हे गणितीय तर्कशास्त्राच्या मूलभूत गोष्टींना समर्पित केले जाईल, जे केवळ गणिताचा एक स्वतंत्र विभाग नाही तर संपूर्ण टॉवरचा अभ्यास करताना देखील खूप महत्त्व आहे. (आणि केवळ टॉवरच नाही). “तेथे आणि फक्त”, “ते यावरून येते”, “आवश्यक स्थिती”, “पर्याप्तता”, “जर आणि फक्त तेव्हाच” – परिचित अभिव्यक्ती, नाही का? आणि हे फक्त "कर्तव्य" क्लिच नाहीत ज्याकडे दुर्लक्ष केले जाऊ शकते - हे स्थिर अभिव्यक्ती आहेत ज्यात कठोर अर्थजे आपण या लेखात जाणून घेणार आहोत. याव्यतिरिक्त, नवशिक्यांसाठी थेट गणितीय तर्कशास्त्राचा अभ्यास करण्यासाठी सामग्री उपयुक्त ठरेल - मी त्याचा आधार विचारात घेईन: विधाने आणि त्यावरील क्रिया, सूत्रे, मूलभूत कायदे + काही व्यावहारिक कार्ये. आणि अर्थातच, तुम्ही गणितीय तर्कशास्त्र आणि आमचे "सामान्य" तर्क यांच्यातील एक अतिशय महत्त्वाचा, आणि कधीकधी खूप मजेदार, फरक शिकाल. चला पाया घालण्यास सुरुवात करूया:

उच्चार आणि प्रस्तावित फॉर्म

विधानअसे म्हणता येईल असा प्रस्ताव आहे खरेते किंवा खोटे. विधाने सामान्यतः लोअरकेस लॅटिन अक्षरांद्वारे दर्शविली जातात आणि त्यांची सत्यता/असत्यता अनुक्रमे एक आणि शून्याने दर्शविली जाते:

- हा रेकॉर्ड (गोंधळ होऊ नये मॉड्यूल!) विधान आम्हाला सांगते खरे;
- आणि ही नोंद विधानाच्या वस्तुस्थितीबद्दल आहे खोटे.

उदाहरणार्थ:

- कासवे उडत नाहीत
- चंद्र चौरस आहे;
- दोनदा दोन दोन होतील;
- पाच म्हणजे तीनपेक्षा जास्त.

हे स्पष्ट आहे की विधाने आणि खरे: ,
आणि विधाने आणि खोटे:

अर्थात, सर्व वाक्ये विधाने नसतात. यामध्ये, विशेषतः, प्रश्नार्थक आणि प्रोत्साहनात्मक वाक्ये समाविष्ट आहेत:

आत कसे जायचे ते सांगता येत नाही लायब्ररी?
चला आंघोळीला जाऊया!

साहजिकच इथे सत्य-असत्याचा प्रश्नच येत नाही. अनिश्चितता किंवा अपूर्ण माहितीच्या बाबतीत त्यांच्याबद्दल कोणतीही चर्चा नाही म्हणून:

उद्या पीटर परीक्षा उत्तीर्ण होईल- जरी त्याने सर्व काही शिकले असले तरी तो उत्तीर्ण होईल हे सत्य नाही; आणि त्याउलट - जर त्याला काहीही माहित नसेल तर कदाचित तो "बॉलवर" पास करेल.

... चला, पाळीव प्राणी, काळजी करू नका - तुम्ही पास व्हाल =)

- आणि येथे आपल्याला "en" काय समान आहे हे माहित नाही, म्हणून हे विधान देखील नाही.

तथापि, शेवटचे वाक्य उच्चारापर्यंत किंवा त्याऐवजी, पर्यंत वाढविले जाऊ शकते प्रस्तावित फॉर्म, "en" बद्दल अतिरिक्त माहिती सूचित करते. एक नियम म्हणून, प्रस्तावित फॉर्म तथाकथित सह लिहिलेले आहेत क्वांटिफायर. त्यापैकी दोन आहेत:

– सामान्य परिमाणक (उलटे अक्षरए - इंग्रजीतून.सर्व)"प्रत्येकासाठी", "कोणत्याही (ओह) (s)" म्हणून समजले आणि वाचले;

– अस्तित्वात्मक परिमाणकर्ता (खुले पत्रई - इंग्रजीतून.अस्तित्वात आहे)"अस्तित्वात" म्हणून समजले आणि वाचले.

- कोणासाठीही नैसर्गिक संख्याअसमानता समाधानी आहे. हे अभिव्यक्ती स्वरूप खोटे, कारण ते स्पष्टपणे नैसर्गिक संख्यांशी संबंधित नाही.

- आणि येथे आधीच प्रस्तावित फॉर्म आहे खरे, कसे खरेआणि, उदाहरणार्थ, हे विधान:
… ठीक आहे, जर -10 पेक्षा कमी नैसर्गिक संख्या असेल तर?

मी तुम्हाला या क्वांटिफायरच्या बेपर्वा वापराविरुद्ध चेतावणी देतो, कारण "कोणासाठीही" प्रत्यक्षात "कोणासाठीही नाही" असे होऊ शकते.

लक्ष द्या! जर तुम्हाला नोटेशनमधील काहीतरी समजत नसेल, तर कृपया धड्यावर परत जा संच.

- अस्तित्वात नैसर्गिक संख्याजे दोनपेक्षा मोठे आहे. खरे…आणि, सर्वात महत्त्वाचे म्हणजे, तुम्ही वाद घालू शकत नाही =)

– खोटे बोलणे

बर्‍याचदा क्वांटिफायर "एकाच संघात काम करतात":

- कोणासाठीही वेक्टरएक विरुद्ध वेक्टर आहे. अप्परकेस खरे, किंवा त्याऐवजी, स्वयंसिद्ध (पुराव्याशिवाय विधान स्वीकारले)वेक्टर जागा.

लक्षात घ्या की अस्तित्वात्मक क्वांटिफायर सूचित करते वस्तुस्थिती स्वतःचएखाद्या वस्तूचे अस्तित्व (किमान एक) जे विशिष्ट वैशिष्ट्यांचे समाधान करते. जगात फक्त पांढरे कावळे अस्तित्वात असू द्या, परंतु ते अस्तित्वात आहेत. शिवाय, गणितात (शालेय आणि उच्च दोन्ही) अनेक प्रमेये सिद्ध होतात अस्तित्वआणि फक्त वेगळेपणाकाहीही अशा प्रमेयाच्या पुराव्यामध्ये दोन भाग असतात:

1) विशिष्ट निकष पूर्ण करणाऱ्या वस्तूचे अस्तित्व. या भागात, त्याच्या अस्तित्वाची वस्तुस्थिती सिद्ध केली आहे.

2) दिलेल्या वस्तूचे वेगळेपण. हा मुद्दा सहसा सिद्ध होतो विरोधाभासाने, म्हणजे असे गृहित धरले जाते की तेथे 2 रा ऑब्जेक्ट आहे ज्यामध्ये अगदी समान वैशिष्ट्ये आहेत, आणि नंतर या गृहितकाचे खंडन केले जाते.

तथापि, ते अशा शब्दावलीसह शाळकरी मुलांना घाबरवण्याचा प्रयत्न करू नका आणि प्रमेय बहुतेक वेळा आच्छादित स्वरूपात सादर केला जातो, उदाहरणार्थ:

कोणत्याही त्रिकोणामध्ये, आपण वर्तुळ लिहू शकता आणि त्याशिवाय, फक्त एक

तसे, प्रमेय म्हणजे काय? या भयंकर शब्दाचे तार्किक सार आपण लवकरच शिकू....

तार्किक क्रिया (विधानांवर क्रिया)

ज्याप्रमाणे तुम्ही अंकांसह अंकगणित क्रिया करू शकता (जोडा, गुणाकार इ.), विधानांची देखील स्वतःची क्रिया आहेत. तीन मूलभूत तार्किक ऑपरेशन्स आहेत:

नकारविधाने;

संयोगकिंवा प्रस्तावांचा तार्किक गुणाकार;

वियोगकिंवा विधानांची तार्किक जोड.

क्रमाने:

1) विधानाचे खंडन

नाहीआणि चिन्ह

नकारउच्चारला उच्चार म्हणतात ("नाही" वाचा), जे खोटेखरे असल्यास, आणि खरे- खोटे असल्यास:

म्हणून, उदाहरणार्थ, विधान - कासव उडत नाहीतखरे: ,
आणि त्याचे नकार जर तुम्ही त्यांना जोरात लाथ मारली तर कासव उडतात- खोटे: ;

विधान - दोनदा दोन म्हणजे दोनअसत्य: ,
आणि त्याचा नकार - दोनदा दोन दोन होतील हे खरे नाही- खरे: .

तसे, कासवाचे उदाहरण देऊन हसण्याची गरज नाही ;) sadists

या ऑपरेशनचे एक चांगले भौतिक मॉडेल एक सामान्य लाइट बल्ब आणि एक स्विच आहे:

लाइट ऑन - तार्किक एक किंवा सत्य,
प्रकाश बंद - तार्किक शून्य किंवा असत्य.

२) संयोग (विधानांचा तार्किक गुणाकार)

हे ऑपरेशन लॉजिकल कनेक्टिव्हशी संबंधित आहे आणिआणि एकतर प्रतीक

संयोग ("a आणि be" वाचा), जे खरे असेल तर आणि फक्त जर दोन्हीम्हणी आणि:

हे ऑपरेशन देखील सर्व वेळ येते. पहिल्या डेस्कवरून आपल्या नायकाकडे परत जाऊया: समजा पेट्याने टर्म पेपर पास केल्यास त्याला उच्च गणिताच्या परीक्षेत प्रवेश मिळाला. आणिविषय अहवाल. खालील विधाने विचारात घ्या:
– पेट्या टर्म पेपर पास झाला;
- पेट्याने परीक्षा उत्तीर्ण केली.

लक्षात घ्या की, शब्दरचनेच्या उलट "पेट्या उद्या सुपूर्द करतील"येथे, कोणत्याही क्षणी, आपण ते खरे की खोटे हे सांगू शकता.

विधान (खालची गोष्ट अशी आहे की पेट्याला परीक्षेत प्रवेश मिळाला आहे)जर त्याने अभ्यासक्रमाचा पेपर उत्तीर्ण केला तरच ते खरे असेल आणिसाठी खाते निदान काही तरी हाती लागले नाही तर (सारणीच्या खालच्या तीन ओळी पहा), तर संयोग खोटा आहे.

आणि अगदी वेळेवर, एक उत्कृष्ट गणिती उदाहरण माझ्या लक्षात आले: सिस्टमचे चिन्ह त्यात समाविष्ट असलेल्या समीकरणे / असमानता फक्त नियमानुसार जोडते. आणि. तर, उदाहरणार्थ, मध्ये दोन रेखीय समीकरणे लिहा प्रणालीयाचा अर्थ असा आहे की आपण अशी मुळे शोधली पाहिजेत (ते अस्तित्वात असल्यास), जे पहिल्याला देखील संतुष्ट करते आणिदुसरे समीकरण.

विचारात घेतलेले तार्किक ऑपरेशन मोठ्या संख्येने विधानांपर्यंत विस्तारित आहे. तुलनेने बोलायचे झाल्यास, जर प्रणालीमध्ये 5 समीकरणे असतील, तर त्याची मुळे ( ते अस्तित्वात असल्यास) 1 ला देखील पूर्ण करणे आवश्यक आहे आणि 2रा आणि 3रा आणि 4 था आणिया प्रणालीचे 5 वे समीकरण.

आणि परिच्छेदाच्या शेवटी, आपण पुन्हा घरगुती इलेक्ट्रिकल अभियांत्रिकीकडे वळू या: संयोजक नियम खोलीतील स्विच आणि प्रवेशद्वारावरील विद्युत पॅनेलवरील स्विच (सीरियल कनेक्शन) चे मॉडेल करतो. विधाने विचारात घ्या:

– खोलीतील स्विच चालू आहे;

– प्रवेशद्वारातील स्विच चालू आहे.

कदाचित, प्रत्येकाला आधीच समजले आहे की संयोग सर्वात नैसर्गिक पद्धतीने वाचला जातो:
- खोलीतील स्विच चालू आहे आणिप्रवेशद्वारातील स्विच चालू आहे.

अर्थात, जर आणि फक्त तरच. इतर तीन प्रकरणांमध्ये (कोणत्याचे विश्लेषण करा)सर्किट उघडेल आणि प्रकाश जाईल: .

चला आणखी एक विधान जोडूया:
– सबस्टेशनवरील स्विच चालू आहे.

त्याचप्रमाणे, संयोग सत्य असेल जर आणि फक्त जर . येथे, तसे, साखळी तोडण्यासाठी आधीच 7 भिन्न पर्याय असतील.

३) वियोग (विधानांची तार्किक जोड)

हे ऑपरेशन लॉजिकल कनेक्टिव्हशी संबंधित आहे किंवाआणि चिन्ह

वियोगस्टेटमेंट आणि स्टेटमेंट कॉल करा ("a किंवा be" वाचा), जे खोटे आहे जर आणि फक्त जर दोन्ही विधाने आणि असत्य असतील:

गृहीत धरू की उच्च गणिताच्या परीक्षेच्या कार्डमध्ये 2 प्रश्न आहेत आणि विद्यार्थ्याने उत्तर दिल्यास तो परीक्षा उत्तीर्ण होईल. किमान एक साठीप्रश्न खालील विधाने विचारात घ्या:
– पीटरने पहिल्या प्रश्नाचे उत्तर दिले;
– पेट्याने दुसऱ्या प्रश्नाचे उत्तर दिले.

विच्छेदक नोटेशन सोपे आणि स्पष्टपणे वाचते: पेट्याने 1 ला उत्तर दिले किंवादुसरा प्रश्नआणि तीन खरे परिणाम सूचित करते (टेबल पहा). त्याच वेळी, पीटर केवळ एका प्रकरणात परीक्षा उत्तीर्ण होणार नाही - जर त्याने दोन्ही प्रश्न "स्क्रू अप" केले तर:

हे लक्षात घेतले पाहिजे की आपण "किंवा" युनियनला "अनन्य किंवा" म्हणून समजतो आणि शिवाय, ते सहसा असे समजले पाहिजे! परीक्षा उत्तीर्ण होण्याबद्दलच्या समान वाक्यांशावरून, एखादी व्यक्ती बहुधा असा निष्कर्ष काढेल की पेट्याने फक्त 1 ला किंवा फक्त 2 रा प्रश्नाचे उत्तर दिले. तथापि, मानलेला OR हा फिलिस्टाइन "किंवा" नाही.

तार्किक जोड ऑपरेशन तीन किंवा अधिक विधानांसाठी देखील लागू आहे. काही निष्ठावंत शिक्षक 10-15 प्रश्न विचारतात आणि विद्यार्थ्याला किमान काहीतरी माहित असल्यास परीक्षा देतात =) दुसऱ्या शब्दांत, तार्किक किंवा त्यामागील दुवा लपवतात "किमान एक साठी"(आणि याचा अर्थ असा नाही की ते कठोरपणे एक आहे!).

बरं, घरगुती वीजेपासून दूर जाऊ या: बहुतेक इंटरनेट साइट्स व्यावसायिक सर्व्हरवर स्थित आहेत, ज्यांना सहसा दोन वीज पुरवठा केला जातो. इलेक्ट्रिकल अभियांत्रिकीमध्ये, याला समांतर कनेक्शन म्हणतात, जे फक्त OR नियमाचे मॉडेल करते - सर्व्हर कार्य करत असल्यास ते कार्य करते कमीत कमी एकपॉवर युनिट. उपकरणे, तसे, "गरम" बदलण्याचे समर्थन करतात, म्हणजे. बर्न-आउट PSU सर्व्हर बंद न करता बदलले जाऊ शकते. हार्ड ड्राइव्हसह समान कथा - ते तथाकथित मध्ये डुप्लिकेट आहेत RAID अॅरे, आणि शिवाय, डेटा सेंटर स्वतः, जेथे सर्व्हर स्थित आहेत, सामान्यतः दोन स्वतंत्र पॉवर लाईन्स + फक्त बाबतीत एक डिझेल जनरेटरद्वारे समर्थित आहे. हे उपाय आम्हाला साइटसाठी जास्तीत जास्त अपटाइम प्रदान करण्यास अनुमती देतात.

आणि आम्ही संगणकांबद्दल बोलत असल्याने, ते ... विचारात घेतलेल्या तार्किक ऑपरेशन्सवर आधारित आहेत! हे अविश्वसनीय वाटते, परंतु आपण त्याबद्दल विचार करूया - हे "लोहाचे तुकडे" सर्वसाधारणपणे "समजून" काय घेऊ शकतात? आणि ते खालील गोष्टी समजू शकतात:

वायर मध्ये विद्युत प्रवाह आहे तार्किक एकक;
वायर डी-एनर्जाइज्ड आहे तार्किक शून्य.

ही वस्तुस्थिती आहे जी या वस्तुस्थितीचे मूळ कारण आहे की माहितीच्या प्रमाणाचे मोजमाप दोनच्या शक्तीवर आधारित आहे:
इ.

सर्वात सोपा "संगणक" आहे... एक साधा स्विच - तो 1 बिटमध्ये माहिती संग्रहित करतो (वरील अर्थाने खरे किंवा खोटे). आधुनिक संगणकाचे केंद्रीय प्रक्रिया युनिट आहे शेकडो लाखो (!)ट्रान्झिस्टर, आणि सर्वात जटिल सॉफ्टवेअर, सर्वात "फॅन्सी गेम" अनेक शून्य आणि एकामध्ये विघटित केला जातो, ज्यावर प्राथमिक तार्किक ऑपरेशन्स वापरून प्रक्रिया केली जाते!

आणि पुढील दोन ऑपरेशन्स ज्यांचा आपण विचार करू स्वतंत्र नाही, म्हणजे, ते नकार, संयोग आणि विच्छेदन द्वारे व्यक्त केले जाऊ शकतात:

निहितार्थ आणि तार्किक परिणाम.
आवश्यक अट. पुरेशी स्थिती

वेदनादायक परिचित वळणे: “म्हणून”, “हे यावरून येते”, “जर, नंतर”, इ.

तात्पर्यविधाने (पॅकेज)आणि (परिणाम)ते असे विधान म्हणतात जे एकमात्र बाबतीत खोटे असते - जेव्हा ते सत्य असते आणि - असत्य असते:

ऑपरेशनचा मूलभूत अर्थ आहे (टेबल वरपासून खालपर्यंत वाचा आणि पहा):

केवळ सत्य सत्यापासून अनुसरण करू शकतेआणि खोटे बोलू शकत नाही;

खोट्याने काहीही होऊ शकते (तळाशी दोन ओळी), ज्यामध्ये:

जागेचे सत्य आहे पुरेशी स्थितीनिष्कर्षाच्या सत्यतेसाठी,

आणि निष्कर्षाचे सत्य आहे आवश्यक स्थितीजागेच्या सत्यासाठी.

चला एक विशिष्ट उदाहरण पाहू:

विधानांचा अर्थ घेऊया - पाऊस पडत आहेआणि - बाहेर ओलसर:

जर दोन्ही विधाने सत्य असतील, तर त्याचा अर्थ अर्थातच सत्य आहे. – बाहेर पाऊस पडत असेल तर बाहेर ओलसर आहे. त्याच वेळी, ते असू शकत नाही पाऊस पडत होता, ए बाहेर कोरडे होते :

तर पाऊस नाही, ते ते बाहेर कोरडे असू शकते :

खूप ओलसर :
(उदाहरणार्थ, बर्फ वितळला आहे या वस्तुस्थितीमुळे).

आणि आता आम्ही या "स्टॅम्प केलेल्या" शब्दांबद्दल विचार करतो गरजआणि पर्याप्तता:

पाऊस आहे पुरेसेबाहेर ओलसर असण्याची अट आणि दुसरीकडे रस्त्यावर ओलसरपणा आवश्यकपाऊस पडला असे मानणे (कारण जर ते कोरडे असेल तर नक्कीच पाऊस पडत नव्हता).

उलट अर्थ बेकायदेशीर आहे: - रस्त्यावर अजूनही ओलसरपणा आहे पुरेसे नाहीपावसाचे औचित्य सिद्ध करण्यासाठी, आणि त्याशिवाय, पाऊस हे ओलसरपणाचे आवश्यक कारण नाही (कारण, उदाहरणार्थ, गारा निघून वितळू शकतात).

हे स्पष्ट दिसते आहे, परंतु फक्त बाबतीत, आणखी काही उदाहरणे:

- कसे करायचे ते शिकण्यासाठी मॅट्रिक्स ऑपरेशन्स, आवश्यकसंख्या जोडण्यास आणि गुणाकार करण्यास सक्षम व्हा. परंतु हे, जसे आपण योग्यरित्या अंदाज लावत आहात, पुरेसे नाही.

- अंकगणित कसे करावे हे शिकण्यासाठी पुरेसा 9 वर्ग पूर्ण करा. पण हे नाही अट आवश्यक- आजी मोजणी शिकवू शकतात आणि अगदी बालवाडीतही.

- त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ शोधण्यासाठी पुरेसात्याची बाजू आणि त्या बाजूला काढलेली उंची जाणून घ्या. तथापि, पुन्हा, हे नाही गरज, त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ तीन बाजूंवर देखील आढळू शकते (हेरॉनचे सूत्र) किंवा, उदाहरणार्थ, वापरून वेक्टर उत्पादन.

- उच्च गणित पेट्या परीक्षेत प्रवेशासाठी आवश्यकअभ्यासक्रमाच्या कामाचा अहवाल द्या. पण हे पुरेसे नाही- कारण तुम्हाला अजून परीक्षा उत्तीर्ण व्हायची आहे.

- संपूर्ण गटाला क्रेडिट मिळण्यासाठी पुरेसाशिक्षकाकडे कॉग्नाकचा बॉक्स आणा. आणि इथे, जसे गृहीत धरणे सोपे आहे, तसे नाही गरजकाहीतरी शिकण्यासाठी =) पण, लक्ष द्या, तयारी अजिबात निषिद्ध नाही;)

तेथे आवश्यक आणि त्याच वेळी पुरेशी परिस्थिती आहे का? नक्कीच! आणि लवकरच आम्ही त्यांच्यापर्यंत पोहोचू. आणि आता गणितीय तर्कशास्त्राच्या एका महत्त्वाच्या तत्त्वाबद्दल:

गणितीय तर्कशास्त्र औपचारिक आहे

तिला विधानांच्या सत्य किंवा असत्यतेमध्ये स्वारस्य आहे, परंतु त्यांच्या सामग्रीमध्ये नाही.! तर, जर आपण एक अर्थ लावला तर जर कासवे उडत नसतील तर दोन गुणिले दोन म्हणजे चार., मग ते खरे होईल! दुसऱ्या शब्दांत, कोणतेही सत्य विधान कोणत्याही सत्याद्वारे न्याय्य ठरू शकते. (सारणीची पहिली ओळ), आणि औपचारिक तर्कशास्त्राच्या दृष्टिकोनातून, हे खरे असेल!

परंतु खोट्या संदेशाची परिस्थिती आणखी मनोरंजक आहे: कोणतेही खोटे काहीही समर्थन करू शकते - सत्य आणि असत्य दोन्ही:

- जर चंद्र चौरस असेल तर;
- जर पेंग्विन बूट घालतात, तर कासव चप्पल घालतात.

आणि काय? सारणीनुसार, दोन्ही विधाने सत्य आहेत!

हे तथ्य म्हणतात निहित विरोधाभास, परंतु प्रत्यक्षात, अर्थातच, आम्ही आमच्या सामग्री तर्कशास्त्राच्या दृष्टिकोनातून अर्थपूर्ण उदाहरणे विचारात घेत आहोत.

आणि आणखी एक अतिशय महत्त्वाचा मुद्दा: तात्पर्य सहसा चिन्हाद्वारे सूचित केले जाते (हे देखील वाचा "म्हणून", "यावरून पुढे येते"), ज्याचा उपयोग आपण समस्या सोडवण्यासाठी, प्रमेय सिद्ध करण्यासाठी इ. आणि इथे हे लेबलांशी जुळण्याबद्दल आहे.- आपण "सामान्य" गणितीय गणनेत जे वापरतो, काटेकोरपणे बोलायचे तर, त्याचा अर्थ नाही. काय फरक आहे? जेव्हा आपण एखादी समस्या सोडवतो आणि ती लिहितो ("खालील पासून"), नंतर आम्ही विधान ठेवले उघडपणे खरे, आणि शिवाय, आम्ही त्यातून आणखी एक सत्य काढतो. गणितीय तर्कशास्त्रात याला म्हणतात तार्किक परिणाम. सहसा, परिणाम औचित्याच्या अधीन असतो, आणि म्हणून, पेपर तयार करताना, नेहमी कोणते स्वयंसिद्ध, प्रमेय, सोडवलेले प्रश्न इत्यादी स्पष्ट करण्याचा प्रयत्न करा. तुम्ही या किंवा त्या आउटपुटसाठी वापरले.

प्रमेय, त्याच्या सारात, एक तार्किक परिणाम देखील आहे: त्याची स्थिती यावर आधारित आहे खरेपार्सल (स्वयंसिद्ध, पूर्वी सिद्ध प्रमेये इ.). पुरावा परिणामाचे सत्य स्थापित करतो आणि या प्रक्रियेत खोटे तर्क वापरले जाऊ शकत नाहीत.

सिद्ध न झालेले प्रमेय म्हणतात गृहीतक, आणि दोन पर्याय आहेत: एकतर ते सत्यापासून सत्य काढते आणि एक प्रमेय आहे, किंवा गृहितक चुकीचे आहे, म्हणजे. अनेक खऱ्या पाठवण्यांमधून खालील "असू नये":. खंडन करण्याच्या बाबतीत, एक क्षुल्लक निष्कर्ष प्राप्त होतो जसे की " इव्हान पेट्रोव्हचे गृहीतक चुकीचे आहे", पण ते खूप मोलाचे देखील होते - धाडस, प्रिय वाचकांनो!

उदाहरण म्हणून विचार करा, अर्थातच, मेगा-प्रमेय नाही, परंतु एक विधान ज्याला औचित्य आवश्यक आहे, जरी सोपे आहे. जरी ते होणार नाही =) =):

- संख्या 4 ने भाग जाते;
- संख्या 2 ने भाग जाते.

त्याचा परिणाम होणे उघड आहे खरे, म्हणजे, संख्या 4 ने विभाज्य आहे या वस्तुस्थितीवरून, तिची 2 ने विभाज्यता खालीलप्रमाणे आहे. आणि त्यानुसार, उलट निष्कर्ष खोटा आहे:

त्याच वेळी, मी पुन्हा एकदा आपले लक्ष वेधून घेतो की पूर्वाश्रमीची सुरूवातीस सत्य मानली जाते (अर्थार्थाच्या विरूद्ध, जेथे ते खोटे असू शकते).

संकल्पनेच्या ओघात तार्किक परिणामांसाठी गरजआणि पर्याप्तता, वरून काही ओळी कॉपी करा:

संदेशाचे सत्य आहे पुरेशी स्थितीनिष्कर्षाच्या सत्यतेसाठी,

निष्कर्षाचे सत्य आहे आवश्यक स्थितीजागेच्या सत्यासाठी.

आमच्या बाबतीत:

संख्येची 4 ने विभाज्यता आहे पुरेसेत्यास 2 ने भाग जाण्याची अट. आणि दुसरीकडे, संख्येची 2 ने विभाज्यता आवश्यक 4 ने विभाज्यता.

हे लक्षात घ्यावे की विचारात घेतलेले उदाहरण एक अर्थ म्हणून देखील लिहिले जाऊ शकते:
(टेबल वापरून, सर्व मांडणीचे स्वतः विश्लेषण करा)

तथापि सर्वसाधारण बाबतीत, "संकल्पनांचे हस्तांतरण" चुकीचे आहे! म्हणजेच, जर आपण त्याबद्दल बोलत आहोत, तर याचा अर्थ असा नाही की गर्भितार्थ वैध असेल. आणि मी शेवटच्या परिच्छेदात असे उदाहरण देईन. आणि 3 परीक्षा उत्तीर्ण होणे आवश्यक आहे (अन्यथा सत्र हस्तांतरित केले जाणार नाही)आणि त्याच वेळी हे पुरेसा (कारण दुसरे काही करण्याची गरज नाही).

समतुल्यतेचे वैशिष्ठ्य म्हणजे एकतर आहे दोन्ही, किंवा काहीही नाही, उदाहरणार्थ:

जर माशा टेबलवर नाचत असेल तरच पेट्या बारबेल करत आहे

याचा अर्थ असा की एकतर पेट्या बारबेल करत आहे आणि माशा टेबलवर नाचत आहे, किंवा ते दोघेही सोफ्यावर पडलेले आहेत पीटर, तुम्ही त्यास पात्र आहात! =) अशा मैत्रीपूर्ण पेट्या आणि माशा. आता "तेव्हा आणि फक्त तेव्हा" शिवाय एक समान दिसणारा वाक्यांश:

माशा टेबलावर नाचत असताना पेट्या बारबेल करत आहे

परंतु अर्थ काहीसा बदलला आहे: येथे आपण असे गृहीत धरू शकतो की पेट्या कधीकधी माशाशिवाय बार खेचतो आणि दुसरीकडे, माशा तिच्या नृत्यादरम्यान पेट्या स्विंग करते की नाही याची “काळजी करत नाही”.

ही आवश्यक आणि पुरेशी स्थितीची ताकद आहे! - ते एकत्र आणते आणि शिस्त लावते =)

... मला गंमत म्हणून त्याउलट भूमिका वाटून घ्यायच्या होत्या, पण नंतर मी माझा विचार बदलला ... शेवटी, याचा प्रचार केला जाऊ शकत नाही =)

तसे, शिस्तीबद्दल - एक तर्कसंगत दृष्टीकोन फक्त गरज आणि पुरेशी गृहीत धरतो - जेव्हा एखादी व्यक्ती कोणतेही ध्येय साध्य करण्यासाठी आवश्यक तेवढेच करते आणि आणखी नाही. हे, अर्थातच, सामान्य जीवनात कंटाळवाणे आहे, परंतु गणितीय तर्कामध्ये प्रत्येक संभाव्य मार्गाने स्वागत आहे, ज्याची आपण आधीच वाट पाहत आहोत:

त्रिकोण समभुज असतो आणि जर त्याचे कोन समान असतील तरच

म्हणी - समभुज त्रिकोणआणि - समान कोन आहेतसमतुल्यतेने सहसंबंधित केले जाऊ शकते, परंतु व्यवहारात आम्ही त्यांना जवळजवळ नेहमीच दुहेरी धार असलेल्या चिन्हाने जोडतो तार्किक परिणाम कर्ण म्हणतात

हा बिंदू प्रत्यक्षात पायथागोरियन प्रमेय आहे, ज्याची रचना आपल्याला शाळेपासून परिचित आहे: “जर त्रिकोण काटकोन असेल तर”.

2) दुसऱ्या टप्प्यावर, ते न्याय्य आहे पर्याप्तता:
- येथे समानतेची वैधता सिद्ध करणे आवश्यक आहे पुरेसेत्रिकोण उजवा करण्यासाठी.

पुन्हा, विद्यार्थ्यांना अशा शब्दांची भीती वाटत नाही, आणि दुसरा मुद्दा व्यस्त पायथागोरियन प्रमेयाच्या स्वरूपात तयार केला जातो: "जर असेल तर त्रिकोण काटकोन आहे."

गणितामध्ये "जर आणि फक्त तेव्हाच" अनेक जोडण्या आहेत आणि मी त्यांना सिद्ध करण्यासाठी एक मानक योजना दिली आहे. आणि, अर्थातच, नेहमी काय विश्लेषण करा "आवश्यक"

आमच्या रोमांचक धड्याच्या दुसऱ्या भागात मी तुमची वाट पाहत आहे, जिथे आम्ही मुख्य गोष्टींशी परिचित होऊ. तार्किक सूत्रे आणि कायदेआणि व्यावहारिक समस्या सोडवा. समस्यांचे निराकरण करण्यासाठी, आपल्याला या पृष्ठावरील पाच टॅब्लेटची आवश्यकता असेल, म्हणून मी त्यांना ताबडतोब कागदाच्या तुकड्यावर पुन्हा लिहिण्याची शिफारस करतो - जेणेकरून ते आपल्या डोळ्यांसमोर असतील.

याव्यतिरिक्त, मी तुम्हाला गणितीय तर्कशास्त्राच्या यशस्वी अभ्यासाचे रहस्य प्रकट करेन;)

योग्य तर्काचे विज्ञान म्हणून औपचारिक तर्कशास्त्राचे आधुनिक गणितीय मॉडेल. रशियन तर्कशास्त्रज्ञ पोरेत्स्कीच्या योग्य अभिव्यक्तीनुसार, गणितीय तर्कशास्त्र हे विषय आणि गणितातील तर्कशास्त्राचे सार आहे - एखाद्याच्या समस्या सोडवण्याच्या पद्धतीच्या दृष्टीने. गणितीय तर्कशास्त्राचा पद्धतशीर विकास बोलझानो, फ्रेगे, रसेल आणि विटगेनस्टाईन यांच्या कार्याने सुरू झाला. या तर्कशास्त्राचे सार म्हणजे बहुतेक तार्किक श्रेणींचा (संकल्पना, अंदाज, निर्णय, अनुमान, निष्कर्ष, पुरावा) तार्किक कार्ये म्हणून विचार करणे ज्याची व्याप्ती सत्य मूल्ये आहे. लॉजिकल फंक्शन्सचा अर्थ कसा लावला जातो आणि सर्व लॉजिकल ऑपरेटर्स ("सर्व", "अस्तित्वात", "काही", "एक", "काहीही", "आणि", "किंवा", "जर, नंतर", "एकसारखे" "शक्यतो", "आवश्यक", इ., इ.). या फंक्शन्सच्या "इनपुट" आणि "आउटपुट" वर प्रविष्ट केलेल्या सत्य मूल्यांच्या सर्व संभाव्य संयोजनांचा वापर करून, सर्व तार्किक कार्ये शेवटी, सारणीबद्ध पद्धतीने परिभाषित केली जातात. म्हणून, उदाहरणार्थ, तार्किक संबंध "जर, नंतर ..." फंक्शन =) वापरून मॉडेल केले जातात, ज्याला मटेरियल इम्प्लिकेशन म्हणतात.

उत्तम व्याख्या

अपूर्ण व्याख्या ↓

गणिती तर्कशास्त्र

तर्कशास्त्र, गणिताचा वापर करणारे अचूक विज्ञान म्हणून विकसित केले आहे. पद्धती, किंवा, पी.एस. पोरेत्स्की यांच्या मते, विषयानुसार तर्कशास्त्र, पद्धतीनुसार गणित. एम.एल. बांधण्याची कल्पना. लिबनिझने प्रथम व्यक्त केले. पण फक्त 19 व्या शतकात. सहकारी मध्ये. बूलेच्या तर्कशास्त्राचे गणितीय विश्लेषण (जी. बूले, "तर्कशास्त्राचे गणितीय विश्लेषण", 1847) यांनी या विज्ञानाच्या पद्धतशीर विकासास सुरुवात केली. शास्त्रीय औपचारिक तर्कशास्त्राची जुनी साधने ज्यासाठी अयोग्य होती, अशा उपायांना सुरुवात झाली. यापैकी एक समस्या ही होती. भूमितीमधील युक्लिडच्या 5 व्या पोस्टुलेटची अप्रमाणितता. ही समस्या स्वयंसिद्ध पद्धतीशी जोडलेली आहे, जी गणिताच्या तार्किक पद्धतशीरीकरणाचा सर्वात सामान्य मार्ग आहे. त्यासाठी मूलभूत गोष्टींचे अचूक सूत्रीकरण आवश्यक आहे, विकसित सिद्धांताच्या तरतुदींचा पुरावा न घेता स्वीकारला जातो - तथाकथित स्वयंसिद्ध, ज्यावरून त्याची पुढील सर्व सामग्री तार्किकदृष्ट्या काढली जाते. गणितीय सिद्धांताच्या अशा बांधकामाचा शास्त्रीय नमुना म्हणजे भूमितीचे युक्लिडियन बांधकाम. कोणत्याही स्वयंसिद्ध सिद्धांताच्या संबंधात, अनेक तार्किक समस्या स्वाभाविकपणे उद्भवतात. स्वातंत्र्य दिलेल्या सिद्धांताच्या स्वयंसिद्धांपैकी, ज्यामध्ये सिद्धान्ताचा कोणताही स्वयंसिद्ध सिद्धांत उर्वरित स्वयंसिद्धांमधून पूर्णपणे तार्किकदृष्ट्या काढला जाऊ शकत नाही. युक्लिडियन भूमितीसाठी दोन सहस्राब्दी, तार्किक प्रश्न. युक्लिडच्या 5 व्या पोस्ट्युलेटचे स्वातंत्र्य. युक्लिडियन भूमितीच्या उर्वरित स्वयंसिद्धांमधून ते काढण्यासाठी अनेक निरर्थक प्रयत्न केले गेले, शेवटी, एन. आय. लोबाचेव्हस्कीच्या कार्यात, प्रथमच, असा निष्कर्ष काढण्याची अशक्यता स्पष्टपणे स्पष्टपणे व्यक्त केली गेली. लोबाचेव्हस्कीने युक्लिडियनपेक्षा पूर्णपणे भिन्न असलेल्या नवीन भूमितीच्या बांधकामामुळे या विश्वासाला बळकटी मिळाली. लोबाचेव्हस्कीच्या भूमितीमध्ये, त्याच्या निर्मात्याने काळजीपूर्वक विकसित केले, कोणतेही विरोधाभास आढळले नाहीत; नवीन भूमितीच्या स्वयंसिद्धांच्या परिणामांची व्युत्पत्ती कितीही पुढे असली तरीही विरोधाभास अजिबात उद्भवू शकत नाहीत हा आत्मविश्वास यातून प्रेरित झाला. त्यानंतर, जर्मन गणितज्ञ एफ. क्लेन यांनी सिद्ध केले की लोबाचेव्हस्की भूमितीमध्ये विरोधाभास उद्भवू शकत नाहीत जर ते युक्लिडियन भूमितीमध्ये उद्भवू शकत नाहीत (स्वयंसिद्ध पद्धत पहा). अशा प्रकारे उद्भवले आणि अंशतः ऐतिहासिकदृष्ट्या "अप्रमाणितता" आणि स्वयंसिद्ध मधील सुसंगततेच्या पहिल्या समस्यांचे निराकरण केले गेले. सिद्धांत अशा समस्यांचे अचूक सूत्रीकरण, त्यांचा गणितीय समस्या म्हणून विचार करण्यासाठी, पुराव्याच्या संकल्पनेचे परिष्करण आवश्यक आहे. कोणतेही गणित पुराव्यामध्ये ठराविक लॉजिकलच्या सातत्यपूर्ण वापराचा समावेश असतो. सुरुवातीच्या पदांसाठी निधी. पण तार्किक. म्हणजे काही निरपेक्ष, एकदा आणि सर्वांसाठी निश्चित केलेले नाही. ते शतकानुशतके मानवी सरावाने विकसित झाले; "... अब्जावधी वेळा मनुष्याच्या व्यावहारिक क्रियाकलापाने मनुष्याच्या चेतनेला विविध तार्किक आकृत्यांच्या पुनरावृत्तीकडे नेले पाहिजे, जेणेकरून या आकृत्यांना स्वयंसिद्ध मूल्य प्राप्त होईल" (लेनिन V.I., सोच., 38, pp. 181-82). तथापि, मानवी प्रथा प्रत्येक इतिहासात आहे मर्यादित टप्पा, आणि त्याची मात्रा सतत वाढत आहे. तर्कशास्त्र याचा अर्थ असा आहे की दिलेल्या टप्प्यावर किंवा दिलेल्या क्षेत्रात समाधानकारकपणे प्रतिबिंबित केलेली मानवी विचारसरणी यापुढे ट्रेससाठी योग्य असू शकत नाही. स्टेज किंवा इतर भागात. मग, विचाराधीन विषयाच्या सामग्रीतील बदलानुसार, त्याचा विचार करण्याचा मार्ग देखील बदलतो - तार्किक बदलतात. सुविधा हे विशेषतः गणिताला लागू होते, त्याच्या दूरगामी बहु-डिग्री अॅब्स्ट्रॅक्शन्ससह. इथे तर्कशास्त्रावर बोलण्यात अर्थ नाही. म्हणजे संपूर्णपणे दिलेल्या एखाद्या गोष्टीबद्दल, जसे की निरपेक्ष गोष्टीबद्दल. पण तार्किक विचार करणे अर्थपूर्ण आहे. याचा अर्थ गणितात आढळलेल्या समान किंवा दुसर्‍या विशिष्ट सेटिंगमध्ये वापरला जातो. k.-l साठी त्यांची स्थापना. स्वयंसिद्ध सिद्धांत आणि या सिद्धांतासाठी पुराव्याच्या संकल्पनेचे इच्छित परिष्करण तयार करते. गणिताच्या विकासासाठी या शुद्धीकरणाचे महत्त्व अलीकडच्या काळात विशेषतः स्पष्ट झाले आहे. सेट सिद्धांत विकसित करताना, शास्त्रज्ञांना अनेक कठीण समस्यांचा सामना करावा लागला, विशेषतः, जी. कांटोर (1883) यांनी मांडलेल्या सातत्य शक्तीच्या समस्येसह, जे 1939 पर्यंत समाधानकारक आढळले नाही. दृष्टीकोन डॉ. ज्या समस्यांनी जिद्दीने प्रतिकार केला ते समाधान सोव्हने विकसित केलेल्या सेटच्या वर्णनात्मक सिद्धांतामध्ये भेटले. गणितज्ञ हळूहळू हे स्पष्ट झाले की या समस्यांची अडचण तार्किक आहे, ती लागू केलेल्या तर्कशास्त्राच्या अपूर्ण ओळखीशी संबंधित आहे. अर्थ आणि स्वयंसिद्ध आणि एकता. त्यावर मात करण्याचा मार्ग म्हणजे दोन्ही स्पष्ट करणे. म्हणून असे दिसून आले की या समस्यांचे निराकरण करण्यासाठी एमएलचा सहभाग आवश्यक आहे, जे गणिताच्या विकासासाठी आवश्यक विज्ञान आहे. वर्तमानात M. l वर पिन केलेला आशेचा काळ. या समस्यांच्या संबंधात, आधीच स्वत: ला न्याय्य आहे. सातत्य समस्येच्या संदर्भात, के. गॉडेल (1939) द्वारे एक अतिशय महत्त्वपूर्ण परिणाम प्राप्त झाला, ज्यांनी सेट सिद्धांताच्या स्वयंसिद्धांसह कॅंटरच्या सामान्यीकृत सातत्य गृहीतकेची सुसंगतता सिद्ध केली, परंतु हे नंतरचे सुसंगत आहेत. वर्णनात्मक सेट सिद्धांतातील अनेक कठीण समस्यांबाबत, पी.एस. नोविकोव्ह (1951) यांनी महत्त्वाचे परिणाम प्राप्त केले. स्वयंसिद्ध मधील पुराव्याच्या संकल्पनांचे स्पष्टीकरण. सिद्धांत हा त्याच्या विकासाचा एक महत्त्वाचा टप्पा आहे. सिद्धांत ज्यांनी हा टप्पा पार केला आहे, म्हणजे. स्वयंसिद्ध स्थापित तार्किक सह सिद्धांत. म्हणजे, deductive म्हणतात आणि ny m आणि teoriya m आणि मध्ये. केवळ त्यांच्यासाठीच गणितज्ञांना स्वारस्य असलेल्या स्वयंसिद्धता आणि सुसंगततेच्या समस्या अचूक सूत्रीकरणास परवानगी देतात. सिद्धांत आधुनिक पद्धतीने या समस्यांचे निराकरण करण्यासाठी एम. एल. पुराव्याचे औपचारिकीकरण करण्याची पद्धत वापरली जाते. पुरावा औपचारिकीकरण पद्धतीची कल्पना त्याच्या मालकीची आहे. गणितज्ञ डी. हिल्बर्ट. M. l च्या मागील विकासामुळे ही कल्पना अमलात आणणे शक्य झाले. बूले, पोरेत्स्की, श्रोडर, फ्रेगे, पियानो आणि इतर. वेळ, पुरावा औपचारिकीकरणाची पद्धत हे गणिताचे प्रमाणीकरण करण्याच्या समस्यांमध्ये एक शक्तिशाली संशोधन साधन आहे. औपचारिकीकरण पद्धतीचा अनुप्रयोग सहसा तार्किक वाटपाशी संबंधित असतो. मानल्या गेलेल्या वजा सिद्धांताचा भाग. हे तार्किक एक भाग, जो संपूर्ण सिद्धांताप्रमाणेच एका विशिष्ट कॅल्क्युलसच्या स्वरूपात आकारला जातो, म्हणजे. औपचारिक स्वयंसिद्ध आणि औपचारिक अनुमान नियमांची प्रणाली स्वतंत्र संपूर्ण मानली जाऊ शकते. तार्किक सर्वात सोपा कॅल्क्युलस हे प्रोपोझिशनल कॅल्क्युलस, शास्त्रीय आणि रचनात्मक आहेत. दोन प्रपोझिशनल कॅल्क्युलीमधील औपचारिक फरक प्रपोझिशनल व्हेरिएबल्स आणि लॉजिकलच्या अर्थासंबंधित त्यांच्या व्याख्यांमध्ये गहन फरक प्रतिबिंबित करतो. संयोजक (अंतर्ज्ञानवाद, समस्यांचे कॅल्क्युलस, प्रपोझिशनल लॉजिक पहा). डिडक्टिव मॅथेमॅटिकलच्या बांधकामात सर्वात जास्त प्रमाणात वापरला जातो. सिद्धांत उपस्थित आहेत. क्लासिक वेळ. प्रेडिकेट कॅल्क्युलस, जो क्लासिकचा विकास आणि परिष्करण आहे. अॅरिस्टॉटलचा निर्णयांचा सिद्धांत आणि त्याच वेळी संबंधित सेट-सिद्धांतिक. अमूर्तता प्रणाली. विधायक प्रेडिकेट कॅल्क्युलस शास्त्रीय आहे. शास्त्रीय ते रचनात्मक प्रस्तावित कॅल्क्युलस प्रमाणेच प्रेडिकेट कॅल्क्युलस. प्रस्तावित कॅल्क्युलस. या दोन प्रेडिकेट कॅल्क्युलीमधील फरकांपैकी सर्वात लक्षणीय फरक त्यांच्या विशिष्ट किंवा अस्तित्वात्मक निर्णयांच्या व्याख्याशी संबंधित आहे. विधायक प्रेडिकेट कॅल्क्युलसमध्ये असताना, अशा निर्णयांचा अर्थ परिभाषित करण्याच्या शक्यतेबद्दल विधाने म्हणून केला जातो. स्ट्रक्चर्स आणि जेव्हा या रचना क्लासिकमध्ये दर्शवल्या जातात तेव्हाच स्थापित केल्या जातात. प्रेडिकेट कॅल्क्युलसमध्ये, अस्तित्वाच्या प्रस्तावना सामान्यतः रचनात्मक शक्यतांपासून वेगळे ठेवल्या जातात कारण अस्तित्वाबद्दल काही प्रकारचे "शुद्ध" विधाने (सीएफ. विधायक दिशा). अस्तित्त्वविषयक निर्णयांचे अधिक समाधानकारक व्याख्या शास्त्रीय आहे. प्रेडिकेट कॅल्क्युलस, व्याख्या जोडणे. अशाचप्रकारे, रचनात्मक अंदाज असलेल्या कॅल्क्युलसचा शोध ए.एन. कोल्मोगोरोव्ह यांनी 1925 मध्ये लावला. गणितात, तार्किक. कॅल्क्युलस विशिष्ट सह संयोजनात लागू केले जाते. तैनात करण्यायोग्य वजावटी सिद्धांतांचे स्वयंसिद्ध. उदाहरणार्थ, प्रेडिकेट कॅल्क्युलस (शास्त्रीय किंवा रचनात्मक) सह अंकगणितासाठी पियानोचे स्वयंसिद्ध एकत्र करून नैसर्गिक संख्यांचा सिद्धांत तयार केला जाऊ शकतो. या प्रकरणात वापरलेले तार्किक संघ. गणितासह प्रतीकवाद आपल्याला केवळ गणिते काढण्याची परवानगी देत ​​​​नाही. कॅल्क्युलसच्या स्वरूपात सिद्धांत, परंतु गणिताचा अर्थ स्पष्ट करण्यासाठी देखील महत्त्वाचा असू शकतो. ऑफर. वर्तमानात उल्लू वेळ. गणितज्ञ एन.ए. शानिन यांनी गणिताच्या रचनात्मक अर्थ लावण्यासाठी अचूक नियम विकसित केले. गणिताचे विस्तृत क्षेत्र व्यापणारे निर्णय. प्रश्नातील निकाल योग्य तार्किक-गणितीय भाषेत लिहिल्यानंतरच या नियमांचा वापर शक्य होईल. इंग्रजी. व्याख्याचे नियम लागू करण्याच्या परिणामी, या निर्णयाशी संबंधित एक रचनात्मक कार्य प्रकट होऊ शकते. तथापि, हे नेहमीच घडत नाही: प्रत्येक गणितज्ञांसह नाही. प्रस्ताव विधायक कार्याशी निगडीत असणे आवश्यक आहे. खालील संकल्पना आणि कल्पना कॅल्क्युलसशी संबंधित आहेत. कॅल्क्युलस सुसंगत असे म्हटले जाते जर U फॉर्मचे कोणतेही सूत्र त्यात U या सूत्रासह (जेथे नकाराचे चिन्ह आहे) व्युत्पन्न केले जाऊ शकत नाही. गणितात वापरल्या जाणार्‍या कॅल्क्युलसची सुसंगतता स्थापित करण्याची समस्या Ch. कार्ये M. l. वर्तमानात ही समस्या केवळ मर्यादित वेळेत सोडवली जाते. खंड विविध वापरले जातात. कॅल्क्युलसच्या पूर्णतेच्या संकल्पना. गणिताच्या एक किंवा दुसर्‍या अर्थपूर्ण परिभाषित क्षेत्राचे कव्हरेज लक्षात घेऊन, जर या क्षेत्रातून खरे विधान व्यक्त करणारे कोणतेही सूत्र त्यात व्युत्पन्न केले गेले असेल तर या क्षेत्राच्या संदर्भात कॅल्क्युलस पूर्ण मानले जाते. कॅल्क्युलसच्या पूर्णतेची आणखी एक कल्पना कॅल्क्युलसमध्ये तयार केलेल्या कोणत्याही प्रस्तावासाठी पुरावा किंवा खंडन प्रदान करण्याच्या आवश्यकतेशी संबंधित आहे. या संकल्पनांच्या संबंधात सर्वात महत्वाची गोष्ट म्हणजे Gödel-Rosser प्रमेय, जे कॅल्क्युलीच्या खूप विस्तृत वर्गासाठी सुसंगततेच्या आवश्यकतेसह पूर्णतेच्या आवश्यकतेच्या विसंगततेचे प्रतिपादन करते. Gödel-Rosser प्रमेयानुसार, या वर्गातील कोणतेही सुसंगत कॅल्क्युलस अंकगणिताच्या संदर्भात पूर्ण होऊ शकत नाही: अशा कोणत्याही कॅल्क्युलससाठी, योग्य अंकगणित तयार करता येते. या कॅल्क्युलसमध्ये एक विधान औपचारिक परंतु व्युत्पन्न नाही (cf. Metatheory). हे प्रमेय, M. l चे मूल्य कमी न करता. विज्ञानातील एक शक्तिशाली आयोजन साधन म्हणून, मूलत: एका व्युत्पन्न सिद्धांताच्या चौकटीत गणिताच्या सार्वत्रिक व्याप्तीची जाणीव करून देण्यास सक्षम असे काहीतरी म्हणून या शिस्तीची आशा नष्ट करते. अशी आशा अनेकांनी व्यक्त केली होती. हिल्बर्टसह शास्त्रज्ञ - गणितातील औपचारिकतेचे मुख्य प्रतिनिधी - एक दिशा ज्याने सर्व गणिते निश्चित एकदा आणि सर्व स्थापित नियमांनुसार सूत्रांसह हाताळणीसाठी कमी करण्याचा प्रयत्न केला. Gödel आणि Rosser च्या परिणामाने या दिशेने एक मोठा धक्का दिला. त्यांच्या प्रमेयाच्या आधारे, नैसर्गिक संख्यांच्या अंकगणिताइतका गणिताचा एवढा तुलनेने प्राथमिक भाग देखील एकाच वजावटी सिद्धांताद्वारे कव्हर केला जाऊ शकत नाही. एम. एल. सायबरनेटिक्सशी सेंद्रियपणे जोडलेले आहे, विशेषतः रिले-संपर्क सर्किट्स आणि ऑटोमेटा, मशीन गणित आणि गणितीय भाषाशास्त्राच्या सिद्धांताशी. अर्ज एम. एल. टू रिले-संपर्क सर्किट पुढील कोणत्याही दोन-ध्रुव रिले-संपर्क सर्किटवर आधारित आहेत. विशिष्ट सूत्र यू शास्त्रीय मॉडेलिंगच्या अर्थाने. प्रस्तावित कॅल्क्युलस. जर सर्किट n रिलेद्वारे नियंत्रित असेल, तर U मध्ये समान संख्येच्या भिन्न प्रस्तावित चलांचा समावेश आहे आणि जर आपण "रिले क्रमांक i worked" या प्रस्तावाने द्वि द्वारे दर्शविल्यास, जर आणि केवळ प्रतिस्थापनाचा परिणाम असेल तर सर्किट बंद होईल. प्रपोझिशन्सचे b1, ... , bn संबंधित लॉजिकल ऐवजी. यू मधील व्हेरिएबल्स. सर्किटच्या "कामाच्या परिस्थिती" चे वर्णन करणार्‍या अशा सिम्युलेटेड फॉर्म्युलाचे बांधकाम तथाकथित लोकांसाठी विशेषतः सोपे आहे. ?-योजना, समांतर आणि सीरियल कनेक्शनद्वारे प्राथमिक एकल-संपर्क सर्किट्सच्या आधारे प्राप्त केली जाते. हे सर्किट मॉडेलचे समांतर आणि मालिका कनेक्शन, अनुक्रमे, वियोग आणि निर्णयांचे संयोजन या वस्तुस्थितीमुळे आहे. खरंच, सर्किट C1 आणि C2 च्या समांतर (मालिका) कनेक्शनद्वारे प्राप्त केलेले सर्किट जर आणि फक्त सर्किट C1 बंद असेल किंवा (आणि) सर्किट C2 बंद असेल तरच बंद होते. रिले सर्किट्सवर प्रपोझिशनल कॅल्क्युलसच्या वापराने आधुनिक काळातील महत्त्वाच्या समस्यांसाठी एक फलदायी दृष्टीकोन उघडला आहे. तंत्रज्ञान. त्याच वेळी, सिद्धांत आणि सराव यांच्यातील या संबंधामुळे अनेकांचे सूत्रीकरण आणि आंशिक समाधान झाले एम. एल.च्या नवीन आणि कठीण समस्या, त्यापैकी, सर्व प्रथम, तथाकथित. मिनिमायझेशनची समस्या, ज्यामध्ये दिलेल्या सूत्राच्या समतुल्य साधे सूत्र शोधण्यासाठी प्रभावी पद्धती शोधणे समाविष्ट आहे. रिले-संपर्क सर्किट्स हे आधुनिक वापरल्या जाणार्‍या कंट्रोल सर्किट्सचे विशेष प्रकरण आहेत. स्वयंचलित मशीन्स. इतर प्रकारचे नियंत्रण सर्किट, विशेषतः, व्हॅक्यूम ट्यूब किंवा सेमीकंडक्टर घटकांचे सर्किट, ज्यात अधिक व्यावहारिक आहे. मूल्य, M. l. च्या मदतीने देखील विकसित केले जाऊ शकते, जे अशा योजनांचे विश्लेषण आणि संश्लेषण दोन्हीसाठी पुरेसे साधन प्रदान करते. भाषा M. l. सध्याच्या काळात तयार केलेल्या प्रोग्रामिंगच्या सिद्धांतामध्ये देखील लागू असल्याचे दिसून आले. मशीन गणिताच्या विकासाशी संबंधित वेळ. शेवटी, M. l मध्ये तयार केले. गणिताच्या भाषेचा अभ्यास करणार्‍या गणितीय भाषाशास्त्रात कॅल्क्युलसचे उपकरण लागू होते. पद्धती मुख्यपैकी एक या विज्ञानाची समस्या ही प्रश्नातील भाषेच्या व्याकरणाच्या नियमांची अचूक रचना आहे, म्हणजे. "या भाषेच्या व्याकरणदृष्ट्या योग्य वाक्यांश" द्वारे काय समजले पाहिजे याची अचूक व्याख्या. आमेर यांनी दाखवल्याप्रमाणे. शास्त्रज्ञ चॉम्स्की, या समस्येचे निराकरण खालील स्वरूपात शोधण्याचे प्रत्येक कारण आहे: एक विशिष्ट कॅल्क्युलस तयार केला जातो, आणि दिलेल्या भाषेच्या वर्णमालेतील वर्णांनी बनलेले आणि या कॅल्क्युलसमध्ये काढलेल्या अभिव्यक्ती व्याकरणाच्या दृष्टीने घोषित केल्या जातात. योग्य वाक्ये. या दिशेने काम सुरू आहे. तर्कशास्त्राचे बीजगणित, रचनात्मक तर्कशास्त्र, संयोजन तर्कशास्त्र, वर्गांचे तर्कशास्त्र, तार्किक कॅल्क्युलस, मॉडेल लॉजिक आणि लिट हे देखील पहा. या लेखांसह. ए. मार्कोव्ह. मॉस्को.

आधुनिक तर्कशास्त्रातील एक नाव, जे दुसऱ्या क्रमांकावर आले. मजला 19 लवकर 20 वे शतक पारंपारिक तर्कशास्त्राऐवजी. प्रतीकात्मक तर्कशास्त्र हा शब्द तर्कशास्त्राच्या विकासाच्या आधुनिक टप्प्यासाठी दुसरे नाव म्हणून देखील वापरला जातो. व्याख्या …… फिलॉसॉफिकल एनसायक्लोपीडिया

गणितीय तर्क- सिम्बॉलिक लॉजिक, गणितीय तर्कशास्त्र, सैद्धांतिक तर्कशास्त्र, तर्कशास्त्राचे क्षेत्र ज्यामध्ये कठोर प्रतीकात्मक भाषेवर आधारित तार्किक कॅल्क्युलसद्वारे तार्किक निष्कर्ष तपासले जातात. संज्ञा एल. सह." वरवर पाहता, प्रथमच होते ... ... ज्ञानकोश आणि विज्ञानाचे तत्वज्ञान

गणिती तर्कशास्त्र- याला सिम्बॉलिक लॉजिक असेही म्हणतात. एम. एल. हे समान अ‍ॅरिस्टोटेलियन सिलोजिस्टिक लॉजिक आहे, परंतु त्यात गणितीय चिन्हांद्वारे केवळ अवजड शाब्दिक निष्कर्ष बदलले आहेत. हे साध्य करते, प्रथम, संक्षिप्तता, दुसरे म्हणजे, स्पष्टता, मध्ये ... ... सांस्कृतिक अभ्यासाचा विश्वकोश

गणिती तर्कशास्त्र- गणितीय तर्कशास्त्र, तर्कशास्त्र, तर्कशास्त्र (निष्कर्ष) चा अभ्यास करण्यासाठी गणितीय पद्धती वापरणे; वजाबाकी तर्क पद्धतींचा गणिती सिद्धांत... आधुनिक विश्वकोश

गणिती तर्कशास्त्र- तर्कशास्त्र (निष्कर्ष) चा अभ्यास करण्यासाठी गणितीय पद्धतींसह तर्कशास्त्र; वजाबाकी तर्क पद्धतींचा गणितीय सिद्धांत. गणितीय तर्काला गणितात वापरले जाणारे तर्कशास्त्र देखील म्हणतात... मोठा विश्वकोशीय शब्दकोश

गणिती तर्कशास्त्र- (प्रतीकात्मक तर्क), तर्कशास्त्राचा विश्लेषणात्मक विभाग, शास्त्रीय तर्कशास्त्राच्या समस्यांवर गणितीय पद्धती लागू करण्याचा परिणाम. खऱ्या किंवा खोट्या असू शकतात अशा संकल्पनांचा विचार करते, संकल्पनांमधील संबंध आणि त्यांचे कार्य, यासह ... ... वैज्ञानिक आणि तांत्रिक ज्ञानकोशीय शब्दकोश

गणिती तर्कशास्त्र- आधुनिक तर्कशास्त्र आणि गणिताच्या अग्रगण्य विभागांपैकी एक. 1920 कला मध्ये स्थापना. गणिताप्रमाणेच चिन्हांच्या भाषेत सर्व प्रारंभिक गृहितके लिहून ठेवण्याची आणि त्याद्वारे तर्कशक्तीची जागा गणनेसह घेण्याच्या शक्यतेच्या कल्पनेची जाणीव म्हणून. ... ... नवीनतम तात्विक शब्दकोश

गणितीय तर्क- संज्ञा, समानार्थी शब्दांची संख्या: 1 लॉजिस्टिक (9) ASIS समानार्थी शब्दकोष. व्ही.एन. त्रिशिन. 2013... समानार्थी शब्दकोष

गणितीय तर्क- - दूरसंचार विषय, EN गणितीय तर्कशास्त्राच्या मूलभूत संकल्पना ... तांत्रिक अनुवादकाचे हँडबुक

गणिती तर्कशास्त्र- सैद्धांतिक तर्कशास्त्र, प्रतीकात्मक तर्कशास्त्र, गणिताच्या अभ्यासासाठी समर्पित गणिताची शाखा. गणिताच्या पायाचे पुरावे आणि प्रश्न. ऐतिहासिक निबंध. सर्व गणितासाठी एक सार्वत्रिक भाषा तयार करण्याची कल्पना आणि त्यावर आधारित औपचारिकीकरण ... ... गणितीय विश्वकोश

पुस्तके

• गणितीय तर्कशास्त्र, एरशोव्ह युरी लिओनिडोविच, पॅल्युटिन इव्हगेनी अँड्रीविच. पुस्तकात गणितीय तर्कशास्त्राच्या मूलभूत शास्त्रीय कॅल्क्युलसची रूपरेषा दिली आहे: प्रस्तावित कॅल्क्युलस आणि प्रेडिकेट कॅल्क्युलस; सेट सिद्धांत आणि सिद्धांताच्या मुख्य संकल्पनांचा सारांश आहे ... 1447 UAH साठी खरेदी करा (केवळ युक्रेन)
• मॅथेमॅटिकल लॉजिक, वायएल एरशोव्ह. पुस्तकात गणितीय तर्कशास्त्राच्या मुख्य शास्त्रीय कॅल्क्युलसची रूपरेषा दिली आहे: प्रपोझिशनल कॅल्क्युलस आणि प्रेडिकेट कॅल्क्युलस; सेट सिद्धांत आणि सिद्धांताच्या मूलभूत संकल्पनांचा सारांश आहे ...

गणितीय तर्कशास्त्र, शास्त्रीय तर्कशास्त्राप्रमाणे, अनुमानांच्या प्रक्रियेचे अन्वेषण करते आणि एखाद्याला त्यांच्या विशिष्ट सामग्रीची पर्वा न करता, इतरांच्या सत्य किंवा असत्यतेबद्दल काही निर्णयांच्या सत्यातून निष्कर्ष काढण्याची परवानगी देते. तर्कशास्त्रातील गणितीय पद्धतींचा वापर (तर्कशास्त्राचे बीजगणितीकरण आणि तार्किक कॅल्क्युलीचे बांधकाम) यामुळे गणिताच्या नवीन क्षेत्राचा विकास झाला ज्याला "गणितीय तर्कशास्त्र" म्हणतात. गणितीय तर्कशास्त्राचे मुख्य कार्य म्हणजे ज्ञान आणि तर्क यांचे औपचारिकीकरण. गणित हे एक शास्त्र आहे ज्यामध्ये सर्व विधाने अनुमानांच्या मदतीने सिद्ध केली जातात, म्हणून गणितीय तर्कशास्त्र, थोडक्यात, गणिताचे शास्त्र आहे.

गणितीय तर्कशास्त्राने तार्किक सिद्धांत तयार करण्याचे साधन आणि समस्यांचे निराकरण करण्यासाठी संगणकीय उपकरणे प्रदान केली. गणितीय तर्कशास्त्र आणि अल्गोरिदमच्या सिद्धांताला वैज्ञानिक संशोधन आणि तंत्रज्ञानाच्या विविध क्षेत्रांमध्ये (उदाहरणार्थ, ऑटोमेटाच्या सिद्धांतामध्ये, भाषाशास्त्रात, रिले-संपर्क सर्किटच्या सिद्धांतामध्ये, आर्थिक संशोधनात, संगणक तंत्रज्ञानामध्ये, माहिती प्रणाली इ.). गणितीय तर्कशास्त्राच्या मूलभूत संकल्पना डेटाबेस, तज्ञ प्रणाली आणि लॉजिक प्रोग्रामिंग सिस्टम यांसारख्या अनुप्रयोगांमध्ये अंतर्भूत आहेत. स्वयंचलित एकात्मिक उत्पादनाचे विश्लेषण आणि मॉडेलिंगचे वर्णन करण्यासाठी समान संकल्पना पद्धतशीर आधार बनतात.

गणितीय तर्कशास्त्राद्वारे अभ्यासलेले प्रश्न बीजगणिताच्या संकल्पनेवर आधारित सिमेंटिक (सिमेंटिक) सिद्धांत आणि लॉजिकल कॅल्क्युलसच्या संकल्पनेवर आधारित औपचारिक स्वयंसिद्ध (वाक्यबद्ध) सिद्धांत या दोन्हींद्वारे विचारात घेतले जाऊ शकतात. हा अभ्यासक्रम प्रस्तावित बीजगणितापासून सुरू होणार्‍या या दोन्ही पध्दतींचे परीक्षण करतो, जे नंतर बीजगणिताचा अंदाज लावण्यासाठी सामान्यीकृत केले जाते आणि ते दोन्ही लॉजिकल कॅल्क्युलीचे बांधकाम आणि त्यांची विशेष प्रकरणे समजून घेण्यास मदत करतात: प्रपोझिशनल कॅल्क्युलस आणि प्रेडिकेट कॅल्क्युलस.

विभाग I. प्रस्तावित बीजगणित

कार्यात्मक भाषेचा वापर करून "बूलियन फंक्शन्स" विभागात शिकलेल्या निकालांचे दुसर्‍या (बीजगणितीय) भाषेत भाषांतर म्हणून प्रस्तावित बीजगणिताचा विचार केला जाऊ शकतो. कार्यात्मक दृष्टिकोनासह, प्रत्येक तार्किक ऑपरेशन्स आणि सूत्रे एका विशिष्ट द्वि-मूल्याच्या कार्याशी संबंधित असतात. बीजगणितीय दृष्टिकोनामध्ये, तार्किक ऑपरेशन्सचा अर्थ बीजगणितीय म्हणून केला जातो, जो दोन घटकांच्या संचावर कार्य करतो.

1. त्यांच्यावरील विधाने आणि ऑपरेशन्स. सूत्रे

म्हणत कोणतेही विधान म्हटले जाते, ज्याबद्दल ते खरे आहे की खोटे हे निश्चितपणे आणि वस्तुनिष्ठपणे सांगणे शक्य आहे.

उदाहरणार्थ, विधान "2 > 0" हे विधान आहे आणि सत्य आहे आणि विधान "2< 0" - ложно, утверждение "x 2 + y 2 = z 2 " высказыванием не является, так как оно может быть, как истинным, так и ложным при различных значениях переменных x, y, z. Высказывание полностью определяется своим истинностным значением. Условимся, значение истинности высказывания обозначать 1, если высказывание истинно, и 0, если высказывание ложно, что в точности соответствует значениям переменных булевых функций.

साध्या आणि गुंतागुंतीच्या विधानांमध्ये फरक करा, विधानाचा कोणताही भाग विधान नसल्यास त्याला सोपे म्हणतात. साधी विधाने लॅटिन वर्णमाला A, B, C किंवा A 1 , A 2 , च्या प्रारंभिक कॅपिटल अक्षरांद्वारे दर्शविली जातील. . .. मिश्र विधाने या वस्तुस्थितीद्वारे वैशिष्ट्यीकृत आहेत की ते तार्किक क्रियांच्या मदतीने अनेक सोप्या विधानांमधून तयार केले जातात, उदा. प्रस्तावित बीजगणिताची सूत्रे आहेत.

लक्षात ठेवा की बीजगणितीय रचना किंवा बीजगणित ही एक विशिष्ट संचाद्वारे तयार केलेली रचना आहे त्यावर सादर केलेल्या ऑपरेशन्ससह. आपण प्रपोझिशनचे बीजगणित परिभाषित करू.

द्वारे सूचित करा बी = (0, 1) विधानांचा संच आहे. आम्ही सेटवर ऑपरेशन्स परिभाषित करतो बी .

नकार विधान A ला असे विधान म्हणतात जे A खोटे असल्यास सत्याचे मूल्यांकन करते आणि त्याउलट. निगेशन (A) दर्शविले जाते आणि एक युनरी ऑपरेशन आहे.

A आणि B ही काही विधाने असू द्या, आम्ही त्यांच्यावर बायनरी ऑपरेशन्स सादर करू.

संयोग विधान A आणि B यांना विधान म्हणतात जे जर आणि फक्त दोन्ही विधाने A आणि B सत्य असतील तरच मूल्य सत्य मानते. संयोग दर्शविला जातो - A B (AB).

वियोग विधान A आणि B यांना विधान म्हणतात जे विधान A किंवा B पैकी किमान एक सत्य असल्यास मूल्य सत्य घेते. विच्छेदन दर्शविले जाते - A b

तात्पर्य विधान A आणि B ला असे विधान म्हणतात जे A सत्य असेल आणि B असत्य असेल तरच चुकीचे मूल्यांकन करते. AB म्हणून संदर्भित.

समतुल्यता विधान A आणि B ला विधान असे म्हणतात जे विधान A आणि B चे मूल्य समान असेल तरच सत्य आहे. ऑपरेशन पदनाम - АВ (АВ).

तार्किक ऑपरेशन्स देखील टेबल वापरून परिभाषित केल्या जातात ज्याला म्हणतात सत्य सारण्या . सादर केलेल्या सर्व लॉजिकल ऑपरेशन्ससाठी आम्ही सारांश सत्य सारणी सादर करतो.

प्रस्तावित (प्रस्तावात्मक) चल व्हेरिएबल ज्याची मूल्ये साधे प्रस्तावित आहेत त्यांना म्हणतात. द्वारे प्रस्तावित चल दर्शवा एक्स 1 , एक्स 2 , . . . , एक्स n .

प्रपोझिशनल बीजगणित सूत्राची कल्पना इंडक्शनद्वारे सादर केली जाते. प्रस्तावित बीजगणित सूत्रे आहेत:

1) तार्किक स्थिरांक 0 आणि 1;

2) प्रस्तावित चल;

3) जर एआणि मध्ये -सूत्र, नंतर प्रत्येक अभिव्यक्ती ( अ), (अ) (IN), (अ) (IN), (अ) (IN), (अ) ~ (IN) एक सूत्र आहे;

4) परिच्छेदांनुसार तयार केलेल्या व्यतिरिक्त इतर सूत्रे. 1) - 3), क्र.

द्वारे सूचित करा एम प्रस्तावित बीजगणिताच्या सर्व सूत्रांचा संच आहे, एम तार्किक ऑपरेशन अंतर्गत बंद आहे.

सूत्राच्या आयटम 3 नुसार तयार केलेल्या सूत्रासाठी एआणि बीउपसूत्र म्हणतात. सूत्रातील कंसांची संख्या कमी केली जाऊ शकते. सूत्रातील ऑपरेशन्स ज्या क्रमाने केल्या जातात त्या क्रमाने त्यांच्या प्राधान्याने निर्धारित केल्या जातात. अग्रक्रमाच्या उतरत्या क्रमाने तार्किक ऑपरेशन्सची सूची:
~ ऑपरेशन्सचा क्रम बदलणे, बीजगणित ऑपरेशन्सप्रमाणे, कंस वापरून केले जाते.

द्या यू - प्रस्तावित चलांवर सूत्र एक्स 1 , एक्स 2 , . . . , एक्स n, सूचित केले यू(एक्स 1 , एक्स 2 , . . . , एक्स n). प्रस्तावित चलांच्या ठोस मूल्यांचा संच एक्स 1 , एक्स 2 , . . . , एक्स nसूत्राचे स्पष्टीकरण असे म्हणतात यूआणि दर्शविले आय(यू).

सूत्र म्हणतात शक्य , जर व्हेरिएबल व्हॅल्यूजचा असा संच असेल ज्यासाठी हे सूत्र मूल्य 1 घेते (तेथे एक व्याख्या आहे आय(यू) ज्यावर सूत्र खरे आहे).

सूत्र म्हणतात खंडन करण्यायोग्य , जर व्हेरिएबल व्हॅल्यूजचा असा संच असेल ज्यासाठी हे सूत्र 0 मूल्य घेते (तेथे एक व्याख्या आहे आय(यू) ज्यावर सूत्र असत्य आहे).

सूत्र म्हणतात सारखेच खरे (TI-फॉर्म्युला) किंवा टाटॉलॉजी , जर हे सूत्र व्हेरिएबल मूल्यांच्या सर्व संचांसाठी 1 मूल्य घेते (सूत्र सर्व व्याख्यांवर सत्य आहे).

सूत्र म्हणतात एकसारखे खोटे (TL-फॉर्म्युला) किंवा विरोधाभास जर हे सूत्र व्हेरिएबल व्हॅल्यूच्या सर्व संचांसाठी 0 मूल्य घेते (सूत्र सर्व व्याख्यांवर चुकीचे आहे).

सूत्रे एआणि INम्हणतात समतुल्य (निदर्शित ए  IN) प्रस्तावित चलांच्या कोणत्याही मूल्यांसाठी सूत्राचे मूल्य असल्यास एसूत्राच्या मूल्याशी जुळते IN.

समतुल्यता, समाधानकारकता, खंडन, समान सत्य आणि सूत्रांची असत्यता ठरवण्याची कार्ये सत्य सारण्यांच्या बांधकामाचा वापर करून सोडवता येतात, परंतु या समस्यांचे निराकरण करण्यासाठी कमी अवजड मार्ग आहेत.

परिचय

अभ्यासाचे प्रश्न:

गणितीय तर्कशास्त्राच्या संकल्पना आणि व्याख्या.

प्रस्तावित बीजगणिताची मूलभूत क्रिया.

बुलियन बीजगणिताचे कायदे आणि परिणाम.

निष्कर्ष

परिचय

संगणकाच्या निर्मितीसाठी सैद्धांतिक आधार म्हणजे विशेष गणितीय शाखा. त्यापैकी एक म्हणजे तर्कशास्त्राचे बीजगणित किंवा बूलियन बीजगणित (जे. बूले हे 19व्या शतकातील इंग्रजी गणितज्ञ आहेत, या शाखेचे संस्थापक). संगणक सर्किट, त्यांची रचना आणि ऑप्टिमायझेशन यांचे वर्णन करण्यासाठी त्याचे उपकरण मोठ्या प्रमाणावर वापरले जाते.

1. गणितीय तर्कशास्त्राच्या संकल्पना आणि व्याख्या.

तर्कशास्त्र- एक विज्ञान जे विचारांचे नियम आणि स्वरूपांचा अभ्यास करते; तर्क आणि पुराव्याच्या पद्धतींचा सिद्धांत.

गणितीय तर्कशास्त्र (सैद्धांतिक तर्कशास्त्र, प्रतीकात्मक तर्क) ही गणिताची एक शाखा आहे जी गणिताच्या पायाचे पुरावे आणि प्रश्नांचा अभ्यास करते. "आधुनिक गणितीय तर्कशास्त्राचा विषय वैविध्यपूर्ण आहे." पी.एस. पोरेत्स्कीच्या व्याख्येनुसार, "गणितीय तर्कशास्त्र म्हणजे विषयानुसार तर्कशास्त्र, पद्धतीनुसार गणित." एन.आय. कोंडाकोव्हच्या व्याख्येनुसार, "गणितीय तर्कशास्त्र हे पारंपारिक तर्कशास्त्रानंतर दुसरे, औपचारिक तर्कशास्त्राच्या विकासाचा टप्पा आहे, गणितीय पद्धती आणि चिन्हांचे एक विशेष उपकरण लागू करणे आणि कॅल्क्युलस (औपचारिक भाषा) च्या मदतीने विचारांचा शोध घेणे." ही व्याख्या S. K. Kleene च्या व्याख्येशी सुसंगत आहे: गणितीय तर्क म्हणजे "गणितीय पद्धतींच्या मदतीने विकसित केलेले तर्कशास्त्र." तसेच, ए.ए. मार्कोव्ह आधुनिक तर्कशास्त्राची व्याख्या "गणितीय पद्धती लागू करणारे अचूक विज्ञान" म्हणून करतात. या सर्व व्याख्या विरोधाभासी नाहीत, परंतु एकमेकांना पूरक आहेत.

तर्कशास्त्रात गणितीय पद्धतींचा वापर शक्य होतो जेव्हा निर्णय काही अचूक भाषेत तयार केले जातात. अशा अचूक भाषांना दोन बाजू असतात: वाक्यरचना आणि शब्दार्थ. वाक्यरचना हा भाषेतील वस्तू (सामान्यतः सूत्रांना म्हणतात) बांधण्यासाठी नियमांचा संच आहे. सिमेंटिक्स हा नियमांचा एक संच आहे जो आपल्या सूत्रांबद्दलच्या (किंवा त्यातील काही) आकलनाचे वर्णन करतो आणि आपल्याला काही सूत्रे सत्य मानू देतात आणि इतर नाहीत.

गणितीय तर्कशास्त्र तार्किक कनेक्शन आणि अंतर्निहित संबंधांचा अभ्यास करते तार्किक (वहनात्मक) अनुमान, गणिताची भाषा वापरून.

जगाचे नियम, वस्तूंचे सार, त्यातले साम्य हे आपण अमूर्त विचारातून शिकतो. अमूर्त विचारसरणीचे मुख्य प्रकार म्हणजे संकल्पना, निर्णय आणि निष्कर्ष.

संकल्पना- विचारांचा एक प्रकार जो वैयक्तिक वस्तू किंवा एकसंध वस्तूंच्या वर्गाची आवश्यक वैशिष्ट्ये प्रतिबिंबित करतो. भाषेतील संकल्पना शब्दांतून व्यक्त होतात.

संकल्पनेची व्याप्ती- ऑब्जेक्ट्सचा एक संच, ज्यापैकी प्रत्येकामध्ये गुणधर्म आहेत जे संकल्पनेची सामग्री बनवतात. सामान्य आणि एकवचनी संकल्पना वेगळे आहेत.

संकल्पनांचे खालील संबंध खंडानुसार ओळखले जातात:

ओळखकिंवा खंडांचा योगायोग, म्हणजे एका संकल्पनेची मात्रा दुसर्‍या संकल्पनेच्या व्हॉल्यूमच्या बरोबरीची आहे;

अधीनताकिंवा खंडांचा समावेश: एका संकल्पनेचा खंड दुसऱ्याच्या खंडामध्ये पूर्णपणे समाविष्ट आहे;

अपवादव्हॉल्यूम्स - एक केस ज्यामध्ये दोन खंडांमध्ये एक वैशिष्ट्य नाही;

छेदनबिंदूकिंवा खंडांचा आंशिक योगायोग;

अधीनताखंड - जेव्हा दोन संकल्पनांचे खंड, एकमेकांना वगळून, तिसऱ्याच्या खंडात समाविष्ट केले जातात तेव्हा.

निवाडा- हा विचार करण्याचा एक प्रकार आहे ज्यामध्ये वस्तू, चिन्हे किंवा त्यांच्या संबंधांबद्दल काहीतरी पुष्टी किंवा नाकारली जाते.

अनुमान- विचारांचा एक प्रकार, ज्याद्वारे एक किंवा अधिक निर्णयांमधून, ज्याला परिसर म्हणतात, आम्ही, अनुमानांच्या काही नियमांनुसार, निर्णय-निष्कर्ष प्राप्त करतो.

बीजगणितशब्दाच्या व्यापक अर्थाने, बेरीज आणि गुणाकार सारख्या सामान्य ऑपरेशन्सचे विज्ञान, जे केवळ संख्यांवरच नाही तर इतर गणितीय वस्तूंवर देखील केले जाऊ शकते.

तर्कशास्त्राचे बीजगणित (प्रस्तावित बीजगणित, बुलियन बीजगणित 1 ) - गणितीय तर्कशास्त्राची एक शाखा, जी विधानांवर तार्किक क्रियांचा अभ्यास करते. बर्‍याचदा असे गृहीत धरले जाते (तथाकथित बायनरी किंवा बायनरी लॉजिक, याउलट, उदाहरणार्थ, त्रयस्थ तर्क) की विधाने फक्त सत्य किंवा असत्य असू शकतात.

बीजगणितांची उदाहरणे: नैसर्गिक संख्यांचे बीजगणित, परिमेय संख्यांचे बीजगणित, बहुपदींचे बीजगणित, सदिशांचे बीजगणित, मॅट्रिक्सचे बीजगणित, संचांचे बीजगणित इ. तर्कशास्त्राच्या बीजगणिताच्या वस्तू किंवा बुलियन बीजगणित हे प्रस्ताव आहेत.

विधान- हे कोणत्याही भाषेचे कोणतेही वाक्य (विधान) आहे, ज्याची सामग्री सत्य किंवा खोटी म्हणून निर्धारित केली जाऊ शकते.

कोणतेही विधान किंवा खरे, किंवा खोटे; ते एकाच वेळी दोन्ही असू शकत नाही.

नैसर्गिक भाषेत, उच्चार घोषणात्मक वाक्यांमध्ये व्यक्त केले जातात. उद्गारात्मक आणि प्रश्नार्थक वाक्ये विधाने नाहीत.

गणितीय, भौतिक, रासायनिक आणि इतर चिन्हे वापरून विधाने व्यक्त केली जाऊ शकतात. दोन संख्यात्मक अभिव्यक्तींमधून, त्यांना समान किंवा असमानता चिन्हांसह जोडून विधाने केली जाऊ शकतात.

निवेदन म्हणतात सोपे(प्राथमिक) जर त्याचा कोणताही भाग स्वतः विधान नसेल.

साध्या विधानांनी बनलेले विधान म्हणतात संमिश्र(कठीण).

तर्कशास्त्राच्या बीजगणितातील साधी विधाने कॅपिटल लॅटिन अक्षरांद्वारे दर्शविली जातात:

ए= (अॅरिस्टॉटल तर्कशास्त्राचा संस्थापक आहे),

IN= (सफरचंद झाडांवर केळी वाढतात).

साध्या विधानांचे सत्य किंवा असत्य हे तर्कशास्त्राच्या बीजगणिताच्या बाहेर ठरवले जाते. उदाहरणार्थ, विधानाचे सत्य किंवा असत्यता: "त्रिकोणाच्या कोनांची बेरीज 180 अंश आहे" हे भूमितीद्वारे स्थापित केले जाते, आणि - युक्लिडच्या भूमितीमध्ये हे विधान सत्य आहे आणि लोबाचेव्हस्कीच्या भूमितीमध्ये ते खोटे आहे.

सत्य विधान 1, खोटे - 0 नियुक्त केले आहे. अशा प्रकारे, ए = 1, IN = 0.

तर्कशास्त्राचे बीजगणित विधानांच्या शब्दार्थ सामग्रीमधून अमूर्त केले जाते. तिला फक्त एकाच वस्तुस्थितीत रस आहे - दिलेले विधान सत्य किंवा असत्य आहे, ज्यामुळे बीजगणितीय पद्धतींद्वारे मिश्र विधानांचे सत्य किंवा असत्यता निश्चित करणे शक्य होते.