Lekcja na temat: „Standardowa forma jednomianu. Definicja. Przykłady”

Dodatkowe materiały
Drodzy użytkownicy, nie zapomnijcie zostawić swoich komentarzy, recenzji i życzeń. Wszystkie materiały zostały sprawdzone programem antywirusowym.

Pomoce dydaktyczne i symulatory w sklepie internetowym Integral dla klasy 7
Podręcznik elektroniczny „Zrozumiała Geometria” dla klas 7-9
Podręcznik multimedialny „Geometria w 10 minut” dla klas 7-9

Jednomian. Definicja

Jednomian jest wyrażeniem matematycznym będącym iloczynem czynnika pierwszego i jednej lub większej liczby zmiennych.

Jednomiany obejmują wszystkie liczby, zmienne, ich potęgi z wykładnikiem naturalnym:
42; 3; 0; 6 2 ; 2 3 ; b3; topór 4; 4x 3 ; 5a 2 ; 12xyz 3 .

Dość często trudno jest określić, czy dane wyrażenie matematyczne odnosi się do jednomianu, czy nie. Na przykład $\frac(4a^3)(5)$. Czy to jest jednomian czy nie? Aby odpowiedzieć na to pytanie, musimy uprościć wyrażenie, tj. występuje w postaci: $\frac(4)(5)*a^3$.
Możemy z całą pewnością powiedzieć, że to wyrażenie jest jednomianem.

Standardowa forma jednomianu

Podczas wykonywania obliczeń wskazane jest sprowadzenie jednomianu do postaci standardowej. Jest to najbardziej zwięzły i zrozumiały zapis jednomianu.

Procedura redukcji jednomianu do postaci standardowej jest następująca:
1. Pomnóż współczynniki jednomianu (lub współczynniki numeryczne) i umieść wynikowy wynik na pierwszym miejscu.
2. Wybierz wszystkie potęgi o tej samej podstawie i pomnóż je.
3. Powtórz punkt 2 dla wszystkich zmiennych.

Przykłady.
I. Sprowadź podany jednomian $3x^2zy^3*5y^2z^4$ do postaci standardowej.

Rozwiązanie.
1. Pomnóż współczynniki jednomianu $15x^2y^3z * y^2z^4$.
2. Teraz przedstawiamy podobne terminy $15x^2y^5z^5$.

II. Sprowadź podany jednomian $5a^2b^3 * \frac(2)(7)a^3b^2c$ do postaci standardowej.

Rozwiązanie.
1. Pomnóż współczynniki jednomianu $\frac(10)(7)a^2b^3*a^3b^2c$.
2. Teraz przedstawimy podobne terminy $\frac(10)(7)a^5b^5c$.

W tej lekcji podamy ścisłą definicję jednomianu i przyjrzymy się różnym przykładom z podręcznika. Przypomnijmy sobie zasady mnożenia potęg o tej samej podstawie. Zdefiniujmy standardową formę jednomianu, współczynnik jednomianu i jego część literową. Rozważmy dwie główne typowe operacje na jednomianach, a mianowicie redukcję do postaci standardowej i obliczenie określonej wartości liczbowej jednomianu dla danych wartości zawartych w nim zmiennych dosłownych. Sformułujmy regułę redukcji jednomianu do postaci standardowej. Nauczmy się, jak rozwiązywać standardowe problemy z dowolnymi jednomianami.

Temat:Jednomiany. Działania arytmetyczne na jednomianach

Lekcja:Pojęcie jednomianu. Standardowa forma jednomianu

Rozważ kilka przykładów:

3. ;

Znajdźmy cechy wspólne dla danych wyrażeń. We wszystkich trzech przypadkach wyrażenie jest iloczynem liczb i zmiennych podniesionych do potęgi. Na tej podstawie dajemy definicja jednomianu : Jednomian jest wyrażeniem algebraicznym składającym się z iloczynu potęg i liczb.

Teraz podajemy przykłady wyrażeń, które nie są jednomianami:

Znajdźmy różnicę między tymi wyrażeniami a poprzednimi. Polega to na tym, że w przykładach 4-7 występują operacje dodawania, odejmowania lub dzielenia, natomiast w przykładach 1-3, które są jednomianami, nie ma tych operacji.

Oto kilka dodatkowych przykładów:

Wyrażenie numer 8 jest jednomianem, ponieważ jest iloczynem potęgi i liczby, podczas gdy przykład 9 nie jest jednomianem.

Teraz dowiedzmy się działania na jednomianach .

1. Uproszczenie. Spójrzmy na przykład nr 3 ;i przykład nr 2 /

W drugim przykładzie widzimy tylko jeden współczynnik – każda zmienna występuje tylko raz, czyli zmienna „ A„ jest reprezentowane w pojedynczym egzemplarzu jako „”, podobnie zmienne „” i „” pojawiają się tylko raz.

W przykładzie nr 3 natomiast są dwa różne współczynniki - i , zmienną „” widzimy dwukrotnie – jako „” i jako „”, podobnie zmienna „” pojawia się dwukrotnie. Oznacza to, że wyrażenie to należy uprościć i w ten sposób dochodzimy do pierwszą czynnością wykonywaną na jednomianach jest redukcja jednomianu do postaci standardowej . W tym celu sprowadzimy wyrażenie z Przykładu 3 do postaci standardowej, następnie zdefiniujemy tę operację i nauczymy się jak sprowadzić dowolny jednomian do postaci standardowej.

Rozważmy więc przykład:

Pierwszą czynnością w operacji redukcji do postaci standardowej jest zawsze pomnożenie wszystkich współczynników liczbowych:

;

Wynik tej akcji zostanie wywołany współczynnik jednomianu .

Następnie musisz pomnożyć potęgi. Pomnóżmy potęgi zmiennej „ X„zgodnie z zasadą mnożenia potęg o tej samej podstawie, która stanowi, że przy mnożeniu wykładniki dodawane są:

Teraz pomnóżmy potęgi ” Na»:

;

Oto uproszczone wyrażenie:

;

Każdy jednomian można sprowadzić do postaci standardowej. Sformułujmy zasada standaryzacji :

Pomnóż wszystkie czynniki liczbowe;

Umieść wynikowy współczynnik na pierwszym miejscu;

Pomnóż wszystkie stopnie, to znaczy uzyskaj część literową;

Oznacza to, że każdy jednomian charakteryzuje się współczynnikiem i częścią literową. Patrząc w przyszłość, zauważamy, że jednomiany, które mają tę samą część literową, nazywane są podobnymi.

Teraz musimy poćwiczyć technika redukcji jednomianów do postaci standardowej . Rozważ przykłady z podręcznika:

Zadanie: doprowadź jednomian do postaci standardowej, podaj współczynnik i część literową.

Do wykonania zadania posłużymy się regułą sprowadzania jednomianu do postaci standardowej oraz własnościami potęg.

1. ;

3. ;

Komentarze do pierwszego przykładu: Najpierw ustalmy, czy to wyrażenie jest rzeczywiście jednomianem; w tym celu sprawdźmy, czy zawiera ono operacje mnożenia liczb i potęg oraz czy zawiera operacje dodawania, odejmowania lub dzielenia. Można powiedzieć, że to wyrażenie jest jednomianem, gdyż powyższy warunek jest spełniony. Następnie, zgodnie z zasadą redukcji jednomianu do postaci standardowej, mnożymy czynniki liczbowe:

- znaleźliśmy współczynnik danego jednomianu;

; ; ; oznacza to, że uzyskuje się dosłowną część wyrażenia:;

Zapiszmy odpowiedź: ;

Komentarze do drugiego przykładu: Kierując się zasadą, którą wykonujemy:

1) pomnóż współczynniki liczbowe:

2) pomnóż potęgi:

Zmienne prezentowane są w jednym egzemplarzu, to znaczy nie można ich przez nic pomnożyć, przepisuje się je bez zmian, stopień jest mnożony:

Zapiszmy odpowiedź:

;

W tym przykładzie współczynnik jednomianu jest równy jeden, a część literowa to .

Komentarze do trzeciego przykładu: a Podobnie jak w poprzednich przykładach wykonujemy następujące czynności:

1) pomnóż współczynniki liczbowe:

;

2) pomnóż potęgi:

;

Zapiszmy odpowiedź: ;

W tym przypadku współczynnikiem jednomianu jest „”, a część literowa .

Teraz rozważmy druga standardowa operacja na jednomianach . Ponieważ jednomian jest wyrażeniem algebraicznym składającym się ze zmiennych literalnych, które mogą przyjmować określone wartości liczbowe, mamy do czynienia z arytmetycznym wyrażeniem liczbowym, które należy obliczyć. Oznacza to, że następną operacją na wielomianach jest obliczenie ich konkretnej wartości liczbowej .

Rozważmy przykład. Podany jednomian:

ten jednomian został już zredukowany do postaci standardowej, jego współczynnik jest równy jeden, a część literowa

Wcześniej powiedzieliśmy, że wyrażenia algebraicznego nie zawsze można obliczyć, to znaczy zmienne w nim zawarte nie mogą przyjmować żadnej wartości. W przypadku jednomianu zmienne w nim zawarte mogą być dowolne, jest to cecha jednomianu.

Zatem w podanym przykładzie musisz obliczyć wartość jednomianu w , , , .

Podstawowe informacje o jednomianach zawierają wyjaśnienie, że każdy jednomian można sprowadzić do postaci standardowej. W poniższym materiale przyjrzymy się temu zagadnieniu bardziej szczegółowo: nakreślimy znaczenie tej akcji, zdefiniujemy kroki, które pozwalają nam ustalić standardową formę jednomianu, a także utrwalimy teorię rozwiązując przykłady.

Znaczenie redukcji jednomianu do postaci standardowej

Zapisanie jednomianu w standardowej formie ułatwia pracę z nim. Często jednomiany podaje się w postaci niestandardowej i wówczas konieczne staje się przeprowadzenie identycznych przekształceń, aby dany jednomian sprowadzić do postaci standardowej.

Definicja 1

Redukcja jednomianu do postaci standardowej to wykonanie odpowiednich działań (identycznych przekształceń) z jednomianem, aby zapisać go w postaci standardowej.

Metoda redukcji jednomianu do postaci standardowej

Z definicji wynika, że ​​jednomian o niestandardowej postaci jest iloczynem liczb, zmiennych i ich potęg, a ich powtarzanie jest możliwe. Z kolei jednomian typu standardowego zawiera w swoim zapisie tylko jedną liczbę oraz zmienne jednorazowe lub ich potęgi.

Aby wprowadzić niestandardowy jednomian do standardowej formy, musisz użyć poniższych zasada redukcji jednomianu do postaci standardowej:

• pierwszym krokiem jest pogrupowanie czynników liczbowych, identycznych zmiennych i ich potęg;
• drugim krokiem jest obliczenie iloczynów liczb i zastosowanie własności potęg o równych podstawach.

Przykłady i ich rozwiązania

Przykład 1

Biorąc pod uwagę jednomian 3 x 2 x 2 . Konieczne jest doprowadzenie go do standardowej formy.

Rozwiązanie

Zgrupujmy czynniki liczbowe i czynniki ze zmienną x, w efekcie podany jednomian przyjmie postać: (3 2) (x x 2) .

Iloczyn w nawiasach to 6. Stosując zasadę mnożenia potęg o tej samej podstawie, wyrażenie w nawiasie przedstawiamy jako: x 1 + 2 = x 3. W rezultacie otrzymujemy jednomian postaci standardowej: 6 x 3.

Krótka wersja rozwiązania wygląda następująco: 3 · x · 2 · x 2 = (3 · 2) · (x · x 2) = 6 · x 3 .

Odpowiedź: 3x2x2 = 6x3.

Przykład 2

Dany jest jednomian: a 5 · b 2 · a · m · (- 1) · a 2 · b . Konieczne jest doprowadzenie go do standardowej formy i wskazanie jego współczynnika.

Rozwiązanie

dany jednomian ma w swoim zapisie jeden dzielnik liczbowy: - 1, przesuńmy to na początek. Następnie zgrupujemy czynniki ze zmienną a i czynniki ze zmienną b. Nie ma nic, z czym można by pogrupować zmienną m, więc pozostawiamy ją w pierwotnej formie. W wyniku powyższych działań otrzymujemy: - 1 · a 5 · a · a 2 · b 2 · b · m.

Wykonajmy operacje na potęgach w nawiasach, wówczas jednomian przyjmie postać standardową: (- 1) · a 5 + 1 + 2 · b 2 + 1 · m = (- 1) · a 8 · b 3 · m. Na podstawie tego wpisu możemy łatwo wyznaczyć współczynnik jednomianu: jest on równy - 1. Całkiem możliwe jest zastąpienie minus jeden po prostu znakiem minus: (- 1) · a 8 · b 3 · m = - a 8 · b 3 · m.

Krótki zapis wszystkich działań wygląda następująco:

za 5 b 2 a m (- 1) za 2 b = (- 1) (a 5 za a 2) (b 2 b) m = = (- 1) za 5 + 1 + 2 b 2 + 1 m = (- 1 ) za 8 b 3 m = - za 8 b 3 m

Odpowiedź:

a 5 · b 2 · a · m · (- 1) · a 2 · b = - a 8 · b 3 · m, współczynnik danego jednomianu wynosi - 1.

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

W matematyce istnieje wiele różnych wyrażeń matematycznych, a niektóre z nich mają swoje własne nazwy. Za chwilę zapoznamy się z jednym z tych pojęć - jest to jednomian.

Jednomian to wyrażenie matematyczne składające się z iloczynu liczb i zmiennych, z których każda może w pewnym stopniu pojawić się w iloczynie. Aby lepiej zrozumieć nową koncepcję, należy zapoznać się z kilkoma przykładami.

Przykłady jednomianów

Wyrażenia 4, x^2 , -3*a^4, 0,7*c, ¾*y^2 są jednomianami. Jak widać, tylko jedna liczba lub zmienna (z potęgą lub bez) jest również jednomianem. Ale na przykład wyrażenia 2+с, 3*(y^2)/x, a^2 –x^2 już istnieją nie są jednomianami, ponieważ nie mieszczą się one w definicjach. W pierwszym wyrażeniu używana jest „suma”, co jest niedopuszczalne, w drugim „dzielenie”, a w trzecim różnica.

Rozważmy jeszcze kilka przykładów.

Na przykład wyrażenie 2*a^3*b/3 jest również jednomianem, chociaż wiąże się z dzieleniem. Ale w tym przypadku dzielenie następuje przez liczbę i dlatego odpowiednie wyrażenie można przepisać w następujący sposób: 2/3*a^3*b. Jeszcze jeden przykład: Które z wyrażeń 2/x i x/2 jest jednomianem, a które nie? Prawidłowa odpowiedź jest taka, że ​​pierwsze wyrażenie nie jest jednomianem, ale drugie jest jednomianem.

Standardowa forma jednomianu

Spójrz na następujące dwa wyrażenia jednomianowe: ¾*a^2*b^3 i 3*a*1/4*b^3*a. W rzeczywistości są to dwa identyczne jednomiany. Czy nie jest prawdą, że pierwsze wyrażenie wydaje się wygodniejsze niż drugie?

Dzieje się tak dlatego, że pierwsze wyrażenie jest zapisane w standardowej formie. Standardowa postać wielomianu to iloczyn złożony ze współczynnika liczbowego i potęg różnych zmiennych. Czynnik liczbowy nazywany jest współczynnikiem jednomianu.

Aby doprowadzić jednomian do jego standardowej postaci, wystarczy pomnożyć wszystkie czynniki liczbowe występujące w jednomianie i umieścić wynikową liczbę na pierwszym miejscu. Następnie pomnóż wszystkie potęgi o tej samej podstawie.

Redukcja jednomianu do jego postaci standardowej

Jeśli w naszym przykładzie w drugim wyrażeniu pomnożymy wszystkie czynniki liczbowe 3*1/4, a następnie pomnożymy a*a, otrzymamy pierwszy jednomian. Działanie to nazywa się redukcją jednomianu do jego standardowej postaci.

Jeżeli dwa jednomiany różnią się jedynie współczynnikiem liczbowym lub są sobie równe, wówczas takie jednomiany nazywane są w matematyce podobnymi.

W tej lekcji podamy ścisłą definicję jednomianu i przyjrzymy się różnym przykładom z podręcznika. Przypomnijmy sobie zasady mnożenia potęg o tej samej podstawie. Zdefiniujmy standardową formę jednomianu, współczynnik jednomianu i jego część literową. Rozważmy dwie główne typowe operacje na jednomianach, a mianowicie redukcję do postaci standardowej i obliczenie określonej wartości liczbowej jednomianu dla danych wartości zawartych w nim zmiennych dosłownych. Sformułujmy regułę redukcji jednomianu do postaci standardowej. Nauczmy się, jak rozwiązywać standardowe problemy z dowolnymi jednomianami.

Temat:Jednomiany. Działania arytmetyczne na jednomianach

Lekcja:Pojęcie jednomianu. Standardowa forma jednomianu

Rozważ kilka przykładów:

3. ;

Znajdźmy cechy wspólne dla danych wyrażeń. We wszystkich trzech przypadkach wyrażenie jest iloczynem liczb i zmiennych podniesionych do potęgi. Na tej podstawie dajemy definicja jednomianu : Jednomian jest wyrażeniem algebraicznym składającym się z iloczynu potęg i liczb.

Teraz podajemy przykłady wyrażeń, które nie są jednomianami:

Znajdźmy różnicę między tymi wyrażeniami a poprzednimi. Polega to na tym, że w przykładach 4-7 występują operacje dodawania, odejmowania lub dzielenia, natomiast w przykładach 1-3, które są jednomianami, nie ma tych operacji.

Oto kilka dodatkowych przykładów:

Wyrażenie numer 8 jest jednomianem, ponieważ jest iloczynem potęgi i liczby, podczas gdy przykład 9 nie jest jednomianem.

Teraz dowiedzmy się działania na jednomianach .

1. Uproszczenie. Spójrzmy na przykład nr 3 ;i przykład nr 2 /

W drugim przykładzie widzimy tylko jeden współczynnik – każda zmienna występuje tylko raz, czyli zmienna „ A„ jest reprezentowane w pojedynczym egzemplarzu jako „”, podobnie zmienne „” i „” pojawiają się tylko raz.

W przykładzie nr 3 natomiast są dwa różne współczynniki - i , zmienną „” widzimy dwukrotnie – jako „” i jako „”, podobnie zmienna „” pojawia się dwukrotnie. Oznacza to, że wyrażenie to należy uprościć i w ten sposób dochodzimy do pierwszą czynnością wykonywaną na jednomianach jest redukcja jednomianu do postaci standardowej . W tym celu sprowadzimy wyrażenie z Przykładu 3 do postaci standardowej, następnie zdefiniujemy tę operację i nauczymy się jak sprowadzić dowolny jednomian do postaci standardowej.

Rozważmy więc przykład:

Pierwszą czynnością w operacji redukcji do postaci standardowej jest zawsze pomnożenie wszystkich współczynników liczbowych:

;

Wynik tej akcji zostanie wywołany współczynnik jednomianu .

Następnie musisz pomnożyć potęgi. Pomnóżmy potęgi zmiennej „ X„zgodnie z zasadą mnożenia potęg o tej samej podstawie, która stanowi, że przy mnożeniu wykładniki dodawane są:

Teraz pomnóżmy potęgi ” Na»:

;

Oto uproszczone wyrażenie:

;

Każdy jednomian można sprowadzić do postaci standardowej. Sformułujmy zasada standaryzacji :

Pomnóż wszystkie czynniki liczbowe;

Umieść wynikowy współczynnik na pierwszym miejscu;

Pomnóż wszystkie stopnie, to znaczy uzyskaj część literową;

Oznacza to, że każdy jednomian charakteryzuje się współczynnikiem i częścią literową. Patrząc w przyszłość, zauważamy, że jednomiany, które mają tę samą część literową, nazywane są podobnymi.

Teraz musimy poćwiczyć technika redukcji jednomianów do postaci standardowej . Rozważ przykłady z podręcznika:

Zadanie: doprowadź jednomian do postaci standardowej, podaj współczynnik i część literową.

Do wykonania zadania posłużymy się regułą sprowadzania jednomianu do postaci standardowej oraz własnościami potęg.

1. ;

3. ;

Komentarze do pierwszego przykładu: Najpierw ustalmy, czy to wyrażenie jest rzeczywiście jednomianem; w tym celu sprawdźmy, czy zawiera ono operacje mnożenia liczb i potęg oraz czy zawiera operacje dodawania, odejmowania lub dzielenia. Można powiedzieć, że to wyrażenie jest jednomianem, gdyż powyższy warunek jest spełniony. Następnie, zgodnie z zasadą redukcji jednomianu do postaci standardowej, mnożymy czynniki liczbowe:

- znaleźliśmy współczynnik danego jednomianu;

; ; ; oznacza to, że uzyskuje się dosłowną część wyrażenia:;

Zapiszmy odpowiedź: ;

Komentarze do drugiego przykładu: Kierując się zasadą, którą wykonujemy:

1) pomnóż współczynniki liczbowe:

2) pomnóż potęgi:

Zmienne prezentowane są w jednym egzemplarzu, to znaczy nie można ich przez nic pomnożyć, przepisuje się je bez zmian, stopień jest mnożony:

Zapiszmy odpowiedź:

;

W tym przykładzie współczynnik jednomianu jest równy jeden, a część literowa to .

Komentarze do trzeciego przykładu: a Podobnie jak w poprzednich przykładach wykonujemy następujące czynności:

1) pomnóż współczynniki liczbowe:

;

2) pomnóż potęgi:

;

Zapiszmy odpowiedź: ;

W tym przypadku współczynnikiem jednomianu jest „”, a część literowa .

Teraz rozważmy druga standardowa operacja na jednomianach . Ponieważ jednomian jest wyrażeniem algebraicznym składającym się ze zmiennych literalnych, które mogą przyjmować określone wartości liczbowe, mamy do czynienia z arytmetycznym wyrażeniem liczbowym, które należy obliczyć. Oznacza to, że następną operacją na wielomianach jest obliczenie ich konkretnej wartości liczbowej .

Rozważmy przykład. Podany jednomian:

ten jednomian został już zredukowany do postaci standardowej, jego współczynnik jest równy jeden, a część literowa

Wcześniej powiedzieliśmy, że wyrażenia algebraicznego nie zawsze można obliczyć, to znaczy zmienne w nim zawarte nie mogą przyjmować żadnej wartości. W przypadku jednomianu zmienne w nim zawarte mogą być dowolne, jest to cecha jednomianu.

Zatem w podanym przykładzie musisz obliczyć wartość jednomianu w , , , .