В основному курс геометрії доводиться, що сума кутів опуклого n-кутника дорівнює 180 ° (n-2). Виявляється, що це твердження є справедливим і для невипуклих багатокутників.

Теорема 3. Сума кутів довільного n-кутника дорівнює 180 ° (n - 2).

Доведення. Розіб'ємо багатокутник на трикутники, проведенням діагоналей (рис. 11). Число таких трикутників дорівнює n-2, і в кожному трикутнику сума кутів дорівнює 180 °. Оскільки кути трикутників складають кути багатокутника, сума кутів багатокутника дорівнює 180° (n - 2).

Розглянемо тепер довільні замкнуті ламані, можливо із самоперетинами A1A2…AnA1 (рис. 12, а). Такі ломані, що самоперетинаються, будемо називати зірчастими багатокутниками (рис. 12, б-г).

Зафіксуємо напрямок підрахунку кутів проти годинникової стрілки. Зауважимо, що кути, утворені замкненою ламаною, залежать від напряму її обходу. Якщо напрям обходу ламаної змінюється протилежне, то кутами багатокутника будуть кути, які доповнюють кути вихідного багатокутника до 360°.

Якщо M - багатокутник, утворений простою замкненою ламаною, що проходить у напрямку за годинниковою стрілкою (рис. 13, а), то сума кутів цього багатокутника дорівнюватиме 180° (n - 2). Якщо ж ламана проходить у напрямку проти годинникової стрілки (рис. 13, б), то сума кутів дорівнюватиме 180° (n + 2).

Таким чином, загальна формула суми кутів багатокутника, утвореного простою замкненою ламаною, має вигляд = 180° (n 2), де - сума кутів, n - число кутів багатокутника, "+" або "-" береться в залежності від напрямку обходу ламаною.

Наше завдання полягає в тому, щоб вивести формулу суми кутів довільного багатокутника, утвореного замкнутою (можливо самоперетинається) ламаною. І тому введемо поняття ступеня багатокутника.

Ступенем багатокутника називається число оборотів, що здійснюється точкою при повному послідовному обході його сторін. Причому оберти, що здійснюються у напрямку проти годинникової стрілки, зважають на знак «+», а оберти за годинниковою стрілкою - зі знаком «-».

Зрозуміло, що у багатокутника, утвореного простою замкненою ламаною, ступінь дорівнює +1 або -1 залежно від напрямку обходу. Ступінь ламаної малюнку 12, а дорівнює двом. Ступінь зірчастих семикутників (рис. 12, в, г) дорівнює відповідно двом і трьом.

Аналогічним чином поняття ступеня визначається і замкнутих кривих на площині. Наприклад, ступінь кривої, зображеної малюнку 14 дорівнює двом.

Для знаходження ступеня багатокутника чи кривої можна надходити в такий спосіб. Припустимо, що, рухаючись кривою (рис. 15, а), ми, починаючи з якогось місця A1, здійснили повний оборот, і потрапили в ту ж точку A1. Видалимо з кривої відповідну ділянку і продовжимо рух по кривій, що залишилася (рис. 15,б). Якщо, починаючи з якогось місця A2, ми знову здійснили повний оборот і потрапили в ту саму точку, то видаляємо відповідну ділянку кривої і продовжуємо рух (рис. 15, в). Вважаючи кількість віддалених ділянок зі знаками «+» або «-», залежно від їхнього напрямку обходу, отримаємо ступінь кривої.

Теорема 4. Для довільного багатокутника має місце формула

180 ° (n +2m),

де – сума кутів, n – число кутів, m – ступінь багатокутника.

Доведення. Нехай багатокутник M має ступінь m і умовно зображений малюнку 16. M1, …, Mk - прості замкнуті ламані, проходячи якими, точка здійснює повні обороти. A1, …, Ak - відповідні точки самоперетину ламаною, що не є її вершинами. Позначимо число вершин багатокутника M, що входять до багатокутників M1, …, Mk через n1, …, nk відповідно. Оскільки, крім вершин багатокутника M, до цих багатокутників додаються ще вершини A1, …, Ak, число вершин багатокутників M1, …, Mk буде дорівнює відповідно n1+1, …, nk+1. Тоді суми їх кутів дорівнюватимуть 180° (n1+12), …, 180° (nk+12). Плюс чи мінус береться залежно від напрямку обходу ламаних. Сума кутів багатокутника M0, що залишився від багатокутника M після видалення багатокутників M1, …, Mk дорівнює 180° (n-n1- …-nk+k2). Суми кутів багатокутників M0, M1, …, Mk дають суму кутів багатокутника M та у кожній вершині A1, …, Ak додатково отримаємо 360°. Отже, маємо рівність

180° (n1+12)+…+180° (nk+12)+180° (n-n1- …-nk+k2)=+360°k.

180 ° (n2 ... 2) = 180 ° (n + 2m),

де m – ступінь багатокутника M.

Як приклад розглянемо обчислення суми кутів п'ятикутної зірочки (рис. 17, а). Ступінь відповідної замкнутої ламаної дорівнює -2. Тому сума кутів, що шукається, дорівнює 180.

У 8 класі під час уроків геометрії у школі учні вперше знайомляться з поняттям опуклого багатокутника. Незабаром вони дізнаються, що ця фігура має дуже цікаву властивість. Якою б складною вона не була, сума всіх внутрішніх та зовнішніх кутів опуклого багатокутника набуває строго певного значення. У цій статті репетитор з математики та фізики розповідає про те, чому дорівнює сума кутів опуклого багатокутника.

Сума внутрішніх кутів опуклого багатокутника

Як довести цю формулу?

Перш ніж перейти до доказу цього твердження, пригадаємо, який багатокутник називається опуклим. Випуклим називається такий багатокутник, який повністю знаходиться по одну сторону від прямої, що містить будь-яку його сторону. Наприклад, такий, який зображений на цьому малюнку:

Якщо ж багатокутник не задовольняє зазначену умову, він називається неопуклим. Наприклад, такий:

Сума внутрішніх кутів опуклого багатокутника дорівнює , де кількість сторін багатокутника.

Доказ цього факту ґрунтується на добре відомій усім школярам теоремі про суму кутів у трикутнику. Впевнений, що й вам ця теорема знайома. Сума внутрішніх кутів трикутника дорівнює.

Ідея полягає в тому, щоб розбити опуклий багатокутник на кілька трикутників. Зробити це можна у різний спосіб. Залежно від того, який спосіб ми виберемо, докази трохи відрізнятимуться.

1. Розіб'ємо опуклий багатокутник на трикутники всіма можливими діагоналями, проведеними з якоїсь вершини. Легко зрозуміти, що тоді наш n-кутник розіб'ється на трикутника:

Причому сума всіх кутів всіх трикутників, що вийшли, дорівнює сумі кутів нашого n-кутника. Адже кожен кут у трикутниках, що виходять, є частковою якогось кута в нашому опуклому багатокутнику. Тобто шукана сума дорівнює.

2. Можна також вибрати точку всередині опуклого багатокутника та з'єднати її з усіма вершинами. Тоді наш n-кутник розіб'ється на трикутників:

Причому сума кутів нашого багатокутника в цьому випадку дорівнюватиме сумі всіх кутів усіх цих трикутників за вирахуванням центрального кута, який дорівнює . Тобто шукана сума знову ж таки дорівнює.

Сума зовнішніх кутів опуклого багатокутника

Поставимо тепер питання: «Чому дорівнює сума зовнішніх кутів опуклого багатокутника?» Відповісти це питання можна так. Кожен зовнішній кут є суміжним із відповідним внутрішнім. Тому він дорівнює:

Тоді сума всіх зовнішніх кутів дорівнює. Тобто вона дорівнює.

Тобто виходить дуже кумедний результат. Якщо відкласти послідовно один за одним усі зовнішні кути будь-якого опуклого n-кутника, то в результаті заповниться рівно вся площина.

Цей цікавий факт можна проілюструвати в такий спосіб. Давайте пропорційно зменшувати всі сторони якогось опуклого багатокутника доти, доки він не зіллється в крапку. Після того, як це станеться, всі зовнішні кути виявляться відкладеними один від одного і заповнять таким чином всю площину.

Цікавий факт, чи не так? І таких фактів у геометрії дуже багато. Тож навчайте геометрію, дорогі школярі!

Матеріал про те, чому дорівнює сума кутів опуклого багатокутника, підготував , Сергій Валерійович

Нехай – даний опуклий багатокутник і n > 3. Тоді проведемо з однієї вершини до протилежних вершин n-3 діагоналі: . Так як багатокутник опуклий, ці діагоналі розбивають його на n - 2 трикутника: . Сума кутів багатокутника збігається із сумою кутів усіх цих трикутників. Сума кутів у кожному трикутнику дорівнює 180 °, а число цих трикутників є n-2. Отже, сума кутів n-кутника дорівнює 180 ° (n-2). Теорему доведено. Зауваження Для неопуклого n-кутника сума кутів також дорівнює 180 ° (n-2). Доказ аналогічний, але використовує на додаток лему про те, що будь-який багатокутник може бути розрізаний діагоналями на трикутники. Примітки Теорема про суму кутів багатокутника для багатокутників на сфері не виконується (а також на будь-якій іншій спотвореній площині, крім деяких випадків). Детальніше дивіться неевклідові геометрії. Див. також Wikimedia Foundation. 2010 . Дивитись що таке "Теорема про суму кутів багатокутника" в інших словниках: Трикутник Теорема про суму кутів трикутника класична теорема евклідової геометрії. Стверджує, що … Вікіпедія - … Вікіпедія Стверджує, що будь-які два рівновеликі багатокутники рівноскладені. Формальніше: Нехай P і Q суть два багатокутники з однаковою площею. Тоді їх можна розрізати відповідно на багатокутники і, тож для будь-якого… Вікіпедія Теорема Бойяї Гервіна стверджує, що будь-які два рівновеликі багатокутники рівноскладені. Формальніше: Нехай і суть два багатокутники з однаковою площею. Тоді їх можна розрізати відповідно на багатокутники і, отже, для … Вікіпедія - … Вікіпедія Цей термін має й інші значення, див. Трикутник (значення). Трикутник (в евклідовому просторі) це геометрична фігура, утворена трьома відрізками, які з'єднують три не лежать на одній прямій точці. Три точки, … … Вікіпедія

Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.

Збір та використання персональної інформації

Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.

Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.

Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.

Яку персональну інформацію ми збираємо:

• Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, електронну адресу і т.д.

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

• Персональна інформація, що збирається нами, дозволяє нам зв'язуватися з вами і повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інші заходи та найближчі події.
• Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
• Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних досліджень з метою покращення послуг, що надаються нами, та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
• Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

Винятки:

• Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, у судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органів на території РФ - розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно чи доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, або інших суспільно важливих випадків.
• У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.

Захист персональної інформації

Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.

Ламана

Визначення

Ламаною лінією, або коротше, ламаноюназивається кінцева послідовність відрізків, така, що один з кінців першого відрізка служить кінцем другого, інший кінець другого відрізка служить кінцем третього і т.д. При цьому сусідні відрізки не лежать на одній прямій. Ці відрізки називають ланок ламаною.

Види ламаної

Ламана називається замкненоюякщо початок першого відрізка збігається з кінцем останнього.

Ламана може перетинати сама себе, торкнутися сама себе, налягати на себе. Якщо таких особливостей немає, то така ламана називається простий.

Багатокутники

Визначення

Проста замкнута ламана разом із частиною площини, обмеженою нею, називається багатокутником.

Зауваження

У кожній вершині багатокутника його сторони задають певний кут багатокутника. Він може бути як менше розгорнутого, так і більше розгорнутого.

Властивість

Кожен багатокутник має кут, менший $180^\circ$.

Доведення

Нехай дано багатокутник $P$.

Проведемо якусь пряму, що не перетинає його. Переміщатимемо її паралельно у бік багатокутника. У певний момент ми вперше отримаємо пряму $a$, що має з багатокутником $P$ хоча б одну загальну точку. Від цієї прямої багатокутник лежить по одну сторону (при цьому деякі точки лежать на прямій $a$).

На прямій $a$ лежить хоча б одна вершина багатокутника. У ній сходиться дві його сторони, розташовані по одну сторону від прямої $a$ (вважаючи і той випадок, коли одна з них лежить на цій прямій). А значить, при цій вершині кут менший за розгорнутий.

Визначення

Багатокутник називається опуклимякщо він лежить по одну сторону від кожної прямої, що містить його бік. Якщо багатокутник не є опуклим, його називають невипуклим.

Зауваження

Випуклий багатокутник є перетином напівплощин, обмежених прямими, які містять сторони багатокутника.

Властивості опуклого багатокутника

У опуклого багатокутника всі кути менші за $180^\circ$.

Відрізок, що з'єднує будь-які дві точки опуклого багатокутника (зокрема, будь-яка його діагональ) міститься в цьому багатокутнику.

Доведення

Доведемо першу властивість

Візьмемо будь-який кут $A$ опуклого багатокутника $P$ та його бік $a$, що йде з вершини $A$. Нехай $l$ - пряма, що містить бік $a$. Оскільки багатокутник $P$ опуклий, він лежить по одну сторону від прямої $l$. Отже, і його кут $A$ лежить по одну сторону від цієї прямої. Значить кут $A$ менший за розгорнутий кут, тобто менше $180^\circ$.

Доведемо другу властивість

Візьмемо будь-які дві точки $A$ і $B$ опуклого багатокутника $P$. Багатокутник $P$ є перетином кількох напівплощин. Відрізок $AB$ міститься в кожній із цих напівплощин. Тому він міститься і в багатокутник $P$.

Визначення

Діагоналлю багатокутниканазивається відрізок, що з'єднує його несусідні вершини.

Теорема (про кількість діагоналей n-кутника)

Кількість діагоналей опуклого $n$-кутника обчислюється за формулою $ dfrac (n (n-3)) (2) $.

Доведення

З кожної вершини n-кутника можна провести $n-3$ діагоналі (не можна провести діагональ у сусідні вершини і саму цю вершину). Якщо порахувати всі такі можливі відрізки, їх буде $n\cdot(n-3)$, оскільки вершин $n$. Але кожну діагональ буде пораховано двічі. Таким чином, кількість діагоналей n-кутника дорівнює $ dfrac (n (n-3)) (2) $.

Теорема (про суму кутів n-кутника)

Сума кутів опуклого $n$-кутника дорівнює $180^\circ(n-2)$.

Доведення

Розглянемо $n$-кутник $A_1A_2A_3\ldots A_n$.

Візьмемо всередині цього багатокутника довільну точку $O$.

Сума кутів усіх трикутників $A_1OA_2$, $A_2OA_3$, $A_3OA_4$, \ldots, $A_(n-1)OA_n$ дорівнює $180^\circ\cdot n$.

З іншого боку ця сума складається з суми всіх внутрішніх кутів багатокутника і повного кута $angle O=angle 1+angle 2+angle 3+ldots=30^circ$.

Тоді сума кутів аналізованого $n$-кутника дорівнює $180^\circ\cdot n-360^\circ=180^\circ\cdot(n-2)$.

Слідство

Сума кутів неопуклого $n$-кутника дорівнює $180^\circ(n-2)$.

Доведення

Розглянемо багатокутник $A_1A_2\ldots A_n$, у якого тільки кут $\angle A_2$ невипуклий, тобто $\angle A_2>180^\circ$.

Позначимо суму його уловів $S$.

З'єднаємо точки $A_1A_3$ і розглянемо багатокутник $A_1A_3\ldots A_n$.

Сума кутів цього багатокутника дорівнює:

$180^\circ\cdot(n-1-2)=S-\angle A_2+\angle 1+\angle 2=S-\angle A_2+180^\circ-\angle A_1A_2A_3=S+180^\circ-( \angle A_1A_2A_3+\angle A_2)=S+180^\circ-360^\circ$.

Отже, $ S = 180 ^ \ circ \ cdot (n-1-2) + 180 ^ \ circ = 180 ^ \ circ \ cdot (n-2) $.

Якщо у вихідного багатокутника більше одного неопуклого кута, то описану вище операцію можна зробити з кожним таким кутом, що і призведе до твердження, що доводиться.

Теорема (про суму зовнішніх кутів опуклого n-кутника)

Сума зовнішніх кутів опуклого $n$-кутника дорівнює $360^\circ$.

Доведення

Зовнішній кут при вершині $A_1$ дорівнює $180^\circ-\angle A_1$.

Сума всіх зовнішніх кутів дорівнює:

$\sum\limits_(n)(180^\circ-\angle A_n)=n\cdot180^\circ - \sum\limits_(n)A_n=n\cdot180^\circ - 180^\circ\cdot(n -2) = 360 ^ \ circ $.