Kahulugan ng trigonometric equation. Mga equation ng trigonometric

Ang konsepto ng paglutas ng mga equation ng trigonometriko.

Upang malutas ang isang trigonometric equation, i-convert ito sa isa o higit pang pangunahing trigonometriko equation. Ang paglutas ng trigonometric equation sa huli ay bumababa sa paglutas ng apat na pangunahing trigonometric equation.

Solusyon ng mga pangunahing trigonometriko equation.

Mayroong 4 na uri ng mga pangunahing trigonometric equation:
kasalanan x = a; cos x = a
tan x = a; ctg x = a
Ang paglutas ng mga pangunahing trigonometric equation ay kinabibilangan ng pagtingin sa iba't ibang x na posisyon sa unit circle, pati na rin ang paggamit ng conversion table (o calculator).
Halimbawa 1. sin x = 0.866. Gamit ang talahanayan ng conversion (o calculator), makukuha mo ang sagot: x = π/3. Ang bilog ng yunit ay nagbibigay ng isa pang sagot: 2π/3. Tandaan: ang lahat ng mga function ng trigonometriko ay pana-panahon, iyon ay, ang kanilang mga halaga ay paulit-ulit. Halimbawa, ang periodicity ng sin x at cos x ay 2πn, at ang periodicity ng tg x at ctg x ay πn. Kaya ang sagot ay nakasulat tulad nito:
x1 = π/3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn.
Halimbawa 2 cos x = -1/2. Gamit ang talahanayan ng conversion (o calculator), makukuha mo ang sagot: x = 2π/3. Ang bilog ng yunit ay nagbibigay ng isa pang sagot: -2π/3.
x1 = 2π/3 + 2π; x2 = -2π/3 + 2π.
Halimbawa 3. tg (x - π/4) = 0.
Sagot: x \u003d π / 4 + πn.
Halimbawa 4. ctg 2x = 1.732.
Sagot: x \u003d π / 12 + πn.

Mga pagbabagong ginamit sa paglutas ng mga equation ng trigonometriko.

Upang ibahin ang anyo ng mga equation ng trigonometriko, ginagamit ang mga pagbabagong algebraic (factoring, pagbabawas ng mga homogenous na termino, atbp.) at mga pagkakakilanlang trigonometriko.
Halimbawa 5. Gamit ang mga trigonometrikong pagkakakilanlan, ang equation na sin x + sin 2x + sin 3x = 0 ay na-convert sa equation na 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0. Kaya, ang mga sumusunod na pangunahing trigonometric equation kailangang lutasin: cos x = 0; sin(3x/2) = 0; cos(x/2) = 0.
Paghahanap ng mga anggulo mula sa mga kilalang halaga ng mga function.
- Bago matutunan kung paano lutasin ang mga equation ng trigonometriko, kailangan mong matutunan kung paano maghanap ng mga anggulo mula sa mga kilalang halaga ng mga function. Magagawa ito gamit ang isang talahanayan ng conversion o calculator.
- Halimbawa: cos x = 0.732. Ibibigay ng calculator ang sagot na x = 42.95 degrees. Ang bilog ng yunit ay magbibigay ng karagdagang mga anggulo, ang cosine nito ay katumbas din ng 0.732.
Itabi ang solusyon sa bilog ng yunit.
- Maaari kang maglagay ng mga solusyon sa trigonometric equation sa unit circle. Ang mga solusyon ng trigonometric equation sa unit circle ay ang vertices ng isang regular na polygon.
- Halimbawa: Ang mga solusyon na x = π/3 + πn/2 sa unit circle ay ang mga vertices ng square.
- Halimbawa: Ang mga solusyon na x = π/4 + πn/3 sa unit circle ay ang mga vertices ng isang regular na hexagon.
Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga equation ng trigonometriko.
- Kung ang ibinigay na trigonometric equation ay naglalaman lamang ng isang trigonometric function, lutasin ang equation na ito bilang pangunahing trigonometric equation. Kung ang isang ibinigay na equation ay may kasamang dalawa o higit pang trigonometriko na pag-andar, kung gayon mayroong 2 mga pamamaraan para sa paglutas ng naturang equation (depende sa posibilidad ng pagbabago nito).
  - Paraan 1
- Ibahin ang equation na ito sa isang equation ng anyo: f(x)*g(x)*h(x) = 0, kung saan ang f(x), g(x), h(x) ay ang mga pangunahing trigonometric equation.
- Halimbawa 6. 2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
- Solusyon. Gamit ang double angle formula sin 2x = 2*sin x*cos x, palitan ang sin 2x.
- 2cos x + 2*sin x*cos x = 2cos x*(sin x + 1) = 0. Ngayon lutasin ang dalawang pangunahing trigonometric equation: cos x = 0 at (sin x + 1) = 0.
- Halimbawa 7 cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
- Solusyon: Gamit ang mga trigonometrikong pagkakakilanlan, ibahin ang equation na ito sa isang equation ng anyo: cos 2x(2cos x + 1) = 0. Ngayon ay lutasin ang dalawang pangunahing trigonometric equation: cos 2x = 0 at (2cos x + 1) = 0.
- Halimbawa 8. sin x - sin 3x \u003d cos 2x. (0< x < 2π)
- Solusyon: Gamit ang mga trigonometrikong pagkakakilanlan, ibahin ang equation na ito sa isang equation ng anyo: -cos 2x*(2sin x + 1) = 0. Ngayon ay lutasin ang dalawang pangunahing trigonometriko equation: cos 2x = 0 at (2sin x + 1) = 0.
  - Paraan 2
- I-convert ang ibinigay na trigonometric equation sa isang equation na naglalaman lamang ng isang trigonometric function. Pagkatapos ay palitan ang trigonometrikong function na ito ng ilang hindi alam, halimbawa, t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tg x = t; tg (x/2) = t, atbp.).
- Halimbawa 9. 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0< x < 2π).
- Solusyon. Sa equation na ito, palitan ang (cos^2 x) ng (1 - sin^2 x) (ayon sa pagkakakilanlan). Ang binagong equation ay ganito ang hitsura:
- 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. Palitan ang sin x ng t. Ngayon ang equation ay mukhang: 5t^2 - 4t - 9 = 0. Ito ay isang quadratic equation na may dalawang ugat: t1 = -1 at t2 = 9/5. Ang pangalawang ugat na t2 ay hindi nakakatugon sa hanay ng function (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
- Halimbawa 10. tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
- Solusyon. Palitan ang tg x ng t. Isulat muli ang orihinal na equation tulad ng sumusunod: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. Ngayon hanapin ang t at pagkatapos ay hanapin ang x para sa t = tg x.
Espesyal na trigonometriko equation.
- Mayroong ilang mga espesyal na trigonometriko equation na nangangailangan ng mga tiyak na pagbabago. Mga halimbawa:
- a*sin x+ b*cos x = c ; a(sin x + cos x) + b*cos x*sin x = c;
- a*sin^2 x + b*sin x*cos x + c*cos^2 x = 0
Periodicity ng trigonometriko function.
- Tulad ng nabanggit kanina, ang lahat ng mga function ng trigonometriko ay pana-panahon, iyon ay, ang kanilang mga halaga ay umuulit pagkatapos ng isang tiyak na panahon. Mga halimbawa:
  - Ang panahon ng function na f(x) = sin x ay 2π.
  - Ang panahon ng function na f(x) = tg x ay katumbas ng π.
  - Ang panahon ng function na f(x) = sin 2x ay katumbas ng π.
  - Ang panahon ng function na f(x) = cos (x/2) ay 4π.
- Kung ang isang panahon ay tinukoy sa problema, kalkulahin ang halaga ng x sa loob ng panahong iyon.
- Tandaan: Ang paglutas ng mga trigonometric equation ay hindi isang madaling gawain at kadalasang humahantong sa mga pagkakamali. Kaya suriing mabuti ang iyong mga sagot. Upang gawin ito, maaari kang gumamit ng graphing calculator upang i-plot ang ibinigay na equation R(x) = 0. Sa ganitong mga kaso, ang mga solusyon ay kakatawanin bilang mga decimal (iyon ay, ang π ay papalitan ng 3.14).

Sa araling ito, titingnan natin pangunahing trigonometriko function, ang kanilang mga katangian at mga graph, at listahan din pangunahing uri ng trigonometriko equation at sistema. Bilang karagdagan, ipinapahiwatig namin pangkalahatang mga solusyon ng pinakasimpleng trigonometriko equation at ang kanilang mga espesyal na kaso.

Tutulungan ka ng araling ito na maghanda para sa isa sa mga uri ng takdang-aralin. B5 at C1.

Paghahanda para sa pagsusulit sa matematika

Eksperimento

Aralin 10 Trigonometric equation at ang kanilang mga sistema.

Teorya

Buod ng aralin

Paulit-ulit na nating ginamit ang terminong "trigonometric function". Bumalik sa unang aralin ng paksang ito, tinukoy namin ang mga ito gamit ang isang tamang tatsulok at isang yunit ng trigonometric na bilog. Gamit ang gayong mga pamamaraan ng pagtukoy ng mga function ng trigonometriko, maaari na nating tapusin na para sa kanila ang isang halaga ng argumento (o anggulo) ay tumutugma sa eksaktong isang halaga ng function, i.e. may karapatan tayong tawagan ang sine, cosine, tangent at cotangent na eksaktong function.

Sa araling ito, oras na upang subukang mag-abstract mula sa mga naunang tinalakay na pamamaraan para sa pagkalkula ng mga halaga ng mga function ng trigonometriko. Ngayon ay magpapatuloy tayo sa karaniwang algebraic na diskarte sa pagtatrabaho sa mga function, isasaalang-alang natin ang kanilang mga katangian at gumuhit ng mga graph.

Tulad ng para sa mga katangian ng trigonometriko function, ang espesyal na pansin ay dapat bayaran sa:

Domain ng kahulugan at hanay ng mga halaga, dahil para sa sine at cosine may mga paghihigpit sa hanay ng mga halaga, at para sa tangent at cotangent may mga paghihigpit sa hanay ng kahulugan;

Ang periodicity ng lahat ng trigonometriko function, dahil Napansin na natin ang pagkakaroon ng pinakamaliit na di-zero na argumento, ang pagdaragdag nito ay hindi nagbabago sa halaga ng function. Ang ganitong argumento ay tinatawag na panahon ng function at tinutukoy ng titik . Para sa sine/cosine at tangent/cottangent, magkaiba ang mga panahong ito.

Isaalang-alang ang isang function:

1) Domain ng kahulugan;

2) Saklaw ng mga halaga ;

3) Ang pag-andar ay kakaiba ;

I-plot natin ang function. Sa kasong ito, ito ay maginhawa upang simulan ang konstruksiyon mula sa imahe ng lugar, na naglilimita sa graph mula sa itaas ng numero 1 at mula sa ibaba ng numero , na nauugnay sa hanay ng function. Bilang karagdagan, para sa pag-plot, kapaki-pakinabang na tandaan ang mga halaga ng mga sine ng ilang mga pangunahing anggulo ng talahanayan, halimbawa, na Papayagan ka nitong bumuo ng unang kumpletong "alon" ng graph at pagkatapos ay i-redraw ito sa kanan. at umalis, sinasamantala ang katotohanan na ang larawan ay mauulit na may offset ng isang tuldok, i.e. sa .

Ngayon tingnan natin ang function:

Ang mga pangunahing katangian ng function na ito:

1) Domain ng kahulugan;

2) Saklaw ng mga halaga ;

3) Ang pag-andar ay pantay Ito ay nagpapahiwatig ng simetrya ng graph ng function na may paggalang sa y-axis;

4) Ang function ay hindi monotone sa buong domain ng kahulugan nito;

I-plot natin ang function. Pati na rin kapag gumagawa ng sine, maginhawang magsimula sa larawan ng lugar na naglilimita sa graph mula sa itaas ng numero 1 at mula sa ibaba ng numero , na nauugnay sa hanay ng function. I-plot din namin ang mga coordinate ng ilang mga punto sa graph, kung saan kinakailangang tandaan ang mga halaga ng cosine ng ilang pangunahing mga anggulo ng talahanayan, halimbawa, gamit ang mga puntong ito, maaari naming bumuo ng unang kumpletong "alon" ng ang graph at pagkatapos ay i-redraw ito sa kanan at kaliwa, sinasamantala ang katotohanan na ang larawan ay uulit sa isang pagbabago ng panahon, i.e. sa .

Lumipat tayo sa pag-andar:

Ang mga pangunahing katangian ng function na ito:

1) Domain ng kahulugan maliban sa , kung saan . Naipahiwatig na natin sa mga nakaraang aralin na wala. Ang pahayag na ito ay maaaring gawing pangkalahatan sa pamamagitan ng pagsasaalang-alang sa panahon ng tangent;

2) Ang hanay ng mga halaga, ibig sabihin. ang mga tangent na halaga ay hindi limitado;

3) Ang pag-andar ay kakaiba ;

4) Ang function na monotonically ay tumataas sa loob ng tinatawag nitong tangent branches, na makikita natin ngayon sa figure;

5) Ang function ay panaka-nakang may tuldok

I-plot natin ang function. Sa kasong ito, ito ay maginhawa upang simulan ang konstruksiyon mula sa imahe ng vertical asymptotes ng graph sa mga punto na hindi kasama sa domain ng kahulugan, i.e. atbp. Susunod, inilalarawan namin ang mga sanga ng tangent sa loob ng bawat isa sa mga piraso na nabuo ng mga asymptotes, na pinindot ang mga ito sa kaliwang asymptote at sa kanan. Kasabay nito, huwag kalimutan na ang bawat sangay ay monotonically pagtaas. Inilalarawan namin ang lahat ng mga sangay sa parehong paraan, dahil ang function ay may period na katumbas ng . Ito ay makikita mula sa katotohanan na ang bawat sangay ay nakuha sa pamamagitan ng paglilipat ng kalapit na isa kasama ang x-axis.

At nagtatapos kami sa isang pagtingin sa pag-andar:

Ang mga pangunahing katangian ng function na ito:

1) Domain ng kahulugan maliban sa , kung saan . Ayon sa talahanayan ng mga halaga ng mga pag-andar ng trigonometriko, alam na natin na hindi ito umiiral. Ang pahayag na ito ay maaaring gawing pangkalahatan sa pamamagitan ng pagsasaalang-alang sa panahon ng cotangent;

2) Ang hanay ng mga halaga, ibig sabihin. ang mga halaga ng cotangent ay hindi limitado;

3) Ang pag-andar ay kakaiba ;

4) Ang function na monotonically bumababa sa loob ng mga sanga nito, na katulad ng mga padaplis na sanga;

5) Ang function ay panaka-nakang may tuldok

I-plot natin ang function. Sa kasong ito, tulad ng para sa tangent, ito ay maginhawa upang simulan ang konstruksiyon mula sa imahe ng mga vertical asymptotes ng graph sa mga punto na hindi kasama sa lugar ng kahulugan, i.e. atbp. Susunod, inilalarawan namin ang mga sanga ng cotangent sa loob ng bawat isa sa mga piraso na nabuo ng mga asymptotes, na pinindot ang mga ito sa kaliwang asymptote at sa kanan. Sa kasong ito, isinasaalang-alang namin na ang bawat sangay ay monotonically bumababa. Ang lahat ng mga sanga, katulad ng tangent, ay inilalarawan sa parehong paraan, dahil ang function ay may period na katumbas ng .

Hiwalay, dapat tandaan na ang mga function ng trigonometriko na may isang kumplikadong argumento ay maaaring magkaroon ng isang hindi pamantayang panahon. Ito ang mga function ng form:

Pareho sila ng period. At tungkol sa mga pag-andar:

Pareho sila ng period.

Tulad ng nakikita mo, upang makalkula ang isang bagong panahon, ang karaniwang panahon ay hinati lamang ng kadahilanan sa argumento. Hindi ito nakasalalay sa iba pang mga pagbabago ng function.

Maiintindihan at mauunawaan mo nang mas detalyado kung saan nanggaling ang mga formula na ito sa aralin tungkol sa pagbuo at pag-convert ng mga function graph.

Nakarating na kami sa isa sa pinakamahalagang bahagi ng paksang "Trigonometry", na ilalaan namin sa paglutas ng mga equation ng trigonometriko. Ang kakayahang malutas ang mga naturang equation ay mahalaga, halimbawa, kapag naglalarawan ng mga proseso ng oscillatory sa pisika. Isipin natin na nagmaneho ka ng ilang laps sa isang kart sa isang sports car, ang paglutas ng isang trigonometric equation ay makakatulong na matukoy kung gaano katagal ka nang nakikilahok sa karera, depende sa posisyon ng kotse sa track.

Isulat natin ang pinakasimpleng trigonometric equation:

Ang solusyon ng naturang equation ay ang mga argumento, na ang sine ay katumbas ng. Ngunit alam na natin na dahil sa periodicity ng sine, mayroong isang walang katapusang bilang ng mga naturang argumento. Kaya, ang solusyon ng equation na ito ay, atbp. Ang parehong naaangkop sa paglutas ng anumang iba pang simpleng trigonometric equation, magkakaroon ng walang katapusang bilang ng mga ito.

Ang mga equation ng trigonometric ay nahahati sa ilang pangunahing uri. Hiwalay, ang isa ay dapat tumira sa pinakasimpleng, dahil. lahat ng iba ay nabawasan sa kanila. Mayroong apat na mga equation (ayon sa bilang ng mga pangunahing trigonometriko function). Para sa kanila, ang mga karaniwang solusyon ay kilala, dapat silang tandaan.

Ang pinakasimpleng trigonometriko equation at ang kanilang mga pangkalahatang solusyon ganito ang hitsura:

Pakitandaan na ang mga halaga ng sine at cosine ay dapat isaalang-alang ang mga limitasyon na alam namin. Kung, halimbawa, , kung gayon ang equation ay walang mga solusyon at ang formula na ito ay hindi dapat ilapat.

Bilang karagdagan, ang mga root formula na ito ay naglalaman ng isang parameter sa anyo ng isang arbitrary integer . Sa kurikulum ng paaralan, ito lamang ang kaso kapag ang solusyon ng isang equation na walang parameter ay naglalaman ng isang parameter. Ang di-makatwirang integer na ito ay nagpapakita na posibleng magsulat ng walang katapusang bilang ng mga ugat ng alinman sa mga ipinahiwatig na equation sa pamamagitan lamang ng pagpapalit sa lahat ng integer.

Maaari kang maging pamilyar sa detalyadong pagtanggap ng mga formula na ito sa pamamagitan ng pag-uulit sa kabanata na "Trigonometric Equation" sa programa ng algebra ng ika-10 baitang.

Hiwalay, kinakailangang bigyang-pansin ang solusyon ng mga partikular na kaso ng pinakasimpleng equation na may sine at cosine. Ang mga equation na ito ay mukhang:

Ang mga formula para sa paghahanap ng mga pangkalahatang solusyon ay hindi dapat ilapat sa kanila. Ang ganitong mga equation ay pinaka-maginhawang nalutas gamit ang isang trigonometriko na bilog, na nagbibigay ng isang mas simpleng resulta kaysa sa mga pangkalahatang formula ng solusyon.

Halimbawa, ang solusyon sa equation ay . Subukang kunin ang sagot na ito sa iyong sarili at lutasin ang iba pang ipinahiwatig na mga equation.

Bilang karagdagan sa pinakakaraniwang uri ng mga trigonometrikong equation na ipinahiwatig, may ilan pang mga pamantayan. Inilista namin ang mga ito, na isinasaalang-alang ang mga naipahiwatig na namin:

1) Protozoa, Halimbawa, ;

2) Mga partikular na kaso ng pinakasimpleng equation, Halimbawa, ;

3) Mga Complex Argument Equation, Halimbawa, ;

4) Ang mga equation ay nabawasan sa kanilang pinakasimpleng anyo sa pamamagitan ng pagkuha ng isang karaniwang kadahilanan, Halimbawa, ;

5) Nabawasan ang mga equation sa kanilang pinakasimpleng anyo sa pamamagitan ng pagbabago ng mga function na trigonometriko, Halimbawa, ;

6) Mga Equation na Nababawasan sa Pinakasimple sa pamamagitan ng Pagpapalit, Halimbawa, ;

7) Mga homogenous na equation, Halimbawa, ;

8) Mga equation na nalutas gamit ang mga katangian ng mga function, Halimbawa, . Huwag matakot sa katotohanan na ang equation na ito ay may dalawang variable, ito ay malulutas sa parehong oras;

Pati na rin ang mga equation na nalutas gamit ang iba't ibang pamamaraan.

Bilang karagdagan sa paglutas ng mga trigonometric equation, kinakailangan upang malutas ang kanilang mga sistema.

Ang pinakakaraniwang uri ng mga sistema ay:

1) Kung saan ang isa sa mga equation ay isang batas ng kapangyarihan, Halimbawa, ;

2) Mga sistema ng simpleng trigonometric equation, Halimbawa, .

Sa aralin ngayon, tiningnan natin ang mga pangunahing trigonometriko function, ang kanilang mga katangian at mga graph. At nakilala din ang mga pangkalahatang formula para sa paglutas ng pinakasimpleng mga equation ng trigonometriko, na ipinahiwatig ang mga pangunahing uri ng naturang mga equation at ang kanilang mga system.

Sa praktikal na bahagi ng aralin, susuriin natin ang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga trigonometrikong equation at ang kanilang mga sistema.

Kahon 1.Solusyon ng mga espesyal na kaso ng pinakasimpleng trigonometric equation.

Tulad ng sinabi namin sa pangunahing bahagi ng aralin, ang mga espesyal na kaso ng trigonometric equation na may sinus at cosine ng form:

magkaroon ng mas simpleng mga solusyon kaysa sa ibinibigay ng mga pangkalahatang formula ng solusyon.

Para dito, ginagamit ang isang trigonometriko na bilog. Suriin natin ang pamamaraan para sa paglutas ng mga ito gamit ang equation bilang isang halimbawa.

Gumuhit ng punto sa isang trigonometric na bilog kung saan ang cosine value ay zero, na siya ring coordinate sa kahabaan ng x-axis. Tulad ng nakikita mo, mayroong dalawang ganoong punto. Ang aming gawain ay ipahiwatig kung ano ang anggulo na tumutugma sa mga puntong ito sa bilog.

Nagsisimula kaming magbilang mula sa positibong direksyon ng abscissa axis (cosine axis) at, kapag ipinagpaliban ang anggulo, nakarating kami sa unang punto na ipinakita, i.e. ang isang solusyon ay ang halaga ng anggulong ito. Ngunit nasiyahan pa rin kami sa anggulo na tumutugma sa pangalawang punto. Paano makapasok dito?

Kapag nag-solve ng marami mga problema sa matematika, lalo na ang mga nangyari bago ang grade 10, ang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon na isinagawa na hahantong sa layunin ay malinaw na tinukoy. Kabilang sa mga naturang problema, halimbawa, ang mga linear at quadratic na equation, linear at quadratic inequalities, fractional equation, at mga equation na bumababa sa mga quadratic. Ang prinsipyo ng matagumpay na solusyon ng bawat isa sa mga nabanggit na gawain ay ang mga sumusunod: kinakailangan upang maitaguyod kung anong uri ang problema na nalutas ay nabibilang, tandaan ang kinakailangang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon na hahantong sa nais na resulta, i.e. sagutin at sundin ang mga hakbang na ito.

Malinaw, ang tagumpay o kabiguan sa paglutas ng isang partikular na problema ay higit sa lahat ay nakasalalay sa kung gaano katama ang uri ng equation na nalulutas, kung gaano katama ang pagkakasunud-sunod ng lahat ng mga yugto ng solusyon nito ay muling ginawa. Siyempre, sa kasong ito, kinakailangan na magkaroon ng mga kasanayan upang magsagawa ng magkatulad na mga pagbabago at kalkulasyon.

Iba't ibang sitwasyon ang nangyayari sa trigonometriko equation. Hindi mahirap itatag ang katotohanan na ang equation ay trigonometric. Ang mga paghihirap ay lumitaw kapag tinutukoy ang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon na hahantong sa tamang sagot.

Minsan mahirap matukoy ang uri nito sa pamamagitan ng hitsura ng isang equation. At nang hindi nalalaman ang uri ng equation, halos imposibleng pumili ng tama mula sa ilang dosenang mga formula ng trigonometriko.

Upang malutas ang trigonometric equation, dapat nating subukan:

1. dalhin ang lahat ng mga function na kasama sa equation sa "parehong anggulo";
2. dalhin ang equation sa "parehong mga function";
3. i-factor ang kaliwang bahagi ng equation, atbp.

Isipin mo mga pangunahing pamamaraan para sa paglutas ng mga equation ng trigonometriko.

I. Pagbawas sa pinakasimpleng trigonometric equation

Skema ng solusyon

Hakbang 1. Ipahayag ang trigonometric function sa mga tuntunin ng mga kilalang bahagi.

Hakbang 2 Maghanap ng argumento ng function gamit ang mga formula:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

kasalanan x = a; x \u003d (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tan x = a; x \u003d arctg a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x \u003d arcctg a + πn, n Є Z.

Hakbang 3 Maghanap ng hindi kilalang variable.

Halimbawa.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Solusyon.

1) cos(3x - π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Sagot: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Pagpapalit ng variable

Skema ng solusyon

Hakbang 1. Dalhin ang equation sa isang algebraic form na may paggalang sa isa sa mga trigonometric function.

Hakbang 2 Tukuyin ang resultang function ng variable na t (kung kinakailangan, ipakilala ang mga paghihigpit sa t).

Hakbang 3 Isulat at lutasin ang resultang algebraic equation.

Hakbang 4 Gumawa ng reverse substitution.

Hakbang 5 Lutasin ang pinakasimpleng trigonometric equation.

Halimbawa.

2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0.

Solusyon.

1) 2(1 - sin 2 (x/2)) - 5sin (x/2) - 5 = 0;

2sin 2(x/2) + 5sin(x/2) + 3 = 0.

2) Hayaan ang kasalanan (x/2) = t, kung saan |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 o e = -3/2 ay hindi nakakatugon sa kondisyon |t| ≤ 1.

4) kasalanan (x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Sagot: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Paraan ng pagbabawas ng pagkakasunud-sunod ng equation

Skema ng solusyon

Hakbang 1. Palitan ang equation na ito ng isang linear gamit ang power reduction formula:

kasalanan 2 x \u003d 1/2 (1 - cos 2x);

cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);

tan 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).

Hakbang 2 Lutasin ang resultang equation gamit ang mga pamamaraan I at II.

Halimbawa.

cos2x + cos2x = 5/4.

Solusyon.

1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Sagot: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Mga homogenous na equation

Skema ng solusyon

Hakbang 1. Dalhin ang equation na ito sa form

a) a sin x + b cos x = 0 (homogeneous equation ng unang degree)

o sa view

b) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (homogeneous equation ng pangalawang degree).

Hakbang 2 Hatiin ang magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

at kunin ang equation para sa tg x:

a) isang tg x + b = 0;

b) a tg 2 x + b arctg x + c = 0.

Hakbang 3 Lutasin ang equation gamit ang mga kilalang pamamaraan.

Halimbawa.

5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0.

Solusyon.

1) 5sin 2 x + 3sin x cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x cos x - 4cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x - 4 = 0.

3) Hayaan ang tg x = t, pagkatapos

t 2 + 3t - 4 = 0;

t = 1 o t = -4, kaya

tg x = 1 o tg x = -4.

Mula sa unang equation x = π/4 + πn, n Є Z; mula sa pangalawang equation x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Sagot: x = π/4 + πn, n Є Z; x \u003d -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Paraan para sa pagbabago ng isang equation gamit ang mga trigonometric formula

Skema ng solusyon

Hakbang 1. Gamit ang lahat ng uri ng trigonometric formula, dalhin ang equation na ito sa isang equation na maaaring malutas ng mga pamamaraan I, II, III, IV.

Hakbang 2 Lutasin ang resultang equation gamit ang mga kilalang pamamaraan.

Halimbawa.

sinx + sin2x + sin3x = 0.

Solusyon.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) kasalanan 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 o 2cos x + 1 = 0;

Mula sa unang equation 2x = π/2 + πn, n Є Z; mula sa pangalawang equation cos x = -1/2.

Mayroon kaming x = π/4 + πn/2, n Є Z; mula sa pangalawang equation x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Bilang resulta, x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Sagot: x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Ang kakayahan at kasanayan upang malutas ang mga trigonometric equation ay napaka mahalaga, ang kanilang pag-unlad ay nangangailangan ng malaking pagsisikap, kapwa sa bahagi ng mag-aaral at ng guro.

Maraming problema ng stereometry, physics, atbp. ang nauugnay sa solusyon ng mga trigonometric equation. Ang proseso ng paglutas ng mga naturang problema, kumbaga, ay naglalaman ng maraming kaalaman at kasanayan na nakukuha kapag pinag-aaralan ang mga elemento ng trigonometry.

Ang mga equation ng trigonometric ay sumasakop sa isang mahalagang lugar sa proseso ng pagtuturo ng matematika at pag-unlad ng personalidad sa pangkalahatan.

May tanong ka ba? Hindi mo alam kung paano lutasin ang mga equation ng trigonometriko?
Upang makakuha ng tulong ng isang tutor - magparehistro.
Ang unang aralin ay libre!

site, na may buo o bahagyang pagkopya ng materyal, ang isang link sa pinagmulan ay kinakailangan.

klase: 10

"Ang mga equation ay mananatili magpakailanman."

A. Einstein

Layunin ng Aralin:

Pang-edukasyon:
- pagpapalalim ng pag-unawa sa mga pamamaraan para sa paglutas ng mga equation ng trigonometriko;
- upang bumuo ng mga kasanayan sa pagkilala, piliin nang tama ang mga paraan upang malutas ang mga equation ng trigonometriko.
Pang-edukasyon:
- edukasyon ng nagbibigay-malay na interes sa proseso ng edukasyon;
- pagbuo ng kakayahang pag-aralan ang gawain;
- mag-ambag sa pagpapabuti ng sikolohikal na klima sa silid-aralan.
Pang-edukasyon:
- upang itaguyod ang pag-unlad ng kakayahan ng sariling pagkuha ng kaalaman;
- hikayatin ang mga mag-aaral na makipagtalo sa kanilang pananaw;

Kagamitan: poster na may mga pangunahing trigonometric formula, computer, projector, screen.

1 aralin

I. Aktwalisasyon ng pangunahing kaalaman

Pasalitang lutasin ang mga equation:

1) cosx = 1;
2) 2 cosx = 1;
3) cosx = –;
4) sin2x = 0;
5) sinx = -;
6) sinx = ;
7) tgx = ;
8) cos 2 x - sin 2 x \u003d 0

1) x = 2k;
2) x = ± + 2k;
3) x = ± + 2k;
4) x = k;
5) x \u003d (-1) + k;
6) x \u003d (-1) + 2k;
7) x = + k;
8) x = + k; kay Z.

II. Pag-aaral ng bagong materyal

- Ngayon ay isasaalang-alang natin ang mas kumplikadong mga equation ng trigonometriko. Isaalang-alang ang 10 paraan upang malutas ang mga ito. Pagkatapos ay magkakaroon ng dalawang aralin na pagsasama-samahin, at ang susunod na aralin ay isang pagsubok. Sa stand na "Sa aralin" ay naka-post ang mga gawain, katulad ng kung saan ay sa pagsubok na gawain, dapat silang malutas bago ang pagsubok na gawain. (Sa araw bago, bago ang pagsubok, isabit ang mga solusyon sa mga gawaing ito sa stand).

Kaya, bumaling tayo sa pagsasaalang-alang ng mga pamamaraan para sa paglutas ng mga equation ng trigonometriko. Ang ilan sa mga pamamaraang ito ay malamang na mukhang mahirap sa iyo, habang ang iba ay magiging madali, dahil. alam mo na ang ilang paraan ng paglutas ng mga equation.

Apat na mag-aaral sa klase ang nakatanggap ng isang indibidwal na gawain: upang maunawaan at ipakita sa iyo ang 4 na paraan upang malutas ang mga trigonometric equation.

(Ang mga mag-aaral sa pagsasalita ay naghanda ng mga slide nang maaga. Ang iba pang mga mag-aaral sa klase ay isulat ang mga pangunahing hakbang sa paglutas ng mga equation sa isang kuwaderno.)

1 mag-aaral: 1 paraan. Paglutas ng mga equation sa pamamagitan ng factoring

kasalanan 4x = 3 cos 2x

Upang malutas ang equation, ginagamit namin ang formula para sa sine ng isang double angle sin 2 \u003d 2 sin cos
2 sin 2x cos 2x - 3 cos 2x = 0,
cos 2x (2 sin 2x - 3) = 0. Ang produkto ng mga salik na ito ay katumbas ng zero kung kahit isa sa mga salik ay katumbas ng zero.

2x = + k, k Z o sin 2x = 1.5 - walang solusyon, dahil | kasalanan| 1
x = + k; kay Z.
Sagot: x = + k, k Z.

2 mag-aaral. 2 paraan. Paglutas ng mga equation sa pamamagitan ng pag-convert ng kabuuan o pagkakaiba ng trigonometriko function sa isang produkto

cos 3x + sin 2x - sin 4x = 0.

Upang malutas ang equation, ginagamit namin ang formula sin–sin = 2 sin cos

cos 3x + 2 sin cos = 0,

cos 3x - 2 sin x cos 3x \u003d 0,

cos 3x (1 - 2 sinx) = 0. Ang resultang equation ay katumbas ng kumbinasyon ng dalawang equation:

Ang hanay ng mga solusyon ng pangalawang equation ay ganap na kasama sa hanay ng mga solusyon ng unang equation. ibig sabihin

Sagot:

3 mag-aaral. 3 paraan. Paglutas ng mga equation sa pamamagitan ng pag-convert ng produkto ng trigonometriko function sa kabuuan

kasalanan 5x cos 3x = kasalanan 6x cos2x.

Upang malutas ang equation, ginagamit namin ang formula

Sagot:

4 na mag-aaral. 4 na paraan. Paglutas ng mga Equation Pagbabawas sa Quadratic Equation

3 sin x - 2 cos 2 x \u003d 0,
3 kasalanan x - 2 (1 - kasalanan 2 x) \u003d 0,
2 sin 2 x + 3 sin x - 2 = 0,

Hayaan ang kasalanan x = t, kung saan | t |. Nakukuha namin ang quadratic equation 2t 2 + 3t - 2 = 0,

D = 9 + 16 = 25.

Kaya naman . ay hindi nakakatugon sa kondisyon | t |.

Kaya sin x = . kaya lang .

Sagot:

III. Pagsasama-sama ng kung ano ang pinag-aralan mula sa aklat-aralin ni A. N. Kolmogorov

1. No. 164 (a), 167 (a) (quadratic equation)
2. No. 168 (a) (factorization)
3. No. 174 (a) (pag-convert ng kabuuan sa isang produkto)
4. (i-convert ang produkto sa kabuuan)

(Sa pagtatapos ng aralin, ipakita ang solusyon ng mga equation na ito sa screen para sa pag-verify)

№ 164 (A)

2 sin 2 x + sin x - 1 = 0.
Hayaan ang kasalanan x = t, | t | 1. Pagkatapos
2 t 2 + t - 1 = 0, t = - 1, t= . saan

Sagot: - .

№ 167 (A)

3 tg 2 x + 2 tg x - 1 = 0.

Hayaan ang tg x \u003d 1, pagkatapos ay makuha namin ang equation 3 t 2 + 2 t - 1 \u003d 0.

Sagot:

№ 168 (A)

Sagot:

№ 174 (A)

Lutasin ang equation:

Sagot:

2 aralin (lesson-lecture)

IV. Pag-aaral ng bagong materyal(pagpapatuloy)

- Kaya, magpatuloy tayo sa pag-aaral ng mga paraan upang malutas ang mga equation ng trigonometriko.

5 paraan. Solusyon ng mga homogenous na trigonometric equation

Mga equation ng form a sin x + b cos x = 0, kung saan ang a at b ay ilang mga numero, ay tinatawag na homogenous equation ng unang degree na may kinalaman sa sin x o cos x.

Isaalang-alang ang equation

kasalanan x – cos x = 0. Hatiin ang magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng cos x. Ito ay maaaring gawin, ang pagkawala ng ugat ay hindi mangyayari, dahil. , Kung cos x = 0, yun kasalanan x = 0. Ngunit ito ay sumasalungat sa pangunahing trigonometriko na pagkakakilanlan kasalanan 2 x + cos 2 x = 1.

Kunin tg x - 1 = 0.

tan x = 1,

Mga equation ng form tulad ng sa 2 x + bcos 2 x + c sin x cos x = 0 , saan a, b, c ang ilang mga numero ay tinatawag na mga homogenous na equation ng pangalawang degree na may paggalang sa sin x o cos x.

Isaalang-alang ang equation

sin 2 x - 3 sin x cos x + 2 cos 2 \u003d 0. Hinahati namin ang parehong bahagi ng equation sa cos x, at hindi mawawala ang ugat, dahil dahil x = 0 ay hindi ang ugat ng equation na ito.

tg 2x - 3tgx + 2 = 0.

Hayaan ang tgx = t. D \u003d 9 - 8 \u003d 1.

Kaya tg x = 2 o tg x = 1.

Bilang resulta x = arctg 2 + , x =

Sagot: arctg 2 + ,

Isaalang-alang ang isa pang equation: 3 sin 2 x - 3 sin x cos x + 4 cos 2 x = 2.
Binabago namin ang kanang bahagi ng equation sa anyo 2 = 2 1 = 2 (sin 2 x + cos 2 x). Pagkatapos makuha namin:
3sin 2 x – 3sin x cos x + 4cos 2 x = 2 (sin 2 x + cos 2 x),
3sin 2 x – 3sin x cos x + 4cos 2 x – 2sin 2 x – 2 cos 2 x = 0,
sin 2 x - 3sin x cos x + 2cos 2 x \u003d 0. (Nakuha namin ang 2nd equation, na nasuri na namin).

Sagot: arctg 2 + k,

6 na paraan. Solusyon ng linear trigonometric equation

Ang linear trigonometric equation ay isang equation ng form isang kasalanan x + b cos x = c, kung saan ang a, b, c ay ilang mga numero.

Isaalang-alang ang equation kasalanan x + cos x= – 1.
Isulat muli natin ang equation sa anyo: