Алгебричен израз, в записа на който наред с операциите събиране, изваждане и умножение се използва и деление на буквени изрази, се нарича дробен алгебричен израз. Такива са например изразите

Алгебрична дроб наричаме алгебричен израз, който има формата на частно от деление на два цели алгебрични израза (например мономи или полиноми). Такива са например изразите

третият от изразите).

Трансформациите на идентичност на дробни алгебрични изрази в по-голямата си част са предназначени да ги представят като алгебрична дроб. За намиране на общ знаменател се използва разлагането на знаменателите на дроби - членове, за да се намери тяхното най-малко общо кратно. При намаляване на алгебрични дроби може да се наруши строгата идентичност на изразите: необходимо е да се изключат стойностите на количествата, при които коефициентът, с който се извършва намалението, изчезва.

Нека дадем примери за идентични трансформации на дробни алгебрични изрази.

Пример 1: Опростяване на израз

Всички членове могат да бъдат сведени до общ знаменател (удобно е да смените знака в знаменателя на последния член и знака пред него):

Нашият израз е равен на единица за всички стойности с изключение на тези стойности, той не е дефиниран и намаляването на фракцията е незаконно).

Пример 2. Представете израз като алгебрична дроб

Решение. Изразът може да се приеме за общ знаменател. Намираме последователно:

Упражнения

1. Намерете стойностите на алгебричните изрази за посочените стойности на параметрите:

2. Факторизиране.

Сред различните изрази, които се разглеждат в алгебрата, сумите от мономи заемат важно място. Ето примери за такива изрази:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8 \)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2 \)

Сумата от мономи се нарича полином. Членовете в полинома се наричат ​​членове на полинома. Монономите също се наричат ​​​​полиноми, разглеждайки монома като полином, състоящ се от един член.

Например полином
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
може да бъде опростен.

Представяме всички термини като мономи от стандартната форма:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)

Даваме подобни членове в получения полином:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Резултатът е полином, всички членове на който са мономи от стандартната форма и сред тях няма подобни. Такива полиноми се наричат полиноми със стандартна форма.

Отзад степен на полиномстандартна форма поемат най-големите правомощия на своите членове. И така, биномът \(12a^2b - 7b \) има трета степен, а триномът \(2b^2 -7b + 6 \) има втора.

Обикновено членовете на полиноми със стандартна форма, съдържащи една променлива, са подредени в низходящ ред на нейните показатели. Например:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)

Сумата от няколко полинома може да бъде преобразувана (опростена) в полином със стандартна форма.

Понякога членовете на полином трябва да бъдат разделени на групи, затваряйки всяка група в скоби. Тъй като скобите са противоположни на скобите, лесно се формулира правила за отваряне на скоби:

Ако знакът + е поставен пред скобите, тогава термините, поставени в скоби, се изписват със същите знаци.

Ако пред скобите е поставен знак "-", то заключените в скоби термини се изписват с противоположни знаци.

Трансформация (опростяване) на произведението на моном и полином

Използвайки разпределителното свойство на умножението, човек може да трансформира (опрости) произведението на моном и полином в полином. Например:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

Произведението на моном и полином е идентично равно на сумата от продуктите на този моном и всеки от членовете на полинома.

Този резултат обикновено се формулира като правило.

За да се умножи моном по полином, трябва да се умножи този моном по всеки от членовете на полинома.

Многократно сме използвали това правило за умножение по сума.

Произведението на полиномите. Трансформация (опростяване) на произведението на два полинома

Като цяло произведението на два полинома е идентично равно на сумата от произведението на всеки член на един полином и всеки член на другия.

Обикновено използвайте следното правило.

За да умножите полином по полином, трябва да умножите всеки член на един полином по всеки член на другия и да добавите получените продукти.

Формули за съкратено умножение. Сбор, разлика и квадрати на разликата

Някои изрази в алгебричните трансформации трябва да се разглеждат по-често от други. Може би най-често срещаните изрази са \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) и \(a^2 - b^2 \), т.е. квадратът на сумата, квадратът на разликата и квадратната разлика. Забелязахте, че имената на тези изрази изглеждат непълни, така че например \((a + b)^2 \) е, разбира се, не просто квадрат на сумата, а квадрат на сумата на а и б. Квадратът на сумата от a и b обаче не е толкова често срещан, като правило вместо буквите a и b съдържа различни, понякога доста сложни изрази.

Изразите \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) са лесни за преобразуване (опростяване) в полиноми от стандартната форма, всъщност вече сте се срещали с такава задача при умножаване на полиноми :
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

Получените идентичности са полезни за запомняне и прилагане без междинни изчисления. Кратките словесни формулировки помагат за това.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - квадратът на сбора е равен на сбора от квадратите и двойното произведение.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - квадратът на разликата е сборът от квадратите без удвояване на произведението.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - разликата на квадратите е равна на произведението на разликата и сбора.

Тези три идентичности позволяват при трансформации да се заменят левите им части с десни и обратно - десните части с леви. Най-трудното в този случай е да видите съответните изрази и да разберете с какво са заменени променливите a и b в тях. Нека да разгледаме няколко примера за използване на формули за съкратено умножение.

Забележка 1

Логическа функция може да бъде написана с помощта на логически израз и след това можете да отидете на логическата верига. Необходимо е да се опростят логическите изрази, за да се получи възможно най-проста (и следователно по-евтина) логическа схема. Всъщност логическата функция, логическият израз и логическата верига са три различни езика, които говорят за един и същи обект.

За да опростите логическите изрази, използвайте законите на алгебрата на логиката.

Някои трансформации са подобни на трансформациите на формули в класическата алгебра (поставяне на общия множител в скоби, използване на комутативни и комбинационни закони и т.н.), докато други трансформации се основават на свойства, които операциите на класическата алгебра нямат (използване на разпределителен закон за конюнкция, закони на абсорбция, слепване, правила на де Морган и др.).

Законите на алгебрата на логиката са формулирани за основните логически операции - "НЕ" - инверсия (отрицание), "И" - конюнкция (логическо умножение) и "ИЛИ" - дизюнкция (логическо събиране).

Законът за двойното отрицание означава, че операцията "НЕ" е обратима: ако я приложите два пъти, тогава в крайна сметка логическата стойност няма да се промени.

Законът за изключената среда гласи, че всеки логически израз е верен или неверен („няма трето“). Следователно, ако $A=1$, тогава $\bar(A)=0$ (и обратно), което означава, че конюнкцията на тези величини винаги е равна на нула, а дизюнкцията е равна на единица.

$((A + B) → C) \cdot (B → C \cdot D) \cdot C.$

Нека опростим тази формула:

Фигура 3

Това означава, че $A = 0$, $B = 1$, $C = 1$, $D = 1$.

Отговор:ученици $B$, $C$ и $D$ играят шах, но ученик $A$ не играе.

Когато опростявате логически изрази, можете да извършите следната последователност от действия:

1. Заменете всички „неосновни“ операции (еквивалентност, импликация, XOR и т.н.) с техните изрази чрез основните операции на инверсия, конюнкция и дизюнкция.
2. Разширете инверсии на сложни изрази според правилата на де Морган по такъв начин, че само отделни променливи да имат операции на отрицание.
3. След това опростете израза, като използвате разширение в скоби, общи множители в скоби и други закони на алгебрата на логиката.

Пример 2

Тук се използват последователно правилото на де Морган, законът за разпределение, законът за изключената среда, комутативният закон, законът за повторението, отново комутативният закон и законът за абсорбцията.

С помощта на всеки език можете да изразите една и съща информация с различни думи и фрази. Математическият език не е изключение. Но един и същи израз може да бъде еквивалентно написан по различни начини. И в някои ситуации един от записите е по-прост. В този урок ще говорим за опростяване на изрази.

Хората общуват на различни езици. За нас важно сравнение е двойката "руски език - математически език". Една и съща информация може да бъде докладвана на различни езици. Но освен това може да се произнася по различен начин на един език.

Например: „Петър е приятел с Вася“, „Вася е приятел с Петя“, „Петър и Вася са приятели“. Казано различно, но едно и също. По всяка от тези фрази бихме разбрали какъв е залогът.

Нека да разгледаме тази фраза: "Момчето Петя и момчето Вася са приятели." Разбираме какъв е залогът. Не ни харесва обаче как звучи тази фраза. Не можем ли да го опростим, да кажем същото, но по-просто? „Момче и момче“ - можете да кажете веднъж: „Момчетата Петя и Вася са приятели.“

"Момчета" ... Нали от имената им става ясно, че не са момичета. Премахваме „момчетата“: „Петя и Вася са приятели“. А думата „приятели“ може да се замени с „приятели“: „Петя и Вася са приятели“. В резултат на това първата, дълга, грозна фраза беше заменена с еквивалентно твърдение, което е по-лесно за казване и по-лесно за разбиране. Опростихме тази фраза. Да се ​​опрости означава да се каже по-лесно, но да не се губи, да не се изкривява смисълът.

Същото се случва и на математическия език. Едно и също нещо може да се каже по различен начин. Какво означава да се опрости израз? Това означава, че за оригиналния израз има много еквивалентни изрази, тоест такива, които означават едно и също нещо. И от цялото това множество трябва да изберем най-простото според нас или най-подходящото за по-нататъшните ни цели.

Например, помислете за числов израз. Това ще бъде еквивалентно на.

Също така ще бъде еквивалентно на първите две: .

Оказва се, че сме опростили нашите изрази и сме намерили най-краткия еквивалентен израз.

За числови изрази винаги трябва да свършите цялата работа и да получите еквивалентния израз като едно число.

Помислете за пример за буквален израз . Очевидно ще е по-просто.

Когато опростявате буквални изрази, трябва да извършите всички възможни действия.

Винаги ли е необходимо да се опростява израз? Не, понякога еквивалентна, но по-дълга нотация ще бъде по-удобна за нас.

Пример: Извадете числото от числото.

Възможно е да се изчисли, но ако първото число беше представено чрез еквивалентната си нотация: , тогава изчисленията биха били мигновени: .

Тоест, опростен израз не винаги е полезен за нас за по-нататъшни изчисления.

Въпреки това много често сме изправени пред задача, която просто звучи като „опростете израза“.

Опростете израза: .

Решение

1) Изпълнете действия в първата и втората скоби: .

2) Пресметнете продуктите: .

Очевидно последният израз има по-проста форма от първоначалния. Ние го опростихме.

За да се опрости изразът, той трябва да бъде заменен с еквивалент (равен).

За да определите еквивалентния израз, трябва:

1) извършете всички възможни действия,

2) използвайте свойствата на събиране, изваждане, умножение и деление, за да опростите изчисленията.

Свойства на събиране и изваждане:

1. Комутативно свойство на събирането: сумата не се променя от пренареждането на членовете.

2. Асоциативно свойство на събирането: за да добавите трето число към сумата от две числа, можете да добавите сумата от второто и третото число към първото число.

3. Свойството за изваждане на сбор от число: за да извадите сбора от число, можете да извадите всеки член поотделно.

Свойства на умножението и делението

1. Комутативното свойство на умножението: произведението не се променя от пермутация на фактори.

2. Асоциативно свойство: за да умножите число по произведението на две числа, можете първо да го умножите по първия фактор и след това да умножите получения продукт по втория фактор.

3. Разпределителното свойство на умножението: за да умножите число по сума, трябва да го умножите по всеки член поотделно.

Нека да видим как всъщност правим умствени изчисления.

Изчисли:

Решение

1) Представете си как

2) Нека представим първия множител като сбор от битовите членове и да извършим умножението:

3) можете да си представите как и да извършите умножение:

4) Заменете първия фактор с еквивалентна сума:

Законът за разпределение може да се използва и в обратна посока: .

Следвай тези стъпки:

1) 2)

Решение

1) За удобство можете да използвате закона за разпределение, просто го използвайте в обратна посока - извадете общия множител извън скобите.

2) Нека извадим общия множител извън скобите

Необходимо е да закупите линолеум в кухнята и коридора. Кухня - коридор -. Има три вида линолеуми: за, и рубли за. Колко ще струва всеки от трите вида линолеум? (Фиг. 1)

Ориз. 1. Илюстрация към условието на задачата

Решение

Метод 1. Можете отделно да намерите колко пари ще отнеме, за да закупите линолеум в кухнята, след което да го добавите към коридора и да добавите получените произведения.

Забележка 1

Логическа функция може да бъде написана с помощта на логически израз и след това можете да отидете на логическата верига. Необходимо е да се опростят логическите изрази, за да се получи възможно най-проста (и следователно по-евтина) логическа схема. Всъщност логическата функция, логическият израз и логическата верига са три различни езика, които говорят за един и същи обект.

За да опростите логическите изрази, използвайте законите на алгебрата на логиката.

Някои трансформации са подобни на трансформациите на формули в класическата алгебра (поставяне на общия множител в скоби, използване на комутативни и комбинационни закони и т.н.), докато други трансформации се основават на свойства, които операциите на класическата алгебра нямат (използване на разпределителен закон за конюнкция, закони на абсорбция, слепване, правила на де Морган и др.).

Законите на алгебрата на логиката са формулирани за основните логически операции - "НЕ" - инверсия (отрицание), "И" - конюнкция (логическо умножение) и "ИЛИ" - дизюнкция (логическо събиране).

Законът за двойното отрицание означава, че операцията "НЕ" е обратима: ако я приложите два пъти, тогава в крайна сметка логическата стойност няма да се промени.

Законът за изключената среда гласи, че всеки логически израз е верен или неверен („няма трето“). Следователно, ако $A=1$, тогава $\bar(A)=0$ (и обратно), което означава, че конюнкцията на тези величини винаги е равна на нула, а дизюнкцията е равна на единица.

$((A + B) → C) \cdot (B → C \cdot D) \cdot C.$

Нека опростим тази формула:

Фигура 3

Това означава, че $A = 0$, $B = 1$, $C = 1$, $D = 1$.

Отговор:ученици $B$, $C$ и $D$ играят шах, но ученик $A$ не играе.

Когато опростявате логически изрази, можете да извършите следната последователност от действия:

1. Заменете всички „неосновни“ операции (еквивалентност, импликация, XOR и т.н.) с техните изрази чрез основните операции на инверсия, конюнкция и дизюнкция.
2. Разширете инверсии на сложни изрази според правилата на де Морган по такъв начин, че само отделни променливи да имат операции на отрицание.
3. След това опростете израза, като използвате разширение в скоби, общи множители в скоби и други закони на алгебрата на логиката.

Пример 2

Тук се използват последователно правилото на де Морган, законът за разпределение, законът за изключената среда, комутативният закон, законът за повторението, отново комутативният закон и законът за абсорбцията.