Един от клоновете на математиката, с който учениците се справят с най-големи трудности, е тригонометрията. Нищо чудно: за да овладеете свободно тази област на знанието, имате нужда от пространствено мислене, способността да намирате синуси, косинуси, тангенси, котангенси с помощта на формули, да опростявате изрази и да можете да използвате числото pi в изчисления. Освен това трябва да можете да прилагате тригонометрията при доказване на теореми, а това изисква или развита математическа памет, или способност за извеждане на сложни логически вериги.

Произход на тригонометрията

Запознаването с тази наука трябва да започне с дефиницията на синуса, косинуса и тангенса на ъгъла, но първо трябва да разберете какво прави тригонометрията като цяло.

В исторически план правоъгълните триъгълници са били основният обект на изследване в този раздел на математическата наука. Наличието на ъгъл от 90 градуса дава възможност да се извършват различни операции, които позволяват да се определят стойностите на всички параметри на разглежданата фигура, като се използват две страни и един ъгъл или два ъгъла и една страна. В миналото хората забелязали този модел и започнали активно да го използват в строителството на сгради, навигацията, астрономията и дори изкуството.

Първи етап

Първоначално хората говореха за връзката на ъгли и страни изключително на примера на правоъгълни триъгълници. Тогава бяха открити специални формули, които направиха възможно разширяването на границите на използване в ежедневието на този раздел от математиката.

Изучаването на тригонометрия в училище днес започва с правоъгълни триъгълници, след което придобитите знания се използват от учениците по физика и решаване на абстрактни тригонометрични уравнения, работата с които започва в гимназията.

Сферична тригонометрия

По-късно, когато науката достигна следващото ниво на развитие, формулите със синус, косинус, тангенс, котангенс започнаха да се използват в сферичната геометрия, където важат други правила, а сборът от ъглите в триъгълника винаги е повече от 180 градуса. Този участък не се изучава в училище, но е необходимо да се знае за съществуването му, най-малкото защото повърхността на земята, както и повърхността на всяка друга планета, е изпъкнала, което означава, че всяка маркировка на повърхността ще бъде "дъгообразна" в триизмерно пространство.

Вземете глобуса и конеца. Прикрепете конеца към произволни две точки на земното кълбо, така че да е опънат. Обърнете внимание - тя е придобила формата на дъга. Именно с такива форми се занимава сферичната геометрия, която се използва в геодезията, астрономията и други теоретични и приложни области.

Правоъгълен триъгълник

След като научихме малко за начините за използване на тригонометрията, нека се върнем към основната тригонометрия, за да разберем по-нататък какво са синус, косинус, тангенс, какви изчисления могат да се извършват с тяхна помощ и какви формули да използвате.

Първата стъпка е да разберете понятията, свързани с правоъгълен триъгълник. Първо, хипотенузата е страната срещу ъгъла от 90 градуса. Тя е най-дългата. Спомняме си, че според Питагоровата теорема числената му стойност е равна на корена от сумата от квадратите на другите две страни.

Например, ако двете страни са съответно 3 и 4 сантиметра, дължината на хипотенузата ще бъде 5 сантиметра. Между другото, древните египтяни са знаели за това преди около четири и половина хиляди години.

Двете останали страни, които образуват прав ъгъл, се наричат ​​катети. Освен това трябва да помним, че сборът от ъглите в триъгълник в правоъгълна координатна система е 180 градуса.

Определение

И накрая, със солидно разбиране на геометричната основа, можем да се обърнем към дефиницията на синус, косинус и тангенс на ъгъл.

Синусът на ъгъл е съотношението на противоположния катет (т.е. страната, противоположна на желания ъгъл) към хипотенузата. Косинусът на ъгъл е съотношението на съседния катет към хипотенузата.

Не забравяйте, че нито синус, нито косинус могат да бъдат по-големи от едно! Защо? Тъй като хипотенузата по подразбиране е най-дългата.Без значение колко дълъг е катетът, той ще бъде по-къс от хипотенузата, което означава, че тяхното отношение винаги ще бъде по-малко от едно. Така, ако получите синус или косинус със стойност, по-голяма от 1 в отговора на задачата, потърсете грешка в изчисленията или разсъжденията. Този отговор очевидно е грешен.

И накрая, тангенса на ъгъл е съотношението на срещуположната страна към съседната страна. Същият резултат ще даде разделянето на синуса на косинуса. Вижте: в съответствие с формулата разделяме дължината на страната на хипотенузата, след което разделяме на дължината на втората страна и умножаваме по хипотенузата. Така получаваме същото съотношение като в определението за тангенс.

Котангенсът, съответно, е отношението на страната, съседна на ъгъла, към противоположната страна. Получаваме същия резултат, като разделим единицата на тангенса.

И така, разгледахме определенията за това какво са синус, косинус, тангенс и котангенс и можем да се справим с формули.

Най-простите формули

В тригонометрията не може без формули - как да намерите синус, косинус, тангенс, котангенс без тях? И точно това се изисква при решаването на проблеми.

Първата формула, която трябва да знаете, когато започнете да изучавате тригонометрия, гласи, че сумата от квадратите на синуса и косинуса на ъгъл е равна на едно. Тази формула е пряко следствие от Питагоровата теорема, но спестява време, ако искате да знаете стойността на ъгъла, а не на страната.

Много ученици не могат да запомнят втората формула, която също е много популярна при решаването на училищни задачи: сумата от едно и квадрата на тангенса на ъгъл е равна на единица, разделена на квадрата на косинуса на ъгъла. Погледнете по-отблизо: в края на краищата това е същото твърдение като в първата формула, само че двете страни на тъждеството бяха разделени на квадрата на косинуса. Оказва се, че една проста математическа операция прави тригонометричната формула напълно неузнаваема. Запомнете: знаейки какво са синус, косинус, тангенс и котангенс, правилата за преобразуване и няколко основни формули, можете по всяко време независимо да извлечете необходимите по-сложни формули на лист хартия.

Формули за двоен ъгъл и добавяне на аргументи

Още две формули, които трябва да научите, са свързани със стойностите на синуса и косинуса за сбора и разликата на ъглите. Те са показани на фигурата по-долу. Моля, обърнете внимание, че в първия случай синусът и косинусът се умножават и двата пъти, а във втория се добавя произведението по двойки на синус и косинус.

Има и формули, свързани с аргументи с двоен ъгъл. Те са напълно извлечени от предишните - като практика, опитайте се да ги получите сами, като вземете ъгъла алфа равен на ъгъла бета.

И накрая, имайте предвид, че формулите за двоен ъгъл могат да се преобразуват, за да се намали степента на синус, косинус, тангенс алфа.

Теореми

Двете основни теореми в основната тригонометрия са синусовата теорема и косинусовата теорема. С помощта на тези теореми можете лесно да разберете как да намерите синуса, косинуса и тангенса, и следователно площта на фигурата и размера на всяка страна и т.н.

Синусовата теорема гласи, че в резултат на разделяне на дължината на всяка от страните на триъгълника на стойността на противоположния ъгъл, получаваме същото число. Освен това това число ще бъде равно на два радиуса на описаната окръжност, тоест окръжността, съдържаща всички точки на дадения триъгълник.

Косинусовата теорема обобщава Питагоровата теорема, проектирайки я върху всякакви триъгълници. Оказва се, че от сумата на квадратите на двете страни извадете техния продукт, умножен по двойния косинус на прилежащия към тях ъгъл - получената стойност ще бъде равна на квадрата на третата страна. Така Питагоровата теорема се оказва частен случай на косинусовата теорема.

Грешки поради невнимание

Дори да знаете какво са синус, косинус и тангенс, лесно е да направите грешка поради разсеяност или грешка в най-простите изчисления. За да избегнем подобни грешки, нека се запознаем с най-популярните от тях.

Първо, не трябва да преобразувате обикновени дроби в десетични, докато не получите крайния резултат - можете да оставите отговора като обикновена дроб, освен ако условието не гласи друго. Такава трансформация не може да се нарече грешка, но трябва да се помни, че на всеки етап от проблема могат да се появят нови корени, които според идеята на автора трябва да бъдат намалени. В този случай ще загубите време в ненужни математически операции. Това е особено вярно за стойности като корен от три или две, защото те се срещат в задачи на всяка стъпка. Същото важи и за закръгляването на "грозни" числа.

Освен това имайте предвид, че косинусовата теорема се прилага за всеки триъгълник, но не и за Питагоровата теорема! Ако погрешка забравите да извадите два пъти произведението на страните, умножено по косинуса на ъгъла между тях, не само ще получите напълно грешен резултат, но и ще демонстрирате пълно неразбиране на темата. Това е по-лошо от грешка по невнимание.

Трето, не бъркайте стойностите за ъгли от 30 и 60 градуса за синуси, косинуси, тангенси, котангенси. Запомнете тези стойности, защото синус от 30 градуса е равен на косинус от 60 и обратно. Лесно е да ги смесите, в резултат на което неизбежно ще получите грешен резултат.

Приложение

Много ученици не бързат да започнат да изучават тригонометрия, защото не разбират нейното приложно значение. Какво е синус, косинус, тангенс за инженер или астроном? Това са концепции, благодарение на които можете да изчислите разстоянието до далечни звезди, да предскажете падането на метеорит, да изпратите изследователска сонда на друга планета. Без тях е невъзможно да се построи сграда, да се проектира кола, да се изчисли натоварването на повърхността или траекторията на обект. И това са само най-очевидните примери! В крайна сметка тригонометрията под една или друга форма се използва навсякъде, от музиката до медицината.

Накрая

Така че вие ​​сте синус, косинус, тангенс. Можете да ги използвате в изчисления и да решавате успешно училищни задачи.

Цялата същност на тригонометрията се свежда до факта, че неизвестните параметри трябва да бъдат изчислени от известните параметри на триъгълника. Има общо шест параметъра: дължините на три страни и големините на три ъгъла. Цялата разлика в задачите се състои в това, че се дават различни входни данни.

Как да намерите синуса, косинуса, тангенса въз основа на известните дължини на краката или хипотенузата, вече знаете. Тъй като тези термини не означават нищо повече от съотношение, а съотношението е дроб, основната цел на тригонометричния проблем е да се намерят корените на обикновено уравнение или система от уравнения. И тук ще ви помогне обикновената училищна математика.

синуситеостър ъгъл α на правоъгълен триъгълник е отношението противоположносткатетър към хипотенузата.
Означава се по следния начин: sin α.

Косинусостър ъгъл α на правоъгълен триъгълник е отношението на прилежащия катет към хипотенузата.
Означава се по следния начин: cos α.

Допирателнаостър ъгъл α е съотношението на срещуположния крак към съседния крак.
Означава се по следния начин: tg α.

Котангенсостър ъгъл α е отношението на съседния крак към противоположния.
Означава се както следва: ctg α.

Синусът, косинусът, тангенсът и котангенсът на ъгъла зависят само от големината на ъгъла.

правила:

Основни тригонометрични идентичности в правоъгълен триъгълник:

(α - остър ъгъл срещу крака b и в съседство с крака а . отстрани с - хипотенуза. β - вторият остър ъгъл).

b sinα = - ° С	sin 2 α + cos 2 α = 1
а cosα = - ° С	1 1 + tg 2 α = -- cos 2 α
b tgα = - а	1 1 + ctg 2 α = -- sin2α
а ctgα = - b	1 1 1 + -- = -- tg 2 α sin 2 α
sinα tgα = -- cosα

С нарастването на острия ъгълsinα иtg α увеличение, иcos α намалява.

За всеки остър ъгъл α:

sin (90° - α) = cos α

cos (90° - α) = sin α

Обяснителен пример:

Пуснете правоъгълен триъгълник ABC
AB = 6,
BC = 3,
ъгъл A = 30º.

Намерете синуса на ъгъл A и косинуса на ъгъл B.

Решение .

1) Първо намираме стойността на ъгъл B. Тук всичко е просто: тъй като в правоъгълен триъгълник сумата от острите ъгли е 90º, тогава ъгъл B \u003d 60º:

B \u003d 90º - 30° = 60°.

2) Изчислете sin A. Знаем, че синусът е равен на отношението на срещуположния катет към хипотенузата. За ъгъл A противоположният катет е страната BC. Така:

пр. н. е. 3 1
грях А = -- = - = -
AB 6 2

3) Сега изчисляваме cos B. Знаем, че косинусът е равен на отношението на съседния катет към хипотенузата. За ъгъл B, съседният катет е същата страна BC. Това означава, че отново трябва да разделим BC на AB - тоест да извършим същите действия, както при изчисляване на синуса на ъгъл A:

пр. н. е. 3 1
cos B = -- = - = -
AB 6 2

Резултатът е:
sin A = cos B = 1/2.

sin 30º = cos 60º = 1/2.

От това следва, че в правоъгълен триъгълник синусът на един остър ъгъл е равен на косинуса на друг остър ъгъл - и обратно. Точно това означават нашите две формули:
sin (90° - α) = cos α
cos (90° - α) = sin α

Нека го проверим отново:

1) Нека α = 60º. Замествайки стойността на α във формулата за синус, получаваме:
sin (90º - 60º) = cos 60º.
sin 30º = cos 60º.

2) Нека α = 30º. Замествайки стойността на α във формулата за косинус, получаваме:
cos (90° - 30º) = sin 30º.
cos 60° = sin 30º.

(За повече информация относно тригонометрията вижте раздела Алгебра)

Инструкция

Триъгълникът се нарича правоъгълен, ако един от ъглите му е 90 градуса. Състои се от два катета и хипотенуза. Хипотенузата е най-дългата страна на този триъгълник. Лежи срещу прав ъгъл. Краката, съответно, се наричат ​​по-малките му страни. Те могат да бъдат еднакви помежду си или да имат различни размери. Равенство на краката, които работите с правоъгълен триъгълник. Красотата му е, че съчетава две фигури: правоъгълен и равнобедрен триъгълник. Ако краката не са равни, тогава триъгълникът е произволен и според основния закон: колкото по-голям е ъгълът, толкова повече се търкаля този, който лежи срещу него.

Има няколко начина да намерите хипотенузата по и ъгъл. Но преди да използвате един от тях, трябва да определите кой и ъгълът са известни. При даден ъгъл и крак, прилежащ към него, е по-лесно да се намери хипотенузата по косинуса на ъгъла. Косинусът на остър ъгъл (cos a) в правоъгълен триъгълник е отношението на съседния катет към хипотенузата. Това означава, че хипотенузата (c) ще бъде равна на отношението на съседния катет (b) към косинуса на ъгъла a (cos a). Това може да се запише по следния начин: cos a=b/c => c=b/cos a.

Ако са дадени ъгъл и противоположен катет, тогава трябва да се работи. Синусът на остър ъгъл (sin a) в правоъгълен триъгълник е отношението на срещуположния катет (a) към хипотенузата (c). Тук принципът е същият като в предишния пример, само синусът се взема вместо функцията косинус. sin a=a/c => c=a/sin a.

Можете също да използвате тригонометрична функция като . Но намирането на желаната стойност е малко по-сложно. Тангенсът на остър ъгъл (tg a) в правоъгълен триъгълник е отношението на срещуположния катет (a) към съседния (b). След като намерите и двата крака, приложете Питагоровата теорема (квадратът на хипотенузата е равен на сбора от квадратите на краката) и ще бъде намерен по-големият.

Забележка

Когато работите с Питагоровата теорема, не забравяйте, че имате работа със степен. След като намерите сумата от квадратите на краката, за да получите окончателния отговор, трябва да вземете корен квадратен.

източници:

• как да намерите катета и хипотенузата

Хипотенузата е страната в правоъгълен триъгълник, която е срещу ъгъла от 90 градуса. За да се изчисли дължината му, достатъчно е да се знае дължината на един от краката и стойността на един от острите ъгли на триъгълника.

Инструкция

При известен и остър прав ъгъл, тогава размерът на хипотенузата е съотношението на крака към / на този ъгъл, ако даденият ъгъл е противоположен / съседен на него:

h = C1(или C2)/sinα;

h = С1(или С2)/cosα.

Пример: Нека ABC е дадено с хипотенуза AB и C. Нека ъгъл B е 60 градуса и ъгъл A 30 градуса Дължината на катета BC е 8 см. Трябва ви дължината на хипотенузата AB. За да направите това, можете да използвате някой от методите, предложени по-горе:

AB=BC/cos60=8 cm.

AB = BC/sin30 = 8 cm.

дума " крак” произлиза от гръцките думи „перпендикулярен” или „вертикален” – това обяснява защо и двете страни на правоъгълен триъгълник, които образуват неговия ъгъл от деветдесет градуса, са наречени по този начин. Намерете дължината на който и да е от крак ov не е трудно, ако стойността на прилежащия към него ъгъл и всеки друг от параметрите са известни, тъй като в този случай стойностите на трите ъгъла действително ще станат известни.

Инструкция

Ако в допълнение към стойността на съседния ъгъл (β), дължината на втория крак a (b), след това дължината краки (a) може да се дефинира като частно от дължината на известното краки при известен ъгъл: a=b/tg(β). Това следва от дефиницията на тази тригонометрия. Можете да направите без допирателната, ако използвате теоремата. От това следва, че дължината на желания към синуса на противоположния ъгъл към съотношението на дължината на известния кракно към синуса на известен ъгъл. Обратно на желаното крак y остър ъгъл може да бъде изразен чрез известен ъгъл като 180°-90°-β = 90°-β, тъй като сборът от всички ъгли на всеки триъгълник трябва да бъде 180°, а един от неговите ъгли е равен на 90 °. Така желаната дължина краки може да се изчисли по формулата a=sin(90°-β)∗b/sin(β).

Ако големината на прилежащия ъгъл (β) и дължината на хипотенузата (c) са известни, тогава дължината краки (a) може да се изчисли като произведение от дължината на хипотенузата и косинуса на известния ъгъл: a=c∗cos(β). Това следва от дефиницията на косинус като тригонометрична функция. Но можете да използвате, както в предишната стъпка, синусовата теорема и след това дължината на желаното крак a ще бъде равно на произведението на синуса между 90° и известния ъгъл по отношението на дължината на хипотенузата към синуса на правия ъгъл. И тъй като синусът от 90° е равен на единица, може да се запише по следния начин: a=sin(90°-β)∗c.

Практическите изчисления могат да се извършват например с помощта на софтуерния калкулатор, включен в операционната система Windows. За да го стартирате, можете да изберете елемента "Run" в главното меню на бутона "Старт", въведете командата calc и щракнете върху бутона "OK". Най-простата версия на интерфейса на тази програма, която се отваря по подразбиране, не предоставя тригонометрични функции, следователно, след като го стартирате, трябва да щракнете върху секцията „Преглед“ в менюто и да изберете реда „Научни“ или „Инженерни“ (в зависимост от на версията на операционната система, която използвате).

Подобни видеа

Думата "катет" дойде на руски от гръцки. В точен превод това означава отвес, тоест перпендикулярно на повърхността на земята. В математиката краката се наричат ​​страни, които образуват прав ъгъл на правоъгълен триъгълник. Страната срещу този ъгъл се нарича хипотенуза. Терминът "крак" се използва и в архитектурата и заваръчната технология.

Начертайте правоъгълен триъгълник ACB. Обозначете катетите му a и b и означете хипотенузата му c. Всички страни и ъгли на правоъгълен триъгълник са определени помежду си. Съотношението на катета срещу един от острите ъгли към хипотенузата се нарича синус на този ъгъл. В този триъгълник sinCAB=a/c. Косинусът е отношението към хипотенузата на съседния катет, т.е. cosCAB=b/c. Обратните зависимости се наричат ​​секанс и косеканс.

Секансът на този ъгъл се получава чрез разделяне на хипотенузата на съседния катет, тоест secCAB=c/b. Оказва се реципрочната стойност на косинуса, т.е. може да се изрази по формулата secCAB=1/cosSAB.
Косекансът е равен на частното от деленето на хипотенузата на срещуположния катет и е реципрочната стойност на синуса. Може да се изчисли по формулата cosecCAB=1/sinCAB

Двата катета са взаимно свързани и котангенсни. В този случай допирателната ще бъде съотношението на страна a към страна b, тоест противоположният крак към съседния. Това съотношение може да се изрази с формулата tgCAB=a/b. Съответно, обратното съотношение ще бъде котангенс: ctgCAB=b/a.

Съотношението между размерите на хипотенузата и двата крака е определено от древногръцкия Питагор. Теоремата, неговото име, хората все още използват. Той казва, че квадратът на хипотенузата е равен на сбора от квадратите на краката, т.е. c2 \u003d a2 + b2. Съответно всеки катет ще бъде равен на корен квадратен от разликата между квадратите на хипотенузата и другия катет. Тази формула може да бъде записана като b=√(c2-a2).

Дължината на крака може да се изрази и чрез връзките, които познавате. Според теоремите за синусите и косинусите катетът е равен на произведението на хипотенузата и една от тези функции. Можете да го изразите и или котангенс. Кракът a може да бъде намерен например по формулата a \u003d b * tan CAB. По абсолютно същия начин, в зависимост от зададената допирателна или , се определя вторият катет.

В архитектурата се използва и терминът "крак". Прилага се върху йонийски капител и се отклонява през средата на гърба му. Това е, в този случай, с този член, перпендикулярът към дадената права.

В заваръчната технология има „крак на ъглова заварка“. Както и в други случаи, това е най-късото разстояние. Тук говорим за празнината между една от частите, които трябва да бъдат заварени, до границата на шева, разположен на повърхността на другата част.

Подобни видеа

източници:

• колко е катетът и хипотенузата през 2019 г

Започваме изучаването на тригонометрията с правоъгълен триъгълник. Нека дефинираме какво са синус и косинус, както и тангенс и котангенс на остър ъгъл. Това са основите на тригонометрията.

Спомнете си това прав ъгъле ъгъл, равен на 90 градуса. С други думи, половината от разгънатия ъгъл.

Остър ъгъл- по-малко от 90 градуса.

Тъп ъгъл- повече от 90 градуса. Във връзка с такъв ъгъл "тъп" не е обида, а математически термин :-)

Нека начертаем правоъгълен триъгълник. Обикновено се означава прав ъгъл. Имайте предвид, че страната срещу ъгъла е обозначена със същата буква, само малка. И така, страната, лежаща срещу ъгъла A, е означена.

Ъгълът се обозначава със съответната гръцка буква.

хипотенузаПравоъгълен триъгълник е страната срещу правия ъгъл.

Крака- страни срещу остри ъгли.

Кракът срещу ъгъла се нарича противоположност(спрямо ъгъла). Другият крак, който лежи от едната страна на ъгъла, се нарича съседен.

синуситеостър ъгъл в правоъгълен триъгълник е отношението на срещуположния катет към хипотенузата:

Косинусостър ъгъл в правоъгълен триъгълник - отношението на съседния крак към хипотенузата:

Допирателнаостър ъгъл в правоъгълен триъгълник - съотношението на противоположния крак към съседния:

Друго (еквивалентно) определение: тангенсът на остър ъгъл е съотношението на синуса на ъгъл към неговия косинус:

Котангенсостър ъгъл в правоъгълен триъгълник - съотношението на съседния крак към противоположния (или, еквивалентно, съотношението на косинус към синус):

Обърнете внимание на основните съотношения за синус, косинус, тангенс и котангенс, които са дадени по-долу. Те ще ни бъдат полезни при решаване на проблеми.

Нека докажем някои от тях.

Добре, дали сме дефиниции и сме написали формули. Но защо имаме нужда от синус, косинус, тангенс и котангенс?

Ние знаем това сумата от ъглите на всеки триъгълник е.

Знаем връзката между партииправоъгълен триъгълник. Това е Питагоровата теорема: .

Оказва се, че като знаете два ъгъла в триъгълник, можете да намерите третия. Познавайки две страни в правоъгълен триъгълник, можете да намерите третата. И така, за ъгли - тяхното съотношение, за страни - собствено. Но какво да направите, ако в правоъгълен триъгълник са известни един ъгъл (с изключение на прав) и една страна, но трябва да намерите други страни?

С това са се сблъсквали хората в миналото, правейки карти на района и звездното небе. В крайна сметка не винаги е възможно директно да се измерят всички страни на триъгълник.

Синус, косинус и тангенс - те също се наричат тригонометрични функции на ъгъла- дайте съотношението между партиии ъглитриъгълник. Познавайки ъгъла, можете да намерите всичките му тригонометрични функции, като използвате специални таблици. И като знаете синусите, косинусите и тангенсите на ъглите на триъгълник и една от страните му, можете да намерите останалите.

Ще начертаем също таблица със стойности на синус, косинус, тангенс и котангенс за "добри" ъгли от до.

Обърнете внимание на двете червени чертички в таблицата. За съответните стойности на ъглите тангенсът и котангенсът не съществуват.

Нека анализираме няколко задачи по тригонометрия от задачите на Bank of FIPI.

1. В триъгълник ъгълът е , . Намирам .

Проблемът се решава за четири секунди.

Тъй като , .

2. В триъгълник ъгълът е , , . Намирам .

Нека намерим по Питагоровата теорема.

Проблема решен.

Често в задачи има триъгълници с ъгли и или с ъгли и . Запомнете наизуст основните съотношения за тях!

За триъгълник с ъгли и катет срещу ъгъла при е равно на половината от хипотенузата.

Триъгълник с ъгли и е равнобедрен. При него хипотенузата е пъти по-голяма от катета.

Разгледахме задачи за решаване на правоъгълни триъгълници - тоест за намиране на неизвестни страни или ъгли. Но това не е всичко! Във вариантите на изпита по математика има много задачи, в които фигурира синус, косинус, тангенс или котангенс на външния ъгъл на триъгълника. Повече за това в следващата статия.

Понятията синус (), косинус (), тангенс (), котангенс () са неразривно свързани с понятието ъгъл. За да разберем добре тези, на пръв поглед, сложни понятия (които предизвикват състояние на ужас у много ученици) и за да се уверим, че „дяволът не е толкова страшен, колкото го рисуват“, нека започнем от самото начало и разбират концепцията за ъгъл.

Концепцията за ъгъл: радиан, градус

Нека погледнем снимката. Векторът се "обърна" спрямо точката с определена стойност. Така че мярката на това завъртане спрямо началната позиция ще бъде ъгъл.

Какво още трябва да знаете за понятието ъгъл? Е, ъглови единици, разбира се!

Ъгълът, както в геометрията, така и в тригонометрията, може да бъде измерен в градуси и радиани.

Ъгълът при (един градус) е централният ъгъл в окръжността, основан на кръгова дъга, равна на частта от окръжността. По този начин цялата окръжност се състои от "парчета" от кръгови дъги или ъгълът, описан от окръжността, е равен.

Тоест фигурата по-горе показва ъгъл, който е равен, тоест този ъгъл се основава на кръгова дъга с размера на обиколката.

Ъгъл в радиани се нарича централен ъгъл в окръжност, основан на окръжна дъга, чиято дължина е равна на радиуса на окръжността. Е, разбрахте ли? Ако не, тогава нека погледнем снимката.

И така, фигурата показва ъгъл, равен на радиан, тоест този ъгъл се основава на кръгова дъга, чиято дължина е равна на радиуса на окръжността (дължината е равна на дължината или радиусът е равен на дължината на дъгата). Така дължината на дъгата се изчислява по формулата:

Къде е централният ъгъл в радиани.

Е, като знаете това, можете ли да отговорите колко радиана съдържа ъгъл, описан от окръжност? Да, за това трябва да запомните формулата за обиколката на кръг. Ето я:

Е, сега нека съпоставим тези две формули и ще разберем, че ъгълът, описан от окръжността, е равен. Тоест, съпоставяйки стойността в градуси и радиани, получаваме това. Съответно,. Както можете да видите, за разлика от "градуси", думата "радиан" е пропусната, тъй като мерната единица обикновено е ясна от контекста.

Колко радиана са? Това е вярно!

Схванах го? След това затегнете напред:

Някакви трудности? Тогава погледнете отговори:

Правоъгълен триъгълник: синус, косинус, тангенс, котангенс на ъгъл

И така, с разбраната концепция за ъгъла. Но какво е синус, косинус, тангенс, котангенс на ъгъл? Нека да го разберем. За това ще ни помогне правоъгълен триъгълник.

Как се наричат ​​страните на правоъгълен триъгълник? Точно така, хипотенузата и краката: хипотенузата е страната, която лежи срещу правия ъгъл (в нашия пример това е страната); краката са двете останали страни и (тези, които са съседни на правия ъгъл), освен това, ако разгледаме краката по отношение на ъгъла, тогава катетът е съседният катет, а катетът е противоположният. И така, нека сега отговорим на въпроса: какво са синус, косинус, тангенс и котангенс на ъгъл?

Синус на ъгъле съотношението на противоположния (далечен) катет към хипотенузата.

в нашия триъгълник.

Косинус на ъгъл- това е отношението на съседния (близък) крак към хипотенузата.

в нашия триъгълник.

Ъглова допирателна- това е съотношението на противоположния (далечен) крак към съседния (близък).

в нашия триъгълник.

Котангенс на ъгъл- това е съотношението на съседния (близкия) крак към противоположния (далечния).

в нашия триъгълник.

Тези определения са необходими помня! За да улесните запомнянето кой крак на какво да разделите, трябва ясно да разберете това в допирателнаи котангенсседят само краката, а хипотенузата се появява само в синуситеи косинус. И тогава можете да измислите верига от асоциации. Например този:

косинус→докосване→докосване→съседно;

Котангенс→докосване→докосване→съседно.

Преди всичко е необходимо да запомните, че синусът, косинусът, тангенсът и котангенсът като съотношения на страните на триъгълника не зависят от дължините на тези страни (под един ъгъл). Не се доверявай? Тогава се уверете, като погледнете снимката:

Помислете, например, за косинуса на ъгъл. По дефиниция от триъгълник: , но можем да изчислим косинуса на ъгъл от триъгълник: . Виждате ли, дължините на страните са различни, но стойността на косинуса на един ъгъл е една и съща. По този начин стойностите на синус, косинус, тангенс и котангенс зависят единствено от големината на ъгъла.

Ако разбирате дефинициите, продължете напред и ги поправете!

За триъгълника, показан на фигурата по-долу, намираме.

Е, разбрахте ли? След това опитайте сами: изчислете същото за ъгъла.

Единична (тригонометрична) окръжност

Разбирайки концепциите за градуси и радиани, разгледахме кръг с радиус, равен на. Такъв кръг се нарича единичен. Той е много полезен при изучаването на тригонометрията. Затова се спираме на него малко по-подробно.

Както можете да видите, тази окръжност е построена в декартовата координатна система. Радиусът на окръжността е равен на единица, докато центърът на окръжността лежи в началото, началната позиция на радиус вектора е фиксирана по положителната посока на оста (в нашия пример това е радиусът).

Всяка точка от кръга съответства на две числа: координатата по оста и координатата по оста. Какви са тези координатни числа? И въобще какво общо имат те с разглежданата тема? За да направите това, помнете за разглеждания правоъгълен триъгълник. На фигурата по-горе можете да видите два цели правоъгълни триъгълника. Помислете за триъгълник. Тя е правоъгълна, защото е перпендикулярна на оста.

На какво е равно от триъгълник? Това е вярно. Освен това знаем, че това е радиусът на единичната окръжност и следователно, . Заместете тази стойност в нашата формула за косинус. Ето какво се случва:

И на какво е равно от триъгълник? Добре, разбира се, ! Заместете стойността на радиуса в тази формула и получете:

И така, можете ли да ми кажете какви са координатите на точка, която принадлежи на окръжността? Е, няма начин? И ако осъзнаете, че и са само числа? На коя координата отговаря? Е, разбира се, координатите! На коя координата отговаря? Точно така, координирайте! Така точката.

И какво тогава са равни и? Точно така, нека използваме подходящите определения за тангенс и котангенс и да получим това, а.

Ами ако ъгълът е по-голям? Ето, например, като на тази снимка:

Какво се е променило в този пример? Нека да го разберем. За да направите това, отново се обръщаме към правоъгълен триъгълник. Помислете за правоъгълен триъгълник: ъгъл (като съседен на ъгъл). Каква е стойността на синуса, косинуса, тангенса и котангенса на ъгъл? Точно така, ние се придържаме към съответните дефиниции на тригонометричните функции:

Е, както виждате, стойността на синуса на ъгъла все още съответства на координатата; стойността на косинуса на ъгъла - координатата; и стойностите на тангенса и котангенса към съответните съотношения. По този начин тези отношения са приложими за всякакви ротации на радиус вектора.

Вече беше споменато, че началната позиция на радиус вектора е по положителната посока на оста. Досега въртяхме този вектор обратно на часовниковата стрелка, но какво ще стане, ако го завъртим по посока на часовниковата стрелка? Нищо необичайно, ще получите и ъгъл с определена големина, но само той ще бъде отрицателен. По този начин, когато въртим радиус вектора обратно на часовниковата стрелка, получаваме положителни ъгли, а при въртене по часовниковата стрелка - отрицателен.

И така, ние знаем, че цяло завъртане на радиус вектора около окръжността е или. Възможно ли е радиус векторът да се завърти с или с? Е, разбира се, че можете! Следователно в първия случай радиус-векторът ще направи едно пълно завъртане и ще спре в позиция или.

Във втория случай, тоест радиус векторът ще направи три пълни завъртания и ще спре в позиция или.

Така от горните примери можем да заключим, че ъгли, които се различават с или (където е цяло число), съответстват на една и съща позиция на радиус вектора.

Фигурата по-долу показва ъгъл. Същото изображение съответства на ъгъла и т.н. Този списък може да бъде продължен за неопределено време. Всички тези ъгли могат да бъдат записани с общата формула или (където е цяло число)

Сега, знаейки дефинициите на основните тригонометрични функции и използвайки единичната окръжност, опитайте се да отговорите на какво са равни стойностите:

Ето единичен кръг, за да ви помогне:

Някакви трудности? Тогава нека го разберем. Значи знаем, че:

От тук определяме координатите на точките, съответстващи на определени мерки на ъгъла. Е, нека започнем по ред: ъгълът при съответства на точка с координати, следователно:

Не съществува;

Освен това, придържайки се към същата логика, откриваме, че ъглите в съответстват съответно на точки с координати. Знаейки това, е лесно да се определят стойностите на тригонометричните функции в съответните точки. Първо опитайте сами, след това проверете отговорите.

Отговори:

Не съществува

Не съществува

Не съществува

Не съществува

Така можем да направим следната таблица:

Няма нужда да помните всички тези стойности. Достатъчно е да запомните съответствието между координатите на точките на единичния кръг и стойностите на тригонометричните функции:

Но стойностите на тригонометричните функции на ъглите в и, дадени в таблицата по-долу, трябва да се помни:

Не се страхувайте, сега ще покажем един от примерите доста просто запаметяване на съответните стойности:

За да използвате този метод, е жизненоважно да запомните стойностите на синуса за всичките три мерки на ъгъла (), както и стойността на тангенса на ъгъла в. Познавайки тези стойности, е доста лесно да възстановите цялата таблица - стойностите на косинусите се прехвърлят в съответствие със стрелките, тоест:

Знаейки това, можете да възстановите стойностите за. Числителят „ “ ще съвпада, а знаменателят „ “ ще съвпада. Котангенсните стойности се прехвърлят в съответствие със стрелките, показани на фигурата. Ако разберете това и запомните диаграмата със стрелки, тогава ще бъде достатъчно да запомните цялата стойност от таблицата.

Координати на точка върху окръжност

Възможно ли е да се намери точка (нейните координати) върху окръжност, познаване на координатите на центъра на кръга, неговия радиус и ъгъл на въртене?

Е, разбира се, че можете! Да изведем обща формула за намиране на координатите на точка.

Ето, например, имаме такъв кръг:

Дадено ни е, че точката е центърът на окръжността. Радиусът на окръжността е равен. Необходимо е да се намерят координатите на точката, получена чрез завъртане на точката на градуси.

Както се вижда от фигурата, координатата на точката съответства на дължината на сегмента. Дължината на сегмента съответства на координатата на центъра на окръжността, тоест е равна на. Дължината на сегмент може да бъде изразена с помощта на определението за косинус:

Тогава имаме това за координатата на точката.

По същата логика намираме стойността на y координатата за точката. По този начин,

И така, най-общо казано, координатите на точките се определят по формулите:

Координати на центъра на кръга,

радиус на кръга,

Ъгъл на завъртане на радиус вектора.

Както можете да видите, за единичния кръг, който разглеждаме, тези формули са значително намалени, тъй като координатите на центъра са нула, а радиусът е равен на едно:

Е, нека опитаме тези формули за вкус, упражнявайки се да намираме точки върху окръжност?

1. Намерете координатите на точка върху единична окръжност, получена чрез завъртане на точка.

2. Намерете координатите на точка от единична окръжност, получена чрез завъртане на точка върху.

3. Намерете координатите на точка от единична окръжност, получена чрез завъртане на точка.

4. Точка - център на кръга. Радиусът на окръжността е равен. Необходимо е да се намерят координатите на точката, получена чрез завъртане на началния радиус-вектор с.

5. Точка - център на кръга. Радиусът на окръжността е равен. Необходимо е да се намерят координатите на точката, получена чрез завъртане на началния радиус-вектор с.

Имате проблеми с намирането на координатите на точка от окръжност?

Решете тези пет примера (или разберете добре решението) и ще научите как да ги намирате!

1.

Вижда се, че. И знаем какво съответства на пълен завой на началната точка. Така желаната точка ще бъде в същата позиция, както при завъртане. Знаейки това, намираме желаните координати на точката:

2. Окръжността е единица с център в точка, което означава, че можем да използваме опростени формули:

Вижда се, че. Знаем какво съответства на две пълни завъртания на началната точка. Така желаната точка ще бъде в същата позиция, както при завъртане. Знаейки това, намираме желаните координати на точката:

Синус и косинус са таблични стойности. Помним техните стойности и получаваме:

Така желаната точка има координати.

3. Окръжността е единица с център в точка, което означава, че можем да използваме опростени формули:

Вижда се, че. Нека изобразим разглеждания пример на фигурата:

Радиусът сключва ъгли с оста, равни на и. Знаейки, че табличните стойности на косинуса и синуса са равни и след като определихме, че косинусът тук приема отрицателна стойност, а синусът е положителен, имаме:

Подобни примери се анализират по-подробно при изучаване на формулите за намаляване на тригонометричните функции в темата.

Така желаната точка има координати.

4.

Ъгъл на въртене на радиус вектора (по условие)

За да определим съответните знаци на синус и косинус, изграждаме единична окръжност и ъгъл:

Както можете да видите, стойността е положителна, а стойността е отрицателна. Познавайки табличните стойности на съответните тригонометрични функции, получаваме, че:

Нека заместим получените стойности в нашата формула и намерим координатите:

Така желаната точка има координати.

5. За да разрешим този проблем, използваме формули в общ вид, където

Координатите на центъра на кръга (в нашия пример,

Радиус на окръжност (по условие)

Ъгъл на завъртане на радиус вектора (по условие).

Заменете всички стойности във формулата и получете:

и - таблични стойности. Запомняме ги и ги заместваме във формулата:

Така желаната точка има координати.

ОБОБЩЕНИЕ И ОСНОВНА ФОРМУЛА

Синусът на ъгъл е съотношението на противоположния (далечен) крак към хипотенузата.

Косинусът на ъгъл е съотношението на съседния (близък) крак към хипотенузата.

Тангенсът на ъгъл е съотношението на противоположния (далечен) крак към съседния (близък).

Котангенсът на ъгъл е съотношението на съседния (близкия) крак към противоположния (далечния).