Методи розв'язання тригонометричних рівнянь.

Розв'язання тригонометричного рівняння складається з двох етапів: перетворення рівняннядля отримання його найпростішоговиду (див. вище) і Рішенняотриманого найпростішого тригонометричного рівняння.Існує сім основних методів розв'язання тригонометричних рівнянь

1. Алгебраїчний метод.

(Метод заміни змінної та підстановки).

2. Розкладання на множники.

П р і м е р 1. Розв'язати рівняння: sin x+ cos x = 1 .

Розв'язання. Перенесемо всі члени рівняння вліво:

Sin x+ cos x – 1 = 0 ,

Перетворимо і розкладемо на множники вираз у

Лівою частиною рівняння:

П р і м е р 2. Розв'язати рівняння: cos 2 x+ sin x· cos x = 1.

Рішення. cos 2 x+ sin x· cos x– sin 2 x- cos 2 x = 0 ,

Sin x· cos x– sin 2 x = 0 ,

Sin x· (cos x– sin x ) = 0 ,

П р і м е р 3. Розв'язати рівняння: cos 2 x- cos 8 x+ cos 6 x = 1.

Рішення. cos 2 x+ cos 6 x= 1 + cos 8 x,

2 cos 4 x cos 2 x= 2 cos² 4 x ,

Cos 4 x · (cos 2 x- cos 4 x) = 0 ,

Cos 4 x · 2 sin 3 x· sin x = 0 ,

1). cos 4 x= 0, 2). sin 3 x= 0, 3). sin x = 0 ,

3. Приведення до однорідного рівняння. Рівняння називається однорідним від носійно sinі cos , якщо всі його члени одного і того ж ступеня щодо sinі cosодного і того ж кута. Щоб розв'язати однорідне рівняння, треба: а) перенести всі його члени до лівої частини; б) винести всі загальні множники за дужки; в) прирівняти всі множники та дужки нулю; г) дужки, прирівняні нулю, дають однорідне рівняння меншого ступеня, яке слід розділити на cos(або sin) у старшому ступені; д) вирішити отримане рівняння алгебри щодоtan . sin 2 x+ 4 sin x· cos x+ 5 cos 2 x = 2. Рішення. 3sin 2 x+ 4 sin x· cos x+ 5 cos 2 x= 2sin 2 x+ 2cos 2 x , Sin 2 x+ 4 sin x· cos x+ 3 cos 2 x = 0 , Tan 2 x+ 4 tan x + 3 = 0 , звідси y 2 + 4y +3 = 0 , Коріння цього рівняння:y 1 = - 1, y 2 = - 3, звідси 1) tan x= -1, 2) tan x = –3,

4. Перехід до половинного кута.

Розглянемо цей метод з прикладу:

П р і м е р. Розв'язати рівняння: 3 sin x– 5 cos x = 7.

Рішення. 6 sin ( x/ 2) · cos ( x/ 2) – 5 cos ² ( x/ 2) + 5 sin ² ( x/ 2) =

7 sin ² ( x/ 2) + 7 cos ² ( x/ 2) ,

2 sin ² ( x/ 2) - 6 sin ( x/ 2) · cos ( x/ 2) + 12 cos ² ( x/ 2) = 0 ,

tan ² ( x/ 2) - 3 tan ( x/ 2) + 6 = 0 ,

. . . . . . . . . .

5. Введення допоміжного кута.

Розглянемо рівняння виду:

a sin x + b cos x = c ,

Де a, b, c- Коефіцієнти;x- Невідоме.

Тепер коефіцієнти рівняння мають властивості синуса і косинуса , а саме: модуль ( абсолютне значення ) кожного з них не більше 1, а сума їх квадратів дорівнює 1. Тоді можна позначити їх відповідно як cos і sin (тут - так званий допоміжний кут), інаше рівняння прини

Тригонометричні рівняння

Вирішення найпростіших тригонометричних рівнянь

Градуси та радіани

Знайомство з тригонометричним колом

Повороти на тригонометричному колі

Як багато болю пов'язане із словом тригонометрію. Ця тема з'являється у 9 класі і вже нікуди не зникає. Тяжко доводиться тим, хто чогось не зрозумів одразу. Спробуємо це виправити, щоб висвітлити ваше обличчя посмішкою при слові тригонометрія або хоча б досягти «poker face».

Почнемо з того, що як довжину можна виразити в метрах чи милях, так і кут можна виразити в радіанах чи градусах.

1 радіан = 180/π ≈ 57,3 градусів

Але простіше запам'ятати цілі числа: 3,14 радіан = 180 градусів.Це все те саме значення числа π.

Згадаймо, що якщо нас просять розвернутися, то нам треба повернутись на 180 градусів, а тепер можна так само сказати: Повернися на π!

Про графіки синуса, косинуса та тангесу поговоримо в іншій статті.

А зараз навіщо з декартової (прямокутної) системи координат.

Раніше вона допомагала будувати графіки, а тепер допоможе із синусом та косинусом.

На перетині осі Х та осі Y побудуємо одиничну (радіус дорівнює 1) коло:

Тоді вісь косінусів збігатиметься з х, вісь синусів з y. Осі тангенсів та котангенсів також показані на малюнку.

А тепер відзначимо основні значення градусів та радіан на колі.

Давай домовимося з тобою, як дорослі люди:на колі ми відзначатимемо кут у радіанах, тобто через Пі.

Достатньо запам'ятати, що π = 180°(Тоді π/6 = 180/6 = 30 °; π / 3 = 180/3 = 60 °; π / 4 = 180/4 = 45 °).

А тепер давай покрутимося на колі! За початок звіту прийнято брати крайню праву точку кола (де 0°):

Від неї задаємо подальший поворот. Обертатися можемо як у позитивну сторону (проти годинникової), так і в негативну сторону (за годинниковою стрілкою).

Повернутися на 45° можна двома способами: через ліве плече на 45° (+) сторону, або через праве плече на 315° (-).

Головне - напрям, куди ми дивитися, а не кут!

Потрібно направити пунктир на 100 балів, а скільки обертів і в який бік довкола себе ми зробимо – не має значення!

Отримати 100 балів можна поворотом на 135 ° або 360 ° +135 °, або -225 °, або -225 ° -360 °...

А тепер у тебе є два шляхи:

Вивчити все коло (тригонометр). Непоганий варіант, якщо з пам'яттю у тебе все добре, і нічого не вилетить з голови у відповідальний момент:

А можна запам'ятати кілька табличних кутів та відповідні їм значення, а потім використати їх.

Знаходьте рівні кути (вертикальні, відповідні) на тригонометричному колі. Потрапити до будь-якої точки можна за допомогою суми або різниці двох табличних значень.

Відразу спробуємо розібрати на прикладі:

Приклад №1. cos(x) = ½

1) Пам'ятаємо, що вісь cos(x) – це горизонтальна вісь. На ній відзначаємо значення ½ і проводимо перпендикулярну (фіолетову) пряму до перетинів з колом.

2) Отримали дві точки перетину з колом, значення цих кутів і буде розв'язуванням рівняння.

Справа за малим – знайти ці кути.

Краще обійтися малою кров'ю і вивчити значення синуса і косинуса для кутів від 30 ° до 60 °.

Або запам'ятати такий прийом:

Пронумеруй пальці від 0 до 4 від мізинця до великого. Кут задається між мізинцем та будь-яким іншим пальцем (від 0 до 90).

Наприклад, потрібно знайти sin(π/2): π/2 - це великий палець, n = 4 підставляємо у формулу для синуса: sin(π/2) = √4/2 = 1 => sin(π/2) = 1.

cos(π/4) -? π/4 відповідає середньому пальцю (n = 2) => cos(π/4) = √2/2.

При значенні cos(x) = ½ із таблиці або за допомогою мнемонічного правила знаходимо x = 60° (перша точка x = +π/3 через те, що поворот відбувався проти годинникової стерелки (+), кут показаний чорною дугою).

Друга точка відповідає точно такому ж кутку, тільки поворот буде за годинниковою стрілкою (−). x = −π/3 (кут показаний нижньою чорною дугою).

І останнє, перш ніж тобі нарешті відкриються таємні знання тригонометрії:

Коли потрібно потрапити в «100 балів», ми можемо в них потрапити за допомогою повороту на...=-225°=135°=495°=...

Те саме і тут! Різні кути можуть відображати один і той же напрямок.

Абсолютно точно можна сказати, що потрібно повернутись на необхідний кут, а далі можна повертатися на 360 ° = 2π (синім кольором) скільки завгодно раз і в будь-якому напрямку.

Таким чином, потрапити в перший напрямок 60° можна: ...,60°-360°, 60°, 60°+360°,...

І як записати решту кутів, не записувати ж нескінченну кількість точок? (Хотів би я на це подивитися ☻)

Тому правильно записати відповідь: x = 60 + 360n, де n - ціле число (n∈Ζ) (повертаємося на 60 градусів, а після кружляємо скільки разів, головне, щоб напрям залишився тим же). Аналогічно x = -60 + 360n.

Але ж ми домовилися, що на колі всі записують через π, тому cos(x) = ½ при x =π/3 + 2πn, n∈Ζ та x = −π/3 + 2πk, k∈Ζ.

Відповідь: x = π/3 + 2πn, x= − π/3 + 2πk, (n, k) ∈Ζ.

Приклад №2. 2sinx = √2

Перше, що слід зробити, це перенести 2-ку праворуч => sinx=√2/2

1) sin(x) збігається з віссю Y. На осі sin(x) відзначаємо √2/2 і проводимо ⊥ фіолетову пряму до перетинів із колом.

2) З таблиці sinx = √2/2 при х = π/4, а другу точку шукатимемо за допомогою повороту до π, а потім потрібно повернутися назад на π/4.

Тому друга точка буде x = π − π/4 = 3π/4, до неї також можна потрапити і за допомогою червоних стрілочок або якось інакше.

І ще не забудемо додати +2πn, n∈Ζ.

Відповідь: 3π/4 + 2πn та π/4 + 2πk, k і n – будь-які цілі числа.

Приклад №3. tg(x + π/4) = √3

Начебто все правильно, тангенс дорівнює числу, але бентежить π/4 в тангенсі. Тоді зробимо заміну: y = x + π/4.

tg(y) = √3 виглядає не так страшно. Згадаймо, де вісь тангенсів.

1) А тепер на осі тангенсів відзначимо значення √3, це вище 1.

2) Проведемо фіолетову пряму через значення √3 та початок координат. Знову на перетині з коло виходить 2 точки.

За мнемонічним правилом при тангенсі √3 перше значення - це π/3.

3) Щоб потрапити до другої точки, можна до першої точки (π/3) додати π => y = π/3 + π = 4π/3.

4) Але ми знайшли тільки y, повернемося до х. y = π/3 + 2πn та y = x + π/4, тоді x + π/4 = π/3 + 2πn => x = π/12 + 2πn, n∈Ζ.

Другий корінь: y = 4π/3 + 2πk та y = x + π/4, тоді x + π/4 = 4π/3 + 2πk => x = 13π/12 + 2πk, k∈Ζ.

Тепер коріння на колі буде тут:

Відповідь: π/12 + 2πn та 13π/12 + 2πk, k та n- будь-які цілі числа.

Звичайно, ці дві відповіді можна поєднати в одну. Від 0 поворот на π/12, а далі кожен корінь повторюватиметься через кожний π (180°).

Відповідь можна записати і так: π/12 + πn, n∈Ζ.

Приклад №4: −10ctg(x) = 10

Перенесемо (−10) до іншої частини: ctg(x) = −1. Зазначимо значення –1 на осі котангенсів.

1) Проведемо пряму через цю точку та початок координат.

2) Прийде знову згадати, коли розподіл косинуса на синус дасть одиниця (це виходить при π / 4). Але тут −1, тож одна точка буде −π/4. А другу знайдемо поворотом до π, а потім назад на π/4 (π − π/4).

Можна це зробити по-іншому (червоним кольором), але моя вам порада: завжди відраховуйте від цілих значень пі(π, 2π, 3π...) так набагато менше шансів заплутатися.

Не забуваємо додати до кожної точки 2πk.

Відповідь: 3π/4 + 2πn і −π/4 + 2πk, k і n – будь-які цілі числа.

Алгоритм розв'язання тригонометричних рівнянь (на прикладі cos(x) = − √ 3/2) :

1. Зазначаємо значення (−√3/2) на осі тригонометричної функції (косінусів, це вісь Х).
2. Проводимо перпендикулярну пряму осі (косінусів) до перетинів з колом.
3. Точки перетину з колом і будуть корінням рівняння.
4. Значення однієї точки (без різниці, як у неї потрапите)+2πk.

Азов достатньо, перш ніж йти далі, закріпіть отримані знання.

На цьому уроці ми розглянемо основні тригонометричні функції, їх властивості та графіки, а також перерахуємо основні типи тригонометричних рівнянь та систем. Крім цього, вкажемо загальні рішення найпростіших тригонометричних рівнянь та їх окремі випадки.

Цей урок допоможе Вам підготуватися до одного з типів завдання В5 та С1.

Підготовка до ЄДІ з математики

Експеримент

Урок 10. Тригонометричні функції. Тригонометричні рівняння та їх системи.

Теорія

Конспект уроку

Ми з вами вже застосовували термін «тригонометрична функція». Ще на першому уроці цієї теми ми визначили їх за допомогою прямокутного трикутника та одиничного тригонометричного кола. Використовуючи такі методи завдання тригонометричних функцій, ми можемо зробити висновок, що їм одному значенню аргументу (чи кута) відповідає суворо одне значення функції, тобто. ми маємо право називати синус, косинус, тангенс і котангенс саме функціями.

У цьому уроці саме час спробувати абстрагуватися від розглянутих раніше способів обчислення значень тригонометричних функцій. Сьогодні ми перейдемо до звичного підходу алгебри роботи з функціями, ми розглянемо їх властивості і зобразимо графіки.

Що стосується властивостей тригонометричних функцій, то особливу увагу слід звернути на:

Область визначення та область значень, т.к. для синуса та косинуса є обмеження по області значень, а для тангенсу та котангенсу обмеження по області визначення;

Періодичність всіх трігонометричних функцій, т.к. ми вже зазначали наявність найменшого ненульового аргументу, додавання якого змінює значення функції. Такий аргумент називають періодом функції та позначають буквою. Для синуса/косинусу та тангенсу/котангенсу ці періоди різні.

Розглянемо функцію:

1) Область визначення;

2) Область значень ;

3) Функція непарна ;

Побудуємо графік функції. При цьому зручно починати побудову із зображення області, яка обмежує графік зверху числом 1 і числом знизу , що пов'язано з областю значень функції. Крім того, для побудови корисно пам'ятати значення синусів декількох основних табличних кутів, наприклад, що це дозволить побудувати першу повну «хвилю» графіка і потім перемальовувати її вправо та вліво, користуючись тим, що картинка повторюватиметься зі зміщенням на період, тобто. на .

Тепер розглянемо функцію:

Основні властивості цієї функції:

1) Область визначення;

2) Область значень ;

3) Функція парна З цього випливає симетричність графіка функції щодо осі ординат;

4) Функція не є монотонною на всій своїй ділянці визначення;

Побудуємо графік функції. Як і при побудові синуса зручно починати із зображення області, яка обмежує графік зверху числом 1 і числом знизу , що пов'язано з областю значень функції. Також нанесемо на графік координати кількох точок, для чого необхідно пам'ятати значення косінусів кількох основних табличних кутів, наприклад, що за допомогою цих точок ми можемо побудувати першу повну хвилю графіка і потім перемальовувати її вправо і вліво, користуючись тим, що картинка повторюватиметься зі зміщенням період, тобто. на .

Перейдемо до функції:

Основні властивості цієї функції:

1) Область визначення крім , де . Ми вже вказували на попередніх уроках, що не існує. Це твердження можна узагальнити з огляду на період тангенсу;

2) Область значень, тобто. значення тангенсу не обмежені;

3) Функція непарна ;

4) Функція монотонно зростає у межах своїх так званих гілок тангенсу, які ми зараз побачимо на малюнку;

5) Функція періодична з періодом

Побудуємо графік функції. У цьому зручно починати побудова із зображення вертикальних асимптот графіка у точках, які входять у область визначення, тобто. і т.д. Далі зображаємо гілки тангенсу всередині кожної з утворених асимптотами смужок, притискаючи їх до лівої асимптоти та до правої. При цьому не забуваємо, що кожна гілка монотонно зростає. Усі гілки зображаємо однаково, т.к. функція має період, що дорівнює . Це видно з того, що кожна гілка виходить усуненням сусідньої на вздовж осі абсцис.

І завершуємо розглядом функції:

Основні властивості цієї функції:

1) Область визначення крім , де . По таблиці значень тригонометричних функцій ми знаємо, що немає. Це твердження можна узагальнити з огляду на період котангенсу;

2) Область значень, тобто. значення котангенсу не обмежені;

3) Функція непарна ;

4) Функція монотонно зменшується в межах своїх гілок, які схожі на гілки тангенсу;

5) Функція періодична з періодом

Побудуємо графік функції. У цьому, як й у тангенса, зручно починати побудова із зображення вертикальних асимптот графіка у точках, які входять у область визначення, тобто. і т.д. Далі зображаємо гілки котангенсу всередині кожної з утворених асимптотами смужок, притискаючи їх до лівої асимптоти та до правої. У цьому випадку враховуємо, що кожна гілка монотонно зменшується. Усі гілки і тангенсу зображуємо однаково, т.к. функція має період, що дорівнює .

Окремо слід зазначити той факт, що тригонометричні функції зі складним аргументом можуть мати нестандартний період. Йдеться про функції виду:

У них період дорівнює. І про функції:

У них період дорівнює.

Як бачимо, для обчислення нового періоду стандартний період ділиться на множник при аргументі. Від інших видозмін функції він не залежить.

Докладніше розібратися та зрозуміти, звідки беруться ці формули, ви зможете в уроці про побудову та перетворення графіків функцій.

Ми підійшли до однієї з найголовніших частин теми «Тригонометрія», яку ми присвятимо рішенню тригонометричних рівнянь. Вміння вирішувати такі рівняння важливе, наприклад, при описі коливальних процесів у фізиці. Уявимо, що ви на спортивній машині проїхали кілька кіл на картинзі, визначити скільки часу ви вже берете участь у гонці в залежності від положення машини на трасі допоможе розв'язання тригонометричного рівняння.

Запишемо найпростіше тригонометричне рівняння:

Рішенням такого рівняння є аргументи, синус яких дорівнює. Але ми вже знаємо, що через періодичність синуса таких аргументів існує безліч. Таким чином, розв'язуванням цього рівняння будуть і т.п. Те саме стосується і вирішення будь-якого іншого найпростішого тригонометричного рівняння, їх буде нескінченна кількість.

Тригонометричні рівняння поділяються на кілька основних типів. Окремо слід зупинитись на найпростіших, т.к. решта до них зводяться. Таких рівнянь чотири (за кількістю основних тригонометричних функцій). Їх відомі загальні рішення, їх необхідно запам'ятати.

Найпростіші тригонометричні рівняння та їх загальні рішеннявиглядають наступним чином:

Зверніть увагу, що значення синуса і косинуса необхідно враховувати відомі нам обмеження. Якщо, наприклад, то рівняння не має рішень і застосовувати зазначену формулу не слід.

Крім того, зазначені формули коренів містять параметр як довільного цілого числа . У шкільній програмі це єдиний випадок, коли рішення рівняння без параметра містить у собі параметр. Це довільне ціле число показує, що можна виписати нескінченну кількість коренів будь-якого із зазначених рівнянь просто підставляючи замість черги всі цілі числа.

Ознайомитись із докладним отриманням зазначених формул ви можете, повторивши розділ «Тригонометричні рівняння» у програмі алгебри 10 класу.

Окремо необхідно звернути увагу на вирішення окремих випадків найпростіших рівнянь з синусом і косинусом. Ці рівняння мають вигляд:

До них не слід застосовувати формули знаходження спільних рішень. Такі рівняння найзручніше вирішуються з використанням тригонометричного кола, що дає більш простий результат, ніж формули загальних рішень.

Наприклад, рішенням рівняння є . Спробуйте самі отримати цю відповідь і вирішити решту вказаних рівнянь.

Крім зазначеного типу тригонометричних рівнянь, що найчастіше зустрічається, існують ще кілька стандартних. Перерахуємо їх з урахуванням тих, які ми вже зазначили:

1) Найпростіші, наприклад, ;

2) Окремі випадки найпростіших рівняньнаприклад, ;

3) Рівняння зі складним аргументомнаприклад, ;

4) Рівняння, що зводяться до найпростіших шляхом винесення загального множниканаприклад, ;

5) Рівняння, що зводяться до найпростіших шляхом перетворення тригонометричних функційнаприклад, ;

6) Рівняння, що зводяться до найпростіших за допомогою замінинаприклад, ;

7) Однорідні рівняннянаприклад, ;

8) Рівняння, що вирішуються з використанням властивостей функційнаприклад, . Нехай вас не лякає, що в цьому рівнянні дві змінні, воно вирішується при цьому;

А також рівняння, що вирішуються з використанням різних методів.

Крім розв'язання тригонометричних рівнянь необхідно вміти розв'язувати їх системи.

Найчастіше зустрічаються системи наступних типів:

1) У яких одне з рівнянь статечненаприклад, ;

2) Системи із найпростіших тригонометричних рівняньнаприклад, .

На сьогоднішньому уроці ми розглянули основні тригонометричні функції, їх властивості та графіки. А також познайомилися із загальними формулами розв'язання найпростіших тригонометричних рівнянь, вказали основні типи таких рівнянь та їх систем.

У практичній частині уроку ми розберемо методи розв'язання тригонометричних рівнянь та їх систем.

Вставлення 1.Розв'язання окремих випадків найпростіших тригонометричних рівнянь.

Як ми вже говорили в основній частині уроку, окремі випадки тригонометричних рівнянь із синусом і косинусом виду:

мають простіші рішення, ніж дають формули загальних рішень.

Для цього використовується тригонометричне коло. Розберемо метод їх розв'язання на прикладі рівняння.

Зобразимо на тригонометричному колі точку, в якій значення косинуса дорівнює нулю, воно є координатою по осі абсцис. Як бачимо, таких точок дві. Наше завдання вказати чому дорівнює кут, який відповідає цим точкам на колі.

Починаємо відлік від позитивного спрямування осі абсцис (осі косінусів) і при відкладанні кута потрапляємо в першу зображену точку, тобто. одним із рішень буде це значення кута. Але ж нас ще влаштовує кут, який відповідає другій точці. Як потрапити до неї?

Ви можете замовити докладне вирішення вашої задачі!

Рівність, що містить невідому під знаком тригонометричної функції (`sin x, cos x, tg x` або `ctg x`), називається тригонометричним рівнянням, саме їх формули ми й розглянемо далі.

Найпростішими називаються рівняння `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, де `x` - кут, який потрібно знайти, `a` - будь-яке число. Запишемо для кожного з них формули коріння.

1. Рівняння `sin x=a`.

При `|a|>1` немає рішень.

При `|a| \leq 1` має нескінченну кількість рішень.

Формула коренів: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. Рівняння `cos x=a`

При `|a|>1` — як і у випадку із синусом, рішень серед дійсних чисел не має.

При `|a| \leq 1` має безліч рішень.

Формула коренів: x = p arccos a + 2 pi n, n in Z

Приватні випадки для синуса та косинуса у графіках.

3. Рівняння `tg x=a`

Має безліч рішень при будь-яких значеннях `a`.

Формула коренів: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. Рівняння `ctg x=a`

Також має безліч рішень при будь-яких значеннях `a`.

Формула коренів: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Формули коренів тригонометричних рівнянь у таблиці

Для синусу:
Для косинуса:
Для тангенсу та котангенсу:
Формули розв'язання рівнянь, що містять зворотні тригонометричні функції:

Методи розв'язання тригонометричних рівнянь

Розв'язання будь-якого тригонометричного рівняння складається з двох етапів:

• за допомогою перетворити його до найпростішого;
• вирішити отримане найпростіше рівняння, використовуючи вище написані формули коренів та таблиці.

Розглянемо на прикладах основні способи розв'язання.

Алгебраїчний метод.

У цьому вся методі робиться заміна змінної та її підстановка на рівність.

приклад. Розв'язати рівняння: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+frac \pi 6)-3cos(x+frac \pi 6)+1=0`,

робимо заміну: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, тоді `2y^2-3y+1=0`,

знаходимо коріння: `y_1=1, y_2=1/2`, звідки випливають два випадки:

1. ` cos (x + frac \ pi 6) = 1 `, ` x + \ frac \ pi 6 = 2 \ pi n `, ` x_1 = - \ frac \ pi 6 +2 \ pi n `.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Відповідь: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-frac \pi 6+2\pi n`.

Розкладання на множники.

приклад. Розв'язати рівняння: `sin x+cos x=1`.

Рішення. Перенесемо вліво всі члени рівності: `sin x+cos x-1=0`. Використовуючи , перетворимо та розкладемо на множники ліву частину:

`sin x - 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

1. ` sin x/2 = 0 `, ` x/2 = \ pi n `, ` x_1 = 2 \ pi n `.
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=pi/2+ 2pi n`.

Відповідь: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Приведення до однорідного рівняння

Спочатку потрібно це тригонометричне рівняння привести до одного з двох видів:

`a sin x+b cos x=0` (однорідне рівняння першого ступеня) або `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (однорідне рівняння другого ступеня).

Потім розділити обидві частини на `cos x \ ne 0` - для першого випадку, і на ` cos ^ 2 x \ ne 0` - для другого. Отримаємо рівняння щодо `tg x`: `a tg x+b=0` та `a tg^2 x + b tg x +c =0`, які потрібно вирішити відомими способами.

приклад. Розв'язати рівняння: `2 sin ^ 2 x + sin x cos x - cos ^ 2 x = 1 `.

Рішення. Запишемо праву частину, як `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=`` sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x - `` sin^2 x - cos^2 x=0`

` sin ^ 2 x + sin x cos x - 2 cos ^ 2 x = 0 `.

Це однорідне тригонометричне рівняння другого ступеня, розділимо його ліву та праву частини на `cos^2 x \ne 0`, отримаємо:

`\frac(sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) - \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x + tg x - 2 = 0`. Введемо заміну `tg x=t`, в результаті `t^2 + t - 2=0`. Коріння цього рівняння: `t_1=-2` та `t_2=1`. Тоді:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Відповідь. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Перехід до половинного кута

приклад. Розв'язати рівняння: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

Рішення. Застосуємо формули подвійного кута, в результаті: `22 sin (x/2) cos (x/2) - ``2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=``10 sin^2 x/2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 - 11 tg x/2 +6=0`

Застосувавши описаний вище метод алгебри, отримаємо:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Відповідь. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Введення допоміжного кута

У тригонометричному рівнянні `a sin x + b cos x = c`, де a, b, c – коефіцієнти, а x – змінна, розділимо обидві частини на `sqrt (a^2+b^2)`:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `frac c(sqrt (a^2 +b^2))`.

Коефіцієнти в лівій частині мають властивості синуса та косинуса, а саме сума їх квадратів дорівнює 1 та їх модулі не більше 1. Позначимо їх наступним чином: `\frac a(sqrt(a^2+b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2))=C`, тоді:

` cos \ varphi sin x + sin \ varphi cos x = C `.

Докладніше розглянемо на наступному прикладі:

приклад. Розв'язати рівняння: `3 sin x+4 cos x=2`.

Рішення. Розділимо обидві частини рівності на `sqrt (3^2+4^2)`, отримаємо:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+``\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `frac 2(sqrt (3^2+4^2))`

`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.

Позначимо `3/5 = cos \ varphi`, `4/5 = sin \ varphi`. Так як ` sin \ varphi> 0 `, ` cos \ varphi> 0 `, то як допоміжний кут візьмемо ` \ varphi = arcsin 4/5 `. Тоді нашу рівність запишемо у вигляді:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Застосувавши формулу суми кутів для синуса, запишемо нашу рівність у такому вигляді:

`sin (x+\varphi) = 2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Відповідь. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Дробно-раціональні тригонометричні рівняння

Це рівності з дробами, у чисельниках та знаменниках яких є тригонометричні функції.

приклад. Вирішити рівняння. frac (sin x) (1 + cos x) = 1-cos x `.

Рішення. Помножимо та розділимо праву частину рівності на `(1+cos x)`. В результаті отримаємо:

`\frac (sin x)(1+cos x)=``\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=``\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=``\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-``\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

Враховуючи, що знаменник рівним бути нулю не може, отримаємо `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.

Прирівняємо до нуля чисельник дробу: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Тоді `sin x=0` або `1-sin x=0`.

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

Враховуючи, що ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, рішеннями будуть `x=2\pi n, n \in Z` та `x=\pi /2+2\pi n` , `n \ in Z`.

Відповідь. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

Тригонометрія та тригонометричні рівняння зокрема застосовуються майже у всіх сферах геометрії, фізики, інженерії. Починається вивчення в 10 класі, обов'язково присутні завдання на ЄДІ, тому постарайтеся запам'ятати всі формули тригонометричних рівнянь - вони вам знадобляться!

Втім, навіть запам'ятовувати їх не потрібно, головне зрозуміти суть і вміти вивести. Це не так складно, як здається. Переконайтеся, переглядаючи відео.

Концепція рішення тригонометричних рівнянь.

• Для розв'язання тригонометричного рівняння перетворіть його на одне або кілька основних тригонометричних рівнянь. Рішення тригонометричного рівняння зрештою зводиться до вирішення чотирьох основних тригонометричних рівнянь.

Розв'язання основних тригонометричних рівнянь.

• Існують 4 види основних тригонометричних рівнянь:
• sin x = a; cos x = a
• tg x = a; ctg x = a
• Розв'язання основних тригонометричних рівнянь передбачає розгляд різних положень «х» на одиничному колі, а також використання таблиці перетворення (або калькулятора).
• Приклад 1. Sin x = 0,866. Використовуючи таблицю перетворення (або калькулятор) ви отримаєте відповідь: х = π/3. Одиничне коло дає ще одну відповідь: 2π/3. Запам'ятайте, що всі тригонометричні функції є періодичними, тобто їх значення повторюються. Наприклад, періодичність sin x та cos x дорівнює 2πn, а періодичність tg x та ctg x дорівнює πn. Тому відповідь записується так:
• x1 = π/3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn.
• Приклад 2. х = -1/2. Використовуючи таблицю перетворення (або калькулятор) ви отримаєте відповідь: х = 2π/3. Поодиноке коло дає ще одну відповідь: -2π/3.
• x1 = 2π/3 + 2π; х2 = -2π/3 + 2π.
• Приклад 3. tg (x – π/4) = 0.
• Відповідь: х = π/4 + πn.
• Приклад 4. ctg 2x = 1732.
• Відповідь: х = π/12 + πn.

Перетворення, що використовуються під час вирішення тригонометричних рівнянь.

• Для перетворення тригонометричних рівнянь використовуються перетворення алгебри (розкладання на множники, приведення однорідних членів і т.д.) і тригонометричні тотожності.
• Приклад 5. Використовуючи тригонометричні тотожності, рівняння sin x + sin 2x + sin 3x = 0 перетворюється на рівняння 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0. Таким чином, потрібно вирішити наступні основні тригонометричні рівняння: cos x = 0; sin (3x/2) = 0; cos(x/2) = 0.

• Знаходження кутів за відомими значеннями функцій.

  • Перед вивченням методів розв'язання тригонометричних рівнянь вам необхідно навчитися знаходити кути за відомими значеннями функцій. Це можна зробити за допомогою таблиці перетворення чи калькулятора.
  • Приклад: х = 0,732. Калькулятор дасть відповідь x = 42,95 градусів. Одиничне коло дасть додаткові кути, косинус яких також дорівнює 0,732.

• Відкладіть рішення на одиничному колі.

  • Ви можете відкласти рішення тригонометричного рівняння на одиничному колі. Рішення тригонометричного рівняння на одиничному колі є вершинами правильного багатокутника.
  • Приклад: Рішення x = π/3 + πn/2 на одиничному колі є вершинами квадрата.
  • Приклад: Рішення x = π/4 + πn/3 на одиничному колі є вершинами правильного шестикутника.

• Методи розв'язання тригонометричних рівнянь.

  • Якщо це тригонометричне рівняння містить лише одну тригонометричну функцію, розв'яжіть це рівняння як основне тригонометричне рівняння. Якщо це рівняння включає дві або більше тригонометричні функції, то існують 2 методи розв'язання такого рівняння (залежно від можливості його перетворення).
    • Метод 1.
  • Перетворіть це рівняння на рівняння виду: f(x)*g(x)*h(x) = 0, де f(x), g(x), h(x) - основні тригонометричні рівняння.
  • Приклад 6. 2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
  • Рішення. Використовуючи формулу подвійного кута sin 2x = 2*sin х*соs х, замініть sin 2x.
  • 2соs х + 2*sin х*соs х = 2cos х*(sin х + 1) = 0. Тепер розв'яжіть два основні тригонометричні рівняння: соs х = 0 і (sin х + 1) = 0.
  • Приклад 7. cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
  • Рішення: Використовуючи тригонометричні тотожності, перетворіть це рівняння на рівняння виду: cos 2x(2cos x + 1) = 0. Тепер розв'яжіть два основні тригонометричні рівняння: cos 2x = 0 і (2cos x + 1) = 0.
  • Приклад 8. sin x - sin 3x = cos 2x. (0< x < 2π)
  • Рішення: Використовуючи тригонометричні тотожності, перетворіть дане рівняння на рівняння виду: -cos 2x*(2sin x + 1) = 0. Тепер розв'яжіть два основні тригонометричні рівняння: cos 2x = 0 і (2sin x + 1) = 0.
    • Метод 2.
  • Перетворіть це тригонометричне рівняння на рівняння, що містить лише одну тригонометричну функцію. Потім замініть цю тригонометричну функцію на деяку невідому, наприклад, t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tg x = t; tg (x/2) = t і т.д.).
  • Приклад 9. 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0< x < 2π).
  • Рішення. У цьому рівнянні замініть (cos^2 x) на (1 - sin^2 x) (відповідно до тотожності). Перетворене рівняння має вигляд:
  • 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. Замініть sin x на t. Тепер рівняння має вигляд: 5t^2 - 4t - 9 = 0. Це квадратне рівняння, що має два корені: t1 = -1 та t2 = 9/5. Другий корінь t2 не задовольняє області значень функції (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
  • Приклад 10. tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
  • Рішення. Замініть tg x на t. Перепишіть вихідне рівняння у такому вигляді: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. Тепер знайдіть t, а потім знайдіть х для t = tg х.

• Особливі тригонометричні рівняння.

  • Існує кілька особливих тригонометричних рівнянь, які потребують конкретних перетворень. Приклади:
  • a * sin x + b * cos x = c; a(sin x + cos x) + b * cos x * sin x = c;
  • a*sin^2 x + b*sin x*cos x + c*cos^2 x = 0

• Періодичність тригонометричних функцій.

  • Як згадувалося раніше, всі тригонометричні функції є періодичними, тобто їх значення повторюються через певний період. Приклади:
    • Період функції f(x) = sin x дорівнює 2π.
    • Період функції f(x) = tg x дорівнює π.
    • Період функції f(x) = sin 2x дорівнює π.
    • Період функції f(x) = cos(x/2) дорівнює 4π.
  • Якщо період вказано у завданні, обчисліть значення «х» у межах цього періоду.
  • Примітка: розв'язання тригонометричних рівнянь – непросте завдання, яке часто призводить до помилок. Тому ретельно перевіряйте відповіді. Для цього можна використовувати графічний калькулятор, щоб побудувати графік рівняння R(х) = 0. У таких випадках рішення будуть представлені у вигляді десяткових дробів (тобто π замінюється на 3,14).