Тази статия е за намиране на стойностите на арксинус, аркосинус, арктангенс и арккотангенсдадено число. Първо ще изясним какво се нарича значението на аркуссинус, аркосинус, арктангенс и арккотангенс. След това ще получим основните стойности на тези дъгови функции, след което ще разберем как се намират стойностите на арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс с помощта на таблиците на синусите, косинусите, тангенсите и Bradis котангенси. И накрая, нека поговорим за намирането на арксинуса на число, когато аркосинусът, арктангенсът или арккотангенсът на това число и т.н. са известни.

Навигация в страницата.

Стойности на арксинус, аркосинус, арктангенс и арккотангенс

Преди всичко си струва да разберете какво всъщност е „това“. значението на арксинус, аркосинус, арктангенс и арккотангенс».

Таблиците на Bradis със синуси и косинуси, както и тангенси и котангенси, ви позволяват да намерите стойността на арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса на положително число в градуси с точност до една минута. Тук си струва да се спомене, че намирането на стойностите на арксинуса, аркосинуса, арктангенса и арккотангенса на отрицателни числа може да се сведе до намиране на стойностите на съответните аркфункции на положителни числа, като се обърне към формулите arcsin, arccos, arctg и arcctg от противоположни числа във формата arcsin(−a)=−arcsin a, arccos (−a)=π−arccos a , arctg(−a)=−arctg a и arcctg(−a)=π−arcctg a .

Нека да разберем как да намерим стойностите на арксинус, аркосинус, арктангенс и арккотангенс с помощта на таблиците на Bradis. Ще направим това с примери.

Нека трябва да намерим стойността на арксинуса 0,2857. Намираме тази стойност в таблицата на синусите (случаите, когато тази стойност не е в таблицата, ще бъдат разгледани по-долу). Съответства на синус 16 градуса 36 минути. Следователно желаната стойност на арксинуса на числото 0,2857 е ъгъл от 16 градуса 36 минути.

Често се налага да се вземат предвид корекции от трите колони вдясно на таблицата. Например, ако трябва да намерим арксинуса на 0,2863. Според таблицата със синуси тази стойност се получава като 0,2857 плюс корекция от 0,0006, т.е. стойността от 0,2863 съответства на синус от 16 градуса 38 минути (16 градуса 36 минути плюс 2 минути корекция).

Ако числото, чийто арксинус ни интересува, не е в таблицата и дори не може да бъде получено, като се вземат предвид корекциите, тогава в таблицата трябва да намерим двете стойности на синусите, които са най-близки до него, между които това число е затворено. Например, търсим стойността на арксинуса 0,2861573. Това число не е в таблицата и не може да бъде получено чрез корекции. След това намираме двете най-близки стойности 0,2860 и 0,2863, между които оригиналното число е затворено, тези числа съответстват на синусите от 16 градуса 37 минути и 16 градуса 38 минути. Желаната стойност на арксинус от 0,2861573 лежи между тях, т.е. всяка от тези стойности на ъгъла може да се приеме като приблизителна стойност на арксинус с точност до 1 минута.

Стойностите на арккосинуса, стойностите на арктангенса и стойностите на арккотангенса се намират по абсолютно същия начин (в този случай, разбира се, се използват съответно таблици на косинусите, тангенсите и котангенсите).

Намиране на стойността на arcsin с помощта на arccos, arctg, arcctg и т.н.

Например, уведомете ни, че arcsin a=−π/12 и трябва да намерим стойността на arccos a. Изчисляваме стойността на аркосинуса, от която се нуждаем: arccos a=π/2−arcsin a=π/2−(−π/12)=7π/12.

Ситуацията е много по-интересна, когато, използвайки известната стойност на арксинуса или аркосинуса на число a, трябва да намерите стойността на арктангенса или арккотангенса на това число a или обратно. За съжаление не знаем формулите, които определят подобни връзки. Как е възможно това? Нека разберем това с пример.

Да знаем, че аркосинусът на число a е равен на π/10 и трябва да изчислим стойността на аркустангенса на това число a. Можете да решите проблема по следния начин: като използвате известната стойност на аркосинуса, намерете числото a и след това намерете аркутангенса на това число. За да направим това, първо се нуждаем от таблица на косинусите и след това таблица на тангенсите.

Ъгълът π/10 радиана е ъгъл от 18 градуса, като използваме косинусната таблица, намираме, че косинусът от 18 градуса е приблизително равен на 0,9511, тогава числото a в нашия пример е 0,9511.

Остава да се обърнем към таблицата на допирателните и с нейната помощ да намерим стойността на арктангенса, от която се нуждаем 0,9511, тя е приблизително равна на 43 градуса 34 минути.

Тази тема е логично продължена от материала в статията. оценяване на стойностите на изрази, съдържащи arcsin, arccos, arctg и arcctg.

Референции.

• Алгебра:Учебник за 9 клас. ср. училище/Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Ед. С. А. Теляковски: Образование, 1990. - 272 с. - ISBN 5-09-002727-7
• Башмаков М. И.Алгебра и началото на анализа: Учебник. за 10-11 клас. ср. училище - 3-то изд. - М.: Образование, 1993. - 351 с.: ил. - ISBN 5-09-004617-4.
• Алгебраи началото на анализа: Proc. за 10-11 клас. общо образование институции / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницин и др.; Ед. А. Н. Колмогоров, 14-то изд.: Образование, 2004 г. - ил.
• И. В. Бойков, Л. Д. Романова. Сборник задачи за подготовка за Единен държавен изпит, част 1, Пенза 2003 г.
• Брадис В. М.Четирицифрени таблици по математика: За общообразователна подготовка. учебник заведения. - 2-ро изд. - М.: Дропла, 1999.- 96 с.: ил. ISBN 5-7107-2667-2

По-рано в програмата учениците придобиха представа за решаване на тригонометрични уравнения, запознаха се с понятията арккосинус и арксинус и примери за решения на уравненията cos t = a и sin t = a. В този видео урок ще разгледаме решаването на уравненията tg x = a и ctg x = a.

За да започнете да изучавате тази тема, разгледайте уравненията tg x = 3 и tg x = - 3. Ако решим уравнението tg x = 3 с помощта на графика, ще видим, че пресечната точка на графиките на функциите y = tg x и y = 3 има безкраен брой решения, където x = x 1 + πk. Стойността x 1 е координатата x на пресечната точка на графиките на функциите y = tan x и y = 3. Авторът въвежда понятието арктангенс: arctan 3 е число, чийто tan е равен на 3, и това число принадлежи на интервала от -π/2 до π/2. Използвайки концепцията за арктангенс, решението на уравнението tan x = 3 може да бъде записано като x = arctan 3 + πk.

По аналогия се решава уравнението tg x = - 3 От построените графики на функциите y = tg x и y = - 3 е ясно, че пресечните точки на графиките, а следователно и решенията на уравненията, ще бъдат. е x = x 2 + πk. Използвайки арктангенса, решението може да бъде записано като x = arctan (- 3) + πk. На следващата фигура виждаме, че arctg (- 3) = - arctg 3.

Общата дефиниция на арктангенса е следната: арктангенс a е число от интервала от -π/2 до π/2, чийто тангенс е равен на a. Тогава решението на уравнението tan x = a е x = arctan a + πk.

Авторът дава пример 1. Намерете решение на израза arctg Нека въведем обозначението: арктангенсът на число е равен на x, тогава tg x ще бъде равно на даденото число, където x принадлежи на отсечката от -π. /2 до π/2. Както в примерите в предишните теми, ще използваме таблица със стойности. Според тази таблица тангенсът на това число съответства на стойността x = π/3. Нека запишем решението на уравнението: арктангенсът на дадено число е равен на π/3, π/3 също принадлежи на интервала от -π/2 до π/2.

Пример 2 - изчисляване на аркутангенса на отрицателно число. Използвайки равенството arctg (- a) = - arctg a, въвеждаме стойността на x. Подобно на пример 2, записваме стойността на x, която принадлежи на сегмента от -π/2 до π/2. От таблицата със стойности намираме, че x = π/3, следователно, -- tg x = - π/3. Отговорът на уравнението е - π/3.

Нека разгледаме пример 3. Решете уравнението tg x = 1. Напишете, че x = arctan 1 + πk. В таблицата стойността tg 1 съответства на стойността x = π/4, следователно arctg 1 = π/4. Нека заместим тази стойност в оригиналната формула x и напишем отговора x = π/4 + πk.

Пример 4: изчислете tan x = - 4.1. В този случай x = arctan (- 4,1) + πk. защото Не е възможно да се намери стойността на arctg в този случай; отговорът ще изглежда като x = arctg (- 4.1) + πk.

В пример 5 се разглежда решението на неравенството tg x > 1. За да го решим, построяваме графики на функциите y = tan x и y = 1. Както може да се види на фигурата, тези графики се пресичат в точки x =. π/4 + πk. защото в този случай tg x > 1, на графиката подчертаваме тангентоидната област, която се намира над графиката y = 1, където x принадлежи на интервала от π/4 до π/2. Записваме отговора като π/4 + πk< x < π/2 + πk.

След това разгледайте уравнението cot x = a. На фигурата са показани графики на функциите y = cot x, y = a, y = - a, които имат много пресечни точки. Решенията могат да бъдат записани като x = x 1 + πk, където x 1 = arcctg a и x = x 2 + πk, където x 2 = arcctg (- a). Отбелязва се, че x 2 = π - x 1 . Това предполага равенството arcctg (- a) = π - arcctg a. Следва определението за аркотангенс: аркотангенс a е число от интервала от 0 до π, чийто котангенс е равен на a. Решението на уравнението сtg x = a се записва като: x = arcctg a + πk.

В края на видео урока се прави още един важен извод - изразът ctg x = a може да се запише като tg x = 1/a, при условие че a не е равно на нула.

ДЕКОДИРАНЕ НА ТЕКСТ:

Нека разгледаме решаването на уравненията tg x = 3 и tg x = - 3. Решавайки графично първото уравнение, виждаме, че графиките на функциите y = tg x и y = 3 имат безкрайно много пресечни точки, чиито абциси записваме във формата

x = x 1 + πk, където x 1 е абсцисата на пресечната точка на правата y = 3 с главния клон на тангентоида (фиг. 1), за който е измислено обозначението

арктан 3 (арктангенс от три).

Как да разбираме arctg 3?

Това е число, чийто тангенс е 3 и това число принадлежи на интервала (- ;). Тогава всички корени на уравнението tg x = 3 могат да бъдат записани по формулата x = arctan 3+πk.

По същия начин решението на уравнението tg x = - 3 може да бъде записано във формата x = x 2 + πk, където x 2 е абсцисата на пресечната точка на правата линия y = - 3 с главния клон на тангентоид (фиг. 1), за който обозначението arctg(- 3) (арктангенс минус три). Тогава всички корени на уравнението могат да бъдат записани по формулата: x = arctan(-3)+ πk. Фигурата показва, че arctg(- 3)= - arctg 3.

Нека формулираме определението за арктангенс. Арктангенс a е число от интервала (-;), чийто тангенс е равен на a.

Често се използва равенството: arctg(-a) = -arctg a, което е валидно за всяко a.

Познавайки дефиницията на арктангенса, можем да направим общо заключение за решението на уравнението

tg x= a: уравнението tg x = a има решение x = arctan a + πk.

Нека да разгледаме примерите.

ПРИМЕР 1. Изчислете арктан.

Решение. Нека arctg = x, тогава tgх = и xϵ (- ;). Показване на таблица със стойности Следователно x =, тъй като tg = и ϵ (- ;).

И така, арктан =.

ПРИМЕР 2. Изчислете арктан (-).

Решение. Използвайки равенството arctg(- a) = - arctg a, записваме:

arctg(-) = - arctg. Нека - arctg = x, тогава - tgх = и xϵ (- ;). Следователно x =, тъй като tg = и ϵ (- ;). Показване на таблица със стойности

Това означава - arctg=- tgх= - .

ПРИМЕР 3. Решете уравнението tgх = 1.

1. Запишете формулата на решението: x = arctan 1 + πk.

2. Намерете стойността на аркутангенса

тъй като tg = . Показване на таблица със стойности

Така че arctan1= .

3. Поставете намерената стойност във формулата за решение:

ПРИМЕР 4. Решете уравнението tgх = - 4.1 (тангенс х е равен на минус четири точка едно).

Решение. Нека напишем формулата на решението: x = arctan (- 4,1) + πk.

Не можем да изчислим стойността на аркутангенса, така че ще оставим решението на уравнението в получения му вид.

ПРИМЕР 5. Решете неравенството tgх 1.

Решение. Ще го решим графично.

1. Нека построим допирателна

y = tgx и права линия y = 1 (фиг. 2). Те се пресичат в точки като x = + πk.

2. Нека изберем интервала на оста x, в който главният клон на тангентоида се намира над правата y = 1, тъй като по условие tgх 1. Това е интервалът (;).

3. Използваме периодичността на функцията.

Свойство 2. y=tg x е периодична функция с основен период π.

Като вземем предвид периодичността на функцията y = tgх, записваме отговора:

(;). Отговорът може да се запише като двойно неравенство:

Нека преминем към уравнението ctg x = a. Нека представим графична илюстрация на решението на уравнението за положително и отрицателно a (фиг. 3).

Графики на функции y = ctg x и y = a и също

y=ctg x и y=-a

имат безкрайно много общи точки, чиито абциси изглеждат така:

x = x 1 +, където x 1 е абсцисата на пресечната точка на правата линия y = a с главния клон на тангентоида и

x 1 = arcctg a;

x = x 2 +, където x 2 е абсцисата на пресечната точка на правата

y = - a с главния клон на тангентоида и x 2 = arcсtg (- a).

Обърнете внимание, че x 2 = π - x 1. И така, нека запишем едно важно равенство:

arcсtg (-a) = π - arcсtg а.

Нека формулираме определението: аркотангенс a е число от интервала (0;π), чийто котангенс е равен на a.

Решението на уравнението ctg x = a се записва във формата: x = arcctg a + .

Моля, обърнете внимание, че уравнението ctg x = a може да се преобразува във формата

tg x = , освен когато a = 0.

Какво е арксинус, аркосинус? Какво е арктангенс, арккотангенс?

внимание!
Има допълнителни
материали в специален раздел 555.
За тези, които са много "не много..."
И за тези, които „много...“)

Към понятията арксинус, аркосинус, арктангенс, арккотангенс Студентското население е предпазливо. Той не разбира тези термини и следователно не вярва на това хубаво семейство.) Но напразно. Това са много прости концепции. Което, между другото, значително улеснява живота на знаещия човек при решаването на тригонометрични уравнения!

Не сте сигурни в простотата? Напразно.) Точно тук и сега ще видите това.

Разбира се, за да разберем, би било хубаво да знаем какво са синус, косинус, тангенс и котангенс. Да, техните таблични стойности за някои ъгли... Поне в най-общи линии. Тогава и тук няма да има проблеми.

И така, ние сме изненадани, но не забравяйте: арксинус, аркосинус, арктангенс и арккотангенс са само някои ъгли.Нито повече, нито по-малко. Има ъгъл, да речем 30°. И има ъгъл arcsin0,4. или arctg(-1,3). Има всякакви ъгли.) Можете просто да записвате ъгли по различни начини. Можете да запишете ъгъла в градуси или радиани. Или можете - чрез неговите синус, косинус, тангенс и котангенс...

Какво означава изразът

arcsin 0,4?

Това е ъгъл, чийто синус е 0,4! да, да Това е значението на арксинуса. Изрично ще повторя: arcsin 0,4 е ъгъл, чийто синус е равен на 0,4.

това е всичко

За да запазите тази проста мисъл в главата си за дълго време, дори ще дам разбивка на този ужасен термин - арксинус:

дъга грях 0,4
ъгъл, синусът на който равно на 0,4

Както се пише, така се и чува.) Почти. Префикс дъгаозначава дъга(дума архзнаете ли?), защото древните хора са използвали дъги вместо ъгли, но това не променя същността на въпроса. Запомнете това елементарно декодиране на математически термин! Освен това за аркосинус, арктангенс и арккотангенс декодирането се различава само в името на функцията.

Какво е arccos 0.8?
Това е ъгъл, чийто косинус е 0,8.

Какво е arctg(-1,3)?
Това е ъгъл, чийто тангенс е -1,3.

Какво е arcctg 12?
Това е ъгъл, чийто котангенс е 12.

Такова елементарно декодиране позволява, между другото, да се избегнат епични грешки.) Например, изразът arccos1,8 изглежда доста уважаван. Да започнем декодирането: arccos1.8 е ъгъл, чийто косинус е равен на 1.8... Скок-скок!? 1.8!? Косинусът не може да бъде по-голям от едно!!!

вярно Изразът arccos1,8 няма смисъл. И писането на такъв израз в някакъв отговор ще забавлява много инспектора.)

Елементарно, както можете да видите.) Всеки ъгъл има свои лични синус и косинус. И почти всеки има свой тангенс и котангенс. Следователно, знаейки тригонометричната функция, можем да запишем самия ъгъл. За това са предназначени аркусинуси, арккосинуси, арктангенси и арккотангенси. Отсега нататък ще наричам цялото това семейство с умалително име - арки.Да пиша по-малко.)

внимание! Елементарни словесни и в съзнаниедешифрирането на арки ви позволява спокойно и уверено да решавате различни задачи. И в необичайноСамо тя запазва задачи.

Възможно ли е да се премине от дъги към обикновени градуси или радиани?- Чувам предпазлив въпрос.)

Защо не!? Лесно. Можете да отидете до там и обратно. Освен това понякога това трябва да се направи. Арките са просто нещо, но е някак по-спокойно без тях, нали?)

Например: какво е arcsin 0,5?

Нека си припомним декодирането: arcsin 0,5 е ъгълът, чийто синус е 0,5.Сега включете главата си (или Google)) и си спомнете кой ъгъл има синус от 0,5? Синус е равен на 0,5 y 30 градусов ъгъл. това е всичко: arcsin 0,5 е ъгъл от 30°.Можете спокойно да напишете:

arcsin 0,5 = 30°

Или, по-формално, по отношение на радиани:

Това е всичко, можете да забравите за арксинуса и да продължите да работите с обичайните градуси или радиани.

Ако сте разбрали какво е арксинус, аркосинус... Какво е арктангенс, арккотангенс...Можете лесно да се справите например с такова чудовище.)

Невеж човек ще се отдръпне от ужас, да...) Но информиран човек запомнете декодирането:арксинус е ъгълът, чийто синус... И така нататък. Ако знаещ човек знае и таблицата на синусите... Таблицата на косинусите. Таблица на тангенсите и котангенсите, тогава изобщо няма проблеми!

Достатъчно е да разберете, че:

Ще го дешифрирам, т.е. Нека преведа формулата с думи: ъгъл, чийто тангенс е 1 (arctg1)- това е ъгъл от 45°. Или, което е същото, Пи/4. По същия начин:

и това е... Заменяме всички арки със стойности в радиани, всичко е намалено, остава само да изчислим колко е 1+1. Ще бъде 2.) Кой е верният отговор.

Ето как можете (и трябва) да преминете от арксинуси, арккосинуси, арктангенси и арккотангенси към обикновени градуси и радиани. Това значително опростява страшните примери!

Често в такива примери вътре в арките има отрицателензначения. Като, arctg(-1.3), или, например, arccos(-0.8)... Това не е проблем. Ето прости формули за преминаване от отрицателни към положителни стойности:

Трябва, да речем, да определите стойността на израза:

Това може да се реши с помощта на тригонометричния кръг, но не искате да го начертаете. О, добре. Преместваме се от отрицателенстойности вътре в аркосинуса на k положителенспоред втората формула:

Вътре в аркокосинуса отдясно вече е положителензначение. Какво

просто трябва да знаете. Всичко, което остава, е да замените радианите вместо арккосинус и да изчислите отговора:

Това е.

Ограничения за арксинус, аркосинус, арктангенс, арккотангенс.

Има ли проблем с примери 7 - 9? Е, да, има някакъв трик.)

Всички тези примери, от 1 до 9, са внимателно анализирани в раздел 555. Какво, как и защо. С всички тайни капани и трикове. Плюс начини за драматично опростяване на решението. Между другото, този раздел съдържа много полезна информация и практически съвети за тригонометрията като цяло. И не само в тригонометрията. Много помага.

Ако харесвате този сайт...

Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)

Можете да практикувате решаване на примери и да разберете вашето ниво. Тестване с незабавна проверка. Да учим - с интерес!)

Можете да се запознаете с функции и производни.

Урок и презентация на тема: "Арксинус. Таблица с арксинуси. Формула y=arcsin(x)"

Допълнителни материали
Уважаеми потребители, не забравяйте да оставите вашите коментари, отзиви, пожелания! Всички материали са проверени с антивирусна програма.

Наръчници и симулатори в онлайн магазина Integral за 10 клас от 1C
Софтуерна среда "1C: Математически конструктор 6.1"
Решаваме задачи по геометрия. Интерактивни задачи за изграждане в пространството

Какво ще изучаваме:
1. Какво е арксинус?
2. Арксинусна нотация.
3. Малко история.
4. Определение.

6. Примери.

Какво е арксинус?

Момчета, вече научихме как да решаваме уравнения за косинус, нека сега се научим как да решаваме подобни уравнения за синус. Да разгледаме sin(x)= √3/2. За да решите това уравнение, трябва да построите права линия y= √3/2 и да видите в кои точки тя пресича числовата окръжност. Може да се види, че правата пресича окръжността в две точки F и G. Тези точки ще бъдат решението на нашето уравнение. Нека преозначим F като x1 и G като x2. Вече намерихме решението на това уравнение и получихме: x1= π/3 + 2πk,
и x2= 2π/3 + 2πk.

Решаването на това уравнение е доста просто, но как да решите, например, уравнението
sin(x)= 5/6. Очевидно това уравнение също ще има два корена, но какви стойности ще съответстват на решението на числовата окръжност? Нека разгледаме по-отблизо нашето уравнение sin(x)= 5/6.
Решението на нашето уравнение ще бъде две точки: F= x1 + 2πk и G= x2 ​​​​+ 2πk,
където x1 е дължината на дъгата AF, x2 е дължината на дъгата AG.
Забележка: x2= π - x1, защото AF= AC - FC, но FC= AG, AF= AC - AG= π - x1.
Но какви са тези точки?

Изправени пред подобна ситуация, математиците излязоха с нов символ - arcsin(x). Прочетете като арксинус.

Тогава решението на нашето уравнение ще бъде записано по следния начин: x1= arcsin(5/6), x2= π -arcsin(5/6).

И решението в общ вид: x= arcsin(5/6) + 2πk и x= π - arcsin(5/6) + 2πk.
Арксинус е синусът на ъгъла (дължина на дъгата AF, AG), който е равен на 5/6.

Малко история на арксинуса

Историята на произхода на нашия символ е точно същата като тази на arccos. Символът arcsin се появява за първи път в трудовете на математика Scherfer и известния френски учен J.L. Лагранж. Малко по-рано концепцията за арксинуса беше разгледана от Д. Бернули, въпреки че го написа с различни символи.

Тези символи стават общоприети едва в края на 18 век. Префиксът "дъга" идва от латинското "arcus" (лък, дъга). Това е напълно съвместимо със значението на понятието: arcsin x е ъгъл (или може да се каже дъга), чийто синус е равен на x.

Дефиниция на арксинус

Ако |a|≤ 1, тогава arcsin(a) е число от сегмента [- π/2; π/2], чийто синус е равен на a.

Ако |a|≤ 1, тогава уравнението sin(x)= a има решение: x= arcsin(a) + 2πk и
x= π - arcsin(a) + 2πk

Нека пренапишем:

x= π - arcsin(a) + 2πk = -arcsin(a) + π(1 + 2k).

Момчета, разгледайте внимателно нашите две решения. Какво мислите: могат ли да бъдат записани с обща формула? Обърнете внимание, че ако има знак плюс пред арксинуса, тогава π се умножава по четното число 2πk, а ако има знак минус, тогава множителят е нечетно 2k+1.
Като вземем това предвид, записваме общата формула за решаване на уравнението sin(x)=a:

Има три случая, в които е за предпочитане решенията да се записват по по-прост начин:

sin(x)=0, тогава x= πk,

sin(x)=1, тогава x= π/2 + 2πk,

sin(x)=-1, тогава x= -π/2 + 2πk.

За всяко -1 ≤ a ≤ 1 равенството е в сила: arcsin(-a)=-arcsin(a).

Нека напишем таблицата с косинусови стойности наобратно и да получим таблица за арксинуса.

Примери

1. Изчислете: arcsin(√3/2).
Решение: Нека arcsin(√3/2)= x, тогава sin(x)= √3/2. По дефиниция: - π/2 ≤x≤ π/2. Нека да разгледаме стойностите на синуса в таблицата: x= π/3, защото sin(π/3)= √3/2 и –π/2 ≤ π/3 ≤ π/2.
Отговор: arcsin(√3/2)= π/3.

2. Изчислете: arcsin(-1/2).
Решение: Нека arcsin(-1/2)= x, тогава sin(x)= -1/2. По дефиниция: - π/2 ≤x≤ π/2. Нека да разгледаме стойностите на синуса в таблицата: x= -π/6, защото sin(-π/6)= -1/2 и -π/2 ≤-π/6≤ π/2.
Отговор: arcsin(-1/2)=-π/6.

3. Изчислете: arcsin(0).
Решение: Нека arcsin(0)= x, тогава sin(x)= 0. По дефиниция: - π/2 ≤x≤ π/2. Нека да разгледаме стойностите на синуса в таблицата: това означава x= 0, защото sin(0)= 0 и - π/2 ≤ 0 ≤ π/2. Отговор: arcsin(0)=0.

4. Решете уравнението: sin(x) = -√2/2.
x= arcsin(-√2/2) + 2πk и x= π - arcsin(-√2/2) + 2πk.
Нека да разгледаме стойността в таблицата: arcsin (-√2/2)= -π/4.
Отговор: x= -π/4 + 2πk и x= 5π/4 + 2πk.

5. Решете уравнението: sin(x) = 0.
Решение: Нека използваме определението, тогава решението ще бъде написано във формата:
x= arcsin(0) + 2πk и x= π - arcsin(0) + 2πk. Нека да разгледаме стойността в таблицата: arcsin(0)= 0.
Отговор: x= 2πk и x= π + 2πk

6. Решете уравнението: sin(x) = 3/5.
Решение: Нека използваме определението, тогава решението ще бъде написано във формата:
x= arcsin(3/5) + 2πk и x= π - arcsin(3/5) + 2πk.
Отговор: x= (-1) n - arcsin(3/5) + πk.

7. Решете неравенството sin(x) Решение: Синус е ординатата на точка от числовата окръжност. Това означава: трябва да намерим точки, чиято ордината е по-малка от 0,7. Нека начертаем права линия y=0,7. Тя пресича числовата окръжност в две точки. Неравенство y Тогава решението на неравенството ще бъде: -π – arcsin(0,7) + 2πk

Арксинуси задачи за самостоятелно решаване

1) Изчислете: a) arcsin(√2/2), b) arcsin(1/2), c) arcsin(1), d) arcsin(-0,8).
2) Решете уравнението: a) sin(x) = 1/2, b) sin(x) = 1, c) sin(x) = √3/2, d) sin(x) = 0,25,
д) sin(x) = -1,2.
3) Решете неравенството: a) sin (x)> 0,6, b) sin (x)≤ 1/2.

Арктангенс (y = арктан х) е обратната функция на тангенса (x = tg y
tg(arctg x) = x
arctan(tg x) = x

Арктангенсът се означава, както следва:
.

Графика на функцията арктангенс

Графика на функцията y = арктан х

Графиката на арктангенса се получава от графиката на тангенса, ако абсцисната и ординатната ос се разменят. За да се елиминира неяснотата, наборът от стойности е ограничен до интервала, в който функцията е монотонна. Това определение се нарича главна стойност на арктангенса.

Аркотангенс, arcctg

Аркутангенс (y = arcctg x) е обратната функция на котангенса (x = ctg y). Има област на дефиниция и набор от значения.
ctg(arcctg x) = x
arcctg(ctg x) = x

Аркотангенсът се означава по следния начин:
.

Графика на обратната тангенс функция

Графика на функцията y = arcctg x

Аркокотангенсната графика се получава от котангенсната графика, ако абсцисната и ординатната ос се разменят. За да се елиминира неяснотата, диапазонът от стойности е ограничен до интервала, в който функцията е монотонна. Тази дефиниция се нарича главна стойност на аркотангенса.

Паритет

Функцията арктангенс е странна:
arctan(- x) = arctg(-tg arctg x) = arctg(tg(-arctg x)) = - арктан х

Функцията обратен тангенс не е четна или нечетна:
arcctg(- x) = arcctg(-ctg arcctg x) = arcctg(ctg(π-arcctg x)) = π - arcctg x ≠ ± arcctg x.

Свойства - екстремуми, увеличение, намаление

Функциите арктангенс и арккотангенс са непрекъснати в тяхната област на дефиниране, тоест за всички x.

	(вижте доказателство за непрекъснатост). Основните свойства на арктангенса и арккотангенса са представени в таблицата. арктан х	(вижте доказателство за непрекъснатост). Основните свойства на арктангенса и арккотангенса са представени в таблицата. arcctg x
y =	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Обхват и приемственост
Множество значения	Възходящо, низходящо	монотонно нараства
монотонно намалява	Върхове, спадове	Върхове, спадове
не 0	Нули, y = 0	Върхове, спадове
x = 0	(вижте доказателство за непрекъснатост). Основните свойства на арктангенса и арккотангенса са представени в таблицата. 0	Пресечете точки с ординатната ос, x = 2
	-	π
		0

y = π/

Таблица на арктангенсите и арккотангенсите

Тази таблица представя стойностите на арктангенсите и арккотангенсите, в градуси и радиани, за определени стойности на аргумента.	арктан х		arcctg x
	х	градушка	х	градушка
- ∞	радвам се.	-	- 90°	π
-	180°	-	- 60°
- 1	150°	-	- 45°
-	135°	-	- 30°
0	0°	0	120°
	90°		30°
1	60°		60°
	30°		90°
+ ∞	120°		0°	0

≈ 0,5773502691896258
≈ 1,7320508075688772

45°

Формули

Формули за сбор и разлика

Формули за сбор и разлика

при

Формули за сбор и разлика

Формули за сбор и разлика

при

при

,
.

Изрази чрез логаритми, комплексни числа

Изразяване чрез хиперболични функции

Деривати

Вижте Извеждане на производни на арктангенс и арккотангенс > > >:
Производни от по-висок порядък
;
.
Нека .

Тогава производната от n-ти ред на арктангенса може да бъде представена по един от следните начини:
Символът означава имагинерната част от следния израз.

Вижте Извеждане на производни от по-висок порядък на арктангенс и арккотангенс > > >
;
.

Там са дадени и формули за производни на първите пет реда.

По същия начин за аркутангенса. Нека . ТогаваИнтеграли
;
;
;

Правим замяната x =
.

tg t

и интегрирайте по части: 1 Нека изразим аркутангенса чрез аркустангенса:
;
.

Разширение на степенни редове

Обратните на арктангенс и арккотангенс са съответно тангенс и котангенс.

Следните формули са валидни в цялата област на дефиниране:
tg(arctg x) = x
ctg(arcctg x) = x .

Следните формули са валидни само за набор от стойности на арктангенс и арккотангенс:
arctan(tg x) = xпри
arcctg(ctg x) = xпри .

Използвана литература:
И.Н. Бронщайн, К.А. Семендяев, Наръчник по математика за инженери и студенти, “Лан”, 2009 г.