पॅरललपाइपड हे प्रिझम आहे ज्याचे तळ समांतरभुज चौकोन आहेत. या प्रकरणात, सर्व कडा असतील समांतरभुज चौकोन.
प्रत्येक समांतर नलिका तीन वेगवेगळ्या प्रकारे प्रिझम मानली जाऊ शकते, कारण प्रत्येक दोन विरुद्ध चेहेरे बेस म्हणून घेतले जाऊ शकतात (चित्र 5 मध्ये, ABCD आणि A"B"C"D चे चेहरे, किंवा ABA"B" आणि CDC"D ", किंवा BCB "C" आणि ADA"D").
प्रश्नातील शरीराला बारा कडा आहेत, चार समान आणि एकमेकांना समांतर आहेत.
प्रमेय 3 . समांतर पाईपचे कर्ण एका बिंदूला छेदतात, त्यांच्या प्रत्येकाच्या मध्याशी एकरूप होतात.
समांतरित ABCDA"B"C"D" (Fig. 5) मध्ये चार कर्ण AC, BD, CA, DB आहेत. आपण हे सिद्ध केले पाहिजे की त्यांपैकी कोणत्याही दोनचे मध्यबिंदू, उदाहरणार्थ AC आणि BD, एकरूप होतात. AB आणि C"D" या समान आणि समांतर बाजू असलेली ABC"D" ही आकृती समांतरभुज चौकोन आहे यावरून हे लक्षात येते.
व्याख्या 7 . उजवा समांतर पाईप समांतर आहे जो एक सरळ प्रिझम देखील आहे, म्हणजेच एक समांतर पाईप आहे ज्याच्या बाजूच्या कडा पायाच्या समतलाला लंब आहेत.
व्याख्या 8 . एक आयताकृती समांतर पाईप एक उजवा समांतर पाईप आहे ज्याचा पाया एक आयत आहे. या प्रकरणात, त्याचे सर्व चेहरे आयताकृती असतील.
आयताकृती समांतर पट्टी एक सरळ प्रिझम आहे, त्याचे कोणतेही चेहरे आपण आधार म्हणून घेतले तरी हरकत नाही, कारण त्याची प्रत्येक कडा एकाच शिरोबिंदूपासून निघणाऱ्या कडांना लंब आहे आणि म्हणून, परिभाषित केलेल्या चेहऱ्यांच्या समतलांना लंब असेल. या कडांनी. याउलट, एक सरळ, परंतु आयताकृती नसलेला, समांतर नीलला उजवा प्रिझम म्हणून फक्त एकाच प्रकारे पाहिले जाऊ शकते.
व्याख्या ९ . आयताकृती समांतर पट्टीच्या तीन कडांची लांबी, ज्यापैकी कोणतेही दोन एकमेकांना समांतर नसतात (उदाहरणार्थ, एकाच शिरोबिंदूपासून तीन कडा निघतात), त्यांना त्याचे परिमाण म्हणतात. समान परिमाणे असलेले दोन आयताकृती समांतर पाईप्स स्पष्टपणे एकमेकांशी समान आहेत.
व्याख्या 10 .एक घन हा एक आयताकृती समांतर नलिका आहे, ज्याची तिन्ही परिमाणे एकमेकांना समान आहेत, ज्यामुळे त्याचे सर्व चेहरे चौरस आहेत. दोन घन ज्यांच्या कडा समान आहेत.
व्याख्या 11 . एक झुकलेला समांतर नलिका ज्यामध्ये सर्व कडा एकमेकांना समान असतात आणि सर्व चेहऱ्यांचे कोन समान किंवा पूरक असतात त्याला समभुज चौकोन म्हणतात.
समभुज चौकोनाचे सर्व चेहरे समान समभुज असतात. (काही महत्त्वाच्या स्फटिकांना समभुज चौकोनाचा आकार असतो, उदाहरणार्थ, आइसलँड स्पार स्फटिक.) समभुज चौकोनात तुम्हाला एक शिरोबिंदू (आणि अगदी दोन विरुद्ध शिरोबिंदू) सापडतात की त्याला लागून असलेले सर्व कोन एकमेकांना समान असतात.
प्रमेय ४ . आयताकृती समांतर पाईपचे कर्ण एकमेकांना समान असतात. कर्णाचा वर्ग तीन मितींच्या वर्गांच्या बेरजेइतका असतो.
आयताकृती समांतर ABCDA"B"C"D" (चित्र 6) मध्ये, कर्ण AC" आणि BD" समान आहेत, कारण चतुर्भुज ABC"D" एक आयत आहे (सरळ रेषा AB विमान ECB ला लंब आहे" सी", ज्यामध्ये बीसी आहे").
याशिवाय, कर्णाच्या वर्गाविषयीच्या प्रमेयावर आधारित AC" 2 =BD" 2 = AB2+AD" 2. परंतु त्याच प्रमेयावर आधारित AD" 2 = AA" 2 + +A"D" 2; म्हणून आपण आहे:
AC" 2 = AB 2 + AA" 2 + A" D" 2 = AB 2 + AA" 2 + AD 2.

प्रमेय. कोणत्याही समांतर पाईपमध्ये, विरुद्ध चेहरे समान आणि समांतर असतात.

अशा प्रकारे, चेहरे (चित्र.) BB 1 C 1 C आणि AA 1 D 1 D समांतर आहेत, कारण एका चेहऱ्याच्या दोन छेदणाऱ्या रेषा BB 1 आणि B 1 C 1 या दोन छेदणाऱ्या रेषा AA 1 आणि A 1 D 1 च्या समांतर आहेत. इतर. हे चेहरे समान आहेत, कारण B 1 C 1 =A 1 D 1, B 1 B=A 1 A (समांतरभुज चौकोनाच्या विरुद्ध बाजू म्हणून) आणि ∠BB 1 C 1 = ∠AA 1 D 1.

प्रमेय. कोणत्याही समांतर पाईपमध्ये, चारही कर्ण एका बिंदूला छेदतात आणि त्यावर दुभाजक असतात.

चला (चित्र.) समांतर पाईपमधील काही दोन कर्ण घेऊ, उदाहरणार्थ, AC 1 आणि DB 1, आणि AB 1 आणि DC 1 या सरळ रेषा काढू.

कडा AD आणि B 1 C 1 अनुक्रमे BC च्या किनारी समान आणि समांतर असल्याने, ते एकमेकांना समान आणि समांतर आहेत.

परिणामी, ADC 1 B 1 ही आकृती एक समांतरभुज चौकोन आहे ज्यामध्ये C 1 A आणि DB 1 हे कर्ण आहेत आणि समांतरभुज चौकोनामध्ये कर्ण अर्ध्या भागाला छेदतात.

हा पुरावा प्रत्येक दोन कर्णांसाठी पुनरावृत्ती करता येतो.

म्हणून, कर्ण AC 1 BD 1 ला अर्ध्यामध्ये छेदतो, कर्ण BD 1 A 1 C ला अर्ध्यामध्ये छेदतो.

अशा प्रकारे, सर्व कर्ण अर्ध्यामध्ये आणि म्हणूनच, एका बिंदूवर छेदतात.

प्रमेय. आयताकृती समांतर पाईपमध्ये, कोणत्याही कर्णाचा वर्ग त्याच्या तीन मितींच्या वर्गांच्या बेरजेइतका असतो.

(Fig.) AC 1 हे आयताकृती समांतर पाईपचे काही कर्ण असू द्या.

AC काढताना आपल्याला दोन त्रिकोण मिळतात: AC 1 C आणि ACB. ते दोन्ही आयताकृती आहेत:

पहिले कारण समांतर पाईप सरळ आहे, आणि म्हणून धार CC 1 पायाला लंब आहे,

दुसरे कारण समांतर पाईप आयताकृती आहे, याचा अर्थ त्याच्या पायथ्याशी एक आयत आहे.

या त्रिकोणांमधून आम्हाला आढळते:

AC 2 1 = AC 2 + CC 2 1 आणि AC 2 = AB 2 + BC 2

म्हणून, AC 2 1 = AB 2 + BC 2 + CC 2 1 = AB 2 + AD 2 + AA 2 1

परिणाम. आयताकृती समांतर पाईपमध्ये सर्व कर्ण समान असतात.

हायस्कूलच्या विद्यार्थ्यांसाठी आयताकृती समांतर पाईपचे व्हॉल्यूम आणि इतर अज्ञात पॅरामीटर्स शोधण्यासाठी युनिफाइड स्टेट एक्झामिनेशन समस्या कशा सोडवायच्या हे शिकणे उपयुक्त ठरेल. मागील वर्षांचा अनुभव या वस्तुस्थितीची पुष्टी करतो की अनेक पदवीधरांसाठी अशी कार्ये खूप कठीण आहेत.

त्याच वेळी, कोणत्याही स्तरावरील प्रशिक्षण असलेल्या हायस्कूलच्या विद्यार्थ्यांना आयताकृती समांतर पाईपचे आकारमान किंवा क्षेत्रफळ कसे शोधायचे हे समजले पाहिजे. केवळ या प्रकरणात ते गणितातील युनिफाइड स्टेट परीक्षा उत्तीर्ण होण्याच्या निकालांवर आधारित स्पर्धात्मक गुण प्राप्त करण्यावर विश्वास ठेवण्यास सक्षम असतील.

लक्षात ठेवण्यासारखे महत्त्वाचे मुद्दे

• समांतरभुज चौकोन हे त्याचे चेहरे आहेत, त्यांच्या बाजू त्याच्या कडा आहेत. या आकृत्यांच्या शिरोबिंदूंना पॉलिहेड्रॉनचे शिरोबिंदू मानले जाते.
• आयताकृती समांतर पाईपचे सर्व कर्ण समान असतात. हा सरळ पॉलिहेड्रॉन असल्याने, बाजूचे चेहरे आयताकृती आहेत.
• समांतर पाईप असलेला प्रिझम त्याच्या पायाशी समांतरभुज चौकोन असल्यामुळे, या आकृतीमध्ये प्रिझमचे सर्व गुणधर्म आहेत.
• आयताकृती समांतर पट्टीच्या बाजूकडील कडा पायाला लंब असतात. म्हणून, ते त्याची उंची आहेत.

Shkolkovo सह युनिफाइड स्टेट परीक्षेसाठी सज्ज व्हा!

तुमचे वर्ग सोपे आणि शक्य तितके प्रभावी करण्यासाठी आमचे गणित पोर्टल निवडा. युनिफाइड स्टेट परीक्षेच्या तयारीसाठी आवश्यक असलेली सर्व आवश्यक सामग्री येथे तुम्हाला मिळेल.

श्कोल्कोवो शैक्षणिक प्रकल्पाचे विशेषज्ञ साध्या ते जटिलकडे जाण्याचा प्रस्ताव देतात: प्रथम आम्ही सिद्धांत, मूलभूत सूत्रे आणि निराकरणासह प्राथमिक समस्या देतो आणि नंतर हळूहळू तज्ञ-स्तरीय कार्यांकडे जातो. आपण सह सराव करू शकता, उदाहरणार्थ, .

तुम्हाला "सैद्धांतिक माहिती" विभागात आवश्यक मूलभूत माहिती मिळेल. तुम्ही ऑनलाइन "आयताकृती समांतर" या विषयावरील समस्या सोडवणे देखील सुरू करू शकता. "कॅटलॉग" विभाग विविध प्रकारच्या अडचणींच्या व्यायामांची एक मोठी निवड सादर करतो. टास्क डेटाबेस नियमितपणे अपडेट केला जातो.

आत्ता तुम्हाला आयताकृती समांतर पाईपचा आवाज सहज सापडतो का ते पहा. कोणत्याही कार्याचे विश्लेषण करा. जर व्यायाम तुमच्यासाठी सोपा असेल तर अधिक कठीण कामांकडे जा. आणि काही अडचणी उद्भवल्यास, आम्ही शिफारस करतो की आपण आपल्या दिवसाची योजना अशा प्रकारे करा की आपल्या शेड्यूलमध्ये श्कोल्कोव्हो रिमोट पोर्टलसह वर्ग समाविष्ट असतील.

समांतर पाईप एक भौमितिक आकृती आहे, ज्याचे सर्व 6 चेहरे समांतरभुज चौकोन आहेत.

या समांतरभुज चौकोनांच्या प्रकारानुसार, खालील प्रकारचे समांतर पाईप वेगळे केले जातात:

• सरळ;
• कलते;
• आयताकृती

उजवा समांतर पाईप एक चतुर्भुज प्रिझम आहे ज्याच्या कडा पायाच्या समतलासह 90° कोन बनवतात.

एक आयताकृती समांतर चतुर्भुज प्रिझम आहे, ज्याचे सर्व चेहरे आयताकृती आहेत. क्यूब हा एक प्रकारचा चतुर्भुज प्रिझम आहे ज्यामध्ये सर्व चेहरे आणि कडा एकमेकांच्या समान असतात.

आकृतीची वैशिष्ट्ये त्याचे गुणधर्म पूर्वनिर्धारित करतात. यामध्ये खालील ४ विधाने समाविष्ट आहेत:

सर्व दिलेले गुणधर्म लक्षात ठेवणे सोपे आहे, ते समजण्यास सोपे आहेत आणि भौमितिक शरीराच्या प्रकार आणि वैशिष्ट्यांवर आधारित तार्किकदृष्ट्या प्राप्त केले जातात. तथापि, विशिष्ट USE कार्ये सोडवताना साधी विधाने आश्चर्यकारकपणे उपयुक्त ठरू शकतात आणि चाचणी उत्तीर्ण होण्यासाठी लागणारा वेळ वाचवेल.

समांतर सूत्रे

समस्येची उत्तरे शोधण्यासाठी, केवळ आकृतीचे गुणधर्म जाणून घेणे पुरेसे नाही. भौमितिक शरीराचे क्षेत्रफळ आणि खंड शोधण्यासाठी तुम्हाला काही सूत्रांची देखील आवश्यकता असू शकते.

पायाचे क्षेत्र समांतरभुज चौकोन किंवा आयताच्या संबंधित निर्देशकाप्रमाणेच आढळते. तुम्ही स्वतः समांतरभुज चौकोनाचा पाया निवडू शकता. नियमानुसार, समस्या सोडवताना प्रिझमसह कार्य करणे सोपे आहे, ज्याचा आधार आयत आहे.

समांतर पाईपचा पार्श्व पृष्ठभाग शोधण्याचे सूत्र चाचणी कार्यांमध्ये देखील आवश्यक असू शकते.

ठराविक युनिफाइड स्टेट परीक्षा टास्क सोडवण्याची उदाहरणे

व्यायाम १.

दिले: 3, 4 आणि 12 सेमी परिमाणांसह एक आयताकृती समांतर पाईप.
आवश्यकआकृतीच्या मुख्य कर्णांपैकी एकाची लांबी शोधा.
उपाय: भौमितिक समस्येचे कोणतेही निराकरण योग्य आणि स्पष्ट रेखाचित्र तयार करण्यापासून सुरू होणे आवश्यक आहे, ज्यावर "दिलेले" आणि इच्छित मूल्य सूचित केले जाईल. खालील आकृती कार्य परिस्थितीच्या योग्य अंमलबजावणीचे उदाहरण दर्शविते.

तयार केलेल्या रेखांकनाचे परीक्षण केल्यावर आणि भौमितिक शरीराचे सर्व गुणधर्म लक्षात ठेवून, आम्ही समाधानाच्या एकमेव योग्य पद्धतीकडे आलो. समांतर पाईपचा 4 था गुणधर्म लागू केल्यास, आम्हाला खालील अभिव्यक्ती मिळते:

साध्या गणनेनंतर आपल्याला b2=169 ही अभिव्यक्ती मिळते, म्हणून b=13. कार्याचे उत्तर सापडले आहे; आपल्याला ते शोधण्यात आणि काढण्यासाठी 5 मिनिटांपेक्षा जास्त वेळ घालवण्याची आवश्यकता नाही.

कार्य २.

दिले: 10 सेमी बाजूच्या काठासह कलते समांतर पाईप, 5 आणि 7 सेमी परिमाणे असलेला एक आयत KLNM, जो निर्दिष्ट काठाच्या समांतर आकृतीचा क्रॉस सेक्शन आहे.
आवश्यकचतुर्भुज प्रिझमचे पार्श्व पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ शोधा.
उपाय: प्रथम आपण दिलेले स्केच करणे आवश्यक आहे.

हे कार्य सोडवण्यासाठी तुम्हाला चातुर्य वापरावे लागेल. आकृती दर्शवते की बाजू KL आणि AD असमान आहेत, जसे की ML आणि DC जोडी आहेत. तथापि, या समांतरभुज चौकोनांचे परिमिती स्पष्टपणे समान आहेत.

परिणामी, आकृतीचे पार्श्व क्षेत्र एज AA1 ने गुणाकार केलेल्या विभागीय क्षेत्राएवढे असेल, कारण स्थितीनुसार धार विभागाला लंब आहे. उत्तर: 240 cm2.