Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.

Збір та використання персональної інформації

Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.

Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.

Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.

Яку персональну інформацію ми збираємо:

• Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, електронну адресу і т.д.

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

• Персональна інформація, що збирається нами, дозволяє нам зв'язуватися з вами і повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інші заходи та найближчі події.
• Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
• Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних досліджень з метою покращення послуг, що надаються нами, та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
• Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

Винятки:

• Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, у судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органів на території РФ - розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно чи доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, або інших суспільно важливих випадків.
• У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.

Захист персональної інформації

Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.

Усічений конус виходить, якщо від конуса відсікти менший конус площиною, паралельною до основи (рис. 8.10). У усіченому конусі дві основи: "нижня" - основа вихідного конуса - і "верхня" - основа конуса, що відсікається.По теоремі про переріз конуса - основи усіченого конуса подібні.

Висотою зрізаного конуса називається перпендикуляр, опущений з точки однієї основи на площину іншого. Усі такі перпендикуляри дорівнюють (див. п. 3.5). Висотою називають також їх довжину, тобто відстань між площинами основ.

Усічений конус обертання виходить із конуса обертання (рис. 8.11). Тому його основи і всі паралельні їм його перерізи – кола з центрами на одній прямій – на осі. Усічений конус обертання виходить обертанням прямокутної трапеції навколо її бічної сторони, перпендикулярної основ, або обертанням

рівнобедреної трапеції навколо осі симетрії (рис. 8.12).

Бічна поверхня зрізаного конуса обертання

Це частина бічної поверхні конуса обертання, з якого він отриманий. Поверхня зрізаного конуса обертання (або його повна поверхня) складається з його основ та його бічної поверхні.

8.5. Зображення конусів обертання та усічених конусів обертання.

Прямий круговий конус малюють так. Спочатку малюють еліпс, що зображує коло основи (рис. 8.13). Потім знаходять центр основи - точку Про вертикально проводять відрізок РВ, який зображує висоту конуса. З точки Р проводять до еліпсу дотичні (опорні) прямі (практично це роблять на око, прикладаючи лінійку) і виділяють відрізки РА та РВ цих прямих від точки Р до точок дотику А та В. Зверніть увагу, що відрізок АВ – це не діаметр основи конуса, а трикутник АРВ – не осьовий перетин конуса. Осьовий переріз конуса – це трикутник АРС: відрізок АС проходить через точку О. Невидимі лінії малюють штрихами; відрізок ОР часто не малюють, а лише подумки намічають, щоб зобразити вершину конуса Р над центром підстави - точкою Про.

Зображуючи зрізаний конус обертання, зручно намалювати спочатку той конус, з якого виходить зрізаний конус (рис. 8.14).

8.6. Конічні перерізи. Ми вже говорили, що бічну поверхню циліндра обертання площину перетинає еліпсом (п. 6.4). Також і переріз бічної поверхні конуса обертання площиною, що не перетинає його основу, є еліпсом (рис. 8.15). Тому еліпс називається конічним перетином.

До конічних перерізів відносяться й інші добре відомі криві – гіперболи та параболи. Розглянемо необмежений конус, що утворюється при продовженні бічної поверхні конуса обертання (рис. 8.16). Перетнемо його площиною а, що не проходить через вершину. Якщо ж перетинає всі утворюючі конуси, то в перерізі, як уже сказано, отримуємо еліпс (рис. 8.15).

Повертаючи площину ОС, можна домогтися того, щоб вона перетинала всі конуса К, що утворюють, крім однієї (який ОС паралельна). Тоді у перерізі отримаємо параболу (рис. 8.17). Нарешті, обертаючи площину ОС далі, переведемо її в таке положення, що а, перетинаючи частину утворюючих конуса К, не перетинає вже безліч інших його утворюючих і паралельна двом з них (рис. 8.18). Тоді в перерізі конуса К з площиною а отримуємо криву, яку називають гіперболою (точніше, одну її "гілка"). Так, гіпербола, яка є графіком функції окремий випадок гіперболи - рівнобічна гіпербола, подібно до того як коло є окремим випадком еліпса.

Будь-які гіперболи можна отримати з рівнобічних за допомогою проектування, аналогічно тому, як еліпс виходить паралельним проектуванням кола.

Щоб отримати обидві гілки гіперболи, треба взяти перетин конуса, що має дві "порожнини", тобто конуса, утвореного не променями, а прямими, що містять утворюють бічній поверхні конуса обертання (рис. 8.19).

Конічні перерізи вивчали ще давньогрецькі геометри, та його теорія була однією з вершин античної геометрії. Найбільш повне дослідження конічних перерізів у давнину було проведено Аполлонієм Пергським (III ст. до н.е.).

Є ряд важливих властивостей, що поєднують в один клас еліпси, гіперболи та параболи. Наприклад, ними вичерпуються "невироджені", тобто не зводяться до точки, прямої або пари прямих, криві, які задаються на площині в декартових координатах рівняннями виду

Конічні перерізи відіграють важливу роль у природі: по еліптичних, параболічних та гіперболічних орбіт рухаються тіла в полі тяжіння (згадайте закони Кеплера). Чудові властивості конічних перерізів часто використовуються в науці та техніці, наприклад, при виготовленні деяких оптичних приладів або прожекторів (поверхня дзеркала в прожекторі виходить обертанням дуги параболи навколо осі параболи). Конічні перерізи можна спостерігати як межі тіні від круглих абажурів (рис. 8.20).

Отримане об'єднання всіх променів, що виходять з однієї точки ( вершиниконуса) та проходять через плоску поверхню. Іноді конусом називають частину такого тіла, отриману об'єднанням усіх відрізків, що з'єднують вершину та точки плоскої поверхні (останню в такому випадку називають основоюконуса, а конус називають що спираєтьсяна цю підставу). Далі розглядатиметься саме цей випадок, якщо не обговорено протилежне. Якщо основа конуса є багатокутником, конус стає пірамідою.

"== Пов'язані визначення ==

• Відрізок, що з'єднує вершину та межу основи, називається утворює конуса.
• Об'єднання утворюють конуса називається утворює(або бічний) поверхнею конуса. Утворююча поверхня конуса є конічною поверхнею.
• Відрізок, опущений перпендикулярно з вершини на площину основи (а також довжина такого відрізка), називається висотою конуса.
• Якщо основа конуса має центр симетрії (наприклад, є колом або еліпсом) та ортогональна проекція вершини конуса на площину основи збігається з цим центром, то конус називається прямим. При цьому пряма, що з'єднує вершину та центр основи, називається віссю конуса.
• Косий (похилий) конус - конус, у якого ортогональна проекція вершини на основу не збігається з його центром симетрії.
• Круговий конус- Конус, основа якого є колом.
• Прямий круговий конус(часто його називають просто конусом) можна отримати обертанням прямокутного трикутника навколо прямої, що містить катет (ця пряма є вісь конуса).
• Конус, що спирається на еліпс, параболу або гіперболу, називають відповідно еліптичним, параболічнимі гіперболічним конусом(Останні два мають нескінченний обсяг).
• Частина конуса, що лежить між основою і площиною, паралельною основі і між вершиною і основою, називається усіченим конусом.

Властивості

• Якщо площа основи кінцева, то об'єм конуса також кінцевий і дорівнює третині висоти на площу основи. Таким чином, всі конуси, що спираються на дану основу і мають вершину, що знаходиться на даній площині, паралельній основі, мають рівний обсяг, оскільки їх висоти дорівнюють.
• Центр тяжкості будь-якого конуса з кінцевим об'ємом лежить на чверті висоти від основи.
• Тілесний кут при вершині прямого кругового конуса дорівнює

де - кут розчинуконуса (тобто подвоєний кут між віссю конуса та будь-який прямий на його бічній поверхні).

• Площа бічної поверхні такого конуса дорівнює

де - Радіус основи, - Довжина утворює.

• Об'єм кругового конуса дорівнює

• Перетин площини з прямим круговим конусом є одним із конічних перерізів (у невироджених випадках – еліпсом, параболою або гіперболою, залежно від положення сіючої площини).

Узагальнення

В геометрії алгебри конус- це довільне підмножина векторного простору над полем, для якого для будь-якого

Див. також

• Конус (топологія)

Wikimedia Foundation. 2010 .

Дивитись що таке "Прямий круговий конус" в інших словниках:

Прямий круговий конус. Прямий та … Вікіпедія

Прямий круговий конус Конус тіло, отримане поєднанням усіх променів, що виходять з однієї точки (вершини конуса) і проходять через плоску поверхню. Іноді конусом називають частину такого тіла, одержану об'єднанням усіх відрізків, що з'єднують … Вікіпедія

Конус- Прямий круговий конус. КОНУС (від латинського conus, від грецького konos шишка), геометричне тіло, обмежене круглою конічною поверхнею та площиною, що не проходить через вершину конічної поверхні. Якщо вершина лежить на… Ілюстрований енциклопедичний словник

- (Лат. conus; грец. Konos). Тіло, обмежене поверхнею, що утворюється від звернення прямої, якою один кінець нерухомий (вершина конуса), а інший рухається по колу цієї кривої; на вигляд схожий на цукрову голову. Словник іноземних слів, … Словник іноземних слів російської мови

Конус- (1) в елементарній геометрії геометричне тіло, обмежене поверхнею, що утворюється рухом прямої (утворюючої конуса) через нерухому точку (вершину конуса) вздовж напрямної (основа конуса). Поверхня, що утворюється, укладена між … Велика політехнічна енциклопедія

- (Прямий круговий) геометричне тіло, утворене обертанням прямокутного трикутника біля одного з катетів. Гіпотену називається твірною; нерухомий катет заввишки; коло, що описується катетом, що обертається основою. Бічна поверхня К.… … Енциклопедія Брокгауза та Єфрона

- (Прямий круговий К.) геометричне тіло, утворене обертанням прямокутного трикутника біля одного з катетів. Гіпотенуза називається твірною; нерухомий катет заввишки; коло, що описується катетом, що обертається основою. Бічна поверхня …

- (Прямий круговий) геометричне тіло, утворене обертанням прямокутного трикутника біля одного з катетів. Гіпотенуза називається твірною; нерухомий катет заввишки; коло, що описується катетом, що обертається основою. Бічна поверхня До … Енциклопедичний словник Ф.А. Брокгауза та І.А. Єфрона

- (Лат. conus, від грецьк. konos) (математика), 1) К., або конічна поверхня, геометричне місце прямих (утворюючих) простору, що з'єднують всі точки деякої лінії (напрямної) з даною точкою (вершиною) простору. Велика Радянська Енциклопедія

Рис. 1. Предмети з життя, що мають форму зрізаного конуса

Як ви вважаєте, звідки в геометрії беруться нові фігури? Все дуже просто: людина в житті стикається зі схожими об'єктами і вигадує, як би їх назвати. Розглянемо тумбу, на якій сидять леви в цирку, шматок моркви, який виходить, коли ми нарізали тільки частину її, вулкан, що діє, і, наприклад, світло від ліхтарика (див. рис. 1).

Рис. 2. Геометричні фігури

Ми бачимо, що всі ці фігури схожої форми – і знизу, і зверху вони обмежені колами, але вони звужуються догори (див. рис. 2).

Рис. 3. Відсікання верхньої частини конуса

Це схоже на конус. Тільки не вистачає верхівки. Подумки уявімо, що ми беремо конус і відсікаємо від нього верхню частину одним помахом гострого меча (див. рис. 3).

Рис. 4. Усічений конус

Виходить саме наша фігура, називається вона усічений конус (див. рис. 4).

Рис. 5. Перетин, паралельний підставі конуса

Нехай дано конус. Проведемо площину, паралельну площині основи цього конуса і конус, що перетинає (див. рис. 5).

Вона розіб'є конус на два тіла: одне з них – конус меншого розміру, а друге і називається усіченим конусом (див. рис. 6).

Рис. 6. Отримані тіла при паралельному перерізі

Таким чином, усічений конус - це частина конуса, укладена між його основою та паралельною основою площиною. Як і у випадку з конусом, усічений конус може мати в основі коло - у цьому випадку його називають круговим. Якщо вихідний конус був прямим, те й усічений конус називають прямим. Як і у випадку з конусами, ми розглядатимемо виключно прямі кругові усічені конуси, якщо спеціально не зазначено, що йдеться про непрямий усічений конус або в його підставах не кола.

Рис. 7. Обертання прямокутної трапеції

Наша глобальна тема – тіла обертання. Усічений конус - не виняток! Згадаймо, що з отримання конуса ми розглядали прямокутний трикутник і обертали навколо катета? Якщо отриманий конус перетнути площиною, паралельною до основи, то від трикутника залишиться прямокутна трапеція. Її обертання навколо меншого боку і дасть нам усічений конус. Зауважимо знову, що мова, зрозуміло, йдеться лише про прямий круговий конус (див. рис. 7).

Рис. 8. Підстави усіченого конуса

Зробимо кілька зауважень. Основу повного конуса і коло, що утворюється в перерізі конуса площиною, називають основами усіченого конуса (нижнім і верхнім) (див. рис. 8).

Рис. 9. Утворені зрізаного конуса

Відрізки утворюють повного конуса, укладені між основами зрізаного конуса, називають утворюючими зрізаного конуса. Так як всі утворюють вихідного конуса рівні і всі утворюють відсічений конус рівні, то і утворюють усіченого конуса рівні (не плутати відсічений і усічений!). Звідси й випливає рівнобедреність трапеції осьового перерізу (див. рис. 9).

Відрізок осі обертання, укладений усередині зрізаного конуса, називають віссю зрізаного конуса. Цей відрізок, зрозуміло, поєднує центри його основ (див. рис. 10).

Рис. 10. Вісь усіченого конуса

Висота зрізаного конуса - це перпендикуляр, проведений з точки однієї з основ до іншої основи. Найчастіше, як висота зрізаного конуса розглядають його вісь.

Рис. 11. Осьовий переріз усіченого конуса

Осьовий переріз зрізаного конуса - це перетин, що проходить через його вісь. Воно має вигляд трапеції, трохи згодом ми доведемо її рівнобедреність (див. рис. 11).

Рис. 12. Конус із введеними позначеннями

Знайдемо площу бічної поверхні усіченого конуса. Нехай основи зрізаного конуса мають радіуси і , а твірна дорівнює (див. рис. 12).

Рис. 13. Позначення утворює відсіченого конуса

Знайдемо площу бічної поверхні усіченого конуса як різницю площ бічних поверхонь вихідного конуса та відсіченого. Для цього позначимо через утворюючу відсіченого конуса (див. рис. 13).

Тоді шукана.

Рис. 14. Подібні трикутники

Залишилося висловити.

Зауважимо, що з подоби трикутників, звідки (див. рис. 14).

Можна було б висловити, розділивши на різницю радіусів, але нам це не потрібно, адже в шуканому виразі якраз фігурує твір. Підставивши замість нього, маємо: .

Нескладно тепер отримати формулу для площі повної поверхні. Для цього достатньо додати площі двох кіл підстав: .

Рис. 15. Ілюстрація до завдання

Нехай усічений конус отриманий обертанням прямокутної трапеції навколо її висоти. Середня лінія трапеції дорівнює, а велика бічна сторони - (див. рис. 15). Знайти площу бічної поверхні отриманого зрізаного конуса.

Рішення

За формулою ми знаємо, що .

Утворюючий конус буде велика сторона вихідної трапеції, тобто Радіуси конуса - це підстави трапеції. Знайти їх ми можемо. Але нам і не треба: потрібна лише їхня сума, а сума підстав трапеції вдвічі більша за її середню лінію, тобто вона дорівнює . Тоді.

Зверніть увагу, що коли ми говорили про конус, ми проводили паралелі між ним і пірамідою - формули були аналогічними. Так само і тут, адже усічений конус дуже схожий на усічену піраміду, так що формули для площ бічної та повної поверхонь усіченого конуса та піраміди (а скоро будуть і формули для об'єму) аналогічні.

Рис. 1. Ілюстрація до завдання

Радіуси підстав усіченого конуса рівні і, а твірна дорівнює. Знайти висоту зрізаного конуса і площу його осьового перерізу (див. рис. 1).

Отримане об'єднання всіх променів, що виходять з однієї точки ( вершиниконуса) та проходять через плоску поверхню. Іноді конусом називають частину такого тіла, отриману об'єднанням усіх відрізків, що з'єднують вершину та точки плоскої поверхні (останню в такому випадку називають основоюконуса, а конус називають що спираєтьсяна цю підставу). Далі розглядатиметься саме цей випадок, якщо не обговорено протилежне. Якщо основа конуса є багатокутником, конус стає пірамідою.

"== Пов'язані визначення ==

• Відрізок, що з'єднує вершину та межу основи, називається утворює конуса.
• Об'єднання утворюють конуса називається утворює(або бічний) поверхнею конуса. Утворююча поверхня конуса є конічною поверхнею.
• Відрізок, опущений перпендикулярно з вершини на площину основи (а також довжина такого відрізка), називається висотою конуса.
• Якщо основа конуса має центр симетрії (наприклад, є колом або еліпсом) та ортогональна проекція вершини конуса на площину основи збігається з цим центром, то конус називається прямим. При цьому пряма, що з'єднує вершину та центр основи, називається віссю конуса.
• Косий (похилий) конус - конус, у якого ортогональна проекція вершини на основу не збігається з його центром симетрії.
• Круговий конус- Конус, основа якого є колом.
• Прямий круговий конус(часто його називають просто конусом) можна отримати обертанням прямокутного трикутника навколо прямої, що містить катет (ця пряма є вісь конуса).
• Конус, що спирається на еліпс, параболу або гіперболу, називають відповідно еліптичним, параболічнимі гіперболічним конусом(Останні два мають нескінченний обсяг).
• Частина конуса, що лежить між основою і площиною, паралельною основі і між вершиною і основою, називається усіченим конусом.

Властивості

• Якщо площа основи кінцева, то об'єм конуса також кінцевий і дорівнює третині висоти на площу основи. Таким чином, всі конуси, що спираються на дану основу і мають вершину, що знаходиться на даній площині, паралельній основі, мають рівний обсяг, оскільки їх висоти дорівнюють.
• Центр тяжкості будь-якого конуса з кінцевим об'ємом лежить на чверті висоти від основи.
• Тілесний кут при вершині прямого кругового конуса дорівнює

де - кут розчинуконуса (тобто подвоєний кут між віссю конуса та будь-який прямий на його бічній поверхні).

• Площа бічної поверхні такого конуса дорівнює

де - Радіус основи, - Довжина утворює.

• Об'єм кругового конуса дорівнює

• Перетин площини з прямим круговим конусом є одним із конічних перерізів (у невироджених випадках – еліпсом, параболою або гіперболою, залежно від положення сіючої площини).

Узагальнення

В геометрії алгебри конус- це довільне підмножина векторного простору над полем, для якого для будь-якого

Див. також

• Конус (топологія)

Wikimedia Foundation. 2010 .

Дивитись що таке "Конус (геометрична фігура)" в інших словниках:

Конус: У математиці Конус геометрична фігура. Конус над топологічним простором. Конус (Теорія категорій). У техніці Конус інструментальний метод сполучення інструменту та шпинделя у верстатах. Конусний пристрій вузол… … Вікіпедія

Геометрія розділу математики, тісно пов'язаний з поняттям простору; Залежно від форм опису цього поняття з'являються різні види геометрії. Передбачається, що читач, приступаючи до читання цієї статті, має деякі… Енциклопедія Кольєра

Візуалізація зображення на екрані дисплея (монітора). На відміну від відтворення зображення на папері або іншому носії, зображення, створене на екрані, можна майже негайно стерти або підправити, стиснути або розтягнути, … Енциклопедичний словник

Історія науки … Вікіпедія

Історія науки За тематикою Математика Природничі науки … Вікіпедія

- (грец. geodaisia, від ge Земля і daio ділю, поділяю), наука про визначення положення об'єктів на земній поверхні, про розміри, форму та гравітаційне поле Землі та інших планет. Це галузь прикладної математики, тісно пов'язана з геометрією, … Енциклопедія Кольєра