Федерална агенция за образование

Държавна образователна институция за висше професионално образование

Национални изследвания

Томски политехнически университет

Институт по природни ресурси

Катедра ВМ

РЕЗЮМЕ

Предмет : « Диаграма на Ойлер-Вен»

Изпълнител:

Студент от група 2U00

Ръководител:

Въведение………………………………………………………………….………..3

1. От историята…………………………………………………………….….…..4

2. Диаграма на Ойлер-Вен……………………………………………….…..4

3. Операции върху множества от диаграмата на Ойлер-Вен………………….5

а) Консолидация……………………….. ……………………………….……7

б) пресичане, допълнение………………….……………………………..7

в) Стрелата на Пиърс, ударът на Шефър и разликата …………………………….8

г) Разлика……………………………………………………………………………8

д) Симетрична разлика и еквивалентност…………………….…….9

Заключение………………………………………………………………………………10

Препратки………………………………………………………….………..11

Въведение

Окръжности на Ойлер - геометрична диаграма, с която можете да изобразите връзката между подмножества, за визуално представяне. Кръговете са изобретени от Леонхард Ойлер. Използва се в математиката, логиката, управлението и други приложни области.

Важен специален случай на кръгове на Ойлер са диаграмите на Ойлер-Вен, изобразяващи всички 2n комбинации от n свойства, тоест крайна булева алгебра. За n = 3 диаграмата на Ойлер-Вен обикновено се изобразява като три кръга с центрове във върховете на равностранен триъгълник и с еднакъв радиус, приблизително равен на дължината на страната на триъгълника.

При решаването на редица проблеми Леонхард Ойлер използва идеята за изобразяване на множества с помощта на кръгове. Въпреки това, още преди Ойлер, този метод е използван от изключителния немски философ и математик (1646-1716). Лайбниц ги използва за геометрична интерпретация на логическите връзки между понятията, но все пак предпочита да използва линейни схеми.

Но самият Л. Ойлер разработи този метод доста задълбочено. Методът на кръга на Ойлер е използван и от немския математик Ернст Шрьодер (1841-1902) в книгата му Алгебра на логиката. Графичните методи достигат своя връх в трудовете на английския логик Джон Вен (1843-1923), който ги излага подробно в книгата "Символична логика", публикувана в Лондон през 1881 г. Следователно такива схеми понякога се наричат ​​диаграми на Ойлер-Вен.

1.От историята

Леонард Ойлер(1707 - 1783, Санкт Петербург, Руска империя) - математик, механик, физик. Адюнкт по физиология, професор по физика, професор по висша математика, със значителен принос за развитието на математиката, както и на механиката, физиката, астрономията и редица приложни науки.

Ойлер е автор на повече от 800 статии по математически анализ, диференциална геометрия, теория на числата, приблизителни изчисления, небесна механика, математическа физика, оптика, балистика, корабостроене, музикална теория и др.

Той прекарва почти половината си живот в Русия, където има значителен принос за развитието на руската наука. През 1726 г. е поканен да работи в Санкт Петербург, където се премества година по-късно. От 1711 до 1741 г., а също и от 1766 г., той е академик на Петербургската академия на науките (през 1741-1766 г. работи в Берлин, оставайки почетен член на Петербургската академия). Знаеше добре руски и публикува част от трудовете си (особено учебниците) на руски език. Първите руски академични математици (С. К. Котелников) и астрономи (С. Я. Румовски) са ученици на Ойлер. Някои от неговите потомци все още живеят в Русия.

Джон Вен (1, английски логик. Работи в областта на класовата логика, където създава специален графичен апарат (така наречените диаграми на Вен), който се използва в логико-математическата теория на "формалните невронни мрежи". Вен притежава обосновка на обратните операции в логическото смятане на J. Boole Основната област на интерес на Джон е логиката и той публикува три статии по темата: Логиката на случайността, която въвежда честотната интерпретация или честотната теория на вероятността през 1866 г., Символна логика, с която бяха въведени диаграмите на Вен през 1881 г., Принципи на емпиричната логика" през 1889 г., която предоставя обосновки за обратни операции в булевата логика.

В математиката чертежите под формата на кръгове, представляващи множества, се използват от много дълго време. Един от първите, които използваха този метод, беше изключителен немски математик и философ (1 Чертежи с такива кръгове бяха открити в неговите груби скици. След това този метод беше доста задълбочено разработен от Леонард Ойлер. Той работи дълги години в Академията в Санкт Петербург на науките.известните му "Писма до германска принцеса", написани между 1761 и 1768 г. В някои от тези "Писма ..." Ойлер просто говори за своя метод.След Ойлер същият метод е разработен от чешкия математик Бернард Болцано (1 Само за разлика от Ойлер, той рисува не кръгли, а правоъгълни диаграми. Германският математик Ернест Шрьодер също използва метода на кръговете на Ойлер (1 Този метод е широко използван в книгата „Алгебра на логиката“. той описва метода в книгата „ Символна логика“, публикувана в Лондон през 1881 г. В чест на Вен, вместо кръгове на Ойлер, съответните фигури понякога се наричат ​​диаграми на Вен; в някои книги те се наричат ​​още диаграми на Ойлер-Вен (или кръгове).

2. Диаграма на Ойлер-Вен

Понятията множество и подмножество се използват в дефиницията на много понятия от математиката и по-специално в дефиницията на геометрична фигура. Ние определяме равнината като универсално множество. Тогава можем да дадем следната дефиниция на геометрична фигура в планиметрията:

Геометрична фигуравсяко множество от точки в една равнина се нарича. За визуално показване на множествата и връзките между тях те рисуват геометрични фигури, които са в тези отношения една с друга. Такива представяния на множества се наричат ​​диаграми на Ойлер-Вен. Диаграмите на Ойлер-Вен правят различни твърдения за множества видими. Те изобразяват универсалното множество като правоъгълник, а неговите подмножества като кръгове. Използва се в математиката, логиката, управлението и други приложни области.

Диаграмата на Ойлер-Вен се състои в изобразяване на голям правоъгълник, представляващ универсалното множество U, а вътре в него - кръгове (или други затворени фигури), представляващи множества. Фигурите трябва да се пресичат в най-общия случай, изискван в задачата, и трябва да бъдат съответно обозначени. Точките, разположени в различни области на диаграмата, могат да се разглеждат като елементи на съответните множества. С изградената диаграма е възможно да засенчвате определени зони, за да посочите новоформирани набори.

Основни операции върху множества:

Разлика в съюза на кръстовището

3.Операции върху множества от диаграмата на Ойлер-Вен

Операциите с множества се считат за получаване на нови множества от съществуващи.

	Определение. Асоциациямножества A и B се нарича множество, състоящо се от всички онези елементи, които принадлежат към поне едно от множествата A, B (фиг. 1):
	Определение. пресичанемножества A и B се нарича множество, състоящо се от всички онези и само онези елементи, които принадлежат едновременно както на множество A, така и на множество B (фиг. 2):
	Определение . разликамножества A и B е множеството от всички онези и само онези елементи от A, които не се съдържат в B (фиг. 3):
	Определение. Симетрична разликамножества A и B е множеството от елементи на тези множества, които принадлежат или само на множеството A, или само на множеството B (фиг. 4):
	Определение. Абсолютно допълнениемножество A е множеството от всички онези елементи, които не принадлежат на множество A (фиг. 5):

Сега по-подробно с примери.

Нека е даден набор от обекти, които след преизчисляване могат да бъдат обозначени като

A = (1, 2, 4, 6) и B = (2, 3, 4, 8, 9)

кръгли и бели предмети. Можете да се обадите на оригиналния комплект фундаментален, а подмножествата A и B са просто комплекти.

В резултат на това получаваме четири класа елементи:

° С 0 = (5, 7, 10, 11) - елементите нямат нито едно от посочените свойства,

° С 1 = (1, 6) - елементите имат само свойство A (кръгло),

° С 2 = (3, 8, 9) - елементите имат само свойство B (бяло),

° С 3 = (2, 4) - елементите имат две свойства A и B едновременно.

На фиг. 1.1. посочените класове са изобразени с Диаграми на Ойлер - Вен.

Ориз. 1.1

Често диаграмите нямат пълната общност, например тази, показана на фиг. 1.2. На него множеството A вече е напълно включено в B. За този случай се използва специален символ за включване (Ì): A Ì B = (1, 2, 4) Ì (1, 2, 3, 4, 6) .

Ако две условия са изпълнени едновременно: A Ì B и B Ì A, тогава A = B, в този случай казваме, че множествата A и B са напълно еквивалентни.

Ориз. 1.2

След като са дефинирани четири класа елементи и е дадена необходимата информация за диаграмите на Ойлер-Вен, въвеждаме операции върху множества. Нека първо разгледаме операцията асоциации.

а) Консолидация

Асоциациякомплекти A = (1, 2, 4, 6) и B = (2, 3, 4, 8, 9)

да се обадим на комплекта

A È B = (1, 2, 3, 4, 6, 8, 9),

където È е символът за обединението на множества. По този начин обединението обхваща три класа елементи - ° С 1, ° С 2 и ° С 3, които са защриховани на диаграмата (фиг. 1.3).

Логично операцията по комбиниране на две множества може да се характеризира с думите: елемент хпринадлежи към множество A или множество B. В този случай връзката „или“ едновременно означава връзката „и“. Фактът, че елементът принадлежи хмножество A се означава като хн А. Следователно какво хпринадлежи на А или/и B, се изразява с формулата:

хО A И B = ( хÎ A) Ú ( хО Б),

където Ú е символът на логическата връзка или, която се нарича дизюнкция.

б) Пресичане, добавяне

пресичанемножества A и B се нарича множество A Ç B, което съдържа онези елементи от A и B, които са включени едновременно и в двете множества. За нашия числен пример ще имаме:

A Ç B = (1, 2, 4, 6) Ç (2, 3, 4, 8, 9) = (2, 4) = ° С 3.

Диаграмата на Ойлер-Вен за пресичането е показана на фиг. 1.4.

Какво хпринадлежи едновременно на две множества A и B може да се представи с израза:

хО A З B = ( хн A) u ( хО Б),

където Ù е символът на логическата връзка "и", която се нарича съчетание.

Представете си операция, която води до засенчени зони ° С 1 и ° С 3, образувайки множеството A (фиг. 1.5). След това друга операция, която ще обхване другите две области - ° С 0 и ° С 2 не е включено в A, което се обозначава като А(фиг.1.6).

Ако комбинираме защрихованите области на двете диаграми, получаваме целия защрихован набор 1; пресечната точка на A и Аще даде празното множество 0, което не съдържа никакви елементи:

A È А= 1, A З А = 0.

Няколко А допълвамножеството A към фундаменталното множество V (или 1); оттам и заглавието: допълнителеннабор A, или допълнениекато операция. Допълнение към булева променлива х, т.е. х (Не- х) най-често се нарича отрицание на х.

След въвеждането на операциите за пресичане и допълване, всичките четири домейна Ciв диаграмата на Ойлер-Вен може да се изрази по следния начин:

° С 0 = А Ç б, ° С 1 = А б, ° С 2 = АÇ B, ° С 3 = A Ç B.

Чрез обединяване на съответните области CiМожете да представите всяка многократна операция, включително самото обединение:

A È B = (A Ç б) È ( АÇ B) È (A Ç B).

Диаграмата на Ойлер-Вен за импликацията (фиг. 1.10) показва частичновключването на множество A в множество B, което трябва да се разграничава от пъленвключвания (фиг. 1.2).

Ако е посочено, че "елементите от множество A са включени в множество B", тогава площта ° С 3 трябва да бъдат засенчени, а областта ° С 1 със същата необходимост да се остави бял. Относно регионите ° С 0 и ° С 1 намиращ се в А, имайте предвид, че нямаме право да ги оставяме бели, но все пак сме длъжни да площите, които попадат в А, сянка.

Д) Симетрична разлика и еквивалентност

Остава да дадем още две взаимно допълващи се операции - симетрична разлика и еквивалентност. Симетричната разлика на две множества A и B е обединението на две разлики:

A + B = (A – B) È (B – A) = ° С 1 Е ° С 2 = {1, 3, 6, 8, 9}.

Еквивалентността се определя от онези елементи на множествата A и B, които са общи за тях. Въпреки това, елементи, които не са нито в A, нито в B, също се считат за еквивалентни:

A ~ B = ( АÇ B) È (A Ç б) = ° С 0 È ° С 3 = {2, 4, 5, 7, 10, 11}.

На фиг. 1.11 и 1.12 показва оцветяването на диаграмите на Ойлер-Вен.

В заключение отбелязваме, че симетричната разлика има няколко имена: строга дизюнкция, изключителна алтернатива, сума по модул две. Тази операция може да се предаде с думи - „или А, или Б“, т.е. това е логически съединител „или“, но без съединителя „и“ да е включен в него.

Заключение

Диаграмите на Ойлер-Вен са геометрични изображения на множества. Простата диаграма осигурява визуално представяне на универсалния набор U, а вътре в него - кръгове (или други затворени фигури), представляващи множества. Фигурите се пресичат в най-общия изискуем в задачата случай и съответстват на образното изображение. Точките, разположени в различни области на диаграмата, могат да се разглеждат като елементи на съответните множества. С изградената диаграма е възможно да засенчвате определени зони, за да посочите новоформирани набори. Това ни позволява да имаме най-пълна представа за проблема и неговото решение. Опростеността на диаграмите на Ойлер-Вен прави възможно използването на тази техника в области като математика, логика, управление и други приложни области.

Библиография

1. Речник по логика. - М.: Туманит, изд. център ВЛАДОС. , . 1997 г

2. Weisstein, Eric W. Venn Diagram в Wolfram MathWorld.

Леонхард Ойлер (1707-1783) - известен швейцарски и руски математик, член на Санкт Петербургската академия на науките, живял по-голямата част от живота си в Русия. Най-известният в статистиката, компютърните науки и логиката е кръгът на Ойлер (диаграма на Ойлер-Вен), използван за обозначаване на обхвата на понятията и наборите от елементи.

Джон Вен (1834-1923) - английски философ и логик, съизобретател на диаграмата на Ойлер-Вен.

Съвместими и несъвместими понятия

Понятието в логиката означава форма на мислене, която отразява съществените характеристики на клас от еднородни обекти. Те се обозначават с една или група думи: „карта на света“, „доминиращ квинта-седми акорд“, „понеделник“ и др.

В случай, че елементите от обхвата на едно понятие изцяло или частично принадлежат към обхвата на друго, се говори за съвместими понятия. Ако обаче нито един елемент от обхвата на едно понятие не принадлежи към обхвата на друго, имаме несъвместими понятия.

От своя страна, всеки от видовете понятия има свой собствен набор от възможни отношения. За съвместими концепции това са следните:

• идентичност (еквивалентност) на обеми;
• пресичане (частично съвпадение) на обеми;
• подчинение (подчинение).

За несъвместими:

• подчинение (координация);
• противоположност (контрарност);
• противоречие (противоречие).

Схематично връзката между понятията в логиката обикновено се обозначава с помощта на кръгове на Ойлер-Вен.

Отношения на еквивалентност

В този случай термините означават един и същ предмет. Съответно обемите на тези понятия са напълно еднакви. Например:

А - Зигмунд Фройд;

Б е основателят на психоанализата.

Квадрат;

B е равностранен правоъгълник;

C е равноъгълен ромб.

За обозначаване се използват напълно съвпадащи кръгове на Ойлер.

Пресичане (частично съвпадение)

Учител;

Б е меломан.

Както се вижда от този пример, обемите на понятията частично съвпадат: определена група учители може да се окажат любители на музиката и обратно - сред любителите на музиката може да има представители на учителската професия. Подобно отношение ще бъде и в случая, когато А е например "гражданин", а Б е "шофьор".

Подчинение (подчинение)

Схематично обозначени като кръгове на Ойлер с различни мащаби. Връзката между понятията в този случай се характеризира с това, че подчиненото понятие (по-малко по обем) се включва изцяло в подчиненото (по-голямо по обем). В същото време подчиненото понятие не изчерпва напълно подчиненото.

Например:

Дърво;

B - бор.

Концепцията B ще бъде подчинена на концепцията A. Тъй като борът принадлежи към дърветата, концепцията A става в този пример подчинена, „поглъщайки“ обхвата на концепцията B.

Подчинение (координация)

Отношението характеризира две или повече понятия, които се изключват взаимно, но в същото време принадлежат към определен общ родов кръг. Например:

А - кларинет;

B - китара;

С - цигулка;

D е музикален инструмент.

Понятията A, B, C не се пресичат една спрямо друга, но всички те принадлежат към категорията на музикалните инструменти (концепция D).

противоположно (противно)

Противоположните отношения между понятията предполагат, че тези понятия принадлежат към един и същ род. В същото време едно от понятията има определени свойства (черти), а другото ги отрича, заменяйки ги с противоположни по характер. Така имаме работа с антоними. Например:

А - джудже;

Б е гигант.

Кръгът на Ойлер с противоположни отношения между понятията е разделен на три сегмента, първият от които съответства на понятието А, вторият - на понятието В, а третият - на всички други възможни понятия.

Противоречие (противоречие)

В този случай и двете понятия са видове от един и същи род. Както в предишния пример, едно от понятията показва определени качества (характеристики), докато другото ги отрича. Въпреки това, за разлика от отношението на противоположностите, второто, противоположно понятие не замества отречените свойства с други, алтернативни. Например:

А е трудна задача;

B е лесна задача (не-A).

Изразявайки обема на понятията от този вид, кръгът на Ойлер е разделен на две части - третата, междинна връзка в този случай не съществува. Така понятията също са антоними. В този случай един от тях (A) става положителен (потвърждавайки някаква характеристика), а вторият (B или не-A) става отрицателен (отричане на съответната характеристика): „бяла книга“ - „не бяла книга“, „национален история” - „чужда история” и др.

По този начин съотношението на обемите на понятията едно спрямо друго е ключовата характеристика, която определя кръговете на Ойлер.

Връзки между множества

Необходимо е също така да се прави разлика между понятията елементи и множества, чийто обем се показва чрез кръгове на Ойлер. Понятието набор е заимствано от математическата наука и има доста широко значение. Примерите в логиката и математиката го показват като определен набор от обекти. Самите обекти са елементи на това множество. „Мнозина са много, мислени като едно“ (Георг Кантор, основател на теорията на множествата).

Обозначаването на множествата се извършва с A, B, C, D ... и т.н., елементите на множествата са с малки букви: a, b, c, d ... и т.н. Примери за множество могат да бъдат учениците в една и съща класна стая, книги, стоящи на определен рафт (или, например, всички книги в определена библиотека), страници в дневник, горски плодове в горска поляна и т.н.

От своя страна, ако дадено множество не съдържа нито един елемент, то се нарича празно и се обозначава със знака Ø. Например множеството от пресечни точки е множеството от решения на уравнението x 2 = -5.

Разрешаване на проблем

Кръговете на Ойлер се използват активно за решаване на голям брой проблеми. Примерите в логиката ясно демонстрират връзката с теорията на множествата. В този случай се използват таблици на истинност на понятията. Например, кръгът с етикет A представлява областта на истината. Така че областта извън кръга ще представлява фалшива. За да определите областта на диаграмата за логическа операция, трябва да засенчите областите, които определят кръга на Ойлер, в който неговите стойности за елементи A и B ще бъдат верни.

Използването на кръговете на Ойлер намери широко практическо приложение в различни индустрии. Например в ситуация с професионален избор. Ако субектът е загрижен за избора на бъдеща професия, той може да се ръководи от следните критерии:

W - какво обичам да правя?

D - какво получавам?

P - как мога да направя добри пари?

Нека изобразим това под формата на диаграма: в логиката - връзката на пресичане):

Резултатът ще бъдат онези професии, които ще бъдат в пресечната точка на трите кръга.

Окръжностите на Ойлер-Вен заемат отделно място в математиката при изчисляване на комбинации и свойства. Окръжностите на Ойлер на множеството от елементи са затворени в изображението на правоъгълник, обозначаващ универсалното множество (U). Вместо кръгове могат да се използват и други затворени фигури, но същността на това не се променя. Фигурите се пресичат една с друга, според условията на задачата (в най-общия случай). Освен това тези цифри трябва да бъдат съответно етикетирани. Елементите на разглежданите множества могат да бъдат точки, разположени в различни сегменти на диаграмата. Въз основа на него могат да се защриховат конкретни области, като по този начин се обозначават новообразуваните комплекти.

С тези набори е допустимо да се извършват основни математически операции: събиране (сума от набори от елементи), изваждане (разлика), умножение (продукт). Освен това, благодарение на диаграмите на Ойлер-Вен, е възможно да се сравняват множества по броя на елементите, включени в тях, без да се броят.

1. Въведение

В курса по Информатика и ИКТ в началното и средното училище се разглеждат важни теми като „Основи на логиката” и „Търсене на информация в Интернет”. При решаването на определен тип задачи е удобно да се използват кръгове на Ойлер (диаграми на Ойлер-Вен).

Математическа помощ. Диаграмите на Ойлер-Вен се използват предимно в теорията на множествата като схематично представяне на всички възможни пресичания на няколко множества. Като цяло те изобразяват всичките 2n комбинации от n свойства. Например, за n=3, диаграмата на Ойлер-Вен обикновено се изобразява като три кръга с центрове във върховете на равностранен триъгълник и със същия радиус, приблизително равен на дължината на страната на триъгълника.

2. Представяне на логическите връзки в заявките за търсене

При изучаването на темата „Търсене на информация в Интернет“ се разглеждат примери за заявки за търсене, използващи логически връзки, подобни по значение на съюзите „и“, „или“ на руския език. Значението на логическите връзки става по-ясно, ако ги илюстрираме с помощта на графична схема - кръгове на Ойлер (диаграми на Ойлер-Вен).

логическа връзка	Пример за заявка	Обяснение	кръгове на Ойлер
& - "И"	Париж & университет	Ще бъдат избрани всички страници, където се споменават и двете думи: Париж и университет	Фиг. 1
| - "ИЛИ"	Париж | университет	Ще бъдат избрани всички страници, съдържащи думите Париж и/или университет	Фиг.2

3. Връзка на логическите операции с теорията на множествата

С помощта на диаграмите на Ойлер-Вен може да се визуализира връзката между логическите операции и теорията на множествата. Можете да използвате слайдовете, за да демонстрирате Приложение 1.

Логическите операции се определят от техните собствени таблици на истинност. IN Приложение 2графичните илюстрации на логическите операции са разгледани подробно заедно с техните таблици на истинност. Нека обясним принципа на построяване на диаграма в общия случай. В диаграмата зоната на кръга с името A показва истинността на твърдението A (в теорията на множествата кръгът A е обозначението на всички елементи, включени в този набор). Съответно областта извън кръга показва стойността на "false" на съответното твърдение. За да разберете коя област от диаграмата ще бъде показване на логическа операция, е необходимо да засенчите само онези области, в които стойностите на логическата операция на множества A и B са равни на „истина“.

Например, стойността на импликацията е "истина" в три случая (00, 01 и 11). Засенчване последователно: 1) областта извън двата пресичащи се кръга, която съответства на стойностите A=0, B=0; 2) площта, свързана само с кръга B (полумесец), който съответства на стойностите A=0, B=1; 3) площта, свързана както с кръг A, така и с кръг B (пресечна точка) - съответства на стойностите A=1, B=1. Обединението на тези три области ще бъде графично представяне на логическата импликационна операция.

4. Използването на кръгове на Ойлер в доказателството на логически равенства (закони)

За доказване на логически равенства може да се приложи методът на диаграмите на Ойлер-Вен. Нека докажем следното равенство ¬(AvB) = ¬A&¬B (закон на де Морган).

За визуално представяне на лявата страна на уравнението ще го изпълним последователно: ще засенчим двата кръга (ще приложим дизюнкция) със сиво, след което, за да покажем инверсията, ще засенчим областта извън кръговете с черно:

Фиг.3 Фиг.4

За визуално представяне на дясната страна на уравнението изпълняваме последователно: засенчваме зоната за показване на инверсията (¬A) в сиво и, по подобен начин, областта ¬B също е в сиво; тогава, за да покажете връзката, трябва да вземете пресечната точка на тези сиви зони (резултатът от наслагването е показан в черно):

Фиг.5 Фиг.6 Фиг.7

Виждаме, че площите за показване на лявата и дясната част са равни. Q.E.D.

5. Задачи във формат GIA и USE по темата: „Търсене на информация в Интернет“

Задача № 18 от демо версията на GIA 2013.

Таблицата показва заявки към сървъра за търсене. За всяка заявка е посочен нейният код - съответната буква от A до D. Подредете кодовете на заявките отляво надясно по ред низходящброя страници, които търсачката ще намери за всяка заявка.

Код	Заявка
А	(Полет и пари) | Самовар
б	Муха & Пари & Базар & Самовар
IN	Лети | Пари | Самовар
Ж	Fly & Money & Samovar

За всяка заявка нека изградим диаграма на Ойлер-Вен:

Искане А

Искане Б

Искане Б

Искане Г

Отговор: VAGB.

Задача B12 от демо версията на USE-2013.

Таблицата показва заявките и броя страници, намерени от тях за определен сегмент от Интернет.

Заявка	Намерени страници (в хиляди)
Фрегата | Разрушител	3400
Фрегата и разрушител	900
Фрегата	2100

Колко страници (в хиляди) ще бъдат намерени за заявката Разрушител?

Предполага се, че всички заявки са били изпълнени почти едновременно, така че наборът от страници, съдържащ всички търсени думи, не се е променил по време на изпълнението на заявките.

F - броят страници (в хиляди) по заявка Фрегата;

E - броят на страниците (в хиляди) по заявка Разрушител;

X е броят страници (в хиляди) за заявката, която споменава ФрегатаИ Неспоменати Разрушител;

Y е броят страници (в хиляди) за заявката, която споменава РазрушителИ Неспоменати Фрегата.

Нека изградим диаграми на Ойлер-Вен за всяка заявка:

Заявка	Диаграма на Ойлер-Вен	Брой страници
Фрегата | Разрушител	Фиг.12	3400
Фрегата и разрушител	Фиг.13	900
Фрегата	Фиг.14	2100
Разрушител	Фиг.15	?

Според диаграмите имаме:

1. X + 900 + Y = F + Y = 2100 + Y = 3400. Оттук намираме Y = 3400-2100 = 1300.
2. E \u003d 900 + U \u003d 900 + 1300 \u003d 2200.

Отговор: 2200.

6. Решаване на логически съдържателни задачи по метода на диаграмите на Ойлер-Вен

В класа има 36 души. Учениците от този клас посещават математически, физически и химически кръгове, като 18 души посещават математическия кръг, 14 души посещават физическия и 10 души посещават химическия. Освен това е известно, че 2 души посещават и трите кръга, 8 души души посещават и математически, и математически, и химически, 3 - и физически, и химически.

Колко ученици в класа не посещават кръжоци?

За да разрешите този проблем, е много удобно и ясно да използвате кръгове на Ойлер.

Най-големият кръг е множеството от всички ученици в класа. Вътре в кръга има три пресичащи се множества: членове на математическата ( М), физически ( Е), химически ( х) кръгове.

Позволявам MFH- много момчета, всеки от които посещава и трите кръга. MF-H- много момчета, всеки от които посещава математически и физически кръгове и Непосещава химикала ¬M¬PH- много момчета, всеки от които посещава кръжок по химия и не посещава кръгове по физика и математика.

Представяме наборите по подобен начин: ¬MFH, M¬PH, M¬F-H, ¬MF-H, ¬M-F-H.

Известно е, че и трите кръга се посещават от 2 души, следователно в региона MFHнапиши числото 2. 8 човека посещават и математически и физически кръжоци, като сред тях вече има 2-ма посещаващи и трите кръжока, след това към обл. MF-Hнапишете 6 души (8-2). По същия начин определяме броя на учениците в останалите групи:

Нека обобщим броя на хората във всички региони: 7+6+3+2+4+1+5=28. Следователно 28 души от класа посещават кръжоци.

Така че 36-28 = 8 ученици не посещават кръгове.

След зимните празници класният ръководител попита кой от момчетата отиде на театър, кино или цирк. Оказа се, че от 36 ученици в класа двама никога не са ходили на кино. нито в театъра, нито в цирка. 25 души са посетили кино, 11 души са посетили театър, 17 души са посетили цирк; както в киното, така и в театъра - 6; и в киното и в цирка - 10; и в театъра и в цирка - 4.

Колко души са посетили киното, театъра и цирка?

Нека x е броят на децата, които са ходили на кино, театър и цирк.

След това можете да изградите следната диаграма и да преброите броя на момчетата във всяка област:

6 души са посетили кино и театър, което означава, че само 6 души са посетили кино и театър. По същия начин само в киното и цирка (10-ти) хора. Само в театъра и цирка (4) чов. 25 души отидоха на кино, което означава, че само 25 от тях отидоха на кино - (10-ти) - (6-ти) - x = (9 + x). По същия начин само в театъра имаше (1 + x) души. Само в цирка имаше (3 + х) души. Не са били на театър, кино и цирк - 2 човека. Така че 36-2=34 души. посетени събития. От друга страна, можем да обобщим броя на хората, които са били в театъра, киното и цирка: (9+x)+(1+x)+(3+x)+(10-x)+(6-x)+(4-x)+x = 34 От това следва, че и на трите събития е присъствал само един човек.

По този начин кръговете на Ойлер (диаграми на Ойлер-Вен) намират практическо приложение при решаване на задачи във формат USE и GIA и при решаване на смислени логически задачи.

Литература

1. В.Ю. Лискова, Е.А. Ракитин. Логика в компютърните науки. М.: Информатика и образование, 2006. 155 с.
2. Л.Л. Босова. Аритметични и логически основи на компютрите. М.: Информатика и образование, 2000. 207 с.
3. Л.Л. Босова, А.Ю. Босова. Учебник. Информатика и ИКТ за 8 клас: БИНОМ. Лаборатория Знание, 2012. 220 с.
4. Л.Л. Босова, А.Ю. Босова. Учебник. Информатика и ИКТ за 9 клас: БИНОМ. Лаборатория Знание, 2012. 244 с.
5. Уебсайт на FIPI: http://www.fipi.ru/

Диаграмите на Ойлер-Вен са геометрични изображения на множества. Конструкцията на диаграмата се състои в изображението на голям правоъгълник, представляващ универсалното множество U, а вътре в него - кръгове (или други затворени фигури), представляващи множествата.

Фигурите трябва да се пресичат в най-общия случай, изискван в задачата, и трябва да бъдат съответно обозначени. Точките, разположени в различни области на диаграмата, могат да се разглеждат като елементи на съответните множества. С изградената диаграма е възможно да засенчвате определени зони, за да посочите новоформирани набори.

Операциите с множества се считат за получаване на нови множества от съществуващи.

Определение. Обединението на множества A и B е множество, състоящо се от всички онези елементи, които принадлежат към поне едно от множествата A, B (фиг. 1):

Определение. Пресечната точка на множества A и B е множество, състоящо се от всички онези и само онези елементи, които принадлежат едновременно както на множество A, така и на множество B (фиг. 2):

Определение.

Разликата между множествата A и B е множеството от всички онези и само онези елементи от A, които не се съдържат в B (фиг. 3):

Определение. Симетричната разлика на множества A и B е множеството от елементи на тези множества, които принадлежат или само на множество A, или само на множество B (фиг. 4):

Определение. Абсолютното допълнение на множеството A е множеството от всички онези елементи, които не принадлежат на множеството A (фиг. 5):

Ориз. 6.

Уверихме се, че и в двата случая получаваме равни комплекти. Следователно първоначалното отношение е валидно.

История

Определение 1

На Леонард Ойлер беше зададен въпросът: възможно ли е, докато се разхождате из Кьонигсберг, да заобиколите всички мостове на града, без да преминете два пъти през нито един от тях. Приложен е план на града със седем моста.

В писмо до италиански математик, когото познава, Ойлер дава кратко и красиво решение на проблема с мостовете в Кьонигсберг: при такова разположение проблемът е неразрешим. В същото време той посочи, че въпросът му се струва интересен, т.к. "Нито геометрията, нито алгебрата са достатъчни за неговото решение...".

При решаването на много задачи Л. Ойлер изобразява множества с помощта на кръгове, поради което се наричат "окръжности на Ойлер". Този метод е използван още по-рано от немския философ и математик Готфрид Лайбниц, който ги използва за геометрично обяснение на логическите връзки между понятията, но по-често използва линейни диаграми. Ойлер, от друга страна, разработи метода доста задълбочено. Графичните методи станаха особено известни благодарение на английския логик и философ Джон Вен, който въведе диаграми на Вен и подобни схеми често се наричат Диаграми на Ойлер-Вен. Те се използват в много области, например в теорията на множествата, теорията на вероятностите, логиката, статистиката и компютърните науки.

Принцип на диаграмиране

Досега диаграмите на Ойлер-Вен са широко използвани за схематично изобразяване на всички възможни пресичания на няколко набора. Диаграмите показват всички $2^n$ комбинации от n свойства. Например за $n=3$ диаграмата показва три окръжности с центрове във върховете на равностранен триъгълник и същия радиус, който е приблизително равен на дължината на страната на триъгълника.

Логическите операции дефинират таблици на истинност. Диаграмата показва кръг с името на набора, който представлява, например $A$. Областта в средата на кръга $A$ ще покаже истинността на израза $A$, а областта извън кръга - false. За да се покаже логическа операция, само онези области са засенчени, в които стойностите на логическата операция за множествата $A$ и $B$ са верни.

Например конюнкцията на две множества $A$ и $B$ е вярна само ако и двете множества са верни. В този случай резултатът от конюнкцията на $A$ и $B$ на диаграмата ще бъде областта в средата на кръговете, която едновременно принадлежи на множеството $A$ и множеството $B$ (пресечната точка на комплекти).

Фигура 1. Конюнкция на множества $A$ и $B$

Използване на диаграми на Ойлер-Вен за доказване на логически равенства

Нека разгледаме как методът за конструиране на диаграми на Ойлер-Вен се използва за доказване на логически равенства.

Нека докажем закона на де Морган, който се описва от равенството:

Доказателство:

Фигура 4. $A$ инверсия

Фигура 5. $B$ инверсия

Фигура 6. Конюнкция на $A$ и $B$ инверсии

След като сравним площта за показване на лявата и дясната част, виждаме, че те са равни. От това следва валидността на логическото равенство. Законът на Де Морган се доказва с помощта на диаграми на Ойлер-Вен.

Решаване на проблема с търсенето на информация в Интернет чрез диаграми на Ойлер-Вен

За търсене на информация в Интернет е удобно да използвате заявки за търсене с логически връзки, подобни по значение на съюзите "и", "или" на руския език. Значението на логическите връзки става по-ясно, ако ги илюстрираме с помощта на диаграми на Ойлер-Вен.

Пример 1

Таблицата показва примери за заявки към сървъра за търсене. Всяка заявка има свой код - буква от $A$ до $B$. Трябва да подредите кодовете на заявките в низходящ ред на броя страници, намерени за всяка заявка.

Фигура 7

Решение:

Нека изградим диаграма на Ойлер-Вен за всяка заявка:

Фигура 8

Отговор: BVA.

Решаване на логически значим проблем с помощта на диаграми на Ойлер-Вен

Пример 2

През зимната ваканция от $36$ ученици в $2$ клас не са ходили на кино, театър и цирк. $25$ хора отидоха на кино, $11$ на театър, $17$ на цирк; както в киното, така и в театъра - $6$; и в киното и в цирка - $10$; и на театър и на цирк - 4$.

Колко души са посетили киното, театъра и цирка?

Решение:

Нека обозначим броя на момчетата, които са били на кино, театър и цирк - $x$.

Нека изградим диаграма и да разберем броя на момчетата във всяка област:

Фигура 9

Не бяхте на театър, нито на кино, нито в цирка - 2$ на човек.

Така че $36 - 2 = $34 души. посетени събития.

$6$ души са ходили на кино и театър, което означава, че само ($6 - x)$ души са ходили на кино и театър.

$10$ хора отидоха на кино и цирк, така че само на кино и цирк ($10 - x$) хора.

$4$ души отидоха на театър и цирк, което означава, че само театър и цирк ($4 - x$) души отидоха на театър и цирк.

$25$ души са отишли ​​на кино, което означава, че само $25 - (10 - x) - (6 - x) - x = (9+x)$ са отишли ​​на кино.

По същия начин само ($1+x$) хора отидоха на театър.

Само ($3+x$) души отидоха на цирк.

И така, отидохме на театър, кино и цирк:

$(9+x)+(1+x)+(3+x)+(10-x)+(6-x)+(4-x)+x = 34$;

Тези. само един човек е ходил и на театър, и на кино, и на цирк.