Това разпределение най-често се използва при изследване на нивата на отказ за периоди на изгаряне и стареене. На примера на разпределението на експлоатационния живот на изолацията на някои елементи на електрическата мрежа са разгледани подробно физическите процеси, водещи до стареене и повреда на изолацията и описани от разпределението на Weibull.

Надеждността на най-често срещаните елементи на електрическите мрежи, като силови трансформатори и кабелни линии, до голяма степен се определя от надеждността на изолацията, чиято "здравина" се променя по време на работа. Основната характеристика на изолацията на електромеханичните продукти е нейната електрическа якост, която в зависимост от условията на работа и вида на продукта се определя от механична якост, еластичност, което изключва образуването на остатъчни деформации, пукнатини, разслоения под въздействието на механични натоварвания, т.е. нееднородности.

Хомогенността и здравината на изолационната структура и нейната висока топлопроводимост изключват появата на повишено локално нагряване, което неизбежно води до увеличаване на степента на нееднородност на електрическата якост. Разрушаването на изолацията по време на работа на елемента възниква главно в резултат на нагряване от токове на натоварване и температурни ефекти на външната среда.

Като се имат предвид двата основни фактора (термично стареене и механично напрежение), които влияят на живота на изолацията, които също са тясно свързани, можем да заключим, че както явленията на умора в изолацията, така и нейното термично стареене до голяма степен зависят от качеството на производството. и материалът на електрическия продукт, от хомогенността на изолационния материал, което осигурява липсата на локално нагряване (тъй като е трудно да се предположи, че цялата изолация ще се повреди, т.е. ще настъпи повреда по цялата изолационна площ).

Микропукнатини, разслоения и други нееднородности на материала са произволно разпределени в зависимост от разположението и големината си в целия обем (площ) на изолацията. Под въздействието на променливи неблагоприятни условия както от термично, така и от електродинамично естество, нееднородностите на материала се увеличават: например, микропукнатина се разпространява дълбоко в изолацията и, ако напрежението се увеличи случайно, може да причини разрушаване на изолацията. Причината за повреда може да бъде дори лека нехомогенност на материала.

Естествено е да се предположи, че броят на неблагоприятните ефекти (термични или електромеханични), които причиняват разрушаване на изолацията, е функция, която намалява в зависимост от размера на нехомогенността. Този брой е минимален за най-големите нехомогенности (пукнатини, разслоения и др.).

Следователно броят на неблагоприятните ефекти, който определя експлоатационния живот на изолацията, трябва да се подчинява на закона за разпределение на минималната случайна променлива от набор от независими случайни променливи, съответстващи на нехомогенности с различни размери:

където Г и - времето на безотказна работа на цялата изолация; T и, - време на работа на / "-та секция (/" \u003d 1.2, П).

По този начин, за да се определи законът за разпределение на времето на работа на такъв обект като изолацията на елемент от електрическата мрежа, е необходимо да се намери законът за разпределение на минималното време на работа за съвкупността от всички секции. Най-голям интерес представлява случаят, когато законите за разпределение на времето на работа на отделните участъци имат различен характер, но формата на законите за разпределение е една и съща, т.е. няма изразени различия между регионите.

От гледна точка на надеждността секциите на такава система съответстват на серийна връзка. Функцията за разпределение на времето на работа на такава система от Ппарцели, свързани в серия:

Разгледайте общия случай, когато разпределението P(g)има така наречения "праг на чувствителност", т.е. елементът гарантирано няма да се провали в интервала от време (0, /o) (в специален случай /o може да бъде равно на 0). Очевидно е, че функцията R(1c + D/) > 0 винаги е ненамаляваща функция на аргумента.

За системата можете да получите асимптотичния закон на разпределението на времето за работа:

Ако разпределението няма праг на чувствителност / 0, тогава законът за разпределение ще има формата

където с- някакъв постоянен коефициент, с> 0; a е степента на Weibull.

Този закон се нарича Разпределение на Уейбул.Доста често се използва при приблизително разпределение на времето за работа за система с краен брой последователно (по отношение на надеждността) свързани елементи (удължени кабелни линии със значителен брой съединители и т.н.).

Плътност на разпространение на времето на работа

Когато a \u003d 1, плътността на разпределение се превръща в обикновена експоненциална функция (фиг. 3.3).

За степента на отказ при плътността на разпределение съгласно закона на Weibull получаваме

Процентът на отказ за този закон, в зависимост от параметъра на разпределение a, може да нараства, да остава постоянен (експоненциален закон) и да намалява (фиг. 3.4).

За a = 2 функцията на разпределение на времето за работа съвпада със закона на Рейли, а за a » 1 тя е сравнително добре апроксимирана от закона за нормално разпределение в близост до средното време за работа.

Ориз. 3.3.

Ориз. 3.4.

Както се вижда от фиг. 3.3 и 3.4, експоненциалният закон за разпределение е частен случай на закона на Weibull за a = 1 (A. = const).

Законът на Weibull е много удобен за изчисления, но изисква емпиричен избор на параметрите A. и a за съществуващата зависимост A.(/).

Математическо очакване (средно време) на ъптайм и дисперсия в разпределението според закона на Weibull:

където G(x) е гама функцията, определена от таблицата G(.g) (виж Приложение 2); с- някакъв постоянен коефициент, който определя вероятността за възникване да сеелементарни щети на интервала от време (0, /)

Въпрос 16

Законът за разпределение на Weibull е един от най-разпространените в теорията на надеждността. Този закон е последван от живота на умора на продуктите, времето до повреда на продуктите, които не подлежат на ремонт. С помощта на разпределението на Weibull могат да се опишат различни причини за неуспехи: умора, внезапна, постепенна. Законът за разпределение на Weibull се подчинява на неизправностите на скоростни кутии, тегличи, двигатели в дупки и трактори.

Степен на повреда на продукта или плътност на вероятността за време на работа на продукта

Процент на неуспех

MTBF

където a, k са параметрите на закона за разпределение на Weibull;

Г (x) - гама функция, чиито стойности са дадени в таблиците.

За k = 1 разпределението на Weibull става експоненциално;

Когато k = 2,5-3,5 - разпределението на Weibull е близко до нормалното.

Въпрос 17

Експоненциалният закон за разпределение е частен случай на закона за разпределение на Уейбул (k=1). Приложимо за продукти, които са преминали предварителна разработка. Това разпределение се използва и при анализа на внезапни повреди на кални помпи и минни машини.

Вероятност за безотказна работа на продукта в интервала от време от 0 до t

Вероятността за повреда на продукта в интервала от 0 до t

Диференциална функция или вероятностна плътност на експоненциално разпределение

Процент на неуспех

Математическо очакване с експоненциално разпределение

Въпроси на лекцията:

Въведение

Модели на надеждност на технически системи

Закони за разпределение на работното време

Въведение

Количествените методи за изследване на технически обекти, особено на етапите на тяхното проектиране и създаване, винаги изискват изграждането на математически модели на процеси и явления. Математическият модел обикновено се разбира като взаимосвързан набор от аналитични и логически изрази, както и начални и гранични условия, които отразяват с известно приближение реалните процеси на функциониране на обекта. Математическият модел е информационен аналог на пълномащабен обект, с помощта на който можете да получите знания за създавания проект. Способността да се правят прогнози се счита за определящо свойство на модела. Всичко това в пълна степен важи и за математическите модели на надеждността.

Под математически модел на надеждност се разбира такава аналитично представена система, която предоставя пълна информация за надеждността на даден обект. При изграждането на модел процесът на промяна на надеждността по определен начин се опростява и схематизира. От голям брой фактори, действащи върху пълномащабен обект, се отделят основните, чиято промяна може да доведе до забележими промени в надеждността. Връзките между съставните части на системата могат да бъдат представени чрез аналитични зависимости и с определени приближения. В резултат на това заключенията, получени въз основа на изследването на модела за надеждност на обекта, съдържат известна несигурност.

Колкото по-успешно е избран моделът, толкова по-добре той отразява характеристиките на функционирането на обекта, толкова по-точно ще се оцени неговата надеждност и ще се получат разумни препоръки за вземане на решения.

1. Модели за надеждност на технически системи

Понастоящем съществуват общи принципи за изграждане на математически модели на надеждност. Моделът се изгражда само за определен обект или по-точно за група еднотипни обекти, като се вземат предвид особеностите на бъдещата им експлоатация. Трябва да отговаря на следните изисквания:

Моделът трябва да отчита максимален брой фактори, които влияят върху надеждността на обекта;

Моделът трябва да бъде достатъчно прост, за да се получат, използвайки типични изчислителни инструменти, индикатори за надеждност на изхода в зависимост от промяната във входните фактори.

Несъответствието на тези изисквания не позволява напълно да се формализира изграждането на модели, което прави процеса на създаване на модели до известна степен творчески.

Има много класификации на модели за надеждност, една от които е показана на фигура 1 1 .

Фиг. 1. Класификация на моделите за надеждност

Както следва от фиг. 1, всички модели могат да бъдат разделени на две големи групи: модели за надеждност на обекти и модели на елементи. Моделите за надеждност на елементи имат повече физическо съдържание и са по-специфични за елементи от определен дизайн. В тези модели се използват якостните характеристики на материалите, отчитат се натоварванията, действащи върху конструкцията, и се отчита влиянието на условията на работа върху работата на елементите. При изследването на тези модели се получава формализирано описание на процесите на възникване на отказите в зависимост от избраните фактори.

Моделите за надеждност на обектите се създават за формализирано описание от гледна точка на надеждността на процеса на тяхното функциониране като процес на взаимодействие на елементите, които съставят даден обект. В такъв модел взаимодействието на елементите се осъществява само чрез най-значимите връзки, които влияят върху цялостната надеждност на обекта.

Има параметрични модели за надеждност на обекти и модели по отношение на отказите на елементите. Параметричните модели съдържат функции на произволни параметри на елементи, което позволява да се получи желаният индикатор за надеждност на обекта на изхода на модела. От своя страна параметрите на елементите могат да бъдат функции на времето на работа на обекта.

Моделите, създадени по отношение на отказите на елементи, са най-формализирани и са основните при анализа на надеждността на сложни технически системи. Необходимо условие за създаване на такива модели е ясното описание на признаците на повреда на всеки елемент от системата. Моделът отразява влиянието на повредата на отделен елемент върху надеждността на системата.

Според принципите на изпълнение на моделите те се различават на аналитични, статистически и комбинирани (в противен случай функционални - статистически).

Аналитичните модели съдържат аналитични зависимости между параметрите, характеризиращи надеждността на системата и изходния показател за надеждност. За да се получат такива зависимости, е необходимо да се ограничи броят на значимите фактори и значително да се опрости физическата картина на процеса на промяна на надеждността. В резултат на това аналитичните модели могат да опишат с достатъчна точност само относително прости проблеми на променящите се показатели за надеждност на системата. С усложняването на системата и увеличаването на броя на факторите, влияещи върху надеждността, статистическите модели излизат на преден план.

Методът на статистическото моделиране позволява решаването на многомерни проблеми с голяма сложност за кратко време и с приемлива точност. С развитието на компютърните технологии възможностите на този метод се разширяват.

Още по-големи възможности има комбинираният метод, който предвижда създаването на функционално-статистически модели. При такива модели се създават аналитични модели за елементите, а системата като цяло се моделира в статистически режим.

Изборът на конкретен математически модел зависи от целите на изследването на надеждността на обекта, от наличието на първоначална информация за надеждността на елементите, от познаването на всички фактори, влияещи върху промяната в надеждността, от готовността на аналитичният апарат за описание на процесите на натрупване на повреди и повреди и много други причини. В крайна сметка изборът на модел се прави от изследователя.

Това разпределение най-често се използва за изследване на нивата на отказ за периоди на изгаряне и стареене.

Надеждността на най-често срещаните елементи на електрическите мрежи, като силови трансформатори, кабелни линии, до голяма степен се определя от надеждността на изолацията, чиято "здравина" се променя по време на работа. Силата на изолацията, в зависимост от условията на работа и вида на продукта, се определя от механична якост, еластичност, което изключва възможността за образуване на остатъчни деформации, пукнатини, разслоения под въздействието на механични натоварвания, т.е. нехомогенности.

Хомогенността и здравината на изолационната структура и нейната висока топлопроводимост изключват появата на повишено локално нагряване, което неизбежно води до увеличаване на степента на нееднородност на електрическата якост. Разрушаването на изолацията по време на работа на елемента възниква главно в резултат на нагряване от токове на натоварване и температурни ефекти на външната среда. Механичните натоварвания (вибрации, деформации, удари и др.) също водят до разрушаване на изолацията.

Сред изброените фактори, които определят експлоатационния живот на изолацията на тези елементи на електрическите мрежи, един от основните фактори е термично стареене.Въз основа на експериментални изследвания е получено добре известното правило "осем градуса", според което повишаването на температурата на изолацията, направена на органична основа, за всеки осем градуса, средно животът на изолацията е наполовина. В момента, в зависимост от класа на използваната изолация, се използват шест-, осем-, десет- и дванадесетстепенни правила.

Срок на експлоатация на изолацията в зависимост от температурата на нагряване:

Tи = НО e-γς, (5.43)

където НО -експлоатационен живот на изолацията при ς = 0 - някаква условна стойност;

γ- коефициент, характеризиращ степента на стареене на изолацията в зависимост от класа;

ς - температура на прегряване на изолацията.

Друг важен фактор, причиняващ интензивно стареене на изолацията, е причинен от електрически процеси по време на внезапни промени в тока, например с рязко променливо натоварване на силов трансформатор, пренапрежения и изхвърляне на натоварване чрез токове на късо съединение. Механичните характеристики на якостта на изолацията също зависят от температурата. Механичната якост на изолацията бързо намалява при нагряване, но в същото време става по-еластична.

Под въздействието на променливи неблагоприятни условия, нехомогенностите на материала се увеличават, например, микропукнатина се разпространява дълбоко в изолацията и, ако напрежението се увеличи случайно, може да причини разрушаване на изолацията. Причината за повреда може да бъде дори лека нехомогенност на материала.

Броят на неблагоприятните ефекти (термични или електромеханични), които причиняват разрушаване на изолацията, е функция, която намалява в зависимост от размера на нехомогенността. Този брой е минимален за най-големите нехомогенности (пукнатини, разслоения и др.). По този начин броят на неблагоприятните ефекти или експлоатационният живот на изолацията трябва да се подчинява на закона за разпределение на минималния брой независими TS - броят на неблагоприятните ефекти, съответстващи на нехомогенности с различни размери, т.е. ако Ti е времето на работа на цялата изолация, а Tii е времето за работа на i-тата секция (i = 1, 2,..., n), тогава:

Tи = min ( T u1, Tи 2,…, Tв). (5,44)

По този начин, за да се определи законът за разпределение на времето за работа за такъв обект като изолацията на елемент от електрическата мрежа, е необходимо да се намери вероятността за разпределение на минималното време за работа за съвкупността от всички секции. Освен това най-голям интерес представлява случаят, когато законите за разпределение на времето на работа на отделните участъци са произволни, но формата на законите за разпределение е една и съща, т.е. няма рязко различни участъци.

По отношение на надеждността секциите на такава система съответстват на серийна връзка. Следователно функцията на разпределение на времето на работа на такава система е:

р c(t) = 1 – n. (5,45)

Освен това чрез математически преобразувания се извежда формула, в която основният параметър е "прагът на чувствителност", т.е. елементът гарантирано няма да излезе от строя в интервала от време (0, t0) (в частния случай t0 = 0). Ако разпределението няма праг на чувствителност t0 , тогава се нарича закон за разпределение Разпределение на Weibull:

където c > 0 е някакъв постоянен коефициент;

α е параметърът на разпределението.

Този закон на разпределение доста често се използва при приблизително разпределение на времето за работа за системи с краен брой последователно (от гледна точка на надеждност) свързани елементи (дълги линии със значителен брой връзки и т.н.).

Плътност на разпределение:

(5.47)

При α = 1, плътността на разпределението се превръща в обикновена експоненциална функция (виж Фигура 5.12).

Фигура 5.12 - Диференциална функция на разпределение на времето за работа на изолацията според закона

Вейбула

Фигура 5.13 - Процент на отказ при

Разпределение на Уейбул

Степента на отказ за разпределението на плътността според закона на Weibull (вижте фигура 5.13):

λ(t) = αctα-1. (5,48)

Степента на отказ за този закон, в зависимост от параметъра на разпределението, може да нараства, да остава постоянна (експоненциален закон) и да намалява.

Както може да се види от фигури 5.12 и 5.13, експоненциалният закон за разпределение е специален случай на закона на Уейбул за α = 1 (λ = const). При α = 2, функцията на разпределение на времето за работа ще съвпадне със закона на Rayleigh, с α »1 е доста добре апроксимирано от нормалния закон за разпределение в близост до средното време на безотказна работа.

С подходящ избор на параметъра α използвайки закона на Weibull, е възможно да се опише надеждността на елементите на стареене (период на стареене и износване), в който λ(t) се увеличава, и надеждността на елементи със скрити дефекти (период на разработка), в който λ( t) намалява с времето.

Математическо очакване (средно време) на ъптайм и дисперсия в разпределението според закона на Weibull:

T i.sr = Г(1+1/α) c-1/α, (5.49)

D(Ti) = c-2/α [Г(1+2/α) – Г2(1+1/α)]. (5,50)

където G( х) е гама функцията.

Работата на продуктите според ресурса е препоръчителна само ако надеждността на продукта зависи от времето му на работа. Такива продукти съставляват само 5% от всички инсталирани на самолета. Следователно, тъй като анализът MSG-3 ви позволява да определите КАКВА работа по поддръжката трябва да бъде включена в първоначалния MSI списък с важни елементи и КАК трябва да се извърши, е необходим инструмент, който да ви помогне да отговорите на тези въпроси.

След като бъде натрупан достатъчен опит, първоначалните интервали могат да бъдат променени или за конкретен оператор, или за всички оператори чрез преразглеждане на доклада на MRB. За да се обоснове промяната в интервала, са необходими инструменти.

Анализът на надеждността е такъв инструмент. Най-ефективният и широко използван метод е анализът на надеждността на Weibull.

Разпределението на Weibull, кръстено на шведския инженер Waloddi Weibull (1887-1979), който въвежда това разпределение в практиката за анализиране на резултатите от тестовете за умора, се използва широко за изследване на надеждността на елементите на техническите системи. В Русия това разпределение се свързва с името на известния руски математик Борис Владимирович Гнеденко (1912-1995), който го получава като граница при изучаване на максимума от резултатите от теста. поддръжка авиационен ремонт

Опитът в експлоатацията на техническите системи и техните елементи показва, че те се характеризират с три вида зависимости на интензивността на отказите l от времето t, съответстващи на три периода от жизнения цикъл на тези устройства (фиг. 18.).

Ориз. осемнадесет.

Тези три вида зависимости на интензивността на отказите от времето могат да бъдат получени с помощта на разпределението на Weibull - Gnedenko за вероятностното описание на случайното време на работа до отказ. Според това разпределение зависимостта за плътността на вероятността на момента на повреда f (t) има формата:

където c е параметърът на формата на разпределението, c > 0;

b - параметър на мащаба на разпределение, b > 0;

u е параметърът на позицията на разпределението, и< t.

Процентът на отказ l(t), предмет на разпределението на Weibull - Gnedenko, се определя от израза:

За параметъра на формата на разпределението c< 1 интенсивность отказов л(t) монотонно убывает (период приработки), при с = 1 интенсивность отказов постоянна: л(t) = const (период нормальной работы), а при с >1 - нараства монотонно (период на износване). Следователно, чрез избиране на параметъра c във всеки от трите периода на жизнения цикъл е възможно да се получи такава теоретична зависимост l(t), която съвпада доста близо с експерименталната. В този случай изчисляването на показателите за надеждност може да се направи въз основа на теоретичната зависимост l(t).

Функцията на разпределение на Weibull - Gnedenko F(t), показваща каква е вероятността случайно събитие (отказ) да се случи в случаен момент

Функцията за надеждност, обикновено наричана R(t), се определя като R(t) = 1 - F(t). Понякога функцията R(t) се нарича функция за оцеляване, т.к описва вероятността да възникне повреда след определено време t.

На фиг. 19. показва формата на функциите за надеждност за различни стойности на параметъра на формата c. Ако параметърът на формата на разпределението c е по-малък от 1, тогава функцията за надеждност R(t) рязко намалява в началото на живота, след което с увеличаване на времето t намалението става по-бавно. Ако параметърът на формата c е по-голям от 1, тогава първо има леко намаляване на надеждността, а след това, започвайки от определено време t, тя намалява доста бързо.

Ориз. 19.

Точката, в която се пресичат всички криви, се нарича характеристичен живот и определя момента, в който 63,2% от пробата са се провалили: R(t) = 1 - 0,632 = 0,368.

В авиацията разпределението на Weibull се използва за изчисляване на обекти:

• - двигателни дискове, с ограничен ресурс;
• - двигателни модули и компоненти (с експлоатационен лимит);
• - елементи на корпуса на самолета, подложени на разрушаване от умора;
• - надеждност на компонентите.

Разпределението описва и трите основни разпределения на отказите:

• - повреди при сработване;
• - случайни повреди;
• - повреди в зависимост от времето на работа.

Тук е необходимо едно предупреждение. Да приемем, че според анализа на MGS-3 повредата не е класифицирана като категория 5 (несигурна) или 8 (скрит, несигурна) и обектът има произволно разпределение на неизправности или неуспехи в периода на въвеждане. Тогава имаме всички основания да твърдим, че в този случай не е необходима поддръжка, освен това обектът може да бъде изтрит от списъка с важни обекти за поддръжка.

В случай, че грешките зависят от времето на изпълнение, анализът на Weibull ще помогне да се определи най-подходящият интервал.

Поради тази причина е необходимо внимателно да се подходи към определянето на зависимостта на повредите на продукта от времето на работа.

По този начин програмата за поддръжка на B737 може непрекъснато да се подобрява въз основа на аналитичните и емпирични данни, предоставени от инструментите за събиране и анализ на данни за надеждност.