त्यांच्या संभाव्यता आणि संबंधित सशर्त संभाव्यता ज्ञात होऊ द्या. मग घटना घडण्याची शक्यता आहे:

हे सूत्र म्हणतात एकूण संभाव्यता सूत्रे. पाठ्यपुस्तकांमध्ये, हे प्रमेयाद्वारे तयार केले जाते, ज्याचा पुरावा प्राथमिक आहे: त्यानुसार घटना बीजगणित, (घटना घडली आणि किंवाएक घटना घडली आणितो कार्यक्रम आल्यानंतर किंवाएक घटना घडली आणितो कार्यक्रम आल्यानंतर किंवा …. किंवाएक घटना घडली आणित्यानंतरचा कार्यक्रम). गृहीतके पासून विसंगत आहेत, आणि घटना अवलंबून आहे, नंतर त्यानुसार विसंगत घटनांच्या संभाव्यतेसाठी अतिरिक्त प्रमेय (पहिली पायरी)आणि अवलंबून घटनांच्या संभाव्यतेच्या गुणाकाराचे प्रमेय (दुसरी पायरी):

कदाचित, अनेकांना पहिल्या उदाहरणातील सामग्रीचा अंदाज आहे =)

जिथे जिथे थुंकता तिथे - सर्वत्र कलश:

कार्य १

तीन एकसारखे कलश आहेत. पहिल्या कलशात 4 पांढरे आणि 7 काळे गोळे असतात, दुसऱ्या कलशात फक्त पांढरे गोळे असतात आणि तिसऱ्या कलशात फक्त काळे गोळे असतात. एक कलश यादृच्छिकपणे निवडला जातो आणि यादृच्छिकपणे त्यातून एक बॉल काढला जातो. हा चेंडू काळा असण्याची शक्यता किती आहे?

निर्णय: इव्हेंटचा विचार करा - यादृच्छिकपणे निवडलेल्या कलशातून एक काळा बॉल काढला जाईल. ही घटना खालीलपैकी एका गृहीतकेच्या अंमलबजावणीच्या परिणामी उद्भवू शकते:
- पहिला कलश निवडला जाईल;
- दुसरा कलश निवडला जाईल;
- तिसरा कलश निवडला जाईल.

कलश यादृच्छिकपणे निवडले जात असल्याने, तीन कलशांपैकी कोणत्याहीची निवड तितकेच शक्य, परिणामी:

लक्षात घ्या की वरील गृहीतके तयार होतात कार्यक्रमांचा संपूर्ण गट, म्हणजे, स्थितीनुसार, एक काळा बॉल फक्त या कलशांमधून दिसू शकतो आणि, उदाहरणार्थ, बिलियर्ड टेबलवरून उडू शकत नाही. चला एक साधी मध्यवर्ती तपासणी करूया:
ठीक आहे, चला पुढे जाऊया:

पहिल्या कलशात 4 पांढरे + 7 काळा = 11 गोळे आहेत शास्त्रीय व्याख्या:
काळा चेंडू काढण्याची संभाव्यता आहे ते दिलेकी पहिला कलश निवडला जाईल.

दुसऱ्या कलशात फक्त पांढरे गोळे असतात, त्यामुळे निवडल्यासकाळ्या चेंडूचे स्वरूप होते अशक्य: .

आणि, शेवटी, तिसऱ्या कलशात फक्त काळे गोळे आहेत, ज्याचा अर्थ असा आहे की संबंधित सशर्त संभाव्यताकाळा चेंडू काढणे असेल (घटना निश्चित आहे).

यादृच्छिकपणे निवडलेल्या कलशातून काळा चेंडू काढला जाण्याची शक्यता आहे.

उत्तर द्या:

विश्लेषण केलेले उदाहरण पुन्हा सूचित करते की परिस्थिती समजून घेणे किती महत्त्वाचे आहे. कलश आणि बॉलच्या समान समस्या घेऊ - त्यांच्या बाह्य समानतेसह, सोडवण्याच्या पद्धती पूर्णपणे भिन्न असू शकतात: कुठेतरी ते फक्त लागू करणे आवश्यक आहे. संभाव्यतेची शास्त्रीय व्याख्या, कुठेतरी घटना स्वतंत्र, कुठेतरी अवलंबून, आणि कुठेतरी आपण गृहीतकांबद्दल बोलत आहोत. त्याच वेळी, समाधानाचा मार्ग निवडण्यासाठी कोणतेही स्पष्ट औपचारिक निकष नाहीत - आपल्याला जवळजवळ नेहमीच याबद्दल विचार करण्याची आवश्यकता असते. आपले कौशल्य कसे सुधारायचे? आम्ही सोडवतो, आम्ही सोडवतो आणि आम्ही पुन्हा सोडवतो!

कार्य २

शूटिंग रेंजमध्ये 5 वेगवेगळ्या रायफल आहेत. दिलेल्या शूटरसाठी लक्ष्य गाठण्याची संभाव्यता अनुक्रमे 0.5 च्या समान आहे; 0.55; 0.7; 0.75 आणि 0.4. नेमबाजाने यादृच्छिकपणे निवडलेल्या रायफलमधून एक गोळी झाडल्यास लक्ष्यावर जाण्याची शक्यता किती आहे?

धड्याच्या शेवटी लहान उपाय आणि उत्तर.

बर्‍याच थीमॅटिक समस्यांमध्ये, गृहितके, अर्थातच, तितकेच संभाव्य नाहीत:

कार्य 3

पिरॅमिडमध्ये 5 रायफल आहेत, त्यापैकी तीन ऑप्टिकल दृष्टीने सुसज्ज आहेत. टेलीस्कोपिक दृष्टी असलेल्या रायफलमधून गोळीबार केल्यावर नेमबाज लक्ष्यावर आदळण्याची शक्यता 0.95 आहे; टेलिस्कोपिक दृष्टी नसलेल्या रायफलसाठी, ही संभाव्यता 0.7 आहे. नेमबाजाने यादृच्छिकपणे घेतलेल्या रायफलमधून एक गोळी झाडल्यास लक्ष्याला लागण्याची शक्यता शोधा.

निर्णय: या समस्येमध्ये, रायफलची संख्या मागील प्रमाणेच आहे, परंतु फक्त दोन गृहीतके आहेत:
- नेमबाज ऑप्टिकल दृष्टीसह रायफल निवडेल;
- शूटर टेलिस्कोपिक दृष्टीशिवाय रायफल निवडेल.
द्वारे संभाव्यतेची शास्त्रीय व्याख्या: .
नियंत्रण:

इव्हेंटचा विचार करा: - शूटर यादृच्छिकपणे निवडलेल्या रायफलने लक्ष्यावर आदळतो.
अटीनुसार: .

एकूण संभाव्यता सूत्रानुसार:

उत्तर द्या: 0,85

सराव मध्ये, एखादे कार्य डिझाइन करण्याचा एक छोटा मार्ग, जो तुम्हाला देखील परिचित आहे, अगदी स्वीकार्य आहे:

निर्णय: शास्त्रीय व्याख्येनुसार: अनुक्रमे ऑप्टिकल दृष्टीसह आणि त्याशिवाय रायफल निवडण्याच्या संभाव्यता आहेत.

अटीनुसार, - संबंधित प्रकारच्या रायफलने लक्ष्य गाठण्याची शक्यता.

एकूण संभाव्यता सूत्रानुसार:
नेमबाज यादृच्छिकपणे निवडलेल्या रायफलने लक्ष्यावर आदळण्याची शक्यता आहे.

उत्तर द्या: 0,85

स्वतंत्र समाधानासाठी खालील कार्य:

कार्य 4

इंजिन तीन मोडमध्ये कार्य करते: सामान्य, सक्ती आणि निष्क्रिय. निष्क्रिय मोडमध्ये, त्याच्या अपयशाची संभाव्यता 0.05 आहे, सामान्य मोडमध्ये - 0.1, आणि सक्ती मोडमध्ये - 0.7. 70% वेळ इंजिन सामान्य मोडमध्ये चालते आणि 20% सक्ती मोडमध्ये. ऑपरेशन दरम्यान इंजिन अयशस्वी होण्याची शक्यता काय आहे?

जर, मी तुम्हाला आठवण करून देतो - संभाव्यता मिळविण्यासाठी, टक्केवारी 100 ने भागली पाहिजे. खूप काळजी घ्या! माझ्या निरिक्षणांनुसार, एकूण संभाव्यता सूत्रासाठी समस्यांची परिस्थिती अनेकदा गोंधळात टाकण्याचा प्रयत्न केला जातो; आणि मी विशेषतः असे उदाहरण निवडले. मी तुम्हाला एक रहस्य सांगेन - मी जवळजवळ स्वतःला गोंधळात टाकले =)

धड्याच्या शेवटी उपाय (थोडक्यात तयार केलेले)

Bayes सूत्रांसाठी समस्या

सामग्री मागील परिच्छेदाच्या सामग्रीशी जवळून संबंधित आहे. एखाद्या गृहितकाच्या अंमलबजावणीच्या परिणामी घटना घडू द्या . एखाद्या विशिष्ट गृहीतकाची संभाव्यता कशी ठरवायची?

ते दिलेती घटना आधीच झाले आहे, गृहितकांच्या संभाव्यता overestimatedइंग्लिश पुजारी थॉमस बेसचे नाव मिळालेल्या सूत्रांनुसार:

- गृहीतक घडल्याची संभाव्यता;
- गृहीतक घडल्याची संभाव्यता;
…
गृहितक सत्य असण्याची शक्यता आहे.

पहिल्या दृष्टीक्षेपात, हे संपूर्ण मूर्खपणासारखे दिसते - गृहितकांच्या संभाव्यतेची पुनर्गणना का करायची, जर ते आधीच ज्ञात आहेत? परंतु प्रत्यक्षात एक फरक आहे:

- हे आहे एक अग्रक्रम(अंदाज आधीचाचण्या) संभाव्यता.

- हे आहे एक पोस्टरीओरी(अंदाज नंतरचाचण्या) समान गृहितकांच्या संभाव्यता, "नवीन शोधलेल्या परिस्थिती" च्या संदर्भात पुनर्गणना केली - घटना ही वस्तुस्थिती लक्षात घेऊन घडले.

एका विशिष्ट उदाहरणासह हा फरक पाहू:

कार्य 5

वेअरहाऊसला उत्पादनांच्या 2 बॅच मिळाल्या: पहिले - 4000 तुकडे, दुसरे - 6000 तुकडे. पहिल्या बॅचमध्ये नॉन-स्टँडर्ड उत्पादनांची सरासरी टक्केवारी 20% आहे, आणि दुसऱ्यामध्ये - 10%. यादृच्छिकपणे वेअरहाऊसमधून घेतलेले, उत्पादन मानक असल्याचे दिसून आले. संभाव्यता शोधा: अ) पहिल्या बॅचमधून, ब) दुसऱ्या बॅचमधून.

पहिला भाग उपायएकूण संभाव्यता सूत्र वापरणे समाविष्ट आहे. दुस-या शब्दात सांगायचे तर, गणना ही चाचणी आहे असे गृहीत धरून चालते अद्याप उत्पादित नाहीआणि कार्यक्रम "उत्पादन मानक असल्याचे निघाले"तो येईपर्यंत.

चला दोन गृहितकांचा विचार करूया:
- यादृच्छिकपणे घेतलेले उत्पादन 1ल्या बॅचचे असेल;
- यादृच्छिकपणे घेतलेले उत्पादन दुसऱ्या बॅचचे असेल.

एकूण: 4000 + 6000 = 10000 वस्तू स्टॉकमध्ये आहेत. शास्त्रीय व्याख्येनुसार:
.

नियंत्रण:

अवलंबून असलेल्या घटनेचा विचार करा: - गोदामातून यादृच्छिकपणे घेतलेली एक वस्तू असेलमानक.

पहिल्या बॅचमध्ये 100% - 20% = 80% मानक उत्पादने, म्हणून: ते दिलेकी तो 1ल्या पक्षाचा आहे.

त्याचप्रमाणे, दुसऱ्या बॅचमध्ये 100% - 10% = 90% मानक उत्पादने आणि वेअरहाऊसमध्ये यादृच्छिकपणे निवडलेली वस्तू मानक आयटम असण्याची शक्यता आहे ते दिलेकी तो 2रा पक्षाचा आहे.

एकूण संभाव्यता सूत्रानुसार:
ही संभाव्यता आहे की वेअरहाऊसमधून यादृच्छिकपणे निवडलेले उत्पादन एक मानक उत्पादन असेल.

भाग दुसरा. समजा की वेअरहाऊसमधून यादृच्छिकपणे घेतलेले उत्पादन मानक असल्याचे दिसून आले. हा वाक्प्रचार कंडिशनमध्ये थेट उच्चारला गेला आहे आणि तो घटना दर्शवतो आली.

बायसच्या सूत्रांनुसार:

अ) - निवडलेले मानक उत्पादन पहिल्या बॅचशी संबंधित असल्याची संभाव्यता;

b) - निवडलेले मानक उत्पादन दुसऱ्या बॅचशी संबंधित असल्याची संभाव्यता.

नंतर पुनर्मूल्यांकनगृहितके, अर्थातच, अजूनही तयार होतात पूर्ण गट:
(परीक्षा ;-))

उत्तर द्या:

इव्हान वासिलीविच, ज्याने पुन्हा आपला व्यवसाय बदलला आणि वनस्पतीचे संचालक बनले, आम्हाला गृहितकांच्या पुनर्मूल्यांकनाचा अर्थ समजण्यास मदत करेल. त्याला माहित आहे की आज पहिल्या दुकानाने 4000 वस्तू वेअरहाऊसमध्ये पाठवल्या आहेत आणि दुसऱ्या दुकानात - 6000 उत्पादने, आणि तो याची खात्री करण्यासाठी येतो. समजा सर्व उत्पादने एकाच प्रकारची आहेत आणि एकाच कंटेनरमध्ये आहेत. साहजिकच, इव्हान वासिलीविचने पूर्वी गणना केली होती की तो आता पडताळणीसाठी काढेल ते उत्पादन बहुधा पहिल्या कार्यशाळेद्वारे आणि दुसऱ्या कार्यशाळेत संभाव्यतेसह तयार केले जाईल. पण निवडलेली वस्तू मानक ठरल्यानंतर तो उद्गारतो: “काय मस्त बोल्ट! - ते दुसऱ्या कार्यशाळेने प्रसिद्ध केले. अशा प्रकारे, दुसर्‍या गृहीतकाची संभाव्यता अधिक चांगल्यासाठी जास्त मोजली जाते आणि पहिल्या गृहीतकाची संभाव्यता कमी लेखली जाते: . आणि हे अतिरेक अवास्तव नाही - शेवटी, 2 रा कार्यशाळेने केवळ अधिक उत्पादनांचे उत्पादन केले नाही तर 2 पट चांगले कार्य केले!

तुम्ही म्हणता, शुद्ध व्यक्तिवाद? अंशतः - होय, शिवाय, बायसने स्वतः अर्थ लावला एक पोस्टरीओरीम्हणून संभाव्यता विश्वास पातळी. तथापि, सर्वकाही इतके सोपे नाही - बायेशियन दृष्टिकोनामध्ये एक वस्तुनिष्ठ धान्य आहे. सर्व केल्यानंतर, उत्पादन मानक असेल की संभाव्यता (1ल्या आणि 2ऱ्या दुकानांसाठी अनुक्रमे 0.8 आणि 0.9)हे आहे प्राथमिक(apriori) आणि मध्यमअंदाज परंतु, तात्विकदृष्ट्या बोलणे, सर्वकाही वाहते, संभाव्यतेसह सर्वकाही बदलते. हे अगदी शक्य आहे अभ्यासाच्या वेळीअधिक यशस्वी द्वितीय दुकानाने मानक उत्पादनांची टक्केवारी वाढवली (आणि/किंवा पहिले दुकान कमी केले), आणि जर आपण स्टॉकमध्ये अधिक किंवा सर्व 10 हजार आयटम तपासले तर जास्त अंदाजित मूल्ये सत्याच्या खूप जवळ असतील.

तसे, जर इव्हान वासिलीविचने मानक नसलेला भाग काढला तर त्याउलट - तो पहिल्या दुकानावर कमी-अधिक प्रमाणात - दुसरा "संशय" घेईल. मी सुचवितो की आपण ते स्वतःसाठी तपासा:

कार्य 6

वेअरहाऊसला उत्पादनांच्या 2 बॅच मिळाल्या: पहिले - 4000 तुकडे, दुसरे - 6000 तुकडे. पहिल्या बॅचमध्ये नॉन-स्टँडर्ड उत्पादनांची सरासरी टक्केवारी 20% आहे, दुसऱ्यामध्ये - 10%. गोदामातून यादृच्छिकपणे घेतलेले उत्पादन निघाले नाहीमानक. संभाव्यता शोधा: अ) पहिल्या बॅचमधून, ब) दुसऱ्या बॅचमधून.

स्थिती दोन अक्षरांनी ओळखली जाईल, जी मी ठळकपणे हायलाइट केली आहे. समस्येचे सुरवातीपासून निराकरण केले जाऊ शकते किंवा आपण मागील गणनेचे परिणाम वापरू शकता. नमुन्यात, मी एक संपूर्ण उपाय केला, परंतु कार्य क्रमांक 5 सह औपचारिक आच्छादन टाळण्यासाठी, इव्हेंट "वेअरहाऊसमधून यादृच्छिकपणे घेतलेले उत्पादन अ-मानक असेल"सह चिन्हांकित.

संभाव्यतेचे पुनर्मूल्यांकन करण्याची बायेशियन योजना सर्वत्र आढळते आणि विविध प्रकारच्या घोटाळेबाजांद्वारे तिचा सक्रियपणे शोषण देखील केला जातो. तीन-अक्षरी संयुक्त स्टॉक कंपनीचा विचार करा जी घरगुती नाव बनली आहे, जी लोकसंख्येकडून ठेवी आकर्षित करते, कथितपणे कुठेतरी गुंतवणूक करते, नियमितपणे लाभांश देते इ. काय चाललय? दिवसेंदिवस, महिन्यामागून महिना निघून जातो आणि जाहिराती आणि तोंडी शब्दांद्वारे व्यक्त केलेली अधिकाधिक नवीन तथ्ये केवळ आर्थिक पिरॅमिडमधील आत्मविश्वासाची पातळी वाढवतात. (मागील घटनांमुळे पार्श्वगामी बायेसियन पुनर्मूल्यांकन!). म्हणजेच ठेवीदारांच्या दृष्टीने ही शक्यता सतत वाढत आहे "हे एक गंभीर कार्यालय आहे"; विरुद्ध गृहीतकांची संभाव्यता असताना ("हे नियमित स्कॅमर आहेत"), अर्थातच, कमी होते आणि कमी होते. बाकी, मला वाटते, स्पष्ट आहे. हे लक्षात घेण्यासारखे आहे की कमावलेली प्रतिष्ठा आयोजकांना इव्हान वासिलीविचपासून यशस्वीरित्या लपण्यासाठी वेळ देते, जो केवळ बोल्टच्या बॅचशिवायच नाही तर पॅंटशिवाय देखील सोडला होता.

आम्ही थोड्या वेळाने कमी मनोरंजक उदाहरणांकडे परत येऊ, परंतु आत्तासाठी, कदाचित तीन गृहितकांसह सर्वात सामान्य प्रकरण पुढील ओळीत आहे:

कार्य 7

तीन कारखान्यांमध्ये इलेक्ट्रिक दिवे तयार केले जातात. पहिली वनस्पती एकूण दिव्यांच्या संख्येपैकी 30%, 2रा - 55% आणि 3रा - उर्वरित उत्पादन करते. पहिल्या वनस्पतीच्या उत्पादनांमध्ये 1% दोषपूर्ण दिवे असतात, 2रा - 1.5%, 3रा - 2%. स्टोअरला तिन्ही कारखान्यांमधून उत्पादने मिळतात. मी विकत घेतलेला दिवा सदोष होता. वनस्पती 2 द्वारे ते तयार केले गेले याची संभाव्यता किती आहे?

लक्षात घ्या की स्थितीत बेयस सूत्रांवरील समस्या अपरिहार्यपणेकाही काय झालंएक कार्यक्रम, या प्रकरणात, दिवा खरेदी.

घटना वाढल्या आहेत आणि निर्णय"वेगवान" शैलीमध्ये व्यवस्था करणे अधिक सोयीचे आहे.

अल्गोरिदम अगदी सारखाच आहे: पहिल्या टप्प्यावर, आम्हाला संभाव्यता आढळते की खरेदी केलेला दिवा असेलसदोष

प्रारंभिक डेटा वापरून, आम्ही संभाव्यतेमध्ये टक्केवारी भाषांतरित करतो:
अनुक्रमे 1ल्या, 2ऱ्या आणि 3ऱ्या कारखान्यांद्वारे दिवा तयार होण्याची शक्यता आहे.
नियंत्रण:

त्याचप्रमाणे: - संबंधित कारखान्यांसाठी दोषपूर्ण दिवा तयार करण्याची संभाव्यता.

एकूण संभाव्यता सूत्रानुसार:

- खरेदी केलेला दिवा सदोष असण्याची शक्यता.

पायरी दोन. खरेदी केलेला दिवा सदोष असू द्या (घटना घडली)

Bayes सूत्रानुसार:
- खरेदी केलेला सदोष दिवा दुसर्‍या कारखान्याने तयार केला असण्याची शक्यता

उत्तर द्या:

पुनर्मूल्यांकनानंतर 2 रा गृहीतकाची प्रारंभिक संभाव्यता का वाढली? शेवटी, दुसरी वनस्पती सरासरी गुणवत्तेचे दिवे तयार करते (पहिला एक चांगला आहे, तिसरा वाईट आहे). मग ती का वाढली एक पोस्टरीओरीसदोष दिवा दुसऱ्या कारखान्यातील असण्याची शक्यता? हे यापुढे "प्रतिष्ठा" मुळे नाही तर आकारामुळे आहे. वनस्पती क्रमांक 2 ने सर्वात जास्त दिवे तयार केल्यामुळे, ते त्यास दोष देतात (किमान व्यक्तिनिष्ठपणे): "बहुधा, हा सदोष दिवा तिथून आला आहे".

हे लक्षात घेणे मनोरंजक आहे की 1ल्या आणि 3र्‍या गृहीतकांच्या संभाव्यता अपेक्षित दिशानिर्देशांमध्ये जास्त प्रमाणात मोजल्या गेल्या आणि समान झाल्या:

नियंत्रण: , ज्याची पडताळणी करायची होती.

तसे, कमी लेखलेल्या आणि जास्त अंदाजे बद्दल:

कार्य 8

विद्यार्थी गटामध्ये, 3 लोकांचे प्रशिक्षण उच्च स्तरावर आहे, 19 लोकांचे सरासरी स्तर आहे आणि 3 लोकांचे स्तर निम्न आहे. या विद्यार्थ्यांसाठी परीक्षा यशस्वीपणे उत्तीर्ण होण्याची शक्यता अनुक्रमे: ०.९५; 0.7 आणि 0.4. काही विद्यार्थी परीक्षा उत्तीर्ण झाल्याची माहिती आहे. संभाव्यता काय आहे:

अ) तो खूप चांगला तयार होता;
ब) माफक प्रमाणात तयार होते;
c) खराब तयार होते.

गणना करा आणि गृहितकांच्या पुनर्मूल्यांकनाच्या परिणामांचे विश्लेषण करा.

हे कार्य वास्तविकतेच्या जवळ आहे आणि अर्ध-वेळ विद्यार्थ्यांच्या गटासाठी विशेषतः प्रशंसनीय आहे, जेथे शिक्षक व्यावहारिकपणे या किंवा त्या विद्यार्थ्याच्या क्षमता ओळखत नाहीत. या प्रकरणात, परिणाम ऐवजी अनपेक्षित परिणाम होऊ शकते. (विशेषतः 1ल्या सेमिस्टरमधील परीक्षांसाठी). जर तयार नसलेला विद्यार्थी तिकीट मिळविण्यासाठी भाग्यवान असेल, तर शिक्षक त्याला एक चांगला विद्यार्थी किंवा अगदी सशक्त विद्यार्थी मानतील, ज्यामुळे भविष्यात चांगला लाभ मिळेल. (अर्थात, तुम्हाला "बार वाढवणे" आणि तुमची प्रतिमा राखणे आवश्यक आहे). जर एखाद्या विद्यार्थ्याने 7 दिवस आणि 7 रात्री अभ्यास केला, क्रॅम्प केला, पुनरावृत्ती केली, परंतु तो फक्त दुर्दैवी होता, तर पुढील घटना सर्वात वाईट मार्गाने विकसित होऊ शकतात - असंख्य रीटेक आणि सुटण्याच्या मार्गावर संतुलन राखून.

प्रतिष्ठा हे सर्वात महत्त्वाचे भांडवल आहे, हे सांगण्याची गरज नाही, अनेक कॉर्पोरेशन्स त्यांच्या संस्थापक वडिलांची नावे आणि आडनाव धारण करतात, ज्यांनी 100-200 वर्षांपूर्वी व्यवसायाचे नेतृत्व केले आणि त्यांच्या निर्दोष प्रतिष्ठेसाठी प्रसिद्ध झाले.

होय, बायेसियन दृष्टीकोन एका विशिष्ट मर्यादेपर्यंत व्यक्तिनिष्ठ आहे, परंतु ... अशा प्रकारे जीवन कार्य करते!

चला अंतिम औद्योगिक उदाहरणासह सामग्री एकत्रित करूया, ज्यामध्ये मी समाधानाच्या तांत्रिक सूक्ष्मतेबद्दल बोलेन ज्याचा सामना अद्याप झाला नाही:

कार्य ९

वनस्पतीच्या तीन कार्यशाळा समान प्रकारचे भाग तयार करतात, जे असेंब्लीसाठी सामान्य कंटेनरमध्ये एकत्र केले जातात. हे ज्ञात आहे की पहिल्या दुकानात दुसऱ्या दुकानापेक्षा 2 पट जास्त भाग आणि तिसऱ्या दुकानापेक्षा 4 पट जास्त भाग तयार होतात. पहिल्या कार्यशाळेत, दोष 12% आहे, दुसऱ्यामध्ये - 8%, तिसऱ्यामध्ये - 4%. नियंत्रणासाठी, कंटेनरमधून एक भाग घेतला जातो. ते सदोष असण्याची शक्यता किती आहे? काढलेला दोषपूर्ण भाग 3ऱ्या दुकानाने तयार केला असण्याची शक्यता किती आहे?

टाकी इव्हान वासिलीविच पुन्हा घोड्यावर बसला आहे =) चित्रपटाचा शेवट आनंदी असला पाहिजे =)

निर्णय: टास्क क्र. 5-8 च्या उलट, येथे एक प्रश्न स्पष्टपणे विचारला आहे, जो एकूण संभाव्यता सूत्र वापरून सोडवला जातो. परंतु दुसरीकडे, स्थिती थोडी "एनक्रिप्टेड" आहे आणि सर्वात सोपी समीकरणे तयार करण्याचे शालेय कौशल्य आम्हाला या रीबसचे निराकरण करण्यात मदत करेल. "x" साठी सर्वात लहान मूल्य घेणे सोयीचे आहे:

तिसऱ्या कार्यशाळेद्वारे उत्पादित भागांचा वाटा असू द्या.

अटीनुसार, पहिल्या कार्यशाळेत तिसऱ्या कार्यशाळेच्या तुलनेत 4 पट जास्त उत्पादन होते, म्हणून 1ल्या कार्यशाळेचा वाटा आहे.

याव्यतिरिक्त, पहिल्या कार्यशाळेत दुसऱ्या कार्यशाळेपेक्षा 2 पट अधिक उत्पादने तयार केली जातात, याचा अर्थ नंतरचा वाटा: .

चला समीकरण बनवू आणि सोडवू:

अशा प्रकारे: - कंटेनरमधून काढलेला भाग अनुक्रमे 1ल्या, 2ऱ्या आणि 3ऱ्या कार्यशाळेद्वारे सोडण्यात आला होता.

नियंत्रण: . याव्यतिरिक्त, वाक्यांश पुन्हा पाहणे अनावश्यक होणार नाही "हे ज्ञात आहे की पहिल्या कार्यशाळेत दुसऱ्या कार्यशाळेपेक्षा 2 पट जास्त आणि तिसऱ्या कार्यशाळेपेक्षा 4 पट जास्त उत्पादने तयार होतात"आणि प्राप्त संभाव्यता खरोखर या स्थितीशी संबंधित असल्याची खात्री करा.

"X" साठी सुरुवातीला 1 ला किंवा 2 रा दुकानाचा हिस्सा घेणे शक्य होते - संभाव्यता समान बाहेर येईल. परंतु, एक मार्ग किंवा दुसरा, सर्वात कठीण विभाग पार केला गेला आहे, आणि उपाय मार्गावर आहे:

स्थितीवरून आम्हाला आढळते:
- संबंधित कार्यशाळांसाठी दोषपूर्ण भाग तयार करण्याची संभाव्यता.

एकूण संभाव्यता सूत्रानुसार:
कंटेनरमधून यादृच्छिकपणे काढलेला भाग अ-मानक असण्याची शक्यता आहे.

प्रश्न दोन: काढलेला दोषपूर्ण भाग 3 र्या कार्यशाळेने तयार केला असण्याची शक्यता किती आहे? हा प्रश्न असे गृहीत धरतो की भाग आधीच काढला गेला आहे आणि तो दोषपूर्ण असल्याचे आढळले आहे. आम्ही Bayes सूत्र वापरून गृहीतकाचे पुनर्मूल्यांकन करतो:
इच्छित संभाव्यता आहे. अगदी अपेक्षित - शेवटी, तिसरी कार्यशाळा केवळ भागांचा सर्वात लहान हिस्साच तयार करत नाही तर गुणवत्तेत देखील आघाडीवर आहे!

या प्रकरणात, मला करावे लागले चार मजली अपूर्णांक सुलभ करा, जे Bayes सूत्रांवरील समस्यांमध्ये बरेचदा करावे लागते. परंतु या धड्यासाठी, मी चुकून अशी उदाहरणे उचलली ज्यात सामान्य अपूर्णांकांशिवाय बरीच गणना केली जाऊ शकते.

स्थितीत कोणतेही "a" आणि "be" गुण नसल्यामुळे, मजकूर टिप्पण्यांसह उत्तर प्रदान करणे चांगले आहे:

उत्तर द्या: - कंटेनरमधून काढलेला भाग सदोष असण्याची शक्यता; - काढलेला सदोष भाग 3र्या कार्यशाळेद्वारे सोडण्यात आला असण्याची शक्यता.

तुम्ही बघू शकता, एकूण संभाव्यता सूत्र आणि बेज सूत्रांवरील समस्या अगदी सोप्या आहेत आणि, बहुधा, या कारणास्तव ते बर्याचदा परिस्थिती गुंतागुंत करण्याचा प्रयत्न करतात, ज्याचा मी लेखाच्या सुरुवातीला उल्लेख केला आहे.

अतिरिक्त उदाहरणे सह फाइलमध्ये आहेत F.P.V साठी तयार उपाय आणि बेज सूत्रे, याव्यतिरिक्त, कदाचित असे लोक आहेत जे इतर स्त्रोतांमध्ये या विषयाशी अधिक सखोल परिचित होऊ इच्छित आहेत. आणि विषय खरोखर खूप मनोरंजक आहे - तो एकट्याने काय वाचतो बेज विरोधाभास, जे दैनंदिन सल्ल्याचे समर्थन करते की जर एखाद्या व्यक्तीला दुर्मिळ आजाराचे निदान झाले असेल तर त्याच्यासाठी दुसरी आणि अगदी दोन वारंवार स्वतंत्र तपासणी करणे अर्थपूर्ण आहे. असे दिसते की ते हे केवळ निराशेतून करतात ... - पण नाही! पण दुःखाच्या गोष्टींबद्दल बोलू नका.

यादृच्छिकपणे निवडलेला विद्यार्थी परीक्षा उत्तीर्ण होण्याची शक्यता आहे.
विद्यार्थ्याला परीक्षा उत्तीर्ण होऊ द्या. बायसच्या सूत्रांनुसार:
अ) - परीक्षेत उत्तीर्ण झालेल्या विद्यार्थ्याने चांगली तयारी केली असण्याची शक्यता. उद्दिष्ट प्रारंभिक संभाव्यता जास्त प्रमाणात मोजली जाते, कारण जवळजवळ नेहमीच काही "सरासरी" प्रश्नांसह भाग्यवान असतात आणि ते अतिशय जोरदारपणे उत्तर देतात, जे निर्दोष तयारीची चुकीची छाप देते.
ब) परीक्षा उत्तीर्ण झालेल्या विद्यार्थ्याने माफक प्रमाणात तयारी केली असण्याची शक्यता आहे. प्रारंभिक संभाव्यता किंचित overestimated असल्याचे बाहेर वळते, कारण तयारीची सरासरी पातळी असलेले विद्यार्थी सहसा बहुसंख्य असतात, त्याव्यतिरिक्त, शिक्षक येथे अयशस्वीपणे उत्तर दिलेले "उत्कृष्ट विद्यार्थी" आणि कधीकधी खराब कामगिरी करणारा विद्यार्थी समाविष्ट करेल जो तिकिटासह खूप भाग्यवान होता.
मध्ये) - परीक्षेत उत्तीर्ण झालेल्या विद्यार्थ्याची तयारी खराब असण्याची शक्यता. सुरुवातीच्या संभाव्यतेला अधिक वाईट वाटले. नवल नाही.
परीक्षा:
उत्तर द्या :

घटना फॉर्म पूर्ण गट, जर त्यापैकी किमान एक अनिवार्यपणे प्रयोगाच्या परिणामी उद्भवेल आणि जोडीने विसंगत असेल.

घटना गृहीत धरू एसंपूर्ण गट तयार करणार्‍या अनेक जोडीनुसार विसंगत घटनांपैकी एकासह एकत्र येऊ शकते. चला कार्यक्रमांना कॉल करूया i= 1, 2,…, n) गृहीतकेअतिरिक्त अनुभव (प्राथमिक). घटना A च्या घटनेची संभाव्यता सूत्राद्वारे निर्धारित केली जाते पूर्ण संभाव्यता :

उदाहरण 16तीन कलश आहेत. पहिल्या कलशात 5 पांढरे आणि 3 काळे गोळे आहेत, दुसऱ्या कलशात 4 पांढरे आणि 4 काळे गोळे आहेत आणि तिसऱ्या कलशात 8 पांढरे गोळे आहेत. कलशांपैकी एक यादृच्छिकपणे निवडला जातो (याचा अर्थ असा होऊ शकतो, उदाहरणार्थ, 1, 2 आणि 3 क्रमांकाचे तीन बॉल असलेल्या सहायक कलशातून निवड केली जाते). या कलशातून यादृच्छिकपणे एक चेंडू काढला जातो. तो काळा असण्याची शक्यता किती आहे?

निर्णय.कार्यक्रम ए- काळा चेंडू काढला आहे. बॉल कोणत्या कलशातून काढला आहे हे माहीत असते, तर संभाव्यतेच्या शास्त्रीय व्याख्येनुसार आवश्यक संभाव्यता मोजली जाऊ शकते. बॉल काढण्यासाठी कोणते कलश निवडले आहे यासंबंधीचे गृहितक ( गृहीतके ) ओळखू या.

बॉल एकतर पहिल्या कलशातून ( गृहीतक ) काढला जाऊ शकतो , किंवा दुसऱ्या ( गृहीतक ) मधून किंवा तिसरा ( गृहीतक ) वरून काढता येतो. कोणत्याही कलशाची निवड करण्याची समान संधी असल्याने .

त्यामुळे त्याचे पालन होते

उदाहरण 17.तीन कारखान्यांमध्ये इलेक्ट्रिक दिवे तयार केले जातात. पहिली वनस्पती विद्युत दिव्यांच्या एकूण संख्येपैकी 30% उत्पादन करते, दुसरी - 25%,
आणि उर्वरित साठी तिसरा. पहिल्या वनस्पतीच्या उत्पादनांमध्ये 1% दोषपूर्ण विद्युत दिवे असतात, दुसरा - 1.5%, तिसरा - 2%. स्टोअरला तिन्ही कारखान्यांमधून उत्पादने मिळतात. स्टोअरमध्ये खरेदी केलेला दिवा सदोष असण्याची शक्यता किती आहे?

निर्णय.लाइट बल्ब कोणत्या कारखान्यात तयार केला गेला हे गृहितक प्रविष्ट करणे आवश्यक आहे. हे जाणून घेतल्यास, ते दोषपूर्ण असण्याची शक्यता आपण शोधू शकतो. इव्हेंटसाठी नोटेशन सादर करूया: ए- खरेदी केलेला विद्युत दिवा सदोष निघाला, - दिवा पहिल्या कारखान्याने तयार केला, - दिवा दुसऱ्या कारखान्याने तयार केला,
- दिवा तिसऱ्या कारखान्याने तयार केला आहे.

एकूण संभाव्यता सूत्राद्वारे इच्छित संभाव्यता आढळते:

Bayes सूत्र. जोडीनुसार विसंगत घटनांचा एक संपूर्ण गट असू द्या (कल्पना). आणिएक यादृच्छिक घटना आहे. मग,

शेवटचे सूत्र जे आपल्याला चाचणीचा निकाल ज्ञात झाल्यानंतर गृहितकांच्या संभाव्यतेचा अतिरेक करण्यास अनुमती देते, ज्याचा परिणाम म्हणून घटना A दिसून आली, असे म्हणतात. Bayes सूत्र .

उदाहरण 18.या आजाराचे सरासरी 50% रुग्णांना विशेष रुग्णालयात दाखल केले जाते ला, 30% रोगासह एल, 20 % –
रोग सह एम. रोग पूर्ण बरा होण्याची शक्यता केरोगांसाठी 0.7 च्या बरोबरीचे एलआणि एमया संभाव्यता अनुक्रमे 0.8 आणि 0.9 आहेत. रुग्णालयात दाखल झालेल्या रुग्णाला तंदुरुस्त डिस्चार्ज देण्यात आला. या रुग्णाला हा आजार असल्याची शक्यता शोधा के.

निर्णय.आम्ही गृहीतके सादर करतो: - रुग्णाला आजार झाला आहे ला एल, रुग्णाला या आजाराने ग्रासले आहे एम.

मग, समस्येच्या स्थितीनुसार, आमच्याकडे आहे. एका कार्यक्रमाची ओळख करून देऊ आणिरुग्णालयात दाखल झालेल्या रुग्णाला तंदुरुस्त डिस्चार्ज देण्यात आला. अटीनुसार

एकूण संभाव्यता सूत्रानुसार, आम्हाला मिळते:

Bayes सूत्र.

उदाहरण 19.कलशात पाच गोळे असू द्या आणि पांढऱ्या बॉलच्या संख्येबद्दलच्या सर्व गृहीतके तितक्याच संभाव्य आहेत. कलशातून यादृच्छिकपणे एक बॉल घेतला जातो आणि तो पांढरा होतो. कलशाच्या सुरुवातीच्या रचनेबद्दल सर्वात संभाव्य गृहितक काय आहे?

निर्णय.पांढऱ्या गोळ्यांच्या कलशात हे गृहितक असू द्या , म्हणजे सहा गृहीतके करणे शक्य आहे. मग, समस्येच्या स्थितीनुसार, आमच्याकडे आहे.

चला एक कार्यक्रम सादर करूया आणियादृच्छिकपणे काढलेला पांढरा चेंडू. चला गणना करूया. तेव्हापासून, बेयस सूत्रानुसार आमच्याकडे आहे:

अशा प्रकारे, गृहितक सर्वात संभाव्य आहे, पासून .

उदाहरण 20.संगणकीय उपकरणाच्या तीनपैकी दोन स्वतंत्रपणे कार्यरत घटक अयशस्वी झाले. प्रथम आणि द्वितीय घटक अयशस्वी झाल्याची संभाव्यता शोधा जर प्रथम, द्वितीय आणि तृतीय घटकांच्या अपयश संभाव्यता अनुक्रमे 0.2 च्या समान असतील; 0.4 आणि 0.3.

निर्णय.द्वारे सूचित करा आणिकार्यक्रम - दोन घटक अयशस्वी. खालील गृहीतके तयार केली जाऊ शकतात:

- पहिला आणि दुसरा घटक अयशस्वी झाला आणि तिसरा घटक सेवायोग्य आहे. घटक स्वतंत्रपणे कार्य करत असल्याने, गुणाकार प्रमेय लागू होतो:

उदाहरण #1. संगणक निर्मिती कंपनी तीन पुरवठादारांकडून समान भाग मिळवते. प्रथम सर्व घटकांपैकी 50%, दुसरा - 20%, तिसरा - 30% भाग पुरवतो.
हे ज्ञात आहे की पुरवठा केलेल्या भागांची गुणवत्ता वेगळी आहे आणि पहिल्या पुरवठादाराच्या उत्पादनांमध्ये दोषांची टक्केवारी 4%, दुसरी - 5%, तिसरी - 2% आहे. प्राप्त झालेल्या सर्वांमधून यादृच्छिकपणे निवडलेला भाग सदोष असण्याची शक्यता निश्चित करा.

निर्णय. चला इव्हेंट्स दर्शवू: A - "निवडलेली वस्तू सदोष आहे", H i - "i-th पुरवठादाराकडून निवडलेली वस्तू प्राप्त झाली", i =1, 2, 3 गृहीतके H 1, H 2, H 3 संपूर्ण गट तयार करतात. विसंगत घटना. अटीनुसार
P(H1) = 0.5; P(H2) = 0.2; P(H3) = 0.3
P(A|H 1) = 0.04; P(A|H2) = 0.05; P(A|H 3) = 0.02

एकूण संभाव्यता सूत्रानुसार (1.11), घटना A ची संभाव्यता समान आहे
P(A) = P(H 1) P(A|H 1) + P(H 2) P(A|H 2) + P(H 3) P(A|H 3) = 0.5 0.04 + 0.2 0.05 + ०.३ ०.०२=०.०३६
यादृच्छिकपणे निवडलेला भाग सदोष असण्याची शक्यता 0.036 आहे.

इव्हेंट A आधीपासून मागील उदाहरणाच्या परिस्थितीमध्ये येऊ द्या: निवडलेला भाग सदोष असल्याचे दिसून आले. पहिल्या पुरवठादाराकडून ते प्राप्त झाल्याची संभाव्यता किती आहे? या प्रश्नाचे उत्तर बायेस सूत्राने दिले आहे.
आम्ही संभाव्यतेचे विश्लेषण केवळ प्राथमिक, घटनांच्या संभाव्यतेच्या प्राथमिक मूल्यांसह सुरू केले. मग एक प्रयोग केला गेला (एक भाग निवडला गेला), आणि आम्हाला आमच्या आवडीच्या घटनेबद्दल अतिरिक्त माहिती मिळाली. या नवीन माहितीसह, आम्ही पूर्वीच्या संभाव्यतेची मूल्ये परिष्कृत करू शकतो. समान घटनांच्या संभाव्यतेची नवीन मूल्ये आधीच गृहितके (चित्र 1.5) च्या पोस्टेरिओरी (प्रयोगोत्तर) संभाव्यता असतील.

गृहीतक पुनर्मूल्यांकन योजना
H 1 , H 2 , …, H n (विसंगत घटनांचा संपूर्ण समूह) यापैकी एका गृहितकासह घटना A ला केवळ एकत्र साकार होऊ द्या. आम्ही A - P(A|H i), i = 1, 2,…, n या घटनेच्या P(H i) सशर्त संभाव्यतेच्या गृहीतकांची प्राथमिक संभाव्यता दर्शविली. जर प्रयोग आधीच केला गेला असेल आणि त्याचा परिणाम म्हणून A घटना घडली असेल, तर गृहितकांच्या उत्तरोत्तर संभाव्यता P(H i |A), i = 1, 2,…, n या सशर्त संभाव्यता असतील. मागील उदाहरणाच्या नोटेशनमध्ये, P(H 1 |A) ही संभाव्यता आहे की निवडलेला भाग, जो सदोष निघाला होता, तो पहिल्या पुरवठादाराकडून प्राप्त झाला होता.
H k गुणाकार सूत्रे (1.5) आणि (1.6) वापरून त्याची संभाव्यता दोन प्रकारे शोधली जाऊ शकते:
P(AHk) = P(Hk)P(A|Hk);
P(AH k) = P(A)P(H k |A).

या सूत्रांच्या उजव्या बाजू समान करा
P(H k) P(A|H k) = P(A) P(H k |A),

म्हणून H k या गृहीतकाची पश्चात संभाव्यता आहे

भाजक ही घटना A ची एकूण संभाव्यता आहे. P(A) ऐवजी त्याचे मूल्य एकूण संभाव्यता सूत्र (1.11) नुसार बदलल्यास, आम्हाला मिळते:
(1.12)
फॉर्म्युला (1.12) म्हणतात Bayes सूत्र आणि गृहितकांच्या संभाव्यतेचे पुनर्मूल्यांकन करण्यासाठी वापरले जाते.
मागील उदाहरणाच्या परिस्थितीत, आम्हाला संभाव्यता आढळते की दोषपूर्ण भाग पहिल्या पुरवठादाराकडून प्राप्त झाला होता. आपण एका तक्त्यामध्ये P(H i) द्वारे आपल्याला ज्ञात असलेल्या गृहितकांच्या प्राथमिक संभाव्यता, सशर्त संभाव्यता P(A|H i) P(AH i) सोडवण्याच्या प्रक्रियेत मोजलेल्या संयुक्त संभाव्यता = P(H i) P(A|H i) आणि फॉर्म्युला (1.12) आणि पोस्टेरिओरी संभाव्यता P(H k |A), i, k = 1, 2,…, n (टेबल 1.3) द्वारे गणना केली जाते.

तक्ता 1.3 - गृहीतकांचे पुनर्मूल्यांकन

गृहीतकेहाय	संभाव्यता
	पूर्वीचे P(H i)	सशर्त P(A|H i)	संयुक्त P(AH i)	पोस्टेरिओरी P(H i |A)
1	2	3	4	5
एच 1 - पहिल्या पुरवठादाराकडून मिळालेला भाग	0.5	0.04	0.02
H 2 - दुसऱ्या पुरवठादाराकडून मिळालेला भाग	0.2	0.05	0.01
H 3 - तिसऱ्या पुरवठादाराकडून मिळालेला भाग	0.3	0.02	0.006
बेरीज	1.0	-	0.036	1

या सारणीच्या शेवटच्या पंक्तीचा विचार करा. दुसऱ्या स्तंभात H 1 , H 2 , H 3 च्या विसंगत घटनांच्या संभाव्यतेची बेरीज आहे ज्याचा संपूर्ण गट तयार होतो:
P(Ω) = P(H 1 + H 2 + H 3) = P(H 1) + P(H 2) + P(H 3) = 0.5 + 0.2 + 0.3 = 1
चौथ्या स्तंभात, प्रत्येक पंक्तीमधील मूल्य (संयुक्त संभाव्यता) दुसऱ्या आणि तिसऱ्या स्तंभातील संबंधित मूल्यांचा गुणाकार करून संभाव्यतेच्या गुणाकाराच्या नियमाद्वारे प्राप्त केले जाते आणि शेवटच्या ओळीत 0.036 ही घटना A ची एकूण संभाव्यता आहे. (एकूण संभाव्यता सूत्रानुसार).
स्तंभ 5 मध्ये, गृहीतकांच्या पश्चात संभाव्यता Bayes सूत्र (1.12) वापरून मोजल्या जातात:

नंतरच्या संभाव्यता P(H 2 |A) आणि P(H 3 |A) सारख्याच मोजल्या जातात, अपूर्णांकाचा अंश हा स्तंभ 4 च्या संबंधित पंक्तीमध्ये नोंदवलेल्या संयुक्त संभाव्यता असतो आणि भाजक ही एकूण संभाव्यता असते. स्तंभ 4 च्या शेवटच्या पंक्तीमध्ये रेकॉर्ड केलेली घटना A.
प्रयोगानंतर गृहितकांच्या संभाव्यतेची बेरीज 1 इतकी आहे आणि ती पाचव्या स्तंभाच्या शेवटच्या ओळीत लिहिली आहे.
तर, पहिल्या पुरवठादाराकडून दोषपूर्ण भाग प्राप्त झाल्याची संभाव्यता 0.555 आहे. प्रायोगिकोत्तर संभाव्यता प्रायोरीपेक्षा जास्त आहे (पुरवठ्याच्या मोठ्या प्रमाणामुळे). दुस-या पुरवठादाराकडून दोषपूर्ण भाग प्राप्त झाल्याची प्रायोगिक नंतरची संभाव्यता ०.२७८ आहे आणि ती पूर्व-प्रायोगिक भागापेक्षाही जास्त आहे (मोठ्या संख्येने नाकारल्यामुळे). तृतीय पुरवठादाराकडून दोषपूर्ण भाग मिळण्याची प्रायोगिकोत्तर संभाव्यता 0.167 आहे.

उदाहरण #3. तीन एकसारखे कलश आहेत; पहिल्या कलशात दोन पांढरा आणि एक काळा बॉल आहे; दुसऱ्यामध्ये, तीन गोरे आणि एक काळा; तिसऱ्या मध्ये - दोन पांढरे आणि दोन काळे गोळे. प्रयोगासाठी, एक कलश यादृच्छिकपणे निवडला जातो आणि त्यातून एक बॉल काढला जातो. हा चेंडू पांढरा असण्याची शक्यता शोधा.
निर्णय.चला तीन गृहितकांचा विचार करूया: H 1 - पहिला कलश निवडला आहे, H 2 - दुसरा कलश निवडला आहे, H 3 - तिसरा कलश निवडला आहे आणि घटना A - पांढरा बॉल बाहेर काढला आहे.
परिकल्पना समस्या स्थिती द्वारे तितकेच संभाव्य असल्याने, नंतर

या गृहितकांच्या अंतर्गत घटना A च्या सशर्त संभाव्यता अनुक्रमे समान आहेत:
एकूण संभाव्यता सूत्रानुसार

उदाहरण # 4. पिरॅमिडमध्ये 19 रायफल आहेत, त्यापैकी 3 ऑप्टिकल दृष्टीसह आहेत. नेमबाज, ऑप्टिकल दृष्टीसह रायफलमधून शूटिंग करून, 0.81 च्या संभाव्यतेसह लक्ष्यावर मारू शकतो आणि 0.46 च्या संभाव्यतेसह, ऑप्टिकल दृष्टीशिवाय रायफलमधून शूटिंग करू शकतो. यादृच्छिकपणे निवडलेल्या रायफलमधून शूटिंग करून नेमबाज लक्ष्य गाठेल याची संभाव्यता शोधा.
निर्णय.येथे पहिली चाचणी रायफलची यादृच्छिक निवड आहे, दुसरी लक्ष्य शूटिंग आहे. खालील घटनांचा विचार करा: ए - शूटर लक्ष्यावर आदळेल; एच 1 - शूटर ऑप्टिकल दृष्टीसह रायफल घेईल; एच 2 - शूटर ऑप्टिकल दृष्टीशिवाय रायफल घेईल. आम्ही एकूण संभाव्यता सूत्र वापरतो. आमच्याकडे आहे

रायफल्स एका वेळी एक निवडल्या जातात हे लक्षात घेता आणि शास्त्रीय संभाव्यता सूत्र वापरून, आम्हाला मिळते: P(H 1) = 3/19, P(H 2) = 16/19.
समस्या विधानात सशर्त संभाव्यता दिल्या आहेत: P(A|H 1) = 0;81 आणि P(A|H 2) = 0;46. परिणामी,

उदाहरण क्रमांक ५. 2 पांढरे आणि 3 काळे गोळे असलेल्या कलशातून, दोन गोळे यादृच्छिकपणे काढले जातात आणि कलशात 1 पांढरा चेंडू जोडला जातो. यादृच्छिकपणे काढलेला चेंडू पांढरा असण्याची शक्यता शोधा.
निर्णय."एक पांढरा चेंडू काढला आहे" ही घटना A द्वारे दर्शविली जाईल. घटना H 1 - दोन पांढरे चेंडू यादृच्छिकपणे काढले जातात; एच 2 - दोन काळे गोळे यादृच्छिकपणे काढले होते; H 3 - एक पांढरा चेंडू आणि एक काळा चेंडू काढला आहे. मग पुढे मांडलेल्या गृहितकांच्या संभाव्यता

या गृहीतकांच्या अंतर्गत सशर्त संभाव्यता अनुक्रमे समान आहेत: P(A|H 1) = 1/4 - कलशात सध्या एक पांढरा आणि तीन काळा चेंडू असल्यास पांढरा चेंडू काढण्याची संभाव्यता, P(A|H 2) = 3/ 4 - कलशात सध्या तीन पांढरे आणि एक काळा चेंडू असल्यास पांढरा चेंडू काढण्याची संभाव्यता, P(A|H 3) = 2/4 = 1/2 - पांढरा चेंडू काढण्याची संभाव्यता जर या क्षणी कलशात दोन पांढरे आणि एक काळे गोळे आहेत दोन काळे गोळे. एकूण संभाव्यता सूत्रानुसार

उदाहरण क्रमांक 6. लक्ष्यावर दोन गोळ्या झाडल्या जातात. पहिल्या शॉटसह मारण्याची संभाव्यता 0.2 आहे, दुसऱ्यासह - 0.6. एका हिटसह लक्ष्य नष्ट करण्याची संभाव्यता 0.3 आहे, दोन - 0.9 सह. लक्ष्य नष्ट होण्याची शक्यता शोधा.
निर्णय. इव्हेंट A हे ध्येय असू द्या नष्ट होईल. हे करण्यासाठी, दोनपैकी एक शॉट मारणे किंवा चुकल्याशिवाय दोन शॉट्ससह सलग लक्ष्य दाबणे पुरेसे आहे. चला गृहितके पुढे ठेवूया: H 1 - दोन्ही शॉट्स लक्ष्यावर आदळले. नंतर P(H 1) = 0.2 0.6 = 0;12. H 2 - एकतर पहिल्यांदा किंवा दुसऱ्यांदा चुकली. नंतर P (H 2) \u003d 0.2 0.4 + 0.8 0.6 \u003d 0.56. हायपोथेसिस एच 3 - दोन्ही शॉट्स चुकले - हे लक्षात घेतले जात नाही, कारण लक्ष्य नष्ट होण्याची शक्यता शून्य आहे. नंतर सशर्त संभाव्यता अनुक्रमे समान आहेत: दोन्ही यशस्वी शॉट्सच्या स्थितीत लक्ष्य नष्ट करण्याची संभाव्यता P(A|H 1) = 0.9 आहे आणि केवळ एका यशस्वी शॉटच्या स्थितीत लक्ष्य नष्ट करण्याची संभाव्यता P( आहे. A|H 2) = 0.3. मग एकूण संभाव्यता सूत्रानुसार लक्ष्य नष्ट करण्याची संभाव्यता समान आहे.

संभाव्यता सिद्धांताच्या दोन मुख्य प्रमेयांचा परिणाम - बेरीज आणि गुणाकार प्रमेये - एकूण संभाव्यता सूत्रे आणि बेयस सूत्रे आहेत.

घटना बीजगणिताच्या भाषेत, संच , ¼, म्हणतात कार्यक्रमांचा संपूर्ण गट, तर:

1. इव्हेंट जोडीनुसार विसंगत आहेत, उदा. , , ;.

2. बेरीज मध्ये ते संपूर्ण संभाव्यता जागा बनवतात .

प्रमेय 5 (एकूण संभाव्यता सूत्र).घटना तर आणिघटनांपैकी एखादी घटना ( गृहीतके ) , ¼ , संपूर्ण गट तयार झाल्यासच घडू शकते , तर घटनेची संभाव्यता आणिच्या समान आहे

पुरावा.गृहीतके , ०, केवळ संभाव्य आहेत आणि घटना एप्रमेयाच्या स्थितीनुसार केवळ एका गृहितकासह एकत्र येऊ शकते, नंतर. गृहितकांच्या विसंगतीतून त्यानंतर विसंगती .

आम्ही फॉर्म (6) मध्ये संभाव्यता जोड प्रमेय लागू करतो:

गुणाकार प्रमेयाने. हे प्रतिनिधित्व सूत्र (13) मध्ये बदलून, आमच्याकडे शेवटी आहे: , जे सिद्ध करायचे होते.

उदाहरण 8एक निर्यात-आयात फर्म विकसनशील देशांपैकी एकाला कृषी उपकरणे पुरवण्यासाठी करारावर स्वाक्षरी करणार आहे. जर कंपनीचा मुख्य प्रतिस्पर्धी एकाच वेळी करारासाठी अर्ज करत नसेल, तर करार मिळण्याची संभाव्यता 0.45 एवढी आहे; अन्यथा, 0.25 वाजता. कंपनीच्या तज्ञांच्या मते, स्पर्धक करार पूर्ण करण्यासाठी प्रस्ताव ठेवण्याची शक्यता 0.40 आहे. करार पूर्ण करण्याची संभाव्यता काय आहे?

निर्णय. आणि -"कंपनी एक करार पूर्ण करेल", - "स्पर्धक त्याचे प्रस्ताव मांडतील", - "स्पर्धक त्याचे प्रस्ताव पुढे ठेवणार नाहीत". कार्यानुसार , . करार जिंकण्यासाठी फर्मसाठी सशर्त संभाव्यता , . एकूण संभाव्यता सूत्रानुसार

गुणाकार प्रमेय आणि एकूण संभाव्यता सूत्राचा परिणाम म्हणजे बेज सूत्र.

Bayes सूत्रतुम्हाला प्रत्येक गृहितकाच्या संभाव्यतेची पुनर्गणना करण्याची अनुमती देते, जर घटना घडली असेल. (इव्हेंट असताना ते लागू केले जाते आणि, जे घटनांचा एक संपूर्ण समूह बनवणार्‍या केवळ एका गृहितकासह दिसू शकते, ते घडले आहे आणि चाचणीपूर्वी ज्ञात असलेल्या या गृहितकांच्या प्राथमिक संभाव्यतेचे परिमाणात्मक पुनर्मूल्यांकन करणे आवश्यक आहे, उदा. गृहीतकांच्या सशर्त संभाव्यता (चाचणीनंतर प्राप्त) शोधणे आवश्यक आहे) , ,…, .

प्रमेय 6 (बायस सूत्र).घटना तर आणिघडले, नंतर गृहितकांच्या सशर्त संभाव्यता एका सूत्रानुसार गणना केली जाते ज्याला बेज सूत्र म्हणतात:

पुरावा.इच्छित सूत्र प्राप्त करण्यासाठी, आम्ही घटनांच्या संभाव्यतेच्या गुणाकाराचे प्रमेय लिहितो. आणिआणि दोन स्वरूपात:

कुठे Q.E.D.

Bayes सूत्राचा अर्थ असा आहे की जेव्हा एखादी घटना घडते आणि,त्या नवीन माहिती प्राप्त झाल्यामुळे, आम्ही चाचणीपूर्वी मांडलेल्या गृहितकांची चाचणी करू शकतो आणि दुरुस्त करू शकतो. बायेसियन नावाचा हा दृष्टीकोन अर्थव्यवस्थेतील व्यवस्थापकीय निर्णय, सांख्यिकीय विश्लेषणामध्ये अभ्यासाधीन वैशिष्ट्यांच्या वितरणाच्या अज्ञात पॅरामीटर्सचा अंदाज इ.

कार्य ९.गटात 6 उत्कृष्ट विद्यार्थी, 12 चांगले विद्यार्थी आणि 22 मध्यम विद्यार्थी आहेत. A विद्यार्थ्याला 5 आणि 4 उत्तरे देण्याची तितकीच शक्यता असते, एका चांगल्या विद्यार्थ्याला 5, 4, आणि 3 उत्तरे देण्याची तितकीच शक्यता असते आणि मध्यम विद्यार्थ्याला 4, 3 आणि 2 उत्तरे देण्याची तितकीच शक्यता असते. यादृच्छिकपणे निवडलेल्या विद्यार्थ्याने उत्तर दिले 4. मध्यम विद्यार्थ्याला संबोधले जाण्याची शक्यता किती आहे?

निर्णय.चला तीन गृहितकांचा विचार करूया:

प्रश्नातील घटना. समस्येच्या स्थितीवरून, हे ज्ञात आहे

, , .

गृहीतकांच्या संभाव्यता शोधा. गटात फक्त 40 विद्यार्थी आणि 6 उत्कृष्ट विद्यार्थी असल्याने . त्याचप्रमाणे, , . एकूण संभाव्यता सूत्र लागू केल्यास, आम्हाला आढळते

आता आम्ही गृहीतकावर बेज सूत्र लागू करतो:

उदाहरण 10एक अर्थशास्त्रज्ञ-विश्लेषक सशर्त देशातील आर्थिक परिस्थितीचे "चांगले", "मध्यम" आणि "वाईट" मध्ये उपविभाजित करतो आणि दिलेल्या वेळेसाठी 0.15 वाजता त्यांच्या संभाव्यतेचा अंदाज लावतो; 0.70 आणि 0.15, अनुक्रमे. जेव्हा परिस्थिती "चांगली" असते तेव्हा आर्थिक स्थितीचे काही निर्देशांक 0.60 च्या संभाव्यतेसह वाढते; जेव्हा परिस्थिती सामान्य असते तेव्हा 0.30 च्या संभाव्यतेसह आणि जेव्हा परिस्थिती "वाईट" असते तेव्हा 0.10 च्या संभाव्यतेसह. समजा सध्या आर्थिक स्थितीचा निर्देशांक वाढला आहे. देशाची अर्थव्यवस्था तेजीत असण्याची शक्यता किती आहे?

निर्णय. आणि= "देशाच्या आर्थिक स्थितीचा निर्देशांक वाढेल", एच १= "देशातील आर्थिक परिस्थिती "चांगली"", एच 2= "देशातील आर्थिक परिस्थिती 'मध्यम' आहे", H 3= "देशातील आर्थिक परिस्थिती 'खराब' आहे". अटीनुसार: , , . सशर्त संभाव्यता: ,, . आपल्याला संभाव्यता शोधण्याची आवश्यकता आहे. आम्ही ते Bayes सूत्र वापरून शोधतो:

उदाहरण 11.ट्रेडिंग कंपनीला 1:4:5 या प्रमाणात तीन पुरवठादारांकडून टेलिव्हिजन मिळाले. सरावाने असे दाखवले आहे की 1ल्या, 2ऱ्या आणि 3ऱ्या पुरवठादारांकडून येणाऱ्या टीव्हीना अनुक्रमे 98%, 88% आणि 92% प्रकरणांमध्ये वॉरंटी कालावधीत दुरुस्तीची आवश्यकता नसते.

दोन्ही मुख्य प्रमेयांचा परिणाम - संभाव्यता जोड प्रमेय आणि संभाव्यता गुणाकार प्रमेय - तथाकथित एकूण संभाव्यता सूत्र आहे.

एखाद्या इव्हेंटसह एकत्र येऊ शकणार्‍या काही इव्हेंटची संभाव्यता निर्धारित करणे आवश्यक असू द्या:

विसंगत घटनांचा संपूर्ण गट तयार करणे. या घटनांना आपण गृहीतके म्हणू.

या प्रकरणात ते सिद्ध करूया

, (3.4.1)

त्या घटनेच्या संभाव्यतेची गणना प्रत्येक गृहीतकाच्या संभाव्यतेच्या उत्पादनांची बेरीज आणि या गृहितकाच्या अंतर्गत घटनेची संभाव्यता म्हणून केली जाते.

सूत्र (3.4.1) याला एकूण संभाव्यता सूत्र म्हणतात.

पुरावा. गृहीतके एक संपूर्ण गट बनवल्यामुळे, घटना केवळ यापैकी कोणत्याही गृहितकाच्या संयोजनात दिसू शकते:

गृहीतके विसंगत असल्याने, संयोजन विसंगत देखील; त्यांना अतिरिक्त प्रमेय लागू केल्याने, आम्हाला मिळते:

इव्हेंटला गुणाकार प्रमेय लागू केल्यास, आम्हाला मिळते:

,

Q.E.D.

उदाहरण 1. तीन एकसारखे दिसणारे कलश आहेत; पहिल्या कलशात दोन पांढरा आणि एक काळा बॉल आहे; दुसऱ्यामध्ये - तीन पांढरे आणि एक काळा; तिसऱ्या मध्ये - दोन पांढरे आणि दोन काळे गोळे. कोणीतरी यादृच्छिकपणे कलशांपैकी एक निवडतो आणि त्यातून एक बॉल काढतो. हा चेंडू पांढरा असण्याची शक्यता शोधा.

निर्णय. चला तीन गृहितकांचा विचार करूया:

पहिल्या कलशाची निवड,

दुसऱ्या कलशाची निवड,

तिसऱ्या कलशाची निवड

आणि घटना म्हणजे पांढरा चेंडू दिसणे.

गृहीतके, समस्येच्या स्थितीनुसार, तितकेच संभाव्य असल्याने

.

या गृहितकांच्या अंतर्गत घटनेच्या सशर्त संभाव्यता अनुक्रमे समान आहेत:

एकूण संभाव्यता सूत्रानुसार

.

उदाहरण 2. एका विमानावर तीन एकल शॉट्स मारले जातात. पहिल्या शॉटसह मारण्याची संभाव्यता 0.4 आहे, दुसऱ्यासह - 0.5, तिसऱ्या 0.7 सह. विमान अक्षम करण्यासाठी तीन फटके पुरेसे आहेत; एका हिटसह, विमान 0.2 च्या संभाव्यतेसह, दोन हिटसह, 0.6 च्या संभाव्यतेसह अयशस्वी होते. संभाव्यता शोधा की तीन शॉट्सच्या परिणामी विमान कारवाईपासून दूर जाईल.

निर्णय. चला चार गृहितकांचा विचार करूया:

विमानाला एकही शेल लागला नाही,

एक शेल विमानावर आदळला

विमानाला दोन गोळ्या लागल्या.

तीन शेल विमानावर आदळले.

बेरीज आणि गुणाकार प्रमेये वापरून, आम्हाला या गृहितकांच्या संभाव्यता आढळतात:

या गृहितकांच्या अंतर्गत घटनेच्या सशर्त संभाव्यता (विमान अपयश) आहेत:

एकूण संभाव्यता सूत्र लागू केल्यास, आम्हाला मिळते:

लक्षात घ्या की एकूण संभाव्यता सूत्रातील संबंधित संज्ञा नाहीशी झाल्यामुळे प्रथम गृहीतक विचारात घेतले जाऊ शकत नाही. हे सहसा एकूण संभाव्यता सूत्र लागू करताना केले जाते, विसंगत गृहितकांच्या संपूर्ण गटाचा विचार करत नाही, परंतु त्यापैकी केवळ ज्या अंतर्गत एखादी घटना शक्य आहे.

उदाहरण 3. इंजिन ऑपरेशन दोन नियामकांद्वारे नियंत्रित केले जाते. विशिष्ट कालावधीचा विचार केला जातो, ज्या दरम्यान इंजिनचे त्रास-मुक्त ऑपरेशन सुनिश्चित करणे इष्ट आहे. दोन्ही नियामक उपस्थित असल्यास, इंजिन संभाव्यतेसह अयशस्वी होते, जर त्यापैकी पहिले कार्य करत असेल तर संभाव्यतेसह, जर फक्त दुसरा कार्य करत असेल तर, दोन्ही नियामक अयशस्वी झाल्यास, संभाव्यतेसह. नियामकांपैकी पहिल्याची विश्वसनीयता आहे, दुसरी -. सर्व घटक एकमेकांपासून स्वतंत्रपणे अपयशी ठरतात. इंजिनची एकूण विश्वासार्हता (निकामी-मुक्त ऑपरेशनची संभाव्यता) शोधा.