फॉर्मचे समीकरण

अभिव्यक्ती डी= ब 2 - 4 acम्हणतात भेदभाव करणाराचतुर्भुज समीकरण. तरडी = 0, नंतर समीकरणाचे एक वास्तविक मूळ आहे; जर डी> 0, नंतर समीकरणाची दोन वास्तविक मुळे आहेत.
बाबतीत डी = 0 , कधीकधी असे म्हटले जाते की एका चतुर्भुज समीकरणाची दोन समान मुळे असतात.
नोटेशन वापरणे डी= ब 2 - 4 ac, आपण फॉर्म्युला (2) फॉर्ममध्ये पुन्हा लिहू शकतो

तर b= 2k, नंतर सूत्र (2) फॉर्म घेते:

कुठे k= ब / 2 .
नंतरचे सूत्र विशेषतः सोयीस्कर आहे जेथे प्रकरणांमध्ये b / 2 - एक पूर्णांक, i.e. गुणांक b- सम संख्या.
उदाहरण १:समीकरण सोडवा 2 x 2 - 5 x + 2 = 0 . येथे a = 2, b = -5, c = 2. आमच्याकडे आहे डी= ब 2 - 4 ac = (-5) 2- 4*2*2 = 9 . कारण डी > 0 , तर समीकरणाला दोन मुळे आहेत. चला ते सूत्र वापरून शोधूया (२)

तर x 1 =(५ + ३) / ४ = २, x 2 =(5 - 3) / 4 = 1 / 2 ,
ते आहे x 1 = 2 आणि x 2 = 1 / 2 - दिलेल्या समीकरणाची मुळे.
उदाहरण २:समीकरण सोडवा 2 x 2 - 3 x + 5 = 0 . येथे a = 2, b = -3, c = 5. भेदाभेद करणारा शोधणे डी= ब 2 - 4 ac = (-3) 2- 4*2*5 = -31 . कारण डी 0 , तर समीकरणाला खरी मुळे नाहीत.

अपूर्ण चतुर्भुज समीकरणे. द्विघात समीकरणात असल्यास कुऱ्हाड 2 +bx+ c =0 दुसरा गुणांक bकिंवा विनामूल्य सदस्य cशून्याच्या बरोबरीचे आहे, नंतर चतुर्भुज समीकरण म्हणतात अपूर्ण. अपूर्ण समीकरणे एकत्र केली जातात कारण त्यांची मुळे शोधण्यासाठी तुम्हाला चतुर्भुज समीकरणाच्या मुळांसाठी सूत्र वापरण्याची गरज नाही - समीकरण त्याच्या डाव्या बाजूचा फॅक्टरिंग करून सोडवणे सोपे आहे.
उदाहरण १:समीकरण सोडवा 2 x 2 - 5 x = 0 .
आमच्याकडे आहे x(2 x - 5) = 0 . तर एकतर x = 0 , किंवा 2 x - 5 = 0 , ते आहे x = 2.5 . तर समीकरणाची दोन मुळे आहेत: 0 आणि 2.5
उदाहरण २:समीकरण सोडवा 3 x 2 - 27 = 0 .
आमच्याकडे आहे 3 x 2 = 27 . त्यामुळे या समीकरणाची मुळे आहेत 3 आणि -3 .

व्हिएटाचे प्रमेय. जर चतुर्भुज समीकरण कमी केले x 2 +px+q =0 वास्तविक मुळे आहेत, नंतर त्यांची बेरीज समान आहे - p, आणि उत्पादन समान आहे q, ते आहे

x 1 + x 2 = -p,
x 1 x 2 = q

(वरील चतुर्भुज समीकरणाच्या मुळांची बेरीज विरुद्ध चिन्हासह घेतलेल्या दुस-या गुणांकाच्या बरोबरीची आहे आणि मुळांचा गुणाकार मुक्त पदाच्या समान आहे).

फक्त. सूत्रांनुसार आणि स्पष्ट, साधे नियम. पहिल्या टप्प्यावर

दिलेले समीकरण प्रमाणित स्वरूपात आणणे आवश्यक आहे, उदा. फॉर्मला:

जर तुम्हाला या फॉर्ममध्ये समीकरण आधीच दिलेले असेल, तर तुम्हाला पहिला टप्पा करण्याची गरज नाही. सर्वात महत्वाची गोष्ट म्हणजे ते योग्यरित्या करणे

सर्व गुणांक निश्चित करा, ए, bआणि c.

चतुर्भुज समीकरणाची मुळे शोधण्याचे सूत्र.

मूळ चिन्हाच्या खाली असलेल्या अभिव्यक्तीला म्हणतात भेदभाव करणारा . जसे आपण पाहू शकता, X शोधण्यासाठी, आम्ही

आम्ही वापरतो फक्त a, b आणि c. त्या. पासून गुणांक चतुर्भुज समीकरण. फक्त काळजीपूर्वक आत टाका

मूल्ये a, b आणि cआम्ही या सूत्रात गणना करतो. आम्ही सह पर्यायी त्यांचेचिन्हे

उदाहरणार्थ, समीकरणात:

ए =1; b = 3; c = -4.

आम्ही मूल्ये बदलतो आणि लिहितो:

उदाहरण जवळजवळ सोडवले आहे:

हे उत्तर आहे.

सर्वात सामान्य चुका म्हणजे चिन्ह मूल्यांसह गोंधळ a, bआणि सह. किंवा त्याऐवजी, प्रतिस्थापनासह

मुळांची गणना करण्यासाठी सूत्रामध्ये नकारात्मक मूल्ये. सूत्राचे तपशीलवार रेकॉर्डिंग येथे बचावासाठी येते

विशिष्ट संख्येसह. जर तुम्हाला गणनेत समस्या येत असतील तर ते करा!

समजा आपल्याला खालील उदाहरण सोडवायचे आहे.

येथे a = -6; b = -5; c = -1

आम्ही सर्व चिन्हे आणि कंसांसह काहीही न गमावता, काळजीपूर्वक, तपशीलवार वर्णन करतो:

चतुर्भुज समीकरणे अनेकदा थोडी वेगळी दिसतात. उदाहरणार्थ, यासारखे:

आता व्यावहारिक तंत्रे लक्षात घ्या ज्यामुळे त्रुटींची संख्या नाटकीयरित्या कमी होते.

पहिली भेट. आधी आळशी होऊ नका द्विघात समीकरण सोडवणेते मानक स्वरूपात आणा.

याचा अर्थ काय?

समजा की सर्व परिवर्तनानंतर तुम्हाला खालील समीकरण मिळेल:

मूळ सूत्र लिहिण्याची घाई करू नका! आपण जवळजवळ निश्चितपणे शक्यता मिश्रित कराल a, b आणि c.

उदाहरण योग्यरित्या तयार करा. प्रथम, X वर्ग, नंतर वर्गाशिवाय, नंतर मुक्त पद. याप्रमाणे:

उणे सुटका. कसे? आपल्याला संपूर्ण समीकरण -1 ने गुणावे लागेल. आम्हाला मिळते:

पण आता तुम्ही मुळांसाठी फॉर्म्युला सुरक्षितपणे लिहू शकता, भेदभावाची गणना करू शकता आणि उदाहरण सोडवणे पूर्ण करू शकता.

स्वतःसाठी निर्णय घ्या. आपल्याकडे आता मुळे 2 आणि -1 असणे आवश्यक आहे.

रिसेप्शन दुसरा.मुळे तपासा! द्वारे व्हिएटाचे प्रमेय.

दिलेली चतुर्भुज समीकरणे सोडवण्यासाठी, म्हणजे. गुणांक असल्यास

x 2 +bx+c=0,

मगx 1 x 2 =c

x 1 + x 2 =−b

संपूर्ण द्विघात समीकरणासाठी ज्यामध्ये a≠1:

x 2 +bx+c=0,

संपूर्ण समीकरण द्वारे विभाजित करा अ:

→ →

कुठे x १आणि x 2 - समीकरणाची मुळे.

रिसेप्शन तिसरे. तुमच्या समीकरणामध्ये अपूर्णांक गुणांक असल्यास, अपूर्णांकांपासून मुक्त व्हा! गुणाकार करा

सामान्य भाजकासह समीकरण.

निष्कर्ष. व्यावहारिक टिप्स:

1. सोडवण्याआधी, आम्ही चतुर्भुज समीकरण मानक स्वरूपात आणतो आणि ते तयार करतो बरोबर.

2. जर X वर्गासमोर ऋण गुणांक असेल, तर आपण सर्वकाही गुणाकार करून ते काढून टाकतो

-1 द्वारे समीकरणे.

3. जर गुणांक अपूर्णांक असतील, तर आपण संपूर्ण समीकरणाचा गुणाकार करून अपूर्णांक काढून टाकतो.

घटक

4. जर x वर्ग शुद्ध असेल, त्याचा गुणांक एक असेल, तर द्रावण सहज तपासता येईल.

व्हिडिओ ट्यूटोरियल 2: चतुर्भुज समीकरणे सोडवणे

व्याख्यान: चतुर्भुज समीकरणे

समीकरण

समीकरण- ही एक प्रकारची समानता आहे ज्यामध्ये एक व्हेरिएबल आहे.

समीकरण सोडवा- म्हणजे व्हेरिएबलऐवजी संख्या शोधणे जे त्यास योग्य समानतेत आणेल.

समीकरणाला एक उपाय असू शकतो, अनेक किंवा काहीही नाही.

कोणतेही समीकरण सोडवण्यासाठी, ते फॉर्ममध्ये शक्य तितके सोपे केले पाहिजे:

रेखीय: a*x = b;

चौरस: a*x 2 + b*x + c = 0.

म्हणजे, कोणतीही समीकरणे सोडवण्याआधी मानक स्वरूपात रूपांतरित करणे आवश्यक आहे.

कोणतेही समीकरण दोन प्रकारे सोडवले जाऊ शकते: विश्लेषणात्मक आणि ग्राफिकल.

आलेखावर, समीकरणाचे समाधान हे बिंदू मानले जाते ज्यावर आलेख OX अक्षाला छेदतो.

चतुर्भुज समीकरणे

समीकरणाला चतुर्भुज असे म्हटले जाऊ शकते जर, सरलीकृत केल्यावर, ते फॉर्म घेते:

a*x 2 + b*x + c = 0.

ज्यामध्ये a, b, cशून्यापेक्षा भिन्न असलेल्या समीकरणाचे गुणांक आहेत. ए "X"- समीकरणाचे मूळ. असे मानले जाते की चतुर्भुज समीकरणाला दोन मुळे असतात किंवा त्याचे निराकरण अजिबात नसते. परिणामी मुळे समान असू शकतात.

"अ"- वर्गमूळाच्या आधी उभा असलेला गुणांक.

"ब"- पहिल्या अंशात अज्ञातासमोर उभा आहे.

"सोबत"समीकरणाची मुक्त संज्ञा आहे.

जर, उदाहरणार्थ, आमच्याकडे फॉर्मचे समीकरण असेल:

2x 2 -5x+3=0

त्यात, “2” हा समीकरणाच्या अग्रगण्य पदाचा गुणांक आहे, “-5” हा दुसरा गुणांक आहे आणि “3” हा मुक्त पद आहे.

द्विघात समीकरण सोडवणे

चतुर्भुज समीकरण सोडवण्याचे अनेक प्रकार आहेत. तथापि, शालेय गणिताच्या अभ्यासक्रमात, व्हिएटाचे प्रमेय वापरून, तसेच भेदभाव वापरून समाधानाचा अभ्यास केला जातो.

भेदभावपूर्ण उपाय:

ही पद्धत वापरून सोडवताना, सूत्र वापरून भेदभावाची गणना करणे आवश्यक आहे:

जर तुमच्या गणनेदरम्यान तुम्हाला असे आढळले की भेदभाव शून्यापेक्षा कमी आहे, तर याचा अर्थ असा की या समीकरणाला कोणतेही उपाय नाहीत.

जर भेदभाव शून्य असेल, तर समीकरणाला दोन समान समाधाने आहेत. या प्रकरणात, बेरीज किंवा फरकाच्या वर्गामध्ये संक्षिप्त गुणाकार सूत्र वापरून बहुपद संकुचित केले जाऊ शकते. मग ते रेखीय समीकरण म्हणून सोडवा. किंवा सूत्र वापरा:

जर भेदभाव शून्यापेक्षा जास्त असेल, तर तुम्ही खालील पद्धत वापरणे आवश्यक आहे:

व्हिएटाचे प्रमेय

जर समीकरण दिले असेल, म्हणजेच अग्रगण्य पदाचा गुणांक एक असेल, तर तुम्ही वापरू शकता व्हिएटाचे प्रमेय.

तर हे समीकरण असे गृहीत धरूया:

समीकरणाची मुळे खालीलप्रमाणे आढळतात:

अपूर्ण चतुर्भुज समीकरण

अपूर्ण चतुर्भुज समीकरण प्राप्त करण्यासाठी अनेक पर्याय आहेत, ज्याचे स्वरूप गुणांकांच्या उपस्थितीवर अवलंबून असते.

1. जर दुसरा आणि तिसरा गुणांक शून्य असेल (b = 0, c = 0), तर द्विघात समीकरण असे दिसेल:

या समीकरणात एक अनोखा उपाय असेल. समीकरणाचे समाधान शून्य असेल तरच समता खरी ठरेल.

या गणित कार्यक्रमासह आपण हे करू शकता द्विघात समीकरण सोडवा.

प्रोग्राम केवळ समस्येचे उत्तर देत नाही तर निराकरण प्रक्रिया देखील दोन प्रकारे प्रदर्शित करतो:
- एक भेदभाव वापरून
- व्हिएटाचे प्रमेय वापरून (शक्य असल्यास).

शिवाय, उत्तर अचूक दर्शविले आहे, अंदाजे नाही.
उदाहरणार्थ, समीकरणासाठी \(81x^2-16x-1=0\) उत्तर खालील फॉर्ममध्ये प्रदर्शित केले आहे:

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81), \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) $$ आणि असे नाही: \(x_1 = 0.247; \quad x_2 = -0.05\)

चाचण्या आणि परीक्षांची तयारी करताना, युनिफाइड स्टेट परीक्षेपूर्वी ज्ञानाची चाचणी करताना, आणि पालकांना गणित आणि बीजगणितातील अनेक समस्यांचे निराकरण नियंत्रित करण्यासाठी हा कार्यक्रम सामान्य शिक्षणाच्या शाळांमधील उच्च माध्यमिक विद्यार्थ्यांसाठी उपयुक्त ठरू शकतो. किंवा कदाचित तुमच्यासाठी ट्यूटर घेणे किंवा नवीन पाठ्यपुस्तके खरेदी करणे खूप महाग आहे? किंवा आपण फक्त आपले गणित किंवा बीजगणित गृहपाठ शक्य तितक्या लवकर पूर्ण करू इच्छिता? या प्रकरणात, आपण तपशीलवार उपायांसह आमचे प्रोग्राम देखील वापरू शकता.

अशाप्रकारे, तुम्ही तुमचे स्वतःचे प्रशिक्षण आणि/किंवा तुमच्या लहान भाऊ किंवा बहिणींचे प्रशिक्षण घेऊ शकता, तर समस्या सोडवण्याच्या क्षेत्रात शिक्षणाचा स्तर वाढतो.

तुम्हाला चतुर्भुज बहुपदी प्रविष्ट करण्याच्या नियमांशी परिचित नसल्यास, आम्ही शिफारस करतो की तुम्ही त्यांच्याशी परिचित व्हा.

चतुर्भुज बहुपदी प्रविष्ट करण्याचे नियम

कोणतेही लॅटिन अक्षर व्हेरिएबल म्हणून काम करू शकते.
उदाहरणार्थ: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), इ.

संख्या पूर्ण किंवा अपूर्णांक म्हणून प्रविष्ट केल्या जाऊ शकतात.
शिवाय, अपूर्णांक संख्या केवळ दशांश स्वरूपातच नव्हे तर सामान्य अपूर्णांकाच्या स्वरूपात देखील प्रविष्ट केली जाऊ शकते.

दशांश अपूर्णांक प्रविष्ट करण्याचे नियम.
दशांश अपूर्णांकांमध्ये, अपूर्णांकाचा भाग पूर्ण भागापासून पूर्णविराम किंवा स्वल्पविरामाने विभक्त केला जाऊ शकतो.
उदाहरणार्थ, तुम्ही याप्रमाणे दशांश अपूर्णांक प्रविष्ट करू शकता: 2.5x - 3.5x^2

सामान्य अपूर्णांक प्रविष्ट करण्याचे नियम.
अपूर्णांकाचा अंश, भाजक आणि पूर्णांक भाग म्हणून केवळ पूर्ण संख्याच कार्य करू शकते.

भाजक ऋणात्मक असू शकत नाही.

संख्यात्मक अपूर्णांक प्रविष्ट करताना, भागाकार चिन्हाद्वारे अंश विभक्त केला जातो: /
अँपरसँड चिन्हाद्वारे संपूर्ण भाग अपूर्णांकापासून विभक्त केला जातो: &
इनपुट: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
परिणाम: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2\)

अभिव्यक्ती प्रविष्ट करताना तुम्ही कंस वापरू शकता. या प्रकरणात, द्विघात समीकरण सोडवताना, सादर केलेली अभिव्यक्ती प्रथम सरलीकृत केली जाते.
उदाहरणार्थ: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10 आणि 1/2)

=0

ठरवा

या समस्येचे निराकरण करण्यासाठी आवश्यक असलेल्या काही स्क्रिप्ट लोड केल्या गेल्या नाहीत आणि प्रोग्राम कार्य करू शकत नाही असे आढळून आले.
तुम्ही AdBlock सक्षम केले असावे.
या प्रकरणात, ते अक्षम करा आणि पृष्ठ रीफ्रेश करा.

तुमच्या ब्राउझरमध्ये JavaScript अक्षम केले आहे.
समाधान दिसण्यासाठी, तुम्हाला JavaScript सक्षम करणे आवश्यक आहे.
तुमच्या ब्राउझरमध्ये JavaScript कसे सक्षम करावे यावरील सूचना येथे आहेत.

कारण समस्या सोडवण्यासाठी खूप लोक इच्छुक आहेत, तुमची विनंती रांगेत आहे.
काही सेकंदात उपाय खाली दिसेल.
कृपया थांबा सेकंद...

जर तू समाधानामध्ये त्रुटी लक्षात आली, नंतर तुम्ही फीडबॅक फॉर्ममध्ये याबद्दल लिहू शकता.
विसरू नको कोणते कार्य सूचित करातुम्ही ठरवा काय फील्ड मध्ये प्रविष्ट करा.

आमचे खेळ, कोडी, अनुकरणकर्ते:

थोडा सिद्धांत.

चतुर्भुज समीकरण आणि त्याची मुळे. अपूर्ण चतुर्भुज समीकरणे

प्रत्येक समीकरण
\(-x^2+6x+1.4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
असे दिसते आहे की
\(ax^2+bx+c=0, \)
जेथे x एक चल आहे, a, b आणि c संख्या आहेत.
पहिल्या समीकरणात a = -1, b = 6 आणि c = 1.4, दुसऱ्यामध्ये a = 8, b = -7 आणि c = 0, तिसऱ्या मध्ये a = 1, b = 0 आणि c = 4/9. अशी समीकरणे म्हणतात चतुर्भुज समीकरणे.

व्याख्या.
चतुर्भुज समीकरण ax 2 +bx+c=0 फॉर्मचे समीकरण म्हणतात, जेथे x हे चल आहे, a, b आणि c काही संख्या आहेत आणि \(a \neq 0 \).

a, b आणि c या संख्या द्विघात समीकरणाचे गुणांक आहेत. संख्या a ला पहिला गुणांक म्हणतात, संख्या b हा दुसरा गुणांक आहे आणि संख्या c हा मुक्त संज्ञा आहे.

ax 2 +bx+c=0 या फॉर्मच्या प्रत्येक समीकरणामध्ये, जेथे \(a\neq 0\), चल x ची सर्वात मोठी घात हा वर्ग आहे. म्हणून नाव: चतुर्भुज समीकरण.

लक्षात घ्या की चतुर्भुज समीकरणाला द्वितीय अंशाचे समीकरण देखील म्हटले जाते, कारण त्याची डावी बाजू द्वितीय अंशाची बहुपदी आहे.

एक द्विघात समीकरण ज्यामध्ये x 2 चा गुणांक 1 असतो त्याला म्हणतात दिलेले चतुर्भुज समीकरण. उदाहरणार्थ, दिलेली चतुर्भुज समीकरणे ही समीकरणे आहेत
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

जर द्विघात समीकरण ax 2 +bx+c=0 मध्ये b किंवा c गुणांकांपैकी किमान एक शून्य असेल तर अशा समीकरणाला म्हणतात. अपूर्ण चतुर्भुज समीकरण. अशा प्रकारे, -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 ही अपूर्ण द्विघात समीकरणे आहेत. त्यापैकी पहिल्यामध्ये b=0, दुसऱ्यामध्ये c=0, तिसऱ्या b=0 आणि c=0 मध्ये.

तीन प्रकारची अपूर्ण चतुर्भुज समीकरणे आहेत:
1) ax 2 +c=0, जेथे \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, जेथे \(b \neq 0 \);
3) कुर्हाड 2 =0.

या प्रत्येक प्रकाराची समीकरणे सोडवण्याचा विचार करूया.

\(c \neq 0 \ साठी ax 2 +c=0 फॉर्म) चे अपूर्ण द्विघात समीकरण सोडवण्यासाठी, त्याचे मुक्त पद उजवीकडे हलवा आणि समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना a ने विभाजित करा:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Rightarrow x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

पासून \(c \neq 0 \), नंतर \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

जर \(-\frac(c)(a)>0\), तर समीकरणाला दोन मुळे आहेत.

जर \(-\frac(c)(a) फॉर्म ax 2 +bx=0 चे अपूर्ण चतुर्भुज समीकरण सोडवायचे असेल तर \(b \neq 0 \) या घटकासह त्याची डाव्या बाजूने समीकरण मिळवा
\(x(ax+b)=0 \Rightarrow \left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \right. \Rightarrow \left\( \begin (अॅरे)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(array) \right. \)

याचा अर्थ \(b \neq 0 \) साठी ax 2 +bx=0 फॉर्मच्या अपूर्ण द्विघात समीकरणाला नेहमी दोन मुळे असतात.

ax 2 =0 फॉर्मचे एक अपूर्ण द्विघात समीकरण हे x 2 =0 या समीकरणाच्या समतुल्य आहे आणि म्हणून त्याचे मूळ 0 आहे.

चतुर्भुज समीकरणाच्या मुळांसाठी सूत्र

आता आपण द्विघात समीकरणे कशी सोडवायची याचा विचार करूया ज्यामध्ये अज्ञात आणि मुक्त संज्ञा दोन्ही शून्य आहेत.

आपण चतुर्भुज समीकरण सामान्य स्वरूपात सोडवू आणि परिणामी आपल्याला मुळांचे सूत्र मिळेल. हे सूत्र नंतर कोणतेही द्विघात समीकरण सोडवण्यासाठी वापरले जाऊ शकते.

ax 2 +bx+c=0 हे द्विघात समीकरण सोडवा

दोन्ही बाजूंना a ने विभाजित केल्याने, आपल्याला समान कमी केलेले चतुर्भुज समीकरण मिळते
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

द्विपदाचा वर्ग निवडून हे समीकरण बदलू.
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Rightarrow \)

\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2 = \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 - \frac(c)(a) \Rightarrow \) \(\left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2)(4a^2) - \frac( c)(a) \Rightarrow \left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2-4ac)(4a^2) \Rightarrow \) \(x+\frac(b) )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2) ) \Rightarrow x = -\frac(b)(2a) + \frac( \pm \sqrt(b^2) -4ac) )(2a) \Rightarrow \) \(x = \frac( -b \pm \sqrt(b^2-4ac) )(2a) \)

मूलगामी अभिव्यक्ती म्हणतात द्विघात समीकरणाचा भेदभाव ax 2 +bx+c=0 (लॅटिनमध्ये "भेदभाव करणारा" - भेदभाव करणारा). हे अक्षर डी द्वारे नियुक्त केले आहे, म्हणजे.
\(D = b^2-4ac\)

आता, भेदभावपूर्ण नोटेशन वापरून, आम्ही चतुर्भुज समीकरणाच्या मुळांसाठी सूत्र पुन्हा लिहू:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), जेथे \(D= b^2-4ac \)

हे उघड आहे की:
1) जर D>0 असेल, तर द्विघात समीकरणाला दोन मुळे आहेत.
2) जर D=0 असेल, तर द्विघात समीकरणाचे एक मूळ \(x=-\frac(b)(2a)\) आहे.
3) जर D अशा प्रकारे, भेदभावाच्या मूल्यावर अवलंबून, द्विघात समीकरणाला दोन मुळे असू शकतात (D > 0 साठी), एक मूळ (D = 0 साठी) किंवा कोणतीही मुळे नाहीत (D साठी हे वापरून द्विघात समीकरण सोडवताना सूत्र, खालील प्रकारे करणे उचित आहे:
1) भेदभावाची गणना करा आणि त्याची शून्याशी तुलना करा;
2) जर भेदक सकारात्मक किंवा शून्य समान असेल तर मूळ सूत्र वापरा; जर भेदभाव नकारात्मक असेल तर मुळे नाहीत असे लिहा.

व्हिएटाचे प्रमेय

दिलेल्या चतुर्भुज समीकरण ax 2 -7x+10=0 मध्ये 2 आणि 5 आहेत. मुळांची बेरीज 7 आहे आणि गुणाकार 10 आहे. आपण पाहतो की मुळांची बेरीज विरुद्ध घेतलेल्या दुसऱ्या गुणांकाच्या बरोबरीची आहे. चिन्ह, आणि मुळांचे उत्पादन फ्री टर्मच्या बरोबरीचे आहे. मुळे असलेल्या कोणत्याही कमी केलेल्या द्विघात समीकरणामध्ये हा गुणधर्म असतो.

वरील चतुर्भुज समीकरणाच्या मुळांची बेरीज विरुद्ध चिन्हासह घेतलेल्या दुस-या गुणांकाच्या बरोबरीची आहे आणि मुळांचा गुणाकार मुक्त पदाच्या समान आहे.

त्या. व्हिएटाचे प्रमेय असे सांगते की कमी केलेल्या द्विघात समीकरणाच्या x 1 आणि x 2 च्या मुळांमध्ये गुणधर्म आहेत:
\(\left\( \begin(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \ end(array) \right. \)

चतुर्भुज समीकरणे. भेदभाव करणारा. उपाय, उदाहरणे.

लक्ष द्या!
अतिरिक्त आहेत
विशेष कलम 555 मधील साहित्य.
जे खूप "फार नाही..." आहेत त्यांच्यासाठी
आणि ज्यांना "खूप ...")

द्विघात समीकरणांचे प्रकार

चतुर्भुज समीकरण म्हणजे काय? ते कशासारखे दिसते? मुदतीत चतुर्भुज समीकरणकीवर्ड आहे "चौरस".याचा अर्थ असा की समीकरणात अपरिहार्यपणेएक x वर्ग असणे आवश्यक आहे. या व्यतिरिक्त, समीकरणात फक्त X (पहिल्या पॉवरपर्यंत) आणि फक्त एक संख्या असू शकते (किंवा नाही!) (मुक्त सदस्य).आणि दोनपेक्षा जास्त पॉवरसाठी X चे नसावे.

गणिताच्या दृष्टीने, चतुर्भुज समीकरण हे फॉर्मचे समीकरण आहे:

येथे a, b आणि c- काही संख्या. b आणि c- अगदी कोणतेही, पण ए- शून्य व्यतिरिक्त काहीही. उदाहरणार्थ:

येथे ए =1; b = 3; c = -4

येथे ए =2; b = -0,5; c = 2,2

येथे ए =-3; b = 6; c = -18

बरं, तुला समजलं...

या चतुर्भुज समीकरणांमध्ये डावीकडे आहे पूर्ण संचसदस्य गुणांकासह X वर्ग अ,गुणांकासह पहिल्या घातापर्यंत x bआणि मोफत सदस्य एस.

अशा द्विघात समीकरणांना म्हणतात पूर्ण

आणि जर b= 0, आम्हाला काय मिळेल? आमच्याकडे आहे X पहिल्या पॉवरमध्ये गमावले जाईल.शून्याने गुणाकार केल्यावर हे घडते.) असे दिसून येते, उदाहरणार्थ:

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x=0,

-x 2 +4x=0

वगैरे. आणि दोन्ही गुणांक असल्यास bआणि cशून्याच्या समान आहेत, तर ते आणखी सोपे आहे:

2x 2 =0,

-0.3x 2 =0

अशी समीकरणे जिथे काहीतरी गहाळ आहे असे म्हणतात अपूर्ण द्विघात समीकरणे.जे अगदी तार्किक आहे.) कृपया लक्षात घ्या की सर्व समीकरणांमध्ये x वर्ग असतो.

तसे, का एशून्य बरोबर असू शकत नाही? आणि त्याऐवजी तुम्ही बदला एशून्य.) आमचा X वर्ग गायब होईल! समीकरण रेखीय होईल. आणि उपाय पूर्णपणे भिन्न आहे ...

हे सर्व मुख्य प्रकारचे द्विघात समीकरण आहे. पूर्ण आणि अपूर्ण.

द्विघात समीकरणे सोडवणे.

पूर्ण द्विघात समीकरणे सोडवणे.

चतुर्भुज समीकरणे सोडवणे सोपे आहे. सूत्रांनुसार आणि स्पष्ट, साधे नियम. पहिल्या टप्प्यावर, दिलेले समीकरण प्रमाणित स्वरूपात आणणे आवश्यक आहे, म्हणजे. फॉर्मला:

जर तुम्हाला या फॉर्ममध्ये समीकरण आधीच दिलेले असेल, तर तुम्हाला पहिला टप्पा करण्याची आवश्यकता नाही.) मुख्य गोष्ट म्हणजे सर्व गुणांक योग्यरित्या निर्धारित करणे, ए, bआणि c.

चतुर्भुज समीकरणाची मुळे शोधण्याचे सूत्र असे दिसते:

मूळ चिन्हाच्या खाली असलेल्या अभिव्यक्तीला म्हणतात भेदभाव करणारा. पण खाली त्याच्याबद्दल अधिक. जसे आपण पाहू शकता, X शोधण्यासाठी, आम्ही वापरतो फक्त a, b आणि c. त्या. द्विघात समीकरणातील गुणांक. फक्त काळजीपूर्वक मूल्ये बदला a, b आणि cआम्ही या सूत्रात गणना करतो. चला पर्याय घेऊ आपल्या स्वतःच्या चिन्हांसह! उदाहरणार्थ, समीकरणात:

ए =1; b = 3; c= -4. येथे आम्ही ते लिहू:

उदाहरण जवळजवळ सोडवले आहे:

हे उत्तर आहे.

सर्व काही अगदी सोपे आहे. आणि काय, तुम्हाला असे वाटते की चूक करणे अशक्य आहे? बरं, हो, कसं...

सर्वात सामान्य चुका म्हणजे चिन्ह मूल्यांसह गोंधळ a, b आणि c. किंवा त्याऐवजी, त्यांच्या चिन्हांसह (कोठे गोंधळात पडायचे?), परंतु मुळांची गणना करण्याच्या सूत्रामध्ये नकारात्मक मूल्यांच्या प्रतिस्थापनासह. विशिष्ट संख्यांसह सूत्राचे तपशीलवार रेकॉर्डिंग येथे काय मदत करते. गणनेमध्ये समस्या असल्यास, ते कर!

समजा आपल्याला खालील उदाहरण सोडवायचे आहे.

येथे a = -6; b = -5; c = -1

समजा तुम्हाला माहित आहे की तुम्हाला पहिल्यांदाच क्वचितच उत्तरे मिळतात.

बरं, आळशी होऊ नका. अतिरिक्त ओळ लिहिण्यासाठी सुमारे 30 सेकंद लागतील. आणि त्रुटींची संख्या झपाट्याने कमी होईल. म्हणून आम्ही सर्व कंस आणि चिन्हांसह तपशीलवार लिहितो:

इतक्या काळजीपूर्वक लिहिणे आश्चर्यकारकपणे कठीण वाटते. पण ते फक्त असे दिसते. एकदा प्रयत्न कर. बरं, किंवा निवडा. काय चांगले आहे, जलद किंवा योग्य? शिवाय, मी तुला आनंदी करीन. काही काळानंतर, सर्वकाही इतक्या काळजीपूर्वक लिहिण्याची गरज नाही. ते स्वतःच कार्य करेल. विशेषत: आपण खाली वर्णन केलेल्या व्यावहारिक तंत्रांचा वापर केल्यास. उणेंच्या गुच्छ असलेले हे वाईट उदाहरण सहजपणे आणि त्रुटींशिवाय सोडवले जाऊ शकते!

परंतु, बर्‍याचदा, चतुर्भुज समीकरणे थोडी वेगळी दिसतात. उदाहरणार्थ, यासारखे:

तुम्ही ओळखले का?) होय! या अपूर्ण द्विघात समीकरणे.

अपूर्ण चतुर्भुज समीकरणे सोडवणे.

ते सामान्य सूत्र वापरून देखील सोडवले जाऊ शकतात. ते येथे काय समान आहेत हे आपल्याला योग्यरित्या समजून घेणे आवश्यक आहे. a, b आणि c.

आपण ते शोधून काढले आहे का? पहिल्या उदाहरणात a = 1; b = -4;ए c? ते तिथे अजिबात नाही! बरं हो, ते बरोबर आहे. गणितात याचा अर्थ असा होतो c = 0 ! इतकंच. त्याऐवजी फॉर्म्युलामध्ये शून्य बदला क,आणि आम्ही यशस्वी होऊ. दुसऱ्या उदाहरणासह तेच. फक्त आमच्याकडे इथे शून्य नाही सह, ए b !

परंतु अपूर्ण चतुर्भुज समीकरणे अधिक सोप्या पद्धतीने सोडवता येतात. कोणत्याही सूत्राशिवाय. पहिल्या अपूर्ण समीकरणाचा विचार करूया. आपण डाव्या बाजूला काय करू शकता? तुम्ही X ला कंसातून बाहेर काढू शकता! चला बाहेर काढूया.

आणि यातून काय? आणि वस्तुस्थिती ही आहे की उत्पादन शून्य असेल तरच आणि जर कोणतेही घटक शून्य असेल तरच! माझ्यावर विश्वास नाही? ठीक आहे, मग दोन शून्य नसलेल्या संख्यांसह या, ज्याचा गुणाकार केल्यावर शून्य मिळेल!
काम करत नाही? बस एवढेच...
म्हणून, आम्ही आत्मविश्वासाने लिहू शकतो: x 1 = 0, x 2 = 4.

सर्व. ही आपल्या समीकरणाची मुळे असतील. दोन्ही योग्य आहेत. त्यापैकी कोणतेही मूळ समीकरणात बदलताना, आम्हाला योग्य ओळख 0 = 0 मिळते. तुम्ही बघू शकता, सामान्य सूत्र वापरण्यापेक्षा उपाय खूपच सोपे आहे. मला लक्षात घ्या की, कोणता X पहिला असेल आणि कोणता दुसरा असेल - पूर्णपणे उदासीन. क्रमाने लिहिणे सोयीचे आहे, x १- काय लहान आहे आणि x २- जे मोठे आहे.

दुसरे समीकरणही सोप्या पद्धतीने सोडवता येते. 9 उजवीकडे हलवा. आम्हाला मिळते:

फक्त 9 मधून रूट काढणे बाकी आहे आणि तेच आहे. हे बाहेर चालू होईल:

तसेच दोन मुळे . x 1 = -3, x 2 = 3.

सर्व अपूर्ण चतुर्भुज समीकरणे अशा प्रकारे सोडवली जातात. एकतर X ला कंसाच्या बाहेर ठेवून, किंवा फक्त संख्या उजवीकडे हलवून आणि नंतर रूट काढणे.
या तंत्रांमध्ये गोंधळ घालणे अत्यंत कठीण आहे. फक्त कारण पहिल्या प्रकरणात तुम्हाला X चे मूळ काढावे लागेल, जे काहीसे समजण्यासारखे नाही आणि दुसऱ्या प्रकरणात कंसातून बाहेर काढण्यासारखे काहीही नाही...

भेदभाव करणारा. भेदभावाचे सूत्र.

जादूचा शब्द भेदभाव करणारा ! क्वचित हायस्कूलच्या विद्यार्थ्याने हा शब्द ऐकला नसेल! "आम्ही भेदभावातून निराकरण करतो" हे वाक्य आत्मविश्वास आणि आश्वासनाला प्रेरणा देते. कारण भेदभाव करणाऱ्यांकडून युक्तीची अपेक्षा करण्याची गरज नाही! हे वापरण्यास सोपे आणि त्रासमुक्त आहे.) मी तुम्हाला सोडवण्याच्या सर्वात सामान्य सूत्राची आठवण करून देतो कोणतेहीचतुर्भुज समीकरणे:

मूळ चिन्हाच्या खाली असलेल्या अभिव्यक्तीला भेदभाव म्हणतात. सामान्यतः भेदभाव पत्राद्वारे दर्शविला जातो डी. भेदभावपूर्ण सूत्र:

D = b 2 - 4ac

आणि या अभिव्यक्तीबद्दल इतके उल्लेखनीय काय आहे? ते एक विशेष नाव का पात्र होते? काय भेदभावाचा अर्थ?शेवटी -ब,किंवा 2अया सूत्रात ते त्याला विशेषत: काहीही म्हणत नाहीत... अक्षरे आणि अक्षरे.

ही गोष्ट आहे. हे सूत्र वापरून द्विघात समीकरण सोडवताना ते शक्य आहे फक्त तीन प्रकरणे.

1. भेदभाव करणारा सकारात्मक असतो.म्हणजे त्यातून मूळ काढता येते. रूट चांगले किंवा खराब काढले आहे की नाही हा दुसरा प्रश्न आहे. तत्वतः काय काढले आहे ते महत्वाचे आहे. मग तुमच्या चतुर्भुज समीकरणाला दोन मुळे आहेत. दोन भिन्न उपाय.

2. भेदभाव शून्य आहे.मग तुमच्याकडे एक उपाय असेल. अंशामध्ये शून्याची बेरीज किंवा वजाबाकी केल्याने काहीही बदलत नाही. काटेकोरपणे बोलणे, हे एक मूळ नाही, परंतु दोन समान. परंतु, सरलीकृत आवृत्तीमध्ये, याबद्दल बोलण्याची प्रथा आहे एक उपाय.

3. भेदभाव नकारात्मक आहे.ऋण संख्येचे वर्गमूळ घेता येत नाही. बरं, ठीक आहे. याचा अर्थ कोणताही उपाय नाही.

खरे सांगायचे तर, फक्त चतुर्भुज समीकरणे सोडवताना, भेदभावाच्या संकल्पनेची खरोखर गरज नसते. आम्ही गुणांकांची मूल्ये सूत्र आणि मोजणीमध्ये बदलतो. तेथे सर्वकाही स्वतःच घडते, दोन मुळे, एक, आणि काहीही नाही. तथापि, अधिक जटिल कार्ये सोडवताना, ज्ञानाशिवाय भेदभावाचा अर्थ आणि सूत्रपुरेसे नाही विशेषत: पॅरामीटर्ससह समीकरणांमध्ये. अशी समीकरणे राज्य परीक्षा आणि युनिफाइड स्टेट एक्झामिनेशनसाठी एरोबॅटिक्स आहेत!)

तर, द्विघात समीकरणे कशी सोडवायचीभेदभावाच्या द्वारे आपण लक्षात ठेवले. किंवा तुम्ही शिकलात, जे वाईट देखील नाही.) तुम्हाला अचूकपणे कसे ठरवायचे हे माहित आहे a, b आणि c. तुम्हाला कसे माहित आहे? लक्षपूर्वकत्यांना रूट फॉर्म्युलामध्ये बदला आणि लक्षपूर्वकपरिणाम मोजा. तुम्हाला समजले आहे की येथे मुख्य शब्द आहे लक्षपूर्वक?

आता व्यावहारिक तंत्रे लक्षात घ्या ज्यामुळे त्रुटींची संख्या नाटकीयरित्या कमी होते. तेच जे दुर्लक्षामुळे होतात... ज्यासाठी ते नंतर वेदनादायक आणि आक्षेपार्ह बनतात...

पहिली भेट . चतुर्भुज समीकरण सोडवण्यापूर्वी आळशी होऊ नका आणि ते मानक स्वरूपात आणा. याचा अर्थ काय?
समजा की सर्व परिवर्तनानंतर तुम्हाला खालील समीकरण मिळेल:

मूळ सूत्र लिहिण्याची घाई करू नका! आपण जवळजवळ निश्चितपणे शक्यता मिश्रित कराल a, b आणि c.उदाहरण योग्यरित्या तयार करा. प्रथम, X वर्ग, नंतर वर्गाशिवाय, नंतर मुक्त पद. याप्रमाणे:

आणि पुन्हा, घाई करू नका! X स्क्वेअर समोर उणे तुम्हाला खरोखर अस्वस्थ करू शकते. विसरणे सोपे आहे... वजा दूर करा. कसे? होय, मागील विषयात शिकवल्याप्रमाणे! आपल्याला संपूर्ण समीकरण -1 ने गुणावे लागेल. आम्हाला मिळते:

पण आता तुम्ही मुळांसाठी फॉर्म्युला सुरक्षितपणे लिहू शकता, भेदभावाची गणना करू शकता आणि उदाहरण सोडवणे पूर्ण करू शकता. तुम्हीच ठरवा. आपल्याकडे आता मुळे 2 आणि -1 असणे आवश्यक आहे.

रिसेप्शन दुसरा. मुळे तपासा! व्हिएटाच्या प्रमेयानुसार. घाबरू नका, मी सर्वकाही समजावून सांगेन! तपासत आहे शेवटची गोष्टसमीकरण त्या. ज्याचा आपण रूट फॉर्म्युला लिहायचा. जर (या उदाहरणाप्रमाणे) गुणांक a = 1, मुळे तपासणे सोपे आहे. त्यांना गुणाकार करणे पुरेसे आहे. परिणाम एक विनामूल्य सदस्य असावा, म्हणजे. आमच्या बाबतीत -2. कृपया लक्षात ठेवा, 2 नव्हे तर -2! मोफत सदस्य आपल्या चिन्हासह . जर ते कार्य करत नसेल, तर याचा अर्थ ते आधीच कुठेतरी खराब झाले आहेत. त्रुटी शोधा.

ते कार्य करत असल्यास, आपल्याला मुळे जोडण्याची आवश्यकता आहे. शेवटची आणि अंतिम तपासणी. गुणांक असावा bसह विरुद्ध परिचित आमच्या बाबतीत -1+2 = +1. एक गुणांक b, जे X च्या आधी आहे, ते -1 च्या बरोबरीचे आहे. तर, सर्व काही बरोबर आहे!
हे खेदजनक आहे की हे केवळ उदाहरणांसाठी इतके सोपे आहे जेथे गुणांकासह x वर्ग शुद्ध आहे a = 1.पण निदान अशी समीकरणे तपासून पहा! कमी आणि कमी त्रुटी असतील.

रिसेप्शन तिसरे . तुमच्या समीकरणामध्ये अपूर्णांक गुणांक असल्यास, अपूर्णांकांपासून मुक्त व्हा! "समीकरणे कशी सोडवायची? ओळख परिवर्तन." अपूर्णांकांसह काम करताना, काही कारणास्तव चुका होत राहतात...

तसे, मी वाईट उदाहरणास वजावटीच्या गुच्छांसह सुलभ करण्याचे वचन दिले. कृपया! येथे तो आहे.

वजाबाकींमुळे गोंधळ होऊ नये म्हणून, आम्ही समीकरण -1 ने गुणाकार करतो. आम्हाला मिळते:

इतकंच! सोडवणे हा आनंद आहे!

तर, विषयाचा सारांश घेऊया.

व्यावहारिक टिप्स:

1. सोडवण्याआधी, आम्ही चतुर्भुज समीकरण मानक स्वरूपात आणतो आणि ते तयार करतो बरोबर.

2. X वर्गासमोर ऋण गुणांक असल्यास, आपण संपूर्ण समीकरण -1 ने गुणाकार करून ते काढून टाकतो.

3. जर गुणांक अपूर्णांक असतील, तर आम्ही संपूर्ण समीकरण संबंधित घटकाने गुणाकार करून अपूर्णांक काढून टाकतो.

4. जर x वर्ग शुद्ध असेल, त्याचा गुणांक एक असेल, तर व्हिएटाचे प्रमेय वापरून समाधान सहजपणे सत्यापित केले जाऊ शकते. करू!

आता आपण ठरवू शकतो.)

समीकरणे सोडवा:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

उत्तरे (अस्वस्थपणे):

x 1 = 0
x 2 = 5

x १.२ =2

x 1 = 2
x 2 = -0.5

x - कोणतीही संख्या

x 1 = -3
x 2 = 3

उपाय नाहीत

x 1 = 0.25
x 2 = 0.5

सर्व काही बसते का? छान! चतुर्भुज समीकरणे ही तुमची डोकेदुखी नाही. पहिले तीन काम केले, पण बाकीचे नाही? मग समस्या द्विघात समीकरणांची नाही. समस्या समीकरणांच्या समान परिवर्तनांमध्ये आहे. दुव्यावर एक नजर टाका, ते उपयुक्त आहे.

जोरदार काम करत नाही? किंवा ते अजिबात चालत नाही? मग कलम 555 तुम्हाला मदत करेल. ही सर्व उदाहरणे तिथे खंडित केली आहेत. दाखवले मुख्यउपाय मध्ये त्रुटी. अर्थात, आम्ही विविध समीकरणे सोडवण्यासाठी समान परिवर्तनाच्या वापराबद्दल देखील बोलतो. खूप मदत करते!

जर तुम्हाला ही साइट आवडली असेल तर...

तसे, माझ्याकडे तुमच्यासाठी आणखी काही मनोरंजक साइट्स आहेत.)

तुम्ही उदाहरणे सोडवण्याचा सराव करू शकता आणि तुमची पातळी शोधू शकता. त्वरित पडताळणीसह चाचणी. चला जाणून घेऊ - स्वारस्याने!)

आपण फंक्शन्स आणि डेरिव्हेटिव्ह्जसह परिचित होऊ शकता.