परिचय

गणना वेगवान आणि सोपी करण्यासाठी लॉगरिदमचा शोध लावला गेला. लॉगॅरिथमची कल्पना, म्हणजेच, समान बेसची शक्ती म्हणून संख्या व्यक्त करण्याची कल्पना मिखाईल स्टिफेलची आहे. परंतु स्टीफेलच्या वेळी, गणित इतके विकसित नव्हते आणि लॉगरिथमची कल्पना विकसित झाली नाही. स्कॉटिश शास्त्रज्ञ जॉन नेपियर (१५५०-१६१७) आणि स्विस जॉब्स्ट बुर्गी (१५५२-१६३२) यांनी लॉगरिदमचा शोध नंतर एकाच वेळी आणि स्वतंत्रपणे लावला. १६१४ मध्ये हे काम प्रकाशित करणारे नेपियर हे पहिले होते. "लोगॅरिथमच्या आश्चर्यकारक सारणीचे वर्णन" शीर्षकाचे, नेपियरचा लॉगरिदमचा सिद्धांत बर्‍यापैकी पूर्ण व्हॉल्यूममध्ये देण्यात आला होता, लॉगरिदम मोजण्याची पद्धत सर्वात सोप्या पद्धतीने दिली गेली होती, म्हणून लॉगरिदमच्या शोधात नेपियरचे गुण बुर्गीपेक्षा जास्त आहेत. बुर्गी यांनी नेपियर सारख्याच वेळी टेबलवर काम केले, परंतु त्यांना बर्याच काळासाठी गुप्त ठेवले आणि केवळ 1620 मध्ये प्रकाशित केले. नेपियरने 1594 च्या सुमारास लॉगॅरिथमची कल्पना मांडली. जरी टेबल 20 वर्षांनंतर प्रकाशित झाले. सुरुवातीला, त्याने त्याच्या लॉगरिथमला "कृत्रिम संख्या" म्हटले आणि त्यानंतरच त्याने या "कृत्रिम संख्या" ला एका शब्दात "लोगॅरिथम" म्हणण्याचा प्रस्ताव मांडला, जो ग्रीक भाषेत "सहसंबंधित संख्या" आहे, एक अंकगणितीय प्रगतीवरून घेतला, आणि दुसरा त्यासाठी खास निवडलेली भौमितिक प्रगती. प्रगती. रशियन भाषेतील पहिली सारणी 1703 मध्ये प्रकाशित झाली. 18 व्या शतकातील उल्लेखनीय शिक्षकाच्या सहभागासह. एल.एफ. मॅग्निटस्की. लॉगरिथमच्या सिद्धांताच्या विकासामध्ये, सेंट पीटर्सबर्गचे शिक्षणतज्ज्ञ लिओनार्ड यूलर यांचे कार्य खूप महत्वाचे होते. लॉगरिदमला घातांकाचा व्यस्त मानणारे ते पहिले होते, त्यांनी "लोगॅरिथमचा आधार" आणि "मँटिसा" ब्रिग्जने बेस 10 सह लॉगरिदमचे संकलित सारणी या संज्ञा सादर केल्या. दशांश सारण्या व्यावहारिक वापरासाठी अधिक सोयीस्कर आहेत, त्यांचा सिद्धांत सोपा आहे. नेपियरच्या लॉगरिदमचा. म्हणून, दशांश लॉगरिदमला कधीकधी ब्रिग्स म्हणतात. "वैशिष्ट्यपूर्ण" हा शब्द ब्रिग्जने आणला होता.

त्या दूरच्या काळात, जेव्हा ज्ञानी लोकांनी प्रथम अज्ञात प्रमाण असलेल्या समानतेबद्दल विचार करायला सुरुवात केली, तेव्हा कदाचित अद्याप कोणतीही नाणी किंवा पाकीट नव्हते. परंतु दुसरीकडे, तेथे ढीग, तसेच भांडी, बास्केट होते, जे अज्ञात वस्तू असलेल्या कॅशे-स्टोअरच्या भूमिकेसाठी योग्य होते. मेसोपोटेमिया, भारत, चीन, ग्रीसच्या प्राचीन गणितीय समस्यांमध्ये, अज्ञात प्रमाणांनी बागेतील मोरांची संख्या, कळपातील बैलांची संख्या, मालमत्तेचे विभाजन करताना विचारात घेतलेल्या गोष्टींची संपूर्णता व्यक्त केली. शास्त्रकार, अधिकारी आणि पुरोहितांनी गुप्त ज्ञानाची सुरुवात केली, मोजणीच्या शास्त्रात चांगले प्रशिक्षित, अशा कार्यांचा यशस्वीपणे सामना केला.

आमच्याकडे आलेले स्त्रोत सूचित करतात की प्राचीन शास्त्रज्ञांकडे अज्ञात प्रमाणांसह समस्या सोडवण्याच्या काही सामान्य पद्धती होत्या. तथापि, एकही पॅपिरस नाही, एकही मातीची गोळी या तंत्रांचे वर्णन देत नाही. लेखकांनी अधूनमधून त्यांची संख्यात्मक गणना क्षुल्लक टिप्पण्यांसह पुरवली: "बघा!", "ते करा!", "तुम्हाला ते बरोबर वाटले." या अर्थाने, अपवाद म्हणजे अलेक्झांड्रिया (तिसरे शतक) च्या ग्रीक गणितज्ञ डायओफंटसचे "अंकगणित" - त्यांच्या निराकरणाच्या पद्धतशीर सादरीकरणासह समीकरणांचे संकलन करण्यासाठी समस्यांचा संग्रह.

तथापि, 9व्या शतकातील बगदाद विद्वानांचे कार्य व्यापकपणे प्रसिद्ध झालेल्या समस्यांचे निराकरण करण्यासाठीचे पहिले मॅन्युअल बनले. मुहम्मद बिन मुसा अल-ख्वारीझमी. या ग्रंथाच्या अरबी शीर्षकातील "अल-जबर" हा शब्द - "किताब अल-जबेर वाल-मुकाबला" ("पुनर्स्थापना आणि विरोधाभासाचे पुस्तक") - कालांतराने "बीजगणित" या शब्दात बदलला, जो सर्वांना परिचित आहे, आणि अल-ख्वारीझमीच्या कार्यानेच समीकरणे सोडवण्याच्या विज्ञानाच्या विकासाचा प्रारंभ बिंदू म्हणून काम केले.

लॉगरिदमिक समीकरणे आणि असमानता

1. लॉगरिदमिक समीकरणे

लॉगरिदमच्या चिन्हाखाली किंवा त्याच्या पायावर अज्ञात असलेल्या समीकरणाला लॉगरिदमिक समीकरण म्हणतात.

सर्वात सोपा लॉगरिदमिक समीकरण हे फॉर्मचे समीकरण आहे

लॉग a x = b . (1)

विधान 1. जर a > 0, a≠ 1, समीकरण (1) कोणत्याही वास्तविक साठी bएकमेव उपाय आहे x = a b .

उदाहरण 1. समीकरणे सोडवा:

अ) लॉग २ x= 3, ब) लॉग 3 x= -1, c)

उपाय. विधान 1 वापरून, आम्ही प्राप्त करतो a) x= 2 3 किंवा x= 8; ब) x= 3 -1 किंवा x= 1/3; c)

किंवा x = 1.

आम्ही लॉगरिथमचे मुख्य गुणधर्म सादर करतो.

P1. मूलभूत लॉगरिदमिक ओळख:

कुठे a > 0, a≠ 1 आणि b > 0.

P2. सकारात्मक घटकांच्या उत्पादनाचे लॉगरिदम या घटकांच्या लॉगरिदमच्या बेरजेइतके आहे:

लॉग a एनएक · एन 2 = लॉग a एन 1 + लॉग a एन 2 (a > 0, a ≠ 1, एन 1 > 0, एन 2 > 0).

टिप्पणी. जर ए एनएक · एन 2 > 0, नंतर प्रॉपर्टी P2 फॉर्म घेते

लॉग a एनएक · एन 2 = लॉग a |एन 1 | +लॉग a |एन 2 | (a > 0, a ≠ 1, एनएक · एन 2 > 0).

P3. दोन धनात्मक संख्यांच्या भागफलाचा लॉगरिदम हा लाभांश आणि विभाजक यांच्या लॉगरिदममधील फरकाइतका असतो.

(a > 0, a ≠ 1, एन 1 > 0, एन 2 > 0).

टिप्पणी. जर ए

, (जे समतुल्य आहे एन 1 एन 2 > 0) नंतर प्रॉपर्टी P3 फॉर्म घेते (a > 0, a ≠ 1, एन 1 एन 2 > 0).

P4. धनात्मक संख्येच्या घाताचा लॉगरिदम घातांकाच्या गुणाकार आणि या संख्येच्या लॉगरिदमच्या बरोबरीचा असतो:

लॉग a एन k = kलॉग a एन (a > 0, a ≠ 1, एन > 0).

टिप्पणी. जर ए k- सम संख्या ( k = 2s), नंतर

लॉग a एन 2s = 2sलॉग a |एन | (a > 0, a ≠ 1, एन ≠ 0).

P5. दुसर्या बेसवर जाण्याचे सूत्र आहे:

(a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1, एन > 0),

विशेषतः जर एन = b, आम्हाला मिळते

(a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1). (2)

P4 आणि P5 गुणधर्म वापरून, खालील गुणधर्म मिळवणे सोपे आहे

(a > 0, a ≠ 1, b > 0, c ≠ 0), (3) (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c ≠ 0), (4) (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c ≠ 0), (5)

आणि जर (5) मध्ये c- सम संख्या ( c = 2n), उद्भवते

(b > 0, a ≠ 0, |a | ≠ 1). (6)

आम्ही लॉगरिदमिक फंक्शनचे मुख्य गुणधर्म सूचीबद्ध करतो f (x) = लॉग a x :

1. लॉगरिदमिक फंक्शनचे डोमेन म्हणजे धन संख्यांचा संच.

2. लॉगरिदमिक फंक्शनच्या मूल्यांची श्रेणी वास्तविक संख्यांचा संच आहे.

3. केव्हा a> 1 लॉगरिदमिक फंक्शन काटेकोरपणे वाढत आहे (0< x 1 < x 2 लॉग a x 1 < loga x 2), आणि 0 वर< a < 1, - строго убывает (0 < x 1 < x 2 लॉग a x 1 > लॉग a x 2).

4 लॉग a 1 = 0 आणि लॉग a a = 1 (a > 0, a ≠ 1).

5. जर a> 1, तर लॉगरिदमिक फंक्शन साठी ऋण आहे x(0;1) आणि साठी सकारात्मक आहे x(1;+∞), आणि जर 0< a < 1, то логарифмическая функция положительна при x (0;1) आणि साठी ऋण आहे x (1;+∞).

6. जर a> 1, तर लॉगरिदमिक फंक्शन वरच्या दिशेने बहिर्वक्र आहे आणि जर a(0;1) - उत्तल खाली.

खालील विधाने (उदाहरणार्थ, पहा ) लॉगरिदमिक समीकरणे सोडवण्यासाठी वापरली जातात.

तुमची गोपनीयता आमच्यासाठी महत्त्वाची आहे. या कारणास्तव, आम्ही एक गोपनीयता धोरण विकसित केले आहे जे आम्ही तुमची माहिती कशी वापरतो आणि संचयित करतो याचे वर्णन करते. कृपया आमचे गोपनीयता धोरण वाचा आणि तुम्हाला काही प्रश्न असल्यास आम्हाला कळवा.

वैयक्तिक माहितीचे संकलन आणि वापर

वैयक्तिक माहिती डेटाचा संदर्भ देते ज्याचा वापर एखाद्या विशिष्ट व्यक्तीला ओळखण्यासाठी किंवा त्याच्याशी संपर्क साधण्यासाठी केला जाऊ शकतो.

तुम्ही आमच्याशी संपर्क साधता तेव्हा तुम्हाला तुमची वैयक्तिक माहिती देण्यास सांगितले जाऊ शकते.

आम्ही कोणत्या प्रकारची वैयक्तिक माहिती गोळा करू शकतो आणि आम्ही अशी माहिती कशी वापरू शकतो याची काही उदाहरणे खाली दिली आहेत.

आम्ही कोणती वैयक्तिक माहिती गोळा करतो:

• तुम्ही साइटवर अर्ज सबमिट करता तेव्हा, आम्ही तुमचे नाव, फोन नंबर, ईमेल पत्ता इत्यादीसह विविध माहिती गोळा करू शकतो.

आम्ही तुमची वैयक्तिक माहिती कशी वापरतो:

• आम्ही संकलित केलेली वैयक्तिक माहिती आम्हाला तुमच्याशी संपर्क साधण्याची आणि तुम्हाला अनन्य ऑफर, जाहिराती आणि इतर कार्यक्रम आणि आगामी कार्यक्रमांबद्दल माहिती देण्याची अनुमती देते.
• वेळोवेळी, आम्ही तुम्हाला महत्त्वाच्या सूचना आणि संप्रेषणे पाठवण्यासाठी तुमची वैयक्तिक माहिती वापरू शकतो.
• आम्‍ही प्रदान करत असल्‍या सेवा सुधारण्‍यासाठी आणि तुम्‍हाला आमच्या सेवांसंबंधी शिफारशी प्रदान करण्‍यासाठी ऑडिट, डेटा विश्‍लेषण आणि विविध संशोधन करण्‍यासाठी आम्‍ही अंतर्गत उद्देशांसाठी वैयक्तिक माहिती देखील वापरू शकतो.
• तुम्ही बक्षीस सोडत, स्पर्धा किंवा तत्सम प्रोत्साहन प्रविष्ट केल्यास, आम्ही अशा कार्यक्रमांचे व्यवस्थापन करण्यासाठी तुम्ही प्रदान केलेली माहिती वापरू शकतो.

तृतीय पक्षांना प्रकटीकरण

तुमच्याकडून मिळालेली माहिती आम्ही तृतीय पक्षांना उघड करत नाही.

अपवाद:

• आवश्यक असल्यास - कायद्यानुसार, न्यायालयीन आदेशानुसार, कायदेशीर कार्यवाहीमध्ये आणि / किंवा सार्वजनिक विनंत्या किंवा रशियन फेडरेशनच्या प्रदेशातील राज्य संस्थांच्या विनंत्यांवर आधारित - आपली वैयक्तिक माहिती उघड करा. सुरक्षा, कायद्याची अंमलबजावणी किंवा इतर सार्वजनिक हिताच्या कारणांसाठी असे प्रकटीकरण आवश्यक किंवा योग्य आहे असे आम्ही निर्धारित केल्यास आम्ही तुमच्याबद्दलची माहिती देखील उघड करू शकतो.
• पुनर्रचना, विलीनीकरण किंवा विक्री झाल्यास, आम्ही संकलित केलेली वैयक्तिक माहिती संबंधित तृतीय पक्ष उत्तराधिकारीकडे हस्तांतरित करू शकतो.

वैयक्तिक माहितीचे संरक्षण

तुमच्या वैयक्तिक माहितीचे नुकसान, चोरी आणि गैरवापर, तसेच अनधिकृत प्रवेश, प्रकटीकरण, बदल आणि विनाश यापासून संरक्षण करण्यासाठी आम्ही - प्रशासकीय, तांत्रिक आणि भौतिक यासह - खबरदारी घेतो.

कंपनी स्तरावर तुमची गोपनीयता राखणे

तुमची वैयक्तिक माहिती सुरक्षित आहे याची खात्री करण्यासाठी, आम्ही आमच्या कर्मचार्‍यांना गोपनीयता आणि सुरक्षा पद्धती संप्रेषण करतो आणि गोपनीयता पद्धतींची काटेकोरपणे अंमलबजावणी करतो.

लॉगरिदमिक असमानता

मागील धड्यांमध्ये, आम्ही लॉगरिदमिक समीकरणांशी परिचित झालो आणि आता ते काय आहेत आणि ते कसे सोडवायचे हे आम्हाला माहित आहे. आणि आजचा धडा लॉगरिदमिक असमानतेच्या अभ्यासासाठी समर्पित असेल. या असमानता काय आहेत आणि लॉगरिदमिक समीकरण आणि असमानता सोडवणे यात काय फरक आहे?

लॉगरिदमिक असमानता ही असमानता आहे ज्यात लॉगरिदमच्या चिन्हाखाली किंवा त्याच्या पायावर एक चल असते.

किंवा, कोणी असेही म्हणू शकतो की लॉगरिदमिक असमानता ही एक असमानता आहे ज्यामध्ये लॉगरिदमिक समीकरणाप्रमाणे त्याचे अज्ञात मूल्य लॉगरिदमच्या चिन्हाखाली असेल.

सर्वात सोपी लॉगरिदमिक असमानता यासारखी दिसते:

जेथे f(x) आणि g(x) काही अभिव्यक्ती आहेत जे x वर अवलंबून असतात.

हे खालील उदाहरण वापरून पाहू: f(x)=1+2x+x2, g(x)=3x−1.

लॉगरिदमिक असमानता सोडवणे

लॉगरिदमिक असमानता सोडवण्याआधी, हे लक्षात घेण्यासारखे आहे की जेव्हा त्यांचे निराकरण केले जाते तेव्हा ते घातांकीय असमानतेसारखेच असतात, म्हणजे:

प्रथम, लॉगरिथमच्या चिन्हाखालील अभिव्यक्तींमधून लॉगरिदमकडे जाताना, आपल्याला लॉगरिदमच्या पायाशी तुलना करणे देखील आवश्यक आहे;

दुसरे म्हणजे, व्हेरिएबल्सच्या बदलाचा वापर करून लॉगरिदमिक असमानता सोडवताना, आम्हाला सर्वात सोपी असमानता मिळेपर्यंत बदलाच्या संदर्भात असमानता सोडवणे आवश्यक आहे.

परंतु आम्हीच लॉगरिदमिक असमानता सोडवण्याच्या समान क्षणांचा विचार केला. आता एक लक्षणीय फरक पाहू. तुम्हाला आणि मला माहित आहे की लॉगॅरिथमिक फंक्शनचे परिभाषेचे मर्यादित डोमेन आहे, म्हणून लॉगरिदमच्या चिन्हाखालील अभिव्यक्तींमध्ये लॉगरिदममधून जाताना, तुम्हाला स्वीकार्य मूल्यांची श्रेणी (ODV) विचारात घेणे आवश्यक आहे.

म्हणजेच, हे लक्षात घेतले पाहिजे की लॉगरिदमिक समीकरण सोडवताना, आपण प्रथम समीकरणाची मुळे शोधू शकतो, आणि नंतर हे समाधान तपासू शकतो. परंतु लॉगरिदमिक असमानता सोडवणे अशा प्रकारे कार्य करणार नाही, कारण लॉगरिदमच्या चिन्हाखालील अभिव्यक्तीमधून लॉगरिदमकडे जाताना, असमानतेचे ODZ लिहून ठेवणे आवश्यक असेल.

याव्यतिरिक्त, हे लक्षात ठेवण्यासारखे आहे की असमानतेच्या सिद्धांतामध्ये वास्तविक संख्या असतात, ज्या सकारात्मक आणि ऋण संख्या असतात, तसेच संख्या 0 असतात.

उदाहरणार्थ, जेव्हा संख्या "a" धनात्मक असेल, तेव्हा खालील नोटेशन वापरणे आवश्यक आहे: a > 0. या प्रकरणात, अशा संख्यांची बेरीज आणि गुणाकार दोन्ही देखील सकारात्मक असतील.

असमानता सोडवण्याचे मूळ तत्व म्हणजे त्यास सोप्या असमानतेने पुनर्स्थित करणे, परंतु मुख्य गोष्ट म्हणजे ती दिलेल्या असमानतेशी समतुल्य असणे. पुढे, आम्ही एक असमानता देखील प्राप्त केली आणि ती पुन्हा एक सोपी फॉर्म असलेल्या एकाने बदलली, आणि असेच.

व्हेरिएबलसह असमानता सोडवणे, आपल्याला त्याचे सर्व उपाय शोधणे आवश्यक आहे. जर दोन असमानतांमध्ये समान व्हेरिएबल x असेल, तर अशा असमानता समतुल्य असतात, बशर्ते त्यांचे निराकरण समान असेल.

लॉगरिदमिक असमानता सोडवण्याची कार्ये करताना, हे लक्षात ठेवणे आवश्यक आहे की जेव्हा a > 1 असेल तेव्हा लॉगरिदमिक फंक्शन वाढते आणि जेव्हा 0< a < 1, то такая функция имеет свойство убывать. Эти свойства вам будут необходимы при решении логарифмических неравенств, поэтому вы их должны хорошо знать и помнить.

लॉगरिदमिक असमानता सोडवण्याचे मार्ग

आता लॉगरिदमिक असमानता सोडवताना कोणत्या पद्धती होतात ते पाहू. अधिक चांगल्या प्रकारे समजून घेण्यासाठी आणि आत्मसात करण्यासाठी, आम्ही विशिष्ट उदाहरणे वापरून त्यांना समजून घेण्याचा प्रयत्न करू.

आम्हाला माहित आहे की सर्वात सोपी लॉगरिदमिक असमानतेचे खालील स्वरूप आहे:

या असमानतेमध्ये, V - हे असमानतेच्या लक्षणांपैकी एक आहे जसे की:<,>, ≤ किंवा ≥.

जेव्हा या लॉगरिथमचा आधार एक (a>1) पेक्षा मोठा असतो, तेव्हा लॉगरिथमच्या चिन्हाखाली लॉगरिदममधून अभिव्यक्तींमध्ये संक्रमण होते, तेव्हा या आवृत्तीमध्ये असमानता चिन्ह जतन केले जाते आणि असमानता असे दिसेल:

जे खालील प्रणालीशी समतुल्य आहे:

जेव्हा लॉगरिदमचा आधार शून्यापेक्षा मोठा आणि एक (0.) पेक्षा कमी असेल तेव्हा

हे या प्रणालीशी समतुल्य आहे:

खालील चित्रात दाखविलेल्या सर्वात सोप्या लॉगरिदमिक असमानता सोडवण्याची आणखी उदाहरणे पाहू.

उदाहरणांचे निराकरण

व्यायाम करा.ही असमानता दूर करण्याचा प्रयत्न करूया:

स्वीकार्य मूल्यांच्या क्षेत्राचा निर्णय.

आता त्याच्या उजव्या बाजूने गुणाकार करण्याचा प्रयत्न करूया:

आपण काय करू शकतो ते पाहूया:

आता, सबलॉगॅरिथमिक अभिव्यक्तींच्या परिवर्तनाकडे वळू. लॉगरिदमचा आधार 0 असल्याने< 1/4 <1, то от сюда следует, что знак неравенства изменится на противоположный:

3x - 8 > 16;
3x > 24;
x > 8.

आणि यावरून असे दिसून येते की आम्हाला मिळालेला मध्यांतर पूर्णपणे ODZ चा आहे आणि अशा असमानतेवर उपाय आहे.

आम्हाला मिळालेले उत्तर येथे आहे:

लॉगरिदमिक असमानता सोडवण्यासाठी काय आवश्यक आहे?

आता लॉगरिदमिक असमानता यशस्वीरित्या सोडवण्यासाठी आपल्याला काय आवश्यक आहे याचे विश्लेषण करण्याचा प्रयत्न करूया?

प्रथम, आपले सर्व लक्ष केंद्रित करा आणि या असमानतेमध्ये दिलेले परिवर्तन करताना चुका न करण्याचा प्रयत्न करा. तसेच, हे लक्षात ठेवले पाहिजे की अशा असमानता सोडवताना, ओडीझेड असमानतेचा विस्तार आणि संकुचितता रोखणे आवश्यक आहे, ज्यामुळे बाह्य समाधानांचे नुकसान किंवा संपादन होऊ शकते.

दुसरे म्हणजे, लॉगरिदमिक असमानता सोडवताना, तुम्हाला तार्किकदृष्ट्या विचार करणे आणि असमानतेची प्रणाली आणि असमानतेचा संच यासारख्या संकल्पनांमधील फरक समजून घेणे शिकणे आवश्यक आहे, जेणेकरुन तुम्ही त्याच्या DHS द्वारे मार्गदर्शन करताना असमानतेवर उपाय सहजपणे निवडू शकता.

तिसरे म्हणजे, अशा असमानता यशस्वीपणे सोडवण्यासाठी, तुमच्यापैकी प्रत्येकाला प्राथमिक कार्यांचे सर्व गुणधर्म उत्तम प्रकारे माहित असणे आवश्यक आहे आणि त्यांचा अर्थ स्पष्टपणे समजून घेणे आवश्यक आहे. अशा फंक्शन्समध्ये केवळ लॉगरिदमिकच नाही तर तर्कसंगत, पॉवर, त्रिकोणमितीय इत्यादींचाही समावेश होतो, एका शब्दात, आपण शालेय बीजगणित दरम्यान अभ्यास केलेले सर्व.

तुम्ही बघू शकता की, लॉगरिदमिक असमानता या विषयाचा अभ्यास केल्यावर, या असमानता सोडवण्यात काहीही अवघड नाही, जर तुम्ही तुमचे ध्येय साध्य करण्यासाठी लक्षपूर्वक आणि चिकाटीने काम करत असाल. असमानता सोडवण्यात कोणतीही अडचण येऊ नये म्हणून, आपल्याला शक्य तितके प्रशिक्षण देणे आवश्यक आहे, विविध कार्ये सोडवणे आणि त्याच वेळी अशा असमानता आणि त्यांच्या प्रणालींचे निराकरण करण्याचे मुख्य मार्ग लक्षात ठेवणे आवश्यक आहे. लॉगरिदमिक असमानतेच्या अयशस्वी उपायांसह, आपण आपल्या चुकांचे काळजीपूर्वक विश्लेषण केले पाहिजे जेणेकरुन आपण भविष्यात त्यांच्याकडे परत येऊ नये.

गृहपाठ

विषयाचे अधिक चांगले आत्मसात करण्यासाठी आणि कव्हर केलेल्या सामग्रीचे एकत्रीकरण करण्यासाठी, खालील असमानता सोडवा:

त्यांच्यासह लॉगरिदमच्या आत आहेत.

उदाहरणे:

\(\log_3⁡x≥\log_3⁡9\)
\(\log_3⁡ ((x^2-3))< \log_3⁡{(2x)}\)
\(\log_(x+1)⁡((x^2+3x-7))>2\)
\(\lg^2⁡((x+1))+10≤11 \lg⁡((x+1))\)

लॉगरिदमिक असमानता कशी सोडवायची:

कोणतीही लॉगॅरिदमिक असमानता \(\log_a⁡(f(x)) ˅ \log_a(⁡g(x))\) (प्रतीक \(˅\) म्हणजे पैकी कोणतेही) फॉर्ममध्ये कमी केली पाहिजे. हा फॉर्म आपल्याला लॉगरिदम अंतर्गत अभिव्यक्तींच्या असमानतेकडे, म्हणजेच \(f(x) ˅ g(x)\) फॉर्ममध्ये पास करून लॉगरिदम आणि त्यांच्या बेसपासून मुक्त होऊ देतो.

परंतु हे संक्रमण करताना, एक अतिशय महत्त्वाची सूक्ष्मता आहे:
\(-\) जर - एक संख्या असेल आणि ती 1 पेक्षा मोठी असेल - असमानता चिन्ह संक्रमणादरम्यान समान राहते,
\(-\) जर आधार 0 पेक्षा जास्त परंतु 1 पेक्षा कमी असेल (शून्य आणि एक दरम्यान), तर असमानता चिन्ह उलट करणे आवश्यक आहे, उदा.

उदाहरणे:

\(\log_2⁡((8-x))<1\) ODZ: \(8-x>0\) \(-x>-8\) \(x<8\) उपाय: \(\लॉग\)\(_2\) \((8-x)<\log\)\(_2\) \({2}\) \(8-x\)\(<\) \(2\) \(8-2\(x>६\) उत्तर: \((6;8)\)

\(\log\)\(_(0.5⁡)\) \((2x-4)\)≥\(\log\)\(_(0.5)\) ⁡\(((x+ एक))\) ODZ: \(\begin(cases)2x-4>0\\x+1 > 0\end(केसेस)\) \(\begin(cases)2x>4\\x > -1\end(cases)\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)x>2\\x > -1\end(केसेस) \) \(\Leftrightarrow\) \(x\in(2;\infty)\) उपाय: \(2x-4\)\(≤\)\(x+1\) \(2x-x≤4+1\) \(x≤5\) उत्तर: \((2;5]\)

फार महत्वाचे!कोणत्याही असमानतेमध्ये, फॉर्म \(\log_a(⁡f(x)) ˅ \log_a⁡(g(x))\) पासून लॉगरिदम अंतर्गत अभिव्यक्तींची तुलना करण्यासाठी संक्रमण केवळ तेव्हाच केले जाऊ शकते जेव्हा:

उदाहरण . असमानता सोडवा: \(\log\)\(≤-1\)

उपाय:

\(\लॉग\) \(_(\frac(1)(3))⁡(\frac(3x-2)(2x-3))\)\(≤-1\)	चला ODZ लिहू.
ODZ: \(\frac(3x-2)(2x-3)\) \(>0\)
\(⁡\frac(3x-2-3(2x-3))(2x-3)\)\(≥\) \(0\)	आम्ही कंस उघडतो, देतो.
\(⁡\frac(-3x+7)(2x-3)\) \(≥\) \(0\)	आम्ही असमानता \(-1\ ने गुणाकार करतो), तुलना चिन्ह उलटे लक्षात ठेवून.
\(⁡\frac(3x-7)(2x-3)\) \(≤\) \(0\)
\(⁡\frac(3(x-\frac(7)(3)))(2(x-\frac(3)(2)))\)\(≤\) \(0\)	चला संख्यारेषा तयार करू आणि त्यावर \(\frac(7)(3)\) आणि \(\frac(3)(2)\) बिंदू चिन्हांकित करू. लक्षात घ्या की असमानता कठोर नसतानाही, भाजकातील बिंदू पंक्चर झाला आहे. वस्तुस्थिती अशी आहे की हा मुद्दा उपाय होणार नाही, कारण जेव्हा असमानतेची जागा घेतली जाते तेव्हा ती आपल्याला शून्याने विभागणीकडे नेईल.
\(x∈(\)\(\frac(3)(2)\) \(;\)\(\frac(7)(3)]\)	आता आम्ही त्याच संख्यात्मक अक्षावर ODZ प्लॉट करतो आणि प्रतिसादात ODZ मध्ये येणारा मध्यांतर लिहितो.
	अंतिम उत्तर लिहा.

उत्तर: \(x∈(\)\(\frac(3)(2)\) \(;\)\(\frac(7)(3)]\)

उदाहरण . असमानता सोडवा: \(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)

उपाय:

\(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)	चला ODZ लिहू.
ODZ: \(x>0\)	चला निर्णयावर जाऊया.
उपाय: \(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)	आमच्यासमोर एक सामान्य चौरस-लोगॅरिदमिक असमानता आहे. आम्ही करू.
\(t=\log_3⁡x\) \(t^2-t-2>0\)	मध्ये विषमतेची डावी बाजू विस्तृत करा.
\(D=1+8=9\) \(t_1= \frac(1+3)(2)=2\) \(t_2=\frac(1-3)(2)=-1\) \(t+1)(t-2)>0\)
	आता तुम्हाला मूळ व्हेरिएबल - x वर परत जाणे आवश्यक आहे. हे करण्यासाठी, आम्ही कडे जातो, ज्यामध्ये समान समाधान आहे आणि उलट बदली बनवतो.
\(\left[ \begin(एकत्रित) t>2 \\ t<-1 \end{gathered} \right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left[ \begin{gathered} \log_3⁡x>2 \\ \log_3⁡x<-1 \end{gathered} \right.\)	रूपांतर \(2=\log_3⁡9\), \(-1=\log_3⁡\frac(1)(3)\.
\(\left[ \begin(एकत्र केलेले) \log_3⁡x>\log_39 \\ \log_3⁡x<\log_3\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\)	चला वितर्कांची तुलना करूया. लॉगरिदमचे आधार \(1\) पेक्षा मोठे आहेत, त्यामुळे असमानतेचे चिन्ह बदलत नाही.
\(\left[ \begin(एकत्रित) x>9 \\ x<\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\)	चला असमानता आणि ODZ चे समाधान एका आकृतीत एकत्र करू.
	चला उत्तर लिहूया.

उत्तर: \(0; \frac(1)(3))∪(9;∞)\)

वापरातील लॉगरिदमिक असमानता

सेचिन मिखाईल अलेक्झांड्रोविच

कझाकस्तान प्रजासत्ताक "साधक" च्या विद्यार्थ्यांसाठी लहान विज्ञान अकादमी

MBOU "सोव्हिएत माध्यमिक शाळा क्रमांक 1", ग्रेड 11, शहर. सोव्हिएतस्की सोव्हिएत जिल्हा

गुंको ल्युडमिला दिमित्रीव्हना, एमबीओयू "सोव्हिएत माध्यमिक शाळा क्रमांक 1" ची शिक्षिका

सोव्हिएत्स्की जिल्हा

उद्दिष्ट:लॉगरिदम बद्दल मनोरंजक तथ्ये उघड करून गैर-मानक पद्धती वापरून C3 लॉगरिदमिक असमानता सोडवण्याच्या यंत्रणेचा अभ्यास.

अभ्यासाचा विषय:

3) अ-मानक पद्धती वापरून विशिष्ट लॉगरिदमिक C3 असमानता सोडवायला शिका.

परिणाम:

सामग्री

परिचय ……………………………………………………………………………….4

धडा 1. पार्श्वभूमी……………………………………………………….५

धडा 2. लॉगरिदमिक असमानतेचे संकलन ……………………… 7

२.१. समतुल्य संक्रमणे आणि मध्यांतरांची सामान्यीकृत पद्धत…………… 7

२.२. तर्कशुद्धीकरण पद्धत ……………………………………………… १५

२.३. नॉन-स्टँडर्ड प्रतिस्थापन ……………………………………………………………………………………………………… ..... 22

२.४. सापळ्यांसह कार्ये ……………………………………………………… 27

निष्कर्ष……………………………………………………………………… ३०

साहित्य ………………………………………………………………. ३१

परिचय

मी 11 व्या वर्गात आहे आणि मी अशा विद्यापीठात प्रवेश करण्याची योजना आखत आहे जिथे गणित हा मुख्य विषय आहे. म्हणूनच मी भाग C च्या कार्यांसह खूप काम करतो. कार्य C3 मध्ये, आपल्याला मानक नसलेली असमानता किंवा असमानतेची प्रणाली सोडवणे आवश्यक आहे, सामान्यतः लॉगरिदमशी संबंधित. परीक्षेची तयारी करत असताना, C3 मध्ये ऑफर केलेल्या परीक्षा लॉगरिदमिक असमानता सोडवण्याच्या पद्धती आणि तंत्रांच्या अभावाची समस्या मला आली. या विषयावरील शालेय अभ्यासक्रमात ज्या पद्धतींचा अभ्यास केला जातो त्या C3 कार्ये सोडवण्यासाठी आधार देत नाहीत. गणिताच्या शिक्षिकेने सुचवले की मी त्यांच्या मार्गदर्शनाखाली C3 कार्ये स्वतःहून काम करू. याव्यतिरिक्त, मला या प्रश्नात रस होता: आपल्या जीवनात लॉगरिदम आहेत का?

हे लक्षात घेऊन, थीम निवडली गेली:

"परीक्षेतील लॉगरिदमिक असमानता"

उद्दिष्ट:लॉगरिदम बद्दल मनोरंजक तथ्ये उघड करून गैर-मानक पद्धती वापरून C3 समस्या सोडवण्याच्या यंत्रणेचा अभ्यास.

अभ्यासाचा विषय:

1) लॉगरिदमिक असमानता सोडवण्यासाठी मानक नसलेल्या पद्धतींबद्दल आवश्यक माहिती शोधा.

2) लॉगरिदमबद्दल अतिरिक्त माहिती शोधा.

3) नॉन-स्टँडर्ड पद्धती वापरून विशिष्ट C3 समस्या सोडवायला शिका.

परिणाम:

C3 समस्या सोडवण्यासाठी उपकरणाच्या विस्तारामध्ये व्यावहारिक महत्त्व आहे. ही सामग्री काही धड्यांमध्ये, मंडळे आयोजित करण्यासाठी, गणितातील वैकल्पिक वर्गांसाठी वापरली जाऊ शकते.

प्रकल्प उत्पादन "समाधानांसह लॉगरिदमिक C3 असमानता" संग्रह असेल.

धडा 1. पार्श्वभूमी

16 व्या शतकात, अंदाजे गणनांची संख्या झपाट्याने वाढली, प्रामुख्याने खगोलशास्त्रात. साधने सुधारणे, ग्रहांच्या हालचालींचा अभ्यास करणे आणि इतर कामांसाठी प्रचंड, कधीकधी अनेक वर्षे, गणना आवश्यक असते. खगोलशास्त्राला अपूर्ण गणनेत बुडण्याचा धोका होता. इतर क्षेत्रांमध्येही अडचणी निर्माण झाल्या, उदाहरणार्थ, विमा व्यवसायात, विविध टक्के मूल्यांसाठी चक्रवाढ व्याजाची सारणी आवश्यक होती. मुख्य अडचण म्हणजे गुणाकार, बहु-अंकी संख्यांचे विभाजन, विशेषत: त्रिकोणमितीय प्रमाण.

लॉगरिदमचा शोध 16 व्या शतकाच्या अखेरीस प्रगतीच्या सुप्रसिद्ध गुणधर्मांवर आधारित होता. आर्किमिडीजने भौमितिक प्रगती q, q2, q3, ... आणि त्यांच्या निर्देशक 1, 2, 3, ... च्या अंकगणितीय प्रगतीच्या सदस्यांमधील संबंधांबद्दल सांगितले. पदवीच्या संकल्पनेचा ऋण आणि अपूर्णांक घातांकापर्यंत विस्तार करणे ही दुसरी पूर्वअट होती. अनेक लेखकांनी निदर्शनास आणून दिले आहे की गुणाकार, भागाकार, घात वाढवणे आणि मूळ काढणे हे अंकगणितात घातांकरीत्या जुळतात - त्याच क्रमाने - बेरीज, वजाबाकी, गुणाकार आणि भागाकार.

येथे लॉगरिदमची घातांक म्हणून कल्पना होती.

लॉगरिदमच्या सिद्धांताच्या विकासाच्या इतिहासात, अनेक टप्पे पार केले आहेत.

टप्पा १

स्कॉटिश जहागीरदार नेपियर (१५५०-१६१७) आणि दहा वर्षांनंतर स्विस मेकॅनिक बुर्गी (१५५२-१६३२) यांनी १५९४ नंतर लॉगरिदमचा शोध लावला. दोघांनाही अंकगणित गणनेचे एक नवीन सोयीस्कर माध्यम प्रदान करायचे होते, जरी त्यांनी या समस्येकडे वेगवेगळ्या मार्गांनी संपर्क साधला. नेपियरने किनेमॅटिकली लॉगरिदमिक फंक्शन व्यक्त केले आणि अशा प्रकारे फंक्शन सिद्धांताच्या नवीन क्षेत्रात प्रवेश केला. बुर्गी स्वतंत्र प्रगतीच्या विचाराच्या आधारावर राहिले. तथापि, दोन्हीसाठी लॉगरिदमची व्याख्या आधुनिक सारखी नाही. "लोगॅरिथम" (लॉगरिथमस) हा शब्द नेपियरचा आहे. हे ग्रीक शब्दांच्या संयोजनातून उद्भवले: लोगो - "संबंध" आणि अरिकमो - "संख्या", ज्याचा अर्थ "संबंधांची संख्या" असा होतो. सुरुवातीला, नेपियरने भिन्न संज्ञा वापरली: संख्या कृत्रिम - "कृत्रिम संख्या", संख्यात्मक नैसर्गिकतेच्या विरूद्ध - "नैसर्गिक संख्या".

1615 मध्ये, लंडनमधील ग्रेश कॉलेजमधील गणिताचे प्राध्यापक हेन्री ब्रिग्ज (1561-1631) यांच्याशी झालेल्या संभाषणात, नेपियरने एकाच्या लॉगॅरिथमसाठी शून्य आणि दहाच्या लॉगॅरिथमसाठी 100 किंवा समान रक्कम घेण्याचे सुचवले. , फक्त 1. अशा प्रकारे दशांश लॉगरिदम आणि प्रथम लॉगरिदमिक टेबल मुद्रित केले गेले. नंतर, डच पुस्तक विक्रेते आणि गणितज्ञ एंड्रियन फ्लाक (1600-1667) द्वारे ब्रिग्ज टेबल्सची पूर्तता केली गेली. नेपियर आणि ब्रिग्स, जरी ते इतर कोणाच्याही आधी लॉगरिदमवर आले असले तरी, त्यांची सारणी इतरांपेक्षा नंतर प्रकाशित केली - 1620 मध्ये. I. केप्लरने 1624 मध्ये लॉग आणि लॉगची चिन्हे सादर केली. "नैसर्गिक लॉगरिथम" हा शब्द मेंगोली यांनी 1659 मध्ये आणला, त्यानंतर 1668 मध्ये एन. मर्केटर यांनी, आणि लंडनचे शिक्षक जॉन स्पॅडेल यांनी "नवीन लॉगरिदम" या नावाने 1 ते 1000 पर्यंतच्या संख्येच्या नैसर्गिक लॉगरिदमचे तक्ते प्रकाशित केले.

रशियन भाषेत, प्रथम लॉगरिदमिक सारणी 1703 मध्ये प्रकाशित झाली. परंतु सर्व लॉगरिदमिक तक्त्यांमध्ये, मोजणीत चुका झाल्या. जर्मन गणितज्ञ के. ब्रेमिकर (1804-1877) यांच्या प्रक्रियेत बर्लिनमध्ये 1857 मध्ये प्रथम त्रुटी-मुक्त तक्ते प्रकाशित झाले.

टप्पा 2

लॉगरिथमच्या सिद्धांताचा पुढील विकास विश्लेषणात्मक भूमिती आणि अनंत कॅल्क्युलसच्या विस्तृत अनुप्रयोगाशी संबंधित आहे. तोपर्यंत, समभुज हायपरबोलाचे चतुर्भुज आणि नैसर्गिक लॉगरिथम यांच्यातील संबंध स्थापित झाला होता. या काळातील लॉगरिदमचा सिद्धांत अनेक गणितज्ञांच्या नावांशी संबंधित आहे.

जर्मन गणितज्ञ, खगोलशास्त्रज्ञ आणि अभियंता निकोलॉस मर्केटर यांनी आपल्या निबंधात

"लोगॅरिथमोटेक्निक्स" (1668) एक मालिका देते जी ln(x + 1) चा विस्तार देते

शक्ती x:

ही अभिव्यक्ती त्याच्या विचारांच्या मार्गाशी अगदी अनुरूप आहे, जरी, अर्थातच, त्याने d, ..., परंतु अधिक अवजड चिन्हे वापरली नाहीत. लॉगरिदमिक मालिकेच्या शोधासह, लॉगरिदम मोजण्याचे तंत्र बदलले: ते अनंत मालिका वापरून निर्धारित केले जाऊ लागले. 1907-1908 मध्ये वाचलेल्या "उच्च दृष्टिकोनातून प्राथमिक गणित" या व्याख्यानांमध्ये, एफ. क्लेन यांनी लॉगरिदमचा सिद्धांत तयार करण्यासाठी सूत्राचा प्रारंभ बिंदू म्हणून वापर करण्याचे सुचवले.

स्टेज 3

व्युत्क्रमाचे कार्य म्हणून लॉगरिदमिक फंक्शनची व्याख्या

दिलेल्या बेसचा घातांक म्हणून घातांक, लॉगरिदम

लगेच तयार केले गेले नाही. लिओनहार्ड यूलरचे कार्य (१७०७-१७८३)

"अनंताच्या विश्लेषणाचा परिचय" (1748) पुढे म्हणून काम केले

लॉगरिदमिक फंक्शनच्या सिद्धांताचा विकास. अशा प्रकारे,

लॉगरिदम प्रथम सादर केल्यापासून 134 वर्षे झाली आहेत

(1614 पासून मोजणे) गणितज्ञांनी व्याख्या आणण्यापूर्वी

लॉगरिदमची संकल्पना, जी आता शालेय अभ्यासक्रमाचा आधार आहे.

धडा 2. लॉगरिदमिक असमानतेचे संकलन

२.१. समतुल्य संक्रमणे आणि मध्यांतरांची सामान्यीकृत पद्धत.

समतुल्य संक्रमणे

जर a > 1

जर 0 < а < 1

सामान्यीकृत मध्यांतर पद्धत

ही पद्धत जवळजवळ कोणत्याही प्रकारच्या असमानता सोडवण्यासाठी सर्वात सार्वत्रिक आहे. उपाय योजना असे दिसते:

1. अशा फॉर्ममध्ये असमानता आणा, जेथे फंक्शन डाव्या बाजूला स्थित आहे
, आणि उजवीकडे 0.

2. फंक्शनची व्याप्ती शोधा
.

3. फंक्शनचे शून्य शोधा
, म्हणजे समीकरण सोडवा
(आणि समीकरण सोडवणे सहसा असमानता सोडवण्यापेक्षा सोपे असते).

4. परिभाषेचे डोमेन आणि फंक्शनचे शून्य वास्तविक रेषेवर काढा.

5. फंक्शनची चिन्हे निश्चित करा
प्राप्त अंतराने.

6. फंक्शन आवश्यक मूल्ये घेते असे मध्यांतर निवडा आणि उत्तर लिहा.

उदाहरण १

उपाय:

मध्यांतर पद्धत लागू करा

कुठे

या मूल्यांसाठी, लॉगरिदमच्या चिन्हांखालील सर्व अभिव्यक्ती सकारात्मक आहेत.

उत्तर:

उदाहरण २

उपाय:

१ला मार्ग . ODZ असमानतेद्वारे निर्धारित केले जाते x> 3. अशासाठी लॉगरिदम घेणे xबेस 10 मध्ये, आम्हाला मिळते

शेवटची असमानता विघटन नियम लागू करून सोडवली जाऊ शकते, म्हणजे. शून्यासह घटकांची तुलना करणे. तथापि, या प्रकरणात फंक्शनच्या स्थिरतेचे अंतर निर्धारित करणे सोपे आहे

त्यामुळे मध्यांतर पद्धत लागू केली जाऊ शकते.

कार्य f(x) = 2x(x- 3.5)lgǀ x- 3ǀ साठी सतत आहे x> 3 आणि बिंदूंवर अदृश्य होते x 1 = 0, x 2 = 3,5, x 3 = 2, x 4 = 4. अशा प्रकारे, आम्ही फंक्शनच्या स्थिरतेचे अंतर निर्धारित करतो f(x):

उत्तर:

दुसरा मार्ग . आपण मध्यांतरांच्या पद्धतीच्या कल्पना थेट मूळ असमानतेवर लागू करूया.

या साठी, आम्ही ते अभिव्यक्ती आठवते aब- a c आणि ( a - 1)(b- 1) एक चिन्ह आहे. मग आमच्यासाठी असमानता x> 3 असमानतेच्या समतुल्य आहे

किंवा

शेवटची असमानता मध्यांतर पद्धतीद्वारे सोडविली जाते

उत्तर:

उदाहरण ३

उपाय:

मध्यांतर पद्धत लागू करा

उत्तर:

उदाहरण ४

उपाय:

2 पासून x 2 - 3xसर्व वास्तविक साठी + 3 > 0 x, नंतर

दुसरी असमानता सोडवण्यासाठी, आम्ही मध्यांतर पद्धत वापरतो

पहिल्या असमानतेमध्ये, आम्ही बदल करतो

मग आपण असमानता 2y 2 वर पोहोचतो - y - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те y, जे असमानता पूर्ण करते -0.5< y < 1.

कुठून, कारण

आम्हाला असमानता मिळते

जे सह चालते x, ज्यासाठी 2 x 2 - 3x - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов

आता, प्रणालीच्या दुसऱ्या असमानतेचे निराकरण लक्षात घेऊन, आम्ही शेवटी प्राप्त करतो

उत्तर:

उदाहरण 5

उपाय:

असमानता ही सिस्टीमच्या संचाशी समतुल्य आहे

किंवा

मध्यांतर पद्धत लागू करा किंवा

उत्तर द्या:

उदाहरण 6

उपाय:

असमानता ही व्यवस्थेशी जुळते

द्या

नंतर y > 0,

आणि पहिली असमानता

प्रणाली फॉर्म घेते

किंवा, विस्तारत आहे

घटकांचे चौरस त्रिपद,

शेवटच्या असमानतेवर मध्यांतर पद्धत लागू करणे,

आम्ही पाहतो की त्याचे उपाय परिस्थितीचे समाधान करतात y> 0 सर्व असेल y > 4.

अशा प्रकारे, मूळ असमानता प्रणालीच्या समतुल्य आहे:

तर, विषमतेचे उपाय सर्व आहेत

२.२. तर्कशुद्धीकरण पद्धत.

पूर्वी विषमतेचे तर्कशुद्धीकरण करण्याची पद्धत सोडवली गेली, हे माहीत नव्हते. ही "घातांकीय आणि लघुगणकीय असमानता सोडवण्याची एक नवीन आधुनिक प्रभावी पद्धत आहे" (कोलेस्निकोवा S.I. यांच्या पुस्तकातील कोट)
आणि जरी शिक्षक त्याला ओळखत असले तरी भीती होती - परंतु USE तज्ञ त्याला ओळखतात का आणि ते त्याला शाळेत का देत नाहीत? अशी परिस्थिती होती जेव्हा शिक्षक विद्यार्थ्याला म्हणाले: "तुला ते कोठे मिळाले? खाली बसा - 2."
आता सर्वत्र या पद्धतीचा प्रचार केला जात आहे. आणि तज्ञांसाठी, या पद्धतीशी संबंधित मार्गदर्शक तत्त्वे आहेत आणि सोल्यूशन C3 मधील "प्रकारच्या प्रकारांची सर्वात संपूर्ण आवृत्ती ..." मध्ये, ही पद्धत वापरली जाते.
पद्धत छान आहे!

"जादूचे टेबल"

इतर स्त्रोतांमध्ये

तर a >1 आणि b >1, नंतर लॉग a b >0 आणि (a -1)(b -1)>0;

तर a >1 आणि 0

जर 0<a<1 и b >1, नंतर लॉग a b<0 и (a -1)(b -1)<0;

जर 0<a<1 и 00 आणि (a -1)(b -1)>0.

वरील तर्क सोपे आहे, परंतु लॉगरिदमिक असमानतेचे निराकरण लक्षणीयपणे सोपे करते.

उदाहरण ४

लॉग x (x 2 -3)<0

उपाय:

उदाहरण 5

लॉग 2 x (2x 2 -4x +6)≤लॉग 2 x (x 2 +x )

उपाय:

उत्तर द्या. (०; ०.५) यू.

उदाहरण 6

ही विषमता सोडवण्यासाठी आपण भाजकांऐवजी (x-1-1) (x-1) आणि अंशाऐवजी गुणाकार (x-1) (x-3-9 + x) लिहू.

उत्तर द्या : (3;6)

उदाहरण 7

उदाहरण 8

२.३. नॉन-स्टँडर्ड प्रतिस्थापन.

उदाहरण १

उदाहरण २

उदाहरण ३

उदाहरण ४

उदाहरण 5

उदाहरण 6

उदाहरण 7

लॉग 4 (3 x -1) लॉग 0.25

y=3 x -1 प्रतिस्थापन करूया; मग ही असमानता रूप घेते

लॉग 4 लॉग 0.25
.

कारण लॉग 0.25 = -लॉग 4 = -(log 4 y -log 4 16)=2-log 4 y, नंतर आपण शेवटची असमानता 2log 4 y -log 4 2 y ≤ म्हणून पुन्हा लिहू.

चला t =log 4 y बदलू आणि असमानता t 2 -2t +≥0 मिळवू, ज्याचे समाधान मध्यांतर आहे - .

अशा प्रकारे, y ची मूल्ये शोधण्यासाठी, आपल्याकडे दोन सोप्या असमानतेचा संच आहे
या संग्रहाचे समाधान अंतराल 0 आहे<у≤2 и 8≤у<+.

म्हणून, मूळ असमानता ही दोन घातांकीय असमानतेच्या समतुल्य आहे,
म्हणजे, एकत्रित

या संचाच्या पहिल्या असमानतेचे समाधान म्हणजे मध्यांतर 0<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+. अशा प्रकारे, मूळ असमानता 0 च्या अंतराल पासून x च्या सर्व मूल्यांसाठी धारण करते<х≤1 и 2≤х<+.

उदाहरण 8

उपाय:

असमानता ही व्यवस्थेशी जुळते

दुसऱ्या असमानतेचे समाधान, जे ओडीझेड ठरवते, त्यांचा संच असेल x,

ज्यासाठी x > 0.

प्रथम असमानता सोडवण्यासाठी, आम्ही बदल करतो

मग आपल्याला असमानता मिळते

किंवा

शेवटच्या असमानतेच्या उपायांचा संच पद्धतीद्वारे शोधला जातो

अंतराल: -1< ट < 2. Откуда, возвращаясь к переменной x, आम्हाला मिळते

किंवा

त्यापैकी अनेक x, जी शेवटची असमानता पूर्ण करते

ODZ च्या मालकीचे आहे ( x> 0), म्हणून, प्रणालीसाठी एक उपाय आहे,

आणि म्हणून मूळ असमानता.

उत्तर:

२.४. सापळ्यांसह कार्ये.

उदाहरण १

.

उपाय.असमानतेचे ODZ हे सर्व x अट 0 चे समाधान करणारे आहे . म्हणून, मध्यांतर 0 पासून सर्व x

उदाहरण २

लॉग 2 (2x +1-x 2)>लॉग 2 (2x-1 +1-x)+1.. ? मुद्दा असा आहे की दुसरी संख्या स्पष्टपणे जास्त आहे

निष्कर्ष

विविध शैक्षणिक स्रोतांमधून C3 समस्या सोडवण्यासाठी विशेष पद्धती शोधणे सोपे नव्हते. केलेल्या कामाच्या दरम्यान, मी जटिल लॉगरिदमिक असमानता सोडवण्यासाठी मानक नसलेल्या पद्धतींचा अभ्यास करू शकलो. हे आहेत: समतुल्य संक्रमणे आणि मध्यांतरांची सामान्यीकृत पद्धत, तर्कशुद्धीकरणाची पद्धत , नॉन-स्टँडर्ड प्रतिस्थापन , ODZ वर सापळ्यांसह कार्ये. या पद्धती शालेय अभ्यासक्रमात अनुपस्थित आहेत.

वेगवेगळ्या पद्धतींचा वापर करून, मी भाग C मध्ये USE मध्ये देऊ केलेल्या 27 असमानता सोडवल्या, म्हणजे C3. पद्धतींद्वारे उपायांसह या असमानता "समाधानांसह लॉगरिदमिक C3 असमानता" या संग्रहाचा आधार बनल्या, जे माझ्या क्रियाकलापांचे प्रकल्प उत्पादन बनले. प्रकल्पाच्या सुरुवातीला मी मांडलेल्या गृहीतकाची पुष्टी झाली: या पद्धती ज्ञात असल्यास C3 समस्या प्रभावीपणे सोडवल्या जाऊ शकतात.

याव्यतिरिक्त, मी लॉगरिदम बद्दल मनोरंजक तथ्ये शोधली. ते करणे माझ्यासाठी मनोरंजक होते. माझी प्रकल्प उत्पादने विद्यार्थी आणि शिक्षक दोघांसाठी उपयुक्त ठरतील.

निष्कर्ष:

अशा प्रकारे, प्रकल्पाचे ध्येय साध्य केले जाते, समस्या सोडवली जाते. आणि मला कामाच्या सर्व टप्प्यांवर प्रकल्प क्रियाकलापांमध्ये सर्वात परिपूर्ण आणि बहुमुखी अनुभव मिळाला. प्रकल्पावर काम करताना, माझा मुख्य विकासात्मक प्रभाव मानसिक क्षमता, तार्किक मानसिक ऑपरेशनशी संबंधित क्रियाकलाप, सर्जनशील क्षमता विकसित करणे, वैयक्तिक पुढाकार, जबाबदारी, चिकाटी आणि क्रियाकलाप यावर होते.

साठी संशोधन प्रकल्प तयार करताना यशाची हमी मी झालो: महत्त्वपूर्ण शालेय अनुभव, विविध स्त्रोतांकडून माहिती काढण्याची क्षमता, त्याची विश्वासार्हता तपासणे, महत्त्वानुसार रँक करणे.

गणितातील थेट विषयाच्या ज्ञानाव्यतिरिक्त, त्याने संगणक विज्ञानाच्या क्षेत्रात आपली व्यावहारिक कौशल्ये वाढवली, मानसशास्त्राच्या क्षेत्रात नवीन ज्ञान आणि अनुभव मिळवला, वर्गमित्रांशी संपर्क स्थापित केला आणि प्रौढांना सहकार्य करण्यास शिकले. प्रकल्प क्रियाकलापांच्या दरम्यान, संघटनात्मक, बौद्धिक आणि संप्रेषणात्मक सामान्य शैक्षणिक कौशल्ये आणि क्षमता विकसित केल्या गेल्या.

साहित्य

1. कोर्यानोव ए.जी., प्रोकोफिव्ह ए.ए. एक व्हेरिएबलसह असमानतेची प्रणाली (नमुनेदार कार्ये C3).

2. माल्कोवा ए.जी. गणितातील युनिफाइड स्टेट परीक्षेची तयारी करत आहे.

3. एस.एस. समरोवा, लॉगरिदमिक असमानतेचे समाधान.

4. गणित. ए.एल. द्वारा संपादित प्रशिक्षण कार्यांचा संग्रह. सेम्योनोव्ह आणि आय.व्ही. यशचेन्को. -M.: MTsNMO, 2009. - 72 p.-