У цьому уроці ми дамо суворе визначення одночлена, розглянемо різні приклади підручника. Згадаймо правила множення ступенів з однаковими основами. Дамо визначення стандартного виду одночлена, коефіцієнта одночлена та його буквеної частини. Розглянемо дві основні типові дії над одночленами, а саме приведення до стандартного вигляду та обчислення конкретного чисельного значення одночлена при заданих значеннях літерних змінних, що входять до нього. Сформулюємо правило приведення одночлена до стандартного виду. Навчимося вирішувати типові завдання з будь-якими одночленами.

Тема:Одночлени. Арифметичні операції над одночленами

Урок:Концепція одночлена. Стандартний вид одночлена

Розглянь деякі приклади:

3. ;

Знайдемо спільні риси наведених висловів. У всіх трьох випадках вираз є добутком чисел та змінних, зведених у ступінь. На підставі цього дамо визначення одночлена : одночленом називають такий алгебраїчний вираз, який складається з добутку ступенів та чисел

Тепер наведемо приклади виразів, які не є одночленами:

Знайдемо відмінність цих виразів від попередніх. Воно полягає в тому, що в прикладах 4-7 є операції додавання, віднімання або поділу, тоді як у прикладах 1-3, які є одночленами, цих операцій немає.

Наведемо ще кілька прикладів:

Вираз під номером 8 є одночленом, оскільки це твір ступеня на число, тоді як приклад 9 не є одночленом.

Тепер з'ясуємо дії над одночленами .

1.Спрощення. Розглянемо приклад №3 ;і приклад №2 /

У другому прикладі бачимо лише одне коефіцієнт - , кожна змінна зустрічається лише один раз, тобто змінна « а» представлена ​​в єдиному екземплярі, як «», аналогічно змінні «» і «» зустрічаються лише один раз.

У прикладі №3 навпаки, є два різні коефіцієнти - і , змінну «» бачимо двічі - як «» і як «», аналогічно змінна «» зустрічається двічі. Тобто, цей вираз слід спростити, таким чином, приходимо до першій дії, що виконується над одночленами - приведення одночлена до стандартного виду . Для цього наведемо до стандартного виду вираз із прикладу 3, потім визначимо цю операцію і навчимося приводити до стандартного вигляду будь-який одночлен.

Отже, розглянь приклад:

Першим дією в операції приведення до стандартного вигляду завжди потрібно перемножити всі числові множники:

;

Результат цієї дії буде називатися коефіцієнтом одночлена .

Далі необхідно перемножити ступені. Перемножимо ступеня змінної х» згідно з правилом множення ступенів з однаковими підставами, в якому говориться, що при множенні показники ступеня складаються:

тепер перемножимо ступеня « у»:

;

Отже, наведемо спрощений вираз:

;

Будь-який одночлен можна привести до стандартного вигляду. Сформулюємо правило приведення до стандартного вигляду :

Перемножити всі числові множники;

Поставити отриманий коефіцієнт перше місце;

Перемножити всі ступені, тобто отримати літерну частину;

Тобто будь-який одночлен характеризується коефіцієнтом і літерною частиною. Забігаючи вперед, відзначимо, що одночлени, що мають однакову буквену частину, називаються подібними.

Тепер потрібно напрацювати техніку приведення одночленів до стандартного вигляду . Розглянь приклади з підручника:

Завдання: привести одночлен до стандартного вигляду, назвати коефіцієнт та літерну частину.

Для виконання завдання скористаємося правилом приведення одночлена до стандартного вигляду та властивостями ступенів.

1. ;

3. ;

Коментарі до першого прикладу: Для початку визначимо, чи дійсно цей вираз є одночленом, для цього перевіримо, чи є в ньому операції множення чисел і ступенів і чи немає в ньому операцій додавання, віднімання чи поділу. Можемо сказати, що це вираз є одночленом, оскільки вищезазначене умова виконується. Далі, згідно з правилом приведення одночлена до стандартного вигляду, перемножимо чисельні множники:

- ми виявили коефіцієнт заданого одночлена;

; ; ; тобто, отримана буквена частина виразу:;

запишемо відповідь: ;

Коментарі до другого прикладу: Дотримуючись правила виконуємо:

1) перемножити числові множники:

2) перемножити ступеня:

Змінні та представлені в єдиному екземплярі, тобто їх перемножити ні з чим не можна, вони переписуються без змін, ступінь перемножується:

запишемо відповідь:

;

У цьому прикладі коефіцієнт одночлена дорівнює одиниці, а літерна частина .

Коментарі до третього прикладу: ааналогічно попереднім прикладам виконуємо дії:

1) перемножити чисельні множники:

;

2) перемножити ступеня:

;

випишемо відповідь: ;

В даному випадку коефіцієнт одночлена дорівнює «», а літерна частина .

Тепер розглянемо другу стандартну операцію над одночленами . Оскільки одночлен це вираз алгебри, що складається з буквених змінних, які можуть приймати конкретні числові значення, то ми маємо арифметичний числове вираз, яке слід обчислити. Тобто, наступна операція над багаточленами полягає в обчисленні їх конкретного числового значення .

Розглянемо приклад. Задано одночлен:

даний одночлен вже наведено до стандартного вигляду, його коефіцієнт дорівнює одиниці, а літерна частина

Раніше ми говорили, що вираз алгебри не завжди можна обчислити, тобто змінні, які в нього входять, можуть приймати не будь-яке значення. У разі одночлена ж змінні, що входять до нього, можуть бути будь-якими, це є особливістю одночлена.

Отже, у заданому прикладі потрібно обчислити значення одночлена при , , , .

Початкові відомості про одночлени містять уточнення, що будь-який одночлен може призвести до стандартного вигляду. У матеріалі нижче ми розглянемо це питання докладніше: позначимо зміст цієї дії, визначимо кроки, що дозволяють задати стандартний вигляд одночлена, а також закріпимо теорію розв'язанням прикладів.

Значення приведення одночлена до стандартного вигляду

Запис одночлена у стандартному вигляді дозволяє зручніше працювати з ним. Найчастіше одночлени задаються в нестандартному вигляді, і тоді виникає необхідність здійснення тотожних перетворень для приведення заданого одночлена стандартний вигляд.

Визначення 1

Приведення одночлена до стандартного вигляду- Це виконання відповідних дій (тотожних перетворень) з одночленом з метою запису його у стандартному вигляді.

Спосіб приведення одночлена до стандартного вигляду

З визначення випливає, що одночлен нестандартного виду є добутком чисел, змінних та їх ступенів, при цьому можливе їх повторення. У свою чергу, одночлен стандартного виду містить у своєму записі тільки одне число і змінні, що не повторюються, або їх ступеня.

Щоб привести нестандартний одночлен до стандартного вигляду, необхідно використати наступне правило приведення одночлена до стандартного вигляду:

• першим кроком потрібно виконати угруповання числових множників, однакових змінних та їх ступенів;
• другий крок – обчислення творів чисел та застосування властивості ступенів з однаковими основами.

Приклади та їх вирішення

Приклад 1

Задано одночлен 3 · x · 2 · x 2 . Необхідно навести його до стандартного вигляду.

Рішення

Здійснимо угруповання числових множників та множників зі змінною х, в результаті заданий одночлен набуде вигляду: (3 · 2) · (x · x 2) .

Добуток у дужках становить 6 . Застосувавши правило множення ступенів з однаковими основами, вираз у дужках представимо як: x 1 + 2 = x 3. В результаті отримаємо одночлен стандартного виду: 6 x 3 .

Короткий запис рішення виглядає так: 3 · x · 2 · x 2 = (3 · 2) · (x · x 2) = 6 · x 3 .

Відповідь: 3 · x · 2 · x 2 = 6 · x 3 .

Приклад 2

Задано одночлен: a 5 · b 2 · a · m · (- 1) · a 2 · b . Необхідно привести його до стандартного вигляду та вказати його коефіцієнт.

Рішення

заданий одночлен має у своєму записі один числовий множник: - 1, здійснимо його перенесення на початок. Потім зробимо угруповання множників зі змінною а і множників зі змінною b. Змінну m групувати нема з чим, залишаємо у вихідному вигляді. В результаті перерахованих дій отримаємо: - 1 · a 5 · a · a 2 · b 2 · b · m.

Виконаємо дії зі ступенями в дужках, тоді одночлен набуде стандартного вигляду: (-1) · a 5 + 1 + 2 · b 2 + 1 · m = (- 1) · a 8 · b 3 · m . З цього запису ми легко визначаємо коефіцієнт одночлена: він дорівнює -1. Мінус одиницю цілком можливо замінити просто знаком мінус: (- 1) · a 8 · b 3 · m = - a 8 · b 3 · m.

Короткий запис усіх дій виглядає так:

a 5 · b 2 · a · m · (- 1) · a 2 · b = (- 1) · (a 5 · a · a 2) · (b 2 · b) · m = = (- 1) · a 5 + 1 + 2 · b 2 + 1 · m = (-1) a 8 · b 3 · m = - a 8 · b 3 · m

Відповідь:

a 5 · b 2 · a · m · (- 1) · a 2 · b = - a 8 · b 3 · m , коефіцієнт заданого одночлена дорівнює - 1 .

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Ступінь одночлена

Для одночлена існує поняття його ступеня. Розберемося, що таке.

Визначення.

Ступінь одночленастандартного виду – це сума показників ступенів всіх змінних, які входять до його запис; якщо запису одночлена немає змінних, і він відмінний від нуля, його ступінь вважається рівної нулю; число нуль вважається одночленом, ступінь якого визначено.

Визначення ступеня одночлена дозволяє навести приклади. Ступінь одночлена a дорівнює одиниці, тому що a це є a 1 . Ступінь одночлена 5 є нуль, тому що він відмінний від нуля, і його запис не містить змінних. А добуток 7·a 2 ·x·y 3 ·a 2 є одночленом восьмого ступеня, оскільки сума показників ступенів всіх змінних a , x та y дорівнює 2+1+3+2=8 .

До речі, ступінь одночлена, записаного над стандартному вигляді, дорівнює ступеня відповідного одночлена стандартного виду. Для ілюстрації сказаного обчислимо ступінь одночлена 3·x 2 ·y 3 ·x·(−2)·x 5 ·y. Цей одночлен у стандартному вигляді має вигляд -6 x 8 y 4, його ступінь дорівнює 8 +4 = 12 . Таким чином, ступінь вихідного одночлена дорівнює 12 .

Коефіцієнт одночлена

Одночлен у стандартному вигляді, що має у своєму записі хоча б одну змінну, є твір з єдиним числовим множником – числовим коефіцієнтом . Цей коефіцієнт називають коефіцієнтом одночлена. Оформимо наведені міркування як визначення.

Визначення.

Коефіцієнт одночлена- Це числовий множник одночлена, записаного у стандартному вигляді.

Тепер можна навести приклади коефіцієнтів різних одночленів. Число 5 - це коефіцієнт одночлена 5 · a 3 за визначенням, аналогічно одночлен (-2,3) · x · y · z має коефіцієнт -2,3 .

На окрему увагу заслуговують коефіцієнти одночленів, рівні 1 і −1 . Справа тут у тому, що вони зазвичай не присутні у записі у явному вигляді. Вважають, що коефіцієнт одночленів стандартного виду, що не мають у своєму записі числового множника, дорівнює одиниці. Наприклад, одночлени a, xz 3, atx і т.п. мають коефіцієнт 1, оскільки a можна розглядати як 1·a, x·z 3 - як 1·x·z 3 і т.п.

Аналогічно, коефіцієнт одночленів, записи яких у стандартному вигляді не мають числового множника і починаються зі знака мінус, вважають мінус одиницю. Наприклад, одночлени −x , −x 3 ·y·z 3 тощо. мають коефіцієнт −1 , тому що −x=(−1)·x , −x 3 ·y·z 3 =(−1)·x 3 ·y·z 3і т.п.

До речі, поняття коефіцієнта одночлена найчастіше відносять і до одночленів стандартного вигляду, що є числами без літерних множників. Коефіцієнтами таких одночленів чисел вважають ці числа. Так, наприклад, коефіцієнт одночлена 7 вважають рівним 7 .

Список літератури.

• Алгебра:навч. для 7 кл. загальноосвіт. установ/[Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова]; за ред. С. А. Теляковського. - 17-те вид. – М.: Просвітництво, 2008. – 240 с. : іл. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Мордковіч А. Г.Алгебра. 7 клас. У 2 ч. ч. 1. Підручник для учнів загальноосвітніх установ / А. Г. Мордкович. - 17-те вид., Дод. – К.: Мнемозіна, 2013. – 175 с.: іл. ISBN 978-5-346-02432-3.
• Гусєв В. А., Мордкович А. Г.Математика (посібник для вступників до технікумів): Навч. посібник.- М.; Вищ. шк., 1984.-351 с., іл.

Поняття одночлена

Визначення одночлена: одночлен - це вираз алгебри, в якому використовується тільки множення.

Стандартний вид одночлена

Що таке стандартний вигляд одночлену? Одночлен записаний в стандартному вигляді, якщо в ньому на першому місці стоїть числовий множник і цей множник, його називають коефіцієнтом одночлена, тільки один в одночлен, літери одночлена розташовані в алфавітному порядку і кожна літера зустрічається тільки один раз.

Приклад одночлена у стандартному вигляді:

тут на першому місці число, коефіцієнт одночлена, і це число тільки одне в нашому одночлені, кожна літера зустрічається лише один раз і літери розташовані в алфавітному порядку, в даному випадку це латинський алфавіт.

Ще приклад одночлена у стандартному вигляді:

кожна літера зустрічається лише одного разу, розташовані вони у латинському алфавітному порядку, але де коефіцієнт одночлена, тобто. числовий множник, який має стояти першому місці? Він тут дорівнює одиниці: 1adm.

Коефіцієнт одночлена може бути негативним? Так, може, приклад: -5a.

Коефіцієнт одночлена може бути дрібним? Так, може, приклад: 5,2a.

Якщо одночлен складається з числа, тобто. немає букв, як привести його до стандартного вигляду? Будь-який одночлен, що є числом, вже знаходиться в стандартному вигляді, приклад: число 5 - це одночлен стандартного виду.

Приведення одночленів до стандартного вигляду

Як привести одночлен до стандартного вигляду? Розглянемо приклади.

Нехай даний одночлен 2a4b, потрібно привести його до стандартного вигляду. Перемножуємо два його числові множники та отримуємо 8ab. Тепер одночлен записаний стандартному вигляді, тобто. має тільки один числовий множник, записаний на першому місці, кожна була в одночлені зустрічається тільки один раз і розташовані ці літери в алфавітному порядку. Отже, 2a4b = 8ab.

Дано: одночлен 2a4a, привести одночлен до стандартного вигляду. Перемножуємо числа 2 та 4, добуток aa замінюємо другим ступенем a 2 . Отримуємо: 8a 2 . Це стандартний вид цього одночлена. Отже, 2a4a = 8a2.

Подібні одночлени

Що таке подібні одночлени? Якщо одночлени розрізняються лише коефіцієнтами чи рівні, всі вони називаються подібними.

Приклад таких одночленів: 5a і 2a. Ці одночлени відрізняються лише коефіцієнтами, отже вони подібні.

Чи подібні до одночленів 5abc і 10cba? Наведемо до стандартного вигляду другий одночлен, отримаємо 10abc. Тепер видно, що одночлени 5abc та 10abc відрізняються лише своїми коефіцієнтами, а це означає, що вони подібні.

Складання одночленів

Чому дорівнює сума одночленів? Підсумовувати ми можемо лише подібні одночлени. Розглянемо приклад складання одночленів. Чому дорівнює сума одночленів 5a та 2a? Сумою цих одночленів буде одночлен, подібний до них, коефіцієнт якого дорівнює сумі коефіцієнтів доданків. Отже, сума одночленів дорівнює 5a + 2a = 7a.

Ще приклади складання одночленів:

2a 2 + 3a 2 = 5a 2
2a 2 b 3 c 4 + 3a 2 b 3 c 4 = 5a 2 b 3 c 4

Ще раз. Складати можна лише подібні одночлени, додавання зводиться до складання їх коефіцієнтів.

Віднімання одночленів

Чому дорівнює різниця одночленів? Віднімати ми можемо лише подібні одночлени. Розглянемо приклад віднімання одночленів. Чому дорівнює різниця одночленів 5a та 2a? Різницею цих одночленів буде одночлен, подібний до них, коефіцієнт якого дорівнює різниці коефіцієнтів даних одночленів. Отже, різницю одночленів дорівнює 5a - 2a = 3a.

Ще приклади віднімання одночленів:

10a 2 - 3a 2 = 7a 2
5a 2 b 3 c 4 - 3a 2 b 3 c 4 = 2a 2 b 3 c 4

Розмноження одночленів

Чому дорівнює твір одночленів? Розглянемо приклад:

тобто. добуток одночленів дорівнює одночлену, множники якого складені з множників вихідних одночленів.

Ще приклад:

2a 2 b 3 * a 5 b 9 = 2a 7 b 12 .

Як вийшов такий результат? У кожному співмножнику є «а» у ступені: у першому – «а» у ступені 2, а у другому – «а» у ступені 5. Значить у творі буде «а» у ступені 7, адже при множенні однакових букв показники їх ступенів складаються:

A 2 * a 5 = a 7 .

Це саме стосується і співмножника «b».

Коефіцієнт першого співмножника дорівнює двом, а другого – одному, тому отримуємо в результаті 2*1=2.

Ось так вважався результат 2a 7 b 12 .

З цих прикладів видно, що коефіцієнти одночленів перемножуються, а однакові букви замінюються сумами їх ступенів у творі.

У цьому уроці ми дамо суворе визначення одночлена, розглянемо різні приклади підручника. Згадаймо правила множення ступенів з однаковими основами. Дамо визначення стандартного виду одночлена, коефіцієнта одночлена та його буквеної частини. Розглянемо дві основні типові дії над одночленами, а саме приведення до стандартного вигляду та обчислення конкретного чисельного значення одночлена при заданих значеннях літерних змінних, що входять до нього. Сформулюємо правило приведення одночлена до стандартного виду. Навчимося вирішувати типові завдання з будь-якими одночленами.

Тема:Одночлени. Арифметичні операції над одночленами

Урок:Концепція одночлена. Стандартний вид одночлена

Розглянь деякі приклади:

3. ;

Знайдемо спільні риси наведених висловів. У всіх трьох випадках вираз є добутком чисел та змінних, зведених у ступінь. На підставі цього дамо визначення одночлена : одночленом називають такий алгебраїчний вираз, який складається з добутку ступенів та чисел

Тепер наведемо приклади виразів, які не є одночленами:

Знайдемо відмінність цих виразів від попередніх. Воно полягає в тому, що в прикладах 4-7 є операції додавання, віднімання або поділу, тоді як у прикладах 1-3, які є одночленами, цих операцій немає.

Наведемо ще кілька прикладів:

Вираз під номером 8 є одночленом, оскільки це твір ступеня на число, тоді як приклад 9 не є одночленом.

Тепер з'ясуємо дії над одночленами .

1.Спрощення. Розглянемо приклад №3 ;і приклад №2 /

У другому прикладі бачимо лише одне коефіцієнт - , кожна змінна зустрічається лише один раз, тобто змінна « а» представлена ​​в єдиному екземплярі, як «», аналогічно змінні «» і «» зустрічаються лише один раз.

У прикладі №3 навпаки, є два різні коефіцієнти - і , змінну «» бачимо двічі - як «» і як «», аналогічно змінна «» зустрічається двічі. Тобто, цей вираз слід спростити, таким чином, приходимо до першій дії, що виконується над одночленами - приведення одночлена до стандартного виду . Для цього наведемо до стандартного виду вираз із прикладу 3, потім визначимо цю операцію і навчимося приводити до стандартного вигляду будь-який одночлен.

Отже, розглянь приклад:

Першим дією в операції приведення до стандартного вигляду завжди потрібно перемножити всі числові множники:

;

Результат цієї дії буде називатися коефіцієнтом одночлена .

Далі необхідно перемножити ступені. Перемножимо ступеня змінної х» згідно з правилом множення ступенів з однаковими підставами, в якому говориться, що при множенні показники ступеня складаються:

тепер перемножимо ступеня « у»:

;

Отже, наведемо спрощений вираз:

;

Будь-який одночлен можна привести до стандартного вигляду. Сформулюємо правило приведення до стандартного вигляду :

Перемножити всі числові множники;

Поставити отриманий коефіцієнт перше місце;

Перемножити всі ступені, тобто отримати літерну частину;

Тобто будь-який одночлен характеризується коефіцієнтом і літерною частиною. Забігаючи вперед, відзначимо, що одночлени, що мають однакову буквену частину, називаються подібними.

Тепер потрібно напрацювати техніку приведення одночленів до стандартного вигляду . Розглянь приклади з підручника:

Завдання: привести одночлен до стандартного вигляду, назвати коефіцієнт та літерну частину.

Для виконання завдання скористаємося правилом приведення одночлена до стандартного вигляду та властивостями ступенів.

1. ;

3. ;

Коментарі до першого прикладу: Для початку визначимо, чи дійсно цей вираз є одночленом, для цього перевіримо, чи є в ньому операції множення чисел і ступенів і чи немає в ньому операцій додавання, віднімання чи поділу. Можемо сказати, що це вираз є одночленом, оскільки вищезазначене умова виконується. Далі, згідно з правилом приведення одночлена до стандартного вигляду, перемножимо чисельні множники:

- ми виявили коефіцієнт заданого одночлена;

; ; ; тобто, отримана буквена частина виразу:;

запишемо відповідь: ;

Коментарі до другого прикладу: Дотримуючись правила виконуємо:

1) перемножити числові множники:

2) перемножити ступеня:

Змінні та представлені в єдиному екземплярі, тобто їх перемножити ні з чим не можна, вони переписуються без змін, ступінь перемножується:

запишемо відповідь:

;

У цьому прикладі коефіцієнт одночлена дорівнює одиниці, а літерна частина .

Коментарі до третього прикладу: ааналогічно попереднім прикладам виконуємо дії:

1) перемножити чисельні множники:

;

2) перемножити ступеня:

;

випишемо відповідь: ;

В даному випадку коефіцієнт одночлена дорівнює «», а літерна частина .

Тепер розглянемо другу стандартну операцію над одночленами . Оскільки одночлен це вираз алгебри, що складається з буквених змінних, які можуть приймати конкретні числові значення, то ми маємо арифметичний числове вираз, яке слід обчислити. Тобто, наступна операція над багаточленами полягає в обчисленні їх конкретного числового значення .

Розглянемо приклад. Задано одночлен:

даний одночлен вже наведено до стандартного вигляду, його коефіцієнт дорівнює одиниці, а літерна частина

Раніше ми говорили, що вираз алгебри не завжди можна обчислити, тобто змінні, які в нього входять, можуть приймати не будь-яке значення. У разі одночлена ж змінні, що входять до нього, можуть бути будь-якими, це є особливістю одночлена.

Отже, у заданому прикладі потрібно обчислити значення одночлена при , , , .