Визначення арифметичної прогресії. Арифметична та геометрична прогресії

Завдання з арифметичної прогресії існували вже у давнину. Вони з'являлися та вимагали рішення, оскільки мали практичну необхідність.

Так, в одному з папірусів Стародавнього Єгипту, що має математичний зміст, - папірусі Райнда (XIX століття до нашої ери) - міститься таке завдання: розділи десять мір хліба на десять осіб, за умови якщо різниця між кожним з них становить одну восьму міру».

І на математичних працях древніх греків зустрічаються витончені теореми, які стосуються арифметичної прогресії. Так, Гіпсікл Олександрійський (ІІ століття склало чимало цікавих завдань і додало чотирнадцяту книгу до «Початків» Евкліда, сформулював думку: «В арифметичній прогресії, що має парне число членів, сума членів 2-ої половини більша за суму членів 1-ої на квадраті 1/ 2 числа членів».

Позначається послідовність an. Числа послідовності називаються її членами і позначаються зазвичай літерами з індексами, які вказують порядковий номер цього члена (a1, a2, a3 … читається: «a 1», «a 2», «a 3» і так далі ).

Послідовність може бути нескінченною чи кінцевою.

А що таке арифметична прогресія? Під нею розуміють одержувану додаванням попереднього члена (n) з тим самим числом d, що є різницею прогресії.

Якщо d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, то така прогресія вважається зростаючою.

Арифметична прогресія називається кінцевою, якщо враховуються лише кілька її перших членів. За дуже великої кількості членів це вже нескінченна прогресія.

Задається будь-яка арифметична прогресія наступною формулою:

an =kn+b, причому b і k - деякі числа.

Абсолютно вірне твердження, яке є зворотним: якщо послідовність задається подібною формулою, то це точно арифметична прогресія, яка має властивості:

Кожен член прогресії - середнє арифметичне попереднього члена та наступного.
Назад: якщо, починаючи з другого, кожен член - середнє арифметичне попереднього члена і наступного, тобто. якщо виконується умова, то ця послідовність - арифметична прогресія. Ця рівність одночасно є ознакою прогресії, тому його, як правило, називають характеристичною властивістю прогресії.
Так само правильна теорема, яка відбиває це властивість: послідовність - арифметична прогресія лише тому випадку, якщо це рівність правильне кожного з членів послідовності, починаючи з другого.

Характеристичне властивість чотирьох будь-яких чисел арифметичної прогресії може бути виражено формулою an + am = ak + al, якщо n + m = k + l (m, n, k - числа прогресії).

В арифметичній прогресії будь-який необхідний (N-й) член можна знайти, застосовуючи таку формулу:

Наприклад: перший член (a1) в арифметичній прогресії заданий і дорівнює трьом, а різниця (d) дорівнює чотирьом. Знайти треба сорок п'ятий член цієї прогресії. a45 = 1 +4 (45-1) = 177

Формула an = ak + d(n - k) дозволяє визначити n-й член арифметичної прогресії через будь-який її k-ий член за умови, якщо він відомий.

Сума членів арифметичної прогресії (мається на увазі перші n членів кінцевої прогресії) обчислюється так:

Sn = (a1+an) n/2.

Якщо відомий і перший член, то обчислення зручна інша формула:

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.

Сума арифметичної прогресії, що містить n членів, підраховується таким чином:

Вибір формул для розрахунків залежить від умов завдань та вихідних даних.

Натуральний ряд будь-яких чисел, як-от 1,2,3,...,n,...- найпростіший приклад арифметичної прогресії.

Крім арифметичної прогресії існує ще й геометрична, яка має свої властивості та характеристики.

Сума арифметичної прогресії.

Сума арифметичної прогресії – штука проста. І за змістом, і за формулою. Але завдання з цієї теми бувають усілякі. Від елементарних до цілком солідних.

Спочатку розберемося із змістом та формулою суми. А потім і вирішуємо. На своє задоволення.) Сенс суми простий, як мукання. Щоб знайти суму арифметичної прогресії, треба просто акуратно скласти всі її члени. Якщо цих членів мало, можна складати без будь-яких формул. Але якщо багато, або дуже багато... додавання напружує.) У цьому випадку рятує формула.

Формула суми виглядає просто:

Розберемося, що за літери входять у формулу. Це багато чого прояснить.

S n - Сума арифметичної прогресії. Результат додавання всіхчленів, з першогопо останній.Це важливо. Складаються саме всічлени поспіль, без перепусток та перескоків. І, саме, починаючи з першого.У завданнях типу знайти суму третього і восьмого членів, або суму членів з п'ятого по двадцятий - пряме застосування формули розчарує.)

a 1 - першийчлен прогресії. Тут все зрозуміло, це просто першеЧисло ряду.

a n- Останнійчлен прогресії. Остання кількість ряду. Не дуже звична назва, але, у застосуванні до суми, дуже годиться. Далі самі побачите.

n - Номер останнього члена. Важливо розуміти, що у формулі цей номер збігається з кількістю членів, що складаються.

Визначимося з поняттям останньогочлена a n. Питання на засипку: який член буде останнім,якщо дана нескінченнаарифметична прогресія?)

Для впевненої відповіді потрібно розуміти елементарний зміст арифметичної прогресії та... уважно читати завдання!)

У завданні на пошук суми арифметичної прогресії завжди фігурує (прямо чи опосередковано) останній член, яким слід обмежитися.Інакше кінцевої, конкретної суми просто не існує.Для вирішення не має значення, яка задана прогресія: кінцева, або нескінченна. Не має значення, як вона задана: поруч чисел, або формулою n-го члена.

Найголовніше - розуміти, що формула працює з першого члена прогресії до члена з номером n.Власне, повна назва формули виглядає так: сума n перших членів арифметичної прогресії.Кількість цих перших членів, тобто. n, Визначається виключно завданням. У завданні вся ця цінна інформація часто зашифровується, так ... Але нічого, в прикладах нижче ми ці секрети розкриваємо.)

Приклади завдань у сумі арифметичної прогресії.

Насамперед, корисна інформація:

Основна складність у завданнях на суму арифметичної прогресії полягає у правильному визначенні елементів формули.

Ці елементи укладачі завдань шифрують з безмежною фантазією.) Тут головне - не боятися. Розуміючи суть елементів, просто їх розшифрувати. Докладно розберемо кілька прикладів. Почнемо із завдання на основі реального ДІА.

1. Арифметична прогресія задана умовою: an = 2n-3,5. Знайдіть суму перших 10 її членів.

Гарне завдання. Легке.) Нам визначення суми за формулою чого треба знати? Перший член a 1, останній член a n, та номер останнього члена n.

Де взяти номер останнього члена n? Та там же, за умови! Там сказано: знайти суму перших 10 членів.Ну і з яким номером буде останній,десятий член?) Ви не повірите, його номер - десятий!) Отже, замість a nу формулу будемо підставляти a 10, а замість n- десятку. Повторюю, номер останнього члена збігається з кількістю членів.

Залишилось визначити a 1і a 10. Це легко вважається за формулою n-го члена, яка дана за умови завдання. Чи не знаєте, як це зробити? Завітайте до попереднього уроку, без цього - ніяк.

a 1= 2 · 1 - 3,5 = -1,5

a 10= 2 · 10 - 3,5 = 16,5

S n = S 10.

Ми з'ясували значення всіх елементів формули суми арифметичної прогресії. Залишається підставити їх, та порахувати:

Ось і всі справи. Відповідь: 75.

Ще завдання з урахуванням ГИА. Трохи складніше:

2. Дана арифметична прогресія (a n), різниця якої дорівнює 3,7; a 1 = 2,3. Знайти суму перших 15 її членів.

Відразу пишемо формулу суми:

Ця формулка дозволяє нам знайти значення будь-якого члена за його номером. Шукаємо простою підстановкою:

a 15 = 2,3 + (15-1) · 3,7 = 54,1

Залишилося підставити всі елементи у формулу суми арифметичної прогресії та порахувати відповідь:

Відповідь: 423.

До речі, якщо у формулу суми замість a nпросто підставимо формулу n-го члена, отримаємо:

Наведемо подібні, отримаємо нову формулу суми членів арифметичної прогресії:

Як бачимо, тут не потрібно n-й член a n. У деяких завданнях ця формула чудово рятує, так... Можна цю формулу запам'ятати. А можна в потрібний момент просто вивести її, як тут. Адже формулу суми і формулу n-го члена треба пам'ятати.)

Тепер завдання у вигляді короткого шифрування):

3. Знайти суму всіх позитивних двоцифрових чисел, кратних трьом.

Ось як! Ні тобі першого члена, ні останнього, ні прогресії взагалі... Як жити?

Прийде думати головою і витягати з умови всі елементи суми арифметичної прогресії. Що таке двоцифрові числа - знаємо. З двох циферок складаються.) Яке двозначне число буде першим? 10, треба думати.) А останнєдвоцифрове число? 99, зрозуміло! За ним уже тризначні підуть...

Кратні трьом... Гм... Це такі числа, які діляться на три націло, ось! Десятка не ділиться на три, 11 не ділиться... 12... ділиться! Так, дещо вимальовується. Вже можна записати ряд за умовою завдання:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Чи буде цей ряд арифметичною прогресією? Звісно! Кожен член відрізняється від попереднього на трійку. Якщо члену додати 2, чи 4, скажімо, результат, тобто. нове число, що вже не поділиться націло на 3. До купи можна відразу і різницю арифметичної прогресії визначити: d=3.Стане в нагоді!)

Отже, можна сміливо записати деякі параметри прогресії:

А який буде номер nостаннього члена? Той, хто думає, що 99 – фатально помиляється... Номери – вони завжди поспіль йдуть, а члени у нас – через трійку перескакують. Чи не збігаються вони.

Тут два шляхи вирішення. Один шлях – для надпрацьовитих. Можна розписати прогресію, весь ряд чисел, і порахувати пальчиком кількість членів. Другий шлях - для вдумливих. Потрібно згадати формулу n-го члена. Якщо формулу застосувати до нашого завдання, то отримаємо, що 99 - це тридцятий член прогресії. Тобто. n = 30.

Дивимося на формулу суми арифметичної прогресії:

Дивимося, і радіємо.) Ми витягли з умови завдання все необхідне розрахунку суми:

a 1= 12.

a 30= 99.

S n = S 30.

Залишається елементарна арифметика. Підставляємо числа у формулу та вважаємо:

Відповідь: 1665

Ще один тип популярних завдань:

4. Дана арифметична прогресія:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Знайти суму членів із двадцятого по тридцять четвертий.

Дивимося на формулу суми і... засмучуємось.) Формула, нагадаю, вважає суму з першогочлена. А в завданні треба рахувати суму з двадцятого...Чи не спрацює формула.

Можна, звичайно, розписати всю прогресію до ряду, та поскладувати члени з 20 по 34. Але... якось тупо і довго виходить, правда?)

Є елегантніше рішення. Розіб'ємо наш ряд на дві частини. Перша частина буде з першого члена до дев'ятнадцятого.Друга частина - з двадцятого до тридцять четвертого.Зрозуміло, що якщо ми порахуємо суму членів першої частини S 1-19, та складемо із сумою членів другої частини S 20-34, отримаємо суму прогресії з першого члена по тридцять четвертий S 1-34. Ось так:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

Звідси видно, що знайти суму S 20-34можна простим відніманням

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

Обидві суми у правій частині вважаються з першогочлена, тобто. до них цілком застосовна стандартна формула суми. Приступаємо?

Витягуємо з умови завдання парметри прогресії:

d = 1,5.

a 1= -21,5.

Для розрахунку сум перших 19 та перших 34 членів нам потрібні будуть 19-й та 34-й члени. Вважаємо їх за формулою n-го члена, як у задачі 2:

a 19= -21,5 + (19-1) · 1,5 = 5,5

a 34= -21,5 + (34-1) · 1,5 = 28

Залишається нічого. Від суми 34 членів відібрати суму 19 членів:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5

Відповідь: 262,5

Одне важливе зауваження! У вирішенні цього завдання є дуже корисна фішка. Замість прямого розрахунку того, що потрібно (S 20-34),ми порахували те, що, здавалося б, не потрібне - S 1-19 .А вже потім визначили і S 20-34, Відкинувши від повного результату непотрібне. Такий "фінт вухами" часто рятує в злих завданнях.)

У цьому уроці ми розглянули завдання, на вирішення яких достатньо розуміти сенс суми арифметичної прогресії. Ну і пару формул знати треба.)

Практична порада:

При вирішенні будь-якого завдання на суму арифметичної прогресії рекомендую відразу виписувати дві основні формули цієї теми.

Формулу n-го члена:

Ці формули одразу підкажуть, що потрібно шукати, у якому напрямку думати, щоб вирішити завдання. Допомагає.

А тепер – завдання для самостійного вирішення.

5. Знайти суму всіх двоцифрових чисел, які не діляться націло на три.

Круто?) Підказка прихована у зауваженні до завдання 4. Та й завдання 3 допоможе.

6. Арифметична прогресія задана умовою: a 1 = -5,5; an+1 = an+0,5. Знайдіть суму перших 24 її членів.

Незвично?) Це рекурентна формула. Про неї можна прочитати у попередньому уроці. Не ігноруйте посилання, такі завдання в ДПА часто зустрічаються.

7. Вася накопичив до Свята грошей. Цілих 4550 рублів! І вирішив подарувати найулюбленішій людині (собі) кілька днів щастя). Пожити гарно, ні в чому не відмовляючи. Витратити в перший день 500 рублів, а кожного наступного дня витрачати на 50 рублів більше, ніж у попередній! Поки не скінчиться запас грошей. Скільки днів щастя вийшло у Васі?

Складно?) Допоможе додаткова формула із завдання 2.

Відповіді (безладно): 7, 3240, 6.

Якщо Вам подобається цей сайт...

До речі, у мене є ще кілька цікавих сайтів для Вас.)

Можна потренуватися у вирішенні прикладів та дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося – з інтересом!)

можна познайомитися з функціями та похідними.

Якщо кожному натуральному числу n поставити у відповідність дійсне число a n , то кажуть, що поставлено числову послідовність :

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , . . . .

Отже, числова послідовність – функція натурального аргументу.

Число a 1 називають першим членом послідовності , число a 2 — другим членом послідовності , число a 3 — третім і так далі. Число a n називають n-м членом послідовності , а натуральне число n — його номером .

Із двох сусідніх членів a n і a n +1 послідовності член a n +1 називають наступним (по відношенню до a n ), а a n — попереднім (по відношенню до a n +1 ).

Щоб встановити послідовність, потрібно вказати спосіб, що дозволяє знайти член послідовності з будь-яким номером.

Часто послідовність задають за допомогою формули n-го члена тобто формули, яка дозволяє визначити член послідовності за його номером.

Наприклад,

послідовність позитивних непарних чисел можна задати формулою

a n= 2n - 1,

а послідовність чергуються 1 і -1 формулою

b n = (-1)n +1 . ◄

Послідовність можна визначити рекурентною формулою, тобто формулою, яка виражає будь-який член послідовності, починаючи з деякого через попередні (один або кілька) члени.

Наприклад,

якщо a 1 = 1 , а a n +1 = a n + 5

a 1 = 1,

a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Якщо а 1= 1, а 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , то перші сім членів числової послідовності встановлюємо так:

a 1 = 1,

a 2 = 1,

a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,

a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,

a 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,

a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,

a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Послідовності можуть бути кінцевими і нескінченними .

Послідовність називається кінцевою якщо вона має кінцеве число членів. Послідовність називається нескінченною якщо вона має нескінченно багато членів.

Наприклад,

послідовність двоцифрових натуральних чисел:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

кінцева.

Послідовність простих чисел:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

нескінченна. ◄

Послідовність називають зростаючою якщо кожен її член, починаючи з другого, більше ніж попередній.

Послідовність називають спадаючою якщо кожен її член, починаючи з другого, менше ніж попередній.

Наприклад,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . - Зростаюча послідовність;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . - спадна послідовність. ◄

Послідовність, елементи якої зі збільшенням номера не зменшуються, або, навпаки, не зростають, називається монотонною послідовністю .

Монотонними послідовностями, зокрема, є зростаючі послідовності та спадні послідовності.

Арифметична прогресія

Арифметичною прогресією називається послідовність, кожен член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому, до якого додається те саме число.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n, . . .

є арифметичною прогресією, якщо для будь-якого натурального числа n виконується умова:

a n +1 = a n + d,

де d - Деяке число.

Таким чином, різниця між наступним та попереднім членами даної арифметичної прогресії завжди постійна:

а 2 - a 1 = а 3 - a 2 = . . . = a n +1 - a n = d.

Число d називають різницею арифметичної прогресії.

Щоб задати арифметичну прогресію, достатньо вказати її перший член та різницю.

Наприклад,

якщо a 1 = 3, d = 4 , то перші п'ять членів послідовності знаходимо так:

a 1 =3,

a 2 = a 1 + d = 3 + 4 = 7,

a 3 = a 2 + d= 7 + 4 = 11,

a 4 = a 3 + d= 11 + 4 = 15,

a 5 = a 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

Для арифметичної прогресії з першим членом a 1 і різницею d її n

a n = a 1 + (n- 1)d.

Наприклад,

знайдемо тридцятий член арифметичної прогресії

1, 4, 7, 10, . . .

a 1 =1, d = 3,

a 30 = a 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄

a n-1 = a 1 + (n- 2)d,

a n= a 1 + (n- 1)d,

a n +1 = a 1 + nd,

то, очевидно,

a n=	a n-1 + a n+1
	2

кожен член арифметичної прогресії, починаючи з другого, дорівнює середньому арифметичному попереднього та наступного членів.

числа a, b і c є послідовними членами деякої арифметичної прогресії тоді і лише тоді, коли одне з них дорівнює середньому арифметичному двох інших.

Наприклад,

a n = 2n- 7 є арифметичною прогресією.

Скористаємося наведеним вище твердженням. Маємо:

a n = 2n- 7,

a n-1 = 2(n - 1) - 7 = 2n- 9,

a n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

Отже,

a n+1 + a n-1	=	2n- 5 + 2n- 9	= 2n- 7 = a n,
2		2

◄

Відмітимо, що n -й член арифметичної прогресії можна знайти не тільки через a 1 , але й будь-який попередній a k

a n = a k + (n- k)d.

Наприклад,

для a 5 можна записати

a 5 = a 1 + 4d,

a 5 = a 2 + 3d,

a 5 = a 3 + 2d,

a 5 = a 4 + d. ◄

a n = a n-k + kd,

a n = a n+k - kd,

то, очевидно,

a n=	a n-k + a n+k
	2

будь-який член арифметичної прогресії, починаючи з другого дорівнює напівсумі рівновіддалених від нього членів цієї арифметичної прогресії.

Крім того, для будь-якої арифметичної прогресії справедлива рівність:

a m + a n = a k + a l,

m+n=k+l.

Наприклад,

в арифметичній прогресії

1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;

2) 28 = a 10 = a 3 + 7d= 7 + 7 · 3 = 7 + 21 = 28;

3) a 10= 28 = (19 + 37)/2 = (a 7 + a 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, так як

a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,

a 5 + a 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 +. . .+ a n,

перших n членів арифметичної прогресії дорівнює добутку напівсуми крайніх доданків на кількість доданків:

Звідси, зокрема, випливає, що якщо потрібно підсумувати члени

a k, a k +1 , . . . , a n,

то попередня формула зберігає свою структуру:

Наприклад,

в арифметичній прогресії 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Якщо дана арифметична прогресія, то величини a 1 , a n, d, nіS n пов'язані двома формулами:

Тому, якщо значення трьох цих величин дано, то відповідні їм значення двох інших величин визначаються з цих формул, об'єднаних у систему двох рівнянь з двома невідомими.

Арифметична прогресія є монотонною послідовністю. При цьому:

якщо d > 0 , вона є зростаючою;
якщо d < 0 , то вона є спадною;
якщо d = 0 , то послідовність буде стаціонарною.

Геометрична прогресія

Геометричною прогресією називається послідовність, кожен член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому, помноженому на те саме число.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

є геометричною прогресією, якщо для будь-якого натурального числа n виконується умова:

b n +1 = b n · q,

де q ≠ 0 - Деяке число.

Таким чином, ставлення наступного члена даної геометричної прогресії до попереднього є постійним:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

Число q називають знаменником геометричної прогресії.

Щоб задати геометричну прогресію, достатньо вказати її перший член та знаменник.

Наприклад,

якщо b 1 = 1, q = -3 , то перші п'ять членів послідовності знаходимо так:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 та знаменником q її n -й член може бути знайдений за формулою:

b n = b 1 · q n -1 .

Наприклад,

знайдемо сьомий член геометричної прогресії 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 · 2 6 = 64. ◄

b n-1 = b 1 · q n -2 ,

b n = b 1 · q n -1 ,

b n +1 = b 1 · q n,

то, очевидно,

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

кожен член геометричної прогресії, починаючи з другого, дорівнює середньому геометричному (пропорційному) попереднього та наступного членів.

Оскільки правильне і зворотне твердження, має місце таке твердження:

числа a, b і c є послідовними членами деякої геометричної прогресії тоді й лише тоді, коли квадрат одного з них дорівнює добутку двох інших, тобто одне з чисел є середнім геометричним двом іншим.

Наприклад,

доведемо, що послідовність, яка задається формулою b n= -3 · 2 n є геометричною прогресією. Скористаємося наведеним вище твердженням. Маємо:

b n= -3 · 2 n,

b n -1 = -3 · 2 n -1 ,

b n +1 = -3 · 2 n +1 .

Отже,

b n 2 = (-3 · 2 n) 2 = (-3 · 2 n -1 ) · (-3 · 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

як і доводить необхідне твердження. ◄

Відмітимо, що n -й член геометричної прогресії можна знайти не тільки через b 1 , але й будь-який попередній член b k , для чого достатньо скористатися формулою

b n = b k · q n - k.

Наприклад,

для b 5 можна записати

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q 2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · q n - k,

b n = b n - k · q k,

то, очевидно,

b n 2 = b n - k· b n + k

квадрат будь-якого члена геометричної прогресії, починаючи з другого дорівнює добутку рівновіддалених від нього членів цієї прогресії.

Крім того, для будь-якої геометричної прогресії справедлива рівність:

b m· b n= b k· b l,

m+ n= k+ l.

Наприклад,

у геометричній прогресії

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , так як

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

перших n членів геометричної прогресії зі знаменником q ≠ 0 обчислюється за такою формулою:

А при q = 1 - за формулою

S n= nb 1

Зауважимо, що якщо потрібно підсумувати члени

b k, b k +1 , . . . , b n,

то використовується формула:

S n- S k -1 = b k + b k +1 + . . . + b n = b k ·	1 - q n - k +1	.
	1 - q

Наприклад,

у геометричній прогресії 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Якщо дана геометрична прогресія, то величини b 1 , b n, q, nі S n пов'язані двома формулами:

Тому, якщо значення якихось трьох із цих величин дано, то відповідні їм значення двох інших величин визначаються з цих формул, об'єднаних у систему двох рівнянь із двома невідомими.

Для геометричної прогресії з першим членом b 1 та знаменником q мають місце такі властивості монотонності :

прогресія є зростаючою, якщо виконано одну з таких умов:

b 1 > 0 і q> 1;

b 1 < 0 і 0 < q< 1;

прогресія є спадною, якщо виконано одну з наступних умов:

b 1 > 0 і 0 < q< 1;

b 1 < 0 і q> 1.

Якщо q< 0 , то геометрична прогресія є знакозмінною: її члени з непарними номерами мають той самий знак, що й перший член, а члени з парними номерами — протилежний йому знак. Зрозуміло, що знакозмінна геометрична прогресія не є монотонною.

Твір перших n членів геометричної прогресії можна розрахувати за такою формулою:

P n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

Наприклад,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Нескінченна спадна геометрична прогресія

Нескінченно спадаючою геометричною прогресією називають нескінченну геометричну прогресію, модуль знаменника якої менший 1 , тобто

|q| < 1 .

Зауважимо, що нескінченно спадна геометрична прогресія може не бути спадною послідовністю. Це відповідає нагоді

1 < q< 0 .

При такому знаменнику послідовність знакозмінна. Наприклад,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Сумою нескінченно спадної геометричної прогресії називають число, до якого необмежено наближається сума перших n членів прогресії при необмеженому зростанні числа n . Це число завжди звичайно і виражається формулою

S= b 1 + b 2 + b 3 + . . . =	b 1	.
	1 - q

Наприклад,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Зв'язок арифметичної та геометричної прогресій

Арифметична та геометрична прогресії тісно пов'язані між собою. Розглянемо лише два приклади.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . d , то

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .

Наприклад,

1, 3, 5, . . . - арифметична прогресія з різницею 2 і

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - геометрична прогресія із знаменником 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . - геометрична прогресія із знаменником q , то

log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . - арифметична прогресія з різницею log aq .

Наприклад,

2, 12, 72, . . . - геометрична прогресія із знаменником 6 і

lg 2, lg 12, lg 72, . . . - арифметична прогресія з різницею lg 6 . ◄

Приклади на арифметичну та геометричну прогресіювзято зі "Збірника завдань для абітурієнтів. Математика" виданого Волинським державним університетом імені Лесі Українки у 2001 році. Уважно ознайомтеся з відповідями та виберіть для себе найнеобхідніше.

Група А (рівень 1)

Приклад 1. Обчислити шостий член арифметичної прогресії 21,3; 22,4; ... ,
Рішення: Знайдемо різницю (крок) прогресії
d = a 2 -a 1 = 22,4-21,3 = 1,1.
Далі обчислюємо шостий член арифметичної прогресії
a 6 = a 1 + (6-1) d = 21,3 +5 * 1,1 = 26,8.

Приклад 2. Обчислити шостий член геометричної прогресії 5; 10; 20; ...
Рішення: Знайдемо знаменник геометричної прогресії
q=b 2 /b 1 =10/5=2.
Обчислюємо шостий член геометричної прогресії
b 6 = b 1 q 6-1 = 5 * 25 = 5 * 32 = 160.

Приклад 3. В арифметичній прогресії a 1 = 2,1 a 10 = 12,9. Розрахувати різницю прогресії.
Рішення: Уявимо десятий член прогресії у вигляді формули
a 10 = a 1 + (10-1) d = a 1 + 9d.
Підставимо відомі значення і вирішимо
12,9 = 2,1 +9d;
9d = 12,9-2,1 = 10,8;
d=10,8/9=1,2.
Відповідь: різниця прогресії d=1,2.

Приклад 4. У геометричній прогресії b 1 =2,56; b 4 =4,42368. Обчислити знаменник прогресії.
Рішення: Знаходимо знаменник прогресії
q=b 2 /b 1 =4,42368/2,56=1,728.
Без калькулятора тут не обійтись.
Відповідь: знаменник прогресії дорівнює q = 1,728.

Приклад 5. В арифметичній прогресії a 1 = 20,1, d = 1,3. Обчислити суму перших восьми членів прогресії.
Рішення: Суму арифметичної прогресії знаходимо за формулою

Виконуємо обчислення
S 8 = (2 * 20,1 + (8-1) * 1,3) * 8/2 = 197,2.
Відповідь: S 8 = 197,2.

Приклад 6 . У геометричній прогресії b 1 =1,5; q=1,2. Обчислити суму перших чотирьох членів прогресії.
Рішення: Суму геометричної прогресії обчислюємо за формулою

Знаходимо суму прогресії

Відповідь: S 8 = 8,052.

Приклад 7 . В арифметичній прогресії a 1 = 1,35 d = -2,4. Обчислити номер члена прогресії, що дорівнює -25,05.
Рішення: Член арифметичної прогресії знаходять за формулою
a n = a 1 + (n-1) d.
За умовою задано все, крім порядкового номера відомо, знайдемо його
-25,05 = 1,35 + (n-1) (-2,4);

Відповідь: n=12.

Приклад 8. Обчислити сьомий член прогресії 235; 24,82; 26,14; ...
Рішення: Оскільки в умові не задано якусь прогресію задано, то спочатку потрібно це встановити. Отримайте, що арифметична
d=a 2 -a 1 =24,82-23,5=1,32;
d = a 3 -a 2 = 26,14-24,82 = 1,32.
Знаходимо сьомий член прогресії
a 7 = a 1 + (7-1) d = 23,5 +6 * 1,32 = 31,42.
Відповідь: a 7 = 31,42.

Приклад 9. Обчислити номер члена прогресії 2,1; 3,3; 4,5; ..., рівний 11,7.
Рішення: Легко переконатися, що задана арифметична прогресія. Знайдемо різницю прогресії
d=a 2 -a 1 =3,3-2,1=1,2.
За формулою члена прогресії
a n =a 1 +(n-1)d
знайдемо номер
11,7 = 2,1 + (n-1) * 1,2;

Відповідь: n = 9 .

Приклад 10. Обчислити четвертий член прогресії 15; 1,8; 2,16; ....
Рішення: Без перевірки можна сказати, що прогресія – геометрична. Знайдемо її знаменник
q=b 2 /b 1 =1, 8/1,5=1,2.
Обчислимо 4 член геометричної прогресії за формулою
b 4 = b 1 q 3 = 1,5 * 1,2 3 = 2,592.
Відповідь: b 4 = 2,592.

Приклад 11. Обчислити номер члена прогресії 12; 1,8; 2,16; ... рівний 4,05.
Рішення: Маємо геометричну прогресію. Знайдемо знаменник прогресії
q=b 2 /b 1 =1, 8/1,2=1,5.
Знайдемо номер прогресії із залежності
b n = b 1 q n-1.
4,05 = 1,2 * 1,5 n-1;
1,5 n-1 = 4,05/1,2 = 3,375 = 1,5 3;
n-1 = 3; n=4.
Відповідь: n=4.

Приклад 12. В арифметичній прогресії a 5 = 14,91 a 9 = 20,11. Обчислити a 1 .
Рішення: Виразимо 9 член прогресії через 5
a 9 = a 5 +(9-5)d
і знайдемо крок прогресії
20,11 = 14,91 +4d;
4d=5,2; d=5,2/4=1,3.
Виразимо 5 член прогресії через 1 і обчислимо перший
a 5 = a 1+4d;
14,91 = a 1 +5,2;
a 1 = 14,91-5,2 = 9,71.
Відповідь: a 1 = 9,71.

Приклад 13 . В арифметичній прогресії а7 = 12,01; a 11 = 17,61. Розрахувати різницю прогресії.
Рішення: Виразимо 11 член прогресії через 7
a 11 = a 7 + (11-7) d.
Звідси обчислимо крок прогресії
17,61 = 12,01 +4d;
4d=5,6; d=5,6/4=1,4.
Відповідь: d = 1,4.

Приклад 14. У геометричній прогресії b 5 =64; b 8 =1. Обчислити b 3 .
Рішення: Виразимо 8 член прогресії через 5
b 8 = b 5 q 8-5.
Звідси знаходимо знаменник прогресії
1 = 64 q 3;
q 3 =1/64=(1/4) 3;
q=1/4.
Подібним чином знаходимо b 3 через b 5
b 3 = b 5 /q 2 = 64 * 4 2 = 1024.
Відповідь: b 3 =1024.

Приклад 15. В арифметичній прогресії а 9 + а 15 = 14,8. Обчислити а 12
Рішення: У цьому прикладі слід врахувати, що 12 член прогресії знаходиться посередині між 9 номером і 15 . Тому сусідні члени прогресії (9, 15) можна виразити через 12 наступним чином
a 9 = a 12 -(12-9)d;
a 15 = a 12 + (15-9) d;
a 9 = a 12 -3d;
a 15 = a 12+3d.
Підсумуємо крайні члени прогресії
a 9 + a 15 = a 12 -3d+ a 12 +3d=2a 12.
Звідси знаходимо 12 член прогресії
a 12 = (a 9 + a 15) / 2 = 14,8 / 2 = 7,4.
Відповідь: a 12 = 7,4.

Приклад 16. У геометричній прогресії b 10 * b 14 = 289. Обчислити модуль 12 членів прогресії | b 12 |.
Рішення: Алгоритм розв'язання задачі міститься у попередньому прикладі. Слід виразити 10 та 14 член геометричної прогресії через 12 . За властивостями геометричної прогресії отримаємо
b 10 = b 12 / q 2; b 14 = b 12 * q 2 .
Легко помітити, що з їхньої твори знаменник прогресії пропадає
b 10 * b 14 = (b 12) 2 = 289 = 17 2 .
Звідси знаходимо модуль | b 12 |
(b 12) 2 = 289 = 17 2 -> | b 12 | = 17.
Відповідь: | b 12 | = 17.

Приклад 17. У геометричній прогресії b 8 =1,3. Обчислити b 6 * b 10 .
Рішення: Схема обчислень аналогічна попередньому прикладу – виражаємо 6 та 10 член прогресії через 8.
b 6 = b 8 /q 2; b 10 = b 8 * q 2 .
При їх множенні знаменники скорочуються та отримаємо квадрат відомого члена прогресії
b 6 * b 10 = (b 8) 2 = 1,3 2 = 1,69.
Відповідь: b 6 * b 10 = 1,69.

Приклад 18. В арифметичній прогресії а 10 = 36: a 12 = 8. Обчислити а 8
Рішення: Запишемо члени прогресії до ряду а 8 , а 10 , a 12 . Між ними однаковий крок, знайдемо його
a 12 = a 10+2d;
2d = a 12 - a 10 = 8-3,6 = 4,4.
Таким же методом знаходимо а 8
a 10 = a 8+2d;
a 8 = a 10 -2d = 3,6-4,4 = -0,8.
Ось такі нескладні розрахунки.
Відповідь: a 8 = -0,8.

Приклад 19. У геометричній прогресії b 14 = 8; b 16 =2. Обчислити b 12 .
Рішення: Опускаючи докладні пояснення, запишемо твір 14 та 16 членів прогресії
b 14 * b 16 = (b 12) 2 .
Це рівнозначно середньому геометричному. Знайшовши корінь із твору членів, отримаємо шукане значення
(b 12) 2 = 8 * 2 = 16; b 12 =4.
Відповідь: b 12 =4.

Приклад 20. В арифметичній прогресії а 5 = 34; a 11 = 6,9. Обчислити а 17 .
Рішення: Між 5,11 та 17 членом прогресії однаковий крок і він дорівнює 6d. Тому кінцеве рішення можна записати у вигляді
а 17 = 11 +6d = 11 + (a 11 - 5) = 2 * 6,9-3,4 = 10,4.
Думаю, що Ви розумієте, чому такий запис. Якщо ні - спробуйте розписати 11 член прогресії через 5 і виразити 6d.
Відповідь: а 17 = 10,4.

Приклад 21. Обчислити 6 член геометричної прогресії 3; 12;... .
Рішення: Знайдемо знаменник прогресії
q=b 2 /b 1 =12/3=4.
Скористайтеся загальною формулою члена геометричної прогресії
b n = b 1 *q n-1.
Звідси отримаємо
b 6 = b 1 *q 5 = b 2 *q 4 .
Як бачите, головне у записі, щоб сума індексу (2) та ступінь (4) відповідала порядковому номеру члена прогресії (6). Виконуємо обчислення
b 6 = 12 * 4 4 = 12 * 256 = 3072.
Отримали велику кількість, але геометрична прогресія тим і відрізняється, що її члени або швидко ростуть, або сходять.
Відповідь: b 6 =3072.

Приклад 22. В арифметичній прогресії а3 = 48; a 5 =42. Обчислити а 7 .
Рішення: Так як різниця прогресії між заданими членами та шуканим стала і дорівнює 2d то формула 7 члена прогресії буде виглядати
а 7 = 5 +2d = 5 + (a 5 - а 3);
а 7 = 2 * 42-48 = 36.
Відповідь: а 7 =36.

Арифметична та геометрична прогресії

Теоретичні відомості

Теоретичні відомості

	Арифметична прогресія	Геометрична прогресія
Визначення	Арифметичною прогресією a nназивається послідовність, кожен член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому члену, складеному з одним і тим самим числом d (d- Різниця прогресій)	Геометричною прогресією b nназивається послідовність відмінних від нуля чисел, кожен член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому члену, помноженому на одне і те ж число q (q- знаменник прогресії)
Рекурентна формула	Для будь-якого натурального n a n + 1 = a n + d	Для будь-якого натурального n b n + 1 = b n ∙ q, b n ≠ 0
Формула n-ого члена	a n = a 1 + d (n – 1)	b n = b 1 ∙ q n - 1 , b n ≠ 0
Характеристична властивість
Сума n-перших членів

Приклади завдань із коментарями

Завдання 1

В арифметичній прогресії ( a n) a 1 = -6, a 2

За формулою n-ого члена:

a 22 = a 1+ d (22 - 1) = a 1+ 21 d

За умовою:

a 1= -6, отже a 22= -6 + 21 d.

Необхідно знайти різницю прогресій:

d = a 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2

a 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

Відповідь: a 22 = -48.

Завдання 2

Знайдіть п'ятий член геометричної прогресії: -3; 6;....

1-й спосіб (за допомогою формули n-члена)

За формулою n-ого члена геометричної прогресії:

b 5 = b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.

Так як b 1 = -3,

2-й спосіб (за допомогою рекурентної формули)

Оскільки знаменник прогресії дорівнює -2 (q = -2), то:

b 3 = 6 ∙ (-2) = -12;

b 4 = -12 ∙ (-2) = 24;

b 5 = 24 ∙ (-2) = -48.

Відповідь: b 5 = -48.

Завдання 3

В арифметичній прогресії ( a n ) a 74 = 34; a 76= 156. Знайдіть сімдесят п'ятий член цієї прогресії.

Для арифметичної прогресії характеристичне властивість має вигляд .

З цього випливає:

Підставимо дані у формулу:

Відповідь: 95.

Завдання 4

В арифметичній прогресії ( a n ) a n= 3n - 4. Знайдіть суму сімнадцяти перших членів.

Для знаходження суми n-перших членів арифметичної прогресії використовують дві формули:

Яку з них у цьому випадку зручніше застосовувати?

За умовою відома формула n-ого члена вихідної прогресії ( a n) a n= 3n - 4. Можна знайти відразу і a 1, і a 16без знаходження d. Тому скористаємося першою формулою.

Відповідь: 368.

Завдання 5

В арифметичній прогресії( a n) a 1 = -6; a 2= -8. Знайдіть двадцять другий член прогресії.

За формулою n-ого члена:

a 22 = a 1 + d (22 – 1) = a 1+ 21d.

За умовою, якщо a 1= -6, то a 22= -6 + 21d. Необхідно знайти різницю прогресій:

d = a 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2

a 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

Відповідь: a 22 = -48.

Завдання 6

Записано кілька послідовних членів геометричної прогресії:

Знайдіть член прогресії, позначений літерою x.

За рішенням скористаємося формулою n-го члена b n = b 1 ∙ q n - 1для геометричних прогресій Перший член прогресії. Щоб знайти знаменник прогресії q необхідно взяти будь-який із цих членів прогресії та розділити на попередній. У нашому прикладі можна взяти та розділити на. Отримаємо, що q = 3. Замість n у формулу підставимо 3, оскільки необхідно знайти третій член заданої геометричної прогресії.

Підставивши знайдені значення формулу, отримаємо: