Назад вперед

Увага! Попередній перегляд слайдів використовується виключно для ознайомлення та може не давати уявлення про всі можливості презентації. Якщо вас зацікавила ця робота, будь ласка, завантажте повну версію.

Цілі уроку: запровадити поняття двогранного кута та його лінійного кута;

розглянути завдання застосування цих понять;

сформувати конструктивну навичку знаходження кута між площинами;

розглянути завдання застосування цих понять.

Хід уроку

I. Організаційний момент.

Повідомити тему уроку, сформувати цілі уроку.

ІІ. Актуалізація знань учнів (слайд 2, 3).

1. Підготовка до вивчення нового матеріалу.

Що називається кутом на площині?

Що називається кутом між прямими у просторі?

Що називається кутом між прямою та площиною?

Сформулюйте теорему про три перпендикуляри

ІІІ. Вивчення нового матеріалу.

• Концепція двогранного кута.

Фігура, утворена двома напівплощинами , що проходять через пряму МN, називається двогранним кутом (слайд 4).

Напівплощини - грані, пряма МN – ребро двогранного кута.

Які предмети у повсякденному житті мають форму двогранного кута? (Слайд 5)

• Кут між площинами АСН та СНД – це двогранний кут АСНD, де СН – ребро. Точки А та D лежать на гранях цього кута. Кут AFD – лінійний кут двогранного кута АCHD (слайд 6).

• Алгоритм побудови лінійного кута (слайд 7).

1 спосіб. На ребрі взяти будь-яку точку Про провести перпендикуляри в цю точку (РО DE, KO DE) отримали кут РОК - лінійний.

2 спосіб. В одній напівплощині взяти точку К і опустити з неї два перпендикуляри на іншу напівплощину та ребро (КО та КР), тоді за теоремою зворотної ТТП РОDE

• Усі лінійні кути двогранного кута дорівнюють (слайд 8). Доказ: промені ОА і О 1 А 1 сонаправлены, промені ОВ і О 1 В 1 теж сонаправлены, кути ВОА і О 1 А 1 А 1 рівні як кути з сонаправленными сторонами.

• Градусною мірою двогранного кута називається градусна міра його лінійного кута (слайд 9).

IV. Закріплення дослідженого матеріалу.

• Розв'язання задач (усно за готовими кресленнями). (Слайди10-12)

1. РАВС – піраміда; кут АСВ дорівнює 90 про, пряма РВ перпендикулярна площині АВС. Довести, що кут РСВ – лінійний кут двогранного кута

2. РАВС – піраміда; АВ = ВС, D – середина відрізка АС, пряма РВ перпендикулярна до площини АВС. Довести, що кут PDB – лінійний кут двогранного кута з ребром АС.

3. PABCD – піраміда; пряма РВ перпендикулярна до площини АВС, ВК перпендикулярна до DC. Довести, що кут РКВ – лінійний кут двогранного кута із ребром СD.

• Завдання побудувати лінійного кута (слайди 13-14).

1. Побудувати лінійний кут двогранного кута з ребром АС, якщо в піраміді РАВС грань АВС – правильний трикутник, О – точка перетину медіан, пряма РО перпендикулярна до площини АВС

2. Даний ромб АВСD. Пряма РС перпендикулярна до площини АВСD.

Побудувати лінійний кут двогранного кута з ребром ВD та лінійний кут двогранного кута з ребром АD.

• Обчислювальне завдання. (Слайд 15)

У паралелограмі АВСD кут АDС дорівнює 120 0 АD = 8 см,

DС = 6 см, пряма РС перпендикулярна до площини АВС, РС = 9 см.

Знайти величину двогранного кута з ребром АD та площу паралелограма.

V. Домашнє завдання (слайд16).

П. 22 № 168, 171.

Використовувана література:

1. Геометрія 10-11 Л.С.Атанасян.
2. Система завдань на тему “Двогранні кути” М.В.Севостьянова (м.Мурманск), журнал Математика у шкільництві 198… р.

ТЕКСТОВЕ РОЗШИФРУВАННЯ УРОКУ:

У планіметрії основними об'єктами є прямі, відрізки, промені та точки. Промені, що виходять з однієї точки, утворюють одну з геометричних фігур-кут.

Ми знаємо, що лінійний кут вимірюється у градусах та радіанах.

У стереометрії до об'єктів додається площина. Фігура, утворена прямою а та двома напівплощинами із загальною межею а, що не належать одній площині в геометрії називається двогранним кутом. Напівплощини – це грані двогранного кута. Пряма а – це ребро двогранного кута.

Двогранний кут, як і лінійний кут, можна назвати, виміряти, побудувати. Це і належить нам з'ясувати в цьому уроці.

Знайдемо двогранний кут моделі тетраедра АВСD.

Двогранний кут з ребром АВ називають CABD, де С і D точки належать різним граням кута а ребро АВ називають у середині

Навколо нас чимало предметів з елементами як двогранного кута.

У багатьох містах у парках встановлені спеціальні лави для примирення. Лавка виконана у вигляді двох похилих площин, що сходяться до центру.

При будівництві будинків часто використовується так званий двосхилий дах. На цьому будинку дах виконаний у вигляді двогранного кута 90 градусів.

Двогранний кут теж вимірюється в градусах чи радіанах, але як його виміряти.

Цікаво зауважити, що дахи будинків лежать на кроквах. А обрешітка крокв утворює два скати даху під заданим кутом.

Перенесемо зображення на креслення. На кресленні для знаходження двогранного кута на його ребрі відзначається точка В. З цієї точки проводяться два промені ВА і ПС перпендикулярно ребру кута. Утворений цими променями кут АВС називається лінійним кутом двогранного кута.

Градусна міра двогранного кута дорівнює градусній мірі його лінійного кута.

Виміряємо кут АОВ.

Градусна міра цього двогранного кута дорівнює шістдесяти градусам.

Лінійних кутів для двогранного кута можна провести нескінченну кількість, важливо знати, що вони рівні.

Розглянемо два лінійні кути АОВ і А1О1В1. Промені ОА та О1А1 лежать в одній грані та перпендикулярні до прямої ОО1, тому вони спрямовані. Промені ОВ та О1В1 так само співспрямовані. Тому кут АОВ дорівнює куту А1О1В1 як кути із співспрямованими сторонами.

Так двогранний кут характеризується лінійним кутом, а лінійні кути бувають гострі, тупі та прямі. Розглянемо моделі двогранних кутів.

Тупий кут, якщо його лінійний кут від 90 до 180 градусів.

Прямий кут, якщо його лінійний кут дорівнює 90 градусів.

Гострий кут, якщо його лінійний кут від 0 до 90 градусів.

Доведемо одну з найважливіших властивостей лінійного кута.

Площина лінійного кута перпендикулярна до ребра двогранного кута.

Нехай кут АОВ – лінійний кут даного двогранного кута. За побудовою промені АТ та ВВ перпендикулярні до прямої а.

Через дві перетинаються прямі АТ і ОВ проходить площину АОВ по теоремі: Через дві прямі, що перетинаються, проходить площину і притому тільки одна.

Пряма а перпендикулярна двом прямим лежачим у цій площині, що перетинається, означає за ознакою перпендикулярності прямої і площини пряма а перпендикулярна площині АОВ.

Для вирішення завдань важливо вміти будувати лінійний кут заданого двогранного кута. Побудувати лінійний кут двогранного кута з ребром АВ для тетраедра АВСD.

Йдеться про двогранний кут, який утворений, по-перше, рубом АВ, однією гранню АВD, другою гранню АВС.

Ось один із способів побудови.

Проведемо перпендикуляр із точки D до площини АВС, Зазначимо точку М основу перпендикуляра. Згадаємо, що в тетраедрі основа перпендикуляра збігається з центром вписаного кола в основу тетраедра.

Проведемо похилу з точки D перпендикулярно до ребра АВ, відзначимо точку N основу похилої.

У трикутнику DMN відрізок NM буде проекцій похилої DN на площину АВС. За теоремою про три перпендикуляри ребро АВ буде перпендикулярно до проекції NМ.

Отже, сторони кута DNM перпендикулярні до ребра АВ, значить побудований кут DNM шуканий лінійний кут.

Розглянемо приклад розв'язання задачі на обчислення двогранного кута.

Трикутник АВС і правильний трикутник АDB не лежать в одній площині. Відрізок CD є перпендикуляром до площини ADB. Знайдіть двогранний кут DABC, якщо AC = CB = 2 см, AB = 4см.

Двогранний кут DABC дорівнює його лінійному куту. Збудуємо цей кут.

Проведемо похилу СМ перпендикулярно до ребра АВ, оскільки трикутник АСВ рівнобедрений, точка М збігається із серединою ребра АВ.

Пряма СD за умовою перпендикулярна до площини ADB, означає перпендикулярна до прямої DM, що лежить у цій площині. А відрізок МD є проекцією похилої РМ на площину АDВ.

Пряма АВ перпендикулярна похилій СМ по побудові, значить за теоремою про три перпендикуляри перпендикулярна до проекції MD.

Отже до ребра АВ знайдено два перпендикуляри СМ та DМ. Отже, вони утворюють лінійний кут СMD двогранного кута DАВС. І нам залишиться його знайти із прямокутного трикутника СDM.

Так відрізок СМ медіана та висота рівнобедреного трикутника АСВ, то по теоремі Піфагора катет СМ дорівнює 4 см.

З прямокутного трикутника DMB по теоремі Піфагора катет DM дорівнює двом корінням з трьох.

Косинус кута з прямокутного трикутника дорівнює відношенню прилеглого катета МD до гіпотенузи СМ і дорівнює три корені з трьох на два. Значить кут СМD дорівнює 30 градусів.

У геометрії вивчення фігур використовують дві важливі характеристики: довжини сторін і кути з-поміж них. У разі просторових фігур до цих характеристик додаються двогранні кути. Розглянемо, що це таке, а також опишемо методику визначення цих кутів на прикладі піраміди.

Поняття про двогранний кут

Кожен знає, що дві прямі, що перетинаються, утворюють деякий кут з вершиною в точці їх перетину. Цей кут можна виміряти за допомогою транспортира або скористатись тригонометричними функціями для його обчислення. Утворений двома прямими кут називається лінійним.

Тепер уявімо, що в тривимірному просторі є дві площини, які перетинаються прямою. Вони зображено малюнку.

Двогранним кутом називається кут між двома площинами, що перетинаються. Як і лінійний, він вимірюється у градусах чи радіанах. Якщо до будь-якої точки прямої, по якій площини перетинаються, відновити два перпендикуляри, що лежать у цих площинах, то кут між ними буде двогранним. Визначити цей кут найпростіше, якщо скористатися рівняннями площин у загальному вигляді.

Рівняння площин та формула для кута між ними

Рівняння будь-якої площини у просторі у загальному вигляді записується так:

A x x + B x y + C x z + D = 0.

Тут x, y, z – це координати точок, що належать площині, коефіцієнти A, B, C, D – деякі відомі числа. Зручність цієї рівності для обчислення двогранних кутів полягає в тому, що вона явно містить координати напрямного вектора площини. Позначатимемо його n¯. Тоді:

Вектор перпендикулярний площині. Кут між двома площинами дорівнює куту між їх n 1 і n 2. З математики відомо, що кут, утворений двома векторами, однозначно визначається з їхнього скалярного твору. Це дозволяє записати формулу для обчислення двогранного кута між двома площинами:

φ = arccos (|(n 1? × n 2?) | / ( | n 1? | × | n 2?)).

Якщо підставити координати векторів, то формула запишеться у явному вигляді:

φ = arccos ( | C 2 2))).

Знак модуля в чисельнику використовується, щоб визначити тільки гострий кут, оскільки двогранний кут завжди менше або дорівнює 90 o .

Піраміда та її кути

Пірамідою називають фігуру, яка утворена одним n-кутником та n трикутниками. Тут n - ціле число, що дорівнює кількості сторін багатокутника, який є основою піраміди. Ця просторова фігура є багатогранником або поліедром, оскільки вона складається з плоских граней (сторон).

Багатогранника-піраміди можуть бути двох типів:

• між основою та бічною стороною (трикутником);
• між двома бічними сторонами.

Якщо піраміда розглядається правильна, то названі кути для неї визначити нескладно. Для цього за координатами трьох відомих точок слід скласти рівняння площин, а потім скористатися наведеною в пункті вище формулою кута φ.

Нижче наведемо приклад, в якому покажемо, як знайти двогранні кути при підставі чотирикутної піраміди правильної.

Чотирикутна та кут при її основі

Припустимо, що дана правильна піраміда з квадратною основою. Довжина сторони квадрата дорівнює a, висота фігури становить h. Знайдемо кут між основою піраміди та її бічною стороною.

Помістимо початок координатної системи у центр квадрата. Тоді координати точок A, B, C, D, показаних на малюнку, дорівнюватимуть:

A = (a/2; -a/2; 0);

B = (a/2; a/2; 0);

C = (-a/2; a/2; 0);

Розглянемо площини ACB та ADB. Очевидно, що напрямний вектор n 1 для площини ACB дорівнюватиме:

Для визначення напрямного вектора n 2 площини ADB надійде наступним чином: знайдемо довільні два вектори, які їй належать, наприклад, AD і AB, потім, обчислимо їх векторний добуток. Його результат дасть координати n 2. Маємо:

AD = D - A = (0; 0; h) - (a/2; -a/2; 0) = (-a/2; a/2; h);

AB = B - A = (a/2; a/2; 0) - (a/2; -a/2; 0) = (0; a; 0);

n 2 = = [(-a/2; a/2; h) × (0; a; 0)] = (-a × h; 0; -a 2 /2).

Оскільки множення та поділ вектора на число не змінює його напрями, то перетворимо отриманий n 2 ¯, розділивши його координати на -a, отримаємо:

Ми визначили напрямні вектора n 1 і n 2 для площин основи ACB і бокової сторони ADB. Залишається скористатися формулою для кута:

φ = arccos (|(n 1 ? × n 2 ?) | / (| n 1 ¯| × | n 2 ¯|)) = arccos (a / (2 × √h 2 + a 2 /4)).

Перетворимо отриманий вираз і перезапишемо його так:

φ = arccos (a/√(a 2 + 4 × h 2)).

Ми отримали формулу для двогранного кута при основі правильної чотирикутної піраміди. Знаючи висоту фігури та довжину її сторони, можна розрахувати кут φ. Наприклад, для піраміди Хеопса, сторона основи якої становить 230,4 метра, а початкова висота дорівнювала 146,5 метра, кут φ дорівнюватиме 51,8 o .

Визначити двогранний кут для чотирикутної правильної піраміди можна також за допомогою геометричного методу. Для цього достатньо розглянути прямокутний трикутник, утворений висотою h, половиною довжини основи a/2 та апофемою рівнобедреного трикутника.

Щоб скористатися попереднім переглядом презентацій, створіть собі обліковий запис Google і увійдіть до нього: https://accounts.google.com

Підписи до слайдів:

ДВОГРАНИЙ КУТ Вчитель математики ГОУ ЗОШ №10 Єрьоменко М.А.

Основні завдання уроку: Ввести поняття двогранного кута та його лінійного кута Розглянути завдання застосування цих понять

Визначення: Двогранним кутом називається фігура, утворена двома напівплощинами із загальною граничною прямою.

Завбільшки двогранного кута називається величина його лінійного кута. AF ⊥ CD BF ⊥ CD AFB -лінійний кут двогранного кута ACD В

Доведемо, що всі лінійні кути двогранного кута дорівнюють один одному. Розглянемо два лінійні кути АОВ та А 1 ОВ 1 . Промені ОА та ОА 1 лежать в одній грані та перпендикулярні ОО 1 тому вони сонаправлены. Промені ВВ та ВВ 1 також співспрямовані. Отже, ∠ АОВ = ∠ А 1 ОВ 1 (як кути із співспрямованими сторонами).

Приклади двогранних кутів:

Визначення: Кутом між двома площинами, що перетинаються, називається найменший з двогранних кутів, утворених цими площинами.

Завдання 1: У кубі A … D 1 знайдіть кут між площинами ABC та CDD 1 . Відповідь: 90 o .

Завдання 2: У кубі A … D 1 знайдіть кут між площинами ABC та CDA 1 . Відповідь: 45 o .

Завдання 3: У кубі A … D 1 знайдіть кут між площинами ABC та BDD 1 . Відповідь: 90 o .

Завдання 4: У кубі A … D 1 знайдіть кут між площинами ACC 1 та BDD 1 . Відповідь: 90 o .

Завдання 5: У кубі A … D 1 знайдіть кут між площинами BC 1 D та BA 1 D . Рішення: Нехай О – середина D. A 1 OC 1 – лінійний кут двогранного кута А 1 В D С 1 .

Завдання 6: У тетраедрі DABC усі ребра рівні, точка М – середина ребра АС. Доведіть, що ∠ DMB – лінійний кут двогранного кута BACD.

Рішення: Трикутники ABC і ADC правильні, тому BM ⊥ AC і DM ⊥ AC і, отже, ∠ DMB є лінійним кутом двогранного кута DACB .

Завдання 7: З вершини В трикутника АВС, сторона АС якого лежить у площині α проведений до цієї площини перпендикуляр ВР 1 . Знайдіть відстань від точки В до прямої АС і до площини α якщо АВ=2, ∠ВАС=150 0 і двогранний кут ВАСВ 1 дорівнює 45 0 .

Рішення: АВС – тупокутний трикутник з тупим кутом А, тому основа висоти ВК лежить продовженні боку АС. ВК – відстань від точки до АС. ВВ 1 – відстань від точки до площині α

2) Оскільки АС ⊥ВК, то АС⊥КВ 1 (по теоремі, зворотній теоремі про три перпендикуляри). Отже, ∠ВКВ 1 – лінійний кут двогранного кута ВАСВ 1 та ∠ВКВ 1 =45 0 . 3) ∆ВАК: ∠А=30 0 , ВК=ВА· sin 30 0 , ВК =1. ∆ВКВ 1: ВВ 1 =ВК· sin 45 0 , ВВ 1 =

Величину кута між двома різними площинами можна визначити для будь-якого взаємного розташування площин.

Тривіальний випадок, якщо площини паралельні. Тоді кут між ними вважається рівним нулю.

Нетривіальний випадок, якщо площини перетинаються. Цьому випадку присвячено подальше обговорення. Спочатку нам знадобиться поняття двогранного кута.

9.1 Двогранний кут

Двогранний кут це дві напівплощини із загальною прямою (яка називається ребром двогранного кута). На рис. 50 зображений двогранний кут, утворений напівплощинами; ребром цього двогранного кута служить пряма a, загальна даних напівплощин.

Рис. 50. Двогранний кут

Двогранний кут можна вимірювати в градусах або радіанах словом, запровадити кутову величину двогранного кута. Робиться це так.

На ребрі двогранного кута, утвореного напівплощинами і, візьмемо довільну точку M. Проведемо промені MA і MB, що лежать відповідно в даних напівплощинах і перпендикулярні до ребра (рис. 51).

Рис. 51. Лінійний кут двогранного кута

Отриманий кут AMB – це лінійний кут двогранного кута. Кут " = \AMB і є кутовий величиною нашого двогранного кута.

Визначення. Кутова величина двогранного кута це величина лінійного кута цього двогранного кута.

Усі лінійні кути двогранного кута дорівнюють один одному (адже вони виходять один з одного паралельним зрушенням). Тому це визначення коректно: величина " залежить від конкретного вибору точки M на ребре двогранного кута.

9.2 Визначення кута між площинами

При перетині двох площин виходять чотири двогранні кути. Якщо вони мають однакову величину (по 90), то площини називаються перпендикулярними; кут між площинами тоді дорівнює 90 .

Якщо не всі двогранні кути однакові (тобто є два гострі і два тупі), то кутом між площинами називається величина гострого двогранного кута (рис. 52).

Рис. 52. Кут між площинами

9.3 Приклади розв'язання задач

Розберемо три завдання. Перша проста, друга та третя приблизно на рівні C2 на ЄДІ з математики.

Завдання 1. Знайдіть кут між двома гранями правильного тетраедра.

Рішення. Нехай ABCD правильний тетраедр. Проведемо медіани AM та DM відповідних граней, а також висоту тетраедра DH (рис. 53).

Рис. 53. До задачі 1

Будучи медіанами, AM та DM є також висотами рівносторонніх трикутників ABC та DBC. Тому кут = = AMD є лінійний кут двогранного кута, утвореного гранями ABC і DBC. Знаходимо його з трикутника DHM:

			1 AM

Відповідь: arccos 1 3 .

Завдання 2. У правильній чотирикутній піраміді SABCD (з вершиною S) бічне ребро дорівнює стороні основи. Крапка K середина ребра SA. Знайдіть кут між площинами

Рішення. Пряма BC паралельна AD і тим самим паралельна площині ADS. Тому площина KBC перетинає площину ADS прямою KL, паралельною BC (рис. 54 ).

Рис. 54. До задачі 2

При цьому KL буде паралельна прямий AD; отже, KL середня лінія трикутника ADS, і точка L середина DS.

Проведемо висоту піраміди SO. Нехай N середина DO. Тоді середня лінія LN трикутника DOS, і тому LN k SO. Значить LN перпендикуляр до площини ABC.

З точки N опустимо перпендикуляр NM на пряму BC. Пряма NM буде проекцією похилої LM на площину ABC. З теореми про три перпендикуляри випливає тоді, що LM також перпендикулярна BC.

Таким чином, кут " = \LMN є лінійним кутом двогранного кута, утвореного напівплощинами KBC і ABC. Шукатимемо цей кут із прямокутного трикутника LMN.

Нехай ребро піраміди дорівнює a. Спочатку знаходимо висоту піраміди:

SO = p

Рішення. Нехай L точка перетину прямих A1 K та AB. Тоді площина A1 KC перетинає площину ABC прямою CL (рис.55 ).

A C

Рис. 55. До задачі 3

Трикутники A1 B1 K і KBL рівні по катету та гострому куту. Отже, дорівнюють інші катети: A1 B1 = BL.

Розглянемо трикутник ACL. У ньому BA = BC = BL. Кут CBL дорівнює 120; отже, \BCL = 30 . Крім того, \ BCA = 60 . Тому \ACL = \BCA + \BCL = 90 .

Отже, LC? AC. Але пряма AC є проекцією прямої A1 C на площину ABC. По теоремі про три перпендикуляри укладаємо тоді, що LC? A1 C.

Таким чином, кут A1 CA лінійний кут двогранного кута, утвореного напівплощинами A1 KC та ABC. Це і є шуканий кут. З рівнобедреного прямокутного трикутника A1 AC бачимо, що він дорівнює 45 .