विश्लेषणात्मक दृष्टीकोनातून आणि सांख्यिकीय निर्देशकांच्या अभिव्यक्तीचे सार्वत्रिक स्वरूप हे सरासरी मूल्य सर्वात मौल्यवान आहे. सर्वात सामान्य सरासरी - अंकगणित सरासरी - मध्ये अनेक गणिती गुणधर्म आहेत जे त्याच्या गणनामध्ये वापरले जाऊ शकतात. त्याच वेळी, विशिष्ट सरासरीची गणना करताना, नेहमी त्याच्या तार्किक सूत्रावर अवलंबून राहण्याचा सल्ला दिला जातो, जो गुणवत्तेच्या व्हॉल्यूम आणि लोकसंख्येच्या व्हॉल्यूमचे गुणोत्तर आहे. प्रत्येक मीनसाठी, फक्त एकच खरा संदर्भ गुणोत्तर आहे, जे उपलब्ध डेटावर अवलंबून, विविध माध्यमांची आवश्यकता असू शकते. तथापि, सर्व प्रकरणांमध्ये जेथे सरासरी मूल्याचे स्वरूप वजनांची उपस्थिती दर्शवते, भारित सरासरी सूत्रांऐवजी त्यांचे वजन नसलेले सूत्र वापरणे अशक्य आहे.

सरासरी मूल्य हे लोकसंख्येच्या गुणधर्माचे सर्वात वैशिष्ट्यपूर्ण मूल्य आणि लोकसंख्येच्या एककांमध्ये समान समभागांमध्ये वितरित केलेल्या लोकसंख्येच्या गुणधर्माचा आकार आहे.

ज्या वैशिष्ट्यासाठी सरासरी मूल्य मोजले जाते त्याला म्हणतात सरासरी .

सरासरी मूल्य हे परिपूर्ण किंवा सापेक्ष मूल्यांची तुलना करून मोजले जाणारे सूचक आहे. सरासरी मूल्य आहे

सरासरी मूल्य अभ्यासाधीन घटनेवर प्रभाव टाकणाऱ्या सर्व घटकांचा प्रभाव प्रतिबिंबित करते आणि त्यांच्यासाठी परिणाम आहे. दुसऱ्या शब्दांत, वैयक्तिक विचलनांची परतफेड करणे आणि प्रकरणांचा प्रभाव काढून टाकणे, सरासरी मूल्य, या क्रियेच्या परिणामांचे सामान्य माप प्रतिबिंबित करते, अभ्यासाधीन घटनेचा सामान्य नमुना म्हणून कार्य करते.

सरासरी वापरण्याच्या अटी:

Ø अभ्यासलेल्या लोकसंख्येची एकसंधता. जर यादृच्छिक घटकांच्या प्रभावाखाली असलेल्या लोकसंख्येच्या काही घटकांमध्ये अभ्यास केलेल्या वैशिष्ट्याची उर्वरित मूल्ये लक्षणीय भिन्न असतील तर हे घटक या लोकसंख्येच्या सरासरीच्या आकारावर परिणाम करतात. या प्रकरणात, सरासरी लोकसंख्येसाठी वैशिष्ट्याचे सर्वात सामान्य मूल्य व्यक्त करणार नाही. जर अभ्यासाधीन घटना विषम आहे, तर ती एकसंध घटक असलेल्या गटांमध्ये विभागणे आवश्यक आहे. या प्रकरणात, गट सरासरीची गणना केली जाते - प्रत्येक गटातील घटनेचे सर्वात वैशिष्ट्यपूर्ण मूल्य व्यक्त करणारी गट सरासरी, आणि नंतर सर्व घटकांसाठी एकूण सरासरी मूल्य मोजले जाते, संपूर्ण घटनेचे वैशिष्ट्य दर्शविते. हे प्रत्येक गटामध्ये समाविष्ट असलेल्या लोकसंख्येच्या घटकांच्या संख्येनुसार, गटाची सरासरी म्हणून मोजले जाते;

Ø एकूण युनिट्सची पुरेशी संख्या;

Ø अभ्यासलेल्या लोकसंख्येतील गुणविशेषांची कमाल आणि किमान मूल्ये.

सरासरी मूल्य (सूचक)- हे ठिकाण आणि वेळेच्या विशिष्ट परिस्थितीत पद्धतशीर लोकसंख्येतील वैशिष्ट्याचे सामान्यीकृत परिमाणवाचक वैशिष्ट्य आहे.

आकडेवारीमध्ये, सरासरीचे खालील प्रकार (प्रकार) वापरले जातात, ज्याला पॉवर आणि स्ट्रक्चरल म्हणतात:

Ø अंकगणित सरासरी(साधे आणि वजनदार);

सोपे

शिक्षणासाठी फेडरल एजन्सी

उच्च व्यावसायिक शिक्षणाची राज्य शैक्षणिक संस्था "उरल राज्य आर्थिक विद्यापीठ"

दूरस्थ शिक्षण केंद्र

चाचणी

शिस्तीने: " आकडेवारी"

एक्झिक्युटर:

गट विद्यार्थी: ETr-09 SR

ट्रोशेवा नताल्या युरीव्हना

येकातेरिनबर्ग शहर

2009

परिचय

1.1 सरासरीचे प्रकार आणि गणनेच्या पद्धती

1.2 संरचनात्मक सरासरी

2. व्यावहारिक कार्य

निष्कर्ष

संदर्भग्रंथ

परिचय

या परीक्षेत सैद्धांतिक आणि व्यावहारिक असे दोन भाग असतात.

सैद्धांतिक भागामध्ये, सरासरी मूल्यासारख्या महत्त्वाच्या सांख्यिकीय श्रेणीचा तपशीलवार विचार केला जाईल, त्याचे सार आणि अनुप्रयोगाच्या अटी ओळखण्यासाठी, तसेच सरासरीचे प्रकार आणि त्यांची गणना करण्याच्या पद्धती ओळखण्यासाठी.

व्यावहारिक भाग कोणत्याही एंटरप्राइझच्या सर्वात महत्वाच्या कामगिरी निर्देशकांची गणना आणि विश्लेषण करण्यासाठी समर्पित आहे - या निर्देशकांमधील बदलांवर परिणाम करणारे मुख्य घटक हायलाइट करण्यासाठी घटनेच्या विकासाची नियोजित पातळी आणि सामान्य किंमत निर्देशांक.

1. सरासरी मूल्य: प्रकार, गुणधर्म, व्याप्ती

सरासरी मूल्य हे अभ्यास केलेल्या लोकसंख्येमधील अभ्यासलेल्या वैशिष्ट्याचे सामान्यीकरण मूल्य आहे, जे स्थान आणि वेळेच्या विशिष्ट परिस्थितीनुसार लोकसंख्येच्या प्रति युनिटची विशिष्ट पातळी दर्शवते.

सरासरी मूल्ये सामान्यीकृत सांख्यिकीय निर्देशकांचा संदर्भ देतात जे मोठ्या सामाजिक घटनेचे सारांश वर्णन देतात, कारण ते भिन्न गुणधर्मांच्या मोठ्या संख्येने वैयक्तिक मूल्यांच्या आधारावर तयार केले जातात.

सरासरी मूल्य अभ्यास केलेल्या लोकसंख्येच्या सर्व युनिट्सचे वैशिष्ट्य असलेले सामान्य प्रतिबिंबित करते. त्याच वेळी, ते लोकसंख्येच्या वैयक्तिक युनिट्सच्या गुणधर्माच्या विशालतेवर कार्य करणार्‍या सर्व घटकांच्या प्रभावास संतुलित करते, जणू ते परस्पर रद्द करत आहेत. कोणत्याही सामाजिक घटनेची पातळी घटकांच्या दोन गटांच्या क्रियेमुळे असते. त्यापैकी काही सामान्य आणि मुख्य आहेत, सतत कार्यरत आहेत, ज्याचा अभ्यास केला जात आहे त्या घटनेच्या किंवा प्रक्रियेच्या स्वरूपाशी जवळून संबंधित आहेत आणि अभ्यास केलेल्या लोकसंख्येच्या सर्व युनिट्ससाठी ते वैशिष्ट्यपूर्ण आहेत, जे सरासरी मूल्यामध्ये प्रतिबिंबित होतात. इतर वैयक्तिक आहेत, त्यांची क्रिया कमी उच्चारली जाते आणि एपिसोडिक, यादृच्छिक आहे. म्हणून, सरासरी मूल्य "अवैयक्तिक" म्हणून दिसून येते, जे वैशिष्ट्यांच्या वैयक्तिक मूल्यांपासून विचलित होऊ शकते, त्यांच्यापैकी कोणत्याही बरोबर परिमाणवाचकपणे जुळत नाही. सरासरी मूल्य संपूर्ण लोकसंख्येसाठी सामान्य, वैशिष्ट्यपूर्ण आणि वैशिष्ट्यपूर्ण प्रतिबिंबित करते कारण त्यात परस्पर रद्दीकरण यादृच्छिक, त्याच्या वैयक्तिक एककांच्या चिन्हांमधील असामान्य फरक आहे, कारण त्याचे मूल्य सर्वांच्या समान परिणामाद्वारे निर्धारित केले जाते. कारणे

गुणवत्तेचे सर्वात वैशिष्ट्यपूर्ण मूल्य प्रतिबिंबित करण्यासाठी सरासरी मूल्यासाठी, ते केवळ गुणात्मक एकसंध एकके असलेल्या लोकसंख्येसाठी निर्धारित केले जावे. सरासरीच्या वैज्ञानिकदृष्ट्या आधारित अनुप्रयोगासाठी ही आवश्यकता मुख्य अट आहे आणि सामाजिक-आर्थिक घटनांच्या विश्लेषणामध्ये सरासरीची पद्धत आणि गटबद्ध करण्याची पद्धत यांच्यातील जवळचा संबंध सूचित करते.

यावर जोर देणे आवश्यक आहे की कोणत्याही सरासरी मूल्याची अचूक गणना खालील आवश्यकतांची पूर्तता दर्शवते:

लोकसंख्येची गुणात्मक एकसमानता ज्यावर सरासरी मूल्य मोजले जाते.

यादृच्छिक, पूर्णपणे वैयक्तिक कारणे आणि घटकांच्या सरासरी मूल्याच्या गणनेवर प्रभाव वगळणे

सरासरी मूल्याची गणना करताना, त्याच्या गणनाचा उद्देश आणि तथाकथित परिभाषित निर्देशक स्थापित करणे महत्वाचे आहे ज्याकडे ते केंद्रित केले पाहिजे.

एकूण लोकसंख्येसाठी गणना केलेल्या सरासरी मूल्याला सामान्य सरासरी म्हणतात - ते अभ्यासाधीन घटनेची सामान्य वैशिष्ट्ये प्रतिबिंबित करते; प्रत्येक गटासाठी गट सरासरीनुसार गणना केलेली सरासरी मूल्ये - या गटाच्या विशिष्ट परिस्थितीत विकसित होणाऱ्या घटनेचे वैशिष्ट्य द्या.

1.1 गणनेच्या पद्धती भिन्न असू शकतात, म्हणून, आकडेवारीमध्ये, सरासरीचे अनेक प्रकार वेगळे केले जातात

सरासरी मूल्ये 2 मोठ्या प्रकारांमध्ये विभागली आहेत:

शक्ती म्हणजे (हार्मोनिक मीन, भौमितिक मीन, अंकगणित मीन इ.). पॉवर म्हणजे गणना करण्यासाठी, वैशिष्ट्याची सर्व उपलब्ध मूल्ये वापरणे आवश्यक आहे. जर तुम्ही समान डेटासाठी सर्व प्रकारच्या पॉवर-कायदा सरासरीची गणना केली तर त्यांची मूल्ये समान असतील. मग सरासरीच्या प्रमुखतेचा नियम लागू होतो: सरासरीच्या घातांकात वाढ झाल्यामुळे, सरासरी मूल्य () स्वतः देखील वाढते.

संरचनात्मक सरासरी (मोड, मध्यक). मोड आणि मध्यक फक्त वितरणाच्या संरचनेद्वारे निर्धारित केले जातात. म्हणून, त्यांना "स्ट्रक्चरल पोझिशनल एव्हरेज" म्हणतात. ज्या लोकसंख्येमध्ये सरासरी घातांकाची गणना अशक्य किंवा अव्यवहार्य असते अशा लोकसंख्येमध्ये मध्यक आणि मोड सहसा सरासरी वैशिष्ट्य म्हणून वापरले जातात.

स्पष्टतेसाठी, विविध प्रकारच्या पॉवर मीन व्हॅल्यूची गणना करण्यासाठी व्यावहारिक संशोधनामध्ये सामान्यतः वापरले जाणारे सूत्र तक्ता 1 मध्ये सादर केले आहेत.

तक्ता 1 शक्तीचे प्रकार म्हणजे

शक्तीचा प्रकार म्हणजे	घातांक	गणना सूत्र
			भारित
1. हार्मोनिक			, कुठे
2. भौमितिक
3. अंकगणित

अंकगणित सरासरी मूल्य हे वैशिष्ट्याचे असे सरासरी मूल्य आहे, ज्याच्या गणनेमध्ये एकूण वैशिष्ट्याचे एकूण खंड अपरिवर्तित राहतात. अंकगणित सरासरीची गणना करण्यासाठी, सर्व वैशिष्ट्य मूल्यांची बेरीज त्यांच्या संख्येनुसार विभाजित करणे आवश्यक आहे. हे अशा प्रकरणांमध्ये वापरले जाते जेव्हा संपूर्ण लोकसंख्येसाठी व्हेरिएबल विशेषताचे प्रमाण त्याच्या वैयक्तिक युनिट्सच्या गुणधर्मांच्या मूल्यांची बेरीज असते. अंकगणित सरासरीचे उदाहरण म्हणजे सामान्य वेतन.

साधे अंकगणितीय सरासरी सरासरी वैशिष्ट्याच्या वैयक्तिक मूल्यांच्या साध्या बेरजेइतके असते, या मूल्यांच्या एकूण संख्येने भागले जाते. जेव्हा वैयक्तिक वैशिष्ट्यपूर्ण मूल्ये गटबद्ध न केलेली असतात तेव्हा ती वापरली जाते.

भारित अंकगणितीय माध्य म्हणजे त्यांच्या प्रकाराची सरासरी, जी वेगवेगळ्या वेळा पुनरावृत्ती होते किंवा भिन्न वजने असतात.

अंकगणिताचे मुख्य गुणधर्म म्हणजे:

एखाद्या वैशिष्ट्याची वैयक्तिक मूल्ये असल्यास, उदा. पर्याय, i वेळा कमी किंवा वाढवा, नंतर नवीन वैशिष्ट्याचे सरासरी मूल्य अनुक्रमे i वेळा कमी किंवा वाढेल.

जर सरासरी गुणधर्माची सर्व रूपे A संख्येने कमी किंवा वाढवली, तर अंकगणितीय माध्य अनुक्रमे त्याच संख्येने कमी किंवा वाढेल.

जर सर्व सरासरी पर्यायांचे वजन k पटीने कमी केले किंवा वाढवले, तर अंकगणित सरासरी बदलणार नाही.

अंकगणितीय मध्यापासून वैशिष्ट्याच्या (पर्याय) वैयक्तिक मूल्यांच्या विचलनांची बेरीज शून्य असते.

सरासरी मूल्याची गणना करण्यापूर्वी, मध्यांतर मालिका एका स्वतंत्र मध्ये रूपांतरित करणे आवश्यक आहे. हे करण्यासाठी, प्रत्येक गटातील मध्यांतर शोधा. हे वरच्या आणि खालच्या सीमांची बेरीज अर्ध्यामध्ये विभाजित करून निर्धारित केले जाते.

हार्मोनिक भारित सरासरी सूत्र वापरला जातो जेव्हा माहितीमध्ये लोकसंख्येच्या वैयक्तिक पर्याय x साठी फ्रिक्वेन्सी नसतात, परंतु उत्पादन म्हणून सादर केले जाते. सरासरीची गणना करण्यासाठी, नियुक्त करणे आवश्यक आहे
, कुठे
. आता अंकगणिताच्या मध्याचे सूत्र अशा प्रकारे रूपांतरित करूया की, उपलब्ध माहितीनुसार x आणि m, आपण सरासरी काढू शकतो. अंकगणिताच्या भारित सरासरीच्या सूत्रामध्ये, आम्ही त्याऐवजी m आणि f च्या ऐवजी, गुणोत्तर देतो , आणि अशा प्रकारे आपण हार्मोनिक भारित सरासरीसाठी सूत्र प्राप्त करतो.

हार्मोनिक साधे सरासरी मूल्य अशा प्रकरणांमध्ये वापरले जाते जेथे प्रत्येक पर्यायाचे वजन एक समान असते, म्हणजे. ,

भौमितिक सरासरी मूल्य अशा प्रकरणांमध्ये वापरले जाते जेथे गुणधर्माची वैयक्तिक मूल्ये डायनॅमिक्सची सापेक्ष मूल्ये असतात, साखळी मूल्यांच्या स्वरूपात तयार केली जातात, डायनॅमिक्स मालिकेतील प्रत्येक स्तराच्या मागील पातळीचे गुणोत्तर म्हणून, उदा. सरासरी वाढ दर दर्शवते.

सांख्यिकीय डेटावर प्रक्रिया करण्याच्या आणि सारांशित करण्याच्या प्रक्रियेत, सरासरी मूल्ये निर्धारित करणे आवश्यक होते. नियमानुसार, लोकसंख्येच्या वेगवेगळ्या युनिट्समधील समान गुणधर्माची वैयक्तिक मूल्ये समान नाहीत.

सरासरी मूल्य – अभ्यासलेल्या लोकसंख्येमधील अभ्यासलेल्या वैशिष्ट्याचे सामान्यीकरण वैशिष्ट्य. हे ठिकाण आणि वेळेच्या विशिष्ट परिस्थितीनुसार प्रति लोकसंख्या युनिटची त्याची विशिष्ट पातळी प्रतिबिंबित करते.

उदाहरणार्थ, एखाद्या एंटरप्राइझच्या कामगारांच्या उत्पन्नाचा अभ्यास करताना, सामान्यीकरण वैशिष्ट्य म्हणजे एका कामगाराचे सरासरी उत्पन्न. ते निश्चित करण्यासाठी, मजुरी, सामाजिक आणि कामगार लाभ, भौतिक सहाय्य, शेअर्सवरील लाभांश आणि पुनरावलोकनाधीन कालावधीसाठी (वर्ष, तिमाही, महिना) एंटरप्राइझच्या मालमत्तेतील ठेवींवर व्याज या स्वरूपात वापरासाठी वाटप केलेल्या निधीची एकूण रक्कम. ) एंटरप्राइझच्या कर्मचार्यांच्या संख्येने विभाजित केले आहे. सरासरी उत्पन्न एंटरप्राइझच्या कामगारांच्या संपूर्ण संचाचे वैशिष्ट्य असलेले सामान्य वैशिष्ट्य दर्शवते, म्हणजे. पुनरावलोकनाधीन कालावधीत दिलेल्या एंटरप्राइझच्या कामकाजाच्या विशिष्ट परिस्थितीत कामगारांच्या वस्तुमानाच्या उत्पन्नाची पातळी.

एकूण लोकसंख्येसाठी गणना केलेल्या सरासरीला म्हणतात सामान्य सरासरी.

प्रत्येक गटासाठी काढलेल्या सरासरीला म्हणतात गट सरासरी.

लोकसंख्येची जितकी अधिक एकके ज्यासाठी सरासरी मोजली जाते, तितकी ती अधिक स्थिर असते, म्हणजे. अधिक तंतोतंत. सरासरी मूल्याच्या गणनेमध्ये दोन ऑपरेशन्स समाविष्ट आहेत:

I - सर्व युनिट्ससाठी डेटाची बेरीज (डेटा सामान्यीकरण);

II - लोकसंख्येच्या युनिट्सच्या संख्येनुसार सारांशित डेटाचे विभाजन.

– वैशिष्ट्यासाठी सरासरी मूल्य ; n- लोकसंख्या युनिट्सची संख्या;

एक्सi – लोकसंख्येच्या प्रत्येक युनिटच्या गुणधर्माचे वैयक्तिक मूल्य.

सरासरी मूल्याचे सार बाजाराच्या अर्थव्यवस्थेत त्याचे विशेष महत्त्व निर्धारित करते. एकल आणि यादृच्छिक द्वारे सरासरी मूल्य आपल्याला सामान्य आणि आवश्यक ओळखण्यासाठी, आर्थिक विकासाचे ट्रेंड नमुने ओळखण्यास अनुमती देते.

पॉवर सरासरी:

ü अंकगणित अर्थ;

ü भौमितिक सरासरी;

ü सरासरी हार्मोनिक;

ü रूट म्हणजे चौरस;

ü कालक्रमानुसार सरासरी.

संरचनात्मक सरासरी: मोड आणि मध्यक.

एक किंवा दुसर्या प्रकारच्या सरासरीची निवड अभ्यासाच्या उद्देशावर, सरासरी निर्देशकाचे आर्थिक सार आणि उपलब्ध प्रारंभिक डेटाचे स्वरूप यावर अवलंबून असते. जेव्हा सरासरी योग्यरित्या लागू केली जाते तेव्हाच वास्तविक आर्थिक अर्थ प्राप्त करणारी मूल्ये प्राप्त होतात.

अंकगणित सरासरी -माध्यमाचा सर्वात सामान्य प्रकार.

अंकगणित म्हणजे अर्थ विशेषतेचे असे मूल्य जे लोकसंख्येच्या प्रत्येक एककाकडे असेल जर गुणधर्माची सर्व मूल्ये लोकसंख्येच्या सर्व युनिट्समध्ये समान रीतीने वितरीत केली गेली असतील.

जेव्हा अभ्यास केलेल्या सांख्यिकीय लोकसंख्येच्या वैयक्तिक युनिट्ससाठी सरासरी गुणधर्माची मात्रा त्याच्या मूल्यांची बेरीज म्हणून तयार केली जाते तेव्हा अशा प्रकरणांमध्ये त्याची गणना केली जाते. प्रारंभिक डेटाच्या स्वरूपावर अवलंबून, अंकगणित सरासरी खालीलप्रमाणे निर्धारित केली जाते:

साधी अंकगणित सरासरी मूल्यांची बेरीज त्यांच्या संख्येने विभाजित करून गणना केली जाते.

उदाहरण: एका कार्यशाळेतील 3 कामगारांसाठी जानेवारीचे वेतन: 6500, 4955, 5323 रूबल. दरमहा सरासरी पगार आहे: घासणे.

उदाहरण:ट्रेडिंग एंटरप्राइझच्या दहा कर्मचाऱ्यांच्या सेवेच्या सरासरी लांबीची गणना करा. एकल चिन्ह मूल्य (वर्षे): 6,5,4,3,3,4,5,4,5,4.

= (6+5+4+3+3+4+5+4+5+4) : 10 = 43: 10 = 4.3 वर्षे.

जसे तुम्ही बघू शकता, वैशिष्ट्याची वैयक्तिक मूल्ये केवळ पूर्णांक म्हणून दिली असली तरीही, अंकगणित सरासरी ही अपूर्णांक संख्या असू शकते. हे अंकगणितीय सरासरीच्या सारातून येते, जे एक अमूर्त (सैद्धांतिक) मूल्य आहे, म्हणजे. हे संख्यात्मक मूल्य घेऊ शकते जे विशेषताच्या वैयक्तिक मूल्यांच्या प्रस्तुत संचामध्ये येत नाही.

अंकगणित भारित सरासरी

जेव्हा समान वैशिष्ट्य मूल्य अनेक वेळा येते तेव्हा वितरण मालिकेवर वैशिष्ट्याचे सरासरी मूल्य मोजणे आवश्यक असते. गुणधर्माच्या मूल्यानुसार (म्हणजे गटबद्ध करून) डेटा एकत्र करून आणि त्या प्रत्येकाच्या पुनरावृत्तीच्या प्रकरणांची संख्या मोजल्यास, आम्हाला खालील भिन्नता मालिका मिळेल.

म्हणून, भारित सरासरीची गणना करण्यासाठी, खालील अनुक्रमिक ऑपरेशन्स केल्या जातात: प्रत्येक व्हेरिएंटला त्याच्या वारंवारतेने गुणाकार करणे, परिणामी उत्पादनांची बेरीज करणे, परिणामी बेरीज फ्रिक्वेन्सीच्या बेरजेने विभाजित करणे.

अंकगणित भारित सरासरी लोकसंख्येतील वैयक्तिक पर्यायांचे भिन्न मूल्य विचारात घेते. म्हणून, ते सर्व प्रकरणांमध्ये वापरले पाहिजे जेथे रूपे भिन्न संख्या आहेत. या प्रकरणांमध्ये साध्या सरासरीचा वापर अस्वीकार्य आहे, कारण यामुळे सांख्यिकीय निर्देशकांचे अपरिहार्यपणे विकृतीकरण होते.

अंकगणितीय सरासरी, जशी होती, वैयक्तिक वस्तूंमध्ये गुणधर्माचे एकूण मूल्य समान प्रमाणात वितरीत करते, जे खरं तर त्या प्रत्येकासाठी बदलते.

काहीवेळा सरासरीची गणना मध्यांतर वितरण मालिकेच्या स्वरूपात गटबद्ध केलेल्या डेटाचा वापर करून करावी लागते, जेव्हा गुणवैशिष्ट्ये ज्यामधून सरासरी काढली जाते ते अंतराल (पासून - ते) च्या स्वरूपात सादर केले जातात. सरासरी मूल्याची गणना करण्यासाठी, प्रत्येक प्रकारात x चे सरासरी मूल्य निर्धारित करणे आवश्यक आहे आणि नंतर नेहमीच्या पद्धतीने x y वजन करणे आवश्यक आहे.

बंद अंतरामध्ये, मध्यवर्ती मूल्य खालच्या आणि वरच्या मर्यादेच्या मूल्यांच्या अर्ध्या बेरीज म्हणून परिभाषित केले जाते.

मध्यांतर मालिकेचे सरासरी मूल्य मोजण्याचे कार्य या वस्तुस्थितीमुळे क्लिष्ट आहे की प्रारंभिक आणि अंतिम मध्यांतरांच्या टोकाच्या सीमा अज्ञात आहेत. या प्रकरणात, असे गृहीत धरले जाते की या मध्यांतराच्या सीमांमधील अंतर शेजारच्या मध्यांतराप्रमाणेच आहे.

हे लक्षात घेतले पाहिजे की जरी आम्ही मध्यांतर मालिकेतील सरासरी काढण्यासाठी अंकगणितीय भारित सरासरी सूत्र वापरत असलो तरी, गणना केलेली सरासरी हे अचूक मूल्य नाही, कारण गटांची सरासरी मूल्ये त्यांच्या संख्येने गुणाकार केल्यामुळे, आम्ही वास्तविक मूल्य मिळत नाही. विसंगतीची डिग्री अनेक कारणांवर अवलंबून असते: 1 - पर्यायांची संख्या. पर्यायांची संख्या जितकी जास्त असेल तितकीच मध्यांतर गट सरासरीपेक्षा थोडे वेगळे असण्याची शक्यता जास्त असते. तथापि, प्रत्येक गटामध्ये लहान युनिट्स असल्यास, गट सरासरी केवळ मध्यभागीच नाही तर मध्यांतराच्या वरच्या किंवा खालच्या सीमेजवळ देखील असू शकतात.

उदाहरण,जाहिरात एजन्सीच्या 12 कर्मचाऱ्यांच्या सेवेच्या सरासरी लांबीची गणना करणे आवश्यक आहे. त्याच वेळी, गुणधर्मांची वैयक्तिक मूल्ये (सेवेची लांबी) वर्षांमध्ये ज्ञात आहेत: 6,5,4,3,3,5,5,6,3,7,4,5.

गुणधर्माच्या मूल्याद्वारे डेटा एकत्र करून आणि त्या प्रत्येकाच्या पुनरावृत्तीच्या प्रकरणांची संख्या मोजून, आम्ही भारित अंकगणित सरासरी सूत्र वापरून गटबद्ध डेटानुसार सेवेच्या सरासरी लांबीची गणना करू.

X = (3*3+4*2+5*4+6*2+7*1) : 12 = 56 : 12 = 4,7 वर्षाच्या.

सामग्रीच्या सांख्यिकीय प्रक्रियेच्या अभ्यासामध्ये, विविध समस्या उद्भवतात ज्यात घटनांच्या अभ्यासात वैशिष्ट्ये आहेत आणि त्यांच्या निराकरणात विविध सरासरी वापरण्याची आवश्यकता आहे. सांख्यिकीय सरासरी नेहमी अभ्यास केलेल्या सामाजिक प्रक्रिया आणि घटनांचे गुणात्मक गुणधर्म व्यक्त करतात हे लक्षात घेऊन, घटना आणि त्यांची वैशिष्ट्ये यांच्यातील संबंधांवर आधारित सरासरीचे योग्य स्वरूप निवडणे महत्वाचे आहे.

अंकगणिताचे गुणधर्म म्हणजे:

अंकगणित सरासरीमध्ये अनेक गुणधर्म आहेत, ज्याचे ज्ञान सरासरीचे सार समजून घेण्यासाठी तसेच त्यांची गणना सुलभ करण्यासाठी आवश्यक आहे.

1. भिन्न मूल्यांच्या बेरजेचा अंकगणितीय सरासरी अंकगणितीय सरासरी मूल्यांच्या बेरजेइतका आहे:

जर x i = y i + z i असेल तर

हा नियम दर्शवितो की कोणत्या प्रकरणांमध्ये सरासरी बेरीज केली जाऊ शकते. जर, उदाहरणार्थ, उत्पादित उत्पादनांमध्ये दोन भाग असतात yआणि zआणि त्या प्रत्येकाच्या निर्मितीसाठी सरासरी खर्च केला जातो येथे= ३ तास, z=5 h, नंतर एका उत्पादनाच्या निर्मितीवर घालवलेला सरासरी वेळ ( एक्स) समान असेल: 3+5 = 8 तास, म्हणजे एक्स= y + z..

2. व्हेरिएबल अॅट्रिब्यूटच्या व्हेरिएबल व्हॅल्यूजच्या विचलनाची बीजगणितीय बेरीज शून्याच्या बरोबरीची आहे, कारण एका दिशेतील विचलनांची बेरीज दुसऱ्या दिशेतील विचलनांच्या बेरीजने ऑफसेट केली जाते, म्हणजे.

, कारण

हा नियम दर्शवितो की सरासरी परिणामकारक आहे.

3. मालिकेतील सर्व रूपे समान संख्येने कमी किंवा वाढविल्यास एकमग सरासरी समान संख्येने कमी किंवा वाढेल अ:

4. जर पंक्तीचे सर्व रूपे कमी किंवा वाढवले ​​असतील परंतुवेळा, नंतर सरासरी देखील अनुक्रमे कमी किंवा वाढेल परंतुएकदा:

5. मालिकेतील सर्व फ्रिक्वेन्सी समान संख्येने भागल्यास किंवा गुणाकार केल्यास ड,मग सरासरी बदलणार नाही:

हे गुणधर्म दर्शविते की सरासरी वजनाच्या आकारावर अवलंबून नसते, परंतु त्यांच्यातील गुणोत्तरावर अवलंबून असते. परिणामी, केवळ निरपेक्षच नाही तर सापेक्ष मूल्ये देखील वजन म्हणून कार्य करू शकतात.

सरासरी कालक्रमानुसार

काहीवेळा, सामाजिक-आर्थिक निर्देशकांचे विश्लेषण करताना, डायनॅमिक्सच्या समतुल्य क्षण मालिकेचा डेटा असल्यास सरासरी मूल्य निर्धारित करणे आवश्यक आहे. उदाहरणार्थ, वस्तूंचा सरासरी मासिक साठा; महिन्याच्या सुरूवातीस विक्रेत्यांची संख्या ज्ञात असल्यास तिमाहीसाठी, अर्ध्या वर्षासाठी विक्रेत्यांची सरासरी संख्या; किंवा प्रदेशाची सरासरी वार्षिक लोकसंख्या निश्चित करा, नंतर कालक्रमानुसार सरासरी वापरा.

X \u003d ( x 1 + x 2 + x 3 + ... + x n -1 + x n): (n-1)

X हे लोकसंख्येच्या प्रत्येक युनिटच्या गुणधर्माचे वैयक्तिक मूल्य आहे;

n ही लोकसंख्या एककांची संख्या आहे.

सरासरी हार्मोनिक

हार्मोनिक मीन हा अंकगणितीय मध्याचा परस्पर आहे. जेव्हा सांख्यिकीय माहितीमध्ये वैयक्तिक लोकसंख्येच्या पर्यायांसाठी फ्रिक्वेन्सी नसतात, परंतु त्यांचे उत्पादन म्हणून सादर केले जाते, तेव्हा हार्मोनिक भारित सरासरी सूत्र लागू केले जाते.

या फॉर्ममध्ये सरासरी म्हणतात सरासरी हार्मोनिक भारितआणिदर्शविले x गारमी vzv . म्हणून, हार्मोनिक मीन हे अंकगणितीय माध्य सारखेच आहे. जेव्हा वास्तविक वजन अज्ञात असते, परंतु उत्पादन ज्ञात असते तेव्हा ते वापरले जाते f x = z

ज्या प्रकरणांमध्ये कार्य करते f xएक (m=1) समान किंवा समान आहेत, लागू होते साधा हार्मोनिक मीन, सूत्रानुसार गणना केली जाते

कुठे एक्स- स्वतंत्र पर्याय; पी- त्यांची संख्या.

भौमितिक मध्यम

जेव्हा निरपेक्ष फरकांवर नव्हे तर दोन संख्यांच्या गुणोत्तरांकडे लक्ष दिले जाते तेव्हा ही सरासरी वापरण्यास सोयीस्कर आहे. म्हणून, सरासरी वार्षिक वाढीच्या गणनेमध्ये भौमितिक माध्य वापरला जातो

किंवा

हे भौमितिक सरासरी सूत्र आहे, जे खालीलप्रमाणे तयार केले जाऊ शकते:

भौमितिक माध्य पदवीच्या मुळाशी समान आहे पीप्रत्येक पुढील कालावधीच्या मूल्याचे गुणोत्तर आणि मागील कालावधीच्या मूल्याचे गुणोत्तर दर्शविणाऱ्या वाढ गुणांकांच्या उत्पादनातून.

भौमितिक सरासरी मूल्य सरासरीच्या परिणामाच्या सामग्रीच्या दृष्टीने सर्वात योग्य उत्तर देते, जर वैशिष्ट्याचे असे मूल्य शोधण्याचे कार्य असेल जे वैशिष्ट्याच्या कमाल आणि किमान मूल्य दोन्हीपासून गुणात्मकदृष्ट्या समान असेल.

उदाहरण, पहिल्या वर्षी महागाईचा परिणाम म्हणून, उत्पादनाची किंमत मागील वर्षाच्या तुलनेत दुप्पट झाली; दुसऱ्या वर्षासाठी - मागील वर्षाच्या पातळीपेक्षा तीन पट जास्त. दोन वर्षांत 6 पटीने भाव वाढल्याचे स्पष्ट झाले आहे. दर वर्षी सरासरी किंमत वाढीची गणना करा?

सरासरी वाढीचा दर मोजताना, अंकगणित सरासरी अयोग्य आहे. भौमितिक माध्य अचूक उत्तर देते.

X \u003d x 1 * x 2 \u003d 2 * 3 \u003d 6 \u003d २.४५ वेळा.

रूट म्हणजे चौरस

तत्सम माहिती.

हा धडा सरासरी मूल्यांच्या उद्देशाचे वर्णन करतो, त्यांचे मुख्य प्रकार आणि फॉर्म आणि गणना पद्धतीची चर्चा करतो. सादर केलेल्या सामग्रीचा अभ्यास करताना, सरासरी मूल्यांच्या निर्मितीसाठी आवश्यकता जाणून घेणे आवश्यक आहे, कारण त्यांचे पालन केल्याने ही मूल्ये एकसंध युनिट्सच्या संचामधील वैशिष्ट्याच्या मूल्यांची वैशिष्ट्यपूर्ण वैशिष्ट्ये म्हणून वापरण्याची परवानगी देते.

फॉर्म आणि सरासरीचे प्रकार

सरासरी मूल्य विशेषता मूल्यांच्या पातळीचे एक सामान्यीकृत वैशिष्ट्य आहे, जे प्रति लोकसंख्या युनिट प्राप्त केले जाते. सापेक्ष मूल्याच्या उलट, जे निर्देशकांच्या गुणोत्तराचे मोजमाप आहे, सरासरी मूल्य प्रति लोकसंख्या युनिट वैशिष्ट्याचे मोजमाप म्हणून काम करते.

सरासरी मूल्याचा सर्वात महत्वाचा गुणधर्म असा आहे की ते अभ्यासाधीन लोकसंख्येच्या सर्व युनिट्समध्ये अंतर्भूत असलेले सामान्य प्रतिबिंबित करते.

लोकसंख्येच्या वैयक्तिक युनिट्सच्या गुणधर्माची मूल्ये अनेक घटकांच्या प्रभावाखाली एका दिशेने किंवा दुसर्या दिशेने चढ-उतार होतात, त्यापैकी लक्षणीय आणि यादृच्छिक असू शकतात. उदाहरणार्थ, बँक कर्जावरील व्याजदर सर्व पतसंस्थांसाठी प्रारंभिक घटकांद्वारे निर्धारित केले जातात (राखीव आवश्यकतांची पातळी आणि मध्यवर्ती बँकेद्वारे व्यावसायिक बँकांना प्रदान केलेल्या कर्जासाठी आधारभूत व्याजदर इ.), तसेच त्यांची वैशिष्ट्ये. प्रत्येक विशिष्ट व्यवहार, या कर्जामध्ये अंतर्भूत जोखमीवर अवलंबून असतो. , त्याचा आकार आणि परिपक्वता, कर्ज मिळविण्याचा खर्च आणि त्याच्या परतफेडीचे निरीक्षण इ.

सरासरी मूल्य गुणधर्माच्या वैयक्तिक मूल्यांचा सारांश देते आणि स्थान आणि वेळेच्या विशिष्ट परिस्थितीत या लोकसंख्येच्या वैशिष्ट्यपूर्ण सामान्य परिस्थितीचा प्रभाव प्रतिबिंबित करते. सरासरीचे सार या वस्तुस्थितीत आहे की ते यादृच्छिक घटकांच्या क्रियेमुळे लोकसंख्येच्या वैयक्तिक युनिट्सच्या गुणधर्मांच्या मूल्यांचे विचलन रद्द करते आणि कृतीमुळे होणारे बदल विचारात घेते. मुख्य घटक. गुणात्मक एकसमान लोकसंख्येवरून गणना केली जाते तेव्हा सरासरी मूल्य एककांच्या दिलेल्या लोकसंख्येमधील वैशिष्ट्याची विशिष्ट पातळी दर्शवेल. या संदर्भात, गटबद्ध करण्याच्या पद्धतीसह सरासरीची पद्धत वापरली जाते.

संपूर्ण लोकसंख्येचे वैशिष्ट्य दर्शविणारी सरासरी मूल्ये म्हणतात सामान्य आणि सरासरी, समूह किंवा उपसमूहाचे वैशिष्ठ्य प्रतिबिंबित करते, - गट.

सामान्य आणि गट सरासरीचे संयोजन वेळ आणि जागेत तुलना करण्यास अनुमती देते आणि सांख्यिकीय विश्लेषणाच्या सीमांचा लक्षणीय विस्तार करते. उदाहरणार्थ, 2002 च्या जनगणनेच्या निकालांचा सारांश देताना, असे आढळून आले की रशिया, बहुतेक युरोपियन देशांप्रमाणे, वृद्ध लोकसंख्येद्वारे वैशिष्ट्यीकृत आहे. 1989 च्या जनगणनेच्या तुलनेत, देशातील रहिवाशांचे सरासरी वय तीन वर्षांनी वाढले आणि 37.7 वर्षे, पुरुष - 35.2 वर्षे, महिला - 40.0 वर्षे (1989 च्या आकडेवारीनुसार, ही आकडेवारी अनुक्रमे 34.7, 31,9 आणि 37.2 वर्षे होती. ). Rosstat नुसार, 2011 मध्ये जन्माच्या वेळी पुरुषांचे आयुर्मान 63 वर्षे आणि महिलांसाठी 75.6 वर्षे आहे.

प्रत्येक सरासरी अभ्यास केलेल्या लोकसंख्येची वैशिष्ठ्ये दर्शवते. व्यावहारिक निर्णय घेण्यासाठी, नियम म्हणून, अनेक निकषांनुसार लोकसंख्येचे वैशिष्ट्यीकृत करणे आवश्यक आहे. या प्रकरणात, सरासरी प्रणाली वापरली जाते.

उदाहरणार्थ, बँकिंग जोखमीच्या स्वीकारार्ह पातळीसह ऑपरेशन्सच्या नफाक्षमतेची योग्य पातळी प्राप्त करण्यासाठी, जारी केलेल्या कर्जावरील सरासरी व्याजदर ठेवी आणि इतर वित्तीय साधनांवरील सरासरी व्याजदर लक्षात घेऊन सेट केले जातात.

सरासरी मूल्याची गणना करण्यासाठी फॉर्म, प्रकार आणि पद्धत अभ्यासाचे ध्येय, अभ्यास केलेल्या वैशिष्ट्यांचा प्रकार आणि संबंध तसेच प्रारंभिक डेटाच्या स्वरूपावर अवलंबून असते. सरासरी दोन मुख्य श्रेणींमध्ये मोडते:

• 1) शक्ती सरासरी;
• 2) संरचनात्मक सरासरी.

सरासरी सूत्र लागू होत असलेल्या सरासरीच्या पॉवर मूल्याद्वारे निर्धारित केले जाते. घातांकाच्या वाढीसह k त्यानुसार सरासरी वाढते.

सांख्यिकीय निर्देशकांचे सर्वात सामान्य स्वरूप म्हणजे सरासरी मूल्य, जे स्थान आणि वेळेच्या विशिष्ट परिस्थितीनुसार सांख्यिकीय लोकसंख्येतील वैशिष्ट्याचे सामान्यीकृत परिमाणवाचक वैशिष्ट्य आहे. सरासरी मूल्याच्या स्वरूपात निर्देशक विशिष्ट वैशिष्ट्ये व्यक्त करतो आणि भिन्न चिन्हांपैकी एकानुसार समान प्रकारच्या घटनेचे सामान्यीकृत वर्णन देतो. सरासरीचा व्यापक वापर या वस्तुस्थितीद्वारे स्पष्ट केला जातो की त्यांच्याकडे अनेक सकारात्मक गुणधर्म आहेत जे त्यांना अर्थव्यवस्थेतील घटना आणि प्रक्रियांचे विश्लेषण करण्यासाठी एक अपरिहार्य साधन बनवतात.

सरासरी मूल्याचा सर्वात महत्वाचा गुणधर्म असा आहे की ते अभ्यासाधीन लोकसंख्येच्या सर्व युनिट्समध्ये अंतर्भूत असलेले सामान्य प्रतिबिंबित करते. लोकसंख्येच्या वैयक्तिक युनिट्सच्या गुणधर्माची मूल्ये अनेक घटकांच्या प्रभावाखाली एका दिशेने किंवा दुसर्या दिशेने चढ-उतार होतात, ज्यामध्ये मूलभूत आणि यादृच्छिक दोन्ही असू शकतात. उदाहरणार्थ, कॉर्पोरेशनच्या स्टॉकची किंमत मुख्यत्वे त्याच्या क्रियाकलापांच्या आर्थिक परिणामांद्वारे निर्धारित केली जाते. त्याच वेळी, काही विशिष्ट दिवशी आणि विशिष्ट स्टॉक एक्सचेंजवर, प्रचलित परिस्थितीमुळे, हे शेअर्स जास्त किंवा कमी दराने विकले जाऊ शकतात. सरासरीचे सार या वस्तुस्थितीत आहे की ते यादृच्छिक घटकांच्या क्रियेमुळे लोकसंख्येच्या वैयक्तिक युनिट्सच्या गुणधर्मांच्या मूल्यांचे विचलन रद्द करते आणि कृतीमुळे होणारे बदल विचारात घेते. मुख्य घटक. हे सरासरीला गुणधर्माची विशिष्ट पातळी प्रतिबिंबित करण्यास आणि वैयक्तिक युनिट्सच्या वैयक्तिक वैशिष्ट्यांमधून अमूर्त करण्यास अनुमती देते.

सरासरीची विशिष्टता थेट लोकसंख्येच्या एकसंधतेशी संबंधित आहे. गुणात्मक एकसमान लोकसंख्येवरून गणना केली जाते तेव्हाच सरासरी मूल्य वैशिष्ट्याची विशिष्ट पातळी दर्शवेल. म्हणून, दिलेल्या एक्सचेंजवर दिलेल्या दिवशी विकल्या गेलेल्या सर्व एंटरप्राइझच्या शेअर्सच्या सरासरी दराची गणना केल्यास, आम्हाला काल्पनिक सरासरी मिळते. गणनासाठी वापरलेली लोकसंख्या अत्यंत विषम आहे या वस्तुस्थितीद्वारे हे स्पष्ट केले जाईल. या आणि तत्सम प्रकरणांमध्ये, सरासरी पद्धत गटबद्ध पद्धतीच्या संयोजनात वापरली जाते: जर लोकसंख्या विषम असेल, तर सामान्य सरासरी बदलणे आवश्यक आहे किंवा समूह सरासरीने पूरक केले पाहिजे, म्हणजे. गुणात्मक एकसंध गटांसाठी गणना केलेली सरासरी.

सरासरीच्या सिद्धांतामध्ये खालील नियम वापरले जातात.

1. ज्या चिन्हाद्वारे सरासरी निश्चित केली जाते त्याला म्हणतात सरासरी वैशिष्ट्यआणि दर्शविले जाते.

2. लोकसंख्येच्या प्रत्येक युनिटसाठी सरासरी गुणधर्माचे मूल्य त्याचे म्हणतात वैयक्तिक मूल्यआणि दर्शविले जाते.

3. वैयक्तिक मूल्यांच्या पुनरावृत्तीक्षमतेस वारंवारता म्हणतात आणि दर्शविले जाते f .

4. वैशिष्ट्याचे एकूण मूल्य दर्शविले जाते प .

सांख्यिकीय लोकसंख्येच्या कोणत्याही परिमाणवाचक गुणधर्माचे एकच सरासरी मूल्य असते. सरासरी वैशिष्ट्य (निरपेक्ष, सापेक्ष आणि सरासरी) आणि उपलब्ध माहितीच्या अभिव्यक्तीच्या स्वरूपावर अवलंबून त्याची गणना विविध मार्गांनी केली जाऊ शकते. पदवी अवलंबून k विविध प्रकारच्या सरासरी प्राप्त होतात.

1.साधे अंकगणित सरासरी - माध्यमाचा सर्वात सामान्य प्रकार

k =1

2.अंकगणित भारित सरासरी - वैशिष्ट्याची वैयक्तिक मूल्ये आणि त्यांची वारंवारता ज्ञात असल्यास वापरली जाते f . प्रत्येक पर्याय त्याच्या वारंवारतेनुसार "भारित" आहे, म्हणजे. त्याद्वारे गुणाकार करा. वारंवारता f त्यांना सांख्यिकीय वजन किंवा सरळ म्हणतात सरासरीचे वजन .

उदाहरण.उपलब्ध डेटाच्या आधारे, आम्ही कर्मचार्यांच्या सरासरी कामाच्या अनुभवाची गणना करतो

3.सरासरी हार्मोनिक साधे गुणविशेषाच्या वैयक्तिक मूल्यांच्या परस्परसंख्येची बेरीज सरासरी दरम्यान अपरिवर्तित राहणे आवश्यक असल्यास वापरले जाते.

गुणधर्माच्या परस्पर मूल्यांची बेरीज कुठे आहे.

उदाहरण. एंटरप्राइझपासून वेअरहाऊसपर्यंत लोड असलेली कार 40 किमी/ताशी वेगाने प्रवास करत होती आणि 60 किमी/ताशी वेगाने रिकामी होते. दोन्ही ट्रिपसाठी कारचा सरासरी वेग किती आहे?

वाहतूक अंतर S किमी असू द्या. सरासरी वेगाच्या गणनेमध्ये S कोणतीही भूमिका बजावत नाही. वैयक्तिक गती मूल्ये बदलताना सरासरी मूल्यापर्यंत, दोन्ही सहलींवर घालवलेला वेळ अपरिवर्तित राहणे आवश्यक आहे, अन्यथा सरासरी वेग काहीही असू शकतो - कासवाच्या गतीपासून प्रकाशाच्या वेगापर्यंत. प्रवासाच्या वेळा सारख्याच असतात. तर,

S ने समानतेच्या सर्व अटी कमी केल्याने, आम्ही प्राप्त करतो त्या हार्मोनिक मीनची स्थिती समाधानी आहे. बदलणे आणि , आम्हाला मिळते

50 किमी/ताशी ची अंकगणित सरासरी बरोबर नाही, कारण वास्तविकतेपेक्षा वेगळ्या हालचाली वेळेत परिणाम होतो. जर अंतर 96 किमी असेल तर खरा प्रवास वेळ असेल

सांख्यिकीय सराव मध्ये, हार्मोनिक भारित सरासरी अधिक वेळा वापरली जाते.

4.सरासरी हार्मोनिक भारित वैशिष्ट्याची वैयक्तिक मूल्ये आणि वैशिष्ट्याची एकूण मूल्ये ज्ञात असल्यास वापरली जाते.

उदाहरण

5.सरासरी एकूण वैशिष्ट्याची एकूण मूल्ये आणि त्यांची वारंवारता ज्ञात असल्यास वापरली जाते.

उदाहरण. उत्पादनाची सरासरी किंमत माहित असल्यास निश्चित करा

6.रूट म्हणजे चौरस मानक विचलनाची गणना करण्यासाठी वापरले जाते, जे भिन्नतेचे सूचक आहे, तसेच अभियांत्रिकीमध्ये

k =2

मीन चौरस भारित

7.भौमितिक मध्यम साखळी योजनेनुसार सरासरी वाढीचा दर मोजण्यासाठी वापरला जातो k= 0

येथे k= 1 आम्हाला अंकगणित सरासरी मिळते, k= 2 - चतुर्भुज, सह k= 3 - घन, सह k= 0 - भौमितिक, k= -1 हार्मोनिक माध्यम आहे. घातांक जितका जास्त k , सरासरी मूल्य जितके मोठे असेल. जर वैशिष्ट्याची सर्व प्रारंभिक मूल्ये समान असतील, तर सर्व सरासरी const च्या समान असतील. तर आपला खालील संबंध आहे, ज्याला म्हणतात साधनांचा मुख्य नियम :

हा नियम वापरून, सांख्यिकी, त्याच्या "तज्ञ" च्या मनःस्थिती आणि इच्छेनुसार, एका सत्रात 2 आणि 5 ग्रेड प्राप्त करणार्‍या विद्यार्थ्याला "बुडू" किंवा "बचाव" करू शकते. त्याचा सरासरी गुण किती आहे?

अंकगणिताच्या सरासरीनुसार, सरासरी गुण 3.5 आहे. परंतु जर डीन दुर्दैवी "बुडून" इच्छित असेल आणि हार्मोनिक मीनची गणना करेल मग विद्यार्थी सरासरी पराभूत राहतो जो पहिल्या तीन क्रमांकावर पोहोचला नाही.

तथापि, विद्यार्थी परिषद डीनवर आक्षेप घेऊन सरासरी घनमूल्य सादर करू शकते . विद्यार्थी आधीच "चांगला" दिसतो आणि शिष्यवृत्तीसाठी अर्जही करतो.

स्ट्रक्चरल सरासरी - मोड आणि मध्य - पॉवर सरासरीच्या विरूद्ध, जे मोठ्या प्रमाणात लोकसंख्येचे अमूर्त वैशिष्ट्य आहे, लोकसंख्येच्या चांगल्या-परिभाषित रूपांशी एकरूप होणारे विशिष्ट प्रमाण म्हणून कार्य करतात. हे त्यांना व्यावहारिक समस्या सोडवण्यासाठी अपरिहार्य बनवते.

फॅशन- या लोकसंख्येच्या युनिट्समधील गुणधर्माचे हे सर्वात सामान्य मूल्य आहे. एका स्वतंत्र वितरण मालिकेसाठी, वारंवारता स्तंभाद्वारे, गणना न करता मोड निर्धारित केला जातो आणि सर्वोच्च वारंवारतेसह वैशिष्ट्य मूल्याशी संबंधित असतो. उदाहरण क्रमांक 1 वरून, सर्वोच्च वारंवारता f=20, जे 4थ्या टॅरिफ श्रेणीशी संबंधित आहे, म्हणून M o =4.

मध्यांतर वितरण मालिकेसाठी, मोड सूत्राद्वारे निर्धारित केला जातो

मोडल मध्यांतराची खालची मर्यादा कुठे आहे;

– मोडल अंतरालचे मूल्य;

- मध्यांतराची फ्रिक्वेन्सी, अनुक्रमे, मॉडेलच्या आधीची, मोडल आणि मॉडेलच्या नंतरची.

मोडल सर्वोच्च वारंवारतेसह मध्यांतराशी संबंधित आहे.

चला मोडची गणना करू या उदाहरणार्थ क्रमांक 2. मोडल मध्यांतर 130-140 शी संबंधित आहे. त्यांच्यासाठी , = 140-130=10, =20,

बर्याचदा, कामगारांच्या उत्पादनाचा दर 134% असतो, बहुतेकदा योजना 34% ने भरलेली असते.

मध्यक- रँक केलेल्या मालिकेच्या मध्यभागी असलेल्या वैशिष्ट्याचे मूल्य आणि ते अर्ध्यामध्ये विभाजित करते. श्रेणीबद्ध मालिका - वैशिष्ट्याच्या चढत्या किंवा उतरत्या क्रमाने व्यवस्था केलेली मालिका. भिन्न भिन्नता मालिकेसाठी, मध्यक मोजले जात नाही, परंतु मालिका पाहून निर्धारित केले जाते. उदाहरणार्थ, पाच कामगारांसाठी, भागांच्या उत्पादनाचा दैनिक दर अनुक्रमे 10, 12, 15, 16 आणि 18 तुकडे आहे. M e तिसऱ्या कर्मचाऱ्याचे आउटपुट आहे आणि 15 भागांच्या बरोबरीचे आहे. विशेषता मूल्यांच्या सम संख्येसह, मध्यक हे मध्यवर्ती मूल्य व्यापलेल्या विशेषता मूल्यांची अर्धी बेरीज म्हणून घेतले जाते. उदाहरणार्थ, 10 मूल्यांवर, विशेषताच्या 5 व्या आणि 6 व्या मूल्यांची अर्धी बेरीज.

मध्यांतर मालिकेसाठी, सूत्रानुसार मध्यक निर्धारित केला जातो

कुठे – मध्यांतराची खालची मर्यादा;

– मध्यांतराचे मूल्य;

– भिन्नता मालिकेच्या खंडाची अर्धी बेरीज;

– मध्यकाच्या आधीच्या मध्यांतराची संचित वारंवारता;

– मध्यांतराची वारंवारता.

मध्यक हा मालिकेच्या अर्ध्या खंडाशी संबंधित मध्यांतर आहे. मध्यांतर शोधण्यासाठी, मालिकेतील अर्धा खंड असलेले मध्यांतर सापडेपर्यंत फ्रिक्वेन्सी जमा करणे आवश्यक आहे.

उदाहरणार्थ क्रमांक 2 साठी मीडियन काढू. मध्यांतर 120-130 आहे, कारण त्याच्याशी संबंधित संचयी वारंवारता मालिकेच्या अर्ध्या खंडाचा समावेश करते. त्यांच्यासाठी

– अर्धे कामगार 129% पेक्षा कमी उत्पादन दर पूर्ण करतात आणि उर्वरित अर्धे कामगार 129% पेक्षा जास्त उत्पादन दर पूर्ण करतात.