मागील परिच्छेदामध्ये चर्चा केलेल्या ग्राफिकल पद्धतीपेक्षा अधिक विश्वासार्ह.

प्रतिस्थापन पद्धत

रेखीय समीकरणांची प्रणाली सोडवण्यासाठी आम्ही ही पद्धत 7 व्या वर्गात वापरली. 7 व्या इयत्तेत विकसित केलेला अल्गोरिदम x आणि y या दोन व्हेरिएबल्ससह कोणत्याही दोन समीकरणांच्या (रेषीय असणे आवश्यक नाही) प्रणाली सोडवण्यासाठी अगदी योग्य आहे (अर्थात, व्हेरिएबल्स इतर अक्षरांद्वारे दर्शविले जाऊ शकतात, जे काही फरक पडत नाही). खरेतर, आम्ही हा अल्गोरिदम मागील परिच्छेदात वापरला, जेव्हा दोन-अंकी संख्येच्या समस्येमुळे गणितीय मॉडेल, जे समीकरणांची एक प्रणाली आहे. आम्ही प्रतिस्थापन पद्धतीद्वारे वरील समीकरणांची ही प्रणाली सोडवली (§ 4 मधील उदाहरण 1 पहा).

x, y या दोन चलांसह दोन समीकरणांची प्रणाली सोडवताना प्रतिस्थापन पद्धत वापरण्यासाठी अल्गोरिदम.

1. सिस्टीमच्या एका समीकरणातून x च्या दृष्टीने y व्यक्त करा.
2. प्रणालीच्या दुसर्‍या समीकरणात y ऐवजी परिणामी अभिव्यक्ती बदला.
3. x साठी परिणामी समीकरण सोडवा.
4. पहिल्या पायरीवर मिळालेल्या x द्वारे x द्वारे x च्या ऐवजी तिसऱ्या पायरीवर आढळलेल्या समीकरणाच्या प्रत्येक मुळे बदला.
5. तिसर्‍या आणि चौथ्या चरणांमध्ये अनुक्रमे सापडलेल्या मूल्यांच्या (x; y) जोडीच्या स्वरूपात उत्तर लिहा.

4) y च्या प्रत्येक सापडलेल्या मूल्यांना x \u003d 5 - Zy या सूत्रामध्ये बदला. जर तर
5) समीकरणांच्या दिलेल्या प्रणालीचे जोड्या (2; 1) आणि निराकरणे.

उत्तर: (2; 1);

बीजगणित जोडण्याची पद्धत

ही पद्धत, प्रतिस्थापन पद्धतीप्रमाणे, तुम्हाला 7 व्या वर्गातील बीजगणित अभ्यासक्रमापासून परिचित आहे, जिथे ती रेखीय समीकरणांच्या प्रणाली सोडवण्यासाठी वापरली जात होती. आम्हाला खालील उदाहरणातील पद्धतीचे सार आठवते.

उदाहरण २समीकरणांची एक प्रणाली सोडवा

आम्ही प्रणालीच्या पहिल्या समीकरणाच्या सर्व अटींना 3 ने गुणाकार करतो आणि दुसरे समीकरण अपरिवर्तित ठेवतो:
प्रणालीचे दुसरे समीकरण त्याच्या पहिल्या समीकरणातून वजा करा:

मूळ प्रणालीच्या दोन समीकरणांच्या बीजगणितीय जोडणीच्या परिणामी, एक समीकरण प्राप्त झाले जे दिलेल्या प्रणालीच्या पहिल्या आणि दुसऱ्या समीकरणांपेक्षा सोपे आहे. या सोप्या समीकरणासह, आम्हाला दिलेल्या प्रणालीचे कोणतेही समीकरण बदलण्याचा अधिकार आहे, उदाहरणार्थ, दुसरे. नंतर समीकरणांची दिलेली प्रणाली एका सोप्या प्रणालीद्वारे बदलली जाईल:

ही प्रणाली प्रतिस्थापन पद्धतीद्वारे सोडविली जाऊ शकते. दुस-या समीकरणावरून आपल्याला सिस्टीमच्या पहिल्या समीकरणामध्ये y ऐवजी ही अभिव्यक्ती बदलताना आढळते.

x ची सापडलेली मूल्ये सूत्रामध्ये बदलणे बाकी आहे

जर x = 2 तर

अशा प्रकारे, आम्हाला सिस्टमसाठी दोन उपाय सापडले आहेत:

नवीन व्हेरिएबल्स सादर करण्याची पद्धत

8 व्या वर्गाच्या बीजगणित अभ्यासक्रमात एका व्हेरिएबलसह तर्कसंगत समीकरणे सोडवताना नवीन व्हेरिएबल सादर करण्याची पद्धत तुम्हाला परिचित झाली आहे. समीकरणांच्या प्रणाली सोडवण्यासाठी या पद्धतीचे सार समान आहे, परंतु तांत्रिक दृष्टिकोनातून काही वैशिष्ट्ये आहेत ज्यांची आपण पुढील उदाहरणांमध्ये चर्चा करू.

उदाहरण ३समीकरणांची एक प्रणाली सोडवा

चला नवीन व्हेरिएबल सादर करू या नंतर सिस्टमचे पहिले समीकरण आणखी सोप्या स्वरूपात पुन्हा लिहिता येईल: चला t या व्हेरिएबलच्या संदर्भात हे समीकरण सोडवू.

ही दोन्ही मूल्ये अटी पूर्ण करतात, आणि म्हणून t या व्हेरिएबलसह परिमेय समीकरणाची मुळे आहेत. पण याचा अर्थ एकतर जिथून आपल्याला ते x = 2y सापडते किंवा
अशाप्रकारे, नवीन व्हेरिएबल सादर करण्याच्या पद्धतीचा वापर करून, आम्ही प्रणालीचे पहिले समीकरण, जे दिसायला खूपच गुंतागुंतीचे आहे, दोन सोप्या समीकरणांमध्ये "स्तरीकरण" करण्यासाठी व्यवस्थापित केले:

x = 2 y; y - 2x.

पुढे काय? आणि मग प्राप्त केलेल्या दोन साध्या समीकरणांपैकी प्रत्येकाचा विचार x 2 - y 2 \u003d 3 या समीकरणासह प्रणालीमध्ये केला पाहिजे, जे आम्हाला अद्याप आठवत नाही. दुसऱ्या शब्दांत, समीकरणांच्या दोन प्रणालींचे निराकरण करण्यासाठी समस्या कमी केली जाते:

पहिल्या प्रणालीसाठी, दुसऱ्या प्रणालीसाठी उपाय शोधणे आवश्यक आहे आणि उत्तरामध्ये मूल्यांच्या सर्व परिणामी जोड्यांचा समावेश करणे आवश्यक आहे. चला समीकरणांची पहिली प्रणाली सोडवू:

आपण प्रतिस्थापन पद्धत वापरू, विशेषत: येथे सर्वकाही तयार असल्याने: आपण प्रणालीच्या दुसऱ्या समीकरणामध्ये x ऐवजी 2y अभिव्यक्ती बदलतो. मिळवा

x \u003d 2y पासून, आम्हाला अनुक्रमे x 1 \u003d 2, x 2 \u003d 2 सापडतात. अशा प्रकारे, दिलेल्या प्रणालीसाठी दोन निराकरणे प्राप्त होतात: (2; 1) आणि (-2; -1). समीकरणांची दुसरी प्रणाली सोडवू:

चला प्रतिस्थापन पद्धत पुन्हा वापरु: आपण प्रणालीच्या दुसऱ्या समीकरणामध्ये y ऐवजी 2x अभिव्यक्ती बदलतो. मिळवा

या समीकरणाला मुळे नाहीत, याचा अर्थ समीकरणांच्या प्रणालीला कोणतेही उपाय नाहीत. अशा प्रकारे, उत्तरामध्ये फक्त पहिल्या प्रणालीचे निराकरण समाविष्ट केले जावे.

उत्तर: (2; 1); (-2;-1).

दोन व्हेरिएबल्ससह दोन समीकरणांचे निराकरण करण्याच्या प्रणालीमध्ये नवीन चल सादर करण्याची पद्धत दोन आवृत्त्यांमध्ये वापरली जाते. पहिला पर्याय: एक नवीन व्हेरिएबल सादर केला जातो आणि सिस्टमच्या फक्त एका समीकरणात वापरला जातो. उदाहरण 3 मध्ये हेच घडले आहे. दुसरा पर्याय: प्रणालीच्या दोन्ही समीकरणांमध्ये दोन नवीन व्हेरिएबल्स सादर केले जातात आणि एकाच वेळी वापरले जातात. हे उदाहरण 4 मध्ये असेल.

उदाहरण ४समीकरणांची एक प्रणाली सोडवा

चला दोन नवीन व्हेरिएबल्स सादर करूया:

तेव्हा आपण ते शिकतो

हे आम्हाला दिलेली प्रणाली अधिक सोप्या स्वरूपात पुन्हा लिहिण्यास अनुमती देईल, परंतु नवीन व्हेरिएबल्स a आणि b च्या संदर्भात:

a \u003d 1 पासून, नंतर a + 6 \u003d 2 या समीकरणावरून आपल्याला आढळेल: 1 + 6 \u003d 2; ६=१. अशा प्रकारे, a आणि b व्हेरिएबल्ससाठी, आम्हाला एक उपाय मिळाला:

x आणि y व्हेरिएबल्सकडे परत आल्यावर आपल्याला समीकरणांची प्रणाली मिळते

या प्रणालीचे निराकरण करण्यासाठी आम्ही बीजगणित जोडणी पद्धत लागू करतो:

तेव्हापासून 2x + y = 3 या समीकरणावरून आपल्याला आढळते:
अशा प्रकारे, x आणि y व्हेरिएबल्ससाठी, आम्हाला एक उपाय मिळाला:

थोडक्यात पण गंभीर सैद्धांतिक चर्चेने हा भाग संपवू. तुम्हाला विविध समीकरणे सोडवण्याचा अनुभव आधीच मिळाला आहे: रेखीय, चौरस, तर्कसंगत, अपरिमेय. तुम्हाला माहित आहे की समीकरण सोडवण्याची मुख्य कल्पना म्हणजे हळूहळू एका समीकरणातून दुस-या समीकरणाकडे जाणे, सोपे परंतु दिलेल्या समतुल्य. मागील विभागात, आम्ही दोन चलांसह समीकरणांसाठी समतुल्यतेची कल्पना मांडली. ही संकल्पना समीकरणांच्या प्रणालींसाठी देखील वापरली जाते.

व्याख्या.

x आणि y व्हेरिएबल्ससह समीकरणांच्या दोन प्रणालींना समान सोल्यूशन्स असल्यास किंवा दोन्ही प्रणालींना कोणतेही निराकरण नसल्यास समतुल्य म्हटले जाते.

आम्ही या विभागात चर्चा केलेल्या तिन्ही पद्धती (बदली, बीजगणितीय जोडणी आणि नवीन चलांचा परिचय) समतुल्यतेच्या दृष्टिकोनातून अगदी बरोबर आहेत. दुसऱ्या शब्दांत, या पद्धतींचा वापर करून, आम्ही समीकरणांची एक प्रणाली दुस-या, सोपी, परंतु मूळ प्रणालीशी समतुल्य बदलतो.

समीकरण प्रणाली सोडवण्यासाठी ग्राफिकल पद्धत

प्रतिस्थापनाची पद्धत, बीजगणितीय जोडणी आणि नवीन चलांचा परिचय अशा सामान्य आणि विश्वासार्ह मार्गांनी समीकरणांची प्रणाली कशी सोडवायची हे आपण आधीच शिकलो आहोत. आणि आता आपण मागील धड्यात आधीच अभ्यासलेली पद्धत लक्षात ठेवूया. म्हणजेच, ग्राफिकल सोल्यूशन पद्धतीबद्दल आपल्याला काय माहित आहे ते पुन्हा करूया.

समीकरणांची प्रणाली ग्राफिक पद्धतीने सोडवण्याची पद्धत म्हणजे या प्रणालीमध्ये समाविष्ट असलेल्या आणि समान समन्वय समतल असलेल्या प्रत्येक विशिष्ट समीकरणांसाठी आलेख तयार करणे आणि या आलेखांच्या बिंदूंचे छेदनबिंदू शोधणे आवश्यक आहे. . समीकरणांची ही प्रणाली सोडवण्यासाठी या बिंदूचे समन्वय आहेत (x; y).

हे लक्षात ठेवले पाहिजे की समीकरणांच्या ग्राफिकल प्रणालीसाठी एकतर एकच योग्य सोल्यूशन, किंवा अनंत संख्येत सोल्यूशन्स असणे किंवा निराकरणे नसणे सामान्य आहे.

आता या प्रत्येक उपायावर बारकाईने नजर टाकूया. आणि म्हणून, सिस्टीमच्या समीकरणांचे आलेख असलेल्या रेषा एकमेकांना छेदत असल्यास समीकरणांच्या प्रणालीला एक अद्वितीय समाधान मिळू शकते. जर या रेषा समांतर असतील, तर अशा समीकरण प्रणालीमध्ये कोणतेही निराकरण नाही. सिस्टमच्या समीकरणांच्या थेट आलेखांच्या योगायोगाच्या बाबतीत, अशी प्रणाली आपल्याला अनेक निराकरणे शोधण्याची परवानगी देते.

बरं, आता ग्राफिकल पद्धतीचा वापर करून 2 अज्ञात असलेल्या दोन समीकरणांची प्रणाली सोडवण्यासाठी अल्गोरिदम पाहू:

प्रथम, प्रथम आपण 1ल्या समीकरणाचा आलेख तयार करतो;
दुसरी पायरी म्हणजे दुसऱ्या समीकरणाशी संबंधित आलेख प्लॉट करणे;
तिसरे म्हणजे, आपल्याला आलेखांचे छेदनबिंदू शोधणे आवश्यक आहे.
आणि परिणामी, आम्हाला प्रत्येक छेदनबिंदूचे निर्देशांक मिळतात, जे समीकरणांच्या प्रणालीचे निराकरण असेल.

उदाहरणासह या पद्धतीकडे अधिक तपशीलवार पाहू. आम्हाला निराकरण करण्यासाठी समीकरणांची एक प्रणाली दिली आहे:

समीकरणे सोडवणे

1. प्रथम, आपण या समीकरणाचा आलेख तयार करू: x2+y2=9.

परंतु हे लक्षात घ्यावे की समीकरणांचा हा आलेख मूळ केंद्रस्थानी असलेले वर्तुळ असेल आणि त्याची त्रिज्या तीन असेल.

2. आमची पुढची पायरी म्हणजे समीकरण तयार करणे जसे की: y = x - 3.

या प्रकरणात, आपण एक रेषा तयार केली पाहिजे आणि बिंदू (0;−3) आणि (3;0) शोधले पाहिजेत.

3. आम्हाला काय मिळाले ते पाहूया. आपण पाहतो की रेषा वर्तुळाला त्याच्या A आणि B पैकी दोन बिंदूंनी छेदते.

आता आपण या बिंदूंचे समन्वय शोधत आहोत. आपण पाहतो की निर्देशांक (3;0) बिंदू A शी संबंधित आहेत आणि निर्देशांक (0;−3) बिंदू B शी संबंधित आहेत.

आणि परिणामी आम्हाला काय मिळते?

वर्तुळासह सरळ रेषेच्या छेदनबिंदूवर प्राप्त संख्या (3;0) आणि (0;−3) ही प्रणालीच्या दोन्ही समीकरणांची अचूकपणे निराकरणे आहेत. आणि यावरून असे दिसून येते की या संख्या देखील या समीकरण प्रणालीचे निराकरण आहेत.

म्हणजेच, या सोल्युशनचे उत्तर म्हणजे संख्या: (3;0) आणि (0;−3).

पूर्णांकांमध्ये समीकरणे सोडवणे ही सर्वात जुनी गणिती समस्या आहे. आधीच 2 रा सहस्राब्दी बीसीच्या सुरूवातीस. e बॅबिलोनियन लोकांना अशा समीकरणांची दोन चलने कशी सोडवायची हे माहित होते. गणिताचे हे क्षेत्र प्राचीन ग्रीसमध्ये सर्वात जास्त समृद्धीपर्यंत पोहोचले. आमच्यासाठी मुख्य स्त्रोत डायओफँटसचे "अंकगणित" आहे, ज्यामध्ये विविध प्रकारची समीकरणे आहेत. त्यात, डायओफँटस (त्याच्या नावावर आणि समीकरणांच्या नावावर - डायओफँटाइन समीकरणे) 2 र्या आणि 3 व्या अंशांच्या समीकरणांचा अभ्यास करण्यासाठी अनेक पद्धतींचा अंदाज लावतात, ज्या केवळ 19 व्या शतकात विकसित झाल्या.

सर्वात सोपी डायओफँटाइन समीकरण ax + y = 1 (दोन चलांसह समीकरण, प्रथम अंश) x2 + y2 = z2 (तीन चलांसह समीकरण, द्वितीय अंश)

बीजगणितीय समीकरणांचा पूर्णपणे अभ्यास केला गेला आहे; त्यांचे निराकरण 16व्या आणि 17व्या शतकातील बीजगणितातील सर्वात महत्त्वाच्या समस्यांपैकी एक होती.

19व्या शतकाच्या सुरूवातीस, पी. फर्मॅट, एल. यूलर, के. गॉस यांच्या कृतींनी फॉर्मचे डायओफँटाइन समीकरण तपासले: ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0, जेथे a, b, c , d, e, f ही संख्या आहेत; x, y अज्ञात चल आहेत.

हे दोन अज्ञातांसह 2रे अंशाचे समीकरण आहे.

के. गॉस यांनी चतुर्भुज स्वरूपांचा एक सामान्य सिद्धांत तयार केला, जो विशिष्ट प्रकारची समीकरणे दोन व्हेरिएबल्स (डायोफँटाइन समीकरणे) सह सोडवण्याचा आधार आहे. मोठ्या संख्येने विशिष्ट डायओफँटाइन समीकरणे आहेत जी प्राथमिक पद्धतींनी सोडवली जाऊ शकतात.

सैद्धांतिक साहित्य.

कामाच्या या भागात, मूलभूत गणितीय संकल्पनांचे वर्णन केले जाईल, संज्ञांच्या व्याख्या दिल्या जातील, अपघटन प्रमेय अनिश्चित गुणांकांच्या पद्धती वापरून तयार केला जाईल, ज्याचा अभ्यास केला गेला आणि दोन चलांसह समीकरणे सोडवताना विचार केला गेला.

व्याख्या 1: ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0 या स्वरूपाचे समीकरण, जेथे a, b, c, d, e, f या संख्या आहेत; x, y अज्ञात चलांना दोन चलांसह द्वितीय-डिग्री समीकरण म्हणतात.

गणिताच्या शालेय अभ्यासक्रमात, ax2 + inx + c \u003d 0 हे चतुर्भुज समीकरण अभ्यासले जाते, जेथे x या संख्येचे a, b, c हे एक चल असते. असे समीकरण सोडवण्याचे अनेक मार्ग आहेत:

1. भेदभाव वापरून मुळे शोधणे;

2. (D1 = नुसार) मध्ये सम गुणांकासाठी मुळे शोधणे;

3. व्हिएटाच्या प्रमेयाद्वारे मुळे शोधणे;

4. द्विपदीच्या पूर्ण वर्गाची निवड वापरून मुळे शोधणे.

समीकरण सोडवणे म्हणजे त्याची सर्व मुळे शोधणे किंवा एकही नाही हे सिद्ध करणे.

व्याख्या 2: समीकरणाचे मूळ ही एक संख्या असते जी समीकरणामध्ये बदलल्यावर खरी समानता बनते.

व्याख्या ३: दोन चल असलेल्या समीकरणाच्या समाधानाला संख्यांची जोडी (x, y) म्हणतात, त्यांना समीकरणात बदलल्यास ते खऱ्या समानतेमध्ये बदलते.

समीकरणाचे निराकरण शोधण्याच्या प्रक्रियेमध्ये सहसा समीकरणाच्या जागी समतुल्य समीकरण असते, परंतु समाधानामध्ये सोपे असते. अशा समीकरणांना समतुल्य म्हणतात.

व्याख्या 4: जर एका समीकरणाचे प्रत्येक सोल्यूशन दुसर्‍या समीकरणाचे समाधान असेल आणि त्याउलट, आणि दोन्ही समीकरणे एकाच क्षेत्रात विचारात घेतली गेली तर दोन समीकरणे समतुल्य आहेत असे म्हटले जाते.

दोन व्हेरिएबल्ससह समीकरणे सोडवण्यासाठी, समीकरणाचा विस्तार परिपूर्ण वर्गांच्या बेरजेमध्ये केला जाणारा प्रमेय (अनिश्चित गुणांकांच्या पद्धतीद्वारे) वापरला जातो.

दुसऱ्या क्रमाच्या समीकरणासाठी ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0 (1) एक विघटन आहे a(x + py + q)2 + r(y + s)2 + h (2)

दोन चलांच्या समीकरण (1) साठी विस्तार (2) कोणत्या स्थितीत होतो ते आपण तयार करू या.

प्रमेय: जर (1) समीकरणाचे a, c, c गुणांक a0 आणि 4av - c20 च्या अटी पूर्ण करतात, तर विस्तार (2) अनन्य पद्धतीने निर्धारित केला जातो.

दुस-या शब्दात, प्रमेयातील परिस्थिती पूर्ण झाल्यास, अनिश्चित गुणांकांच्या पद्धतीचा वापर करून दोन चलांसह समीकरण (1) फॉर्म (2) मध्ये कमी केले जाऊ शकते.

अनिश्चित गुणांकांची पद्धत कशी लागू केली जाते याचे उदाहरण पाहू.

पद्धत # 1. अनिश्चित गुणांकांच्या पद्धतीने समीकरण सोडवा

2 x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 0.

1. प्रमेयाच्या अटींची पूर्तता तपासू, a=2, b=1, c=2, तर a=2,4av - c2= 4∙2∙1- 22= 40.

2. प्रमेयाच्या अटी समाधानी आहेत, आणि सूत्र (2) द्वारे विस्तारित केल्या जाऊ शकतात.

3. 2 x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 2(x + py + q)2 + r(y + s)2 + h, प्रमेयाच्या अटींवर आधारित, ओळखीचे दोन्ही भाग समतुल्य आहेत. ओळखीची उजवी बाजू सोपी करा.

4. 2(x + py + q)2 + r(y +s)2 +h =

2(x2 + p2y2 + q2 + 2pxy + 2pqy + 2qx) + r(y2 + 2sy + s2) + h =

2x2+ 2p2y2 + 2q2 + 4pxy + 4pqy + 4qx + ry2 + 2rsy + rs2 + h =

X2(2) + y2(2p2 + r) + xy(4p) + x(4q) + y(4pq + 2rs) + (2q2 + rs2 + h).

5. समान व्हेरिएबल्ससाठी गुणांक त्यांच्या शक्तींसह समान करा.

x2 2 = 2 y21 = 2p2 + r) xy2 = 4p x2 = 4q y0 = 4pq + 2rs x01 = 2q2 + rs2 + h

6. समीकरणांची एक प्रणाली मिळवा, ती सोडवा आणि गुणांकांची मूल्ये शोधा.

7. (2) मध्ये गुणांक बदला, नंतर समीकरण फॉर्म घेईल

2 x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 \u003d 2 (x + 0.5y + 0.5) 2 + 0.5 (y -1) 2 + 0

अशा प्रकारे, मूळ समीकरण समीकरणाच्या समतुल्य आहे

2(x + 0.5y + 0.5)2 + 0.5(y -1)2 = 0 (3), हे समीकरण दोन रेखीय समीकरणांच्या प्रणालीशी समतुल्य आहे.

उत्तर: (-1; 1).

जर तुम्ही विघटनाच्या प्रकाराकडे लक्ष दिले (3), तर तुम्ही पाहू शकता की ते एका व्हेरिएबलसह चतुर्भुज समीकरणातून पूर्ण चौरस निवडण्यासारखे आहे: ax2 + inx + c = a(x +)2 +

दोन चलांसह समीकरण सोडवण्यासाठी ही युक्ती लागू करूया. प्रमेय वापरून आधीपासून सोडवलेले दोन चल असलेले द्विघात समीकरण पूर्ण वर्गाच्या निवडीच्या मदतीने सोडवू.

पद्धत #2: 2x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 0 हे समीकरण सोडवा.

उपाय: 1. आपण x2 + x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 0 या दोन पदांची बेरीज म्हणून 2x2 दर्शवतो.

2. आम्ही अटींचा अशा प्रकारे गट करतो की आम्ही पूर्ण चौरस सूत्रानुसार संकुचित करू शकतो.

(x2 + y2 + 2xy) + (x2 + 2x + 1) = 0.

3. कंसातील अभिव्यक्तींमधून पूर्ण चौरस निवडा.

(x + y)2 + (x + 1)2 = 0.

4. हे समीकरण रेखीय समीकरणांच्या प्रणालीशी समतुल्य आहे.

उत्तर: (-1;1).

जर आपण परिणामांची तुलना केली तर आपण पाहू शकतो की प्रमेय आणि अनिश्चित गुणांकांची पद्धत वापरून पद्धत क्रमांक 1 द्वारे सोडवलेले समीकरण आणि पूर्ण वर्गाची निवड करून पद्धत क्रमांक 2 द्वारे सोडवलेले समीकरण समान आहेत.

निष्कर्ष: दोन चल असलेले द्विघात समीकरण दोन प्रकारे वर्गांच्या बेरजेमध्ये विस्तारित केले जाऊ शकते:

➢ पहिली पद्धत ही अनिश्चित गुणांकांची पद्धत आहे, जी प्रमेय आणि विस्तारावर आधारित आहे (2).

➢ दुसरा मार्ग एकसारख्या परिवर्तनांच्या मदतीने आहे, ज्यामुळे सलग पूर्ण चौरस निवडणे शक्य होते.

अर्थात, समस्या सोडवताना, दुसरी पद्धत श्रेयस्कर आहे, कारण त्यास विस्तार (2) आणि अटी लक्षात ठेवण्याची आवश्यकता नाही.

ही पद्धत तीन चलांसह द्विघात समीकरणांवर देखील लागू केली जाऊ शकते. अशा समीकरणांमध्ये पूर्ण चौरस निवडणे अधिक कष्टाचे असते. मी पुढील वर्षी अशा प्रकारचे परिवर्तन करणार आहे.

हे लक्षात घेणे मनोरंजक आहे की f(x, y)= ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f फॉर्म असलेल्या फंक्शनला दोन चलांचे चतुर्भुज कार्य म्हणतात. गणिताच्या विविध शाखांमध्ये चतुर्भुज कार्ये महत्त्वाची भूमिका बजावतात:

गणितीय प्रोग्रामिंगमध्ये (चतुर्भुज प्रोग्रामिंग)

रेखीय बीजगणित आणि भूमिती (चतुर्भुज फॉर्म) मध्ये

विभेदक समीकरणांच्या सिद्धांतामध्ये (दुसऱ्या क्रमाच्या रेषीय समीकरणाला कॅनोनिकल फॉर्ममध्ये कमी करणे).

या विविध समस्या सोडवताना, खरं तर, एका चतुर्भुज समीकरणातून (एक, दोन किंवा अधिक चल) पूर्ण वर्ग काढण्याची पद्धत लागू करावी लागते.

ज्या रेषांचे समीकरण दोन चलांच्या चतुर्भुज समीकरणाने वर्णन केले जाते त्यांना दुसऱ्या क्रमाचे वक्र म्हणतात.

हे वर्तुळ, लंबवर्तुळ, हायपरबोला.

या वक्रांचे प्लॉटिंग करताना, पूर्ण वर्गाची क्रमिक निवड करण्याची पद्धत देखील वापरली जाते.

पूर्ण चौरस निवडण्याची पद्धत विशिष्ट उदाहरणांवर कशी कार्य करते याचा विचार करूया.

व्यावहारिक भाग.

पूर्ण वर्गाची क्रमिक निवड करण्याची पद्धत वापरून समीकरणे सोडवा.

1. 2x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 0; x2 + x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 0;

(x + 1)2 + (x + y)2 = 0;

उत्तर: (-1; 1).

2. x2 + 5y2 + 2xy + 4y + 1 = 0; x2 + 4y2 + y2 + 2xy + 4y + 1 = 0;

(x + y)2 + (2y + 1)2 = 0;

उत्तर: (0.5; - 0.5).

3. 3x2 + 4y2 - 6xy - 2y + 1 = 0;

3x2 + 3y2 + y2 - 6xy - 2y +1 = 0;

3x2 + 3y2 - 6xy + y2 -2y +1 = 0;

3(x2 - 2xy + y2) + y2 - 2y + 1 = 0;

3(x2 - 2xy + y2)+(y2 - 2y + 1)=0;

3(x-y)2 + (y-1)2 = 0;

उत्तर: (-1; 1).

समीकरणे सोडवा:

1. 2x2 + 3y2 - 4xy + 6y +9 = 0

(फॉर्मवर आणा: 2(x-y)2 + (y +3)2 = 0)

उत्तर: (-3; -3)

2. - 3x2 - 2y2 - 6xy -2y + 1=0

(फॉर्मवर आणा: -3 (x + y) 2 + (y -1) 2 \u003d 0)

उत्तर: (-1; 1)

3. x2 + 3y2 + 2xy + 28y +98 = 0

(फॉर्मवर आणा: (x + y) 2 + 2 (y + 7) 2 \u003d 0)

उत्तर: (७; -७)

निष्कर्ष.

या वैज्ञानिक कार्यात, द्वितीय पदवीच्या दोन चलांसह समीकरणांचा अभ्यास केला गेला, त्यांचे निराकरण करण्याच्या पद्धतींचा विचार केला गेला. कार्य पूर्ण झाले आहे, पूर्ण चौरस निवडून आणि समीकरणाच्या समतुल्य प्रणालीसह समीकरण पुनर्स्थित करण्यावर आधारित, एक लहान समाधान पद्धत तयार केली आहे आणि वर्णन केली आहे, परिणामी, दोन चलांसह समीकरणाची मुळे शोधण्याची प्रक्रिया सरलीकृत केली आहे.

कामाचा एक महत्त्वाचा मुद्दा असा आहे की विचाराधीन तंत्राचा उपयोग चतुर्भुज फंक्शनशी संबंधित विविध गणिती समस्या सोडवण्यासाठी, द्वितीय-क्रम वक्र तयार करण्यासाठी आणि अभिव्यक्तींचे सर्वात मोठे (सर्वात लहान) मूल्य शोधण्यासाठी केले जाते.

अशा प्रकारे, दोन व्हेरिएबल्ससह द्वितीय क्रमाच्या समीकरणाचा वर्गांच्या बेरजेमध्ये विस्तार करण्याच्या तंत्राचा गणितात सर्वाधिक उपयोग होतो.

आम्ही समीकरणांच्या दोन प्रकारच्या सोडवण्याच्या पद्धतींचे विश्लेषण करू:

1. प्रतिस्थापन पद्धतीद्वारे प्रणालीचे निराकरण.
2. प्रणालीच्या समीकरणांची टर्म-दर-टर्म बेरीज (वजाबाकी) करून प्रणालीचे समाधान.

समीकरणांची प्रणाली सोडवण्यासाठी प्रतिस्थापन पद्धतआपल्याला साध्या अल्गोरिदमचे अनुसरण करण्याची आवश्यकता आहे:
1. आम्ही व्यक्त करतो. कोणत्याही समीकरणातून, आपण एक चल व्यक्त करतो.
2. पर्याय. आम्ही व्यक्त व्हेरिएबल, परिणामी मूल्याऐवजी दुसर्‍या समीकरणात बदलतो.
3. आम्ही परिणामी समीकरण एका व्हेरिएबलसह सोडवतो. आम्ही प्रणालीवर उपाय शोधतो.

सोडवण्याकरिता टर्म-दर-टर्म बेरीज (वजाबाकी) द्वारे प्रणालीगरज:
1. एक व्हेरिएबल निवडा ज्यासाठी आपण समान गुणांक बनवू.
2. आम्ही समीकरणे जोडतो किंवा वजा करतो, परिणामी आम्हाला एका व्हेरिएबलसह समीकरण मिळते.
3. आम्ही परिणामी रेखीय समीकरण सोडवतो. आम्ही प्रणालीवर उपाय शोधतो.

प्रणालीचे समाधान म्हणजे फंक्शनच्या आलेखांचे छेदनबिंदू.

उदाहरणे वापरून सिस्टमच्या सोल्यूशनचा तपशीलवार विचार करूया.

उदाहरण #1:

प्रतिस्थापन पद्धतीने सोडवू

प्रतिस्थापन पद्धतीद्वारे समीकरणांची प्रणाली सोडवणे

2x+5y=1 (1 समीकरण)
x-10y=3 (दुसरे समीकरण)

1. एक्सप्रेस
हे पाहिले जाऊ शकते की दुसऱ्या समीकरणामध्ये 1 च्या गुणांकासह व्हेरिएबल x आहे, म्हणून असे दिसून आले की दुसऱ्या समीकरणातून x व्हेरिएबल व्यक्त करणे सर्वात सोपे आहे.
x=3+10y

2. व्यक्त केल्यानंतर, आपण x च्या ऐवजी पहिल्या समीकरणात 3 + 10y बदलतो.
2(3+10y)+5y=1

3. आम्ही परिणामी समीकरण एका व्हेरिएबलसह सोडवतो.
2(3+10y)+5y=1 (खुले कंस)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0.2

समीकरण प्रणालीचे समाधान हे आलेखांचे छेदनबिंदू आहे, म्हणून आपल्याला x आणि y शोधणे आवश्यक आहे, कारण छेदनबिंदूमध्ये x आणि y आहेत. चला x शोधू, पहिल्या परिच्छेदामध्ये आपण व्यक्त केलेल्या तेथे y ची जागा घेऊ.
x=3+10y
x=3+10*(-0.2)=1

पहिल्या ठिकाणी बिंदू लिहिण्याची प्रथा आहे, आम्ही व्हेरिएबल x लिहितो आणि दुसऱ्या ठिकाणी व्हेरिएबल y.
उत्तर: (1; -0.2)

उदाहरण #2:

टर्म बाय टर्म बेरीज (वजाबाकी) करून सोडवू.

जोडणी पद्धतीने समीकरणांची प्रणाली सोडवणे

3x-2y = 1 (1 समीकरण)
2x-3y=-10 (दुसरे समीकरण)

1. व्हेरिएबल निवडा, समजा आपण x निवडतो. पहिल्या समीकरणात, x चे गुणांक 3 आहे, दुसऱ्यामध्ये - 2. आपल्याला गुणांक समान बनवायचे आहेत, यासाठी आपल्याला समीकरणांचा गुणाकार करण्याचा किंवा कोणत्याही संख्येने भाग घेण्याचा अधिकार आहे. आपण पहिले समीकरण 2 ने गुणाकार करतो आणि दुसरे 3 ने गुणाकार करतो आणि एकूण 6 गुणांक मिळवतो.

3x-2y=1 |*2
6x-4y = 2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. पहिल्या समीकरणातून, x व्हेरिएबलपासून मुक्त होण्यासाठी दुसरे वजा करा. रेखीय समीकरण सोडवा.
__6x-4y=2

५y=३२ | :5
y=6.4

3. x शोधा. आम्ही कोणत्याही समीकरणात सापडलेल्या y ला बदलतो, चला पहिल्या समीकरणात म्हणू.
3x-2y = 1
३x-२*६.४=१
३x-१२.८=१
३x=१+१२.८
३x=१३.८ |:३
x=4.6

छेदनबिंदू असेल x=4.6; y=6.4
उत्तर: (४.६; ६.४)

तुम्हाला परीक्षेची मोफत तयारी करायची आहे का? शिक्षक ऑनलाइन मोफत आहे. मी चेष्टा नाही करत आहे.

सूचना

प्रतिस्थापन पद्धत एक चल व्यक्त करा आणि त्यास दुसर्‍या समीकरणात बदला. तुम्हाला आवडणारे कोणतेही व्हेरिएबल तुम्ही व्यक्त करू शकता. उदाहरणार्थ, दुसऱ्या समीकरणातून "y" व्यक्त करा:
x-y=2 => y=x-2 नंतर पहिल्या समीकरणात सर्वकाही प्लग करा:
2x+(x-2)=10 x शिवाय सर्व काही उजवीकडे हलवा आणि मोजा:
2x+x=10+2
3x=12 पुढे, "x साठी, समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 3 ने विभाजित करा:
x=4. तर, तुम्हाला "x" सापडला आहे. येथे शोधा. हे करण्यासाठी, ज्या समीकरणातून तुम्ही "y:" व्यक्त केले त्यामध्ये "x" ला बदला.
y=x-2=4-2=2
y = 2.

एक चेक करा. हे करण्यासाठी, समीकरणांमध्ये परिणामी मूल्ये बदला:
2*4+2=10
4-2=2
अज्ञात योग्यरित्या आढळले!

समीकरणे कशी जोडावी किंवा वजा करावीत एकाच वेळी कोणतेही चल काढून टाका. आमच्या बाबतीत, हे "y" सह करणे सोपे आहे.
“y” मध्ये “+” आणि दुसर्‍या “-” मध्ये असल्याने, आपण अतिरिक्त ऑपरेशन करू शकता, म्हणजे. आम्ही डावीकडे डावीकडे आणि उजवीकडे उजवीकडे जोडतो:
2x+y+(x-y)=10+2 रूपांतर:
2x+y+x-y=10+2
३x=१२
x=4 कोणत्याही समीकरणामध्ये "x" ला बदला आणि "y:" शोधा.
2*4+y=10
८+y=१०
y=10-8
y=2 1ल्या पद्धतीनुसार, तुम्हाला जे बरोबर सापडले ते तुम्ही शोधू शकता.

जर स्पष्टपणे परिभाषित व्हेरिएबल्स नसतील तर समीकरणांचे किंचित रूपांतर करणे आवश्यक आहे.
पहिल्या समीकरणात आपल्याकडे "2x" आहे, आणि दुसऱ्या समीकरणात फक्त "x. जोडण्यासाठी किंवा “x कमी करण्यासाठी, दुसरे समीकरण 2 ने गुणा:
x-y=2
2x-2y=4 नंतर पहिल्या समीकरणातून दुसरे समीकरण वजा करा:
2x+y-(2x-2y)=10-4
2x+y-2x+2y=6
3y = 6
कोणत्याही समीकरणातून व्यक्त करून y \u003d 2 "x शोधा, उदा.
x=4

संबंधित व्हिडिओ

टीप 2: दोन चलांसह रेखीय समीकरण कसे सोडवायचे

समीकरण, सामान्य स्वरूपात ax + by + c \u003d 0 मध्ये लिहिलेले, दोन सह रेखीय समीकरण म्हणतात चल. अशा समीकरणात स्वतःच असंख्य निराकरणे असतात, म्हणून समस्यांमध्ये ते नेहमी एखाद्या गोष्टीसह पूरक असते - दुसरे समीकरण किंवा मर्यादित परिस्थिती. समस्येद्वारे प्रदान केलेल्या परिस्थितीनुसार, दोनसह एक रेखीय समीकरण सोडवा चलवेगवेगळ्या प्रकारे अनुसरण केले.

तुला गरज पडेल

• - दोन चलांसह रेखीय समीकरण;
• - दुसरे समीकरण किंवा अतिरिक्त अटी.

सूचना

दोन रेखीय समीकरणांची प्रणाली दिल्यास ते खालीलप्रमाणे सोडवा. ज्या समीकरणात गुणांक आधी आहेत त्यापैकी एक निवडा चलव्हेरिएबल्सपैकी एक लहान आणि व्यक्त करा, उदाहरणार्थ, x. नंतर y असलेले मूल्य दुसऱ्या समीकरणात प्लग करा. परिणामी समीकरणात y एकच चल असेल, y सह सर्व भाग डावीकडे हलवा आणि मुक्त भाग उजवीकडे हलवा. कोणत्याही मूळ समीकरणात y आणि पर्याय शोधा, x शोधा.

दोन समीकरणांची प्रणाली सोडवण्याचा आणखी एक मार्ग आहे. एका समीकरणाचा एका संख्येने गुणाकार करा म्हणजे एका व्हेरिएबलच्या समोरील गुणांक, उदाहरणार्थ, x च्या समोर, दोन्ही समीकरणांमध्ये समान असेल. नंतर दुसऱ्या समीकरणांपैकी एक वजा करा (जर उजवी बाजू 0 नसेल, तर उजवीकडील बाजू त्याच प्रकारे वजा करण्याचे लक्षात ठेवा). तुम्हाला दिसेल की x व्हेरिएबल नाहीसे झाले आहे आणि फक्त एक y शिल्लक आहे. परिणामी समीकरण सोडवा आणि y चे आढळलेले मूल्य कोणत्याही मूळ समानतेमध्ये बदला. x शोधा.

दोन रेखीय समीकरणांची प्रणाली सोडवण्याचा तिसरा मार्ग म्हणजे ग्राफिकल. एक समन्वय प्रणाली काढा आणि दोन सरळ रेषांचे आलेख काढा, ज्याची समीकरणे तुमच्या सिस्टममध्ये दर्शविली आहेत. हे करण्यासाठी, समीकरणामध्ये कोणतीही दोन x मूल्ये बदला आणि संबंधित y शोधा - हे रेषेशी संबंधित असलेल्या बिंदूंचे समन्वय असतील. समन्वय अक्षांसह छेदनबिंदू शोधणे सर्वात सोयीचे आहे - फक्त x=0 आणि y=0 मूल्ये बदला. या दोन ओळींच्या छेदनबिंदूचे समन्वय ही कार्ये असतील.

जर समस्येच्या परिस्थितीत फक्त एक रेखीय समीकरण असेल, तर तुम्हाला अतिरिक्त अटी दिल्या जातात ज्यामुळे तुम्ही उपाय शोधू शकता. या अटी शोधण्यासाठी समस्या काळजीपूर्वक वाचा. जर ए चल x आणि y हे अंतर, वेग, वजन आहेत - x≥0 आणि y≥0 मर्यादा सेट करण्यास मोकळ्या मनाने. हे शक्य आहे की x किंवा y , सफरचंद इ.ची संख्या लपवत आहे. - मग मूल्ये फक्त असू शकतात. जर x हे मुलाचे वय असेल, तर हे स्पष्ट आहे की तो त्याच्या वडिलांपेक्षा मोठा असू शकत नाही, म्हणून समस्येच्या परिस्थितीत हे सूचित करा.

स्रोत:

• एका व्हेरिएबलसह समीकरण कसे सोडवायचे

आपोआप समीकरणतीन सह अज्ञातअनेक उपाय आहेत, म्हणून बहुतेकदा ते आणखी दोन समीकरणे किंवा परिस्थितींनी पूरक असते. प्रारंभिक डेटा काय आहे यावर अवलंबून, निर्णयाचा मार्ग मोठ्या प्रमाणात अवलंबून असेल.

तुला गरज पडेल

• - तीन अज्ञातांसह तीन समीकरणांची प्रणाली.

सूचना

तीनपैकी दोन सिस्टीममध्ये तीनपैकी फक्त दोन अज्ञात असल्यास, इतरांच्या दृष्टीने काही व्हेरिएबल्स व्यक्त करण्याचा प्रयत्न करा आणि त्यात प्लग इन करा. समीकरणतीन सह अज्ञात. यासह आपले ध्येय हे सामान्य बनवणे आहे समीकरणअज्ञात सह. असे असल्यास, पुढील उपाय अगदी सोपा आहे - सापडलेल्या मूल्याला इतर समीकरणांमध्ये बदला आणि इतर सर्व अज्ञात शोधा.

समीकरणांच्या काही प्रणाली एका समीकरणातून दुसऱ्या समीकरणाने वजा केल्या जाऊ शकतात. दोन अज्ञात एकाच वेळी कमी व्हावेत म्हणून एकाचा किंवा व्हेरिएबलचा गुणाकार करणे शक्य आहे का ते पहा. अशी संधी असल्यास, त्याचा वापर करा, बहुधा, त्यानंतरचा निर्णय कठीण होणार नाही. हे विसरू नका की एका संख्येने गुणाकार करताना, आपण डावी बाजू आणि उजवी बाजू दोन्ही गुणाकार करणे आवश्यक आहे. त्याचप्रमाणे समीकरणे वजा करताना लक्षात ठेवा की उजव्या बाजूचीही वजाबाकी करणे आवश्यक आहे.

मागील पद्धतींनी मदत न केल्यास, तीनसह कोणतीही समीकरणे सोडवण्यासाठी सामान्य पद्धत वापरा अज्ञात. हे करण्यासाठी, समीकरणे a11x1 + a12x2 + a13x3 \u003d b1, a21x1 + a22x2 + a23x3 \u003d b2, a31x1 + a32x2 + a33x3 \u003d b3 या स्वरूपात पुन्हा लिहा. आता गुणांकांचे मॅट्रिक्स x (A), अज्ञातांचे मॅट्रिक्स (X) आणि मुक्तांचे मॅट्रिक्स (B) बनवा. लक्ष द्या, गुणांकांचे मॅट्रिक्स अज्ञातांच्या मॅट्रिक्सने गुणाकार केल्यास, तुम्हाला एक मॅट्रिक्स मिळेल, मुक्त सदस्यांचे मॅट्रिक्स, म्हणजेच A * X \u003d B.

शोधल्यानंतर मॅट्रिक्स A ते घात (-1) शोधा, लक्षात घ्या की ते शून्याच्या बरोबरीचे नसावे. त्यानंतर, परिणामी मॅट्रिक्सला मॅट्रिक्स बी ने गुणाकार करा, परिणामी तुम्हाला इच्छित मॅट्रिक्स X मिळेल, सर्व मूल्ये दर्शवितात.

तुम्ही क्रॅमर पद्धतीचा वापर करून तीन समीकरणांच्या प्रणालीचे निराकरण देखील शोधू शकता. हे करण्यासाठी, प्रणालीच्या मॅट्रिक्सशी संबंधित तृतीय-क्रम निर्धारक ∆ शोधा. त्यानंतर संबंधित स्तंभांच्या मूल्यांऐवजी मुक्त संज्ञांची मूल्ये बदलून ∆1, ∆2 आणि ∆3 आणखी तीन निर्धारक शोधा. आता शोधा x: x1=∆1/∆, x2=∆2/∆, x3=∆3/∆.

स्रोत:

• तीन अज्ञातांसह समीकरणांचे निराकरण

समीकरणांची प्रणाली सोडवणे जटिल आणि रोमांचक आहे. प्रणाली जितकी अधिक क्लिष्ट असेल तितकी ती सोडवणे अधिक मनोरंजक आहे. बहुतेकदा माध्यमिक शालेय गणितामध्ये दोन अज्ञात समीकरणांची प्रणाली असते, परंतु उच्च गणितामध्ये अधिक चल असू शकतात. सिस्टम अनेक प्रकारे सोडवता येतात.

सूचना

समीकरणांची प्रणाली सोडवण्याची सर्वात सामान्य पद्धत म्हणजे प्रतिस्थापन. हे करण्यासाठी, तुम्हाला एक व्हेरिएबल दुसर्‍याद्वारे व्यक्त करणे आणि ते दुसर्‍यामध्ये बदलणे आवश्यक आहे समीकरणप्रणाली, अशा प्रकारे आणणे समीकरणएका व्हेरिएबलला. उदाहरणार्थ, समीकरणे दिली: 2x-3y-1=0; x+y-3=0.

दुस-या अभिव्यक्तीमधून एक व्हेरिएबल्स व्यक्त करणे, अभिव्यक्तीच्या उजव्या बाजूला सर्व काही हस्तांतरित करणे सोयीचे आहे, गुणांकाचे चिन्ह बदलण्यास विसरू नका: x = 3-y.

आम्ही कंस उघडतो: 6-2y-3y-1 \u003d 0; -5y + 5 \u003d 0; y \u003d 1. y चे परिणामी मूल्य अभिव्यक्तीमध्ये बदलले आहे: x \u003d 3-y; x \u003d ३-१; x \u003d २.

पहिल्या अभिव्यक्तीमध्ये, सर्व सदस्य 2 आहेत, तुम्ही कंसातील 2 गुणाकाराच्या वितरण गुणधर्मामध्ये घेऊ शकता: 2 * (2x-y-3) = 0. आता अभिव्यक्तीचे दोन्ही भाग या संख्येने कमी केले जाऊ शकतात आणि नंतर y व्यक्त करा, कारण त्यासाठीचे मॉड्यूलो गुणांक एक समान आहे: -y \u003d 3-2x किंवा y \u003d 2x-3.

पहिल्या प्रकरणात जसे, आम्ही या अभिव्यक्तीला दुसऱ्यामध्ये बदलतो समीकरणआणि आम्हाला मिळते: 3x+2*(2x-3)-8=0;3x+4x-6-8=0;7x-14=0;7x=14;x=2. परिणामी मूल्याला अभिव्यक्तीमध्ये बदला: y=2x -3;y=4-3=1.

आपण पाहतो की y वरील गुणांक मूल्यात समान आहे, परंतु चिन्हात भिन्न आहे, म्हणून, जर आपण ही समीकरणे जोडली तर आपण y पासून पूर्णपणे मुक्त होऊ: 4x + 3x-2y + 2y-6-8 \u003d 0; 7x -14 \u003d 0; x=2. आपण x चे मूल्य प्रणालीच्या कोणत्याही दोन समीकरणांमध्ये बदलतो आणि y=1 मिळवतो.

संबंधित व्हिडिओ

बिस्क्वेअर समीकरणप्रतिनिधित्व करते समीकरणचौथा अंश, ज्याचे सामान्य स्वरूप ax^4 + bx^2 + c = 0 या अभिव्यक्तीद्वारे दर्शविले जाते. त्याचे समाधान अज्ञातांच्या प्रतिस्थापन पद्धतीच्या वापरावर आधारित आहे. या प्रकरणात, x^2 दुसर्या व्हेरिएबलने बदलले आहे. अशा प्रकारे, परिणाम एक सामान्य चौरस आहे समीकरण, जे सोडवायचे आहे.

सूचना

चौरस सोडवा समीकरणप्रतिस्थापन परिणामी. हे करण्यासाठी, प्रथम सूत्रानुसार मूल्याची गणना करा: D = b^2 ? 4ac. या प्रकरणात, चल a, b, c हे आपल्या समीकरणाचे गुणांक आहेत.

द्विचक्र समीकरणाची मुळे शोधा. हे करण्यासाठी, मिळालेल्या उपायांचे वर्गमूळ घ्या. जर एक उपाय असेल, तर दोन असतील - वर्गमूळाचे धन आणि ऋण मूल्य. दोन उपाय असल्‍यास, द्विचतुष्‍त्रीय समीकरणाला चार मुळे असतील.

संबंधित व्हिडिओ

रेखीय समीकरणांच्या प्रणाली सोडवण्याच्या शास्त्रीय पद्धतींपैकी एक म्हणजे गॉस पद्धत. यात व्हेरिएबल्सच्या क्रमिक बहिष्काराचा समावेश असतो, जेव्हा समीकरणांची प्रणाली सोप्या परिवर्तनांच्या मदतीने चरण प्रणालीमध्ये रूपांतरित केली जाते, ज्यामधून शेवटच्यापासून सुरू होणारी सर्व चल क्रमवारीत आढळतात.

सूचना

प्रथम, समीकरणांची प्रणाली अशा स्वरूपात आणा जेव्हा सर्व अज्ञात कठोरपणे परिभाषित क्रमाने असतील. उदाहरणार्थ, सर्व अज्ञात Xs प्रत्येक ओळीत प्रथम येतील, सर्व Ys X नंतर येतील, सर्व Zs Y नंतर येतील, इत्यादी. प्रत्येक समीकरणाच्या उजव्या बाजूला अज्ञात नसावे. प्रत्येक अज्ञात समोरील गुणांक तसेच प्रत्येक समीकरणाच्या उजव्या बाजूला असलेले गुणांक मानसिकदृष्ट्या निश्चित करा.

दोन अज्ञातांमधील अरेखीय समीकरणे

व्याख्या १. A काही असू द्या संख्यांच्या जोड्यांचा संच (x; y) . संच A दिल्याचे सांगितले जाते संख्यात्मक कार्य z दोन व्हेरिएबल्समधून x आणि y , जर एखादा नियम निर्दिष्ट केला असेल, ज्याच्या मदतीने A संचातील संख्यांच्या प्रत्येक जोडीला एक विशिष्ट संख्या नियुक्त केली जाते.

x आणि y या दोन व्हेरिएबल्सचे संख्यात्मक फंक्शन z निर्दिष्ट करणे अनेकदा असते नियुक्त करणेत्यामुळे:

कुठे f (x , y) - फंक्शन व्यतिरिक्त कोणतेही फंक्शन

f (x , y) = ax+by+c ,

जेथे a, b, c हे अंक दिले आहेत.

व्याख्या ३. समीकरण (2) उपायसंख्यांच्या जोडीला नाव द्या x; y) , ज्यासाठी सूत्र (2) ही खरी समानता आहे.

उदाहरण १. समीकरण सोडवा

कोणत्याही संख्येचा वर्ग नॉन-ऋणात्मक असल्याने, हे सूत्र (4) वरून येते की अज्ञात x आणि y समीकरणांच्या प्रणालीचे समाधान करतात

ज्याचे समाधान म्हणजे संख्यांची जोडी (6 ; 3) .

उत्तर: (6; 3)

उदाहरण २. समीकरण सोडवा

म्हणून, समीकरण (6) चे समाधान आहे संख्यांच्या जोड्यांची असीम संख्यादयाळू

(1 + y ; y) ,

जेथे y कोणतीही संख्या आहे.

रेखीय

व्याख्या ४. समीकरण प्रणाली सोडवणे

संख्यांच्या जोडीला नाव द्या x; y) , त्यांना या प्रणालीच्या प्रत्येक समीकरणात बदलून, आम्हाला योग्य समानता मिळते.

दोन समीकरणांच्या प्रणाली, ज्यापैकी एक रेखीय आहे, त्याचे स्वरूप आहे

g(x , y)

उदाहरण ४. समीकरणांची एक प्रणाली सोडवा

उपाय . प्रणालीच्या पहिल्या समीकरणातून अज्ञात y व्यक्त करू या (७) अज्ञात x च्या संदर्भात आणि परिणामी अभिव्यक्तीला प्रणालीच्या दुसऱ्या समीकरणामध्ये बदलू:

समीकरण सोडवणे

x 1 = - 1 , x 2 = 9 .

परिणामी,

y 1 = 8 - x 1 = 9 ,
y 2 = 8 - x 2 = - 1 .

दोन समीकरणांची प्रणाली, ज्यापैकी एक एकसंध आहे

दोन समीकरणांच्या प्रणाली, ज्यापैकी एक एकसंध आहे, त्याचे स्वरूप आहे

जेथे a , b , c या संख्या दिल्या आहेत, आणि g(x , y) x आणि y या दोन चलांचे कार्य आहे.

उदाहरण 6. समीकरणांची एक प्रणाली सोडवा

उपाय . एकसंध समीकरण सोडवू

3x 2 + 2xy - y 2 = 0 ,

3x 2 + 17xy + 10y 2 = 0 ,

अज्ञात x च्या संदर्भात ते द्विघात समीकरण म्हणून हाताळणे:

.

बाबतीत जेव्हा x = - 5y, प्रणालीच्या दुसऱ्या समीकरणातून (11) आपल्याला समीकरण मिळते

5y 2 = - 20 ,

ज्याला मुळे नाहीत.

बाबतीत जेव्हा

प्रणालीच्या दुसऱ्या समीकरणातून (11) आपल्याला समीकरण मिळते

,

ज्याची मुळे संख्या आहेत y 1 = 3 , y 2 = - 3 . यातील प्रत्येक व्हॅल्यू आणि संबंधित व्हॅल्यू x शोधून, आम्हाला सिस्टमला दोन उपाय मिळतात: (- 2; 3), (2 ; - 3) .

उत्तर: (- 2; 3), (2; - 3)

इतर प्रकारची समीकरणे सोडवण्याच्या प्रणालीची उदाहरणे

उदाहरण 8. समीकरण प्रणाली (MIPT) सोडवा

उपाय . आम्ही नवीन अज्ञात u आणि v सादर करतो, जे सूत्रांद्वारे x आणि y च्या संदर्भात व्यक्त केले जातात:

प्रणाली (12) नवीन अज्ञातांच्या संदर्भात पुनर्लेखन करण्यासाठी, आपण प्रथम x आणि y अज्ञात u आणि v च्या संदर्भात व्यक्त करतो. हे प्रणाली (13) पासून अनुसरण करते

या प्रणालीच्या दुसऱ्या समीकरणातून x हे चल वगळून आपण रेखीय प्रणाली (14) सोडवतो. यासाठी, आम्ही सिस्टमवर खालील परिवर्तने करतो (14):

• आम्ही प्रणालीचे पहिले समीकरण अपरिवर्तित ठेवतो;
• दुसऱ्या समीकरणातून पहिले समीकरण वजा करा आणि सिस्टीमचे दुसरे समीकरण परिणामी फरकाने बदला.

परिणामी, प्रणाली (14) समतुल्य प्रणालीमध्ये रूपांतरित होते

ज्यातून आपण शोधतो

सूत्रे (13) आणि (15) वापरून, आम्ही मूळ प्रणाली (12) म्हणून पुन्हा लिहितो

प्रणालीचे पहिले समीकरण (16) रेषीय आहे, त्यामुळे आपण अज्ञात v च्या संदर्भात अज्ञात u व्यक्त करू शकतो आणि ही अभिव्यक्ती प्रणालीच्या दुसऱ्या समीकरणामध्ये बदलू शकतो.