खालील फंक्शन्सच्या डेरिव्हेटिव्ह्जची गणना करा. ऑनलाइन कॅल्क्युलेटर
व्युत्पन्न कसे शोधावे, व्युत्पन्न कसे घ्यावे? या पाठात आपण फंक्शन्सचे डेरिव्हेटिव्ह कसे शोधायचे ते शिकू. परंतु या पृष्ठाचा अभ्यास करण्यापूर्वी, मी जोरदार शिफारस करतो की आपण स्वतःला पद्धतशीर सामग्रीसह परिचित करा.हॉट स्कूल गणित सूत्रे. संदर्भ पुस्तिका उघडली किंवा पृष्ठावरून डाउनलोड केली जाऊ शकतेगणिती सूत्रे आणि तक्ते . तिथूनही आपल्याला आवश्यक आहेव्युत्पन्न सारणी, ते मुद्रित करणे चांगले आहे, तुम्हाला अनेकदा त्याचा संदर्भ घ्यावा लागेल, आणि फक्त आताच नाही तर ऑफलाइन देखील.
तेथे आहे? चला सुरू करुया. माझ्याकडे तुमच्यासाठी दोन बातम्या आहेत: चांगल्या आणि खूप चांगल्या. चांगली बातमी अशी आहे की व्युत्पन्न कसे शोधायचे हे शिकण्यासाठी, डेरिव्हेटिव्ह म्हणजे काय हे जाणून घेणे आणि समजून घेणे अजिबात आवश्यक नाही. शिवाय, फंक्शनच्या व्युत्पन्नाची व्याख्या, व्युत्पन्नाचा गणितीय, भौतिक, भौमितिक अर्थ नंतर पचणे अधिक हितकारक आहे, कारण सिद्धांताच्या गुणात्मक अभ्यासासाठी, माझ्या मते, इतर अनेक विषयांचा अभ्यास आवश्यक आहे, तसेच काही व्यावहारिक अनुभव.
आणि आता आमचे कार्य तांत्रिकदृष्ट्या या डेरिव्हेटिव्ह्जमध्ये प्रभुत्व मिळवणे आहे. अतिशय चांगली बातमी अशी आहे की डेरिव्हेटिव्ह घेणे शिकणे इतके अवघड नाही, हे कार्य सोडवण्यासाठी (आणि स्पष्ट करण्यासाठी) एक स्पष्ट अल्गोरिदम आहे, अविभाज्य किंवा मर्यादा, उदाहरणार्थ, मास्टर करणे अधिक कठीण आहे.
मी विषयाच्या अभ्यासाच्या पुढील क्रमाचा सल्ला देतो: प्रथम, हा लेख. मग आपल्याला सर्वात महत्वाचा धडा वाचण्याची आवश्यकता आहेजटिल कार्याचे व्युत्पन्न . हे दोन मूलभूत वर्ग तुम्हाला तुमची कौशल्ये सुरवातीपासून वाढवण्याची परवानगी देतील. पुढे, लेखातील अधिक जटिल डेरिव्हेटिव्ह्जसह स्वत: ला परिचित करणे शक्य होईल.जटिल डेरिव्हेटिव्ह्ज.
लॉगरिदमिक व्युत्पन्न. जर बार खूप जास्त असेल तर प्रथम आयटम वाचा डेरिव्हेटिव्हसह सर्वात सोपी ठराविक समस्या. नवीन सामग्री व्यतिरिक्त, धड्यात इतर, सोप्या प्रकारच्या डेरिव्हेटिव्ह्जचा समावेश आहे आणि तुमच्या भेद तंत्रात सुधारणा करण्याची उत्तम संधी आहे. याव्यतिरिक्त, नियंत्रण कार्यामध्ये, फंक्शन्सचे डेरिव्हेटिव्ह शोधण्यासाठी जवळजवळ नेहमीच कार्ये असतात जी अस्पष्ट किंवा पॅरामेट्रिकली निर्दिष्ट केली जातात. यासाठी एक ट्यूटोरियल देखील आहे: अंतर्निहित आणि पॅरामेट्रिकली परिभाषित फंक्शन्सचे व्युत्पन्न.
फंक्शन्सचे डेरिव्हेटिव्ह कसे शोधावेत हे शिकवण्यासाठी मी स्टेप बाय स्टेप ऍक्सेसिबल फॉर्ममध्ये प्रयत्न करेन. सर्व माहिती तपशीलवार, सोप्या शब्दात मांडली आहे.
वास्तविक, लगेच एक उदाहरण विचारात घ्या: उदाहरण १
फंक्शन सोल्यूशनचे व्युत्पन्न शोधा: 
हे सर्वात सोपं उदाहरण आहे, कृपया ते प्राथमिक फंक्शन्सच्या डेरिव्हेटिव्हच्या टेबलमध्ये शोधा. आता उपाय पाहू आणि काय झाले याचे विश्लेषण करूया? आणि पुढील गोष्ट घडली:
आमच्याकडे एक फंक्शन होते, जे सोल्यूशनच्या परिणामी, फंक्शनमध्ये बदलले.
अगदी सहज,व्युत्पन्न शोधण्यासाठी
फंक्शन्स, तुम्हाला काही नियमांनुसार ते दुसर्या फंक्शनमध्ये बदलण्याची आवश्यकता आहे . डेरिव्हेटिव्ह्जच्या टेबलकडे पुन्हा पहा - तेथे फंक्शन्स इतर फंक्शन्समध्ये बदलतात. फक्त
अपवाद म्हणजे घातांकीय कार्य, जे
स्वतःमध्ये बदलते. व्युत्पन्न शोधण्याच्या ऑपरेशनला म्हणतातभिन्नता.
नोटेशन: व्युत्पन्न दर्शविले जाते किंवा.
लक्ष, महत्वाचे! स्ट्रोक (आवश्यक असेल तेथे) लावायला विसरणे किंवा अतिरिक्त स्ट्रोक काढणे (जेथे आवश्यक नाही) ही एक मोठी चूक आहे! फंक्शन आणि त्याचे डेरिव्हेटिव्ह दोन भिन्न कार्ये आहेत!
चला आपल्या व्युत्पन्न सारणीकडे परत जाऊया. या टेबलवरून ते घेणे हितावह आहे लक्षात ठेवाकाही प्राथमिक कार्यांचे भेदभाव आणि डेरिव्हेटिव्ह्जचे नियम, विशेषतः:
स्थिरांकाचे व्युत्पन्न:
एक स्थिर संख्या कुठे आहे; पॉवर फंक्शनचे व्युत्पन्न:
विशेषतः:,,.
का लक्षात ठेवा? हे ज्ञान डेरिव्हेटिव्ह्जबद्दलचे प्राथमिक ज्ञान आहे. आणि जर तुम्ही शिक्षकांच्या प्रश्नाचे उत्तर देऊ शकत नसाल तर "संख्येचे व्युत्पन्न काय आहे?", तर विद्यापीठातील तुमचा अभ्यास तुमच्यासाठी संपेल (मला वैयक्तिकरित्या जीवनातील दोन वास्तविक प्रकरणे माहित आहेत). याव्यतिरिक्त, ही सर्वात सामान्य सूत्रे आहेत जी आम्हाला जवळजवळ प्रत्येक वेळी डेरिव्हेटिव्ह्जचा सामना करताना वापरावी लागतात.
एटी प्रत्यक्षात, साधी सारणी उदाहरणे दुर्मिळ आहेत; सहसा, व्युत्पन्न शोधताना, भिन्नता नियम प्रथम वापरले जातात, आणि नंतर प्राथमिक कार्यांच्या व्युत्पन्नांची सारणी.
एटी या संदर्भात, आम्ही विचाराकडे वळतोभिन्नता नियम:
1) व्युत्पन्नाच्या चिन्हातून स्थिर संख्या काढली जाऊ शकते (आणि पाहिजे).
एक स्थिर संख्या (स्थिर) कोठे आहे उदाहरण 2
फंक्शनचे व्युत्पन्न शोधा
आम्ही डेरिव्हेटिव्ह्जचे टेबल पाहतो. कोसाइनचे व्युत्पन्न तेथे आहे, परंतु आपल्याकडे आहे.
नियम वापरण्याची वेळ आली आहे, आम्ही व्युत्पन्न चिन्हाच्या पलीकडे स्थिर घटक काढतो:
आणि आता आम्ही आमचा कोसाइन टेबलनुसार बदलतो:
बरं, परिणाम थोडासा "कंघी" करणे इष्ट आहे - वजा प्रथम स्थानावर ठेवा, त्याच वेळी कंसातून मुक्त व्हा:
2) बेरीजचे व्युत्पन्न व्युत्पन्नाच्या बेरजेइतके असते
फंक्शनचे व्युत्पन्न शोधा
आम्ही ठरवतो. तुम्ही आधीच लक्षात घेतल्याप्रमाणे, डेरिव्हेटिव्ह शोधताना पहिली क्रिया जी नेहमी केली जाते ती म्हणजे आम्ही संपूर्ण अभिव्यक्ती कंसात ठेवतो आणि वरच्या उजवीकडे स्ट्रोक ठेवतो:
आम्ही दुसरा नियम लागू करतो:
कृपया लक्षात घ्या की भिन्नतेसाठी, सर्व मुळे, अंश असे दर्शविले जाणे आवश्यक आहे, आणि जर ते भाजकात असतील तर
त्यांना वर हलवा. हे कसे करावे याबद्दल माझ्या पद्धतशीर सामग्रीमध्ये चर्चा केली आहे.
आता आम्हाला भेदभावाचा पहिला नियम आठवतो - आम्ही व्युत्पन्न चिन्हाच्या बाहेर स्थिर घटक (संख्या) काढतो:
सहसा, सोल्यूशन दरम्यान, हे दोन नियम एकाच वेळी लागू केले जातात (जेणेकरुन पुन्हा एकदा दीर्घ अभिव्यक्ती पुन्हा लिहू नये).
डॅश अंतर्गत सर्व फंक्शन्स प्राथमिक टेबल फंक्शन्स आहेत, टेबल वापरून आम्ही ट्रान्सफॉर्मेशन करतो:
आपण या फॉर्ममध्ये सर्वकाही सोडू शकता, कारण आणखी स्ट्रोक नाहीत आणि व्युत्पन्न सापडले आहे. तथापि, यासारखे अभिव्यक्ती सहसा सरलीकृत करतात:
प्रजातींचे सर्व अंश पुन्हा मुळे म्हणून प्रस्तुत करणे इष्ट आहे,
ऋण घातांकासह अंश - भाजकावर रीसेट करा. आपण हे करू शकत नसलो तरी, ही चूक होणार नाही.
फंक्शनचे व्युत्पन्न शोधा 
हे उदाहरण स्वतः सोडवण्याचा प्रयत्न करा (धड्याच्या शेवटी उत्तर द्या).
3) फंक्शन्सच्या उत्पादनाचे व्युत्पन्न
असे दिसते की, समानतेने, सूत्र स्वतःच सुचवते ...., परंतु आश्चर्य म्हणजे:
हा असामान्य नियम(जसे, खरं तर, इतर) पासून अनुसरण करते व्युत्पन्न च्या व्याख्या. परंतु आम्ही आत्तासाठी सिद्धांताची प्रतीक्षा करू - आता ते कसे सोडवायचे हे शिकणे अधिक महत्वाचे आहे:
फंक्शनचे व्युत्पन्न शोधा
येथे आपल्याकडे अवलंबून दोन फंक्शन्सचे उत्पादन आहे. प्रथम आम्ही आमचा विचित्र नियम लागू करतो आणि नंतर आम्ही डेरिव्हेटिव्हच्या सारणीनुसार कार्ये बदलतो:
अवघड? अजिबात नाही, अगदी चहाची भांडी देखील परवडणारी.
फंक्शनचे व्युत्पन्न शोधा
या फंक्शनमध्ये दोन फंक्शन्सची बेरीज आणि उत्पादन समाविष्ट आहे - स्क्वेअर ट्रिनॉमियल आणि लॉगरिदम. आम्हाला शाळेपासून आठवते की बेरीज आणि वजाबाकीपेक्षा गुणाकार आणि भागाकाराला प्राधान्य दिले जाते.
इथेही तेच आहे. प्रथम आम्ही उत्पादन भिन्नता नियम वापरतो:
आता कंसासाठी आम्ही पहिले दोन नियम वापरतो:
स्ट्रोक अंतर्गत भिन्नतेचे नियम लागू करण्याच्या परिणामी, आमच्याकडे फक्त प्राथमिक कार्ये शिल्लक आहेत, डेरिव्हेटिव्हच्या सारणीनुसार आम्ही त्यांना इतर फंक्शन्समध्ये बदलतो:
डेरिव्हेटिव्ह्ज शोधण्याच्या काही अनुभवासह, साध्या डेरिव्हेटिव्ह्जचे इतके तपशीलवार वर्णन करण्याची आवश्यकता वाटत नाही. सर्वसाधारणपणे, ते सहसा तोंडी सोडवले जातात आणि ते लगेच नोंदवले जाते 
.
फंक्शनचे व्युत्पन्न शोधा 
हे स्वयं-निराकरणाचे उदाहरण आहे (धड्याच्या शेवटी उत्तर)
4) खाजगी कार्यांचे व्युत्पन्न
कमाल मर्यादेत एक हॅच उघडली आहे, घाबरू नका, ही एक चूक आहे. आणि येथे कठोर वास्तव आहे:
फंक्शनचे व्युत्पन्न शोधा
येथे काय नाही - बेरीज, फरक, उत्पादन, अपूर्णांक .... मी कशापासून सुरुवात करावी ?! शंका आहेत, शंका नाही, परंतु, कोणत्याही परिस्थितीत, प्रथम कंस काढा आणि वरच्या उजव्या बाजूला एक स्ट्रोक लावा:
आता आपण कंसातील अभिव्यक्ती पाहतो, आपण ते कसे सोपे करू? या प्रकरणात, आम्हाला एक घटक आढळतो, जो पहिल्या नियमानुसार, व्युत्पन्न चिन्हातून बाहेर काढण्याचा सल्ला दिला जातो:
त्याच वेळी, आम्ही अंशातील कंसातून मुक्त होतो, ज्याची यापुढे आवश्यकता नाही. सर्वसाधारणपणे, व्युत्पन्न शोधण्यात स्थिर घटक
गणितीय कार्याचे व्युत्पन्न शोधणे याला भिन्नता म्हणतात. उच्च गणितातील गणितीय कार्याचे व्युत्पन्न शोधणे ही एक सामान्य समस्या आहे. तुम्ही वेगवेगळ्या प्रकारे बोलू शकता: डेरिव्हेटिव्ह शोधा, डेरिव्हेटिव्हची गणना करा, फंक्शन वेगळे करा, डेरिव्हेटिव्ह घ्या, परंतु या सर्व संकल्पना समान आहेत. अर्थातच, जटिल कार्ये आहेत ज्यात व्युत्पन्न शोधणे हा समस्येच्या घटकांपैकी एक आहे. आमच्या वेबसाइट सेवेवर, तुम्हाला विश्लेषणात्मक समाधान नसलेल्या प्राथमिक आणि जटिल अशा दोन्ही फंक्शन्सचे व्युत्पन्न ऑनलाइन गणना करण्याची संधी आहे. आमच्या सेवेवरील ऑनलाइन डेरिव्हेटिव्ह जवळजवळ कोणत्याही गणितीय कार्यातून शोधले जाऊ शकते, अगदी सर्वात जटिल कार्य जे इतर सेवा आपल्यासाठी सोडवू शकत नाहीत. आणि मिळालेले उत्तर नेहमी 100% बरोबर असते आणि त्रुटी वगळते. विशिष्ट उदाहरणे वापरून आमच्या वेबसाइटवर डेरिव्हेटिव्ह शोधण्याची प्रक्रिया कशी केली जाते ते तुम्ही पाहू शकता. उदाहरणे "सोल्यूशन" बटणाच्या उजवीकडे आहेत. उदाहरणांच्या सूचीमधून कोणतेही फंक्शन निवडा, ते आपोआप फंक्शन फील्डमध्ये बदलले जाईल आणि नंतर "सोल्यूशन" बटणावर क्लिक करा. तुम्हाला स्टेप बाय स्टेप सोल्युशन दिसेल, तुमचा डेरिव्हेटिव्ह त्याच प्रकारे सापडेल. व्युत्पन्न ऑनलाइन सोडवण्याचे फायदे. जरी आपल्याला डेरिव्हेटिव्ह कसे शोधायचे हे माहित असले तरीही, या प्रक्रियेस बराच वेळ आणि मेहनत लागू शकते. सेवा साइट आपल्याला कंटाळवाणा आणि लांब गणनेपासून वाचवण्यासाठी डिझाइन केलेली आहे, ज्यामध्ये, शिवाय, आपण चूक करू शकता. दिलेल्या फंक्शनमध्ये प्रवेश केल्यानंतर "सोल्यूशन" बटणाच्या एका क्लिकवर ऑनलाइन डेरिव्हेटिव्हची गणना केली जाते. तसेच, ही साइट त्यांच्यासाठी योग्य आहे ज्यांना गणितीय कार्याचे व्युत्पन्न शोधण्याची त्यांची क्षमता तपासायची आहे आणि त्यांचे स्वतःचे निराकरण योग्य आहे किंवा त्यात चूक झाली आहे याची खात्री करून घ्यायची आहे. हे करण्यासाठी, आपल्याला फक्त ऑनलाइन सेवेच्या गणनेच्या परिणामासह आपल्या उत्तराची तुलना करणे आवश्यक आहे. जर तुम्हाला व्युत्पन्न सारण्या वापरायच्या नसतील, ज्याद्वारे इच्छित कार्य शोधण्यात पुरेसा वेळ लागतो, तर व्युत्पन्न शोधण्यासाठी व्युत्पन्न सारण्यांऐवजी आमची सेवा वापरा. इतर तत्सम सेवांच्या तुलनेत आमच्या साइटचे मुख्य फायदे म्हणजे गणना खूप वेगवान आहे (सरासरी 5 सेकंद) आणि आपल्याला त्यासाठी काहीही पैसे द्यावे लागणार नाहीत - सेवा पूर्णपणे विनामूल्य आहे. तुम्हाला नोंदणी करणे, ई-मेल किंवा तुमचा वैयक्तिक डेटा प्रविष्ट करणे आवश्यक नाही. फक्त दिलेले कार्य प्रविष्ट करणे आणि "सोल्यूशन" बटण दाबणे आवश्यक आहे. व्युत्पन्न काय आहे. फंक्शनचे व्युत्पन्न ही गणित आणि कॅल्क्युलसमधील मूलभूत संकल्पना आहे. या प्रक्रियेचा उलट एकीकरण आहे, म्हणजेच ज्ञात व्युत्पन्नाद्वारे कार्य शोधणे. सोप्या भाषेत सांगायचे तर, भिन्नता ही फंक्शनवरील क्रिया आहे आणि व्युत्पन्न ही अशा क्रियेचा परिणाम आहे. एखाद्या विशिष्ट बिंदूवर फंक्शनच्या व्युत्पन्नाची गणना करण्यासाठी, x वितर्क संख्यात्मक मूल्याने बदलले जाते आणि अभिव्यक्तीचे मूल्यमापन केले जाते. व्युत्पन्न फंक्शनच्या वरच्या उजव्या कोपर्‍यात डॅशने दर्शविले जाते. तसेच, स्ट्रोक हे विशिष्ट कार्याचे पदनाम असू शकते. प्राथमिक फंक्शनचे व्युत्पन्न शोधण्यासाठी, तुम्हाला व्युत्पन्न सारणी माहित असणे आवश्यक आहे किंवा ते नेहमी हातात असणे आवश्यक आहे, जे फारसे सोयीचे नसू शकते आणि भिन्नतेचे नियम देखील माहित असणे आवश्यक आहे, म्हणून आम्ही आमची सेवा वापरण्याची शिफारस करतो जेथे व्युत्पन्न गणना केली जाते. ऑनलाइन, आपल्याला यासाठी प्रदान केलेल्या फील्डमध्ये फंक्शन प्रविष्ट करणे आवश्यक आहे. वितर्क x व्हेरिएबल असणे आवश्यक आहे, कारण भिन्नता त्याच्या संदर्भात केली जाते. जर तुम्हाला दुसऱ्या व्युत्पन्नाची गणना करायची असेल तर तुम्ही उत्तर वेगळे करू शकता. व्युत्पन्न ऑनलाइन कसे मोजले जाते. प्राथमिक फंक्शन्ससाठी डेरिव्हेटिव्हची तक्ते फार पूर्वीपासून तयार केली गेली आहेत आणि एखाद्याला प्राथमिक फंक्शन्ससाठी डेरिव्हेटिव्ह्जची तक्ते सहज सापडतात, म्हणून प्राथमिक (साधे) गणितीय फंक्शनच्या व्युत्पन्नाची गणना करणे ही अगदी सोपी बाब आहे. तथापि, जेव्हा एखाद्या जटिल गणितीय कार्याचे व्युत्पन्न शोधणे आवश्यक असते, तेव्हा हे यापुढे क्षुल्लक काम नाही आणि त्यासाठी खूप प्रयत्न आणि वेळ लागेल. आपण आमची ऑनलाइन सेवा वापरल्यास आपण निरर्थक आणि दीर्घ गणनापासून मुक्त होऊ शकता. त्याला धन्यवाद, व्युत्पन्न काही सेकंदात मोजले जाईल.
प्रथम स्तर
कार्य व्युत्पन्न. सर्वसमावेशक मार्गदर्शक (2019)
एका डोंगराळ भागातून जाणार्‍या सरळ रस्त्याची कल्पना करा. म्हणजेच, ते वर आणि खाली जाते, परंतु उजवीकडे किंवा डावीकडे वळत नाही. जर अक्ष रस्त्याच्या बाजूने क्षैतिज दिशेने निर्देशित केला असेल आणि अनुलंब असेल, तर रस्ता रेषा काही सतत कार्याच्या आलेखाप्रमाणे असेल:
अक्ष ही शून्य उंचीची एक विशिष्ट पातळी आहे, जीवनात आपण समुद्र पातळीचा वापर करतो.
अशा रस्त्याने पुढे जाताना आपणही वर किंवा खाली जात असतो. आम्ही असेही म्हणू शकतो: जेव्हा युक्तिवाद बदलतो (अॅब्सिसा अक्षाच्या बाजूने फिरतो), फंक्शनचे मूल्य बदलते (ऑर्डिनेट अक्षाच्या बाजूने फिरते). आता आपल्या रस्त्याची "स्टीपनेस" कशी ठरवायची याचा विचार करूया? हे मूल्य काय असू शकते? अगदी सोपे: विशिष्ट अंतर पुढे गेल्यावर उंची किती बदलेल. खरंच, रस्त्याच्या वेगवेगळ्या भागांवर, एक किलोमीटर पुढे (अब्सिसा बाजूने) पुढे गेल्यावर, आपण समुद्रसपाटीच्या तुलनेत (ऑर्डिनेटसह) भिन्न मीटर उंच किंवा कमी करू.
आम्ही पुढे प्रगती दर्शवितो ("डेल्टा x" वाचा).
ग्रीक अक्षर (डेल्टा) सामान्यतः गणितामध्ये "बदल" असा उपसर्ग म्हणून वापरला जातो. म्हणजे - हा परिमाणातील बदल आहे, - एक बदल; मग ते काय आहे? ते बरोबर आहे, आकारात बदल.
महत्त्वाचे: अभिव्यक्ती एकच अस्तित्व आहे, एक चल आहे. आपण "x" किंवा इतर कोणत्याही अक्षरातून "डेल्टा" कधीही फाडू नये! म्हणजेच, उदाहरणार्थ, .
म्हणून, आम्ही पुढे, क्षैतिजरित्या, पुढे सरकलो आहोत. जर आपण रस्त्याच्या रेषेची तुलना फंक्शनच्या आलेखाशी केली, तर आपण उदय कसा दर्शवू? अर्थात, . म्हणजेच, पुढे जात असताना आपण उंचावर जातो.
मूल्याची गणना करणे सोपे आहे: जर सुरुवातीला आपण उंचीवर होतो आणि हलवल्यानंतर आपण उंचीवर होतो, तर. जर शेवटचा बिंदू प्रारंभ बिंदूपेक्षा कमी असेल तर तो नकारात्मक असेल - याचा अर्थ आपण चढत नाही तर उतरत आहोत.
"स्टीपनेस" कडे परत जा: हे एक मूल्य आहे जे प्रति युनिट अंतर पुढे जाताना उंची किती (तीपपणे) वाढते हे दर्शवते:
समजा मार्गाच्या काही भागावर, किमीने पुढे जात असताना, रस्ता किमीने वर येतो. मग या ठिकाणी steepness समान आहे. आणि रस्ता, मी पुढे जात असताना, किमीने बुडाला तर? मग उतार समान आहे.
आता एका टेकडीच्या शिखराचा विचार करा. जर तुम्ही विभागाची सुरुवात अर्धा किलोमीटर वर नेली आणि शेवट - अर्धा किलोमीटर नंतर, तुम्ही पाहू शकता की उंची जवळजवळ समान आहे.
म्हणजेच, आमच्या तर्कानुसार, असे दिसून आले की येथे उतार जवळजवळ शून्याच्या समान आहे, जे स्पष्टपणे सत्य नाही. काही मैलांच्या अंतरावर बरेच काही बदलू शकते. खडबडीच्या अधिक पुरेशा आणि अचूक अंदाजासाठी लहान क्षेत्रांचा विचार करणे आवश्यक आहे. उदाहरणार्थ, एक मीटर हलवताना आपण उंचीमधील बदल मोजल्यास, परिणाम अधिक अचूक असेल. परंतु ही अचूकता देखील आपल्यासाठी पुरेशी असू शकत नाही - शेवटी, जर रस्त्याच्या मधोमध एक खांब असेल तर आपण त्यामधून सरकत जाऊ शकतो. मग आपण कोणते अंतर निवडावे? सेंटीमीटर? मिलिमीटर? कमी चांगले आहे!
वास्तविक जीवनात, जवळच्या मिलिमीटरचे अंतर मोजणे पुरेसे आहे. पण गणितज्ञ नेहमी परिपूर्णतेसाठी प्रयत्नशील असतात. त्यामुळे संकल्पना होती अमर्याद, म्हणजे, मोड्युलो व्हॅल्यू आपण नाव देऊ शकणाऱ्या कोणत्याही संख्येपेक्षा कमी आहे. उदाहरणार्थ, तुम्ही म्हणता: एक ट्रिलियनवा! किती कमी? आणि तुम्ही या संख्येला - ने विभाजित करा आणि ते आणखी कमी होईल. वगैरे. जर आपल्याला असे लिहायचे असेल की मूल्य अमर्यादितपणे लहान आहे, तर आपण असे लिहू: (आम्ही वाचतो “x शून्याकडे झुकतो”). समजून घेणं खूप गरजेचं आहे की ही संख्या शून्याच्या बरोबरीची नाही!पण त्याच्या अगदी जवळ. याचा अर्थ त्यात विभागणी करता येईल.
infinitely small च्या विरुद्ध असलेली संकल्पना infinitely large (). तुम्ही असमानतेवर काम करत असताना तुम्हाला कदाचित याचा सामना करावा लागला असेल: ही संख्या तुम्ही विचार करू शकत असलेल्या कोणत्याही संख्येपेक्षा मॉड्यूलसमध्ये जास्त आहे. जर तुम्ही सर्वात मोठी संभाव्य संख्या घेऊन आलात, तर त्याला फक्त दोनने गुणा आणि तुम्हाला आणखी मिळेल. आणि जे घडते त्याहूनही अनंत आहे. खरं तर, अमर्यादपणे मोठे आणि अमर्यादपणे लहान एकमेकांच्या व्यस्त आहेत, म्हणजे, at, आणि उलट: at.
आता परत आमच्या रस्त्यावर. आदर्शपणे गणना केलेला उतार हा मार्गाच्या अमर्याद लहान भागासाठी मोजला जाणारा उतार आहे, म्हणजे:
मी लक्षात घेतो की अमर्यादपणे लहान विस्थापनासह, उंचीमधील बदल देखील अमर्यादपणे लहान असेल. पण मी तुम्हाला आठवण करून देतो की अनंत लहान म्हणजे शून्याच्या बरोबरीचे नाही. जर तुम्ही अनंत संख्यांना एकमेकांद्वारे विभाजित केले तर तुम्हाला पूर्णपणे सामान्य संख्या मिळू शकते, उदाहरणार्थ,. म्हणजेच, एक लहान मूल्य दुसर्‍यापेक्षा दुप्पट मोठे असू शकते.
हे सर्व कशासाठी? रस्ता, खडी... आम्ही रॅलीला जात नाही, तर गणित शिकतोय. आणि गणितात सर्व काही अगदी सारखेच असते, फक्त वेगळे म्हटले जाते.
व्युत्पन्न संकल्पना
फंक्शनचे व्युत्पन्न म्हणजे वितर्काच्या अमर्याद वाढीमध्ये फंक्शनच्या वाढीशी वितर्क वाढण्याचे गुणोत्तर.
वाढगणितात बदल म्हणतात. अक्षाच्या बाजूने फिरताना वितर्क () किती बदलला आहे असे म्हणतात युक्तिवाद वाढआणि अक्षाच्या बाजूने अंतराने पुढे जाताना फंक्शन (उंची) किती बदलली आहे यावरून दर्शवले जाते. कार्य वाढआणि चिन्हांकित आहे.
तर, फंक्शनचे डेरिव्हेटिव्ह म्हणजे कधीचा संबंध. आम्ही फंक्शनच्या समान अक्षराने व्युत्पन्न दर्शवितो, फक्त वरच्या उजवीकडून स्ट्रोकसह: किंवा फक्त. तर, या नोटेशन्सचा वापर करून व्युत्पन्न सूत्र लिहू:
रस्त्याच्या सादृश्याप्रमाणे, येथे, जेव्हा कार्य वाढते तेव्हा व्युत्पन्न सकारात्मक असते आणि जेव्हा ते कमी होते तेव्हा ते नकारात्मक असते.
पण व्युत्पन्न शून्य आहे का? अर्थातच. उदाहरणार्थ, जर आपण सपाट क्षैतिज रस्त्यावर गाडी चालवत आहोत, तर खडी शून्य आहे. खरंच, उंची अजिबात बदलत नाही. तर व्युत्पन्न सह: स्थिर फंक्शनचे व्युत्पन्न (स्थिर) शून्याच्या बरोबरीचे आहे:
कारण अशा फंक्शनची वाढ कोणत्याहीसाठी शून्य आहे.
टेकडीचे उदाहरण घेऊ. असे दिसून आले की सेगमेंटच्या टोकांना शिरोबिंदूच्या विरुद्ध बाजूंनी अशा प्रकारे व्यवस्था करणे शक्य आहे की टोकांची उंची समान असेल, म्हणजेच, विभाग अक्षाच्या समांतर आहे:
परंतु मोठे विभाग चुकीच्या मोजमापाचे लक्षण आहेत. आपण आपला सेगमेंट स्वतःच्या समांतर वर वाढवू, नंतर त्याची लांबी कमी होईल.
सरतेशेवटी, जेव्हा आपण शीर्षस्थानी असीम जवळ असतो, तेव्हा खंडाची लांबी अमर्यादपणे लहान होईल. परंतु त्याच वेळी, ते अक्षाच्या समांतर राहिले, म्हणजेच, त्याच्या टोकावरील उंचीचा फरक शून्य इतका आहे (कल नाही, परंतु समान आहे). तर व्युत्पन्न
हे खालीलप्रमाणे समजले जाऊ शकते: जेव्हा आपण अगदी शीर्षस्थानी उभे असतो तेव्हा डावीकडे किंवा उजवीकडे एक लहान शिफ्ट आपली उंची नगण्यपणे बदलते.
पूर्णपणे बीजगणितीय स्पष्टीकरण देखील आहे: शीर्षस्थानी डावीकडे, कार्य वाढते आणि उजवीकडे, ते कमी होते. जसे आपण आधी शोधून काढले आहे, जेव्हा फंक्शन वाढते तेव्हा व्युत्पन्न सकारात्मक असते आणि जेव्हा ते कमी होते तेव्हा ते नकारात्मक असते. पण ती उडी न मारता सहजतेने बदलते (कारण रस्ता कुठेही त्याचा उतार झपाट्याने बदलत नाही). म्हणून, नकारात्मक आणि सकारात्मक मूल्यांमध्ये असणे आवश्यक आहे. हे असे असेल जेथे फंक्शन वाढणार नाही किंवा कमी होणार नाही - शिरोबिंदूवर.
व्हॅलीसाठीही हेच खरे आहे (ज्या क्षेत्राचे कार्य डावीकडे कमी होते आणि उजवीकडे वाढते):
वाढीव बद्दल थोडे अधिक.
म्हणून आम्ही युक्तिवाद एका मूल्यात बदलतो. आपण कोणत्या मूल्यातून बदलतो? त्याचा (वाद) आता काय झाला आहे? आम्ही कोणताही बिंदू निवडू शकतो आणि आता आम्ही त्यातून नाचू.
समन्वयासह एक बिंदू विचारात घ्या. त्यातील फंक्शनचे मूल्य समान आहे. मग आम्ही समान वाढ करतो: द्वारे समन्वय वाढवा. आता वाद काय? खुप सोपे: . आता फंक्शनचे मूल्य काय आहे? जेथे युक्तिवाद जातो, तेथे फंक्शन जाते: . फंक्शन वाढीचे काय? काहीही नवीन नाही: ही अजूनही रक्कम आहे ज्याद्वारे फंक्शन बदलले आहे:
वाढ शोधण्याचा सराव करा:
- बरोबरीच्या वितर्काच्या वाढीसह एका बिंदूवर फंक्शनची वाढ शोधा.
- एका बिंदूवरील कार्यासाठी समान.
उपाय:
वेगवेगळ्या बिंदूंवर, वितर्काच्या समान वाढीसह, फंक्शनची वाढ भिन्न असेल. याचा अर्थ असा की प्रत्येक बिंदूवरील व्युत्पन्न स्वतःचे असते (आम्ही याची अगदी सुरुवातीलाच चर्चा केली - वेगवेगळ्या बिंदूंवर रस्त्याची खडी वेगळी असते). म्हणून, जेव्हा आपण व्युत्पन्न लिहितो, तेव्हा आपण कोणत्या बिंदूवर सूचित केले पाहिजे:
पॉवर फंक्शन.
पॉवर फंक्शनला फंक्शन असे म्हणतात जेथे वितर्क काही प्रमाणात (तार्किक, बरोबर?).
आणि - कोणत्याही प्रमाणात: .
सर्वात सोपा केस आहे जेव्हा घातांक असतो:
चला एका बिंदूवर त्याचे व्युत्पन्न शोधू. डेरिव्हेटिव्हची व्याख्या लक्षात ठेवा:
त्यामुळे युक्तिवाद वरून बदलतो. फंक्शन इंक्रीमेंट म्हणजे काय?
वाढ आहे. परंतु कोणत्याही बिंदूवरील कार्य त्याच्या युक्तिवादाच्या बरोबरीचे असते. म्हणून:
व्युत्पन्न आहे:
चे व्युत्पन्न आहे:
b) आता द्विघाती कार्य (): .
आता ते लक्षात ठेवूया. याचा अर्थ असा की वाढीचे मूल्य दुर्लक्षित केले जाऊ शकते, कारण ते अमर्यादपणे लहान आहे, आणि म्हणून दुसर्या पदाच्या पार्श्वभूमीवर क्षुल्लक:
तर, आमच्याकडे आणखी एक नियम आहे:
c) आम्ही तार्किक मालिका सुरू ठेवतो: .
ही अभिव्यक्ती वेगवेगळ्या प्रकारे सरलीकृत केली जाऊ शकते: बेरीजच्या घनाच्या संक्षिप्त गुणाकारासाठी सूत्र वापरून पहिला कंस उघडा किंवा घनांच्या फरकासाठी सूत्र वापरून संपूर्ण अभिव्यक्ती घटकांमध्ये विघटित करा. सुचविलेल्या कोणत्याही प्रकारे ते स्वतः करण्याचा प्रयत्न करा.
तर, मला खालील गोष्टी मिळाल्या:
आणि ते पुन्हा लक्षात ठेवूया. याचा अर्थ असा आहे की आम्ही समाविष्ट असलेल्या सर्व अटींकडे दुर्लक्ष करू शकतो:
आम्हाला मिळते: .
ड) मोठ्या शक्तींसाठी समान नियम मिळू शकतात:
e) असे दिसून आले की हा नियम एका अनियंत्रित घातांकासह पॉवर फंक्शनसाठी सामान्यीकृत केला जाऊ शकतो, पूर्णांक देखील नाही:
| (2) |
आपण शब्दांसह नियम तयार करू शकता: "पदवी गुणांक म्हणून पुढे आणली जाते आणि नंतर कमी होते".
आम्ही हा नियम नंतर सिद्ध करू (जवळजवळ अगदी शेवटी). आता काही उदाहरणे पाहू. फंक्शन्सचे व्युत्पन्न शोधा:
- (दोन प्रकारे: सूत्राद्वारे आणि व्युत्पन्नाची व्याख्या वापरून - फंक्शनची वाढ मोजून);
- . यावर विश्वास ठेवा किंवा नाही, हे एक पॉवर फंक्शन आहे. जर तुम्हाला असे प्रश्न असतील तर "ते कसे आहे? आणि पदवी कुठे आहे?”, “” हा विषय लक्षात ठेवा!
होय, होय, मूळ देखील एक पदवी आहे, फक्त एक अंशात्मक:.
तर आपले वर्गमूळ फक्त घातांक असलेली एक शक्ती आहे:
.
आम्ही अलीकडे शिकलेले सूत्र वापरून व्युत्पन्न शोधत आहोत:जर या टप्प्यावर ते पुन्हा अस्पष्ट झाले तर, "" विषयाची पुनरावृत्ती करा !!! (नकारात्मक निर्देशकासह पदवी बद्दल)
- . आता घातांक:
आणि आता व्याख्येद्वारे (आपण अद्याप विसरलात का?):
;
.
आता, नेहमीप्रमाणे, आम्ही समाविष्ट असलेल्या शब्दाकडे दुर्लक्ष करतो:
. - . मागील प्रकरणांचे संयोजन: .
त्रिकोणमितीय कार्ये.
येथे आपण उच्च गणितातील एक तथ्य वापरू:
जेव्हा अभिव्यक्ती.
तुम्ही संस्थेच्या पहिल्या वर्षात पुरावा शिकाल (आणि तिथे जाण्यासाठी, तुम्हाला परीक्षा चांगली उत्तीर्ण होणे आवश्यक आहे). आता मी ते फक्त ग्राफिकली दाखवतो:
आपण पाहतो की जेव्हा फंक्शन अस्तित्वात नसते - आलेखावरील बिंदू पंक्चर होतो. पण व्हॅल्यूच्या जवळ, फंक्शनच्या जवळ.
याव्यतिरिक्त, तुम्ही हा नियम कॅल्क्युलेटरद्वारे तपासू शकता. होय, होय, लाजू नका, कॅल्क्युलेटर घ्या, आम्ही अद्याप परीक्षेला नाही.
तर चला प्रयत्न करूया: ;
कॅल्क्युलेटरला रेडियन मोडवर स्विच करायला विसरू नका!
इ. आपण पाहतो की गुणोत्तराचे मूल्य जितके लहान असेल तितके जवळ.
अ) फंक्शन विचारात घ्या. नेहमीप्रमाणे, आम्हाला त्याची वाढ आढळते:
सायन्सचा फरक उत्पादनात बदलू. हे करण्यासाठी, आम्ही सूत्र वापरतो (विषय "" लक्षात ठेवा):.
आता व्युत्पन्न:
चला एक प्रतिस्थापन करूया: . मग, अनंत लहान साठी, ते देखील अमर्याद लहान आहे: . साठी अभिव्यक्ती फॉर्म घेते:
आणि आता आपल्याला ते अभिव्यक्तीसह आठवते. आणि तसेच, बेरीजमध्ये (म्हणजे, येथे) असीम लहान मूल्य दुर्लक्षित केले जाऊ शकते तर काय?
तर आम्हाला खालील नियम मिळतात: साइनचे व्युत्पन्न कोसाइनच्या बरोबरीचे आहे:
हे मूलभूत ("टेबल") व्युत्पन्न आहेत. येथे ते एका सूचीमध्ये आहेत:
नंतर आम्ही त्यांना आणखी काही जोडू, परंतु हे सर्वात महत्वाचे आहेत, कारण ते बर्याचदा वापरले जातात.
सराव:
- एका बिंदूवर फंक्शनचे व्युत्पन्न शोधा;
- फंक्शनचे व्युत्पन्न शोधा.
उपाय:
- प्रथम, आम्हाला सामान्य स्वरूपात व्युत्पन्न सापडते आणि नंतर आम्ही त्याऐवजी त्याचे मूल्य बदलतो:
;
. - येथे आपल्याकडे पॉवर फंक्शनसारखे काहीतरी आहे. चला तिला आणण्याचा प्रयत्न करूया
सामान्य दृश्य:
.
ठीक आहे, आता तुम्ही सूत्र वापरू शकता:
.
. - . Eeeeeee….. काय आहे????
ठीक आहे, तुम्ही बरोबर आहात, आम्हाला अद्याप असे डेरिव्हेटिव्ह कसे शोधायचे हे माहित नाही. येथे आपल्याकडे अनेक प्रकारच्या फंक्शन्सचे संयोजन आहे. त्यांच्यासोबत काम करण्यासाठी, तुम्हाला आणखी काही नियम शिकण्याची आवश्यकता आहे:
घातांक आणि नैसर्गिक लॉगरिदम.
गणितात असे एक फंक्शन आहे, ज्याचे व्युत्पन्न कोणत्याही फंक्शनच्या मूल्यासारखे असते. त्याला "घातांक" असे म्हणतात आणि ते घातांकीय कार्य आहे
या फंक्शनचा आधार - एक स्थिर - एक अनंत दशांश अपूर्णांक आहे, म्हणजे, एक अपरिमेय संख्या (जसे की). त्याला "युलर नंबर" असे म्हणतात, म्हणूनच ते एका अक्षराने दर्शविले जाते.
तर नियम आहे:
हे लक्षात ठेवणे खूप सोपे आहे.
बरं, आम्ही फार दूर जाणार नाही, आम्ही लगेच व्यस्त कार्याचा विचार करू. घातांकीय कार्याचा व्युत्क्रम काय आहे? लॉगरिदम:
आमच्या बाबतीत, आधार एक संख्या आहे:
अशा लॉगरिथमला (म्हणजे बेससह लॉगरिदम) "नैसर्गिक" म्हणतात आणि आम्ही त्यासाठी एक विशेष नोटेशन वापरतो: आम्ही त्याऐवजी लिहितो.
काय समान आहे? अर्थात, .
नैसर्गिक लॉगरिथमचे व्युत्पन्न देखील खूप सोपे आहे:
उदाहरणे:
- फंक्शनचे व्युत्पन्न शोधा.
- फंक्शनचे व्युत्पन्न काय आहे?
उत्तरे: घातांक आणि नैसर्गिक लॉगरिदम ही अशी कार्ये आहेत जी व्युत्पन्नाच्या दृष्टीने अगदी सोपी आहेत. इतर कोणत्याही बेससह घातांकीय आणि लॉगरिदमिक फंक्शन्सचे वेगळे डेरिव्हेटिव्ह असेल, ज्याचे विश्लेषण आपण भेदभावाच्या नियमांनंतर करू.
भिन्नता नियम
कोणते नियम? आणखी एक नवीन पद, पुन्हा?!...
भेदव्युत्पन्न शोधण्याची प्रक्रिया आहे.
फक्त आणि सर्वकाही. या प्रक्रियेसाठी दुसरा शब्द काय आहे? proizvodnovanie नाही... गणिताच्या विभेदाला येथे फंक्शनची अगदी वाढ म्हणतात. ही संज्ञा लॅटिन भिन्नता - फरक पासून आली आहे. येथे.
हे सर्व नियम काढताना, आम्ही दोन फंक्शन्स वापरू, उदाहरणार्थ, आणि. आम्हाला त्यांच्या वाढीसाठी सूत्रांची देखील आवश्यकता असेल:
एकूण 5 नियम आहेत.
व्युत्पन्नाच्या चिन्हातून स्थिरांक काढला जातो.
जर - काही स्थिर संख्या (स्थिर), नंतर.
अर्थात, हा नियम फरकासाठी देखील कार्य करतो: .
चला सिद्ध करूया. द्या, किंवा सोपे.
उदाहरणे.
फंक्शन्सचे डेरिव्हेटिव्ह शोधा:
- बिंदूवर;
- बिंदूवर;
- बिंदूवर;
- बिंदूवर
उपाय:
- (व्युत्पन्न सर्व बिंदूंवर समान आहे, कारण ते एक रेखीय कार्य आहे, लक्षात ठेवा?);
उत्पादनाचे व्युत्पन्न
येथे सर्व काही समान आहे: आम्ही एक नवीन कार्य सादर करतो आणि त्याची वाढ शोधतो:
व्युत्पन्न:
उदाहरणे:
- फंक्शन्सचे व्युत्पन्न शोधा आणि;
- एका बिंदूवर फंक्शनचे व्युत्पन्न शोधा.
उपाय:
घातांकीय कार्याचे व्युत्पन्न
आता तुमचे ज्ञान कोणत्याही घातांकीय कार्याचे व्युत्पन्न कसे शोधायचे हे शिकण्यासाठी पुरेसे आहे, आणि फक्त घातांकच नाही (ते काय आहे ते तुम्ही विसरला आहात का?).
तर कुठे काही संख्या आहे.
आम्हाला फंक्शनचे डेरिव्हेटिव्ह आधीच माहित आहे, म्हणून आमचे फंक्शन नवीन बेसवर आणण्याचा प्रयत्न करूया:
हे करण्यासाठी, आम्ही एक साधा नियम वापरतो: . मग:
बरं, काम झालं. आता व्युत्पन्न शोधण्याचा प्रयत्न करा आणि हे कार्य जटिल आहे हे विसरू नका.
घडले?
येथे, स्वत: ला तपासा:
सूत्र घातांकाच्या व्युत्पन्नाशी अगदी सारखेच असल्याचे दिसून आले: जसे ते होते, ते राहिले, फक्त एक घटक दिसला, जो फक्त एक संख्या आहे, परंतु चल नाही.
उदाहरणे:
फंक्शन्सचे डेरिव्हेटिव्ह शोधा:
उत्तरे:
ही फक्त एक संख्या आहे जी कॅल्क्युलेटरशिवाय मोजली जाऊ शकत नाही, म्हणजेच ती अधिक सोप्या स्वरूपात लिहिता येत नाही. म्हणून, उत्तरात ते या स्वरूपात सोडले आहे.
लॉगरिदमिक फंक्शनचे व्युत्पन्न
येथे ते समान आहे: तुम्हाला नैसर्गिक लॉगरिथमचे व्युत्पन्न आधीच माहित आहे:
म्हणून, भिन्न बेससह लॉगरिथममधून अनियंत्रित शोधण्यासाठी, उदाहरणार्थ,:
आपल्याला हा लॉगरिदम बेसवर आणण्याची गरज आहे. तुम्ही लॉगरिदमचा आधार कसा बदलता? मला आशा आहे की तुम्हाला हे सूत्र आठवत असेल:
फक्त आता त्याऐवजी आम्ही लिहू:
भाजक फक्त एक स्थिर (एक स्थिर संख्या, व्हेरिएबलशिवाय) असल्याचे दिसून आले. व्युत्पन्न खूप सोपे आहे:
घातांक आणि लॉगरिदमिक फंक्शन्सचे व्युत्पन्न जवळजवळ कधीही परीक्षेत आढळत नाहीत, परंतु ते जाणून घेणे अनावश्यक होणार नाही.
जटिल कार्याचे व्युत्पन्न.
"जटिल कार्य" म्हणजे काय? नाही, हा लॉगरिदम नाही आणि चाप स्पर्शिका नाही. ही फंक्शन्स समजणे कठीण असू शकते (जरी लॉगरिदम तुम्हाला अवघड वाटत असेल तर, "लोगॅरिथम" हा विषय वाचा आणि सर्वकाही कार्य करेल), परंतु गणिताच्या दृष्टीने, "जटिल" या शब्दाचा अर्थ "कठीण" असा होत नाही.
एका लहान कन्व्हेयरची कल्पना करा: दोन लोक बसले आहेत आणि काही वस्तूंसह काही क्रिया करत आहेत. उदाहरणार्थ, पहिला चॉकलेट बार एका आवरणात गुंडाळतो आणि दुसरा रिबनने बांधतो. हे असे संमिश्र ऑब्जेक्ट बाहेर वळते: एक चॉकलेट बार गुंडाळलेला आणि रिबनने बांधलेला. चॉकलेट बार खाण्यासाठी, आपल्याला उलट क्रमाने उलट चरणे करणे आवश्यक आहे.
चला एक समान गणितीय पाइपलाइन तयार करू: प्रथम आपण संख्येचा कोसाइन शोधू, आणि नंतर आपण परिणामी संख्येचा वर्ग करू. तर, ते आम्हाला एक नंबर देतात (चॉकलेट), मला त्याचा कोसाइन (रॅपर) सापडला आणि मग मला जे मिळाले ते तुम्ही वर्ग करा (ते रिबनने बांधा). काय झालं? कार्य. हे जटिल फंक्शनचे उदाहरण आहे: जेव्हा, त्याचे मूल्य शोधण्यासाठी, आपण व्हेरिएबलसह थेट पहिली क्रिया करतो आणि नंतर दुसरी क्रिया पहिल्याच्या परिणामी काय घडले आहे.
आम्ही समान क्रिया उलट क्रमाने करू शकतो: प्रथम तुम्ही वर्ग करा, आणि नंतर मी परिणामी संख्येचा कोसाइन शोधतो:. अंदाज करणे सोपे आहे की परिणाम जवळजवळ नेहमीच भिन्न असेल. जटिल कार्यांचे एक महत्त्वाचे वैशिष्ट्य: जेव्हा क्रियांचा क्रम बदलतो तेव्हा कार्य बदलते.
दुसऱ्या शब्दात, कॉम्प्लेक्स फंक्शन हे फंक्शन आहे ज्याचा वितर्क हे दुसरे फंक्शन आहे: .
पहिल्या उदाहरणासाठी, .
दुसरे उदाहरण: (समान). .
आम्ही करत असलेली शेवटची क्रिया म्हटले जाईल "बाह्य" कार्य, आणि प्रथम केलेली क्रिया - अनुक्रमे "अंतर्गत" कार्य(ही अनौपचारिक नावे आहेत, मी ती फक्त सोप्या भाषेत सामग्री स्पष्ट करण्यासाठी वापरतो).
कोणते कार्य बाह्य आहे आणि कोणते अंतर्गत आहे हे स्वतःसाठी निर्धारित करण्याचा प्रयत्न करा:
उत्तरे:आतील आणि बाह्य फंक्शन्सचे पृथक्करण व्हेरिएबल्स बदलण्यासारखेच आहे: उदाहरणार्थ, फंक्शनमध्ये
- आपण प्रथम कोणती कारवाई करू? प्रथम आपण साइनची गणना करतो, आणि त्यानंतरच आपण त्यास क्यूबमध्ये वाढवतो. त्यामुळे ते अंतर्गत कार्य आहे, बाह्य नाही.
आणि मूळ कार्य त्यांची रचना आहे: . - अंतर्गत: ; बाह्य: .
परीक्षा:. - अंतर्गत: ; बाह्य: .
परीक्षा:. - अंतर्गत: ; बाह्य: .
परीक्षा:. - अंतर्गत: ; बाह्य: .
परीक्षा:.
आपण व्हेरिएबल्स बदलतो आणि फंक्शन मिळवतो.
ठीक आहे, आता आम्ही आमचे चॉकलेट काढू - व्युत्पन्न शोधा. प्रक्रिया नेहमी उलट केली जाते: प्रथम आपण बाह्य कार्याचे व्युत्पन्न शोधतो, नंतर आतील कार्याच्या व्युत्पन्नाने परिणाम गुणाकार करतो. मूळ उदाहरणासाठी, ते असे दिसते:
दुसरे उदाहरण:
तर, शेवटी अधिकृत नियम तयार करूया:
जटिल कार्याचे व्युत्पन्न शोधण्यासाठी अल्गोरिदम:
सर्व काही सोपे आहे असे दिसते, बरोबर?
चला उदाहरणांसह तपासूया:
उपाय:
1) अंतर्गत: ;
बाह्य: ;
2) अंतर्गत: ;
(आत्तापर्यंत कमी करण्याचा प्रयत्न करू नका! कोसाइनच्या खाली काहीही काढले जात नाही, लक्षात ठेवा?)
3) अंतर्गत: ;
बाह्य: ;
हे त्वरित स्पष्ट आहे की येथे तीन-स्तरीय जटिल कार्य आहे: तथापि, हे स्वतःच एक जटिल कार्य आहे आणि तरीही आम्ही त्यातून मूळ काढतो, म्हणजेच आम्ही तिसरी क्रिया करतो (चॉकलेट एका आवरणात ठेवतो. आणि ब्रीफकेसमध्ये रिबनसह). परंतु घाबरण्याचे कोणतेही कारण नाही: तरीही, आम्ही हे फंक्शन नेहमीप्रमाणे त्याच क्रमाने "अनपॅक" करू: शेवटपासून.
म्हणजेच, प्रथम आपण मूळ, नंतर कोसाइन आणि नंतर कंसात अभिव्यक्ती वेगळे करतो. आणि मग आपण ते सर्व गुणाकार करतो.
अशा परिस्थितीत, क्रियांची संख्या करणे सोयीस्कर आहे. म्हणजेच, आपल्याला काय माहित आहे याची कल्पना करूया. या अभिव्यक्तीच्या मूल्याची गणना करण्यासाठी आम्ही कोणत्या क्रमाने क्रिया करू? चला एक उदाहरण पाहू:
जितक्या नंतर क्रिया केली जाईल तितके संबंधित कार्य अधिक "बाह्य" असेल. क्रियांचा क्रम - पूर्वीप्रमाणे:
येथे घरटे साधारणपणे 4-स्तरीय असते. चला कृतीचा मार्ग निश्चित करूया.
1. मूलगामी अभिव्यक्ती. .
2. रूट. .
3. सायनस. .
4. चौरस. .
5. हे सर्व एकत्र ठेवणे:
व्युत्पन्न. मुख्य बद्दल थोडक्यात
कार्य व्युत्पन्न- फंक्शनच्या वाढीचे प्रमाण आणि वितर्काच्या अपरिमित वाढीसह युक्तिवादाच्या वाढीचे गुणोत्तर:
मूलभूत व्युत्पन्न:
भिन्नता नियम:
व्युत्पन्नाच्या चिन्हातून स्थिरांक काढला जातो:
बेरीजचे व्युत्पन्न:
व्युत्पन्न उत्पादन:
भागाचे व्युत्पन्न:
जटिल कार्याचे व्युत्पन्न:
जटिल कार्याचे व्युत्पन्न शोधण्यासाठी अल्गोरिदम:
- आम्ही "अंतर्गत" फंक्शन परिभाषित करतो, त्याचे व्युत्पन्न शोधा.
- आम्ही "बाह्य" फंक्शन परिभाषित करतो, त्याचे व्युत्पन्न शोधा.
- आम्ही पहिल्या आणि दुसऱ्या बिंदूंचे परिणाम गुणाकार करतो.
या धड्यात, आपण कसे शोधायचे ते शिकू जटिल कार्याचे व्युत्पन्न. धडा हा धड्याचा तार्किक निरंतरता आहे व्युत्पन्न कसे शोधायचे?, ज्यावर आम्ही सर्वात सोप्या डेरिव्हेटिव्ह्जचे विश्लेषण केले आणि भिन्नतेचे नियम आणि डेरिव्हेटिव्ह शोधण्यासाठी काही तांत्रिक पद्धती देखील जाणून घेतल्या. अशा प्रकारे, जर तुम्ही फंक्शन्सच्या डेरिव्हेटिव्ह्जमध्ये फारसे चांगले नसाल किंवा या लेखातील काही मुद्दे पूर्णपणे स्पष्ट नसतील, तर प्रथम वरील धडा वाचा. कृपया गंभीर मूडमध्ये ट्यून इन करा - साहित्य सोपे नाही, परंतु तरीही मी ते सोप्या आणि स्पष्टपणे सादर करण्याचा प्रयत्न करेन.
सराव मध्ये, तुम्हाला एखाद्या जटिल फंक्शनच्या व्युत्पन्नाला बर्याचदा सामोरे जावे लागते, जेव्हा तुम्हाला डेरिव्हेटिव्ह्ज शोधण्याची कार्ये दिली जातात तेव्हा मी जवळजवळ नेहमीच असे म्हणेन.
जटिल फंक्शन वेगळे करण्यासाठी आम्ही नियम (क्रमांक 5) वर टेबल पाहतो:
आम्ही समजु शकतो. सर्व प्रथम, नोटेशनवर एक नजर टाकूया. येथे आपल्याकडे दोन फंक्शन्स आहेत - आणि , आणि फंक्शन, लाक्षणिक अर्थाने, फंक्शनमध्ये नेस्ट केलेले आहे. या प्रकारच्या फंक्शनला (जेव्हा एक फंक्शन दुसर्‍यामध्ये नेस्ट केलेले असते) त्याला कॉम्प्लेक्स फंक्शन म्हणतात.
मी फंक्शनला कॉल करेन बाह्य कार्य, आणि कार्य - अंतर्गत (किंवा नेस्टेड) कार्य.
! या व्याख्या सैद्धांतिक नाहीत आणि असाइनमेंटच्या अंतिम डिझाइनमध्ये दिसू नयेत. मी अनौपचारिक अभिव्यक्ती "बाह्य कार्य", "अंतर्गत" फंक्शन वापरतो जेणेकरून तुम्हाला सामग्री समजणे सोपे होईल.
परिस्थिती स्पष्ट करण्यासाठी, विचार करा:
उदाहरण १
फंक्शनचे व्युत्पन्न शोधा
साइन अंतर्गत, आमच्याकडे फक्त "x" अक्षर नाही, तर संपूर्ण अभिव्यक्ती आहे, म्हणून टेबलमधून त्वरित व्युत्पन्न शोधणे कार्य करणार नाही. आम्ही हे देखील लक्षात घेतले आहे की येथे पहिले चार नियम लागू करणे अशक्य आहे, फरक आहे असे दिसते, परंतु वस्तुस्थिती अशी आहे की साइन "फाडणे" अशक्य आहे:
या उदाहरणात, माझ्या स्पष्टीकरणावरून, हे अंतर्ज्ञानाने स्पष्ट झाले आहे की फंक्शन एक जटिल फंक्शन आहे आणि बहुपदी हे अंतर्गत फंक्शन (एम्बेडिंग) आणि बाह्य कार्य आहे.
पहिली पायरी, जे एखाद्या जटिल कार्याचे व्युत्पन्न शोधताना केले जाणे आवश्यक आहे कोणते कार्य अंतर्गत आहे आणि कोणते बाह्य आहे हे समजून घ्या.
साध्या उदाहरणांच्या बाबतीत, हे स्पष्ट दिसते की बहुपदी साइनच्या खाली नेस्टेड आहे. पण ते स्पष्ट नसेल तर काय? कोणते कार्य बाह्य आणि कोणते अंतर्गत आहे हे कसे ठरवायचे? हे करण्यासाठी, मी खालील तंत्र वापरण्याचा प्रस्ताव देतो, जे मानसिकरित्या किंवा मसुद्यावर केले जाऊ शकते.
चला कल्पना करूया की आपल्याला कॅल्क्युलेटरच्या सहाय्याने अभिव्यक्तीचे मूल्य मोजण्याची आवश्यकता आहे (एक ऐवजी, कोणतीही संख्या असू शकते).
आम्ही प्रथम काय गणना करू? सर्वप्रथमतुम्हाला खालील क्रिया करणे आवश्यक आहे: , त्यामुळे बहुपदी हे अंतर्गत कार्य असेल: 
दुसरे म्हणजेआपल्याला शोधण्याची आवश्यकता असेल, म्हणून साइन - एक बाह्य कार्य असेल: 
आम्ही नंतर समजून घ्याआतील आणि बाह्य कार्यांसह, कंपाऊंड फंक्शन डिफरेंशन नियम लागू करण्याची वेळ आली आहे.
आम्ही ठरवू लागतो. धड्यातून व्युत्पन्न कसे शोधायचे?आम्हाला लक्षात आहे की कोणत्याही डेरिव्हेटिव्हच्या सोल्यूशनची रचना नेहमी अशा प्रकारे सुरू होते - आम्ही अभिव्यक्ती कंसात बंद करतो आणि वरच्या उजवीकडे स्ट्रोक ठेवतो:
पहिलाआम्हाला बाह्य फंक्शन (साइन) चे व्युत्पन्न सापडते, प्राथमिक कार्यांचे व्युत्पन्न सारणी पहा आणि लक्षात घ्या की. जरी "x" जटिल अभिव्यक्तीने बदलले तरीही सर्व सारणी सूत्र लागू होतात, या प्रकरणात:
आतील कार्य लक्षात घ्या बदलले नाही, आम्ही त्याला स्पर्श करत नाही.
बरं, हे अगदी स्पष्ट आहे
सूत्र लागू करण्याचा अंतिम परिणाम असे दिसते:
स्थिर घटक सामान्यतः अभिव्यक्तीच्या सुरूवातीस ठेवला जातो:
काही गैरसमज असल्यास, निर्णय कागदावर लिहून घ्या आणि स्पष्टीकरण पुन्हा वाचा.
उदाहरण २
फंक्शनचे व्युत्पन्न शोधा
उदाहरण ३
फंक्शनचे व्युत्पन्न शोधा
नेहमीप्रमाणे, आम्ही लिहितो: 
आपल्याकडे बाह्य कार्य कुठे आहे आणि अंतर्गत कार्य कुठे आहे हे आपण शोधतो. हे करण्यासाठी, आम्ही (मानसिकरित्या किंवा मसुद्यावर) साठी अभिव्यक्तीचे मूल्य मोजण्याचा प्रयत्न करतो. प्रथम काय करणे आवश्यक आहे? सर्व प्रथम, आपल्याला आधार किती समान आहे याची गणना करणे आवश्यक आहे:, ज्याचा अर्थ बहुपदी हे अंतर्गत कार्य आहे: 
आणि, त्यानंतरच घातांक केले जाते, म्हणून, पॉवर फंक्शन एक बाह्य कार्य आहे: 
सूत्रानुसार, प्रथम आपल्याला बाह्य कार्याचे व्युत्पन्न शोधण्याची आवश्यकता आहे, या प्रकरणात, पदवी. आम्ही टेबलमध्ये इच्छित सूत्र शोधत आहोत:. आम्ही पुन्हा पुनरावृत्ती करतो: कोणतेही सारणी सूत्र केवळ "x" साठीच नाही तर जटिल अभिव्यक्तीसाठी देखील वैध आहे. अशाप्रकारे, जटिल कार्याच्या भिन्नतेचा नियम लागू करण्याचा परिणाम खालीलप्रमाणे आहे:
मी पुन्हा जोर देतो की जेव्हा आपण बाह्य कार्याचे व्युत्पन्न घेतो तेव्हा अंतर्गत कार्य बदलत नाही: 
आता आतील फंक्शनचे एक साधे व्युत्पन्न शोधणे बाकी आहे आणि परिणाम थोडासा "कंघी" करा:
उदाहरण ४
फंक्शनचे व्युत्पन्न शोधा
हे स्वयं-निराकरणाचे उदाहरण आहे (धड्याच्या शेवटी उत्तर).
जटिल फंक्शनच्या व्युत्पन्नाची समज एकत्रित करण्यासाठी, मी टिप्पण्यांशिवाय एक उदाहरण देईन, ते स्वतःच शोधण्याचा प्रयत्न करा, कारण, बाह्य कार्य कोठे आहे आणि अंतर्गत कार्य कोठे आहे, कार्ये अशा प्रकारे का सोडवली जातात?
उदाहरण ५
a) फंक्शनचे व्युत्पन्न शोधा
b) फंक्शनचे व्युत्पन्न शोधा
उदाहरण 6
फंक्शनचे व्युत्पन्न शोधा 
येथे आपल्याकडे मूळ आहे आणि मूळ वेगळे करण्यासाठी, ते पदवी म्हणून प्रस्तुत केले जाणे आवश्यक आहे. अशा प्रकारे, भिन्नतेसाठी आम्ही प्रथम फंक्शनला योग्य स्वरूपात आणतो:
फंक्शनचे विश्लेषण करताना, आपण या निष्कर्षावर पोहोचतो की तीन पदांची बेरीज हे अंतर्गत कार्य आहे आणि घातांक हे बाह्य कार्य आहे. आम्ही जटिल कार्याच्या भिन्नतेचा नियम लागू करतो:
पदवी पुन्हा मूलगामी (मूळ) म्हणून दर्शविली जाते आणि अंतर्गत कार्याच्या व्युत्पन्नासाठी, आम्ही बेरीज वेगळे करण्यासाठी एक साधा नियम लागू करतो:
तयार. तुम्ही अभिव्यक्ती कंसात एका सामान्य भाजकावर देखील आणू शकता आणि सर्व काही एक अपूर्णांक म्हणून लिहू शकता. हे नक्कीच सुंदर आहे, परंतु जेव्हा अवजड लांब डेरिव्हेटिव्ह मिळवले जातात तेव्हा हे न करणे चांगले आहे (गोंधळ करणे सोपे आहे, अनावश्यक चूक करणे आणि शिक्षकांना तपासणे गैरसोयीचे होईल).
उदाहरण 7
फंक्शनचे व्युत्पन्न शोधा
हे स्वयं-निराकरणाचे उदाहरण आहे (धड्याच्या शेवटी उत्तर).
हे लक्षात घेणे मनोरंजक आहे की कधीकधी, जटिल फंक्शन वेगळे करण्याच्या नियमाऐवजी, कोणीही भाग वेगळे करण्यासाठी नियम वापरू शकतो. 
, परंतु असे समाधान विकृत रूप मजेदार दिसेल. येथे एक सामान्य उदाहरण आहे:
उदाहरण 8
फंक्शनचे व्युत्पन्न शोधा
येथे तुम्ही भागफलाच्या भिन्नतेचा नियम वापरू शकता , परंतु जटिल कार्याच्या भिन्नतेच्या नियमाद्वारे व्युत्पन्न शोधणे अधिक फायदेशीर आहे:
आम्ही भिन्नतेसाठी फंक्शन तयार करतो - आम्ही व्युत्पन्नाचे वजा चिन्ह काढतो आणि कोसाइन अंशापर्यंत वाढवतो:
कोसाइन एक अंतर्गत कार्य आहे, घातांक एक बाह्य कार्य आहे.
चला आमचा नियम वापरू:
आम्हाला आतील फंक्शनचे व्युत्पन्न सापडले, कोसाइन परत खाली रीसेट करा:
तयार. विचारात घेतलेल्या उदाहरणात, चिन्हांमध्ये गोंधळ न करणे महत्वाचे आहे. तसे, नियमाने ते सोडवण्याचा प्रयत्न करा , उत्तरे जुळली पाहिजेत.
उदाहरण ९
फंक्शनचे व्युत्पन्न शोधा
हे स्वयं-निराकरणाचे उदाहरण आहे (धड्याच्या शेवटी उत्तर).
आतापर्यंत, आम्ही अशा प्रकरणांचा विचार केला आहे जिथे आमच्याकडे एका जटिल कार्यामध्ये फक्त एक घरटे होते. व्यावहारिक कार्यांमध्ये, आपण अनेकदा डेरिव्हेटिव्ह शोधू शकता, जेथे, नेस्टिंग बाहुल्यांप्रमाणे, एकाच्या आत, 3 किंवा अगदी 4-5 फंक्शन्स एकाच वेळी नेस्ट केली जातात.
उदाहरण 10
फंक्शनचे व्युत्पन्न शोधा
आम्ही या फंक्शनचे संलग्नक समजतो. आम्ही प्रायोगिक मूल्य वापरून अभिव्यक्तीचे मूल्यमापन करण्याचा प्रयत्न करतो. आम्ही कॅल्क्युलेटरवर कसे मोजू?
प्रथम आपल्याला शोधण्याची आवश्यकता आहे, याचा अर्थ आर्कसिन सर्वात खोल घरटे आहे:
एकतेचा हा आर्कसिन नंतर वर्ग केला पाहिजे:
आणि शेवटी, आम्ही सात शक्ती वाढवतो: 
म्हणजेच, या उदाहरणात आपल्याकडे तीन भिन्न कार्ये आणि दोन नेस्टिंग आहेत, तर सर्वात आतील कार्य आर्क्साइन आहे आणि सर्वात बाहेरील कार्य घातांकीय कार्य आहे.
आम्ही ठरवू लागतो
नियमानुसार, आपल्याला प्रथम बाह्य कार्याचे व्युत्पन्न घेणे आवश्यक आहे. आम्ही व्युत्पन्न सारणी पाहतो आणि घातांकीय कार्याचे व्युत्पन्न शोधतो: फरक एवढाच आहे की "x" ऐवजी आपल्याकडे एक जटिल अभिव्यक्ती आहे, जी या सूत्राची वैधता नाकारत नाही. तर, जटिल कार्याच्या भिन्नतेचा नियम लागू करण्याचा परिणाम खालीलप्रमाणे आहे.
व्याख्या.फंक्शन \(y = f(x) \) बिंदू \(x_0 \) आत असलेल्या काही अंतरालमध्ये परिभाषित करू द्या. हे अंतर सोडू नये म्हणून वितर्कात \(\Delta x \) वाढवू. फंक्शनची संबंधित वाढ शोधा \(\Delta y \) (बिंदू \(x_0 \) पासून \(x_0 + \Delta x \) बिंदूकडे जाताना) आणि संबंध \(\frac(\Delta y) तयार करा. )(\Delta x) \). जर या संबंधाची मर्यादा \(\Delta x \rightarrow 0 \) असेल, तर निर्दिष्ट मर्यादा म्हणतात व्युत्पन्न कार्य\(y=f(x) \) बिंदूवर \(x_0 \) आणि \(f"(x_0) \) दर्शवा.
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$
व्युत्पन्न दर्शविण्यासाठी y हे चिन्ह अनेकदा वापरले जाते. लक्षात घ्या की y" = f(x) हे नवीन फंक्शन आहे, परंतु नैसर्गिकरित्या फंक्शन y = f(x) शी संबंधित आहे, ज्यावर वरील मर्यादा अस्तित्वात आहे अशा सर्व बिंदू x वर परिभाषित केले आहे. या फंक्शनला असे म्हणतात: फंक्शन y \u003d f (x) चे व्युत्पन्न.
व्युत्पन्नाचा भौमितीय अर्थखालील समाविष्टीत आहे. y अक्षाच्या समांतर नसलेली स्पर्शिका y \u003d f (x) फंक्शनच्या आलेखावर abscissa x \u003d a सह एका बिंदूवर काढली जाऊ शकते, तर f (a) स्पर्शिकेचा उतार व्यक्त करतो:
\(k = f"(a)\)
कारण \(k = tg(a) \, समानता \(f"(a) = tg(a) \) सत्य आहे.
आणि आता आम्ही व्युत्पन्नाची व्याख्या अंदाजे समानतेच्या दृष्टीने स्पष्ट करतो. फंक्शन \(y = f(x) \) ला विशिष्ट बिंदूवर एक व्युत्पन्न असू द्या \(x \):
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
याचा अर्थ x बिंदूजवळ, अंदाजे समानता \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x) \), म्हणजे \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Deltax\). प्राप्त अंदाजे समानतेचा अर्थपूर्ण अर्थ खालीलप्रमाणे आहे: फंक्शनची वाढ वितर्क वाढीच्या "जवळजवळ प्रमाणात" आहे आणि समानुपातिकतेचे गुणांक हे दिलेल्या बिंदू x वर व्युत्पन्नाचे मूल्य आहे. उदाहरणार्थ, फंक्शनसाठी \(y = x^2 \) अंदाजे समानता \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \) सत्य आहे. जर आपण व्युत्पन्नाच्या व्याख्येचे काळजीपूर्वक विश्लेषण केले तर आपल्याला आढळेल की त्यात ते शोधण्यासाठी अल्गोरिदम आहे.
चला ते सूत्रबद्ध करूया.
फंक्शन y \u003d f(x) चे व्युत्पन्न कसे शोधायचे?
1. मूल्य निश्चित करा \(x \), शोधा \(f(x) \)
2. वाढ \(x \) युक्तिवाद \(\Delta x \), नवीन बिंदूकडे जा \(x+ \Delta x \), शोधा \(f(x+ \Delta x) \)
3. फंक्शन वाढ शोधा: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
४. संबंध तयार करा \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
५. $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$ मोजा
ही मर्यादा x वरील फंक्शनचे व्युत्पन्न आहे.
फंक्शन y = f(x) मध्ये x बिंदूवर व्युत्पन्न असल्यास, त्याला x बिंदूवर भिन्नता असे म्हणतात. फंक्शन y \u003d f (x) चे व्युत्पन्न शोधण्याची प्रक्रिया म्हणतात भिन्नताफंक्शन्स y = f(x).
चला खालील प्रश्नावर चर्चा करूया: एखाद्या बिंदूवर फंक्शनची सातत्य आणि भिन्नता कशी संबंधित आहे?
y = f(x) फंक्शन x बिंदूवर भिन्न असू द्या. नंतर एम (x; f (x)) बिंदूवरील फंक्शनच्या आलेखावर स्पर्शिका काढता येते आणि आठवते, स्पर्शिकेचा उतार f" (x) च्या बरोबरीचा असतो. असा आलेख येथे "ब्रेक" करू शकत नाही. बिंदू M, म्हणजे, फंक्शन x वर सतत असणे आवश्यक आहे.
ते "बोटांवर" तर्क करत होते. चला अधिक कठोर युक्तिवाद सादर करूया. फंक्शन y = f(x) हे x बिंदूवर भिन्न असल्यास, अंदाजे समानता \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x \) धारण करते. शून्य, नंतर \(\Delta y \) ) देखील शून्याकडे झुकते, आणि ही एका बिंदूवर फंक्शनच्या निरंतरतेची स्थिती आहे.
तर, जर फंक्शन x बिंदूवर भिन्न असेल, तर ते त्या बिंदूवर देखील निरंतर आहे.
संभाषण खरे नाही. उदाहरणार्थ: फंक्शन y = |x| सर्वत्र सतत आहे, विशेषत: x = 0 बिंदूवर, परंतु "संयुक्त बिंदू" (0; 0) वरील फंक्शनच्या आलेखाची स्पर्शिका अस्तित्वात नाही. एखाद्या वेळी फंक्शन आलेखावर स्पर्शिका काढणे अशक्य असल्यास, या बिंदूवर कोणतेही व्युत्पन्न नाही.
अजून एक उदाहरण. फंक्शन \(y=\sqrt(x) \) हे x = 0 बिंदूसह संपूर्ण संख्या रेषेवर सतत असते. आणि फंक्शनच्या आलेखाची स्पर्शिका x = 0 बिंदूसह कोणत्याही बिंदूवर अस्तित्वात असते. पण या बिंदूवर स्पर्शिका y-अक्षाशी एकरूप होते, म्हणजेच ते abscissa अक्षाला लंब आहे, त्याच्या समीकरणाचे रूप x \u003d 0 आहे. अशा सरळ रेषेसाठी कोणताही उतार नाही, म्हणजे \ ( f "(0) \) देखील अस्तित्वात नाही
तर, आम्ही फंक्शनच्या नवीन गुणधर्माशी परिचित झालो - भिन्नता. एखादे फंक्शन फंक्शनच्या आलेखापेक्षा वेगळे आहे हे कसे सांगता येईल?
उत्तर प्रत्यक्षात वर दिले आहे. जर एखाद्या बिंदूवर x-अक्षावर लंब नसलेल्या फंक्शनच्या आलेखावर स्पर्शिका काढली जाऊ शकते, तर या टप्प्यावर फंक्शन वेगळे करण्यायोग्य आहे. जर एखाद्या टप्प्यावर फंक्शनच्या आलेखाला स्पर्शिका अस्तित्वात नसेल किंवा ती x-अक्षावर लंब असेल, तर या टप्प्यावर फंक्शन वेगळे करता येणार नाही.
भिन्नता नियम
व्युत्पन्न शोधण्याच्या ऑपरेशनला म्हणतात भिन्नता. हे ऑपरेशन करताना, तुम्हाला बर्याचदा गुणांक, बेरीज, फंक्शन्सची उत्पादने, तसेच "फंक्शन्स ऑफ फंक्शन्स" म्हणजेच जटिल फंक्शन्ससह कार्य करावे लागते. डेरिव्हेटिव्हच्या व्याख्येवर आधारित, आम्ही हे कार्य सुलभ करणारे भिन्नता नियम मिळवू शकतो. जर C ही स्थिर संख्या असेल आणि f=f(x), g=g(x) ही काही भिन्न कार्ये असतील तर खालील सत्य आहेत भिन्नता नियम:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$