturalna N — jego numer .

Od dwóch sąsiednich członków jakiś I jakiś +1 sekwencje członków jakiś +1 zwany późniejszy (w kierunku jakiś ), A jakiś — poprzedni (w kierunku jakiś +1 ).

Aby określić sekwencję, musisz określić metodę, która pozwala znaleźć element sekwencji o dowolnej liczbie.

Często sekwencja jest podawana za pomocą formuły n-tego wyrazu , czyli formuła, która pozwala określić członka sekwencji na podstawie jego numeru.

Na przykład,

ciąg dodatnich liczb nieparzystych można podać wzorem

jakiś= 2N- 1,

i kolejność naprzemiennych 1 I -1 - formuła

B N = (-1)N +1 . ◄

Kolejność można ustalić powtarzająca się formuła, to znaczy formuła, która wyraża dowolny element sekwencji, zaczynając od niektórych, poprzez poprzednie (jeden lub więcej) elementów.

Na przykład,

Jeśli A 1 = 1 , A jakiś +1 = jakiś + 5

A 1 = 1,

A 2 = A 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

A 3 = A 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

A 4 = A 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

A 5 = A 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Jeśli 1= 1, 2 = 1, jakiś +2 = jakiś + jakiś +1 , następnie pierwszych siedem elementów sekwencji numerycznej jest ustawionych w następujący sposób:

1 = 1,

2 = 1,

3 = 1 + 2 = 1 + 1 = 2,

4 = 2 + 3 = 1 + 2 = 3,

5 = 3 + 4 = 2 + 3 = 5,

A 6 = A 4 + A 5 = 3 + 5 = 8,

A 7 = A 5 + A 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Sekwencje mogą być finał I nieskończony .

Sekwencja jest nazywana ostateczny jeśli ma skończoną liczbę członków. Sekwencja jest nazywana nieskończony jeśli ma nieskończenie wiele członków.

Na przykład,

ciąg dwucyfrowych liczb naturalnych:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

finał.

Sekwencja liczb pierwszych:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

nieskończony. ◄

Sekwencja jest nazywana wzrastający , jeśli każdy z jego członków, począwszy od drugiego, jest większy od poprzedniego.

Sekwencja jest nazywana słabnie , jeśli każdy z jego członków, począwszy od drugiego, jest mniejszy niż poprzedni.

Na przykład,

2, 4, 6, 8, . . . , 2N, . . . jest ciągiem rosnącym;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /N, . . . jest ciągiem malejącym. ◄

Nazywa się ciąg, którego elementy nie maleją wraz ze wzrostem liczby lub odwrotnie, nie rosną sekwencja monotonna .

W szczególności sekwencje monotoniczne są sekwencjami rosnącymi i sekwencjami malejącymi.

Postęp arytmetyczny

Postęp arytmetyczny wywoływana jest sekwencja, której każdy element, począwszy od drugiego, jest równy poprzedniemu, do którego dodawana jest ta sama liczba.

A 1 , A 2 , A 3 , . . . , jakiś, . . .

jest postępem arytmetycznym, jeśli dla dowolnej liczby naturalnej N warunek jest spełniony:

jakiś +1 = jakiś + D,

Gdzie D - jakiś numer

Zatem różnica między następnymi i poprzednimi członkami danego ciągu arytmetycznego jest zawsze stała:

2 - A 1 = 3 - A 2 = . . . = jakiś +1 - jakiś = D.

Numer D zwany różnica ciągu arytmetycznego.

Aby ustawić postęp arytmetyczny, wystarczy podać jego pierwszy wyraz i różnicę.

Na przykład,

Jeśli A 1 = 3, D = 4 , to pierwszych pięć wyrazów ciągu wygląda następująco:

1 =3,

2 = 1 + D = 3 + 4 = 7,

3 = 2 + D= 7 + 4 = 11,

4 = 3 + D= 11 + 4 = 15,

A 5 = A 4 + D= 15 + 4 = 19. ◄

Dla postępu arytmetycznego z pierwszym wyrazem A 1 i różnica D jej N

jakiś = 1 + (N- 1)D.

Na przykład,

znajdź trzydziesty wyraz ciągu arytmetycznego

1, 4, 7, 10, . . .

1 =1, D = 3,

30 = 1 + (30 - 1)d= 1 + 29· 3 = 88. ◄

n-1 = 1 + (N- 2)D,

jakiś= 1 + (N- 1)D,

jakiś +1 = A 1 + nd,

wtedy oczywiscie

jakiś=	n-1 + n+1
	2

każdy członek ciągu arytmetycznego, począwszy od drugiego, jest równy średniej arytmetycznej poprzednich i kolejnych członków.

liczby a, b i c są kolejnymi członkami pewnego ciągu arytmetycznego wtedy i tylko wtedy, gdy jedna z nich jest równa średniej arytmetycznej pozostałych dwóch.

Na przykład,

jakiś = 2N- 7 , jest postępem arytmetycznym.

Skorzystajmy z powyższego stwierdzenia. Mamy:

jakiś = 2N- 7,

n-1 = 2(N- 1) - 7 = 2N- 9,

n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2N- 5.

Stąd,

n+1 + n-1	=	2N- 5 + 2N- 9	= 2N- 7 = jakiś,
2		2

◄

Zauważ to N -tego członka ciągu arytmetycznego można znaleźć nie tylko przez A 1 , ale także wszelkie poprzednie k

jakiś = k + (N- k)D.

Na przykład,

Dla A 5 można napisać

5 = 1 + 4D,

5 = 2 + 3D,

5 = 3 + 2D,

5 = 4 + D. ◄

jakiś = nk + kd,

jakiś = n+k - kd,

wtedy oczywiscie

jakiś=	A nk + za n+k
	2

każdy element ciągu arytmetycznego, począwszy od drugiego, jest równy połowie sumy elementów tego ciągu arytmetycznego, jednakowo oddalonych od niego.

Ponadto dla każdego postępu arytmetycznego równość jest prawdziwa:

za m + za n = za k + za l,

m + n = k + l.

Na przykład,

w postępie arytmetycznym

1) A 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (A 9 + A 11 )/2;

2) 28 = 10 = 3 + 7D= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) 10= 28 = (19 + 37)/2 = (7 + 13)/2;

4) za 2 + za 12 = za 5 + za 9, ponieważ

2 + 12= 4 + 34 = 38,

5 + 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= za 1 + za 2 + za 3 + . . .+ jakiś,

Pierwszy N członków ciągu arytmetycznego jest równy iloczynowi połowy sumy skrajnych wyrazów przez liczbę wyrazów:

Z tego w szczególności wynika, że ​​jeśli konieczne jest zsumowanie warunków

k, k +1 , . . . , jakiś,

wtedy poprzednia formuła zachowuje swoją strukturę:

Na przykład,

w postępie arytmetycznym 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Jeśli podany jest postęp arytmetyczny, to ilości A 1 , jakiś, D, N IS N połączone dwoma formułami:

Dlatego jeśli podane są wartości trzech z tych wielkości, to odpowiadające im wartości pozostałych dwóch wielkości są określane z tych wzorów połączonych w układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi.

Postęp arytmetyczny jest ciągiem monotonicznym. W której:

• Jeśli D > 0 , to rośnie;
• Jeśli D < 0 , to maleje;
• Jeśli D = 0 , to ciąg będzie stacjonarny.

Postęp geometryczny

postęp geometryczny nazywa się sekwencję, której każdy wyraz, począwszy od drugiego, jest równy poprzedniemu, pomnożonemu przez tę samą liczbę.

B 1 , B 2 , B 3 , . . . , b rz, . . .

jest postępem geometrycznym, jeśli dla dowolnej liczby naturalnej N warunek jest spełniony:

b rz +1 = b rz · Q,

Gdzie Q ≠ 0 - jakiś numer

Zatem stosunek następnego wyrazu tego postępu geometrycznego do poprzedniego jest liczbą stałą:

B 2 / B 1 = B 3 / B 2 = . . . = b rz +1 / b rz = Q.

Numer Q zwany mianownik postępu geometrycznego.

Aby ustawić postęp geometryczny, wystarczy podać jego pierwszy wyraz i mianownik.

Na przykład,

Jeśli B 1 = 1, Q = -3 , to pierwszych pięć wyrazów ciągu wygląda następująco:

b1 = 1,

b2 = b1 · Q = 1 · (-3) = -3,

b3 = b2 · Q= -3 · (-3) = 9,

4 = b3 · Q= 9 · (-3) = -27,

B 5 = B 4 · Q= -27 · (-3) = 81. ◄

B 1 i mianownik Q jej N -ty wyraz można znaleźć według wzoru:

b rz = B 1 · q n -1 .

Na przykład,

znajdź siódmy wyraz ciągu geometrycznego 1, 2, 4, . . .

B 1 = 1, Q = 2,

B 7 = B 1 · Q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

bn-1 = b1 · q n -2 ,

b rz = b1 · q n -1 ,

b rz +1 = B 1 · q n,

wtedy oczywiscie

b rz 2 = b rz -1 · b rz +1 ,

każdy element postępu geometrycznego, począwszy od drugiego, jest równy średniej geometrycznej (proporcjonalnej) poprzednich i kolejnych elementów.

Ponieważ odwrotność jest również prawdziwa, zachodzi następujące twierdzenie:

liczby a, b i c są kolejnymi elementami pewnego ciągu geometrycznego wtedy i tylko wtedy, gdy kwadrat jednej z nich jest równy iloczynowi dwóch pozostałych, to znaczy jedna z liczb jest średnią geometryczną pozostałych dwóch.

Na przykład,

udowodnijmy, że ciąg dany wzorem b rz= -3 2 N , jest postępem geometrycznym. Skorzystajmy z powyższego stwierdzenia. Mamy:

b rz= -3 2 N,

b rz -1 = -3 2 N -1 ,

b rz +1 = -3 2 N +1 .

Stąd,

b rz 2 = (-3 2 N) 2 = (-3 2 N -1 ) (-3 2 N +1 ) = b rz -1 · b rz +1 ,

co dowodzi wymaganego twierdzenia. ◄

Zauważ to N wyraz ciągu geometrycznego można znaleźć nie tylko poprzez B 1 , ale także każdą poprzednią kadencję b k , dla którego wystarczy użyć wzoru

b rz = b k · q n - k.

Na przykład,

Dla B 5 można napisać

b5 = b1 · Q 4 ,

b5 = b2 · q 3,

b5 = b3 · q2,

b5 = 4 · Q. ◄

b rz = b k · q n - k,

b rz = b rz - k · q k,

wtedy oczywiscie

b rz 2 = b rz - k· b rz + k

kwadrat każdego elementu postępu geometrycznego, poczynając od drugiego, jest równy iloczynowi elementów tego postępu, jednakowo oddalonych od niego.

Ponadto dla dowolnego postępu geometrycznego równość jest prawdziwa:

b m· b rz= b k· b l,

M+ N= k+ l.

Na przykład,

wykładniczo

1) B 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = B 5 · B 7 ;

2) 1024 = B 11 = B 6 · Q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) B 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = B 4 · B 8 ;

4) B 2 · B 7 = B 4 · B 5 , ponieważ

B 2 · B 7 = 2 · 64 = 128,

B 4 · B 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= B 1 + B 2 + B 3 + . . . + b rz

Pierwszy N członkowie ciągu geometrycznego z mianownikiem Q ≠ 0 obliczone według wzoru:

I kiedy Q = 1 - według wzoru

S n= n.b. 1

Zauważ, że jeśli musimy zsumować warunki

b k, b k +1 , . . . , b rz,

wówczas stosuje się formułę:

S n- sk -1 = b k + b k +1 + . . . + b rz = b k ·	1 - q n - k +1	.
	1 - Q

Na przykład,

wykładniczo 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Jeśli podany jest postęp geometryczny, to ilości B 1 , b rz, Q, N I S n połączone dwoma formułami:

Dlatego jeśli podane są wartości dowolnych trzech z tych wielkości, to odpowiadające im wartości pozostałych dwóch wielkości są określane na podstawie tych wzorów połączonych w układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi.

Dla postępu geometrycznego z pierwszym terminem B 1 i mianownik Q odbywają się następujące właściwości monotoniczności :

• progresja jest rosnąca, jeśli spełniony jest jeden z poniższych warunków:

B 1 > 0 I Q> 1;

B 1 < 0 I 0 < Q< 1;

• Progresja jest malejąca, jeśli spełniony jest jeden z następujących warunków:

B 1 > 0 I 0 < Q< 1;

B 1 < 0 I Q> 1.

Jeśli Q< 0 , to postęp geometryczny jest naprzemienny: jego wyrazy o numerach nieparzystych mają ten sam znak co wyraz pierwszy, a wyrazy o numerach parzystych mają znak przeciwny. Oczywiste jest, że naprzemienny postęp geometryczny nie jest monotoniczny.

Produkt pierwszy N wyrazy postępu geometrycznego można obliczyć ze wzoru:

Pn= b1 · b2 · b3 · . . . · b rz = (b1 · b rz) N / 2 .

Na przykład,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Nieskończenie malejący postęp geometryczny

Nieskończenie malejący postęp geometryczny nazywa się nieskończonym postępem geometrycznym, którego moduł mianownika jest mniejszy niż 1 , to jest

|Q| < 1 .

Zauważ, że nieskończenie malejący postęp geometryczny może nie być sekwencją malejącą. To pasuje do sprawy

1 < Q< 0 .

Przy takim mianowniku sekwencja jest naprzemienna. Na przykład,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Suma nieskończenie malejącego postępu geometrycznego nazwij liczbę, do której suma pierwszej N warunki progresji z nieograniczonym wzrostem liczby N . Ta liczba jest zawsze skończona i jest wyrażona wzorem

S= B 1 + B 2 + B 3 + . . . =	B 1	.
	1 - Q

Na przykład,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Związek między postępami arytmetycznymi i geometrycznymi

Postępy arytmetyczne i geometryczne są ze sobą ściśle powiązane. Rozważmy tylko dwa przykłady.

A 1 , A 2 , A 3 , . . . D , To

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . bd .

Na przykład,

1, 3, 5, . . . — postęp arytmetyczny z różnicą 2 I

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . jest postępem geometrycznym z mianownikiem 7 2 . ◄

B 1 , B 2 , B 3 , . . . jest postępem geometrycznym z mianownikiem Q , To

log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . — postęp arytmetyczny z różnicą zaloguj sięQ .

Na przykład,

2, 12, 72, . . . jest postępem geometrycznym z mianownikiem 6 I

lg 2, lg 12, lg 72, . . . — postęp arytmetyczny z różnicą lg 6 . ◄

Przykłady postępu arytmetycznego i geometrycznego zaczerpnięte z „Zbioru problemów dla kandydatów. Matematyka” wydanego przez Wołyński Uniwersytet Państwowy im. Łesi Ukrainki w 2001 roku. Przeczytaj uważnie odpowiedzi i wybierz najbardziej potrzebne dla siebie.

Grupa A (poziom 1)

Przykład 1. Oblicz szósty wyraz ciągu arytmetycznego 21,3; 22,4; … ,
Rozwiązanie: Znajdź różnicę (krok) postępu
d \u003d za 2 -a 1 \u003d 22,4-21,3 \u003d 1,1.
Następnie obliczamy szósty wyraz ciągu arytmetycznego
za 6 \u003d za 1 + (6-1) d \u003d 21,3 + 5 * 1,1 \u003d 26,8.

Przykład 2. Oblicz szósty wyraz ciągu geometrycznego 5; 10; 20; ...
Rozwiązanie: Znajdź mianownik postępu geometrycznego
q \u003d b 2 / b 1 \u003d 10/5 \u003d 2.
Obliczamy szósty wyraz postępu geometrycznego
b 6 \u003d b 1 q 6-1 \u003d 5 * 25 \u003d 5 * 32 \u003d 160.

Przykład 3. W postępie arytmetycznym a 1 \u003d 2,1 a 10 \u003d 12,9. Oblicz różnicę progresji.
Rozwiązanie: przedstawmy dziesiąty wyraz progresji jako formułę
za 10 \u003d za 1 + (10-1) d \u003d za 1 + 9d.
Zastąp znane wartości i rozwiąż
12,9=2,1+9d;
9d=12,9-2,1=10,8;
d=10,8/9=1,2.
Odpowiedź: różnica progresji d=1,2.

Przykład 4. W postępie geometrycznym b 1 = 2,56; b4 \u003d 4,42368. Oblicz mianownik progresji.
Rozwiązanie: Znajdź mianownik progresji
q \u003d b 2 / b 1 \u003d 4,42368 / 2,56 \u003d 1,728.
Nie możesz obejść się bez kalkulatora tutaj.
Odpowiedź: mianownik progresji to q=1,728.

Przykład 5. W postępie arytmetycznym a 1 \u003d 20,1, d \u003d 1,3. Oblicz sumę pierwszych ośmiu okresów progresji.
Rozwiązanie: Sumę postępu arytmetycznego można znaleźć za pomocą wzoru

Wykonywanie obliczeń
S 8 \u003d (2 * 20,1 + (8-1) * 1,3) * 8 / 2 \u003d 197,2.
Odpowiedź: S 8 \u003d 197,2.

Przykład 6 . W postępie geometrycznym b 1 = 1,5; q=1,2. Oblicz sumę pierwszych czterech wyrazów progresji.
Rozwiązanie: Suma postępu geometrycznego jest obliczana według wzoru

Znalezienie sumy progresji

Odpowiedź: S 8 \u003d 8,052.

Przykład 7. W postępie arytmetycznym a 1 \u003d 1,35 d \u003d -2,4. Oblicz liczbę wyrazów progresji, równą -25,05.
Rozwiązanie: Element ciągu arytmetycznego można znaleźć na podstawie wzoru
za n \u003d za 1 + (n-1) re.
Pod warunkiem, że wszystko oprócz liczby porządkowej jest znane, znajdziemy to
-25,05=1,35+(n-1)(-2,4) ;

Odpowiedź: n=12.

Przykład 8. Oblicz siódmy wyraz progresji 23,5; 24,82; 26.14; ...
Rozwiązanie: Ponieważ warunek nie określa, która progresja jest ustawiona, musisz ją najpierw ustawić. Zdobądź tę arytmetykę
d=a 2-a 1 = 24,82-23,5=1,32;
d \u003d za 3 -a 2 \u003d 26,14-24,82 \u003d 1,32.
Znalezienie siódmego wyrazu progresji
za 7 \u003d za 1 + (7-1) d \u003d 23,5 + 6 * 1,32 \u003d 31,42.
Odpowiedź: a 7 \u003d 31,42.

Przykład 9. Oblicz liczbę członka progresji 2.1; 3,3; 4,5; ... , równe 11,7 .
Rozwiązanie: Łatwo sprawdzić, czy dany jest postęp arytmetyczny. Znalezienie różnicy progresji
d \u003d za 2 -a 1 \u003d 3,3-2,1 \u003d 1,2.
Zgodnie z formułą terminu progresji
za n \u003d za 1 + (n-1) re
znajdź numer
11,7=2,1+(n-1)*1,2;

Odpowiedź: n= 9 .

Przykład 10. Oblicz czwarty wyraz progresji 1,5; 1,8; 2.16; ... .
Rozwiązanie: Bez sprawdzania możemy powiedzieć, że progresja jest geometryczna. Znajdź jego mianownik
q \u003d b 2 / b 1 \u003d 1, 8 / 1,5 \u003d 1,2.
Oblicz czwartego członka ciągu geometrycznego za pomocą wzoru
b 4 \u003d b 1 q 3 \u003d 1,5 * 1,2 3 \u003d 2,592.
Odpowiedź: b 4 \u003d 2,592.

Przykład 11. Oblicz liczbę członków progresji 1,2; 1,8; 2.16; ... równe 4,05.
Rozwiązanie: Mamy postęp geometryczny. Znajdź mianownik progresji
q \u003d b 2 / b 1 \u003d 1, 8 / 1,2 \u003d 1,5.
Znajdź numer progresji z zależności
b n = b 1 q n-1 .
4,05=1,2*1,5n-1;
1,5 n-1 \u003d 4,05 / 1,2 \u003d 3,375 \u003d 1,5 3;
n-1=3; n=4.
Odpowiedź: n=4.

Przykład 12. W postępie arytmetycznym a 5 \u003d 14,91 a 9 \u003d 20,11. Oblicz 1 .
Rozwiązanie: Wyrażamy dziewiąty wyraz progresji do 5
za 9 \u003d za 5 + (9-5) re
i znajdź krok postępu
20,11=14,91+4d;
4d=5,2; d=5,2/4=1,3.
Wyrażamy piąty wyraz progresji w kategoriach 1 i obliczamy pierwszy
a5 = a1 +4d;
14,91 \u003d a 1 +5,2;
za 1 \u003d 14,91-5,2 \u003d 9,71.
Odpowiedź: a 1 \u003d 9,71.

Przykład 13 . W postępie arytmetycznym a 7 \u003d 12,01; a 11 \u003d 17,61. Oblicz różnicę progresji.
Rozwiązanie: Wyrażamy 11 terminów progresji do 7
za 11 \u003d za 7 + (11-7) re.
Stąd obliczamy krok progresji
17,61=12,01+4d;
4d=5,6; d=5,6/4=1,4.
Odpowiedź: d=1,4.

Przykład 14. W postępie geometrycznym b 5 = 64; b 8 = 1. Oblicz b 3 .
Rozwiązanie: Wyrażamy ósmy wyraz progresji w kategoriach 5
b 8 \u003d b 5 q 8-5.
Stąd znajdujemy mianownik progresji
1=64 q 3 ;
q 3 \u003d 1/64 \u003d (1/4) 3;
q=1/4.
Podobnie znajdujemy b 3 do b 5
b 3 \u003d b 5 / q 2 \u003d 64 * 4 2 \u003d 1024.
Odpowiedź: b 3 \u003d 1024.

Przykład 15. W postępie arytmetycznym a 9 + a 15 \u003d 14,8. Oblicz 12
Rozwiązanie: W tym przykładzie należy zauważyć, że 12. element progresji znajduje się pośrodku między jego numerem 9 a 15. Dlatego sąsiednie wyrazy progresji (9, 15 ) można wyrazić w kategoriach 12 w następujący sposób
za 9 \u003d za 12 - (12-9) re;
za 15 \u003d za 12 + (15-9) d;
9 \u003d 12 -3d;
za 15 = za 12 + 3d.
Podsumujmy skrajne wyrazy progresji
za 9 + za 15 = za 12 -3d+ za 12 + 3d=2a 12.
Stąd znajdujemy 12. termin progresji
za 12 \u003d (za 9 + za 15) / 2 \u003d 14,8 / 2 \u003d 7,4.
Odpowiedź: a 12 \u003d 7,4.

Przykład 16. Wykładniczo b 10 *b 14 =289. Oblicz moduł 12 składnika progresji | b 12 |.
Rozwiązanie: Algorytm rozwiązania problemu zawarty jest w poprzednim przykładzie. Konieczne jest wyrażenie 10 i 14 członków ciągu geometrycznego do 12. Dzięki właściwościom postępu geometrycznego otrzymujemy
b 10 \u003d b 12 / q 2; b 14 = b 12 * q 2 .
Łatwo zauważyć, że kiedy działają, ślad progresji znika.
b 10 * b 14 \u003d (b 12) 2 \u003d 289 \u003d 17 2.
Stąd znajdujemy moduł | b 12 |
(b 12) 2 =289=17 2 -> | b 12 |=17.
Odpowiedź: | b 12 |=17.

Przykład 17. Wykładniczo b 8 = 1,3. Oblicz b 6 * b 10 .
Rozwiązanie: Schemat obliczeń jest podobny do poprzedniego przykładu - wyrażamy 6 i 10 członków progresji do 8.
b 6 \u003d b 8 / q 2; b 10 = b 8 * q 2 .
Kiedy je pomnożymy, mianowniki zostaną zmniejszone i otrzymamy kwadrat znanego wyrazu progresji
b 6 * b 10 \u003d (b 8) 2 \u003d 1,3 2 \u003d 1,69.
Odpowiedź: b 6 * b 10 \u003d 1,69.

Przykład 18. W postępie arytmetycznym a 10 \u003d 3,6: a 12 \u003d 8. Oblicz 8
Rozwiązanie: Zapiszmy członków progresji w szeregu a 8 , a 10 , a 12 . Pomiędzy nimi ten sam krok, znajdźmy go
a 12 = a 10 +2d;
2d \u003d za 12 - za 10 \u003d 8-3,6 \u003d 4,4.
W ten sam sposób znajdujemy 8
a 10 = a 8 +2d;
za 8 \u003d za 10 -2d \u003d 3,6-4,4 \u003d -0,8.
Oto kilka prostych obliczeń.
Odpowiedź: a 8 \u003d -0,8.

Przykład 19. Wykładniczo b 14 = 8; b 16 =2. Oblicz b 12 .
Rozwiązanie: Pomijając szczegółowe wyjaśnienia zapisujemy iloczyn 14 i 16 wyrazu progresji
b 14 * b 16 = (b 12) 2 .
Jest to równoważne średniej geometrycznej. Znajdując pierwiastek iloczynu warunków, otrzymujemy pożądaną wartość
(b 12) 2 \u003d 8 * 2 \u003d 16; b 12 = 4.
Odpowiedź: b 12 \u003d 4.

Przykład 20. W postępie arytmetycznym a 5 \u003d 3,4; a 11 \u003d 6,9. Oblicz 17 .
Rozwiązanie: Od 5,11 do 17 członków progresji jest ten sam krok i jest równy 6d. Dlatego ostateczne rozwiązanie można zapisać jako
za 17 \u003d za 11 + 6d \u003d za 11 + (za 11 - za 5) \u003d 2 * 6,9-3,4 \u003d 10,4.
Myślę, że rozumiesz, dlaczego taki zapis. Jeśli nie - spróbuj namalować 11 wyrazów progresji do 5 i skręć 6d.
Odpowiedź: a 17 \u003d 10,4.

Przykład 21. Oblicz szósty element ciągu geometrycznego 3; 12;... .
Rozwiązanie: Znajdź mianownik progresji
q \u003d b 2 / b 1 \u003d 12/3 \u003d 4.
Skorzystajmy z ogólnego wzoru na wyraz postępu geometrycznego
b n = b 1 *q n-1 .
Stąd dostajemy
b 6 \u003d b 1 * q 5 \u003d b 2 * q 4.
Jak widać, najważniejsze w zapisie jest to, że suma indeksu (2) i stopnia (4) odpowiada liczbie porządkowej członka progresji (6). Wykonywanie obliczeń
b 6 \u003d 12 * 4 4 \u003d 12 * 256 \u003d 3072.
Mamy dużą liczbę, ale postęp geometryczny jest inny, ponieważ jego członkowie albo szybko rosną, albo maleją.
Odpowiedź: b 6 \u003d 3072.

Przykład 22. W postępie arytmetycznym a 3 \u003d 48; 5 = 42. Oblicz 7 .
Rozwiązanie: Skoro różnica między progresją między podanymi prętami a pożądanym stała się i jest równa 2d, to wzór na 7. element progresji będzie wyglądał następująco
za 7 \u003d za 5 + 2d \u003d za 5 + (a 5 - za 3);
i 7 \u003d 2 * 42-48 \u003d 36.
Odpowiedź: a 7 \u003d 36.

Postępy arytmetyczne i geometryczne

Informacje teoretyczne

Informacje teoretyczne

	Postęp arytmetyczny	Postęp geometryczny
Definicja	Postęp arytmetyczny jakiś wywoływana jest sekwencja, której każdy członek, począwszy od drugiego, jest równy poprzedniemu członowi, dodanemu o tej samej liczbie D (D- różnica progresji)	postęp geometryczny b rz wywoływany jest ciąg liczb niezerowych, których każdy wyraz, począwszy od drugiego, jest równy poprzedniemu wyrazowi pomnożonemu przez tę samą liczbę Q (Q- mianownik progresji)
Powtarzająca się formuła	Dla każdego naturalnego N za n + 1 = za n + re	Dla każdego naturalnego N b n + 1 = b n ∙ q, b n ≠ 0
formuła n-tego terminu	za n = za 1 + re (n - 1)	b n \u003d b 1 ∙ q n - 1, b n ≠ 0
charakterystyczna właściwość
Suma pierwszych n wyrazów

Przykładowe zadania z komentarzami

Ćwiczenie 1

W postępie arytmetycznym ( jakiś) 1 = -6, 2

Zgodnie ze wzorem n-tego wyrazu:

22 = 1+ re (22 - 1) = 1+ 21d

Według warunku:

1= -6, więc 22= -6 + 21d.

Konieczne jest znalezienie różnicy postępów:

d= 2 – 1 = -8 – (-6) = -2

22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

Odpowiedź : 22 = -48.

Zadanie 2

Znajdź piąty wyraz postępu geometrycznego: -3; 6;...

Pierwszy sposób (przy użyciu formuły n-członowej)

Zgodnie ze wzorem n-tego elementu ciągu geometrycznego:

b 5 \u003d b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.

Ponieważ b1 = -3,

Drugi sposób (przy użyciu formuły rekurencyjnej)

Ponieważ mianownikiem progresji jest -2 (q = -2), to:

b3 = 6 ∙ (-2) = -12;

4 = -12 ∙ (-2) = 24;

b5 = 24 ∙ (-2) = -48.

Odpowiedź : b5 = -48.

Zadanie 3

W postępie arytmetycznym ( a n) a 74 = 34; 76= 156. Znajdź siedemdziesiąty piąty wyraz tego ciągu.

W przypadku postępu arytmetycznego charakterystyczna właściwość ma postać .

Dlatego:

.

Zastąp dane we wzorze:

Odpowiedź: 95.

Zadanie 4

W postępie arytmetycznym ( za n ) za n= 3n - 4. Znajdź sumę pierwszych siedemnastu wyrazów.

Aby znaleźć sumę pierwszych n wyrazów ciągu arytmetycznego, stosuje się dwa wzory:

.

Który z nich jest wygodniejszy do zastosowania w tym przypadku?

Warunkowo znana jest formuła n-tego członka pierwotnej progresji ( jakiś) jakiś= 3n - 4. Można znaleźć natychmiast i 1, I 16 bez znalezienia d. Dlatego używamy pierwszej formuły.

Odpowiedź: 368.

Zadanie 5

W postępie arytmetycznym jakiś) 1 = -6; 2= -8. Znajdź dwudziesty drugi wyraz progresji.

Zgodnie ze wzorem n-tego wyrazu:

za 22 = za 1 + re (22 – 1) = 1+ 21d.

Pod warunkiem, jeśli 1= -6, w takim razie 22= -6 + 21d. Konieczne jest znalezienie różnicy postępów:

d= 2 – 1 = -8 – (-6) = -2

22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

Odpowiedź : 22 = -48.

Zadanie 6

Zapisano kilka kolejnych wyrazów postępu geometrycznego:

Znajdź termin progresji, oznaczony literą x .

Podczas rozwiązywania używamy wzoru na n-ty wyraz b n \u003d b 1 ∙ q n - 1 dla postępów geometrycznych. Pierwszy członek progresji. Aby znaleźć mianownik progresji q, musisz wziąć dowolny z tych wyrazów progresji i podzielić przez poprzedni. W naszym przykładzie możesz wziąć i podzielić przez. Otrzymujemy to q \u003d 3. Zamiast n podstawiamy 3 we wzorze, ponieważ konieczne jest znalezienie trzeciego wyrazu danego postępu geometrycznego.

Podstawiając znalezione wartości do wzoru, otrzymujemy:

.

Odpowiedź : .

Zadanie 7

Spośród ciągów arytmetycznych podanych wzorem n-tego wyrazu wybierz ten, dla którego spełniony jest warunek 27 > 9:

Ponieważ określony warunek musi być spełniony dla 27. okresu progresji, podstawiamy 27 zamiast n w każdym z czterech progresji. W 4. progresji otrzymujemy:

.

Odpowiedź: 4.

Zadanie 8

W postępie arytmetycznym 1= 3, re = -1,5. Podaj największą wartość n, dla której zachodzi nierówność jakiś > -6.