Коефіцієнт пропорційності (лінійний коефіцієнт пропорційності) дорівнює відношенню двох відповідних сторін подібних фігур. Подібні постаті – це постаті однакової форми, але різних розмірів. Коефіцієнт пропорційності використовується на вирішення основних геометричних завдань. Коефіцієнт пропорційності можна використовувати для обчислення довжин невідомих сторін. З іншого боку, з відповідних сторін можна обчислити коефіцієнт пропорційності. Такі обчислення пов'язані з операцією множення або спрощенням дробів.

Кроки

Обчислення коефіцієнта пропорційності подібних фігур

Переконайтеся, що фігури подібні.У таких фігур усі кути рівні, а сторони співвідносяться до певної пропорції. Подібні фігури мають однакову форму, але одна фігура більша за іншу.

• У завданні має бути сказано, що фігури подібні, або що у них рівні кути, або що сторони пропорційні, або одна фігура пропорційна іншій.

1. Знайдіть відповідні сторони обох фігур.Можливо, потрібно повернути або дзеркально відобразити одну з фігур, щоб вирівняти обидві фігури та визначити відповідні сторони. Як правило, у завданнях даються довжини відповідних сторін; інакше виміряйте їх. Якщо знати значень хоча б пари відповідних сторін, не можна знайти коефіцієнт пропорційності.

   • Наприклад, дано трикутник, основа якого дорівнює 15 см, і подібний трикутник з основою, що дорівнює 10 см.

2. Запишіть ставлення.Кожна пара подібних фігур має два коефіцієнти пропорційності: один використовується при збільшенні розміру, а інший – при зменшенні. Якщо розмір меншої фігури збільшується до розміру більшої фігури, використовуйте відношення: коефіцієнт пропорційності = (сторона більшої фігури)/(сторона меншої фігури). Якщо розмір більшої фігури зменшується до розміру меншої фігури, використовуйте відношення: коефіцієнт пропорційності = (сторона меншої фігури)/(сторона більшої фігури).

   • Наприклад, якщо трикутник з основою 15 см зменшується до трикутника з основою 10 см, використовуйте відношення: коефіцієнт пропорційності = (сторона меншої фігури)/(сторона більшої фігури).
     Підставивши відповідні значення, ви отримаєте: коефіцієнт пропорційності = .

3. Спростіть ставлення.Спрощене ставлення (дроб) є коефіцієнтом пропорційності. При зменшенні розміру коефіцієнт пропорційності є правильним дробом. При збільшенні розміру коефіцієнт пропорційності являє собою ціле число або неправильний дріб, який можна перетворити на десятковий дріб.

   • Наприклад, ставлення 10 15 (\displaystyle (\frac (10)(15)))спрощується до . Таким чином, коефіцієнт пропорційності двох трикутників з основами 15 см та 10 см дорівнює 2 3 (\displaystyle (\frac (2)(3))).

   Обчислення сторін за коефіцієнтом пропорційності

   1. Знайдіть значення сторін фігури.Значення сторін однієї з подібних фігур буде надано; інакше виміряйте їх. Якщо сторони однієї з подібних фігур невідомі, не можна обчислити сторони другої фігури.

      • Наприклад, дано прямокутний трикутник, катети якого дорівнюють 4 см і 3 см, а гіпотенуза дорівнює 5 см.

   2. З'ясуйте, чи буде подібна фігура більшою чи меншою за дану.Якщо більше, сторони будуть більшими, а коефіцієнт пропорційності є цілим числом, неправильним або десятковим дробом. Якщо подібна фігура менша за дану, сторони будуть меншими, а коефіцієнт пропорційності є правильним дріб.

      • Наприклад, якщо коефіцієнт пропорційності дорівнює 2, подібна фігура більша за дану.

   3. Помножте значення однієї сторони коефіцієнт пропорційності.Коефіцієнт пропорційності має бути дано. Якщо помножити сторону коефіцієнт пропорційності, можна знайти значення відповідної сторони подібної фігури.

      • Наприклад, якщо гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює 5 см, а коефіцієнт пропорційності дорівнює 2, гіпотенуза такого трикутника обчислюється так: 5 × 2 = 10 (\displaystyle 5\times 2=10). Таким чином, гіпотенуза такого трикутника дорівнює 10 см.

   4. Знайдіть значення інших сторін подібної фігури.Для цього помножте відомі значення сторін коефіцієнт пропорційності. Ви отримаєте значення відповідних сторін такої фігури.

      • Наприклад, якщо основа прямокутного трикутника дорівнює 4 см, а коефіцієнт пропорційності дорівнює 2, основа такого трикутника обчислюється так: 4 × 2 = 8 (\displaystyle 4\times 2=8). Таким чином, основа такого трикутника дорівнює 8 см. Якщо катет прямокутного трикутника дорівнює 3 см, а коефіцієнт пропорційності дорівнює 2, катет такого трикутника обчислюється так: 3 × 2 = 6 (\displaystyle 3\times 2=6). Таким чином, катет такого трикутника дорівнює 6 см.

   Приклади розв'язання задач

   1. Завдання 1.Знайдіть коефіцієнт пропорційності наступних подібних фігур: прямокутник із шириною 6 см та прямокутник із шириною 54 см.

      • Запишіть відношення на основі двох значень ширини. У разі збільшення розміру ставлення запишеться так: коефіцієнт пропорційності = . При зменшенні розміру ставлення запишеться так: коефіцієнт пропорційності = .
      • Спростіть ставлення. Ставлення 54 6 (\displaystyle (\frac (54)(6)))спрощується до 9 1 = 9 (\displaystyle (\frac (9)(1))=9). Ставлення 6 54 (\displaystyle (\frac (6)(54)))спрощується до . Таким чином, коефіцієнт пропорційності двох прямокутників дорівнює 9 (\displaystyle 9)або 1 9 (\displaystyle (\frac (1)(9))).

   2. Завдання 2.Сторона неправильного багатокутника дорівнює 14 см. Сторона такого багатокутника дорівнює 8 см. Знайдіть коефіцієнт пропорційності.

Рівнянням реакції у хімії називається запис хімічного процесу за допомогою хімічних формул та математичних знаків.

Такий запис є схемою хімічної реакції. Коли виникає знак «=», це називається «рівняння». Спробуємо його вирішити.

Приклад розбору простих реакцій

У кальції один атом, оскільки коефіцієнт не вартий. Індекс тут теж не написаний, отже, одиниця. З правого боку рівняння Са також один. За кальцієм нам не треба працювати.

Дивимося наступний елемент – кисень. Індекс 2 говорить про те, що тут 2 іони кисню. З правого боку немає індексів, тобто одна частка кисню, і з лівої – 2 частки. Що ми робимо? Жодних додаткових індексів або виправлень до хімічної формули вносити не можна, оскільки вона написана правильно.

Коефіцієнти – те, що написано перед найменшою частиною. Вони мають право змінюватись. Для зручності саму формулу не переписуємо. З правої частини один множимо на 2, щоб отримати і там 2 іони кисню.

Після того, як ми поставили коефіцієнт, вийшло 2 атоми кальцію. З лівого боку лише один. Отже, тепер перед кальцієм ми маємо поставити 2.

Тепер перевіряємо підсумок. Якщо кількість атомів елементів дорівнює з обох сторін, можемо поставити знак «рівно».

Інший наочний приклад: два водні ліворуч, і після стрілочки у нас теж два водні.

• Два кисні до стрілочки, а після стрілочки індексів немає, отже, один.
• Зліва більше, а праворуч менше.
• Ставимо коефіцієнт 2 перед водою.

Помножили всю формулу на 2 і тепер у нас змінилася кількість водню. Помножуємо індекс на коефіцієнт, і виходить 4. А з лівого боку залишилося два атоми водню. І щоб отримати 4, ми повинні водень помножити на два.

Ось той випадок, коли елемент в одній і іншій формулі з одного боку, до стрілочки.

Один іон сірки зліва, і один іон – праворуч. Дві частинки кисню плюс ще дві частинки кисню. Значить, що з лівого боку 4 кисні. Праворуч знаходиться 3 кисні. Тобто з одного боку виходить парне число атомів, з другого – непарне. Якщо ж ми помножимо непарне вдвічі, то отримаємо парне число. Доводимо спочатку до парного значення. Для цього множимо на два всю формулу після стрілочки. Після множення отримуємо шість іонів кисню та ще й 2 атоми сірки. Зліва ж маємо одну мікрочастинку сірки. Тепер зрівняємо її. Ставимо зліва рівняння перед сіркою 2.

Зрівняли.

Складні реакції

Цей приклад складніший, оскільки тут більше елементів речовини.

Це називається реакцією нейтралізації. Що тут потрібно зрівнювати насамперед:

• Зліва один атом натрію.
• З правого боку індекс свідчить, що тут 2 натрію.

Напрошується висновок, що треба помножити всю формулу на два.

Тепер дивимося, скільки сірки. З лівого та правого боку по одній. Звертаємо увагу на кисень. З лівого боку маємо 6 атомів кисню. З іншого боку – 5. Менше праворуч, більше ліворуч. Непарну кількість треба довести до парного значення. Для цього формулу води множимо на 2, тобто із одного атома кисню робимо 2.

Тепер із правого боку вже 6 атомів кисню. З лівого боку також 6 атомів. Перевіряємо водень. Два атоми водню та ще 2 атоми водню. Тобто буде чотири атоми водню з лівого боку. І з іншого боку також чотири атоми водню. Усі елементи зрівняні. Ставимо знак "рівно".

Наступний приклад.

Тут приклад цікавий тим, що з'явилися дужки. Вони говорять про те, що якщо множник стоїть за дужкою, то кожен елемент, що стоїть у дужках, множиться на нього. Почати необхідно з азоту, тому що його менше, ніж кисню та водню. Ліворуч азот один, а праворуч, з урахуванням дужок, його два.

Праворуч два атоми водню, а потрібно чотири. Ми виходимо зі становища, просто помножуючи воду на два, внаслідок чого отримали чотири водні. Добре, водень зрівняли. Залишився кисень. До реакції присутні 8 атомів, після – теж 8.

Добре, всі елементи зрівняні, можемо ставити «рівно».

Останній приклад.

На черзі у нас є барій. Він зрівняний, його чіпати не треба. До реакції присутні два хлори, після неї – лише один. Що потрібно зробити? Поставити 2 перед хлором після реакції.

Тепер за рахунок коефіцієнта, який щойно поставлено, після реакції вийшло два натрію, і до реакції теж два. Добре, все інше зрівняно.

Також вирівнювати реакції можна методом електронного балансу. Цей метод має низку правил, за якими його можна здійснювати. Наступною дією ми повинні розставити ступені окислення всіх елементів у кожній речовині для того, щоб зрозуміти, де відбулося окислення, а де відновлення.

У математичних описах використовується термін « числовий коефіцієнт», зокрема, при роботі з літерними виразами та виразами зі змінними зручно використовувати поняття числового коефіцієнта виразу. У цій статті ми дамо визначення числового коефіцієнта виразу та розберемо приклади його знаходження.

Навігація на сторінці.

Визначення числового коефіцієнта, приклади

У підручнику Н. Я. Віленкіна математика для 6 класів дається таке визначення числового коефіцієнта виразу.

Визначення.

Якщо буквене вираз є добутком однієї чи кількох літер та одного числа, то це число називається числовим коефіцієнтом виразу.

До речі, числовий коефіцієнт часто називають просто коефіцієнтом.

Озвучене визначення дозволяє навести приклади числових коефіцієнтів виразів. Спочатку розглянемо добуток числа 3 і літери a виду 3·a . Число 3 - це числовий коефіцієнт цього виразу за визначенням. Інший приклад: у творі x·y·0,2·x·x·z єдиним числовим множником є ​​0,2, вона і є числовим коефіцієнтом цього виразу.

А тепер наведемо контр приклад. Число 3 не є числовим коефіцієнтом виразу 3 x + y, так як вихідне вираз не є твором. Зате це число 3 є числовим коефіцієнтом першого з доданків у вихідному виразі.

А у творі 5·a·2·b·3·c міститься не одне, а три числа. Для визначення числового коефіцієнта цього виразу, його потрібно перетворити на твір, що містить числовий множник. Як це робиться, ми розберемося в наступному пункті цієї статті, в цьому полягає процес.

Варто зазначити, що твори однакових букв можуть бути записані у вигляді , тому визначення числового коефіцієнта підходить і для виразів зі ступенями. Наприклад, вираз 5·x 3 ·y·z 2 по суті є виразом виду 5·x·x·x·y·z·z , його коефіцієнтом за визначенням є число 5 .

Також слід зупинитися на числових коефіцієнтах 1 і −1 . Їхня особливість полягає в тому, що вони майже ніколи не записуються в явному вигляді. Якщо вираз є добутком кількох букв (без числового множника) і переднім стоїть знак плюс, чи ні ніякого знака, то числовим коефіцієнтом такого виразу вважається число 1 . Якщо перед добутком кількох літер стоїть знак мінус, то коефіцієнтом такого виразу вважається число -1. Наприклад, числовий коефіцієнт виразу a b дорівнює одиниці (оскільки a b можна записати як 1 a b), а числовий коефіцієнт виразу -x дорівнює мінус одиниці (оскільки -x тотожно дорівнює виразу (-1) x) .

Надалі визначення числового коефіцієнта розширюється з добутку числа та кількох букв на твір одного числа та кількох буквених виразів. Приміром, у творі число −5 вважатимуться числовим коефіцієнтом. Аналогічно, число 3 є коефіцієнт виразу 3 · (1 +1 / x) · x, а - коефіцієнт виразу .

Знаходження числового коефіцієнта виразу

Коли вираз є твір з одним числовим множником, цей множник і є числовим коефіцієнтом. Коли вираз має інший вигляд, то знаходження його числового коефіцієнта передбачає попереднє виконання деяких тотожних перетворень, за допомогою яких вихідний вираз приводиться до твору з одним числовим множником.

приклад.

Знайдіть числовий коефіцієнт виразу −4·x·(−2) .

Рішення.

Згрупуємо множники , що є числами, після чого виконаємо їх множення: −4·x·(−2)=((−4)·(−2))·x=8·x. Тепер чітко видно шуканий коефіцієнт, він дорівнює 8 .

Де x · y, x, y - середні значення вибірок; σ(x), σ(y) - середньоквадратичні відхилення.
Крім того, коефіцієнт лінійної парної кореляції може бути визначений через коефіцієнт регресії b: де σ(x)=S(x), σ(y)=S(y) - середньоквадратичні відхилення, b - коефіцієнт перед x в рівнянні регресії y= a+bx.

Інші варіанти формул:
або

До xy – кореляційний момент (коефіцієнт коваріації)

Лінійний коефіцієнт кореляції набуває значень від –1 до +1 (див. шкалу Чеддока). Наприклад, при аналізі тісноти лінійного кореляційного зв'язку між двома змінними отримано коефіцієнт парної лінійної кореляції, рівний -1. Це означає, що між змінними існує точна зворотна лінійна залежність.

Геометричний сенс коефіцієнта кореляції: r xy показує, наскільки різниться нахил двох ліній регресії: y(x) і х(у) , наскільки сильно розрізняються результати мінімізації відхилень x і y . Чим більший кут між лініями, тим більше r xy.
Знак коефіцієнта кореляції збігається зі знаком коефіцієнта регресії та визначає нахил лінії регресії, тобто. загальну спрямованість залежності (зростання чи спадання). Абсолютна величина коефіцієнта кореляції визначається мірою близькості точок до лінії регресії.

Властивості коефіцієнта кореляції

1. |r xy | ≤ 1;
2. якщо X і Y незалежні, то r xy = 0, зворотне який завжди правильно;
3. якщо |r xy |=1, Y=aX+b, |r xy (X,aX+b)|=1, де a і b постійні, а ≠ 0;
4. |r xy (X,Y)|=|r xy (a 1 X+b 1 , a 2 X+b 2)|, де a 1 , a 2 , b 1 , b 2 - постійні.

Інструкція. Вкажіть кількість вихідних даних. Отримане рішення зберігається у файлі Word (див. приклад знаходження рівняння регресії). Також автоматично створюється шаблон рішення в Excel. .

Кількість рядків (вихідних даних)
Задано підсумкові значення величин (∑x, ∑x 2 , ∑xy, ∑y, ∑y 2)

У математичних описах часто фігурує термін «числовий коефіцієнт», наприклад, у роботі з літерними виразами та виразами зі змінними. Матеріал статті нижче розкриває поняття цього терміна, зокрема, з прикладу вирішення завдань знаходження числового коефіцієнта.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Визначення числового коефіцієнта. Приклади

Підручник Н.Я. Віленкіна (навчальний матеріал для учнів 6 класів) задає таке визначення числового коефіцієнта виразу:

Визначення 1

Якщо буквене вираз є добутком однієї чи кількох літер та одного числа, то це число називається числовим коефіцієнтом виразу.

Числовий коефіцієнт найчастіше називають просто коефіцієнтом.

Це визначення дає можливість вказати приклади числових коефіцієнтів виразів.

Приклад 1

Розглянемо добуток числа 5 і літери a , який матиме такий вигляд: 5 · a. Число 5 є числовим коефіцієнтом виразу згідно з визначенням вище.

Ще приклад:

Приклад 2

У заданому творі x · y · 1 , 3 · x · x · zдесятковий дріб 1 , 3 – єдиний числовий множник, який і буде числовим коефіцієнтом виразу.

Також розберемо такий вираз:

Приклад 3

7 · x + y. Число 7 у разі не служить числовим коефіцієнтом висловлювання, оскільки заданий вираз перестав бути твором. Але при цьому число 7 - числовий коефіцієнт першого доданку в заданому вираженні.

Приклад 4

Нехай дано твір 2 · a · 6 · b · 9 · c.

Ми бачимо, що запис виразу містить три числа, і щоб знайти числовий коефіцієнт вихідного виразу, його слід переписати у вигляді виразу з єдиним числовим множником. Власне, це є процесом знаходження числового коефіцієнта.

Зазначимо, що твори однакових букв можуть бути представлені як ступеня з натуральним показником, тому визначення числового коефіцієнта правильне і для виразів зі ступенями.

Наприклад:

Приклад 5

Вираз 3 · x 3 · y · z 2- По суті оптимізована версія висловлювання 3 · x · x · x · y · z · z, де коефіцієнт виразу - Число 3 .

Окремо поговоримо про числові коефіцієнти 1 і - 1 . Вони дуже рідко записані у явному вигляді, і в цьому їхня особливість. Коли твір складається з кількох літер (без явного числового множника), і перед ним позначено знак плюс або немає ніякого знака, ми можемо говорити, що числовим коефіцієнтом такого виразу є число 1 . Коли перед добутком літер позначено знак мінус, можна стверджувати, що в цьому випадку числовий коефіцієнт - 1 .

Приклад 6

Наприклад, у творі - 5 · x + 1 число - 5 буде числовим коефіцієнтом.

За аналогією, у виразі 8 · 1 + 1 x · xчисло 8 – коефіцієнт виразу; а у виразі π + 1 4 · sin x + π 6 · cos - π 3 + 2 · x числовий коефіцієнт - π + 1 4 .

Знаходження числового коефіцієнта виразу

Вище ми говорили про те, що якщо вираз є твір з єдиним числовим множником, то цей множник і буде числовим коефіцієнтом виразу. У випадку, коли вираз записано в іншому вигляді, має бути здійснено ряд тотожних перетворень, який приведе заданий вираз до виду твору з єдиним числовим множником.

Приклад 7

Задано вираз − 3 · x · (− 6). Необхідно визначити його числовий коефіцієнт.

Рішення

Здійснимо тотожне перетворення, саме зробимо угруповання множників, які є числами, і перемножимо їх. Тоді отримаємо: − 3 · x · (− 6) = ((− 3) · (− 6)) · x = 18 · x .

В отриманому вираженні бачимо явний числовий коефіцієнт, рівний 18 .

Відповідь: 18

Приклад 8

Задано вираз a - 1 2 · 2 · a - 6 - 2 · a 2 - 3 · a - 3 . Необхідно визначити його числовий коефіцієнт.

Рішення

З метою визначення числового коефіцієнта перетворимо на многочлен заданий вираз. Розкриємо дужки і наведемо подібні доданки, отримаємо:

a - 1 2 · 2 · a - 6 - 2 · a 2 - 3 · a - 3 = = 2 · a 2 - 6 · a - a + 3 - 2 · a 2 + 6 · a - 3 = - a

Числовим коефіцієнтом отриманого виразу буде число -1.

Відповідь: - 1 .

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter