Федеральне агентство з освіти

Державний освітній заклад вищої професійної освіти

Національний дослідницький

Томський політехнічний університет

Інститут природних ресурсів

Кафедра ВМ

РЕФЕРАТ

Тема : « Діаграма Ейлера-Венна»

Виконавець:

Студент групи 2У00

Керівник:

Введение……………………………………………………………….………..3

1. З історії…………………………………………………………….….…..4

2. Діаграма Ейлера-Венна……………………………………………….…..4

3. Операції над безліччю діаграми Ейлера-Венна………………….5

a) Об'єднання……………………….. ……………………………….……7

b) Перетин, доповнення………………….……………………………..7

c) Стрілка Пірса, штрих Шеффера і різницю...………………………….8

d) Різниця……………………………………………………………………8

e) Симетрична різниця та еквівалентність…………………….…….9

Заключение………………………………………………………………………10

Список литературы…………………………………………………….………..11

Вступ

Кола Ейлера – геометрична схема, за допомогою якої можна зобразити відносини між підмножинами, для наочного уявлення. Кола було винайдено Леонардом Ейлером. Використовується в математиці, логіці, менеджменті та інших прикладних напрямках.

Важливий окремий випадок кіл Ейлера – діаграми Ейлера – Венна, що зображують усі 2n комбінацій n властивостей, тобто кінцеву булеву алгебру. При n = 3 діаграма Ейлера – Венна зазвичай зображується у вигляді трьох кіл з центрами у вершинах рівностороннього трикутника та однаковим радіусом, приблизно рівним довжині сторони трикутника.

При вирішенні цілого ряду завдань Леонард Ейлер використав ідею зображення множин за допомогою кіл. Однак цим методом ще до Ейлера користувався видатний німецький філософ та математик (1646-1716). Лейбніц використовував їх для геометричної інтерпретації логічних зв'язків між поняттями, але при цьому все ж таки вважав за краще використовувати лінійні схеми.

Але досить ґрунтовно розвинув цей метод сам Л. Ейлер. Методом кіл Ейлера користувався і німецький математик Ернст Шредер (1841-1902) у книзі "Алгебра логіки". Особливого розквіту графічні методи досягли у творах англійського логіка Джона Венна (1843-1923), який докладно виклав у книзі «Символічна логіка», виданої Лондоні 1881 року. Тому такі схеми іноді називають діаграми Ейлера - Венна.

1.З історії

Леонард Ейлер(1707 – 1783, Санкт-Петербург, Російська імперія) -математик, механік, фізик. Ад'юнкт з фізіології, професор фізики, професор вищої математики, який зробив значний внесок у розвиток математики, а також механіки, фізики, астрономії та ряду прикладних наук.

Ейлер - автор більш ніж 800 робіт з математичного аналізу, диференціальної геометрії, теорії чисел, наближених обчислень, небесної механіки, математичної фізики, оптики, балістики, кораблебудування, теорії музики та ін.

Майже півжиття провів у Росії, де зробив істотний внесок у становлення російської науки. У 1726 році він був запрошений працювати в Санкт-Петербург, куди переїхав роком пізніше. З 1711 по 1741, а також з 1766 був академіком Петербурзької Академії Наук (у 1741-1766 роках працював у Берліні, залишаючись одночасно почесним членом Петербурзької Академії). Добре знав російську мову і частину своїх творів (особливо підручники) публікував російською. Перші російські академіки-математики (С. К. Котельников) та астрономи (С. Я. Румовський) були учнями Ейлера. Деякі з його нащадків досі живуть у Росії.

Джон Венн (1, англійський логік. Працював у галузі логіки класів, де створив особливий графічний апарат (так звані діаграми Венна), який знайшов застосування в логіко-математичній теорії «формальних нейронних мереж».) Венну належить обґрунтування зворотних операцій у логічному обчисленні Дж. Буля. областю інтересу Джона була логіка, і він опублікував три роботи по цій темі: це "Логіка випадку", в якій вводиться інтерпретація частоти або частотна теорія ймовірностей у 1866 р., "Символьна логіка", з якою були введені діаграми Венна в 1881 р.; "Принципи емпіричної логіки" в 1889, в якій наводяться обґрунтування зворотних операцій у булевій логіці.

У математиці малюнки у вигляді кіл, що зображають множини, використовуються дуже давно. Одним з перших, хто користувався цим методом, був видатний німецький математик і філософ (1В його чорнових нарисах були виявлені малюнки з такими колами. Потім цей метод досить ґрунтовно розвинув і Леонард Ейлер. Він довгі роки працював у Петербурзькій Академії наук. До цього часу належать його знамениті "Листи до німецької принцеси", написані в період з 1761 по 1768. У деяких з цих "Листів" Ейлер якраз і розповідає про свій метод. Після Ейлера цей же метод розробляв чеський математик Бернард Больцано (1Тільки в На відміну від Ейлера він малював не кругові, а прямокутні схеми.Методом кіл Ейлера користувався і німецький математик Ернест Шредер (1Цей метод широко використовується в книзі "Алгебра логіки". Але найбільшого розквіту графічні методи досягли в творах англійської логіки. метод викладений їм у книзі "Символічна логіка", виданої в Лондоні в 1881. На честь Венна замість кіл Ейлера відповідні малюнки називають іноді діаграмами Венна; у деяких книгах їх називають також діаграмами (або колами) Ейлера-Венна.

2.Діаграма Ейлера-Венна

Поняття множини і підмножини використовуються щодо багатьох понять математики і, зокрема, щодо геометричної фігури. Визначимо як універсальну множину площину. Тоді можна дати таке визначення геометричної фігури у планіметрії:

Геометричною фігуроюназивається всяка безліч точок площини. Щоб наочно відображати множини та відносини між ними, малюють геометричні фігури, які знаходяться між собою у цих відносинах. Такі зображення множин називають діаграмами Ейлера-Венна. Діаграми Ейлера-Венна роблять наочними різні твердження, що стосуються множин. Там універсальне безліч зображують як прямокутника, яке підмножини – колами. Використовується в математиці, логіці, менеджменті та інших прикладних напрямках.

Діаграми Ейлера-Венна полягає у зображенні великого прямокутника, що представляє універсальну множину U, а всередині його – кіл (чи якихось інших замкнутих постатей), що становлять безлічі. Фігури повинні перетинатися в найбільш загальному випадку, необхідному в завданні, і повинні бути позначені відповідним чином. Крапки, що лежать усередині різних областей діаграми, можуть розглядатися як елементи відповідних множин. Маючи побудовану діаграму, можна заштрихувати певні області для позначення новостворених множин.

Основні операції над множинами:

Перетин Об'єднання Різниця

3. Операції над множинами діаграми Ейлера-Венна

Операції над множинами розглядаються для отримання нових множин з існуючих.

	Визначення. Об'єднанняммножин А і В називається безліч, що складається з усіх тих елементів, які належать хоча б одному з множин А, В (рис. 1):
	Визначення. Перетиноммножин А і В називається безліч, що складається з усіх тих і тільки тих елементів, які належать одночасно як множині А, так і множині В (рис. 2):
	Визначення . Різницямножин А і В називається безліч усіх тих і тільки тих елементів А, які не містяться в (рис. 3):
	Визначення. Симетричною різницеюмножин А і В називається безліч елементів цих множин, які належать або тільки множині А, або тільки множини В (рис. 4):
	Визначення. Абсолютним доповненняммножини А називається безліч всіх тих елементів, які не належать множині А (рис. 5):

Тепер докладніше на прикладах.

Нехай дана деяка сукупність предметів, яку після перерахунку можна було б позначити як

A = (1, 2, 4, 6) і B = (2, 3, 4, 8, 9)

круглих та білих предметів. Можна вихідну множину називати фундаментальним, а підмножини A та B – просто множинами.

В результаті отримаємо чотири класи елементів:

C 0 = (5, 7, 10, 11) - елементи не мають жодної з названих властивостей,

C 1 = (1, 6) - елементи мають тільки властивість A (круглі),

C 2 = (3, 8, 9) - елементи мають лише властивість B (білі),

C 3 = (2, 4) - елементи мають одночасно дві властивості A і B.

На рис. 1.1. вказані класи зображені за допомогою діаграми Ейлера - Венна.

Рис. 1.1

Часто діаграми немає всієї повноти спільності, наприклад та, що зображено на рис. 1.2. На ній уже безліч A повністю включено до B. Для такого випадку використовується спеціальний символ включення (Ì): A Ì B = (1, 2, 4) Ì (1, 2, 3, 4, 6).

Якщо одночасно виконуються дві умови: A B і B A, то A = B, у цьому випадку говорять, що безлічі A і B повністю еквівалентні.

Рис. 1.2

Після того, як визначено чотири класи елементів і надано необхідні відомості про діаграми Ейлера - Венна, введемо операції на множинах. Як першу розглянемо операцію об'єднання.

a)Об'єднання

Об'єднанняммножин A = (1, 2, 4, 6) і B = (2, 3, 4, 8, 9)

назвемо безліч

A È B = (1, 2, 3, 4, 6, 8, 9),

де È – символ об'єднання множин. Таким чином, об'єднанням охоплюються три класи елементів - C 1, C 2 та C 3, які на діаграмі (рис. 1.3) заштриховані.

Логічно операцію об'єднання двох множин можна охарактеризувати словами: елемент xналежить множині A або множині B. При цьому зв'язка «або» одночасно означає і зв'язку «і». Факт приналежності елемента xмножині A позначається як xÎ A. Тому те, що xналежить A або/і B, виражається формулою:

xÎ A È B = ( xÎ A) Ú ( xÎ B),

де Ú - символ логічної зв'язки або, яка називається диз'юнкцією.

b) Перетин, доповнення

Перетиноммножин A і B називається безліч A Ç B, що містить ті елементи з A і B, які входять одночасно в обидва множини. Для нашого числового прикладу матимемо:

A Ç B = (1, 2, 4, 6) Ç (2, 3, 4, 8, 9) = (2, 4) = C 3.

Діаграма Ейлера – Венна для перетину зображено на рис. 1.4.

Те, що xналежить одночасно двом множинам A і B можна уявити виразом:

xÎ A Ç B = ( xÎ A) Ù ( xÎ B),

де Ù - символ логічної зв'язки «і», яка називається кон'юнкцією.

Уявімо собі операцію, в результаті якої виявляться заштрихованими області C 1 та C 3, що утворюють множину A (рис. 1.5). Потім ще одну операцію, яка охопить дві інші області. C 0 та C 2, що не входять до A, що позначається як A(Рис.1.6).

Якщо об'єднати заштриховані області на обох діаграмах, отримаємо все заштриховане безліч 1; перетин же A і Aдасть порожню множину 0, в якому не міститься жодного елемента:

A È A= 1, A Ç A = 0.

Безліч A доповнюємножина A до фундаментальної множини V (або 1); звідси назва: додатковебезліч A, або доповненняяк операція. Додаток до логічної змінної x, тобто. x (не- x), називається найчастіше запереченням x.

Після введення операцій перетину та доповнення всі чотири області Ciна діаграмі Ейлера – Венна можна виразити так:

C 0 = A Ç B, C 1 = A Ç B, C 2 = AÇ B, C 3 = A Ç B.

Шляхом об'єднання відповідних областей Ciможна уявити будь-яку множинну операцію, у тому числі й саме об'єднання:

A È B = (A Ç B) È ( AÇ B) È (A Ç B).

На діаграмі Ейлера – Венна для імплікації (рис. 1.10) показано частковевключення множини A до множини B, яке потрібно відрізняти від повноговключення (рис. 1.2).

Якщо стверджується, що «елементи множини A включені до множини B», то область C 3 обов'язково має бути заштрихована, а область C 1 з такою ж необхідністю має бути залишена білою. Щодо областей C 0 та C 1, що знаходяться в A, Зауважимо, що ми не маємо права залишати їх білими, проте, ми зобов'язані все ж таки області, що потрапляють у A, заштрихувати.

Е)Симетрична різниця та еквівалентність

Залишається навести ще дві операції, що взаємно доповнюють - симетричну різницю і еквівалентність. Симетрична різниця двох множин A і B є поєднання двох різниць:

A + B = (A – B) È (B – A) = C 1 È C 2 = {1, 3, 6, 8, 9}.

Еквівалентність визначається тими елементами множин A та B, які для них є загальними. Однак елементи, що не входять ні A, ні B, також вважаються еквівалентними:

A ~ B = ( AÇ B) È (A Ç B) = C 0 È C 3 = {2, 4, 5, 7, 10, 11}.

На рис. 1.11 та 1.12 показано штрихування діаграм Ейлера - Венна.

На закінчення відзначимо, що симетрична різниця має кілька назв: сувора диз'юнкція, виключна альтернатива, сума за модулем два. Цю операцію можна передати словами - «або А, або В», тобто це логічна зв'язка «або», але без включеної до неї зв'язки «і».

Висновок

Діаграми Ейлера-Венна - геометричні уявлення множин. Проста побудова діаграми забезпечує наочне зображення, що представляє універсальну множину U, а всередині його – кіл (чи якихось інших замкнутих постатей), що становлять безлічі. Фігури перетинаються в найбільш загальному випадку, необхідному задачі, і відповідають образному зображенню. Крапки, що лежать усередині різних областей діаграми, можуть розглядатися як елементи відповідних множин. Маючи побудовану діаграму, можна заштрихувати певні області для позначення новостворених множин. Це дозволяє нам мати найбільш повне уявлення про завдання та її вирішення. Простота діаграм Ейлера-Венна дозволяє використовувати цей прийом у таких напрямках, як математика, логіка, менеджмент та інших прикладних напрямках.

Список літератури

1. Словник з логіки. - М: Туманіт, вид. центр ВЛАДОС. , . 1997

2. Weisstein, Eric W. "Діаграма Венна" (англ.) на сайті Wolfram MathWorld.

Леонард Ейлер (1707-1783) - відомий швейцарський і російський математик, член Петербурзької академії наук, більшу частину життя прожив у Росії. Найбільш відомим у статистиці, інформатиці та логіці вважається коло Ейлера (діаграма Ейлера-Венна), що використовується для позначення обсягу понять та множин елементів.

Джон Венн (1834-1923) – англійський філософ і логік, співавтор діаграми Ейлера-Венна.

Сумісні та несумісні поняття

Під поняттям у логіці мається на увазі форма мислення, що відбиває суттєві ознаки класу однорідних предметів. Вони позначаються однією чи групою слів: «карта світу», «домінантовий квінтсептакорд», «понеділок» та інших.

Якщо елементи обсягу одного поняття повністю або частково належать обсягу іншого, говорять про сумісні поняття. Якщо ж жоден елемент обсягу певного поняття належить до обсягу іншого, ми маємо місце з несумісними поняттями.

У свою чергу, кожен із видів понять має власний набір можливих відносин. Для сумісних понять це такі:

• тотожність (рівнозначність) обсягів;
• перетин (частковий збіг) обсягів;
• підпорядкування (субординація).

Для несумісних:

• підпорядкування (координація);
• протилежність (контрарність);
• протиріччя (контрадикторність).

Схематично відносини між поняттями у логіці прийнято позначати за допомогою кіл Ейлера-Венна.

Відносини рівнозначності

У разі поняття мають на увазі той самий предмет. Відповідно, обсяги даних понять повністю збігаються. Наприклад:

А – Зигмунд Фрейд;

В – основоположник психоаналізу.

А – квадрат;

В – рівносторонній прямокутник;

С – рівнокутний ромб.

Для позначення використовуються кола Ейлера, що повністю збігаються.

Перетин (частковий збіг)

А – педагог;

В – меломан.

Як очевидно з цього прикладу, обсяги понять частково збігаються: певна група педагогів може бути меломанами, і навпаки - серед меломанів може бути представники педагогічної професії. Аналогічне відношення буде у разі, коли в А виступає, наприклад, «городянин», а як В – «автоводій».

Підпорядкування (субординація)

Схематично позначаються як різні за масштабом кола Ейлера. Відносини між поняттями у разі характеризуються тим, що підлегле поняття (менше за обсягом) повністю входить до складу підпорядкованого (більшого за обсягом). У цьому підлегле поняття не вичерпує повністю підпорядковує.

Наприклад:

А – дерево;

В – сосна.

Поняття буде підлеглим по відношенню до поняття А. Оскільки сосна відноситься до дерев, то поняття А стає в даному прикладі підлеглим, «поглинаючим» обсяг поняття В.

Супідрядність (координація)

Ставлення характеризує два і більше поняття, що виключають одне одного, але належать у своїй певному загальному родовому колу. Наприклад:

А – кларнет;

В – гітара;

С – скрипка;

D – музичний інструмент.

Поняття А, В, С не перетинаються по відношенню один до одного, проте всі вони відносяться до категорії музичних інструментів (поняття D).

Протилежність (контрарність)

Протилежні відносини між поняттями мають на увазі віднесеність даних понять до того самого роду. При цьому одне з понять має певні властивості (ознаки), тоді як інше їх заперечує, заміняючи протилежними за характером. Таким чином, ми маємо справу з антонімами. Наприклад:

А – карлик;

В – велетень.

Коло Ейлера при протилежних відносинах між поняттями поділяється на три сегменти, перший з яких відповідає поняттю А, другий - поняттю, а третій - всім іншим можливим поняттям.

Протиріччя (контрадикторність)

В даному випадку обидва поняття являють собою види того самого роду. Як і попередньому прикладі, одне з понять свідчить про певні якості (ознаки), тоді як інше їх заперечує. Однак, на відміну від відношення протилежності, друге, протилежне поняття, не замінює заперечувані властивості іншими, альтернативними. Наприклад:

А – складне завдання;

В – нескладне завдання (не-А).

Висловлюючи обсяг понять подібного роду, коло Ейлера поділяється на дві частини - третьої, проміжної ланки у разі немає. Отже, поняття також є антонімами. При цьому одне з них (А) стає позитивним (стверджує будь-яка ознака), а друге (В або не-А) - негативним (що заперечує відповідну ознаку): «білий папір» - «не білий папір», «вітчизняна історія» - «Зарубіжна історія» тощо.

Таким чином, співвідношення обсягів понять один до одного є ключовою характеристикою, що визначає кола Ейлера.

Відносини між множинами

Також слід розрізняти поняття елементів та множини, обсяг яких відображають кола Ейлера. Поняття множини запозичене з математичної науки і має досить широке значення. Приклади в логіці та математиці відображають його як сукупність об'єктів. Самі ж об'єкти є елементами цієї множини. «Багато є багато, мислиме як єдине» (Георг Кантор, засновник теорії множин).

Позначення множин здійснюється А, В, С, D ... і т. д., елементів множин - малими: а, b, с, d ... та ін Прикладами множини можуть бути студенти, що знаходяться в одній аудиторії, книги, що стоять на певній полиці (або, наприклад, усі книги в якійсь певній бібліотеці), сторінки в щоденнику, ягоди на лісовій галявині тощо.

У свою чергу, якщо певна множина не містить жодного елемента, його називають порожнім і позначають знаком Ø. Наприклад, безліч точок перетину безліч розв'язків рівняння х 2 = -5.

Розв'язання задач

Для вирішення великої кількості завдань активно використовуються кола Ейлера. Приклади у логіці наочно демонструють зв'язок із теорією множин. У цьому використовуються таблиці істинності понять. Наприклад, коло, позначене ім'ям А, є область істинності. Таким чином, область поза коло представлятиме брехню. Щоб визначити область діаграми для логічної операції, слід заштрихувати області, що визначають коло Ейлера, в яких значення для елементів А і В будуть істинні.

Використання кіл Ейлера знайшло широке практичне застосування у різних галузях. Наприклад, у ситуації із професійним вибором. Якщо суб'єкт переймається вибором майбутньої професії, він може керуватися такими критеріями:

W – що я люблю робити?

D – що у мене виходить?

P – чим я зможу добре заробляти?

Зобразимо це як схеми: в логіці - ставлення перетину):

Результатом стануть ті професії, які опиняться на перетині всіх трьох кіл.

Окреме місце кола Ейлера-Венна займають у математиці при обчисленні комбінацій та властивостей. Кола Ейлера безлічі елементів укладені у зображенні прямокутника, що означає універсальне безліч (U). Замість кіл також можуть використовуватись інші замкнуті фігури, але суть від цього не змінюється. Фігури перетинаються між собою, згідно з умовами завдання (у найбільш загальному випадку). Також дані фігури мають бути позначені відповідним чином. Як елементи множин можуть виступати точки, розташовані всередині різних сегментів діаграми. На її основі можна заштрихувати конкретні області, позначивши цим новостворені множини.

З цими множинами допустимо виконання основних математичних операцій: додавання (сума множин елементів), віднімання (різниця), множення (твір). Крім того, завдяки діаграмам Ейлера-Венна можна проводити операції порівняння множин за кількістю елементів, що входять до них, не рахуючи їх.

1. Введення

У курсі Інформатики та ІКТ основної та старшої школи розглядаються такі важливі теми як “Основи логіки” та “Пошук інформації в Інтернеті”. При вирішенні певного типу завдань зручно використовувати кола Ейлера (діаграми Ейлера-Венна).

Математична довідка. Діаграми Ейлера-Венна використовуються насамперед у теорії множин як схематичне зображення всіх можливих перетинів кількох множин. У випадку вони зображують все 2 n комбінацій n властивостей. Наприклад, при n=3 діаграма Ейлера-Венна зазвичай зображується у вигляді трьох кіл з центрами у вершинах рівностороннього трикутника та однаковим радіусом, приблизно рівним довжині сторони трикутника.

2. Подання логічних зв'язок у пошукових запитах

При вивченні теми "Пошук інформації в Інтернеті" розглядаються приклади пошукових запитів з використанням логічних зв'язок, аналогічним за змістом спілкам "і", "або" російської мови. Сенс логічних зв'язок стає зрозумілішим, якщо проілюструвати їх з допомогою графічної схеми – кіл Ейлера (діаграм Ейлера-Венна).

Логічна зв'язка	Приклад запиту	Пояснення	Кола Ейлера
& - "І"	Париж & університет	Будуть відібрані всі сторінки, де згадуються обидва слова: Париж та університет	Рис.1
| - "АБО"	Париж | університет	Будуть відібрані всі сторінки, де згадуються слова Париж та/або університет	Рис.2

3. Зв'язок логічних операцій з теорією множин

За допомогою діаграм Ейлера-Венна можна наочно уявити зв'язок логічних операцій з теорією множин. Для демонстрації можна скористатися слайдами в Додаток 1.

Логічні операції задаються своїми таблицями істинності. У Додаток 2докладно розглядаються графічні ілюстрації логічних операцій разом із таблицями істинності. Пояснимо принцип побудови діаграми у випадку. На діаграмі – область кола з ім'ям А відображає істинність висловлювання А (теоретично множин коло А – позначення всіх елементів, які входять у це безліч). Відповідно область поза коло відображає значення “брехня” відповідного висловлювання. Щоб зрозуміти яка область діаграми буде відображенням логічної операції, потрібно заштрихувати тільки ті області, в яких значення логічної операції на наборах A і B рівні “істина”.

Наприклад, значення імплікації дорівнює “істина” у трьох випадках (00, 01 та 11). Заштрихуємо послідовно: 1) область поза двома кіл, що перетинаються, яка відповідає значенням А=0, В=0; 2) область, що відноситься тільки до кола (півмісяць), яка відповідає значенням А = 0, В = 1; 3) область, що відноситься і до кола А і до кола (перетин) - відповідає значенням А = 1, В = 1. Об'єднання цих трьох областей і буде графічним уявленням логічної операції імплікації.

4. Використання кіл Ейлера при доказі логічних рівностей (законів)

Для того, щоб довести логічні рівності, можна застосувати метод діаграм Ейлера-Венна. Доведемо таку рівність ¬(АvВ) = ¬А&¬В (закон де Моргана).

Для наочного уявлення лівої частини рівності виконаємо послідовно: заштрихуємо обидва кола (застосовуємо диз'юнкцію) сірим кольором, потім для відображення інверсії заштрихуємо область за межами кіл чорним кольором:

Рис.3 Рис.4

Для візуального представлення правої частини рівності виконаємо послідовно: заштрихуємо область для відображення інверсії (¬А) сірим кольором і аналогічно область В також сірим кольором; потім для відображення кон'юнкції потрібно взяти перетин цих сірих областей (результат накладання представлений чорним кольором):

рис.5 рис.6 рис.7

Бачимо, що області для відображення лівої та правої частини рівні. Що і потрібно було довести.

5. Завдання у форматі ДІА та ЄДІ на тему: “Пошук інформації в Інтернет”

Завдання №18 із демо-версії ДІА 2013.

У таблиці наведено запити до пошукового сервера. Для кожного запиту вказано його код – відповідна буква від А до Р. Розташуйте коди запитів зліва направо у порядку спаданнякількості сторінок, які знайде пошуковий сервер за кожним запитом.

Код	Запит
А	(Муха & Гроші) | Самовар
Б	Муха & Гроші & Базар & Самовар
У	Муха | Гроші | Самовар
Г	Муха & Гроші & Самовар

Для кожного запиту збудуємо діаграму Ейлера-Венна:

Запит А

Запит Б

Запит В

Запит Г

Відповідь: ВАГБ.

Завдання В12 із демо-версії ЄДІ-2013.

У таблиці наведено запити та кількість знайдених сторінок деякого сегменту мережі Інтернет.

Запит	Знайдено сторінок (у тисяч)
Фрегат | Есмінець	3400
Фрегат & Есмінець	900
Фрегат	2100

Яка кількість сторінок (у тисячах) буде знайдена за запитом Есмінець?

Вважається, що всі запити виконувались практично одночасно, так що набір сторінок, що містять всі слова, що шукаються, не змінювався за час виконання запитів.

Ф – кількість сторінок (у тисячах) на запит Фрегат;

Е – кількість сторінок (у тисячах) на запит Есмінець;

Х – кількість сторінок (у тисячах) на запит, у якому згадується Фрегаті незгадується Есмінець;

У – кількість сторінок (у тисячах) на запит, у якому згадується Есмінецьі незгадується Фрегат.

Побудуємо діаграми Ейлера-Венна для кожного запиту:

Запит	Діаграма Ейлера-Венна	Кількість сторінок
Фрегат | Есмінець	Рис.12	3400
Фрегат & Есмінець	Рис.13	900
Фрегат	Рис.14	2100
Есмінець	Рис.15	?

Згідно з діаграмами маємо:

1. Х + 900 + У = Ф + У = 2100 + У = 3400. Звідси знаходимо У = 3400-2100 = 1300.
2. Е = 900 + У = 900 +1300 = 2200.

Відповідь: 2200.

6. Вирішення логічних змістовних завдань методом діаграм Ейлера-Венна

У класі 36 осіб. Учні цього класу відвідують математичний, фізичний та хімічний гуртки, причому математичний гурток відвідують 18 осіб, фізичний – 14 осіб, хімічний – 10. Крім того, відомо, що 2 особи відвідують усі три гуртки, 8 осіб – і математичний та фізичний, 5 та математичний та хімічний, 3- та фізичний та хімічний.

Скільки учнів класу не відвідують гуртки?

Для вирішення цієї задачі дуже зручним і наочним є використання кіл Ейлера.

Найбільше коло – безліч усіх учнів класу. Усередині кола три перетинаються множини: членів математичного ( М), фізичного ( Ф), хімічного ( Х) гуртків.

Нехай МФГ- безліч хлопців, кожен з яких відвідує всі три гуртки. МФХ– безліч хлопців, кожен з яких відвідує математичний та фізичний гуртки та небуває хімічний. ¬М¬ФХ- безліч хлопців, кожен з яких відвідує хімічний гурток і не відвідує фізичний та математичний гуртки.

Аналогічно введемо безліч: ¬МФХ, М¬ФХ, М¬Ф¬Х, ¬МФ¬Х, ¬М¬Ф¬Х.

Відомо, що всі три гуртки відвідують 2 особи, отже, в область МФГвпишемо число 2. Т.к. 8 осіб відвідують і математичний та фізичний гуртки і серед них вже є 2 особи, які відвідують усі три гуртки, то в область МФХвпишемо 6 осіб (8-2). Аналогічно визначимо кількість учнів у решті множин:

Підсумуємо кількість осіб по всіх областях: 7+6+3+2+4+1+5=28. Отже, 28 осіб із класу відвідують гуртки.

Отже, 36-28 = 8 учнів не відвідують гуртки.

Після зимових канікул класний керівник запитав, хто з хлопців ходив у театр, кіно чи цирк. Виявилося, що із 36 учнів класу двоє не були ні в кіно. ні у театрі, ні у цирку. У кіно побувало 25 осіб, у театрі – 11, у цирку 17 осіб; і в кіно, і в театрі – 6; і в кіно та в цирку - 10; та у театрі та у цирку - 4.

Скільки людей побувало і в кіно, і в театрі, і в цирку?

Нехай х - кількість хлопців, які побували і в кіно, і в театрі, і в цирку.

Тоді можна побудувати наступну діаграму та порахувати кількість хлопців у кожній області:

У кіно та театрі побувало 6 чол., отже, лише у кіно та театрі (6-х) чол. Аналогічно, лише у кіно та цирку (10-х) чол. Тільки у театрі та цирку (4-х) чол. У кіно побувало 25 чол., отже, з них тільки в кіно були 25 – (10-х) – (6-х) – х = (9+х). Аналогічно, лише у театрі були (1+х) чол. Лише у цирку були (3+х) чол. Не були у театрі, кіно та цирку – 2 чол. Отже, 36-2 = 34 чол. побували на заходах. З іншого боку можемо підсумувати кількість людей, які були у театрі, кіно та цирку: (9+х)+(1+х)+(3+х)+(10-х)+(6-х)+(4-х)+х = 34 Звідси випливає, що лише одна людина побувала на всіх трьох заходах.

Таким чином, кола Ейлера (діаграми Ейлера-Венна) знаходять практичне застосування при вирішенні завдань у форматі ЄДІ та ГІА та при вирішенні змістовних логічних завдань.

Література

1. В.Ю. Лискова, Є.А. Рокитіна. Логіка в інформатиці. М.: Інформатика та Освіта, 2006. 155 с.
2. Л.Л. Босова. Арифметичні та логічні основи ЕОМ. М.: Інформатика та освіта, 2000. 207 с.
3. Л.Л. Босова, А.Ю. Босова. Підручник Інформатика та ІКТ для 8 класу: БІНОМ. Лабораторія знань, 2012. 220 с.
4. Л.Л. Босова, А.Ю. Босова. Підручник Інформатика та ІКТ для 9 класу: БІНОМ. Лабораторія знань, 2012. 244 с.
5. Сайт ФІПІ: http://www.fipi.ru/

Діаграми Ейлера-Венна - геометричні уявлення множин. Побудова діаграми полягає у зображенні великого прямокутника, що представляє універсальне безліч U, а всередині його – кіл (або якихось інших замкнутих фігур), що представляють безлічі.

Фігури повинні перетинатися в найбільш загальному випадку, необхідному в завданні, і повинні бути позначені відповідним чином. Крапки, що лежать усередині різних областей діаграми, можуть розглядатися як елементи відповідних множин. Маючи побудовану діаграму, можна заштрихувати певні області для позначення новостворених множин.

Операції над множинами розглядаються для отримання нових множин з існуючих.

Визначення. Об'єднанням множин А і В називається безліч, що складається з усіх тих елементів, які належать хоча б одному з множин А, (рис. 1):

Визначення. Перетином множин А і В називається безліч, що складається з усіх тих і тільки тих елементів, які належать одночасно як множині А, так і множині В (рис. 2):

Визначення.

Різницею множин А і В називається безліч усіх тих і тільки тих елементів А, які не містяться в (рис. 3):

Визначення. Симетричною різницею множин А і В називається безліч елементів цих множин, які належать або лише множині А, або тільки множині В (рис. 4):

Визначення. Абсолютним доповненням множини А називається множина всіх тих елементів, які не належать множині А (рис. 5):

Рис. 6.

Переконалися, що у обох випадках отримуємо рівні множини. Отже, вихідне співвідношення справедливе.

Історія

Визначення 1

Леонарду Ейлеру поставили запитання: чи можна, прогулюючись Кенігсбергом, обійти через усі мости міста, двічі не проходячи через них. План міста із сімома мостами додавався.

У листі знайомому італійському математику Ейлер дав коротке і гарне вирішення проблеми кенігсберзьких мостів: при такому розташуванні завдання не вирішене. При цьому він зазначив, що питання видалося йому цікавим, т.к. «для його вирішення недостатні ні геометрія, ні алгебра...».

При вирішенні багатьох завдань Л. Ейлер зображував множини за допомогою кіл, тому вони і отримали назву «кола Ейлера». Цим методом раніше користувався німецький філософ і математик Готфрід Лейбніц, який використовував їх для геометричного пояснення логічних зв'язків між поняттями, але при цьому частіше використовував лінійні схеми. Ейлер досить грунтовно розвинув метод. Особливо знаменитими графічні методи стали завдяки англійському логіку та філософу Джону Венну, який запровадив діаграми Венна та подібні схеми часто називають діаграмами Ейлера-Венна. Використовуються вони у багатьох областях, наприклад, у теорії множин, теорії ймовірності, логіки, статистики та інформатики.

Принцип побудови діаграм

Досі діаграми Ейлера-Венна широко використовують для схематичного зображення всіх можливих перетинів кількох множин. На діаграмах зображують усі $2^n$ комбінацій n властивостей. Наприклад, при $n=3$ на діаграмі зображують три кола з центрами у вершинах рівностороннього трикутника та однаковим радіусом, який приблизно дорівнює довжині сторони трикутника.

Логічні операції задають таблиці істинності. На діаграмі зображується коло з назвою множини, яке він представляє, наприклад $A$. Область у середині кола $A$ відображатиме істинність виразу $A$, а область поза коло - брехня. Для відображення логічної операції заштриховують лише ті області, у яких значення логічної операції при множинах $A$ і $B$ істинні.

Наприклад, кон'юнкція двох множин $A$ і $B$ істинна тільки в тому випадку, коли обидва множини істинні. У такому випадку на діаграмі результатом кон'юнкції $A$ і $B$ буде область в середині кіл, яка одночасно належить множині $A$ і множині $B$ (перетину множин).

Малюнок 1. Кон'юнкція множин $A$ і $B$

Використання діаграм Ейлера-Венна для підтвердження логічних рівностей

Розглянемо, як застосовується спосіб побудови діаграм Ейлера-Венна на підтвердження логічних рівностей.

Доведемо закон де Моргана, який описується рівністю:

Доведення:

Малюнок 4. Інверсія $A$

Малюнок 5. Інверсія $B$

Малюнок 6. Кон'юнкція інверсій $A$ та $B$

Після порівняння області для відображення лівої та правої частини бачимо, що вони рівні. З цього випливає справедливість логічної рівності. Закон де Моргана підтверджено за допомогою діаграм Ейлера-Венна.

Розв'язання задачі пошуку інформації в Інтернеті за допомогою діаграм Ейлера-Венна

Для пошуку інформації в Інтернет зручно використовувати пошукові запити з логічними зв'язками, аналогічними за змістом спілкам "і", "або" російської мови. Сенс логічних зв'язок стає зрозумілішим, якщо проілюструвати їх з допомогою діаграм Ейлера-Венна.

Приклад 1

У таблиці наведено приклади запитів до пошукового сервера. Кожен запит має свій код - буква від $ A $ до $ B $. Потрібно розмістити коди запитів у порядку зменшення кількості знайдених сторінок по кожному запиту.

Малюнок 7.

Рішення:

Побудуємо для кожного запиту діаграму Ейлера-Венна:

Малюнок 8.

Відповідь:БВА.

Розв'язання логічного змісту за допомогою діаграм Ейлера-Венна

Приклад 2

За зимові канікули з $36$ учнів класу $2$ не були ні в кіно, ні в театрі, ні в цирку. У кіно сходило $25$ чоловік, у театр - $11$, у цирк - $17$ чоловік; і в кіно, і в театрі - $6 $; і в кіно і в цирк - $ 10 $; і в театр і в цирк - $ 4 $.

Скільки людей побувало і в кіно, і в театрі, і в цирку?

Рішення:

Позначимо кількість хлопців, які побували і в кіно, і в театрі, і в цирку - $ x $.

Побудуємо діаграму та дізнаємося кількість хлопців у кожній області:

Малюнок 9.

Не були ні в театрі, ні в кіно, ні в цирку - $ 2 $ чол.

Значить, $ 36 - 2 = 34 $ чол. побували на заходах.

У кіно та театр сходило $6$ чол., отже, лише у кіно та театр ($6 - x)$ чол.

У кіно та цирк сходило $10$ чол., отже, лише у кіно та цирк ($10 - x$) чол.

У театр і цирк сходило $4$ чол., отже, лише у театрі й цирк ($4 - x$) чол.

У кіно сходило $ 25 $ чол., Отже, з них тільки в кіно сходило $ 25 - (10 - x) - (6 - x) - x = (9 + x) $.

Аналогічно, лише у театр сходило ($1+x$) чол.

Тільки до цирку сходило ($3+x$) чол.

Отже, сходили до театру, кіно та цирку:

$(9+x)+(1+x)+(3+x)+(10-x)+(6-x)+(4-x)+x = 34$;

Тобто. тільки одна людина сходила і до театру, і до кіно, і до цирку.