खाली सादर केलेली सामग्री ही LCM या शीर्षकाखालील लेखातील सिद्धांताची तार्किक निरंतरता आहे - किमान सामान्य एकाधिक, व्याख्या, उदाहरणे, LCM आणि GCD यांच्यातील संबंध. येथे आपण याबद्दल बोलू किमान सामान्य मल्टिपल (एलसीएम) शोधणे, आणि उदाहरणे सोडवण्याकडे विशेष लक्ष द्या. या संख्यांच्या GCD नुसार दोन संख्यांचा LCM कसा काढला जातो ते प्रथम दाखवू. पुढे, अविभाज्य घटकांमध्ये संख्यांचे गुणांकन करून किमान सामान्य गुणक शोधण्याचा विचार करा. त्यानंतर, आम्ही तीन किंवा अधिक संख्यांचे LCM शोधण्यावर लक्ष केंद्रित करू, आणि ऋण संख्यांच्या LCM च्या गणनेकडे देखील लक्ष देऊ.

पृष्ठ नेव्हिगेशन.

gcd द्वारे किमान सामान्य एकाधिक (LCM) ची गणना

LCM आणि GCD मधील संबंधांवर आधारित किमान सामान्य गुणक शोधण्याचा एक मार्ग आहे. LCM आणि GCD मधील विद्यमान संबंध तुम्हाला ज्ञात सर्वात सामान्य विभाजकाद्वारे दोन सकारात्मक पूर्णांकांच्या किमान सामान्य गुणाकाराची गणना करण्यास अनुमती देतात. संबंधित सूत्रात फॉर्म आहे LCM(a, b)=a b: GCD(a, b) . वरील सूत्रानुसार LCM शोधण्याची उदाहरणे विचारात घ्या.

उदाहरण.

126 आणि 70 या दोन संख्यांपैकी किमान सामान्य गुणाकार शोधा.

उपाय.

या उदाहरणात a=126 , b=70 . सूत्राद्वारे व्यक्त केलेले LCM आणि GCD यांच्यातील संबंध वापरू LCM(a, b)=a b: GCD(a, b). म्हणजेच, प्रथम आपल्याला 70 आणि 126 या संख्यांचा सर्वात मोठा सामान्य विभाजक शोधावा लागेल, त्यानंतर आपण लिखित सूत्रानुसार या संख्यांचा LCM काढू शकतो.

युक्लिडचे अल्गोरिदम वापरून gcd(126, 70) शोधा: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , म्हणून gcd(126, 70)=14 .

आता आम्हाला आवश्यक किमान सामान्य गुणाकार सापडतो: LCM(126, 70)=126 70: GCM(126, 70)=१२६ ७०:१४=६३० .

उत्तर:

LCM(126, 70)=630 .

उदाहरण.

LCM (68, 34) म्हणजे काय?

उपाय.

कारण 68 हा 34 ने समान रीतीने भाग जातो, नंतर gcd(68, 34)=34. आता आम्ही किमान सामान्य गुणकांची गणना करतो: LCM(68, 34)=68 34: LCM(68, 34)=६८ ३४:३४=६८ .

उत्तर:

LCM(६८, ३४)=६८ .

लक्षात घ्या की मागील उदाहरण सकारात्मक पूर्णांक a आणि b साठी LCM शोधण्यासाठी खालील नियमात बसते: जर a संख्या b ने भाग जात असेल, तर या संख्यांचा सर्वात कमी सामान्य गुणक a आहे.

प्राइम फॅक्टरमध्ये संख्यांचे फॅक्टरिंग करून LCM शोधणे

कमीत कमी सामान्य गुणक शोधण्याचा आणखी एक मार्ग म्हणजे मूळ घटकांमध्ये फॅक्टरिंग संख्यांवर आधारित. जर आपण या संख्यांच्या सर्व अविभाज्य घटकांचा गुणाकार केला, त्यानंतर या संख्यांच्या विस्तारामध्ये उपस्थित असलेले सर्व सामान्य मूळ घटक या गुणाकारातून वगळले, तर परिणामी गुणाकार या संख्यांच्या किमान सामान्य गुणकांच्या समान असेल.

एलसीएम शोधण्यासाठी घोषित केलेला नियम समानतेचे अनुसरण करतो LCM(a, b)=a b: GCD(a, b). खरंच, a आणि b संख्यांचा गुणाकार हा a आणि b संख्यांच्या विस्तारामध्ये सामील असलेल्या सर्व घटकांच्या गुणाकाराच्या समान आहे. या बदल्यात, gcd(a, b) सर्व अविभाज्य घटकांच्या गुणाकाराच्या समान आहे जे a आणि b संख्यांच्या विस्तारामध्ये एकाच वेळी उपस्थित असतात (ज्याचे वर्णन अविभाज्य घटकांमध्ये संख्यांचे विघटन वापरून gcd शोधण्याच्या विभागात केले आहे. ).

एक उदाहरण घेऊ. कळू द्या की 75=3 5 5 आणि 210=2 3 5 7. या विस्ताराच्या सर्व घटकांचे उत्पादन तयार करा: 2 3 3 5 5 5 7 . आता आम्ही या उत्पादनातून 75 क्रमांकाच्या विस्तारामध्ये आणि क्रमांक 210 च्या विस्तारामध्ये उपस्थित असलेले सर्व घटक वगळले आहेत (असे घटक 3 आणि 5 आहेत), नंतर उत्पादन 2 3 5 5 7 फॉर्म घेईल. या उत्पादनाचे मूल्य 75 आणि 210 क्रमांकाच्या किमान सामान्य गुणाकाराच्या समान आहे, म्हणजे, LCM(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050.

उदाहरण.

441 आणि 700 या संख्यांचे मूळ घटकांमध्ये गुणांकन केल्यानंतर, या संख्यांचा सर्वात कमी सामान्य गुणक शोधा.

उपाय.

चला 441 आणि 700 या संख्यांचे मूळ घटकांमध्ये विघटन करूया:

आपल्याला 441=3 3 7 7 आणि 700=2 2 5 5 7 मिळतात.

आता या संख्यांच्या विस्तारामध्ये सामील असलेल्या सर्व घटकांचे गुणांकन करू या: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . दोन्ही विस्तारांमध्ये एकाच वेळी उपस्थित असलेले सर्व घटक या उत्पादनातून वगळूया (असा एकच घटक आहे - हा क्रमांक 7 आहे): 2 2 3 3 5 5 7 7 . अशा प्रकारे, LCM(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100.

उत्तर:

LCM(441, 700)= 44 100 .

अविभाज्य घटकांमध्ये संख्यांचे विघटन करून LCM शोधण्याचा नियम थोड्या वेगळ्या पद्धतीने तयार केला जाऊ शकतो. जर आपण संख्या b च्या विस्तारापासून गहाळ घटक संख्या a च्या विघटनाच्या घटकांमध्ये जोडले तर परिणामी उत्पादनाचे मूल्य a आणि b संख्यांच्या किमान सामान्य गुणाकाराच्या समान असेल..

उदाहरणार्थ, सर्व समान संख्या 75 आणि 210 घेऊ या, त्यांचे मूळ घटकांमध्ये विस्तार खालीलप्रमाणे आहेत: 75=3 5 5 आणि 210=2 3 5 7. क्रमांक 75 च्या विस्तारापासून 3, 5 आणि 5 या घटकांमध्ये, 210 क्रमांकाच्या विस्तारातून गहाळ घटक 2 आणि 7 जोडतो, आम्हाला उत्पादन 2 3 5 5 7 मिळते, ज्याचे मूल्य LCM(75) आहे. , 210) .

उदाहरण.

84 आणि 648 चा किमान सामान्य गुणाकार शोधा.

उपाय.

आम्ही प्रथम क्रमांक 84 आणि 648 चे विघटन अविभाज्य घटकांमध्ये प्राप्त करतो. ते 84=2 2 3 7 आणि 648=2 2 2 3 3 3 सारखे दिसतात. संख्या 84 च्या विघटनातून घटक 2, 2, 3 आणि 7 मध्ये आपण 2, 3, 3 आणि 3 या संख्या 648 च्या विघटनापासून गहाळ घटक जोडतो, आपल्याला 2 2 2 3 3 3 3 7 हे गुण मिळतात. जे 4 536 च्या बरोबरीचे आहे. अशा प्रकारे, 84 आणि 648 संख्यांचा इच्छित किमान सामान्य गुणक 4,536 आहे.

उत्तर:

LCM(84, 648)=4 536 .

तीन किंवा अधिक संख्यांचा LCM शोधणे

तीन किंवा अधिक संख्यांचा किमान सामान्य गुणाकार दोन संख्यांचा LCM क्रमाने शोधून शोधता येतो. संबंधित प्रमेय आठवा, जे तीन किंवा अधिक संख्यांचे LCM शोधण्याचा मार्ग देते.

प्रमेय.

a 1 , a 2 , …, a k ची सकारात्मक पूर्णांक द्या, या संख्यांपैकी सर्वात कमी सामान्य अनेक m k अनुक्रमिक गणना m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a) मध्ये आढळतात. ३) , … , m k =LCM(m k−1 , a k) .

चार संख्यांचा किमान सामान्य गुणक शोधण्याच्या उदाहरणावर या प्रमेयाच्या वापराचा विचार करा.

उदाहरण.

140, 9, 54 आणि 250 या चार संख्यांचे LCM शोधा.

उपाय.

या उदाहरणात a 1 =140 , a 2 =9 , a 3 =54 , a 4 =250 .

प्रथम आपण शोधतो m 2 \u003d LCM (a 1, a 2) \u003d LCM (140, 9). हे करण्यासाठी, युक्लिडियन अल्गोरिदम वापरून, आम्ही gcd(140, 9) निर्धारित करतो, आमच्याकडे 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 आहे, म्हणून, gcd( 140, 9)=1 , कुठून LCM(140, 9)=140 9: LCM(140, 9)=१४० ९:१=१२६० . म्हणजे, m 2 = 1 260 .

आता आम्ही शोधू m 3 \u003d LCM (m 2, a 3) \u003d LCM (1 260, 54). चला gcd(1 260, 54) द्वारे गणना करूया, जे युक्लिडियन अल्गोरिदमद्वारे देखील निर्धारित केले जाते: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . नंतर gcd(1 260, 54)=18 , जेथून LCM(1 260, 54)= 1 260 54:gcd(1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 . म्हणजे, m 3 \u003d 3 780.

शोधण्यासाठी बाकी m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250). हे करण्यासाठी, आम्ही युक्लिड अल्गोरिदम वापरून GCD(3 780, 250) शोधतो: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . म्हणून, gcd(3 780, 250)=10 , जिथून gcd(3 780, 250)= 3 780 250:gcd(3 780, 250)=३ ७८० २५०:१०=९४ ५०० . म्हणजे, m 4 \u003d 94 500.

तर मूळ चार संख्यांचा सर्वात कमी सामान्य गुणक 94,500 आहे.

उत्तर:

LCM(140, 9, 54, 250)=94,500.

बर्‍याच प्रकरणांमध्ये, तीन किंवा अधिक संख्यांचा कमीत कमी सामान्य गुणक हे दिलेल्या संख्यांचे मूळ गुणांकन वापरून सोयीस्करपणे आढळतात. या प्रकरणात, खालील नियमांचे पालन केले पाहिजे. अनेक संख्यांचा कमीत कमी सामान्य गुणक हा गुणाकाराच्या बरोबरीचा असतो, जो खालील प्रमाणे बनलेला असतो: दुसऱ्या क्रमांकाच्या विस्तारातील गहाळ घटक पहिल्या क्रमांकाच्या विस्तारापासून सर्व घटकांमध्ये जोडले जातात, च्या विस्तारातील गहाळ घटक तिसरा क्रमांक प्राप्त घटकांमध्ये जोडला जातो, आणि असेच.

अविभाज्य घटकांमध्ये संख्यांचे विघटन वापरून किमान सामान्य गुणक शोधण्याचे उदाहरण विचारात घ्या.

उदाहरण.

84 , 6 , 48 , 7 , 143 या पाच संख्यांचा किमान सामान्य गुणाकार शोधा.

उपाय.

प्रथम, आम्ही या संख्यांचा विस्तार अविभाज्य घटकांमध्ये मिळवतो: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 अविभाज्य घटक) आणि 143=11 13.

या संख्यांचा LCM शोधण्यासाठी, पहिल्या क्रमांक 84 च्या घटकांमध्ये (ते 2, 2, 3 आणि 7 आहेत) तुम्हाला दुसऱ्या क्रमांक 6 च्या विघटनापासून गहाळ घटक जोडणे आवश्यक आहे. क्रमांक 6 च्या विस्तारामध्ये गहाळ घटक नसतात, कारण पहिल्या क्रमांक 84 च्या विस्तारामध्ये 2 आणि 3 दोन्ही आधीच उपस्थित आहेत. 2 , 2 , 3 आणि 7 च्या पुढे आपण तिसर्‍या क्रमांक 48 च्या विघटनातून गहाळ घटक 2 आणि 2 जोडतो , आपल्याला 2 , 2 , 2 , 2 , 3 आणि 7 घटकांचा संच मिळतो . पुढील चरणात या संचामध्ये घटक जोडण्याची गरज नाही, कारण त्यात 7 आधीच समाविष्ट आहे. शेवटी, 2 , 2 , 2 , 2 , 3 आणि 7 या घटकांमध्ये आपण 143 क्रमांकाच्या विस्तारातून 11 आणि 13 गहाळ घटक जोडतो. आम्हाला उत्पादन मिळते 2 2 2 2 3 7 11 13 , जे 48 048 च्या बरोबरीचे आहे.

व्याख्या.सर्वात मोठी नैसर्गिक संख्या ज्याने a आणि b या संख्यांना उर्वरित न भागता येते त्याला म्हणतात सर्वात सामान्य विभाजक (gcd)या संख्या.

चला 24 आणि 35 या संख्यांचा सर्वात मोठा सामान्य विभाजक शोधू.
24 चे विभाजक 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 या संख्या असतील आणि 35 चे विभाजक 1, 5, 7, 35 असतील.
आपण पाहतो की 24 आणि 35 या संख्यांना फक्त एक समान भाजक आहे - संख्या 1. अशा संख्या म्हणतात. coprime.

व्याख्या.नैसर्गिक संख्या म्हणतात coprimeजर त्यांचा सर्वात मोठा सामान्य विभाजक (gcd) 1 असेल.

ग्रेटेस्ट कॉमन विभाजक (GCD)दिलेल्या संख्यांचे सर्व विभाजक न लिहिता शोधता येतात.

संख्या 48 आणि 36 चे गुणांकन केल्यास, आम्हाला मिळते:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
यापैकी पहिल्या क्रमांकाच्या विस्तारामध्ये समाविष्ट असलेल्या घटकांमधून, आम्ही दुसऱ्या क्रमांकाच्या विस्तारामध्ये समाविष्ट नसलेल्या घटकांना हटवतो (म्हणजे दोन ड्यूस).
घटक 2 * 2 * 3 राहतात. त्यांचा गुणाकार 12 आहे. ही संख्या 48 आणि 36 संख्यांचा सर्वात मोठा सामान्य विभाजक आहे. तीन किंवा अधिक संख्यांचा सर्वात मोठा सामान्य विभाजक देखील आढळतो.

शोधण्यासाठी सर्वात मोठा सामान्य विभाजक

2) यापैकी एका संख्येच्या विस्तारामध्ये समाविष्ट असलेल्या घटकांमधून, इतर संख्यांच्या विस्तारामध्ये समाविष्ट नसलेल्या घटकांमधून बाहेर पडा;
3) उर्वरित घटकांचे उत्पादन शोधा.

दिलेल्या सर्व संख्यांना त्यांपैकी एकाने भाग जात असल्यास ही संख्या आहे सर्वात मोठा सामान्य विभाजकदिलेले क्रमांक.
उदाहरणार्थ, 15, 45, 75 आणि 180 चा सर्वात मोठा सामान्य विभाजक 15 आहे, कारण तो इतर सर्व संख्यांना विभाजित करतो: 45, 75 आणि 180.

किमान सामान्य मल्टिपल (LCM)

व्याख्या. किमान सामान्य मल्टिपल (LCM)नैसर्गिक संख्या a आणि b ही सर्वात लहान नैसर्गिक संख्या आहे जी a आणि b दोन्हीचा गुणाकार आहे. 75 आणि 60 संख्यांचे किमान सामान्य मल्टिपल (LCM) या संख्यांचे पट सलग न लिहिता आढळू शकतात. हे करण्यासाठी, आम्ही 75 आणि 60 साध्या घटकांमध्ये विघटित करतो: 75 \u003d 3 * 5 * 5, आणि 60 \u003d 2 * 2 * 3 * 5.
यातील पहिल्या क्रमांकाच्या विस्तारामध्ये समाविष्ट असलेले घटक लिहू आणि त्यांना दुसऱ्या क्रमांकाच्या विस्तारापासून गहाळ घटक 2 आणि 2 जोडू (म्हणजे आपण घटक एकत्र करतो).
आम्हाला पाच घटक 2 * 2 * 3 * 5 * 5 मिळतात, ज्याचा गुणाकार 300 आहे. ही संख्या 75 आणि 60 या संख्यांपैकी सर्वात कमी सामान्य गुणाकार आहे.

तीन किंवा अधिक संख्यांचा किमान सामान्य गुणक देखील शोधा.

ला किमान सामान्य गुणाकार शोधाअनेक नैसर्गिक संख्या, आपल्याला आवश्यक आहे:
1) त्यांना मुख्य घटकांमध्ये विघटित करा;
2) एका संख्येच्या विस्तारामध्ये समाविष्ट असलेले घटक लिहा;
3) त्यांना उर्वरित संख्यांच्या विस्तारातून गहाळ घटक जोडा;
4) परिणामी घटकांचे उत्पादन शोधा.

लक्षात घ्या की जर यापैकी एक संख्या इतर सर्व संख्यांनी भाग जात असेल, तर ही संख्या या संख्यांपैकी सर्वात कमी सामान्य गुणाकार आहे.
उदाहरणार्थ, 12, 15, 20 आणि 60 ची किमान सामान्य गुणाकार 60 असेल, कारण ती सर्व दिलेल्या संख्यांनी भागता येते.

पायथागोरस (इ.पू. सहावे शतक) आणि त्याच्या विद्यार्थ्यांनी संख्यांच्या विभाज्यतेच्या मुद्द्याचा अभ्यास केला. त्याच्या सर्व विभाजकांच्या बेरजेइतकी संख्या (संख्येशिवाय) त्यांना परिपूर्ण संख्या म्हणतात. उदाहरणार्थ, 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) संख्या परिपूर्ण आहेत. पुढील परिपूर्ण संख्या 496, 8128, 33,550,336 आहेत. पायथागोरियन लोकांना फक्त पहिल्या तीन परिपूर्ण संख्या माहित होत्या. चौथा - 8128 - 1 शतकात ओळखला गेला. n e पाचवा - 33 550 336 - 15 व्या शतकात सापडला. 1983 पर्यंत, 27 परिपूर्ण संख्या आधीच ज्ञात होत्या. परंतु आतापर्यंत, शास्त्रज्ञांना हे माहित नाही की विषम परिपूर्ण संख्या आहेत की नाही, सर्वात मोठी परिपूर्ण संख्या आहे की नाही.
मूळ संख्यांमध्ये प्राचीन गणितज्ञांचे स्वारस्य या वस्तुस्थितीमुळे आहे की कोणतीही संख्या एकतर अविभाज्य असते किंवा मूळ संख्यांचे गुणाकार म्हणून दर्शविली जाऊ शकते, म्हणजेच मूळ संख्या, जसे की, विटा आहेत ज्यापासून इतर नैसर्गिक संख्या तयार केल्या जातात.
तुमच्या लक्षात आले असेल की नैसर्गिक संख्यांच्या मालिकेतील अविभाज्य संख्या असमानपणे आढळतात - मालिकेच्या काही भागांमध्ये त्यापैकी जास्त आहेत, इतरांमध्ये - कमी. परंतु आपण संख्या मालिकेतून जितके पुढे जाऊ तितक्या दुर्मिळ मूळ संख्या. प्रश्न उद्भवतो: शेवटची (सर्वात मोठी) मूळ संख्या अस्तित्वात आहे का? प्राचीन ग्रीक गणितज्ञ युक्लिड (इ.स.पू. तिसरे शतक), याने त्याच्या "बिगिनिंग्ज" या पुस्तकात, जे दोन हजार वर्षे गणिताचे मुख्य पाठ्यपुस्तक होते, हे सिद्ध केले की असंख्य अविभाज्य संख्या आहेत, म्हणजेच प्रत्येक मूळ संख्येमागे एक सम असते. मोठी मूळ संख्या.
अविभाज्य संख्या शोधण्यासाठी त्याच काळातील आणखी एक ग्रीक गणितज्ञ एराटोस्थेनिस यांनी अशी पद्धत शोधून काढली. त्याने 1 पासून काही संख्येपर्यंत सर्व संख्या लिहून ठेवल्या, आणि नंतर एकक ओलांडले, जी मूळ किंवा संमिश्र संख्या नाही, त्यानंतर 2 नंतरच्या सर्व संख्या एकामधून ओलांडल्या (ज्या संख्या 2 च्या गुणाकार आहेत, म्हणजे 4, 6, 8, इ.). 2 नंतर पहिली उरलेली संख्या 3 होती. नंतर, दोन नंतर, 3 नंतरच्या सर्व संख्या ओलांडल्या गेल्या (ज्या संख्या 3 च्या पटीत आहेत, म्हणजे 6, 9, 12, इ.). शेवटी, फक्त अविभाज्य संख्याच उरल्या.

परंतु अनेक नैसर्गिक संख्या इतर नैसर्गिक संख्यांद्वारे समान रीतीने विभाज्य असतात.

उदाहरणार्थ:

12 ही संख्या 1 ने, 2 ने, 3 ने, 4 ने, 6 ने, 12 ने भाग जाते;

36 संख्या 1 ने, 2 ने, 3 ने, 4 ने, 6 ने, 12 ने, 18 ने 36 ने भाग जातो.

ज्या संख्येने भागाकार होतो (12 साठी ते 1, 2, 3, 4, 6 आणि 12 आहे) असे म्हणतात. संख्या विभाजक. नैसर्गिक संख्येचा विभाजक aदिलेल्या संख्येला विभाजित करणारी नैसर्गिक संख्या आहे aकाहीही माग न सोडता. दोनपेक्षा जास्त घटक असलेल्या नैसर्गिक संख्येला म्हणतात संमिश्र .

लक्षात घ्या की 12 आणि 36 या संख्यांमध्ये समान विभाजक आहेत. या संख्या आहेत: 1, 2, 3, 4, 6, 12. या संख्यांचा सर्वात मोठा विभाजक 12 आहे. या दोन संख्यांचा सामाईक विभाजक aआणि bती संख्या आहे ज्याद्वारे दिलेल्या दोन्ही संख्यांना उर्वरित भागाशिवाय भाग जातो aआणि b.

सामान्य एकाधिकअनेक संख्यांना यापैकी प्रत्येक संख्येने भाग जाणार्‍या संख्येला म्हणतात. उदाहरणार्थ, 9, 18 आणि 45 या संख्यांना 180 चा सामाईक गुणाकार आहे. परंतु 90 आणि 360 हे देखील त्यांचे सामाईक गुणाकार आहेत. सर्व jcommon गुणाकारांमध्ये, नेहमी सर्वात लहान असतो, या प्रकरणात तो 90 असतो. या संख्येला म्हणतात किमानसामान्य मल्टिपल (एलसीएम).

LCM ही नेहमीच नैसर्गिक संख्या असते, जी ती परिभाषित केलेल्या संख्यांपैकी सर्वात मोठ्या संख्येपेक्षा मोठी असणे आवश्यक आहे.

किमान सामान्य एकाधिक (LCM). गुणधर्म.

कम्युटेटिव्हिटी:

सहवास:

विशेषतः, जर आणि कॉप्राइम संख्या असतील तर:

दोन पूर्णांकांचा किमान सामान्य गुणाकार मीआणि nइतर सर्व सामान्य गुणकांचा विभाजक आहे मीआणि n. शिवाय, सामान्य गुणाकारांचा संच m, n LCM साठी गुणाकारांच्या संचाशी एकरूप होते m, n).

साठी asymptotics काही संख्या-सैद्धांतिक कार्यांच्या दृष्टीने व्यक्त केले जाऊ शकते.

तर, चेबिशेव्ह फंक्शन. तसेच:

हे लँडौ फंक्शनच्या व्याख्या आणि गुणधर्मांवरून खालीलप्रमाणे आहे शुभ रात्री).

अविभाज्य संख्यांच्या वितरणाच्या नियमातून काय होते.

किमान सामान्य मल्टिपल (एलसीएम) शोधत आहे.

NOC( a, b) अनेक प्रकारे गणना केली जाऊ शकते:

1. जर सर्वात मोठा सामान्य विभाजक ज्ञात असेल, तर तुम्ही त्याचा LCM सह संबंध वापरू शकता:

2. दोन्‍ही संख्‍यांच्‍या प्राइम फॅक्‍टरमध्‍ये प्रामाणिक विघटन ओळखू द्या:

कुठे p 1,...,p kविविध मूळ संख्या आहेत, आणि d 1,...,dkआणि e 1,...,ekगैर-ऋण पूर्णांक आहेत (संबंधित अविभाज्य विघटन मध्ये नसल्यास ते शून्य असू शकतात).

नंतर LCM ( a,b) सूत्रानुसार गणना केली जाते:

दुस-या शब्दात, LCM विघटनामध्ये सर्व अविभाज्य घटक असतात जे संख्यांच्या किमान एका विघटनामध्ये दिसतात. a, b, आणि या घटकाच्या दोन घातांकांपैकी सर्वात मोठा घेतला जातो.

उदाहरण:

अनेक संख्यांच्या किमान सामान्य गुणाकाराची गणना दोन संख्यांच्या एलसीएमच्या अनेक क्रमिक गणनांमध्ये कमी केली जाऊ शकते:

नियम.संख्यांच्या मालिकेचा LCM शोधण्यासाठी, तुम्हाला आवश्यक आहे:

- मुख्य घटकांमध्ये संख्या विघटित करा;

- इच्छित उत्पादनाच्या घटकांमध्ये सर्वात मोठा विस्तार हस्तांतरित करा (दिलेल्या सर्वात मोठ्या संख्येच्या घटकांचे उत्पादन), आणि नंतर इतर संख्यांच्या विस्तारातील घटक जोडा जे पहिल्या क्रमांकामध्ये येत नाहीत किंवा त्यामध्ये आहेत कमी वेळा;

- अविभाज्य घटकांचे परिणामी गुणाकार हे दिलेल्या संख्यांचे LCM असेल.

कोणत्याही दोन किंवा अधिक नैसर्गिक संख्यांचा स्वतःचा LCM असतो. जर संख्या एकमेकांच्या गुणाकार नसतील किंवा विस्तारामध्ये समान घटक नसतील, तर त्यांचा LCM या संख्यांच्या गुणाकाराच्या समान असेल.

संख्या 28 (2, 2, 7) चे मूळ घटक 3 (21 संख्या) च्या घटकासह पूरक होते, परिणामी उत्पादन (84) ही सर्वात लहान संख्या असेल जी 21 आणि 28 ने भाग जाईल.

सर्वात मोठ्या संख्येच्या 30 च्या मूळ घटकांना 25 पैकी 5 च्या घटकासह पूरक केले गेले, परिणामी उत्पादन 150 हा सर्वात मोठ्या संख्येच्या 30 पेक्षा मोठा आहे आणि उर्वरित न करता सर्व दिलेल्या संख्यांनी भाग जातो. हे सर्वात लहान संभाव्य उत्पादन आहे (150, 250, 300...) ज्या सर्व दिलेल्या संख्यांचे गुणाकार आहेत.

2,3,11,37 या संख्या अविभाज्य आहेत, त्यामुळे त्यांचा LCM दिलेल्या संख्यांच्या गुणाकाराच्या समान आहे.

नियम. अविभाज्य संख्यांची LCM काढण्यासाठी, तुम्हाला या सर्व संख्यांचा एकत्रितपणे गुणाकार करावा लागेल.

दुसरा पर्याय:

आपल्याला आवश्यक असलेल्या अनेक संख्यांचे किमान सामान्य मल्टिपल (एलसीएम) शोधण्यासाठी:

1) प्रत्येक संख्येचे मूळ घटकांचे उत्पादन म्हणून प्रतिनिधित्व करा, उदाहरणार्थ:

५०४ \u003d २ २ २ ३ ३ ७,

2) सर्व प्रमुख घटकांची शक्ती लिहा:

५०४ \u003d २ २ २ ३ ३ ७ \u003d २ ३ ३ २ ७ १,

3) या प्रत्येक संख्येचे सर्व अविभाज्य विभाजक (गुणक) लिहा;

4) या संख्यांच्या सर्व विस्तारांमध्ये आढळलेल्या प्रत्येकाची सर्वात मोठी पदवी निवडा;

5) या शक्तींचा गुणाकार करा.

उदाहरण. संख्यांचे LCM शोधा: 168, 180 आणि 3024.

उपाय. १६८ \u003d २ २ २ ३ ७ \u003d २ ३ ३ १ ७ १,

१८० \u003d २ २ ३ ३ ५ \u003d २ २ ३ २ ५ १,

३०२४ = २ २ २ २ २ ३ ३ ३ ७ = २ ४ ३ ३ ७ १ .

आम्ही सर्व अविभाज्य विभाजकांची सर्वात मोठी शक्ती लिहितो आणि त्यांना गुणाकार करतो:

LCM = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

श्रेष्ठ सामाईक भाजक

व्याख्या २

जर नैसर्गिक संख्या a ला $b$ ने भाग जात असेल तर $b$ ला $a$ चा विभाजक म्हणतात आणि $a$ ला $b$ चा गुणाकार म्हणतात.

$a$ आणि $b$ या नैसर्गिक संख्या असू द्या. $c$ या संख्येला $a$ आणि $b$ दोन्हीसाठी सामाईक भाजक म्हणतात.

$a$ आणि $b$ या संख्यांच्या सामाईक विभाजकांचा संच मर्यादित आहे, कारण यापैकी कोणताही विभाजक $a$ पेक्षा मोठा असू शकत नाही. याचा अर्थ असा की या विभाजकांमध्ये सर्वात मोठा आहे, ज्याला $a$ आणि $b$ या संख्यांचा सर्वात मोठा सामान्य विभाजक म्हणतात आणि ते दर्शविण्यासाठी नोटेशन वापरले जाते:

$gcd \ (a;b) \ ​​किंवा \ D \ (a;b)$

दोन संख्यांचा सर्वात मोठा सामान्य विभाजक शोधण्यासाठी:

1. पायरी 2 मध्ये आढळलेल्या संख्यांचा गुणाकार शोधा. परिणामी संख्या इच्छित सर्वात सामान्य विभाजक असेल.

उदाहरण १

$121$ आणि $132.$ अंकांची gcd शोधा

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

या संख्यांच्या विस्तारामध्ये समाविष्ट असलेल्या संख्या निवडा

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

पायरी 2 मध्ये आढळलेल्या संख्यांचा गुणाकार शोधा. परिणामी संख्या इच्छित सर्वात सामान्य विभाजक असेल.

$gcd=2\cdot 11=22$

उदाहरण २

$63$ आणि $81$ चे GCD शोधा.

आम्ही सादर केलेल्या अल्गोरिदमनुसार शोधू. यासाठी:

चला संख्यांचे अविभाज्य घटकांमध्ये विघटन करू

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

आम्ही या संख्यांच्या विस्तारामध्ये समाविष्ट असलेल्या संख्यांची निवड करतो

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

चरण 2 मध्ये आढळलेल्या संख्यांचा गुणाकार शोधू या. परिणामी संख्या हा इच्छित सर्वात मोठा सामान्य भाजक असेल.

$gcd=3\cdot 3=9$

संख्यांच्या विभाजकांचा संच वापरून तुम्ही दोन संख्यांचा GCD दुसर्‍या मार्गाने शोधू शकता.

उदाहरण ३

$48$ आणि $60$ या अंकांची gcd शोधा.

उपाय:

$48$ च्या विभाजकांचा संच शोधा: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$

आता $60$:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right\)$ च्या विभाजकांचा संच शोधू.

चला या संचांचे छेदनबिंदू शोधूया: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - हा संच $48$ आणि $60 या संख्यांच्या सामाईक विभाजकांचा संच ठरवेल. $. या संचातील सर्वात मोठा घटक $12$ हा क्रमांक असेल. तर $48$ आणि $60$ चा सर्वात मोठा सामान्य विभाजक $12$ आहे.

NOC ची व्याख्या

व्याख्या ३

नैसर्गिक संख्यांचा सामान्य गुणाकार$a$ आणि $b$ ही नैसर्गिक संख्या आहे जी $a$ आणि $b$ दोन्हीचा गुणाकार आहे.

संख्यांच्या सामान्य गुणाकार ही संख्या आहेत ज्यांना मूळ भागाशिवाय भाग नाही. उदाहरणार्थ, $25$ आणि $50$ या संख्यांसाठी, सामान्य गुणाकार $50,100,150,200$, इत्यादी संख्या असतील.

किमान सामान्य गुणाकाराला सर्वात कमी सामान्य बहुविध असे म्हटले जाईल आणि LCM$(a;b)$ किंवा K$(a;b) द्वारे दर्शविले जाईल.$

दोन संख्यांचा LCM शोधण्यासाठी, तुम्हाला आवश्यक आहे:

1. संख्यांचे अविभाज्य घटकांमध्ये विघटन करा
2. पहिल्या क्रमांकाचा भाग असलेले घटक लिहा आणि त्यात दुसऱ्या क्रमांकाचा भाग असलेले घटक जोडा आणि पहिल्या क्रमांकावर जाऊ नका.

उदाहरण ४

$99$ आणि $77$ या संख्यांचे LCM शोधा.

आम्ही सादर केलेल्या अल्गोरिदमनुसार शोधू. यासाठी एस

संख्यांचे अविभाज्य घटकांमध्ये विघटन करा

$99=3\cdot 3\cdot 11$

पहिल्यामध्ये समाविष्ट असलेले घटक लिहा

त्यांना घटक जोडा जे दुसऱ्याचा भाग आहेत आणि पहिल्याकडे जात नाहीत

चरण 2 मध्ये आढळलेल्या संख्यांचा गुणाकार शोधा. परिणामी संख्या इच्छित किमान सामान्य गुणाकार असेल

$LCC=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

संख्यांच्या विभाजकांच्या याद्या संकलित करणे बहुतेक वेळा खूप वेळ घेणारे असते. GCD शोधण्याचा एक मार्ग आहे ज्याला युक्लिडचे अल्गोरिदम म्हणतात.

विधाने ज्यावर युक्लिडचे अल्गोरिदम आधारित आहे:

जर $a$ आणि $b$ नैसर्गिक संख्या असतील आणि $a\vdots b$ असतील तर $D(a;b)=b$

जर $a$ आणि $b$ नैसर्गिक संख्या आहेत जसे की $b

$D(a;b)= D(a-b;b)$ वापरून, आम्ही विचाराधीन संख्या क्रमाक्रमाने कमी करू शकतो जोपर्यंत आम्ही संख्यांच्या जोड्यांपर्यंत पोहोचत नाही की त्यापैकी एक दुसऱ्याने भागतो. नंतर यापैकी लहान संख्या $a$ आणि $b$ या संख्यांसाठी इच्छित सर्वात मोठा सामान्य विभाजक असेल.

GCD आणि LCM चे गुणधर्म

1. $a$ आणि $b$ चा कोणताही सामान्य गुणक K$(a;b)$ ने भागता येतो
2. जर $a\vdots b$, तर K$(a;b)=a$

K$(a;b)=k$ आणि $m$-नैसर्गिक संख्या असल्यास, K$(am;bm)=km$

जर $d$ हा $a$ आणि $b$ साठी सामाईक भाजक असेल, तर K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d) ) $

जर $a\vdots c$ आणि $b\vdots c$, तर $\frac(ab)(c)$ हा $a$ आणि $b$ चा सामान्य गुणाकार आहे.

कोणत्याही नैसर्गिक संख्यांसाठी $a$ आणि $b$ समानता

$D(a;b)\cdot K(a;b)=ab$

$a$ आणि $b$ चा कोणताही सामाईक भाजक हा $D(a;b)$ चा विभाजक असतो

LCM ची गणना कशी करायची हे समजून घेण्यासाठी, आपण प्रथम "एकाधिक" शब्दाचा अर्थ निश्चित केला पाहिजे.

A चा गुणाकार ही नैसर्गिक संख्या आहे जी A ने उर्वरित न भागता येते. अशा प्रकारे, 15, 20, 25, आणि असेच 5 चे गुणाकार मानले जाऊ शकतात.

एका विशिष्ट संख्येच्या विभाजकांची संख्या मर्यादित असू शकते, परंतु गुणाकारांची संख्या असीम आहे.

नैसर्गिक संख्यांचा एक सामान्य गुणाकार ही अशी संख्या आहे जी त्यांच्याद्वारे उर्वरित न भागता येते.

संख्यांचा किमान सामान्य गुणक कसा शोधायचा

संख्यांची (दोन, तीन किंवा अधिक) किमान सामान्य मल्टिपल (एलसीएम) ही सर्वात लहान नैसर्गिक संख्या आहे जी या सर्व संख्यांनी समान रीतीने भागते.

NOC शोधण्यासाठी, तुम्ही अनेक पद्धती वापरू शकता.

लहान संख्यांसाठी, या संख्येच्या सर्व गुणाकार एका ओळीत लिहिणे सोयीचे आहे जोपर्यंत त्यांच्यामध्ये एक सामान्य सापडत नाही. कॅपिटल अक्षर K ने रेकॉर्डमध्ये गुणाकार दर्शविला जातो.

उदाहरणार्थ, 4 चे गुणाकार असे लिहिले जाऊ शकतात:

K(4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)

K(6) = (12, 18, 24, ...)

तर, तुम्ही पाहू शकता की 4 आणि 6 मधील सर्वात कमी सामान्य गुणाकार ही संख्या 24 आहे. ही नोंद खालीलप्रमाणे केली जाते:

LCM(4, 6) = 24

जर संख्या मोठी असेल तर, तीन किंवा अधिक संख्यांचा सामान्य गुणाकार शोधा, नंतर LCM ची गणना करण्यासाठी दुसरा मार्ग वापरणे चांगले.

कार्य पूर्ण करण्यासाठी, प्रस्तावित संख्यांचे अविभाज्य घटकांमध्ये विघटन करणे आवश्यक आहे.

प्रथम आपल्याला एका ओळीतील सर्वात मोठ्या संख्येचा विस्तार लिहिण्याची आवश्यकता आहे आणि त्याखाली - उर्वरित.

प्रत्येक संख्येच्या विस्तारामध्ये, भिन्न संख्येचे घटक असू शकतात.

उदाहरणार्थ, 50 आणि 20 या संख्यांचा अविभाज्य घटकांमध्ये घटक करू.

लहान संख्येच्या विस्तारामध्ये, प्रथम मोठ्या संख्येच्या विस्तारामध्ये गहाळ असलेले घटक अधोरेखित केले पाहिजेत आणि नंतर त्यास जोडले पाहिजेत. सादर केलेल्या उदाहरणात, एक ड्यूस गहाळ आहे.

आता आपण 20 आणि 50 चा किमान सामान्य गुणाकार काढू शकतो.

LCM (20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

अशा प्रकारे, मोठ्या संख्येच्या अविभाज्य घटकांचे गुणाकार आणि दुसर्‍या संख्येचे घटक, जे मोठ्या संख्येच्या विघटनामध्ये समाविष्ट नसतात, ते सर्वात कमी सामान्य गुणाकार असतील.

तीन किंवा अधिक संख्यांचे LCM शोधण्यासाठी, त्या सर्वांचे विघटन अविभाज्य घटकांमध्ये केले पाहिजे, जसे की मागील केसमध्ये.

उदाहरण म्हणून, आपण 16, 24, 36 या संख्यांचा सर्वात कमी सामान्य गुणक शोधू शकता.

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

अशा प्रकारे, सोळा च्या विघटनातून फक्त दोन ड्यूसेस मोठ्या संख्येच्या फॅक्टरायझेशनमध्ये समाविष्ट केले गेले नाहीत (एक चोवीसच्या विघटनामध्ये आहे).

अशा प्रकारे, त्यांना मोठ्या संख्येच्या विघटनामध्ये जोडणे आवश्यक आहे.

LCM (12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

कमीत कमी सामान्य मल्टिपल ठरवण्याची विशेष प्रकरणे आहेत. म्हणून, जर एका संख्‍येला उरलेल्या संख्‍येशिवाय दुसर्‍या संख्‍येने भागता येत असेल, तर या संख्‍यांमध्‍ये मोठी संख्‍या सर्वात कमी सामाईक गुणाकार असेल.

उदाहरणार्थ, बारा आणि चोवीसच्या एनओसी चोवीस असतील.

समान विभाजक नसलेल्या कॉप्राइम संख्यांचा किमान सामान्य गुणक शोधणे आवश्यक असल्यास, त्यांचे LCM त्यांच्या गुणाकाराच्या समान असेल.

उदाहरणार्थ, LCM(10, 11) = 110.