Цей розподіл найчастіше використовується для дослідження інтенсивності відмов для періодів приробітку і старіння. На прикладі розподілу термінів служби ізоляції деяких елементів електричної мережі докладно розглянуті фізичні процеси, що призводять до старіння та відмови ізоляції та описуються розподілом Вейбулла.

Надійність найпоширеніших елементів електричних мереж, таких як силові трансформатори та кабельні лінії, значною мірою визначається надійністю роботи ізоляції, «міцність» якої змінюється протягом експлуатації. Основною характеристикою ізоляції електромеханічних виробів є її електрична міцність, яка в залежності від умов експлуатації та виду виробу визначається механічною міцністю, еластичністю, що виключає утворення залишкових деформацій, тріщин, розшарування під впливом механічних навантажень, тобто. неоднорідностей.

Однорідність та монолітність структури ізоляції та її висока теплопровідність виключають виникнення підвищених місцевих нагрівів, що неминуче призводять до збільшення ступеня неоднорідності електричної міцності. Руйнування ізоляції при функціонуванні елемента відбувається в основному в результаті нагрівання струмами навантажень та температурних впливів зовнішнього середовища.

Розглянувши два основних фактори (теплове старіння та механічне навантаження), що впливають на термін служби ізоляції, які до того ж тісно пов'язані між собою, можна зробити висновок, що як втомні явища в ізоляції, так і теплове її старіння значною мірою залежать від якості виготовлення і матеріалу електротехнічного виробу, від однорідності матеріалу ізоляції, що забезпечує відсутність місцевих нагрівань (оскільки важко припустити, що відмовить вся ізоляція, тобто пробою станеться по всій площі ізоляції).

Мікротрещипи, розшарування та інші неоднорідності матеріалу випадково розподілені щодо свого положення та своєї величини по всьому об'єму (площі) ізоляції. При дії змінних несприятливих умов як теплового, так і електродинамічного характеру неоднорідності матеріалу збільшуються: наприклад, мікротріщина поширюється в глиб ізоляції і при випадковому підвищенні напруги може викликати пробій ізоляції. Причиною відмови може бути невелика неоднорідність матеріалу.

Природно припустити, що кількість несприятливих впливів (теплових або електромеханічних), що викликають пробою ізоляції, є функція, що зменшується в залежності від розмірів неоднорідності. Це число мінімальне для найбільшої за розмірами неоднорідності (тріщини, розшарування та ін.).

Отже, кількість несприятливих впливів, що визначає термін служби ізоляції, має підпорядковуватися закону розподілу мінімальної випадкової величини із сукупності незалежних випадкових величин, що відповідають різним за розмірами неоднорідностям:

де Г і – час безвідмовної роботи всієї ізоляції; Г і, - час безвідмовної роботи /"-ї ділянки (/" = 1,2, д).

Отже, визначення закону розподілу часу безвідмовної роботи такого об'єкта, як ізоляція елемента електричної мережі, необхідно знайти закон розподілу мінімального часу безвідмовної роботи сукупності всіх ділянок. Найбільший інтерес представляє випадок, коли закони розподілу часу безвідмовної роботи окремих ділянок мають різний характер, але законів розподілу однаковий, тобто. різко виражених відмінностей у ділянок немає.

З позицій надійності ділянки такої системи відповідають послідовному з'єднанню. Функція розподілу часу безвідмовної роботи такої системи пділянок, з'єднаних послідовно:

Розглянемо загальний випадок, коли розподіл Р(г)має званий «поріг чутливості», тобто. елемент гарантовано не відмовить в інтервалі часу (0, /о) (у окремому випадку /о може дорівнювати 0). Очевидно, що функція Р(1ц +Д/) > 0 - завжди незнижена функція аргументу.

Для системи можна отримати асимптотичний закон розподілу часу безвідмовної роботи:

Якщо розподіл не має порога чутливості / 0, то закон розподілу матиме вигляд

де з- Деякий постійний коефіцієнт, з> 0; а – показник Вейбулла.

Цей закон називається розподілом Вейбулла.Він часто використовується при апроксимації розподілу часу безвідмовної роботи системи з кінцевим числом послідовно (з погляду надійності) з'єднаних елементів (протяжні кабельні лінії зі значним числом муфт та ін.).

Щільність розподілу часу безвідмовної роботи

При а = 1 густина розподілу перетворюється на звичайну показову функцію (рис. 3.3).

Для інтенсивності відмов при щільності розподілу згідно із законом Вейбулла отримаємо

Інтенсивність відмов для цього закону в залежності від параметра розподілу може зростати, залишатися постійною (показовий закон) і зменшуватися (рис. 3.4).

При а = 2 функція розподілу часу безвідмовної роботи збігається із законом Релея, а за а » 1 досить добре апроксимується нормальним законом розподілу на околиці середнього часу безвідмовної роботи.

Рис. 3.3.

Рис. 3.4.

Як видно із рис. 3.3 та 3.4, експоненційний закон розподілу є окремим випадком закону Вейбулла при а = 1 (А. = const).

Закон Вейбулла дуже зручний для обчислень, але вимагає емпіричного підбору параметрів А. і для наявної залежності А.(/).

Математичне очікування (середній час) безвідмовної роботи та дисперсія при розподілі за законом Вейбулла:

де Г(х) - гамма-функція, що визначається за таблицею Г(.г) (див. дод. 2); з- Деякий постійний коефіцієнт, що визначає ймовірність появи доелементарних пошкоджень на інтервалі часу (0, /)

Запитання 16. Закон розподілу Вейбулла

Закон розподілу Вейбулла - один із найпоширеніших у теорії надійності. Цьому закону слідують втомна довговічність виробів, напрацювання повністю невідновлюваних виробів. За допомогою розподілу Вейбулла можна описувати різноманітні причини відмов: втомні, раптові, поступові. Закону розподілу Вейбулла підпорядковуються відмови коробок швидкостей, бурових лебідок, забійних двигунів, тракторів.

Частота відмов виробу або щільність ймовірності часу безвідмовної роботи виробу

Інтенсивність відмов

Середній час безвідмовної роботи

де a, k – параметри закону розподілу Вейбулла;

Г(x) – гамма-функція, значення якої наведені в таблицях.

При k = 1 розподіл Вейбулла перетворюється на експоненційне;

При k = 2,5-3,5 – розподіл Вейбулла близький до нормального.

Питання 17. Експонентний (показовий) закон розподілу

Експоненційний закон розподілу є окремим випадком закону розподілу Вейбулла (k=1). Застосуємо до виробів, що пройшли попередній приробіток. Цей розподіл також використовується при аналізі раптових відмов бурових насосів, гірських машин.

Можливість безвідмовної роботи виробу на інтервалі часу від 0 до t

Можливість відмови виробу на інтервалі часу від 0 до t

Диференційна функція або щільність ймовірності експоненційного розподілу

Інтенсивність відмов

Математичне очікування при експонентному розподілі

Запитання лекції:

Вступ

Моделі надійності технічних систем

Закони розподілу часу безвідмовної роботи

Вступ

Кількісні методи дослідження технічних об'єктів, особливо на етапах їх проектування та створення, завжди вимагають побудови математичних моделей процесів та явищ. Під математичною моделлю зазвичай розуміють взаємопов'язану сукупність аналітичних та логічних виразів, а також початкові та граничні умови, що відображають із певним наближенням реальні процеси функціонування об'єкта. Математична модель – це інформаційний аналог натурного об'єкта, за допомогою якого можна отримати знання про проект, що створюється. Вважають, що здатність виробляти передбачення є визначальною властивістю моделі. Все це повною мірою стосується математичних моделей надійності.

Під математичною моделлю надійності розуміється така аналітично представлена ​​система, яка дає повну інформацію про надійність об'єкта. При побудові моделі процес зміни надійності певним чином спрощується, схематизується. З великої кількості факторів, що діють на натурний об'єкт, виділяються основні, зміна яких може викликати помітні зміни надійності. Зв'язки між складовими частинами системи можуть бути представлені аналітичними залежностями також із певними наближеннями. У результаті висновки, одержувані з урахуванням дослідження моделі надійності об'єкта, містять деяку невизначеність.

Чим вдалі підібрана модель, чим краще вона відображає характерні особливості функціонування об'єкта, тим точніше буде оцінено його надійність та отримано обґрунтовані рекомендації для ухвалення рішення.

1. Моделі надійності технічних систем

Нині склалися загальні принципи побудови математичних моделей надійності. Модель будується лише певного об'єкта, чи точніше групи однотипних об'єктів з урахуванням особливостей їх майбутньої експлуатації. Вона повинна задовольняти такі вимоги:

Модель повинна враховувати максимальну кількість факторів, які впливають на надійність об'єкта;

Модель має бути досить простою, щоб з використанням типових обчислювальних засобів отримувати вихідні показники надійності залежно від зміни вхідних факторів.

Суперечливість цих вимог не дозволяє повністю формалізувати побудову моделей, що робить процес створення моделей певною мірою творчим.

Існує багато класифікацій моделей надійності, одна з яких представлена ​​на рис.11.

Рис.1. Класифікація моделей надійності

Як випливає з рис.1, всі моделі можна розділити на великі групи: моделі надійності об'єктів і моделі елементів. Моделі надійності елементів мають більше фізичного змісту і конкретизовані для елементів певної конструкції. У цих моделях використовують характеристики міцності матеріалів, враховуються навантаження, що діють на конструкцію, розглядається вплив умов експлуатації на роботу елементів. При дослідженні цих моделей набувають формалізованого опису процесів виникнення відмов залежно від виділених факторів.

Моделі надійності об'єктів створюються для формалізованого опису з позицій надійності процесу їхнього функціонування як процесу взаємодії елементів, що становлять даний об'єкт. У такій моделі взаємодія елементів здійснюється лише через найістотніші зв'язки, що впливають на загальну надійність об'єкта.

Розрізняють моделі надійності об'єктів параметричні та моделі у термінах відмов елементів. Параметричні моделі містять функції випадкових параметрів елементів, що дозволяє отримати на виході моделі потрібний показник надійності об'єкта. У свою чергу параметри елементів можуть бути функціями часу напрацювання об'єкта.

Моделі, створювані термінах відмов елементів, найбільш формалізовані і є основними під час аналізу надійності складних технічних систем. Необхідною умовою створення таких моделей є чітке опис ознак відмов кожного елемента системи. Модель відбиває вплив відмови окремого елемента на надійність системи.

За принципами реалізації моделей вони різняться на аналітичні, статистичні та комбіновані (інакше функціонально – статистичні).

Аналітичні моделі містять аналітичні залежності між параметрами, що характеризують надійність системи, та вихідним показником надійності. Для отримання таких залежностей доводиться обмежувати кількість значимих факторів та значно спрощувати фізичну картину процесу зміни надійності. У результаті аналітичні моделі можуть з достатньою точністю описувати лише порівняно прості завдання зміни показників надійності систем. З ускладненням системи та збільшенням кількості факторів, що впливають на надійність, на перший план виходять статистичні моделі.

Метод статистичного моделювання дозволяє вирішувати багатовимірні завдання великої складності за короткий час та з прийнятною точністю. З розвитком обчислювальної техніки можливості цього розширюються.

Ще більші можливості має комбінований метод, який передбачає створення функціонально – статистичних моделей. У таких моделях для елементів створюються аналітичні моделі, а система загалом моделюється у статистичному режимі.

Вибір тієї чи іншої математичної моделі залежить від цілей дослідження надійності об'єкта, від наявності вихідної інформації про надійність елементів, від знання всіх факторів, що впливають на зміну надійності, від підготовленості аналітичного апарату для опису процесів накопичення пошкоджень та виникнення відмов та багатьох інших причин. Зрештою вибір моделі здійснює дослідник.

Цей розподіл найчастіше використовується для дослідження інтенсивності відмов для періодів опрацювання та старіння.

Надійність найбільш поширених елементів електричних мереж, таких як силові трансформатори, КЛ, значною мірою визначається надійністю роботи ізоляції, «міцність» якої змінюється протягом експлуатації. Міцність ізоляції в залежності від умов експлуатації та виду виробу визначається механічною міцністю, еластичністю, що виключає можливості утворення залишкових деформацій, тріщин, розшарування під впливом механічних навантажень, тобто неоднорідностей.

Однорідність та монолітність структури ізоляції та її висока теплопровідність виключають виникнення підвищених місцевих нагрівів, що неминуче призводять до збільшення ступеня неоднорідності електричної міцності. Руйнування ізоляції при функціонуванні елемента відбувається в основному в результаті нагрівання струмами навантажень та температурних впливів зовнішнього середовища. Механічні навантаження (вібрації, деформації, удари та ін) також призводять до руйнування ізоляції.

Серед перерахованих факторів, що визначають термін служби ізоляції зазначених елементів електричних мереж, одним з основних факторів є теплове старіння.На підставі експериментальних досліджень було отримано відоме «восьмиградусне» правило, згідно з яким підвищення температури ізоляції, виконаної на органічній основі, на кожні вісім градусів у середньому вдвічі скорочується термін служби ізоляції. В даний час в залежності від класу застосовуваної ізоляції використовуються шести-, восьми-, десяти-і дванадцятиградусне правила.

Термін служби ізоляції в залежності від температури нагрівання:

Tі = Ае-γς, (5.43)

де А -термін служби ізоляції при ς = 0 - деяка умовна величина;

γ- коефіцієнт, що характеризує рівень старіння ізоляції залежно від класу;

- температура перегріву ізоляції.

Іншим важливим фактором, що викликає інтенсивне старіння ізоляції, є обумовлена ​​електричними процесами при різких змінах струму, наприклад, при різко змінному навантаженні силового трансформатора, накидах і скиданнях навантаження, наскрізних струмах КЗ. Механічні характеристики міцності ізоляції також залежить від температури. Межа механічної міцності ізоляції швидко знижується в міру її нагрівання, але в той же час вона стає більш еластичною.

При дії змінних несприятливих умов неоднорідності матеріалу збільшуються, наприклад, мікротріщина поширюється в глиб ізоляції і при випадковому підвищенні напруги може викликати пробою ізоляції. Причиною відмови може бути невелика неоднорідність матеріалу.

Число несприятливих впливів (теплових або електромеханічних), що викликають пробою ізоляції, є функція, що зменшується в залежності від розмірів неоднорідності. Це число мінімальне для найбільшої за розмірами неоднорідності (тріщини, розшарування та ін.). Т.ч., кількість несприятливих впливів, або термін служби ізоляції, має підпорядковуватися закону розподілу мінімального числа з числа незалежних СВ – чисел несприятливих впливів, що відповідають різним за розмірами неоднорідностям, тобто якщо Ті – час безвідмовної роботи всієї ізоляції, а Тіi - час безвідмовної роботи i-ї ділянки (i = 1, 2,..., n), то:

Tі = min ( Tі1, Tі 2,…, Tіn). (5.44)

Отже, визначення закону розподілу часу безвідмовної роботи такого об'єкта, як ізоляція елемента електричної мережі, необхідно знайти можливість розподілу мінімальних часів безвідмовної роботи сукупності всіх ділянок. Причому найбільший інтерес представляє випадок, коли закони розподілу часу безвідмовної роботи окремих ділянок мають довільний характер, але вид законів розподілу однаковий, тобто різко виражених ділянок, що відрізняються, немає.

У сенсі надійності ділянки такої системи відповідають послідовному з'єднанню. Тому функція розподілу часу безвідмовної роботи такої системи:

q c (t) = 1 - n. (5.45)

Далі математичними перетвореннями виводиться формула, коли він основним параметром є «поріг чутливості», т. е. елемент гарантовано не відмовить у інтервалі часу (0, t0) (у разі t0 = 0). Якщо розподіл немає порога чутливості t0 , то закон розподілу називається розподілом Вейбулла:

де з > 0 – деякий постійний коефіцієнт;

α – параметра розподілу.

Цей закон розподілу досить часто використовується при апроксимації розподілу часу безвідмовної роботи систем з кінцевим числом послідовно (в сенсі надійності) з'єднаних елементів (довгі КЛ зі значним числом муфт та ін.).

Щільність розподілу:

(5.47)

При α = 1 щільність розподілу перетворюється на звичайну показову функцію (див. рис. 5.12).

Рисунок 5.12 - Диференційна функція розподілу часу безвідмовної роботи ізоляції згідно із законом

Вейбулла

Малюнок 5.13 - Інтенсивність відмов при

розподіл за законом Вейбулла

Інтенсивність відмов при розподілі густини за законом Вейбулла (див. малюнок 5.13):

λ(t) = αctα-1. (5.48)

Інтенсивність відмов цього закону залежно від параметра розподілу може зростати, залишатися постійної (показовий закон) і зменшуватися.

Як видно з малюнків 5.12 та 5.13 експоненційний закон розподілу є окремим випадком закону Вейбулла при α = 1 (λ = const). При α = 2 функція розподілу часу безвідмовної роботи збігається із законом Релея, при α »1 досить добре апроксимується нормальним законом розподілу на околиці середнього часу безвідмовної роботи.

При відповідному доборі параметра α можна за допомогою закону Вейбулла описувати надійність і старіючих елементів (період старіння та зносу), у яких λ(t) зростає, та надійність елементів, що мають приховані дефекти (період приробітку), у яких λ(t) зменшується з часом.

Математичне очікування (середній час) безвідмовної роботи та дисперсія при розподілі за законом Вейбулла:

Tі.ср = Г(1+1/α) c-1/α, (5.49)

Д(Tі) = c-2/α [Г(1+2/α) – Г2(1+1/α)]. (5.50)

де Г( х) - Гамма-функція .

Експлуатація виробів за ресурсом є доцільною лише в тому випадку, якщо надійність виробу залежить від його напрацювання. Такі вироби становлять лише 5% від усіх встановлених літаком. Тому, оскільки аналіз MSG-3 дозволяє визначити, які роботи з ТО повинні бути включені до початкового переліку важливих об'єктів MSI, і як вони повинні виконуватися, необхідний інструмент, який допоможе відповісти на ці питання.

Після накопичення достатнього досвіду, початкові інтервали можуть бути змінені як для конкретного оператора, так і для всіх експлуатантів через ревізію звіту MRB. Для того, щоб обґрунтувати зміну інтервалу, необхідні інструменти.

Таким інструментом є аналіз надійності. Найбільш ефективний і широко використовуваний метод – аналіз надійності за розподілом Вейбулла.

Розподіл Вейбулла, названий на честь шведського інженера Валодді Вейбулла (Waloddi Weibull, 1887-1979 рр.), що ввів цей розподіл у практику аналізу результатів випробувань втоми, широко використовується для дослідження надійності елементів технічних систем. У Росії її цей розподіл пов'язують з ім'ям відомого російського математика Бориса Володимировича Гнеденка (1912-1995 рр.), який одержав його як граничного щодо максимального з результатів випробувань. технічне обслуговування авіаційний ремонт

Досвід експлуатації технічних систем та його елементів показує, що їм характерні три виду залежностей інтенсивності відмов л від часу t, відповідних трьом періодам життєвого циклу цих пристроїв (рис. 18.).

Рис. 18.

Зазначені три види залежностей інтенсивності відмов від часу можна отримати, використовуючи для ймовірнісного опису випадкового напрацювання повністю розподіл Вейбулла - Гніденко. Відповідно до цього розподілу залежність для щільності ймовірності моменту відмови f (t) має вигляд:

де c - параметр форми розподілу, > 0;

b – параметр масштабу розподілу, b > 0;

і - параметр положення розподілу;< t.

Інтенсивність відмов л(t), що підпорядковуються розподілу Вейбулла – Гніденка, визначається виразом:

При параметрі форми розподілу c< 1 интенсивность отказов л(t) монотонно убывает (период приработки), при с = 1 интенсивность отказов постоянна: л(t) = const (период нормальной работы), а при с >1 – монотонно зростає (період зносу). Отже, шляхом підбору параметра на кожному з трьох періодів життєвого циклу можна отримати таку теоретичну залежність л(t), яка досить близько збігається з експериментальною. І тут розрахунок показників надійності можна проводити з урахуванням теоретичної залежності л(t).

Функція розподілу Вейбулла - Гнеденко F(t), що показує ймовірність настання випадкової події (відмови) при випадковому часі

Функція надійності, що зазвичай позначається як R(t), визначається рівністю R(t) = 1 - F(t). Іноді функція R(t) називається функцією виживання, т.к. описує можливість, що відмова відбудеться після певного моменту часу t.

На рис. 19. показаний вид функцій надійності за різних значеннях параметра форми с. Якщо параметр форми розподілу менше 1, то функція надійності R(t) різко зменшується на початку часу життя, потім, зі зростанням часу t, зменшення відбувається більш повільно. Якщо параметр форми більше 1, то спочатку спостерігається невелике зменшення надійності, а потім, починаючи з деякого значення часу t, вона знижується досить швидко.

Рис. 19.

Точка, де всі криві перетинаються, називається характерним часом життя і визначає момент часу, коли відмовило 63,2% вибірки: R(t) = 1 - 0,632 = 0,368.

В авіації розподіл Вейбулла використовується для розрахунку об'єктів:

• - Диски двигуна, з обмеженим ресурсом;
• - модулі двигуна та компоненти (з межею експлуатації);
• - елементи планера, схильні до втомного руйнування;
• - Надійність компонентів.

Розподіл описує всі три основні розподіли відмов:

• - Відмови приробітку;
• - Випадкові відмови;
• - Відмови, що залежать від напрацювання.

Тут необхідне застереження. Припустимо, що за MGS-3 аналізу відмова не була віднесена ні до категорії 5 (небезпечна), ні до 8 (прихована, небезпечна), а об'єкт має випадковий розподіл відмов або відмови періоду приробітку. Тоді ми маємо підстави стверджувати, що роботи з ТО у разі не потрібні, більше, об'єкт можна викреслити зі списку важливих об'єктів для ТО.

Якщо відмови залежать від напрацювання, аналіз по Вейбуллу допоможе визначити найбільш відповідний інтервал.

Тому необхідно дуже уважно підійти до визначення залежності відмов виробів від напрацювання.

Таким чином, програма ТО B737 може постійно вдосконалюватись на основі аналітичних та емпіричних даних, що надаються засобами збору та аналізу даних про надійність.