Рівняння гармонійного коливання

Рівняння гармонійного коливання встановлює залежність координати тіла від часу

Графік косинуса на початковий момент має максимальне значення, а графік синуса має у початковий момент нульове значення. Якщо коливання починаємо досліджувати із положення рівноваги, то коливання повторюватиме синусоїду. Якщо коливання починаємо розглядати з максимального відхилення, то коливання опише косинус. Або таке коливання можна описати формулою синуса з початковою фазою.

Зміна швидкості та прискорення при гармонійному коливанні

Не лише координата тіла змінюється згодом згідно із законом синуса чи косинуса. Але такі величини, як сила , швидкість і прискорення , теж змінюються аналогічно. Сила і прискорення максимальні, коли тіло, що коливається, знаходиться в крайніх положеннях, де зсув максимально, і рівні нулю, коли тіло проходить через положення рівноваги. Швидкість, навпаки, у крайніх положеннях дорівнює нулю, а при проходженні тілом положення рівноваги досягає максимального значення.

Якщо коливання описувати згідно із законом косинуса

Якщо коливання описувати згідно із законом синуса

Максимальні значення швидкості та прискорення

Проаналізувавши рівняння залежності v(t) і a(t), можна здогадатися, що максимальні значення швидкість і прискорення набувають у тому випадку, коли тригонометричний множник дорівнює 1 або -1. Визначаються за формулою

Гармонічні коливання

Графіки функцій f(x) = sin( x) та g(x) = cos( x) на декартовій площині.

Гармонічне коливання- коливання, при яких фізична (або будь-яка інша) величина змінюється з часом за синусоїдальним або косинусоїдальним законом. Кінематичне рівняння гармонійних коливань має вигляд

,

де х- зміщення (відхилення) точки, що коливається від положення рівноваги в момент часу t; А- амплітуда коливань, це величина, що визначає максимальне відхилення точки, що коливається від положення рівноваги; ω - циклічна частота, величина, що показує кількість повних коливань, що відбуваються протягом 2π секунд - повна фаза коливань - початкова фаза коливань.

Узагальнене гармонійне коливання у диференціальному вигляді

(Будь-яке нетривіальне рішення цього диференціального рівняння - є гармонійне коливання з циклічною частотою)

Види коливань

Еволюція в часі переміщення, швидкості та прискорення при гармонійному русі

• Вільні коливаннявідбуваються під дією внутрішніх сил системи після того, як система була виведена із положення рівноваги. Щоб вільні коливання були гармонійними, необхідно, щоб коливальна система була лінійною (описувалася лінійними рівняннями руху) і в ній була відсутня диссипація енергії (остання викликала б згасання).
• Вимушені коливаннявідбуваються під впливом зовнішньої періодичної сили. Щоб вони були гармонійними, достатньо, щоб коливальна система була лінійною (описувалася лінійними рівняннями руху), а зовнішня сила сама змінювалася згодом як гармонійне коливання (тобто щоб залежність від часу цієї сили була синусоїдальною).

Застосування

Гармонічні коливання виділяються з решти видів коливань з наступних причин:

Див. також

Примітки

Література

• фізика. Елементарний підручник фізики/За ред. Г. С. Лансберг. - 3 вид. – М., 1962. – Т. 3.
• Хайкін З. Еге.Фізичні засади механіки. - М., 1963.
• А. М. Афонін.Фізичні засади механіки. - Вид. МДТУ ім. Баумана, 2006.
• Горєлік Г. С.Коливання та хвилі. Введення в акустику, радіофізику та оптику. – М.: Фізматліт, 1959. – 572 с.

Wikimedia Foundation. 2010 .

Дивитися що таке "Гармонічні коливання" в інших словниках:

Сучасна енциклопедія

Гармонічні коливання- ГАРМОНІЧНІ КОЛИВАННЯ, періодичні зміни фізичної величини, що відбуваються за законом синуса. Графічно гармонійні коливання зображуються кривою синусоїдою. Гармонічні коливання найпростіший вид періодичних рухів, що характеризуються … Ілюстрований енциклопедичний словник

Коливання, у яких фізична величина змінюється із часом за законом синуса чи косинуса. Графічно Р. до. зображуються кривою синусоїдою або косінусоїдою (див. рис.); вони можуть бути записані у формі: х = Asin (ωt + φ) або х … Велика Радянська Енциклопедія

ГАРМОНІЧНІ КОЛИВАННЯ, періодичний рух, такий як рух МАЯТНИКА, атомні коливання або коливання в електричному ланцюзі. Тіло робить незагасаючі гармонічні коливання, коли воно коливається вздовж лінії, переміщаючись на однакове… Науково-технічний енциклопедичний словник

Коливання, при яких фіз. (або будь-яка інша) величина змінюється з часом за синусоїдальним законом: x = Asin (wt + j), де x значення величини, що коливається в даний. момент часу t (для механіч. Р. до., напр., Зміщення або швидкість, для ... Фізична енциклопедія

гармонійні коливання- механічні коливання, при яких узагальнена координата та (або) узагальнена швидкість змінюються пропорційно синусу з аргументом, що лінійно залежить від часу. [Збірник термінів, що рекомендуються. Випуск 106. Механічні вагання. Академія наук … Довідник технічного перекладача

Коливання, при яких фіз. (або будь-яка інша) величина змінюється в часі за синусоїдальним законом, де х значення коливається величини в момент часу t (для механіч. Р. до., напр., зсув і швидкість, для електрич. напруга і сила струму) … Фізична енциклопедія

Гармонічні коливання- (див.), у яких фіз. величина змінюється з часом за законом синуса або косинуса (напр. зміни (див.) та швидкості при коливанні (див.) або зміни (див.) та сили струму при електричних Р. к.) … Велика політехнічна енциклопедія

Характеризуються зміною величини x, що коливається (напр., відхилення маятника від положення рівноваги, напруги в ланцюгу змінного струму і т. д.) у часі t за законом: x = Asin (?t + ?), де А амплітуда гармонійних коливань, ? кутова… … Великий Енциклопедичний словник

Гармонічні коливання- 19. Гармонічні коливання Коливання, у яких значення коливається величини змінюються у часі згідно із законом Джерело … Словник-довідник термінів нормативно-технічної документації

Періодич. коливання, при яких зміна в часі фіз. величини відбувається за законом синуса або косинуса (див. рис.): s = Аsin (wt + ф0), де s відхилення величини, що коливається від її пор. (Рівноважного) значення, А = const амплітуда, w = const кругова … Великий енциклопедичний політехнічний словник

Гармонічне коливання - явище періодичного зміни будь-якої величини, у якому залежність від аргументу має характер функції синуса чи косинуса. Наприклад, гармонійно коливається величина, що змінюється у часі таким чином:

де х - значення величини, що змінюється, t - час, інші параметри - постійні: А - амплітуда коливань, ω - циклічна частота коливань, - повна фаза коливань, - початкова фаза коливань.

Узагальнене гармонійне коливання у диференціальному вигляді

(Будь-яке нетривіальне рішення цього диференціального рівняння - є гармонійне коливання з циклічною частотою)

Види коливань

Вільні коливання відбуваються під впливом внутрішніх сил системи після того, як система була виведена із положення рівноваги. Щоб вільні коливання були гармонійними, необхідно, щоб коливальна система була лінійною (описувалася лінійними рівняннями руху) і в ній була відсутня диссипація енергії (остання викликала б згасання).

Вимушені коливання відбуваються під впливом зовнішньої періодичної сили. Щоб вони були гармонійними, достатньо, щоб коливальна система була лінійною (описувалася лінійними рівняннями руху), а зовнішня сила сама змінювалася згодом як гармонійне коливання (тобто щоб залежність від часу цієї сили була синусоїдальною).

Рівняння гармонійних коливань

Рівняння (1)

дає залежність коливається величини S від часу t; це і є рівняння вільних гармонійних коливань у явному вигляді. Проте зазвичай під рівнянням коливань розуміють інший запис цього рівняння, у диференційній формі. Візьмемо для певності рівняння (1) у вигляді

двічі продиференціюємо його за часом:

Видно, що виконується таке співвідношення:

яке і називається рівнянням вільних гармонійних коливань (у диференційній формі). Рівняння (1) є розв'язком диференціального рівняння (2). Оскільки рівняння (2) - диференціальне рівняння другого порядку, необхідні дві початкові умови для отримання повного рішення (тобто визначення констант A і  , що входять до рівняння (1)); наприклад, положення та швидкість коливальної системи при t = 0.

Математичний маятник - осцилятор, що є механічною системою, що складається з матеріальної точки, що знаходиться на невагомій нерозтяжній нитці або на невагомому стрижні в однорідному полі сил тяжіння. Період малих власних коливань математичного маятника довжини l нерухомо підвішеного в однорідному полі тяжкості із прискоренням вільного падіння g дорівнює

і не залежить від амплітуди та маси маятника.

Фізичний маятник - осцилятор, що представляє собою тверде тіло, що здійснює коливання в полі будь-яких сил щодо точки, що не є центром мас цього тіла, або нерухомої осі, перпендикулярної до напряму дії сил і не проходить через центр мас цього тіла.

1.18. ГАРМОНІЧНІ КОЛИВАННЯ ТА ЇХ ХАРАКТЕРИСТИКИ

Визначення гармонійних коливань. Характеристики гармонійних коливань: усунення положення рівноваги, амплітуда коливань, фаза коливання, частота і період коливань. Швидкість і прискорення точки, що коливається. Енергія гармонійного осцилятора. Приклади гармонійних осциляторів: математичний, пружинний, крутильний та фізичний ський маятники.

Акустика, радіотехніка, оптика та інші розділи науки та техніки базуються на вченні про коливання та хвилі. Велику роль грає теорія коливань у механіці, особливо у розрахунках на міцність літальних апаратів, мостів, окремих видів машин і вузлів.

Коливання є процесами, що повторюються через однакові проміжки часу (при цьому далеко не всі процеси, що повторюються, є коливаннями!). Залежно від фізичної природи процесу, що повторюється, розрізняють коливання механічні, електромагнітні, електромеханічні і т.п. При механічних коливаннях періодично змінюються положення та координати тіл.

Повертаюча сила - Сила, під дією якої відбувається коливальний процес. Ця сила прагне тіло чи матеріальну точку, відхилену від стану спокою, повернути у вихідне становище.

Залежно від характеру впливу на тіло, що вагається, розрізняють вільні (або власні) коливання і вимушені коливання.

Залежно від характеру впливу на систему, що коливається, розрізняють вільні коливання, вимушені, автоколивання і параметричні коливання.

Вільними (Власними) коливаннями називаються такі коливання, які у системі, наданої самої собі після того, як їй було повідомлено поштовх, чи було виведено зі становища рівноваги, тобто. коли на тіло, що коливається, діє тільки повертаюча сила. Прикладом можуть служити коливання кульки, підвішеної на нитці. Для того, щоб викликати коливання, треба або штовхнути кульку, або, відвівши убік, відпустити її. У тому випадку, якщо не відбувається розсіювання енергії, вільні коливання незатухають. Проте, реальні коливальні процеси загасають, т.к. на тіло, що вагається, діють сили опору руху (в основному сили тертя).

· Вимушеними називаються такі коливання, в процесі яких система, що коливається, піддається впливу зовнішньої періодично змінюється сили (наприклад, коливання моста, що виникають при проходженні по ньому людей, що крокують в ногу). У багатьох випадках системи роблять коливання, які вважатимуться гармонійними.

· Автоколивання , як і вимушені коливання, супроводжуються впливом на систему зовнішніх сил, що коливається, однак, моменти часу, коли здійснюються ці впливи, задаються самої коливається системою. Тобто система сама управляє зовнішнім впливом. Прикладом автоколивальної системи є годинник, в якому маятник отримує поштовхи за рахунок енергії піднятої гирі або закрученої пружини, причому ці поштовхи відбуваються в моменти проходження маятника через середнє положення.

· Параметричні коливання здійснюються при періодичній зміні параметрів системи, що коливається (качається на гойдалках людина періодично піднімає і опускає свій центр тяжіння, тим самим змінюючи параметри системи). За певних умов система стає нестійкою - випадкове відхилення з положення рівноваги призводить до виникнення і наростання коливань. Це називається параметричним порушенням коливань (тобто. коливання порушуються з допомогою зміни параметрів системи), а самі коливання – параметрическими.

Попри різну фізичну природу, для коливань характерні одні й самі закономірності, які досліджуються загальними методами. Важливою кінематичною характеристикою форма коливань. Вона визначається видом тієї функції часу, яка визначає зміну тієї чи іншої фізичної величини при коливаннях. Найбільш важливими є такі коливання, при яких величина, що коливається, змінюється з часом за законом синуса чи косинуса . Вони називаються гармонійними .

Гармонічними коливанняминазиваються коливання, при яких фізична величина, що коливається, змінюється за законом синуса (або косинуса).

Цей вид коливань особливо важливий з таких причин. По-перше, коливання в природі та в техніці часто мають характер дуже близьких до гармонійних. По-друге, періодичні процеси іншої форми (з іншою залежністю від часу) можуть бути представлені як накладення, або суперпозиція, гармонійних коливань.

Рівняння гармонійного осцилятора

Гармонічне коливання описується періодичним законом:

Рис. 18.1. Гармонічне коливання

З

десь
- характеризує зміна будь-якої фізичної величини при коливаннях (зсув положення маятника з положення рівноваги; напруга на конденсаторі в коливальному контурі і т.д.), A - амплітуда коливань ,
- фаза коливань , - початкова фаза ,
- циклічна частота ; величину
називають також власною частотою коливань. Така назва підкреслює, що ця частота визначається параметрами коливальної системи. Система, закон руху якої має вигляд (18.1), називається одновимірним гармонічним осцилятором . Крім перерахованих величин для характеристики коливань вводять поняття періоду , тобто. часу одного вагання.

(Періодом коливань T називається найменший проміжок часу, після якого повторюються стану коливається системи (здійснюється одне повне коливання) і фаза коливання отримує збільшення 2p).

і частоти
, Що визначає кількість коливань в одиницю часу За одиницю частоти приймається частота такого коливання, період якого дорівнює 1 с. Цю одиницю називають герцем (Гц ).

Частотою коливаньn називається величина обернена до періоду коливань - число повних коливань, що здійснюються в одиницю часу.

Амплітуда- максимальне значення усунення чи зміни змінної величини при коливальному чи хвильовому русі.

Фаза коливань- аргумент періодичної функції або описує гармонійний коливальний процес (ω-кутова частота, t- Час, - Початкова фаза коливань, тобто фаза коливань у початковий момент часу t = 0).

Перша і друга похідні за часом від величини, що гармонічно коливається, також здійснюють гармонічні коливання тієї ж частоти:

У разі за основу взято рівняння гармонійних коливань, записане за законом косинуса. При цьому перше з рівнянь (18.2) описує закон, за яким змінюється швидкість коливається матеріальної точки (тіла), друге рівняння описує закон, за яким змінюється прискорення точки, що коливається (тіла).

Амплітуди
і
рівні відповідно
і
. Коливання
випереджає
по фазі на; а коливання
випереджає
на . Значення Aі можуть бути визначені із заданих початкових умов
і
:

,
. (18.3)

Енергія коливань осцилятора

П

Рис. 18.2. Пружинний маятник

оглянемо тепер, що відбуватиметься з енергією коливань . Як приклад гармонійних коливань розглянемо одномірні коливання, які здійснюють тіло маси m під дією пружною сили
(наприклад, пружинний маятник, див. рис. 18.2). Сили іншої природи, ніж пружні, але у яких виконується умова F = -kx, називаються квазіпружними.Під дією цих сил тіла також здійснюють гармонійні коливання. Нехай:

усунення:
швидкість:
прискорення:

Тобто. рівняння таких коливань має вигляд (18.1) із власною частотою
. Квазіпружна сила є консервативної . Тому повна енергія таких гармонійних коливань має залишатися постійною. У процесі коливань відбувається перетворення кінетичної енергії E доу потенційну E пі навпаки, причому у моменти найбільшого відхилення від положення рівноваги повна енергія дорівнює максимальному значенню потенційної енергії, а при проходженні системи через положення рівноваги повна енергія дорівнює максимальному значенню кінетичної енергії. З'ясуємо, як змінюється згодом кінетична та потенційна енергія:

Кінетична енергія:

Потенційна енергія:

(18.5)

З огляду на те, що тобто. , Останній вираз можна записати у вигляді:

Таким чином, повна енергія гармонійного коливання виявляється постійною. Зі співвідношень (18.4) і (18.5) також випливає, що середні значення кінетичної та потенційної енергії дорівнюють один одному і половині повної енергії, оскільки середні значення
і
за період дорівнюють 0,5. Використовуючи тригонометричні формули, можна отримати, що кінетична та потенційна енергія змінюються із частотою
, тобто. з частотою вдвічі перевищує частоту гармонійного коливання.

Як приклади гармонійного осцилятора можуть бути пружинний, фізичний, математичний маятники і крутильні маятники.

1. Пружинний маятник- це вантаж масою m, який підвішений на абсолютно пружній пружині та здійснює гармонічні коливання під дією пружної сили F = -kx, де k - жорсткість пружини. З формули (18.8) випливає, що пружинний маятник здійснює гармонічні коливання за законом х = Асоs(ω 0 t+φ) з циклічною частотою

(18.9) та періодом

(18.10) Формула (18.10) правильна для пружних коливань у межах, у яких виконується закон Гука, т. е. якщо маса пружини мала проти масою тіла. Потенційна енергія пружинного маятника, використовуючи (18.9) та формулу потенційної енергії попереднього розділу, дорівнює (див.18.5)

2. Фізичний маятник- це тверде тіло, яке здійснює коливання під дією сили тяжіння навколо нерухомої горизонтальної осі, яка проходить через точку О, яка не збігається з центром мас тіла (рис. 1).

Рис.18.3 Фізичний маятник

Якщо маятник з положення рівноваги відхилили на деякий кут α, то, використовуючи рівняння динаміки обертального руху твердого тіла, момент M сили, що повертає (18.11) де J - момент інерції маятника щодо осі, яка проходить через точку підвісу О, l - відстань між віссю і центром мас маятника, F τ ≈ –mgsinα ≈ –mgα - повертаюча сила (знак мінус вказує на те, що напрямки F τ і α завжди протилежні; малі кути). Рівняння (18.11) запишемо як

Або Приймаючи (18.12) отримаємо рівняння

Ідентичне з (18.8), рішення якого знайдемо та запишемо як:

(18.13) З формули (18.13) випливає, що при малих коливаннях фізичний маятник здійснює гармонічні коливання з циклічною частотою 0 і періодом

(18.14) де введено величину L=J/(m l) - . Точка О" на продовженні прямої ОС, яка віддалена від точки Про підвісу маятника на відстані наведеної довжини L, називається центром коливаньфізичного маятника (рис. 18.3). Застосовуючи теорему Штейнера на момент інерції осі, знайдемо

Т. е. ГО" завжди більше ОС. Точка підвісу Про маятника і центр хитань О" мають властивість взаємозамінності: якщо точку підвісу перенести в центр коливань, то колишня точка Про підвіс буде новим центром коливань, і при цьому не зміниться період коливань фізичного маятника.

3. Математичний маятник- це ідеалізована система, що складається з матеріальної точки масою m, яка підвішена на нерозтяжній невагомій нитці, яка коливається під дією сили тяжіння. Хороше наближення математичного маятника є невелика важка кулька, яка підвішена на довгій тонкій нитці. Момент інерції математичного маятника

(8) де l- Довжина маятника.

Оскільки математичний маятник є окремим випадком фізичного маятника, якщо припустити, що вся його маса зосереджена в одній точці - центрі мас, то, підставивши (8) в (7), знайдемо вираз для періоду малих коливань математичного маятника (18.15) Зіставляючи формули (18.13) ) та (18.15), бачимо, що якщо наведена довжина L фізичного маятника дорівнює довжині lматематичного маятника, то періоди коливань цих маятників однакові. Значить, наведена довжина фізичного маятника- Це довжина такого математичного маятника, у якого період коливань збігається з періодом коливань даного фізичного маятника. Для математичного маятника (матеріальної точки масою m, підвішеною на невагомій нерозтяжній нитці завдовжки lу полі сили тяжіння з прискоренням вільного падіння рівним g) при малих кутах відхилення (що не перевищують 5-10 кутових градусів) від положення рівноваги власна частота коливань:
.

4. Тіло, підвішене на пружній нитці або іншому пружному елементі, що здійснює коливання в горизонтальній площині, є крутильний маятник.

Ця механічна коливальна система, яка використовує сили пружних деформацій. На рис. 18.4 показаний кутовий аналог лінійного гармонійного осцилятора, що здійснює крутильні коливання. Горизонтально розташований диск висить на пружній нитці, що закріплена в його центрі мас. При повороті диска на кут θ з'являється момент сил Mупругої деформації кручення:

де I = IC- момент інерції диска щодо осі, що проходить через центр мас, - кутове прискорення.

За аналогією із вантажем на пружині можна отримати.

(Лат. amplitude- величина) - це найбільше відхилення тіла, що коливається від положення рівноваги.

Для маятника це максимальна відстань, на яку віддаляється кулька від свого положення рівноваги (рисунок нижче). Для коливань з малими амплітудами за таку відстань можна приймати як довжину дуги 01 чи 02, і довжини цих відрізків.

Амплітуда коливань вимірюється в одиницях довжини - метрах, сантиметрах і т. д. На графіку коливань амплітуда визначається як максимальна (за модулем) ордината синусоїдальної кривої, (див. рис. Нижче).

Період коливань.

Період коливань- Це найменший проміжок часу, через який система, що робить коливання, знову повертається в той же стан, в якому вона знаходилася в початковий момент часу, вибраний довільно.

Іншими словами, період коливань ( Т) - це час, за який відбувається одне повне коливання. Наприклад, на малюнку нижче цей час, за який вантаж маятника переміщається з крайньої правої точки через точку рівноваги Проу крайню ліву точку і назад через точку Прознову в крайню праву.

За повний період коливань, таким чином, тіло проходить шлях, рівний чотирьом амплітудам. Період коливань вимірюється в одиницях часу - секундах, хвилинах і т. д. Період коливань може бути визначений за відомим графіком коливань (див. рис. нижче).

Поняття «період коливань», строго кажучи, справедливе, лише коли значення коливається величини точно повторюються через певний проміжок часу, тобто для гармонійних коливань. Однак це поняття застосовується також і для випадків приблизно повторюваних величин, наприклад, для загасаючих коливань.

Частота коливань.

Частота коливань- Це число коливань, що здійснюються за одиницю часу, наприклад, за 1 с.

Одиниця частоти у СІ названа герцем(Гц) на честь німецького фізика Г. Герца (1857-1894). Якщо частота коливань ( v) дорівнює 1 Гц, то це означає, що за кожну секунду відбувається одне коливання. Частота та період коливань пов'язані співвідношеннями:

Теоретично коливань користуються також поняттям циклічною, або кругової частоти ω . Вона пов'язана із звичайною частотою vта періодом коливань Тспіввідношеннями:

.

Циклічна частота- Це число коливань, що здійснюються за 2πсекунд.