Вступ

Логарифми були придумані для прискорення та спрощення обчислень. Ідея логарифму, т. е. ідея висловлювати числа як ступеня однієї й тієї ж підстави, належить Михайлу Штифелю. Але за часів Штифеля математика була настільки розвинена і ідея логарифму не знайшла свого розвитку. Логарифми були винайдені пізніше одночасно і незалежно один від одного шотландським ученим Джоном Непером (1550-1617) і швейцарцем Іобст Бюрги (1552-1632) Першим опублікував роботу Непер в 1614г. під назвою "Опис дивовижної таблиці логарифмів", теорія логарифмів Непера була дана в досить повному обсязі, спосіб обчислення логарифмів дано найбільш простий, тому заслуги Непера у винаході логарифмів більше, ніж у Бюрги. Бюргі працював над таблицями одночасно з Непером, але довгий час тримав їх у секреті та опублікував лише у 1620р. Ідеєю логарифму Непер опанував около1594г. хоча таблиці опублікував через 20 років. Спочатку він називав свої логарифми "штучними числами" і вже потім запропонував ці "штучні числа" називати одним словом "логарифм", який у перекладі з грецької- "співвіднесені числа", взяті одне з арифметичної прогресії, а інше зі спеціально підібраної до неї геометричної прогресу. Перші таблиці російською були видані в1703г. за участю чудового педагога 18 ст. Л. Ф. Магницького. У розвитку теорії логарифмів велике значення мали роботи петербурзького академіка Леонарда Ейлера. Він першим став розглядати логарифмування як дію, зворотне зведенню в ступінь, він увів у вживання терміни «основа логарифму» і «мантіса» Брігс склав таблиці логарифмів з основою 10. . Тому десяткові логарифми іноді називають бригсовими. Термін «характеристика» запровадив Брігс.

У ті далекі часи, коли мудреці вперше почали замислюватися про рівність, що містять невідомі величини, напевно, ще не було ні монет, ні гаманців. Зате були купи, а також горщики, кошики, які чудово підходили на роль схованок-сховищ, що вміщають невідому кількість предметів. У стародавніх математичних завданнях Межиріччя, Індії, Китаю, Греції невідомі величини виражали кількість павичів у саду, кількість бугаїв у стаді, сукупність речей, що враховуються при розподілі майна. Добре навчені науці рахунки переписувачі, чиновники та посвячені в таємні знання жерці досить успішно справлялися з такими завданнями.

Джерела, що дійшли до нас, свідчать, що древні вчені володіли якимись загальними прийомами вирішення завдань з невідомими величинами. Однак в жодному папірусі, в жодній глиняній табличці не дано опису цих прийомів. Автори лише зрідка постачали свої числові викладки скупими коментарями типу: "Дивись!", "Роби так!", "Ти правильно знайшов". У цьому сенсі винятком є ​​"Арифметика" грецького математика Діофанта Олександрійського (III ст.) - Збір завдань на складання рівнянь із систематичним викладом їх рішень.

Однак першим керівництвом з вирішення завдань, що набуло широкої популярності, стала праця багдадського вченого IX ст. Мухаммеда бен Муси аль-Хорезмі. Слово "аль-джебр" з арабської назви цього трактату - "Кітаб аль-джебер валь-мукабала" ("Книга про відновлення і протиставлення") - згодом перетворилося на добре знайоме всім слово "алгебра", а сам твір аль-Хорезмі послужив відправною точкою у становленні науки про розв'язання рівнянь.

Логарифмічні рівняння та нерівності

1. Логарифмічні рівняння

Рівняння, що містить невідоме під знаком логарифму або на його підставі, називається логарифмічним рівнянням.

Найпростішим логарифмічним рівнянням є рівняння виду

log a x = b . (1)

Твердження 1. Якщо a > 0, a≠ 1, рівняння (1) за будь-якого дійсного bмає єдине рішення x = a b .

Приклад 1. Розв'язати рівняння:

a) log 2 x= 3; b) log 3 x= -1, c)

Рішення. Використовуючи затвердження 1, отримаємо a) x= 2 3 або x= 8; b) x= 3 -1 або x= 1/3; c)

або x = 1.

Наведемо основні властивості логарифму.

Р1. Основна логарифмічна тотожність:

де a > 0, a≠ 1 та b > 0.

Р2. Логарифм добутку позитивних співмножників дорівнює сумі логарифмів цих співмножників:

log a N 1 · N 2 = log a N 1 + log a N 2 (a > 0, a ≠ 1, N 1 > 0, N 2 > 0).

Зауваження. Якщо N 1 · N 2 > 0, тоді властивість P2 набуде вигляду

log a N 1 · N 2 = log a |N 1 | + log a |N 2 | (a > 0, a ≠ 1, N 1 · N 2 > 0).

Р3. Логарифм приватного двох позитивних чисел дорівнює різниці логарифмів ділимого та дільника

(a > 0, a ≠ 1, N 1 > 0, N 2 > 0).

Зауваження. Якщо

, (що рівносильно N 1 N 2 > 0) тоді властивість P3 набуде вигляду (a > 0, a ≠ 1, N 1 N 2 > 0).

P4. Логарифм ступеня позитивного числа дорівнює добутку показника ступеня логарифм цього числа:

log a N k = k log a N (a > 0, a ≠ 1, N > 0).

Зауваження. Якщо k- парне число ( k = 2s), то

log a N 2s = 2s log a |N | (a > 0, a ≠ 1, N ≠ 0).

P5. Формула переходу до іншої основи:

(a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1, N > 0),

зокрема, якщо N = b, отримаємо

(a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1). (2)

Використовуючи властивості P4 та P5, легко отримати наступні властивості

(a > 0, a ≠ 1, b > 0, c ≠ 0), (3) (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c ≠ 0), (4) (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c ≠ 0), (5)

і, якщо (5) c- парне число ( c = 2n), має місце

(b > 0, a ≠ 0, |a | ≠ 1). (6)

Перерахуємо основні властивості логарифмічної функції f (x) = log a x :

1. Область визначення логарифмічної функції є множиною позитивних чисел.

2. Область значень логарифмічної функції – безліч дійсних чисел.

3. При a> 1 логарифмічна функція строго зростає (0< x 1 < x 2 log a x 1 < loga x 2), а при 0< a < 1, - строго убывает (0 < x 1 < x 2 log a x 1 > log a x 2).

4. log a 1 = 0 та log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1).

5. Якщо a> 1, то логарифмічна функція негативна при x(0;1) і позитивна при x(1;+∞), а якщо 0< a < 1, то логарифмическая функция положительна при x (0;1) і негативна при x (1;+∞).

6. Якщо a> 1, то логарифмічна функція опукла вгору, і якщо a(0;1) - опукла вниз.

Наступні твердження (див., наприклад,) використовуються при вирішенні логарифмічних рівнянь.

Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.

Збір та використання персональної інформації

Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.

Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.

Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.

Яку персональну інформацію ми збираємо:

• Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, електронну адресу і т.д.

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

• Персональна інформація, що збирається нами, дозволяє нам зв'язуватися з вами і повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інші заходи та найближчі події.
• Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
• Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних досліджень з метою покращення послуг, що надаються нами, та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
• Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

Винятки:

• Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, у судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органів на території РФ - розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно чи доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, або інших суспільно важливих випадків.
• У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.

Захист персональної інформації

Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.

Логарифмічні нерівності

На попередніх уроках ми з вами познайомилися з логарифмічними рівняннями, і тепер знаємо, що це таке і як їх вирішувати. А сьогоднішній урок буде присвячено вивченню логарифмічних нерівностей. Що ж це за такі нерівності та у чому різниця між розв'язанням логарифмічного рівняння та нерівності?

Логарифмічні нерівності - це нерівності, які мають змінну, що стоїть під знаком логарифму або на його підставі.

Або ж, можна ще сказати, що логарифмічна нерівність – це така нерівність, в якій її невідома величина, як і в логарифмічному рівнянні, стоятиме під знаком логарифму.

Найпростіші логарифмічні нерівності мають такий вигляд:

де f(x) та g(x) є деякими виразами, які залежать від x.

Давайте це розглянемо такий приклад: f(x)=1+2x+x2, g(x)=3x−1.

Розв'язання логарифмічних нерівностей

Перед розв'язанням логарифмічних нерівностей варто зазначити, що вони при вирішенні мають схожість з показовими нерівностями, а саме:

По-перше, при переході від логарифмів до виразів, що стоять під знаком логарифму, нам також необхідно порівняти основу логарифму з одиницею;

По-друге, вирішуючи логарифмічну нерівність, використовуючи заміну змінних, нам необхідно вирішувати нерівності щодо заміни до того моменту, поки ми не отримаємо найпростішу нерівність.

Але це ми з вами розглянули подібні моменти розв'язання логарифмічних нерівностей. А зараз звернемо увагу на досить істотну відмінність. Нам з вами відомо, що логарифмічна функція має обмежену область визначення, тому переходячи від логарифмів до виразів, що стоять під знаком логарифму, потрібно брати до уваги область допустимих значень (ОДЗ).

Тобто слід враховувати, що, вирішуючи логарифмічне рівняння ми з вами, можемо спочатку знаходити коріння рівняння, а потім робити перевірку цього рішення. А ось вирішити логарифмічну нерівність так не вийде, оскільки, переходячи від логарифмів до виразів, що стоять під знаком логарифму, необхідно буде записувати ОДЗ нерівності.

До того ж варто запам'ятати, що теорія нерівностей складається з дійсних чисел, якими є позитивні та негативні числа, і навіть число 0.

Наприклад, коли число «а» є позитивним, необхідно використовувати такий запис: a >0. У цьому випадку, як сума, так і добуток цих чисел також будуть позитивними.

Основним принципом розв'язання нерівності є його заміна на простішу нерівність, але головне, щоб вона була рівносильна цьому. Далі, також ми здобули нерівність і знову її замінили на ту, яка має більш простий вигляд і т.д.

Вирішуючи нерівності зі змінною необхідно шукати всі її рішення. Якщо дві нерівності мають одну змінну х, такі нерівності рівносильні, за умови, що й рішення збігаються.

Виконуючи завдання на розв'язання логарифмічних нерівностей, слід запам'ятати, що коли a > 1, то логарифмічна функція зростає, а коли 0< a < 1, то такая функция имеет свойство убывать. Эти свойства вам будут необходимы при решении логарифмических неравенств, поэтому вы их должны хорошо знать и помнить.

Способи розв'язання логарифмічних нерівностей

Зараз розглянемо деякі способи, які мають місце під час вирішення логарифмічних нерівностей. Для кращого розуміння та засвоєння, спробуємо у них розібратися на конкретних прикладах.

Нам з вами відомо, що найпростіша логарифмічна нерівність має такий вигляд:

У цій нерівності V є одним з таких знаків нерівності, як:<,>, ≤ або ≥.

Коли основа даного логарифму більше одиниці (a>1), здійснюючи перехід від логарифмів до виразів, що стоять під знаком логарифму, то в цьому варіанті знак нерівності зберігається, і нерівність матиме такий вигляд:

що рівносильно такій системі:

У разі ж, коли основа логарифму більша за нуль і менше одиниці (0

Це рівносильно даній системі:

Подивимося ще приклади вирішення найпростіших логарифмічних нерівностей, наведених на малюнку нижче:

Рішення прикладів

Завдання.Давайте спробуємо вирішити таку ось нерівність:

Вирішення області допустимих значень.

Тепер спробуємо помножити його праву частину на:

Дивимося, що в нас вийде:

Тепер, давайте з вами перейдемо до перетворення підлогарифмічних виразів. У зв'язку з тим, що основа логарифму 0< 1/4 <1, то от сюда следует, что знак неравенства изменится на противоположный:

3x - 8> 16;
3x > 24;
х > 8.

А з цього випливає, що інтервал, який ми отримали, повністю належить ОДЗ і є вирішенням такої нерівності.

Ось яка відповідь у нас вийшла:

Що необхідно для вирішення логарифмічних нерівностей?

А тепер спробуємо проаналізувати, що нам необхідно для успішного вирішення логарифмічних нерівностей?

По-перше, зосередити всю свою увагу і постаратися не допускати помилок при виконанні перетворень, які дано в цій нерівності. Також слід запам'ятати, що при вирішенні таких нерівностей потрібно не допускати розширень та звужень ОДЗ нерівності, які можуть призвести до втрати або придбання сторонніх рішень.

По-друге, при розв'язанні логарифмічних нерівностей необхідно навчитися мислити логічно та розуміти різницю між такими поняттями, як система нерівностей та сукупність нерівностей, щоб ви без проблем змогли здійснювати відбір розв'язків нерівності, при цьому керуючись її ОДЗ.

По-третє, для успішного розв'язання таких нерівностей кожен з вас повинен добре знати всі властивості елементарних функцій і чітко розуміти їх зміст. До таких функцій відносяться не лише логарифмічні, а й раціональні, статечні, тригонометричні і т.д., одним словом, усі ті, які ви вивчали протягом шкільного навчання алгебри.

Як бачите, вивчивши тему про логарифмічні нерівності, у вирішенні цих нерівностей немає нічого складного за умови, якщо ви будете уважні та наполегливі у досягненні поставленої мети. Щоб у вирішенні нерівностей не виникало жодних проблем, потрібно якнайбільше тренуватися, вирішуючи різні завдання і при цьому запам'ятовувати основні способи вирішення таких нерівностей та їх систем. При невдалих рішеннях логарифмічних нерівностей слід уважно проаналізувати свої помилки, щоб у майбутньому не повертатися до них знову.

Домашнє завдання

Для кращого засвоєння теми та закріплення пройденого матеріалу вирішіть наступні нерівності:

З ними перебувають усередині логарифмів.

Приклади:

\(\log_3⁡x≥\log_3⁡9\)
\(\log_3⁡ ((x^2-3))< \log_3⁡{(2x)}\)
\(\log_(x+1)⁡((x^2+3x-7))>2\)
\(\lg^2⁡((x+1))+10≤11 \lg⁡((x+1))\)

Як вирішувати логарифмічні нерівності:

Будь-яка логарифмічна нерівність потрібно прагнути привести до вигляду \(\log_a⁡(f(x)) ˅ \log_a(⁡g(x))\) (символ \(˅\) означає будь-який з ). Такий вид дозволяє позбутися логарифмів та їх підстав, зробивши перехід до нерівності виразів під логарифмами, тобто до виду (f(x) ˅ g(x)).

Але при виконанні цього переходу є одна дуже важлива тонкість:
\(-\) якщо - число і воно більше 1 - знак нерівності при переході залишається таким,
\(-\) якщо основа - число більше 0, але менше 1 (лежить між нулем та одиницею), то знак нерівності повинен змінюватися на протилежний, тобто.

Приклади:

\(\log_2⁡((8-x))<1\) ОДЗ: \(8-x>0\) \(-x>-8\) \(x<8\) Рішення: \(\log\)\(_2\) \((8-x)<\log\)\(_2\) \({2}\) \(8-x\)\(<\) \(2\) \(8-2\(x>6\) Відповідь: ((6; 8))

\(\log\)\(_(0,5⁡)\) \((2x-4)\)≥\(\log\)\(_(0,5)\) ⁡\(((x+ 1))\) ОДЗ: \(\begin(cases)2x-4>0\\x+1 > 0\end(cases)\) \(\begin(cases)2x>4\\x > -1\end(cases)\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)x>2\x > -1\end(cases) \) \(\Leftrightarrow\) \(x\in(2;\infty)\) Рішення: \(2x-4\)\(≤\) \(x+1\) \(2x-x≤4+1\) \(x≤5\) Відповідь: \((2;5]\)

Дуже важливо!У будь-якій нерівності перехід від виду \(\log_a(⁡f(x)) ˅ \log_a⁡(g(x))\) до порівняння виразів під логарифмами можна робити тільки якщо:

приклад . Розв'язати нерівність: \(\log\)\(≤-1\)

Рішення:

\(\log\) \(_(\frac(1)(3))⁡(\frac(3x-2)(2x-3))\)\(≤-1\)	Випишемо ОДЗ.
ОДЗ: \(\frac(3x-2)(2x-3)\) \(>0\)
\(⁡\frac(3x-2-3(2x-3))(2x-3)\)\(≥\) \(0\)	Розкриваємо дужки, наводимо .
\(⁡\frac(-3x+7)(2x-3)\) \(≥\) \(0\)	Помножуємо нерівність на (-1), не забувши при цьому перевернути знак порівняння.
\(⁡\frac(3x-7)(2x-3)\) \(≤\) \(0\)
\(⁡\frac(3(x-\frac(7)(3)))(2(x-\frac(3)(2)))\)\(≤\) \(0\)	Побудуємо числову вісь і відзначимо на ній точки \(\frac(7)(3)\) і \(\frac(3)(2)\). Зверніть увагу, точка із знаменника – виколота, незважаючи на те, що нерівність не сувора. Справа в тому, що ця точка не буде рішенням, тому що при підстановці в нерівність призведе нас до поділу на нуль.
\(x∈(\)\(\frac(3)(2)\) \(;\)\(\frac(7)(3)]\)	Тепер на ту ж числову вісь наносимо ОДЗ і записуємо у відповідь проміжок, який потрапляє в ОДЗ.
	Записуємо остаточну відповідь.

Відповідь: \(x∈(\)\(\frac(3)(2)\) \(;\)\(\frac(7)(3)]\)

приклад . Вирішити нерівність: \(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)

Рішення:

\(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)	Випишемо ОДЗ.
ОДЗ: \(x>0\)	Приступимо до вирішення.
Рішення: \(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)	Перед нами типова квадратно-логарифмічна нерівність. Робимо.
\(t=\log_3⁡x\) \(t^2-t-2>0\)	Розкладаємо ліву частину нерівності на .
\(D=1+8=9\) \(t_1= \frac(1+3)(2)=2\) \(t_2=\frac(1-3)(2)=-1\) \((t+1)(t-2)>0\)
	Тепер потрібно повернутись до вихідної змінної – ікса. Для цього перейдемо до , Що має таке ж рішення, і зробимо зворотну заміну.
\(\left[ \begin(gathered) t>2 \\ t<-1 \end{gathered} \right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left[ \begin{gathered} \log_3⁡x>2 \\ \log_3⁡x<-1 \end{gathered} \right.\)	Перетворюємо \(2=\log_3⁡9\), \(-1=\log_3⁡\frac(1)(3)\).
\(\left[ \begin(gathered) \log_3⁡x>\log_39 \\ \log_3⁡x<\log_3\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\)	Робимо перехід до порівняння аргументів. Підстави у логарифмів більше (1), тому знак нерівностей не змінюється.
\(\left[ \begin(gathered) x>9 \\ x<\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\)	Поєднаємо рішення нерівності та ОДЗ на одному малюнку.
	Запишемо відповідь.

Відповідь: \((0; \frac(1)(3))∪(9;∞)\)

ЛОГАРИФМІЧНІ НЕРІВНОСТІ В ЄДІ

Сєчін Михайло Олександрович

Мала академія наук учнівської молоді РК «Шукач»

МБОУ «Радянська ЗОШ №1», 11 клас, смт. Радянський Радянського району

Гунько Людмила Дмитрівна, вчитель МБОУ «Радянська ЗОШ №1»

Радянського району

Мета роботи:дослідження механізму розв'язання логарифмічних нерівностей С3 за допомогою нестандартних методів; виявлення цікавих фактів логарифму.

Предмет дослідження:

3) Навчитися вирішувати конкретні логарифмічні нерівності С3 з допомогою нестандартних методів.

Результати:

Зміст

Введение………………………………………………………………………….4

Глава 1. Історія питання……………………………………………………...5

Глава 2. Збірник логарифмічних нерівностей ………………………… 7

2.1. Рівносильні переходи та узагальнений метод інтервалів…………… 7

2.2. Метод раціоналізації ………………………………………………… 15

2.3. Нестандартна підстановка……………….......................................... ..... 22

2.4. Завдання з пастками…………………………………………………… 27

Заключение…………………………………………………………………… 30

Література……………………………………………………………………. 31

Вступ

Я навчаюсь в 11 класі і планую вступити до ВНЗ, де профільним предметом є математика. А тому багато працюю із завданнями частини С. У завданні С3 потрібно вирішити нестандартну нерівність або систему нерівностей, як правило, пов'язану з логарифмами. Під час підготовки до іспиту я зіткнувся з проблемою дефіциту методів і прийомів розв'язання екзаменаційних логарифмічних нерівностей, пропонованих С3. Методи, які вивчаються у шкільній програмі з цієї теми, не дають бази для вирішення завдань С3. Вчитель з математики запропонувала мені попрацювати із завданнями С3 самостійно під її керівництвом. Крім цього, мене зацікавило питання: а у житті нашому зустрічаються логарифми?

З огляду на це і була обрана тема:

«Логарифмічні нерівності в ЄДІ»

Мета роботи:дослідження механізму розв'язання задач С3 за допомогою нестандартних методів; виявлення цікавих фактів логарифму.

Предмет дослідження:

1) Знайти необхідні відомості про нестандартні методи розв'язання логарифмічних нерівностей.

2) Знайти додаткові відомості про логарифми.

3) Навчитися вирішувати конкретні завдання С3 з допомогою нестандартних методів.

Результати:

Практична значимість полягає у розширенні апарату для вирішення задач С3. Даний матеріал можна буде використовувати на деяких уроках для проведення гуртків, факультативних занять з математики.

Проектним продуктом стане збірка "Логарифмічні нерівності С3 з рішеннями".

Розділ 1. Історія питання

Протягом 16 століття швидко зростала кількість наближених обчислень насамперед в астрономії. Удосконалення інструментів, дослідження планетних рухів та інші роботи вимагали колосальних, іноді багаторічних розрахунків. Астрономії загрожувала реальна небезпека потонути у невиконаних розрахунках. Проблеми виникали й інших областях, наприклад, у страховому справі потрібні були таблиці складних відсотків щодо різноманітних значень відсотка. Головну складність становили множення, розподіл багатозначних чисел, особливо тригонометричних величин.

Відкриття логарифмів спиралося добре відомі до кінця 16 століття властивості прогресій. Про зв'язок між членами геометричної прогресії q, q2, q3, ... та арифметичною прогресією їх показників 1, 2, 3,... говорив ще в "Псалміті" Архімед. Іншою причиною було поширення поняття ступеня на негативні та дробові показники. Багато авторів вказували, що множення, поділу, зведення в ступінь і вилучення кореня в геометричній прогресії відповідають в арифметичній - в тому ж порядку - додавання, віднімання, множення та поділ.

Тут ховалася ідея логарифму як показника ступеня.

В історії розвитку вчення про логарифми пройшло кілька етапів.

1 етап

Логарифми були винайдені не пізніше 1594 незалежно один від одного шотландським бароном Непером (1550-1617) і через десять років швейцарським механіком Бюрги (1552-1632). Обидва хотіли дати новий зручний засіб арифметичних обчислень, хоча вони підійшли до цього завдання по-різному. Непер кінематично висловив логарифмічну функцію і тим самим вступив у нову область теорії функції. Бюргі залишився на ґрунті розгляду дискретних прогресій. Втім, визначення логарифму в обох не схоже на сучасне. Термін "логарифм" (logarithmus) належить Неперу. Він виник із поєднання грецьких слів: logos - "відношення" і ariqmo - "число", яке означало "число відносин". Спочатку Непер користувався іншим терміном: numeri artificiales - "штучні числа", на противагу numeri naturalts - "числам природним".

У 1615 році в бесіді з професором математики Грешем Коледжу в Лондоні Генрі Брігсом (1561-1631) Непер запропонував прийняти за логарифм одиниці нуль, а за логарифм десяти - 100, або, що зводиться до того ж, просто 1. Так з'явилися десяткові логарифи було надруковано перші логарифмічні таблиці. Пізніше таблиці Брігса доповнив голландський книготорговець та аматор математики Андріан Флакк (1600-1667). Непер і Брігс, хоча прийшли до логарифм раніше за всіх, опублікували свої таблиці пізніше за інших - в 1620 році. Знаки log та Log були введені у 1624 році І. Кеплером. Термін "натуральний логарифм" запровадили Менголі в 1659 р. і за ним М. Меркатор в 1668 р., а видав таблиці натуральних логарифмів чисел від 1 до 1000 під назвою "Нові логарифми" лондонський вчитель Джон Спейдел.

Російською мовою перші логарифмічні таблиці було видано 1703 року. Але у всіх логарифмічних таблицях були допущені помилки під час обчислення. Перші безпомилкові таблиці вийшли 1857 року у Берліні у обробці німецького математика До. Бремикера (1804-1877).

2 етап

Подальший розвиток теорії логарифмів пов'язаний з ширшим застосуванням аналітичної геометрії та обчислення нескінченно малих. На той час відноситься встановлення зв'язку між квадратурою рівносторонньої гіперболи та натуральним логарифмом. Теорія логарифмів цього періоду пов'язана з іменами цілого ряду математиків.

Німецький математик, астроном та інженер Ніколаус Меркатор у творі

"Логарифмотехніка" (1668) наводить ряд, що дає розкладання ln(x+1)

ступеням х:

Цей вираз точно відповідає ходу його думки, хоча він, звичайно, користувався не знаками d, ... , а більш громіздкою символікою. З відкриттям логарифмічного ряду змінилася техніка обчислення логарифмів: вони почали визначатися з допомогою нескінченних рядів. У своїх лекціях "Елементарна математика з вищої точки зору", прочитаних у 1907-1908 роках, Ф. Клейн запропонував використовувати формулу як вихідний пункт побудови теорії логарифмів.

3 етап

Визначення логарифмічної функції як зворотної функції

показовою, логарифма як показника ступеня даної основи

було сформульовано не відразу. Твір Леонарда Ейлера (1707-1783)

"Введення в аналіз нескінченно малих" (1748) послужило подальшому

розвитку теорії логарифмічної функції Таким чином,

пройшло 134 роки з того часу, як логарифми вперше були введені

(вважаючи з 1614 р.), перш ніж математики дійшли визначення

поняття логарифму, яке покладено тепер основою шкільного курсу.

Глава 2. Збірник логарифмічних нерівностей

2.1. Рівносильні переходи та узагальнений метод інтервалів.

Рівносильні переходи

якщо а > 1

якщо 0 < а < 1

Узагальнений метод інтервалів

Цей спосіб найбільш універсальний під час вирішення нерівностей практично будь-якого типу. Схема рішення виглядає так:

1. Привести нерівність до такого виду, де у лівій частині знаходиться функція
, а правої 0.

2. Знайти область визначення функції
.

3. Знайти нулі функції
тобто вирішити рівняння
(а розв'язувати рівняння зазвичай простіше, ніж розв'язувати нерівність).

4. Зобразити на числовій прямій область визначення та нулі функції.

5. Визначити знаки функції
на одержаних інтервалах.

6. Вибрати інтервали, де функція набирає необхідних значень, і записати відповідь.

приклад 1.

Рішення:

Застосуємо метод інтервалів

звідки

При цих значеннях усі вирази, що стоять під знаками логарифмів, є позитивними.

Відповідь:

приклад 2.

Рішення:

1-й спосіб . ОДЗ визначається нерівністю x> 3. Логарифмуючи за таких xна підставі 10, отримуємо

Остання нерівність можна було вирішувати, застосовуючи правила розкладання, тобто. порівнюючи з нулем співмножники. Однак у даному випадку легко визначити інтервали знаковості функції

тому можна застосувати метод інтервалів.

Функція f(x) = 2x(x- 3,5)lgǀ x- 3ǀ безперервна при x> 3 і звертається в нуль у точках x 1 = 0, x 2 = 3,5, x 3 = 2, x 4 = 4. Таким чином, визначаємо інтервали знаковості функції f(x):

Відповідь:

2-й спосіб . Застосуємо безпосередньо до нерівності ідеї методу інтервалів.

Для цього нагадаємо, що вирази a b - a c і ( a - 1)(b– 1) мають один знак. Тоді наша нерівність при x> 3 рівносильно нерівності

або

Остання нерівність вирішується методом інтервалів

Відповідь:

приклад 3.

Рішення:

Застосуємо метод інтервалів

Відповідь:

приклад 4.

Рішення:

Так як 2 x 2 - 3x+ 3 > 0 за всіх дійсних x, то

Для вирішення другої нерівності скористаємося методом інтервалів

У першій нерівності зробимо заміну

тоді приходимо до нерівності 2y 2 - y - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те y, які задовольняють нерівності -0,5< y < 1.

Звідки, оскільки

отримуємо нерівність

яке виконується за тих x, для яких 2 x 2 - 3x - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов

Тепер з урахуванням вирішення другої нерівності системи остаточно отримуємо

Відповідь:

Приклад 5.

Рішення:

Нерівність рівносильна сукупності систем

або

Застосуємо метод інтервалів або

Відповідь:

Приклад 6.

Рішення:

Нерівність рівносильна системі

Нехай

тоді y > 0,

і перша нерівність

системи набуває вигляду

або, розкладаючи

квадратний тричлен на множники,

Застосовуючи до останньої нерівності метод інтервалів,

бачимо, що його рішеннями, що задовольняють умову y> 0 будуть усі y > 4.

Таким чином вихідна нерівність еквівалентна системі:

Отже, рішеннями нерівності є всі

2.2. Метод раціоналізації.

Раніше методом раціоналізації нерівності не вирішували, її не знали. Це "новий сучасний ефективний метод розв'язання показових та логарифмічних нерівностей" (цитата з книжки Колесникової С.І.)
І навіть якщо педагог його знав, була побоювання - а чи знає його експерт ЄДІ, а чому в школі його не дають? Були ситуації, коли вчитель говорив учневі: "Де взяв? Сідай – 2."
Нині метод повсюдно просувається. І для експертів є методичні вказівки, пов'язані з цим методом, і в "Найповніших виданнях типових варіантів..." у рішенні С3 використовується цей метод.
МЕТОД ЧУДОВИЙ!

«Чарівна таблиця»

В інших джерелах

якщо a >1 і b >1, log a b >0 і (a -1)(b -1)>0;

якщо a >1 та 0

якщо 0<a<1 и b >1, то log a b<0 и (a -1)(b -1)<0;

якщо 0<a<1 и 00 та (a -1)(b -1)>0.

Проведені міркування нескладні, але помітно спрощують розв'язання логарифмічних нерівностей.

приклад 4.

log x (x 2 -3)<0

Рішення:

Приклад 5.

log 2 x (2x 2 -4x +6)≤log 2 x (x 2 +x )

Рішення:

Відповідь. (0; 0,5) U.

Приклад 6.

Для розв'язання цієї нерівності замість знаменника запишемо (х-1-1)(х-1), а замість чисельника - твір (х-1)(х-3-9+х).

Відповідь : (3;6)

Приклад 7.

Приклад 8.

2.3. Нестандартне підстановлення.

приклад 1.

приклад 2.

приклад 3.

приклад 4.

Приклад 5.

Приклад 6.

Приклад 7.

log 4 (3 x -1)log 0,25

Зробимо заміну у = 3 х -1; тоді ця нерівність набуде вигляду

Log 4 log 0,25
.

Так як log 0,25 = -log 4 = -(log 4 y -log 4 16)=2-log 4 y , то перепишемо останню нерівність у вигляді 2log 4 y -log 4 2 y ≤.

Зробимо заміну t = log 4 y і отримаємо нерівність t 2 -2t +≥0, розв'язком якої є проміжки - .

Таким чином, для знаходження значень маємо сукупність двох найпростіших нерівностей
Вирішення цієї сукупності є проміжками 0<у≤2 и 8≤у<+.

Отже, вихідна нерівність рівносильна сукупності двох показових нерівностей,
тобто сукупності

Рішенням першої нерівності цієї сукупності є проміжок 0<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+. Таким чином, вихідна нерівність виконується для всіх значень х із проміжків 0<х≤1 и 2≤х<+.

Приклад 8.

Рішення:

Нерівність рівносильна системі

Рішенням другої нерівності, що визначає ОДЗ, буде безліч тих x,

для яких x > 0.

Для вирішення першої нерівності зробимо заміну

Тоді отримуємо нерівність

або

Безліч рішень останньої нерівності перебуває методом

інтервалів: -1< t < 2. Откуда, возвращаясь к переменной x, отримуємо

або

Безліч тих x, які задовольняють останню нерівність

належить ОДЗ ( x> 0), отже, є рішенням системи,

отже, і вихідної нерівності.

Відповідь:

2.4. Завдання з пастки.

приклад 1.

.

Рішення.ОДЗ нерівності є всі х, які задовольняють умові 0 . Отже, всі х із проміжку 0

приклад 2.

log 2 (2 x +1-x 2)> log 2 (2 x-1 +1-x) +1.. ? Справа в тому, що друге число з очевидністю більше ніж

Висновок

Було непросто визначити з великої кількості різних навчальних джерел спеціальні способи вирішення завдань С3. У ході виконаної роботи мені вдалося вивчити нестандартні методи розв'язання складних логарифмічних нерівностей. Це: рівносильні переходи та узагальнений метод інтервалів, метод раціоналізації , нестандартна підстановка , завдання з пастками на ОДЗ. У шкільній програмі ці методи відсутні.

Різними методами вирішив 27 нерівностей, пропонованих на ЄДІ у частині З, саме С3. Ці нерівності з рішеннями за методами стали основою збірки «Логарифмічні нерівності С3 з рішеннями», яка стала проектним продуктом моєї діяльності. Гіпотеза, поставлена ​​мною на початку проекту, підтвердилася: завдання С3 можна ефективно вирішувати, знаючи ці методи.

Крім того, я виявив цікаві факти логарифмів. Мені це було цікаво робити. Мої проектні продукти будуть корисними як для учнів, так і для вчителів.

Висновки:

Таким чином, поставленої мети проекту досягнуто, проблему вирішено. А я отримав найбільш повний та різнобічний досвід проектної діяльності на всіх етапах роботи. У ході роботи над проектом у мене основний вплив, що розвивається, було надано на розумову компетентність, діяльність, пов'язану з логічними розумовими операціями, розвиток творчої компетентності, особистої ініціативи, відповідальності, наполегливості, активності.

Гарантією успіху при створенні дослідницького проекту для мене стали: значний шкільний досвід, вміння здобувати інформацію з різних джерел, перевіряти її достовірність, ранжувати її за значимістю.

Окрім безпосередньо предметних знань з математики, розширив свої практичні навички в галузі інформатики, отримав нові знання та досвід у галузі психології, налагодив контакти з однокласниками, навчився співпрацювати з дорослими людьми. У ході проектної діяльності розвивалися організаційні, інтелектуальні та комунікативні загальнонавчальні вміння та навички.

Література

1. Корянов А. Г., Прокоф'єв А. А. Системи нерівностей з однією змінною (типові завдання С3).

2. Малкова А. Г. Підготовка до ЄДІ з математики.

3. Самарова С. С. Вирішення логарифмічних нерівностей.

4. Математика. Збірник тренувальних робіт за редакцією А.Л. Семенова та І.В. Ященко. -М: МЦНМО, 2009. - 72 с.-