Metody rozwiązywania równań trygonometrycznych.

Rozwiązanie równania trygonometrycznego składa się z dwóch etapów: transformacja równańżeby to było proste wpisz (patrz wyżej) i rozwiązanieuzyskany najprostszy równanie trygonometryczne. Tam jest siedem podstawowe metody rozwiązywania równań trygonometrycznych.

1. Metoda algebraiczna.

(metoda podstawienia zmiennej i metoda podstawienia).

2. Faktoryzacja.

PRZYKŁAD 1. Rozwiąż równanie: grzech X+ cos X = 1 .

Rozwiązanie Przenieś wszystkie wyrazy równania w lewo:

Grzech X+ cos X – 1 = 0 ,

Przekształćmy i rozłóżmy wyrażenie na czynniki

Lewa strona równania:

Przykład 2. Rozwiąż równanie: sałata 2 X+ grzech X sałata X = 1.

ROZWIĄZANIE cos2 X+ grzech X sałata X– grzech 2 X– cos 2 X = 0 ,

Grzech X sałata X– grzech 2 X = 0 ,

Grzech X(sałata X– grzech X ) = 0 ,

Przykład 3. Rozwiąż równanie: cos 2 X– cos 8 X+ cos 6 X = 1.

ROZWIĄZANIE cos2 X+ cos 6 X= 1 + cos8 X,

2 cos 4 X cos 2 X= 2 cos² 4 X ,

Cos 4 X · (co 2 X– cos 4 X) = 0 ,

Cos 4 X 2 grzech 3 X grzech X = 0 ,

1). cos 4 X= 0 , 2). grzech 3 X= 0 , 3). grzech X = 0 ,

3. Doprowadzenie do jednolite równanie. Równanie zwany jednorodny od stosunkowo grzech I sałata , Jeśli wszystko warunki tego samego stopnia w odniesieniu do grzech I sałata ten sam kąt. Aby rozwiązać jednorodne równanie, potrzebujesz: A) przesuń wszystkich swoich członków na lewą stronę; B) umieść wszystkie wspólne czynniki poza nawiasami; V) zrównaj wszystkie czynniki i nawiasy do zera; G) nawiasy ustawione na zero dają równanie jednorodne mniejszego stopnia, przez które należy podzielić sałata(Lub grzech) w stopniu wyższym; D) rozwiązać wynikowe równanie algebraiczne względemdębnik . grzech 2 X+ 4 grzech X sałata X+ 5 cos 2 X = 2. Rozwiązanie: 3 grzechy 2 X+ 4 grzech X sałata X+ 5 cos 2 X= 2 grzech 2 X+ 2 cos 2 X , Grzech 2 X+ 4 grzech X sałata X+ 3 cos 2 X = 0 , Jasnobrązowy 2 X+ 4opalenizna X + 3 = 0 , stąd y 2 + 4y +3 = 0 , Pierwiastki tego równania to:y 1 = - 1, y 2 = - 3, stąd 1) opalenizna X= –1, 2) brąz X = –3,

4. Przejście do pół rogu.

Spójrzmy na tę metodę na przykładzie:

PRZYKŁAD Rozwiąż równanie: 3 grzech X– 5 cos X = 7.

Rozwiązanie: 6 grzechów ( X/ 2) cos ( X/ 2) – 5 cos² ( X/ 2) + 5 grzech² ( X/ 2) =

7 grzech² ( X/ 2) + 7 cos² ( X/ 2) ,

2 grzech² ( X/ 2) – 6 grzechów ( X/ 2) cos( X/ 2) + 12 cos² ( X/ 2) = 0 ,

jasnobrązowy²( X/ 2) – 3 brąz ( X/ 2) + 6 = 0 ,

. . . . . . . . . .

5. Wprowadzenie kąta pomocniczego.

Rozważ równanie postaci:

A grzech X + B sałata X = C ,

Gdzie A, B, C– współczynniki;X- nieznany.

Teraz współczynniki równania mają właściwości sinusa i cosinusa, mianowicie: moduł (wartość bezwzględna) każdego z nich w tym nie więcej niż 1 a suma ich kwadratów wynosi 1. Wtedy można wyznaczyć ich odpowiednio Jak cos i grzech (tutaj - tak zwana kąt pomocniczy), Inasze równanie jest

Równania trygonometryczne

Rozwiązywanie najprostszych równań trygonometrycznych

Stopnie i radiany

Wprowadzenie do koła trygonometrycznego

Obroty na okręgu trygonometrycznym

Ile bólu wiąże się ze słowem trygonometria. Ten temat pojawia się w 9 klasie i nigdzie nie zniknął. Trudno jest tym, którzy czegoś nie rozumieją od razu. Spróbujmy to naprawić, aby rozjaśnić twarz uśmiechem na słowo trygonometria lub przynajmniej uzyskać „pokerową twarz”.

Zacznijmy od tego, że tak jak długość można wyrazić w metrach lub milach, tak też można kąt można wyrazić w radianach lub stopniach.

1 radian = 180/π ≈ 57,3 stopnia

Ale łatwiej jest zapamiętać liczby całkowite: 3,14 radianów = 180 stopni. Wszystkie są tą samą wartością liczby π.

Przypomnijmy, że jeśli każą nam się odwrócić, to musimy obrócić się o 180 stopni, a teraz możemy też powiedzieć: Obróć π!

O wykresach sinusa, cosinusa i tange porozmawiamy w innym artykule.

A teraz zacznijmy od kartezjańskiego (prostokątnego) układu współrzędnych.

Wcześniej pomagała budować wykresy, a teraz pomoże z sinusem i cosinusem.

Na przecięciu osi X i osi Y konstruujemy okrąg jednostkowy (promień 1):

Następnie oś cosinusa będzie pokrywać się z x, oś sinusoidy z y. Na rysunku pokazano również osie stycznych i cotangensów.

A teraz odnotowujemy główne wartości stopni i radianów na okręgu.

załóżmy zgodzimy się z tobą, jako dorośli: na okręgu zaznaczymy kąt w radianach, czyli przez Pi.

Wystarczy pamiętać, że π = 180°(wtedy π/6 = 180/6 = 30°; π/3 = 180/3 = 60°; π/4 = 180/4 = 45°).

Teraz zakręćmy się w kółko! Zwyczajowo przyjmuje się najbardziej wysunięty na prawo punkt okręgu (gdzie 0 °) jako początek raportu:

Z niej wyznaczamy dalszy zakręt. Możemy obracać zarówno w kierunku dodatnim (przeciwnie do ruchu wskazówek zegara), jak iw kierunku ujemnym (zgodnie z ruchem wskazówek zegara).

Istnieją dwa sposoby obrócenia o 45°: przez lewe ramię o 45° w stronę (+) lub przez prawe ramię o 315° w stronę (-).

Najważniejsze jest kierunek, w którym będziemy patrzeć, a nie kąt!

Konieczne jest skierowanie linii przerywanej na 100 punktów, a ile obrotów i w jakim kierunku wykonamy wokół siebie - to nie ma znaczenia!

Możesz zdobyć 100 punktów, obracając o 135° lub 360°+135°, lub -225°, lub -225°-360°...

A teraz masz dwa sposoby:

Naucz się całego koła (trygonometru). Dobra opcja, jeśli wszystko jest w porządku z twoją pamięcią i nic nie wyfrunie ci z głowy w kluczowym momencie:

Możesz zapamiętać kilka rogów tabeli i odpowiadające im wartości, a następnie ich użyć.

Znajdź równe kąty (pionowe, odpowiadające) na okręgu trygonometrycznym. Możesz dostać się do dowolnego punktu, używając sumy lub różnicy dwóch wartości tabelarycznych.

Spróbujmy to zrozumieć na przykładzie:

Przykład 1. cos(x) = ½

1) Pamiętaj, że oś cos(x) jest osią poziomą. Zaznaczamy na nim wartość ½ i rysujemy prostopadłą (fioletową) linię prostą do przecięć z okręgiem.

2) Mam dwa punkty przecięcia z okręgiem, wartość tych kątów będzie rozwiązaniem równania.

Chodzi o to, aby znaleźć te rogi.

Lepiej obejść się „małym krwią” i poznać wartość sinusa i cosinusa dla kątów od 30° do 60°.

Lub zapamiętaj tę sztuczkę:

Ponumeruj palce od 0 do 4 od małego do kciuka. Kąt jest ustawiany między małym palcem a dowolnym innym palcem (od 0 do 90).

Na przykład, wymagane jest znalezienie grzechu (π/2): π / 2 to kciuk, n = 4 jest podstawiane do wzoru na sinus: grzech(π/2) = √4/2 = 1 => grzech(π/2) = 1.

cos(π/4) - ? π/4 odpowiada środkowemu palcowi (n = 2) => cos(π/4) = √2/2.

Przy wartości cos (x) = ½ z tabeli lub korzystając z reguły mnemotechnicznej, znajdujemy x = 60° (pierwszy punkt x = + π / 3 ze względu na to, że obrót był przeciwny do ruchu wskazówek zegara (+), kąt wynosi zaznaczone czarnym łukiem).

Drugi punkt odpowiada dokładnie temu samemu kątowi, tylko obrót będzie zgodny z ruchem wskazówek zegara (-). x = −π/3 (kąt jest pokazany przez dolny czarny łuk).

I ostatnie, zanim w końcu odkryjesz tajemną wiedzę o trygonometrii:

Kiedy wymagane jest trafienie "100 punktów", możemy je uderzyć, obracając się do...=-225°=135°=495°=...

Tak samo tutaj! Różne kąty mogą odzwierciedlać ten sam kierunek.

Możesz absolutnie powiedzieć, że musisz skręcić pod wymaganym kątem, a następnie możesz obrócić o 360 ° = 2π (na niebiesko) tyle razy, ile chcesz iw dowolnym kierunku.

W ten sposób można dostać się w pierwszy kierunek 60°: ...,60°-360°, 60°, 60°+360°,...

A jak zapisać resztę kątów, żeby nie zapisać nieskończonej ilości punktów? (Chciałbym to zobaczyć☻)

Dlatego poprawne jest zapisanie odpowiedzi: x = 60 + 360n, gdzie n jest liczbą całkowitą (n∈Ζ) (obracamy o 60 stopni, a następnie okrążamy tyle razy, ile chcemy, najważniejsze jest to, że kierunek pozostaje takie samo). Podobnie x = −60 + 360n.

Ale zgodziliśmy się, że wszystko na okręgu jest zapisane przez π, więc cos(x) = ½ dla x=π/3 + 2πn, n∈Z i x = −π/3 + 2πk, k∈Z.

Odpowiedź: x = π/3 + 2πn, x= − π/3 + 2πk, (n, k) ∈Z.

Przykład nr 2. 2sinx = √2

Pierwszą rzeczą do zrobienia jest przesunięcie 2 w prawo => sinx=√2/2

1) sin(x) pokrywa się z osią Y. Na osi sin(x) zaznacz √2/2 i narysuj ⊥ fioletowa prosta do przecięcia z okręgiem.

2) Z tabeli sinx = √2/2 w punkcie x = π/4, a drugiego punktu będziemy szukać obracając się do π, a następnie musimy wrócić z powrotem do π/4.

Zatem drugim punktem będzie x = π − π/4 = 3π/4, można do niego również dotrzeć za pomocą czerwonych strzałek lub w inny sposób.

I nie zapomnijmy dodać +2πn, n∈Ζ.

Odpowiedź: 3π/4 + 2πn i π/4 + 2πk, k i n są dowolnymi liczbami całkowitymi.

Przykład nr 3. tg(x + π/4) = √3

Wszystko wydaje się być poprawne, tangens jest równy liczbie, ale pi / 4 w tangensie myli. Następnie dokonujemy podstawienia: y = x + π/4.

tg(y) = √3 nie wygląda już tak źle. Pamiętajmy, gdzie jest oś stycznych.

1) I teraz na osi stycznych odnotowujemy wartość √3, która jest większa od 1.

2) Narysuj fioletową linię przechodzącą przez wartość √3 i początek układu współrzędnych. Ponownie na przecięciu z okręgiem uzyskuje się 2 punkty.

Zgodnie z regułą mnemoniczną, przy tangensie √3, pierwszą wartością jest π/3.

3) Aby dostać się do drugiego punktu, możesz dodać π => y = π/3 + π = 4π/3 do pierwszego punktu (π/3).

4) Ale znaleźliśmy tylko y , z powrotem do x. y = π/3 + 2πn i y = x + π/4, wtedy x + π/4 = π/3 + 2πn => x = π/12 + 2πn, n∈Z.

Drugi pierwiastek: y = 4π/3 + 2πk i y = x + π/4, wtedy x + π/4 = 4π/3 + 2πk => x = 13π/12 + 2πk, k∈Ζ.

Teraz korzenie na okręgu będą tutaj:

Odpowiedź: π/12 + 2πn i 13π/12 + 2πk, k i n- dowolne liczby całkowite.

Oczywiście te dwie odpowiedzi można połączyć w jedną. Od 0 obróć o π / 12, a następnie każdy pierwiastek powtórzy się co π (180 °).

Odpowiedź można również zapisać następująco: π/12 + πn, n∈Z.

Przykład 4: −10ctg(x) = 10

Przenieśmy (−10) do innej części: ctg(x) = −1. Zwróć uwagę na wartość -1 na osi cotangensów.

1) Narysuj linię prostą przechodzącą przez ten punkt i początek.

2) Będziemy musieli ponownie pamiętać, kiedy dzielenie cosinusa przez sinusa da jednostkę (otrzymuje się to za pomocą π / 4). Ale tutaj -1, więc jednym punktem będzie -π/4. A drugi znajdujemy obracając w górę do π, a następnie z powrotem o π/4 (π − π/4).

Można to zrobić inaczej (na czerwono), ale moja rada dla ciebie: zawsze licz od całkowitych wartości pi(π, 2π, 3π...) o wiele mniej prawdopodobne, że się pomylisz.

Nie zapomnij dodać 2πk do każdego punktu.

Odpowiedź: 3π/4 + 2πn i −π/4 + 2πk, k i n są dowolnymi liczbami całkowitymi.

Algorytm rozwiązywania równań trygonometrycznych (na przykład cos(x) = − √ 3/2) :

1. Wartość (−√3/2) zaznaczamy na osi funkcji trygonometrycznej (cosinusy, to jest oś X).
2. Rysujemy linię prostopadłą do osi (cosinusy) do przecięć z okręgiem.
3. Punkty przecięcia z okręgiem będą pierwiastkami równania.
4. Wartość jednego punktu (bez względu na to, jak się do tego dostaniesz)+2 szt.

Podstawy wystarczą, zanim przejdziesz dalej, utrwal zdobytą wiedzę.

W tej lekcji przyjrzymy się podstawowe funkcje trygonometryczne, ich własności i wykresy, a także listę główne typy równań i układów trygonometrycznych. Ponadto wskazujemy ogólne rozwiązania najprostszych równań trygonometrycznych i ich przypadki szczególne.

Ta lekcja pomoże ci przygotować się do jednego z rodzajów zadań. B5 i C1.

Przygotowanie do egzaminu z matematyki

Eksperyment

Lekcja 10 Równania trygonometryczne i ich układy.

Teoria

Podsumowanie lekcji

Wielokrotnie używaliśmy już terminu „funkcja trygonometryczna”. W pierwszej lekcji tego tematu zdefiniowaliśmy je za pomocą trójkąta prostokątnego i jednostkowego okręgu trygonometrycznego. Korzystając z takich metod określania funkcji trygonometrycznych, możemy już stwierdzić, że dla nich jedna wartość argumentu (lub kąta) odpowiada dokładnie jednej wartości funkcji, tj. mamy prawo nazywać dokładnie funkcje sinus, cosinus, tangens i cotangens.

W tej lekcji nadszedł czas, aby spróbować abstrahować od wcześniej omówionych metod obliczania wartości funkcji trygonometrycznych. Dzisiaj przejdziemy do zwykłego algebraicznego podejścia do pracy z funkcjami, rozważymy ich właściwości i narysujemy wykresy.

Jeśli chodzi o właściwości funkcji trygonometrycznych, należy zwrócić szczególną uwagę na:

Dziedzina definicji i zakres wartości, ponieważ dla sinusa i cosinusa istnieją ograniczenia dotyczące zakresu wartości, a dla stycznej i cotangensa istnieją ograniczenia dotyczące zakresu definicji;

Okresowość wszystkich funkcji trygonometrycznych, ponieważ zauważyliśmy już obecność najmniejszego niezerowego argumentu, którego dodanie nie zmienia wartości funkcji. Taki argument nazywany jest okresem funkcji i jest oznaczony literą . Dla sinus/cosinus i tangens/cotangens okresy te są różne.

Rozważ funkcję:

1) Dziedzina definicji;

2) Zakres wartości ;

3) Funkcja jest nieparzysta ;

Narysujmy funkcję. W tym przypadku wygodnie jest rozpocząć budowę od obrazu obszaru, który ogranicza wykres od góry liczbą 1, a od dołu liczbą , która jest związana z zakresem funkcji. Ponadto do kreślenia warto zapamiętać wartości sinusów kilku głównych kątów stołu, na przykład To pozwoli ci zbudować pierwszą kompletną „falę” wykresu, a następnie przerysować ją w prawo i w lewo, wykorzystując fakt, że obraz zostanie powtórzony z przesunięciem o kropkę, tj. NA .

Teraz spójrzmy na funkcję:

Główne właściwości tej funkcji:

1) Dziedzina definicji;

2) Zakres wartości ;

3) Funkcja jest parzysta Oznacza to symetrię wykresu funkcji względem osi y;

4) Funkcja nie jest monotonna w całej swojej dziedzinie definicji;

Narysujmy funkcję. Podobnie jak przy konstruowaniu sinusa, wygodnie jest zacząć od zobrazowania obszaru ograniczającego wykres od góry liczbą 1, a od dołu liczbą , która jest związana z zakresem funkcji. Narysujemy również współrzędne kilku punktów na wykresie, dla których konieczne jest zapamiętanie wartości cosinusów kilku głównych kątów stołu, np. korzystając z tych punktów możemy zbudować pierwszą kompletną „falę” wykres, a następnie przerysuj go w prawo i w lewo, korzystając z faktu, że obraz powtórzy się z przesunięciem okresu, tj. NA .

Przejdźmy do funkcji:

Główne właściwości tej funkcji:

1) Dziedzina definicji z wyjątkiem , gdzie . Wskazywaliśmy już na poprzednich lekcjach, że nie istnieje. Stwierdzenie to można uogólnić, biorąc pod uwagę okres stycznej;

2) Zakres wartości, tj. wartości styczne nie są ograniczone;

3) Funkcja jest nieparzysta ;

4) Funkcja rośnie monotonicznie w obrębie tak zwanych gałęzi stycznych, co teraz zobaczymy na rysunku;

5) Funkcja jest okresowa z kropką

Narysujmy funkcję. W takim przypadku dogodnie jest rozpocząć konstrukcję od obrazu asymptot pionowych grafu w punktach, które nie mieszczą się w dziedzinie definicji, tj. itp. Następnie przedstawiamy gałęzie stycznej wewnątrz każdego z pasków utworzonych przez asymptoty, dociskając je do asymptoty lewej i prawej. Jednocześnie nie zapominaj, że każda gałąź rośnie monotonicznie. Przedstawiamy wszystkie gałęzie w ten sam sposób, ponieważ funkcja ma okres równy . Można to zobaczyć na podstawie faktu, że każda gałąź jest uzyskiwana przez przesunięcie sąsiedniej wzdłuż osi x.

Kończymy spojrzeniem na funkcję:

Główne właściwości tej funkcji:

1) Dziedzina definicji z wyjątkiem , gdzie . Zgodnie z tabelą wartości funkcji trygonometrycznych wiemy już, że nie istnieje. Stwierdzenie to można uogólnić, biorąc pod uwagę okres cotangensa;

2) Zakres wartości, tj. wartości cotangensa nie są ograniczone;

3) Funkcja jest nieparzysta ;

4) Funkcja maleje monotonicznie w swoich gałęziach, które są podobne do gałęzi stycznych;

5) Funkcja jest okresowa z kropką

Narysujmy funkcję. W tym przypadku, podobnie jak w przypadku stycznej, wygodnie jest rozpocząć budowę od obrazu asymptot pionowych wykresu w punktach, które nie mieszczą się w obszarze definicji, tj. itp. Następnie przedstawiamy gałęzie cotangensa wewnątrz każdego z pasków utworzonych przez asymptoty, dociskając je do asymptoty lewej i prawej. W tym przypadku bierzemy pod uwagę, że każda gałąź jest malejąca monotonicznie. Wszystkie gałęzie, podobnie jak styczna, są przedstawione w ten sam sposób, ponieważ funkcja ma okres równy .

Osobno należy zauważyć, że funkcje trygonometryczne ze złożonym argumentem mogą mieć niestandardowy okres. Są to funkcje postaci:

Mają ten sam okres. A co do funkcji:

Mają ten sam okres.

Jak widać, aby obliczyć nowy okres, standardowy okres jest po prostu dzielony przez czynnik w argumencie. Nie zależy od innych modyfikacji funkcji.

Możesz zrozumieć i zrozumieć bardziej szczegółowo, skąd pochodzą te formuły w lekcji dotyczącej konstruowania i przekształcania wykresów funkcyjnych.

Doszliśmy do jednej z najważniejszych części tematu „Trygonometria”, którą poświęcimy rozwiązywaniu równań trygonometrycznych. Umiejętność rozwiązywania takich równań jest istotna np. przy opisie procesów oscylacyjnych w fizyce. Wyobraźmy sobie, że przejechałeś kilka okrążeń gokartem w sportowym samochodzie, rozwiązanie równania trygonometrycznego pomoże określić, jak długo uczestniczysz już w wyścigu, w zależności od pozycji samochodu na torze.

Napiszmy najprostsze równanie trygonometryczne:

Rozwiązaniem takiego równania są argumenty, których sinus jest równy. Ale wiemy już, że z powodu okresowości sinusa istnieje nieskończona liczba takich argumentów. Zatem rozwiązaniem tego równania będzie itd. To samo dotyczy rozwiązania dowolnego innego prostego równania trygonometrycznego, będzie ich nieskończona liczba.

Równania trygonometryczne dzielą się na kilka podstawowych typów. Osobno należy zastanowić się nad najprostszym, ponieważ. cała reszta jest do nich zredukowana. Istnieją cztery takie równania (według liczby podstawowych funkcji trygonometrycznych). Dla nich znane są wspólne rozwiązania, trzeba o nich pamiętać.

Najprostsze równania trygonometryczne i ich ogólne rozwiązania wygląda jak to:

Należy pamiętać, że wartości sinus i cosinus muszą uwzględniać znane nam ograniczenia. Jeżeli np. , to równanie nie ma rozwiązań i nie należy stosować tego wzoru.

Ponadto te formuły pierwiastkowe zawierają parametr w postaci dowolnej liczby całkowitej. W programie szkolnym jest to jedyny przypadek, gdy rozwiązanie równania bez parametru zawiera parametr. Ta dowolna liczba całkowita pokazuje, że można wypisać nieskończoną liczbę pierwiastków dowolnego ze wskazanych równań, po prostu podstawiając po kolei wszystkie liczby całkowite.

Możesz zapoznać się ze szczegółowym odbiorem tych formuł, powtarzając rozdział „Równania trygonometryczne” w programie algebry 10 klasy.

Osobno należy zwrócić uwagę na rozwiązanie poszczególnych przypadków najprostszych równań z sinusem i cosinusem. Równania te wyglądają następująco:

Nie należy do nich stosować formuł służących do znajdowania ogólnych rozwiązań. Takie równania najwygodniej rozwiązuje się za pomocą koła trygonometrycznego, co daje prostszy wynik niż ogólne wzory rozwiązań.

Rozwiązaniem równania jest np . Spróbuj samodzielnie uzyskać tę odpowiedź i rozwiąż pozostałe wskazane równania.

Oprócz najczęściej wskazywanego typu równań trygonometrycznych istnieje kilka bardziej standardowych. Wymieniamy je, biorąc pod uwagę te, które już wskazaliśmy:

1) pierwotniaki, Na przykład, ;

2) Szczególne przypadki najprostszych równań, Na przykład, ;

3) Złożone równania argumentowe, Na przykład, ;

4) Równania zredukowane do najprostszej postaci przez usunięcie wspólnego czynnika, Na przykład, ;

5) Równania zredukowane do najprostszej postaci przez przekształcenie funkcji trygonometrycznych, Na przykład, ;

6) Równania redukowalne do najprostszych przez podstawienie, Na przykład, ;

7) Równania jednorodne, Na przykład, ;

8) Równania rozwiązywane przy użyciu właściwości funkcji, Na przykład, . Nie daj się zastraszyć faktem, że to równanie ma dwie zmienne, jest rozwiązywane w tym samym czasie;

Jak również równania rozwiązywane różnymi metodami.

Oprócz rozwiązywania równań trygonometrycznych konieczna jest umiejętność rozwiązywania ich układów.

Najpopularniejsze typy systemów to:

1) W którym z równań jest prawem potęgowym, Na przykład, ;

2) Układy prostych równań trygonometrycznych, Na przykład, .

Na dzisiejszej lekcji przyjrzeliśmy się podstawowym funkcjom trygonometrycznym, ich właściwościom i wykresom. A także zapoznał się z ogólnymi wzorami rozwiązywania najprostszych równań trygonometrycznych, wskazał główne typy takich równań i ich układy.

W praktycznej części lekcji przeanalizujemy metody rozwiązywania równań trygonometrycznych i ich układów.

Pudełko 1.Rozwiązywanie przypadków szczególnych najprostszych równań trygonometrycznych.

Jak powiedzieliśmy w głównej części lekcji, szczególne przypadki równań trygonometrycznych z sinusem i cosinusem postaci:

mają prostsze rozwiązania niż dają ogólne wzory rozwiązań.

W tym celu stosuje się koło trygonometryczne. Przeanalizujmy metodę ich rozwiązania na przykładzie równania.

Narysuj punkt na okręgu trygonometrycznym, w którym wartość cosinusa wynosi zero, co jest jednocześnie współrzędną wzdłuż osi x. Jak widać, są dwa takie punkty. Naszym zadaniem jest wskazanie, jaki jest kąt odpowiadający tym punktom na okręgu.

Liczenie rozpoczynamy od dodatniego kierunku osi odciętych (oś cosinusowa) i odkładając kąt dochodzimy do pierwszego pokazanego punktu, tj. jednym rozwiązaniem byłaby ta wartość kąta. Ale nadal jesteśmy zadowoleni z kąta odpowiadającego drugiemu punktowi. Jak w to wejść?

Możesz zamówić szczegółowe rozwiązanie swojego problemu !!!

Równość zawierająca niewiadomą pod znakiem funkcji trygonometrycznej (`sin x, cos x, tg x` lub `ctg x`) nazywana jest równaniem trygonometrycznym, a ich wzory rozważymy dalej.

Najprostsze równania to `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, gdzie `x` to szukany kąt, `a` to dowolna liczba. Napiszmy formuły pierwiastkowe dla każdego z nich.

1. Równanie `sin x=a`.

Dla `|a|>1` nie ma rozwiązań.

Z `|a| \leq 1` ma nieskończoną liczbę rozwiązań.

Formuła pierwiastkowa: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. Równanie `cos x=a`

Dla `|a|>1` - podobnie jak w przypadku sinusa, wśród liczb rzeczywistych nie ma rozwiązań.

Z `|a| \leq 1` ma nieskończoną liczbę rozwiązań.

Formuła pierwiastkowa: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Szczególne przypadki sinusa i cosinusa w grafach.

3. Równanie `tg x=a`

Ma nieskończoną liczbę rozwiązań dla dowolnych wartości `a`.

Formuła pierwiastkowa: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. Równanie `ctg x=a`

Ma również nieskończoną liczbę rozwiązań dla dowolnych wartości `a`.

Formuła pierwiastkowa: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Wzory na pierwiastki równań trygonometrycznych w tabeli

dla zatoki:
dla cosinusa:
Dla stycznej i cotangensa:
Wzory do rozwiązywania równań zawierających odwrotne funkcje trygonometryczne:

Metody rozwiązywania równań trygonometrycznych

Rozwiązanie dowolnego równania trygonometrycznego składa się z dwóch etapów:

• za pomocą przekonwertować go na najprostszy;
• rozwiąż otrzymane proste równanie, korzystając z powyższych wzorów na pierwiastki i tabele.

Rozważmy główne metody rozwiązania na przykładach.

metoda algebraiczna.

W tej metodzie następuje zamiana zmiennej i jej podstawienie na równość.

Przykład. Rozwiąż równanie: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

dokonaj zamiany: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, następnie `2y^2-3y+1=0`,

znajdujemy pierwiastki: `y_1=1, y_2=1/2`, z których wynikają dwa przypadki:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Odpowiedź: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Faktoryzacja.

Przykład. Rozwiąż równanie: `sin x+cos x=1`.

Rozwiązanie. Przesuń w lewo wszystkie wyrazy równości: `sin x+cos x-1=0`. Używając , przekształcamy i rozkładamy na czynniki lewą stronę:

`grzech x - 2 grzech^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Odpowiedź: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Redukcja do równania jednorodnego

Najpierw musisz doprowadzić to równanie trygonometryczne do jednej z dwóch postaci:

`a sin x+b cos x=0` (równanie jednorodne pierwszego stopnia) lub `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (równanie jednorodne drugiego stopnia).

Następnie podziel obie części przez `cos x \ne 0` dla pierwszego przypadku i przez `cos^2 x \ne 0` dla drugiego. Otrzymujemy równania dla `tg x`: `a tg x+b=0` i `a tg^2 x + b tg x +c =0`, które należy rozwiązać znanymi metodami.

Przykład. Rozwiąż równanie: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

Rozwiązanie. Zapiszmy prawą stronę jako `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 grzech^2 x+grzech x cos x — cos^2 x=` `grzech^2 x+cos^2 x`,

`2 grzech^2 x+grzech x sałata x - sałata^2 x -` ` grzech^2 x - sałata^2 x=0`

`grzech^2 x+grzech x cos x - 2 cos^2 x=0`.

Jest to jednorodne równanie trygonometryczne drugiego stopnia, dzieląc jego lewą i prawą część przez `cos^2 x \ne 0`, otrzymujemy:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) - \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x - 2=0`. Wprowadźmy zamianę `tg x=t`, w wyniku czego `t^2 + t - 2=0`. Pierwiastki tego równania to `t_1=-2` i `t_2=1`. Następnie:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \in Z`.

Odpowiedź. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Idź do Pół rogu

Przykład. Rozwiąż równanie: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

Rozwiązanie. Stosując formuły podwójnego kąta, wynik jest następujący: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 - 11 tg x/2 +6=0`

Stosując opisaną powyżej metodę algebraiczną, otrzymujemy:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Odpowiedź. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Wprowadzenie kąta pomocniczego

W równaniu trygonometrycznym `a sin x + b cos x =c`, gdzie a,b,c to współczynniki a x to zmienna, obie części dzielimy przez `sqrt (a^2+b^2)`:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) +b^2))`.

Współczynniki po lewej stronie mają własności sinusa i cosinusa, czyli suma ich kwadratów jest równa 1, a moduł nie większy niż 1. Oznaczmy je następująco: `\frac a(sqrt (a^2+ b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) = sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2))= C`, to:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Przyjrzyjmy się bliżej następującemu przykładowi:

Przykład. Rozwiąż równanie: `3 sin x+4 cos x=2`.

Rozwiązanie. Dzieląc obie strony równania przez `sqrt (3^2+4^2)', otrzymujemy:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`

`3/5 grzech x+4/5 cos x=2/5`.

Oznacz `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Ponieważ `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, bierzemy `\varphi=arcsin 4/5` jako kąt pomocniczy. Następnie zapisujemy naszą równość w postaci:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Stosując wzór na sumę kątów dla sinusa, zapisujemy naszą równość w następującej formie:

`sin(x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Odpowiedź. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Ułamkowo-wymierne równania trygonometryczne

Są to równości z ułamkami, w których licznikach i mianownikach znajdują się funkcje trygonometryczne.

Przykład. Rozwiązać równanie. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

Rozwiązanie. Pomnóż i podziel prawą stronę równania przez `(1+cos x)`. W rezultacie otrzymujemy:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

Biorąc pod uwagę, że mianownik nie może być zerem, otrzymujemy `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.

Przyrównaj licznik ułamka do zera: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Następnie `sin x=0` lub `1-sin x=0`.

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

Biorąc pod uwagę, że ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, rozwiązaniami są `x=2\pi n, n \in Z` i `x=\pi /2+2\pi n` , `n \w Z`.

Odpowiedź. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

Trygonometria, aw szczególności równania trygonometryczne, są stosowane w prawie wszystkich dziedzinach geometrii, fizyki i inżynierii. Nauka zaczyna się w 10. klasie, zawsze są zadania do egzaminu, więc spróbuj zapamiętać wszystkie wzory równań trygonometrycznych - na pewno ci się przydadzą!

Jednak nie musisz ich nawet zapamiętywać, najważniejsze jest zrozumienie istoty i umiejętność wydedukowania. To nie jest takie trudne, jak się wydaje. Przekonaj się sam, oglądając wideo.

Pojęcie rozwiązywania równań trygonometrycznych.

• Aby rozwiązać równanie trygonometryczne, przekształć je w jedno lub więcej podstawowych równań trygonometrycznych. Rozwiązanie równania trygonometrycznego ostatecznie sprowadza się do rozwiązania czterech podstawowych równań trygonometrycznych.

Rozwiązywanie podstawowych równań trygonometrycznych.

• Istnieją 4 rodzaje podstawowych równań trygonometrycznych:
• grzech x = a; cos x = a
• brąz x = a; ctg x = a
• Rozwiązywanie podstawowych równań trygonometrycznych polega na spojrzeniu na różne pozycje x na okręgu jednostkowym, a także na użyciu tabeli konwersji (lub kalkulatora).
• Przykład 1. sin x = 0,866. Korzystając z tabeli konwersji (lub kalkulatora), otrzymujesz odpowiedź: x = π/3. Okrąg jednostkowy daje inną odpowiedź: 2π/3. Pamiętaj: wszystkie funkcje trygonometryczne są okresowe, to znaczy ich wartości się powtarzają. Na przykład okresowość sin x i cos x wynosi 2πn, a okresowość tg x i ctg x wynosi πn. Więc odpowiedź jest napisana tak:
• x1 = π/3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn.
• Przykład 2 cos x = -1/2. Korzystając z tabeli konwersji (lub kalkulatora), otrzymujesz odpowiedź: x = 2π/3. Okrąg jednostkowy daje inną odpowiedź: -2π/3.
• x1 = 2π/3 + 2π; x2 = -2π/3 + 2π.
• Przykład 3. tg (x - π/4) = 0.
• Odpowiedź: x \u003d π / 4 + πn.
• Przykład 4. ctg 2x = 1,732.
• Odpowiedź: x \u003d π / 12 + πn.

Przekształcenia stosowane w rozwiązywaniu równań trygonometrycznych.

• Do przekształcania równań trygonometrycznych stosuje się przekształcenia algebraiczne (rozkład na czynniki, redukcja wyrazów jednorodnych itp.) oraz tożsamości trygonometryczne.
• Przykład 5. Korzystając z tożsamości trygonometrycznych, równanie sin x + sin 2x + sin 3x = 0 przekształca się w równanie 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0. Zatem następujące podstawowe równania trygonometryczne należy rozwiązać: cos x = 0; grzech(3x/2) = 0; cos(x/2) = 0.

• Znajdowanie kątów ze znanych wartości funkcji.

  • Zanim nauczysz się rozwiązywać równania trygonometryczne, musisz nauczyć się znajdować kąty na podstawie znanych wartości funkcji. Można to zrobić za pomocą tabeli konwersji lub kalkulatora.
  • Przykład: cos x = 0,732. Kalkulator da odpowiedź x = 42,95 stopni. Okrąg jednostkowy da dodatkowe kąty, których cosinus jest również równy 0,732.

• Odłóż rozwiązanie na koło jednostkowe.

  • Możesz umieścić rozwiązania równania trygonometrycznego na okręgu jednostkowym. Rozwiązaniami równania trygonometrycznego na okręgu jednostkowym są wierzchołki wielokąta foremnego.
  • Przykład: Rozwiązania x = π/3 + πn/2 na okręgu jednostkowym są wierzchołkami kwadratu.
  • Przykład: rozwiązaniami x = π/4 + πn/3 na okręgu jednostkowym są wierzchołki sześciokąta foremnego.

• Metody rozwiązywania równań trygonometrycznych.

  • Jeżeli podane równanie trygonometryczne zawiera tylko jedną funkcję trygonometryczną, to równanie to należy rozwiązać jako podstawowe równanie trygonometryczne. Jeżeli dane równanie zawiera dwie lub więcej funkcji trygonometrycznych, to istnieją 2 metody rozwiązania takiego równania (w zależności od możliwości jego przekształcenia).
    • Metoda 1
  • Przekształć to równanie na równanie postaci: f(x)*g(x)*h(x) = 0, gdzie f(x), g(x), h(x) są podstawowymi równaniami trygonometrycznymi.
  • Przykład 6. 2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
  • Rozwiązanie. Używając wzoru na podwójny kąt sin 2x = 2*sin x*cos x, zastąp sin 2x.
  • 2cos x + 2*sin x*cos x = 2cos x*(sin x + 1) = 0. Teraz rozwiąż dwa podstawowe równania trygonometryczne: cos x = 0 i (sin x + 1) = 0.
  • Przykład 7 cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
  • Rozwiązanie: Korzystając z tożsamości trygonometrycznych, przekształć to równanie w równanie postaci: cos 2x(2cos x + 1) = 0. Teraz rozwiąż dwa podstawowe równania trygonometryczne: cos 2x = 0 i (2cos x + 1) = 0.
  • Przykład 8. grzech x - grzech 3x \u003d cos 2x. (0< x < 2π)
  • Rozwiązanie: Korzystając z tożsamości trygonometrycznych, przekształć to równanie w równanie postaci: -cos 2x*(2sin x + 1) = 0. Teraz rozwiąż dwa podstawowe równania trygonometryczne: cos 2x = 0 i (2sin x + 1) = 0.
    • Metoda 2
  • Zamień podane równanie trygonometryczne na równanie zawierające tylko jedną funkcję trygonometryczną. Następnie zastąp tę funkcję trygonometryczną jakąś niewiadomą, na przykład t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tg x = t; tg (x/2) = t itd.).
  • Przykład 9. 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0< x < 2π).
  • Rozwiązanie. W tym równaniu zastąp (cos^2 x) przez (1 - sin^2 x) (zgodnie z tożsamością). Przekształcone równanie wygląda następująco:
  • 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. Zamień sin x na t. Teraz równanie wygląda następująco: 5t^2 - 4t - 9 = 0. To jest równanie kwadratowe z dwoma pierwiastkami: t1 = -1 i t2 = 9/5. Drugi pierwiastek t2 nie spełnia zakresu funkcji (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
  • Przykład 10. tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
  • Rozwiązanie. Zastąp tgx przez t. Przepisz oryginalne równanie w następujący sposób: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. Teraz znajdź t, a następnie znajdź x dla t = tg x.

• Specjalne równania trygonometryczne.

  • Istnieje kilka specjalnych równań trygonometrycznych, które wymagają określonych przekształceń. Przykłady:
  • a*grzech x+ b*cos x = do ; a(sin x + cos x) + b*cos x*sin x = c;
  • a*sin^2 x + b*sin x*cos x + c*cos^2 x = 0

• Okresowość funkcji trygonometrycznych.

  • Jak wspomniano wcześniej, wszystkie funkcje trygonometryczne są okresowe, to znaczy ich wartości powtarzają się po pewnym okresie. Przykłady:
    • Okres funkcji f(x) = sin x wynosi 2π.
    • Okres funkcji f(x) = tg x jest równy π.
    • Okres funkcji f(x) = sin 2x jest równy π.
    • Okres funkcji f(x) = cos(x/2) wynosi 4π.
  • Jeśli w zadaniu określony jest okres, oblicz wartość x w tym okresie.
  • Uwaga: Rozwiązywanie równań trygonometrycznych nie jest łatwym zadaniem i często prowadzi do błędów. Sprawdź więc dokładnie swoje odpowiedzi. Aby to zrobić, możesz użyć kalkulatora graficznego do wykreślenia podanego równania R(x) = 0. W takich przypadkach rozwiązania będą reprezentowane jako ułamki dziesiętne (to znaczy π jest zastępowane przez 3,14).