Знак модуля, мабуть, одне з найцікавіших явищ у математиці. У зв'язку з цим у багатьох школярів виникає питання, як будувати графіки функцій, які містять модуль. Давайте докладно розберемо це питання.

1. Побудова графіків функцій, що містять модуль

приклад 1.

Побудувати графік функції y = x 2 - 8 | x | + 12.

Рішення.

Визначимо парність функції. Значення для y(-x) збігається зі значенням для y(x), тому ця функція парна. Тоді її графік симетричний щодо осі Oy. Будуємо графік функції y = x 2 – 8x + 12 для x ≥ 0 та симетрично відображаємо графік щодо Oy для негативних x (рис. 1).

приклад 2.

Наступний графік виду y = | x 2 - 8x + 12 |.

– Яка область значень запропонованої функції? (y ≥ 0).

- Як розташований графік? (Над віссю абсцис або торкаючись її).

Це означає, що графік функції одержують наступним чином: будують графік функції y = x 2 – 8x + 12, залишають частину графіка, що лежить над віссю Ox, без змін, а частина графіка, що лежить під віссю абсцис, симетрично відображають щодо осі Ox (Рис. 2).

приклад 3.

Для побудови графіка функції y = | x 2 – 8 | x | + 12 | проводять комбінацію перетворень:

y = x 2 - 8x + 12 → y = x 2 - 8 | + 12 → y = | x 2 - 8 | x | + 12 |.

Відповідь: рисунок 3.

Розглянуті перетворення справедливі всім видів функцій. Складемо таблицю:

2. Побудова графіків функцій, які у формулі «вкладені модулі»

Ми вже познайомилися з прикладами квадратичної функції, що містить модуль, а також із загальними правилами побудови графіків функцій виду y = f (| x |), y = | f (x) | та y = |f(|x|)|. Ці перетворення допоможуть нам під час розгляду наступного прикладу.

приклад 4.

Розглянемо функцію виду y = | 2 - | 1 - | x | | |. Вираз, що задає функцію, містить вкладені модулі.

Рішення.

Скористаємося методом геометричних перетворень.

Запишемо ланцюжок послідовних перетворень і зробимо відповідне креслення (рис. 4):

y = x → y = | x | → y = -|x| → y = -|x| + 1 → y = |-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1 | + 2 → y = | 2 - | 1 - | x | | |.

Розглянемо випадки, коли перетворення симетрії та паралельного перенесення не є основним прийомом при побудові графіків.

Приклад 5.

Побудувати графік функції виду y = (x 2 – 4)/√(x + 2) 2 .

Рішення.

Перш ніж будувати графік, перетворимо формулу, якою задана функція, та отримаємо інше аналітичне завдання функції (рис. 5).

y = (x 2 - 4) / √ (x + 2) 2 = (x - 2) (x + 2) / | x + 2 |.

Розкриємо у знаменнику модуль:

За x > -2, y = x – 2, а за x< -2, y = -(x – 2).

Область визначення D(y) = (-∞; -2)ᴗ(-2; +∞).

Область значень E(y) = (-4; +∞).

Точки, в яких графік перетинає з осі координат: (0; -2) та (2; 0).

Функція зменшується за всіх x з інтервалу (-∞; -2), зростає при x від -2 до +∞.

Тут нам довелося розкривати знак модуля та будувати графік функції для кожного випадку.

Приклад 6.

Розглянемо функцію y = | x + 1 | - | X - 2 |.

Рішення.

Розкриваючи знак модуля, необхідно розглянути різноманітну комбінацію символів підмодульних виразів.

Можливі чотири випадки:

(x + 1 – x + 2 = 3, при x ≥ -1 та x ≥ 2;

(-x - 1 + x - 2 = -3, при x< -1 и x < 2;

(x + 1 + x – 2 = 2x - 1, при x ≥ -1 та x< 2;

(-x - 1 - x + 2 = -2x + 1, при x< -1 и x ≥ 2 – пустое множество.

Тоді вихідна функція матиме вигляд:

(3, при x ≥ 2;

y = (-3, при x< -1;

(2x – 1, при -1 ≤ x< 2.

Отримали шматково-задану функцію, графік якої зображено малюнку 6.

3. Алгоритм побудови графіків функцій виду

y = a 1 | x - x 1 | + a 2 | x - x 2 | + … + a n | x - x n | + ax + b.

У попередньому прикладі було легко розкрити знаки модуля. Якщо сум модулів більше, то розглянути всілякі комбінації знаків підмодульних виразів проблематично. Як у цьому випадку побудувати графік функції?

Зауважимо, що графіком є ​​ламана, з вершинами в точках, що мають абсциси -1 і 2. При x = -1 і x = 2 підмодульні вирази дорівнюють нулю. Практичним шляхом ми наблизилися до правила побудови таких графіків:

Графіком функції виду y = a 1 | x - x 1 | + a 2 | x - x 2 | + … + a n | x - x n | + ax + b є ламана з нескінченними крайніми ланками. Щоб побудувати таку ламану, достатньо знати всі її вершини (абсциси вершин є нулі підмодульних виразів) і по одній контрольній точці на лівому та правому нескінченних ланках.

Завдання.

Побудувати графік функції y = | x | + | x - 1 | + | x + 1 | та знайти її найменше значення.

Рішення:

Нулі підмодульних виразів: 0; -1; 1. Вершини ламаної (0; 2); (-1; 3); (1; 3). Контрольна точка праворуч (2; 6), зліва (-2; 6). Будуємо графік (рис. 7). min f(x) = 2.

Залишились питання? Чи не знаєте, як побудувати графік функції з модулем?
Щоб отримати допомогу репетитора – .

blog.сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

короткий зміст інших презентацій

"Властивості квадратного кореня" - Відповіді. Підведення підсумків. Розв'язання вправ. План уроку. Усна робота. Властивості квадратного коріння. Література Самостійно. Обчисліть. Різновид.

«Арифметичний квадратний корінь та його властивості» - Учень. Теорема. Перетворення. Вирішуй знову. Помилка тебе точно не наздогнати. приклад. Крихітка Ро. Властивості арифметичних квадратних коренів. Застосування. Властивості. Я засмучений твоїми знаннями. Пройди тест. Твій шлях був нелегкий. Тест.

«Функція та властивості квадратного кореня» - функція. Самостійна робота. Підготовка до виконання тестових завдань. Знайдіть значення виразу. Прищеплення інтересу до предмета. Раціональне число. Різновид. Значення виразу. Нові математичні моделі функцій. Інформація для учителя. Скоротіть дріб. Нові позначення. Обчисліть. Знайдіть значення виразу найбільш раціональним способом. Розкладіть на множники. Знайдіть значення.

"Завдання на нерівності" - З'єднайте відрізками числові проміжки. Проміжки є рішенням. Розв'яжи нерівності. Заповнити перепустки в таблиці. Перевірка домашнього завдання. Самостійна робота. Нерівності. Перепустки в таблиці. Розв'яжіть нерівність. Вірні відповіді. Алгебра. Систематизація та вдосконалення знань. Що зайве. Наголосити на вірних відповідях. Знайди помилку. Контрольний тест. Виписати проміжки. Рішень немає.

"Приклади нерівностей" - Три випадки. Завдання. Правила дій із нерівностями. Види нерівностей. Невід'ємне число. Дайте визначення нерівності. Розв'яжіть подвійну нерівність. Додавання. Визначення понять. Нерівності, що входять до системи. Властивості числових нерівностей. Запис. Нерівність містить лише числа. Нерівності. Дидактичний матеріал. Ax+b>0. Вирішення системи лінійних нерівностей.

«Скорочене множення» - Гра "Дивися не помились". Урок математики. Завдання на картках. Перевірочна робота. Таблиця. Формули скороченого множення. Гра Щасливий випадок. Завдання на відпрацювання розуміння математичного мовлення на слух. Вибери правильну відповідь. Перевірка.

Знак модуля, мабуть, одне з найцікавіших явищ у математиці. У зв'язку з цим у багатьох школярів виникає питання, як будувати графіки функцій, які містять модуль. Давайте докладно розберемо це питання.

1. Побудова графіків функцій, що містять модуль

приклад 1.

Побудувати графік функції y = x 2 - 8 | x | + 12.

Рішення.

Визначимо парність функції. Значення для y(-x) збігається зі значенням для y(x), тому ця функція парна. Тоді її графік симетричний щодо осі Oy. Будуємо графік функції y = x 2 – 8x + 12 для x ≥ 0 та симетрично відображаємо графік щодо Oy для негативних x (рис. 1).

приклад 2.

Наступний графік виду y = | x 2 - 8x + 12 |.

– Яка область значень запропонованої функції? (y ≥ 0).

- Як розташований графік? (Над віссю абсцис або торкаючись її).

Це означає, що графік функції одержують наступним чином: будують графік функції y = x 2 – 8x + 12, залишають частину графіка, що лежить над віссю Ox, без змін, а частина графіка, що лежить під віссю абсцис, симетрично відображають щодо осі Ox (Рис. 2).

приклад 3.

Для побудови графіка функції y = | x 2 – 8 | x | + 12 | проводять комбінацію перетворень:

y = x 2 - 8x + 12 → y = x 2 - 8 | + 12 → y = | x 2 - 8 | x | + 12 |.

Відповідь: рисунок 3.

Розглянуті перетворення справедливі всім видів функцій. Складемо таблицю:

2. Побудова графіків функцій, які у формулі «вкладені модулі»

Ми вже познайомилися з прикладами квадратичної функції, що містить модуль, а також із загальними правилами побудови графіків функцій виду y = f (| x |), y = | f (x) | та y = |f(|x|)|. Ці перетворення допоможуть нам під час розгляду наступного прикладу.

приклад 4.

Розглянемо функцію виду y = | 2 - | 1 - | x | | |. Вираз, що задає функцію, містить вкладені модулі.

Рішення.

Скористаємося методом геометричних перетворень.

Запишемо ланцюжок послідовних перетворень і зробимо відповідне креслення (рис. 4):

y = x → y = | x | → y = -|x| → y = -|x| + 1 → y = |-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1 | + 2 → y = | 2 - | 1 - | x | | |.

Розглянемо випадки, коли перетворення симетрії та паралельного перенесення не є основним прийомом при побудові графіків.

Приклад 5.

Побудувати графік функції виду y = (x 2 – 4)/√(x + 2) 2 .

Рішення.

Перш ніж будувати графік, перетворимо формулу, якою задана функція, та отримаємо інше аналітичне завдання функції (рис. 5).

y = (x 2 - 4) / √ (x + 2) 2 = (x - 2) (x + 2) / | x + 2 |.

Розкриємо у знаменнику модуль:

За x > -2, y = x – 2, а за x< -2, y = -(x – 2).

Область визначення D(y) = (-∞; -2)ᴗ(-2; +∞).

Область значень E(y) = (-4; +∞).

Точки, в яких графік перетинає з осі координат: (0; -2) та (2; 0).

Функція зменшується за всіх x з інтервалу (-∞; -2), зростає при x від -2 до +∞.

Тут нам довелося розкривати знак модуля та будувати графік функції для кожного випадку.

Приклад 6.

Розглянемо функцію y = | x + 1 | - | X - 2 |.

Рішення.

Розкриваючи знак модуля, необхідно розглянути різноманітну комбінацію символів підмодульних виразів.

Можливі чотири випадки:

(x + 1 – x + 2 = 3, при x ≥ -1 та x ≥ 2;

(-x - 1 + x - 2 = -3, при x< -1 и x < 2;

(x + 1 + x – 2 = 2x - 1, при x ≥ -1 та x< 2;

(-x - 1 - x + 2 = -2x + 1, при x< -1 и x ≥ 2 – пустое множество.

Тоді вихідна функція матиме вигляд:

(3, при x ≥ 2;

y = (-3, при x< -1;

(2x – 1, при -1 ≤ x< 2.

Отримали шматково-задану функцію, графік якої зображено малюнку 6.

3. Алгоритм побудови графіків функцій виду

y = a 1 | x - x 1 | + a 2 | x - x 2 | + … + a n | x - x n | + ax + b.

У попередньому прикладі було легко розкрити знаки модуля. Якщо сум модулів більше, то розглянути всілякі комбінації знаків підмодульних виразів проблематично. Як у цьому випадку побудувати графік функції?

Зауважимо, що графіком є ​​ламана, з вершинами в точках, що мають абсциси -1 і 2. При x = -1 і x = 2 підмодульні вирази дорівнюють нулю. Практичним шляхом ми наблизилися до правила побудови таких графіків:

Графіком функції виду y = a 1 | x - x 1 | + a 2 | x - x 2 | + … + a n | x - x n | + ax + b є ламана з нескінченними крайніми ланками. Щоб побудувати таку ламану, достатньо знати всі її вершини (абсциси вершин є нулі підмодульних виразів) і по одній контрольній точці на лівому та правому нескінченних ланках.

Завдання.

Побудувати графік функції y = | x | + | x - 1 | + | x + 1 | та знайти її найменше значення.

Рішення:

Нулі підмодульних виразів: 0; -1; 1. Вершини ламаної (0; 2); (-1; 3); (1; 3). Контрольна точка праворуч (2; 6), зліва (-2; 6). Будуємо графік (рис. 7). min f(x) = 2.

Залишились питання? Чи не знаєте, як побудувати графік функції з модулем?
Щоб отримати допомогу репетитора – зареєструйтесь.

сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

Ерднігоряєва Марина

Ця робота є результатом вивчення теми на факультативі у 8 класі. Тут показуються геометричні перетворення графіків та їх застосування до побудови графіків із модулями. Вводиться поняття модуля та його властивості. Показано як будувати графіки з модулями різними способами: за допомогою перетворень і на основі поняття модуля. Тим не менш, такі завдання даються в другій частині ДПА, в ЄДІ. Ця робота допоможе зрозуміти як будувати графіки з модулями як лінійних, а й інших функцій (квадратичних, обратно- пропорційних та інших.) Робота допоможе під час підготовки до ГИА і ЕГЭ.

Завантажити:

Попередній перегляд:

Щоб скористатися попереднім переглядом презентацій, створіть собі обліковий запис Google і увійдіть до нього: https://accounts.google.com

Підписи до слайдів:

Графіки лінійної функції з модулями Робота Ерднігоряєвої Марини, учениці 8 класу МКОУ «Камишівська ЗОШ» Керівник Горяєва Зоя Ерднігоріївна, вчитель математики МКОУ «Камишівська ЗОШ» с. Камишово, 2013р.

Мета проекту: Відповісти питанням як будувати графіки лінійних функцій з модулями. Завдання проекту: Вивчити літературу з цього питання. Вивчити геометричні перетворення графіків та їх застосування до побудови графіків із модулями. Вивчити поняття модуля та його властивості. Навчитися будувати графіки з модулями у різний спосіб.

Пряма пропорційність Прямою пропорційністю називається функція, яку можна задати формулою виду y = kx, де x -незалежна змінна, k -не рівне нулю число.

Побудуємо графік функції y = x x 0 2 y 0 2

Геометричне перетворення графіків Правило №1 Графік функції y = f (x) + k - лінійна функція - виходить паралельним перенесенням графіка функції y = f (x) на + k одиниць вгору по осі О y при k> 0 або на | - k| одиниць вниз по осі Y при k

Побудуємо графіки y=x+3 y=x-2

Правило № 2 Графік функції y=kf(x) виходить розтягуванням графіка функції y = f (x) уздовж осі О y в a раз при a>1 і стисненням уздовж осі О y в a раз при 0Слайд 9

Побудуємо графік y = x y = 2 x

Правило № 3 Графік функції y = f (x) виходить симетричним відображенням графіка y = f (x) щодо осі Про x

Правило № 4 Графік функції y=f(- x) виходить симетричним відображенням графіка функції y = f(x) щодо осі О y

Правило № 5 Графік функції y=f(x+c) виходить паралельним перенесенням графіка функції y=f(x) вздовж осі x вправо, якщо c 0 .

Побудуємо графіки y=f(x) y=f(x+2)

Визначення модуля Модуль невід'ємного числа а дорівнює самому числу а; модуль від'ємного числа а дорівнює протилежному йому позитивному числу -а. Або, |а|=а, якщо а ≥0 |а|=-а, якщо а

Графіки лінійних функцій з модулями будуються: з допомогою геометричних перетворень з допомогою розкриття визначення модуля.

Правило № 6 Графік функції y = | f (x) | виходить так: частина графіка y=f(x) , що лежить над віссю Про x , зберігається; частина, що лежить під віссю О x , відображається симетрично щодо осі О x .

Побудувати графік функції y = -2 | x-3|+4 Будуємо y ₁=| x | Будуємо y₂= |x - 3 | → паралельне перенесення на +3 одиниці вздовж осі Ох (зсув вправо) Будуємо y ₃ =+2|x-3| → розтягуємо вздовж осі О y у 2 рази = 2 y₂ Будуємо у ₄ =-2|x-3| → симетрія щодо осі абсцис = - y₃ Будуємо y₅ =-2|x-3|+4 → паралельне перенесення на +4 одиниці вздовж осі О y (зсув вгору) = y ₄ +4

Графік функції y=-2|x-3|+4

Графік функції у= 3|х|+2 y₁=|x| y₂=3|x|= 3 y₁ → розтягування в 3 рази y₃=3|x| +2= y₄+2 → зрушення вгору на 2 одиниці

Правило № 7 Графік функції y=f(| x |) виходить з графіка функції y=f(x) наступним чином: При x > 0 графік функції зберігається, і ця частина графіка симетрично відображається щодо осі О y

Побудувати графік функції y = | x-1 | -2 |

У₁= |х| у₂=|х-1| у₃= у₂-2 у₄= |у₃| У=||х-1|-2|

Алгоритм побудови графіка функції y=│f(│x│)│ побудувати графік функції y=f(│x│). далі залишити без змін усі частини побудованого графіка, які лежать вище за осі x . частини, розташовані нижче осі x відобразити симетрично щодо цієї осі.

У = | 2 | х | -3 | Побудова: а) у = 2х-3 для х> 0, б) у = -2х-3 для х Слайд 26

Правило №8 Графік залежності | y|=f(x) виходить із графіка функції y=f(x) якщо всі точки, для яких f(x) > 0 зберігаються і вони ж симетрично переносяться щодо осі абсцис.

Побудувати безліч точок на площині, декартові координати яких х і задовольняють рівнянню |у|=||х-1|-1|.

| y|=||x-1| -1 | будуємо два графіки 1) у=||х-1|-1| та 2) у =-|| х-1 |-1 | y₁=|x| y₂=| x-1 | → зсув осі Ох вправо на 1 одиницю y₃ = | x -1 |- 1= → зрушення на 1 одиницю вниз y ₄ = || x-1 | - 1 | → симетрія точок графіка для яких y₃ 0 щодо x

Графік рівняння |y|=||x-1|-1| отримуємо наступним чином: 1)будуємо графік функції y=f(x) і становимо без змін ту його частину, де y≥0 2) за допомогою симетрії щодо осі Оx побудуємо іншу частину графіка, відповідну y

Побудувати графік функції y = | x | − | 2 − x | . Рішення. Тут знак модуля входить у два різних доданків і його потрібно знімати. 1) Знайдемо коріння підмодульних виразів: х=0, 2-х=0, х=2 2) Встановимо знаки на інтервалах:

Графік функції

Висновок Тема проекту є однією з найважчих у курсі математики, що відноситься до питань, що розглядаються на факультативах, вивчається в класах з поглибленого вивчення курсу математики. Проте такі завдання даються у другій частині ДПА. Дана робота допоможе зрозуміти як будувати графіки з модулями не тільки лінійних функцій, але й інших функцій (квадратичних, обернено пропорційних та ін). Робота допоможе при підготовці до ГІА та ЄДІ та дозволить отримати високі бали з математики.

Література Віленкін Н.Я. , Жохов В.І.. Математика”. Підручник 6 клас. Видавництво “Менемозіна”, 2010р Віленкін Н.Я., Віленкін Л.М., Сурвілло Г.С. та ін Алгебра. 8 клас: навч. Посібник для учнів та класів з поглибленим вивченням математики. - Москва. Освіта, 2009 р. Гайдуков І.І. "Абсолютна величина". Москва. Освіта, 1968. Гурський І.П. "Функції та побудова графіків". Москва. Освіта, 1968. Ящина Н.В. Прийоми побудови графіків, які містять модулі. Ж/л «Математика у шкільництві»,№3,1994г Дитяча енциклопедія. Москва. "Педагогіка", 1990. Динкін ​​Є.Б., Молчанова С.А. Математичні задачі. М., "Наука", 1993. Петраков І.С. Математичні гуртки у 8-10 класах. М., «Освіта», 1987 . Галицький М.Л. та ін. Збірник завдань з алгебри для 8-9 класів: Навчальний посібник для учнів та класів з поглибленим вивченням математики. - 12-те вид. - М.: Просвітництво, 2006. - 301 с. Макричев Ю.М., Міндюк Н.Г. Алгебра: Додаткові розділи до шкільного підручника 9 кл.: Навчальний посібник для учнів школи та класів з поглибленим вивченням математики / За редакцією Г.В.Дорофєєва. - М.: Просвітництво, 1997. - 224 с. Садикіна Н. Побудова графіків та залежностей, що містять знак модуля / Математика. - №33. - 2004. - С.19-21.. Кострикіна Н.П "Завдання підвищеної проблеми в курсі алгебри для 7-9 класів" ... Москва.: Просвітництво, 2008р.

Функція $f(x)=|x|$

$|x|$ - модуль. Він визначається так: Якщо дійсне число буде невід'ємним, то значення модуля збігається з самим числом. Якщо негативно, то значення модуля збігається з абсолютним значенням даного числа.

Математично це можна записати так:

Приклад 1

Функція $f(x)=[x]$

Функція $ f \ left (x \ right) = [x] $ - функція цілої частини числа. Вона знаходиться округленням числа (якщо воно не ціле) «у меншу сторону».

Приклад: $ = 2. $

Приклад 2

Досліджуємо та побудуємо її графік.

1. $ D \ left (f \ right) = R $.
2. Очевидно, що ця функція набирає тільки цілі значення, тобто $ \ E \ left (f \ right) = Z $
3. $f\left(-x\right)=[-x]$. Отже, ця функція матиме загальний вигляд.
4. $ (0,0) $ - єдина точка перетину з осями координат.
5. $f"\left(x\right)=0$
6. Функція має точки розриву (стрибка функції) за всіх $x\in Z$.

Малюнок 2.

Функція $f\left(x\right)=\(x\)$

Функція $f \ left (x \ right) = \ (x \) $ - функція дробової частини числа. Вона є «відкиданням» цілої частини цього числа.

Приклад 3

Досліджуємо та побудуємо графік функції

Функція $f(x)=sign(x)$

Функція $f \ left (x \ right) = sign (x) $ - сигнум-функція. Ця функція показує, який знак дійсне число. Якщо число негативне, функція має значення $-1$. Якщо число позитивне, то функція дорівнює одиниці. При нульовому значенні числа значення функції також прийматиме нульове значення.