Это распределение чаще всего используется при исследовании интенсивности отказов для периодов приработки и старения. На примере распределения сроков службы изоляции некоторых элементов электрической сети подробно рассмотрены физические процессы, приводящие к старению и отказу изоляции и описываемые распределением Вейбулла.

Надежность наиболее распространенных элементов электрических сетей, таких как силовые трансформаторы и кабельные линии, в значительной степени определяется надежностью работы изоляции, «прочность» которой изменяется в течение эксплуатации. Основной характеристикой изоляции электромеханических изделий является ее электрическая прочность, которая в зависимости от условий эксплуатации и вида изделия определяется механической прочностью, эластичностью, исключающей образование остаточных деформаций, трещин, расслоений под воздействием механических нагрузок, т.е. неоднородностей.

Однородность и монолитность структуры изоляции и ее высокая теплопроводность исключают возникновение повышенных местных нагревов, неизбежно приводящих к увеличению степени неоднородности электрической прочности. Разрушение изоляции при функционировании элемента происходит в основном в результате нагревания токами нагрузок и температурных воздействий внешней среды.

Рассмотрев два основных фактора (тепловое старение и механическая нагрузка), влияющих па срок службы изоляции, которые к тому же тесно связаны между собой, можно сделать вывод, что как усталостные явления в изоляции, так и тепловое ее старение в значительной степени зависят от качества изготовления и материала электротехнического изделия, от однородности материала изоляции, обеспечивающей отсутствие местных нагревов (так как трудно предположить, что откажет вся изоляция, т.е. пробой произойдет по всей площади изоляции).

Микротрещипы, расслоения и другие неоднородности материала случайно распределены в отношении своего положения и своей величины по всему объему (площади) изоляции. При воздействии переменных неблагоприятных условий как теплового, так и электродинамического характера неоднородности материала увеличиваются: например, микротрещина распространяется в глубь изоляции и при случайном повышении напряжения может вызвать пробой изоляции. Причиной отказа может быть даже небольшая неоднородность материала.

Естественно предположить, что число неблагоприятных воздействий (тепловых или электромеханических), вызывающих пробой изоляции, есть функция, убывающая в зависимости от размеров неоднородности. Это число минимально для наибольшей по размерам неоднородности (трещины, расслоения и др.).

Следовательно, число неблагоприятных воздействий, определяющее срок службы изоляции, должно подчиняться закону распределения минимальной случайной величины из совокупности независимых случайных величин, соответствующих различным по размерам неоднородностям:

где Г и - время безотказной работы всей изоляции; Г и, - время безотказной работы /"-го участка (/" = 1,2, п).

Таким образом, для определения закона распределения времени безотказной работы такого объекта, как изоляция элемента электрической сети, необходимо найти закон распределения минимального времени безотказной работы совокупности всех участков. Наибольший интерес представляет случай, когда законы распределения времени безотказной работы отдельных участков имеют различный характер, но вид законов распределения одинаков, т.е. резко выраженных отличий у участков нет.

С позиций надежности участки такой системы соответствуют последовательному соединению. Функция распределения времени безотказной работы такой системы из п участков, соединенных последовательно:

Рассмотрим общий случай, когда распределение Р(г) имеет так называемый «порог чувствительности», т.е. элемент гарантированно не откажет в интервале времени (0, /о) (в частном случае /о может быть равно 0). Очевидно, что функция Р(1ц + Д/) > 0 - всегда неубывающая функция аргумента.

Для системы можно получить асимптотический закон распределения времени безотказной работы:

Если распределение не имеет порога чувствительности / 0 , то закон распределения будет иметь вид

где с - некоторый постоянный коэффициент, с > 0; а - показатель Вейбулла.

Этот закон называется распределением Вейбулла. Он довольно часто используется при аппроксимации распределения времени безотказной работы системы с конечным числом последовательно (с точки зрения надежности) соединенных элементов (протяженные кабельные линии со значительным числом муфт и др.).

Плотность распределения времени безотказной работы

При а = 1 плотность распределения превращается в обычную показательную функцию (рис. 3.3).

Для интенсивности отказов при плотности распределения по закону Вейбулла получим

Интенсивность отказов для этого закона в зависимости от параметра распределения а может расти, оставаться постоянной (показательный закон) и уменьшаться (рис. 3.4).

При а = 2 функция распределения времени безотказной работы совпадает с законом Рэлея, а при а » 1 достаточно хорошо аппроксимируется нормальным законом распределения в окрестности среднего времени безотказной работы.

Рис. 3.3.

Рис. 3.4.

Как видно из рис. 3.3 и 3.4, экспоненциальный закон распределения является частным случаем закона Вейбулла при а = 1 (А. = const).

Закон Вейбулла очень удобен для вычислений, но требует эмпирического подбора параметров А. и а для имеющейся зависимости А.(/).

Математическое ожидание (среднее время) безотказной работы и дисперсия при распределении по закону Вейбулла:

где Г(х) - гамма-функция, определяемая по таблице Г(.г) (см. прил. 2); с - некоторый постоянный коэффициент, определяющий вероятность появления к элементарных повреждений на интервале времени (0, /)

Вопрос 16. Закон распределения Вейбулла

Закон распределения Вейбулла - один из самых распространенных в теории надежности. Этому закону следуют усталостная долговечность изделий, наработка до отказа невосстанавливаемых изделий. С помощью распределения Вейбулла можно описывать разнообразные причины отказов: усталостные, внезапные, постепенные. Закону распределения Вейбулла подчиняются отказы коробок скоростей, буровых лебедок, забойных двигателей, тракторов.

Частота отказов изделия или плотность вероятности времени безотказной работы изделия

Интенсивность отказов

Среднее время безотказной работы

где a, k - параметры закона распределения Вейбулла;

Г(x) - гамма-функция, значения которой приведены в таблицах.

При k = 1 распределение Вейбулла переходит в экспоненциальное;

При k =2,5-3,5 - распределение Вейбулла близко к нормальному.

Вопрос 17. Экспоненциальный (показательный) закон распределения

Экспоненциальный закон распределения является частным случаем закона распределения Вейбулла (k=1). Применим к изделиям, прошедшим предварительную приработку. Это распределение используется также при анализе внезапных отказов буровых насосов, горных машин.

Вероятность безотказной работы изделия на интервале времени от 0 до t

Вероятность отказа изделия на интервале времени от 0 до t

Дифференциальная функция или плотность вероятности экспоненциального распределения

Интенсивность отказов

Математическое ожидание при экспоненциальном распределении

Вопросы лекции:

Введение

Модели надёжности технических систем

Законы распределения времени безотказной работы

Введение

Количественные методы исследования технических объектов, особенно на этапах их проектирования и создания, всегда требуют построения математических моделей процессов и явлений. Под математической моделью обычно понимают взаимосвязанную совокупность аналитических и логических выражений, а также начальные и граничные условия, отражающие с определённым приближением реальные процессы функционирования объекта. Математическая модель – это информационный аналог натурного объекта, с помощью которого можно получить знания о создаваемом проекте. Считают, что способность вырабатывать предсказания является определяющим свойством модели. Всё это в полной мере относится к математическим моделям надёжности.

Под математической моделью надёжности понимается такая аналитически представляемая система, которая даёт полную информацию о надёжности объекта. При построении модели процесс изменения надёжности определённым образом упрощается, схематизируется. Из большого количества действующих на натурный объект факторов выделяются основные, изменение которых может вызвать заметные изменения надёжности. Связи между составными частями системы могут быть представлены аналитическими зависимостями также с определёнными приближениями. В результате выводы, получаемые на основе исследования модели надёжности объекта, содержат некоторую неопределённость.

Чем удачнее подобрана модель, чем лучше она отражает характерные особенности функционирования объекта, тем точнее будет оценена его надёжность и получены обоснованные рекомендации для принятия решения.

1. Модели надёжности технических систем

В настоящее время сложились общие принципы построения математических моделей надёжности. Модель строится только для определённого объекта, или точнее для группы однотипных объектов с учётом особенностей их будущей эксплуатации. Она должна удовлетворять следующим требованиям:

Модель должна учитывать максимальное количество факторов, оказывающих влияние на надёжность объекта;

Модель должна быть достаточно простой, чтобы с использованием типовых вычислительных средств получать выходные показатели надёжности в зависимости от изменения входных факторов.

Противоречивость этих требований не позволяет полностью формализовать построение моделей, что делает процесс создания моделей в определённой степени творческим.

Существует много классификаций моделей надёжности, одна их которых представлена на рис.1 1 .

Рис.1. Классификация моделей надёжности

Как следует из рис.1, все модели можно разделить на две большие группы: модели надёжности объектов и модели элементов. Модели надёжности элементов имеют больше физического содержания и более конкретизированы для элементов определённой конструкции. В этих моделях используются характеристики прочности материалов, учитываются нагрузки, действующие на конструкцию, рассматривается влияние условий эксплуатации на работу элементов. При исследовании этих моделей получают формализованное описание процессов возникновения отказов в зависимости от выделенных факторов.

Модели надёжности объектов создаются для формализованного описания с позиций надёжности процесса их функционирования как процесса взаимодействия элементов, составляющих данный объект. В такой модели взаимодействие элементов осуществляется только через наиболее существенные связи, влияющие на общую надёжность объекта.

Различают модели надёжности объектов параметрические и модели в терминах отказов элементов. Параметрические модели содержат функции случайных параметров элементов, что позволяет получить на выходе модели искомый показатель надёжности объекта. В свою очередь, параметры элементов могут являться функциями времени наработки объекта.

Модели, создаваемые в терминах отказов элементов, наиболее формализованы и являются основными при анализе надёжности сложных технических систем. Необходимым условием при создании таких моделей является чёткое описание признаков отказов каждого элемента системы. Модель отражает влияние отказа отдельного элемента на надёжность системы.

По принципам реализации моделей они различаются на аналитические, статистические и комбинированные (иначе функционально – статистические).

Аналитические модели содержат аналитические зависимости между параметрами, характеризующими надёжность системы, и выходным показателем надёжности. Для получения таких зависимостей приходится ограничивать количество значимых факторов и значительно упрощать физическую картину процесса изменения надёжности. В результате аналитические модели могут с достаточной точностью описывать только сравнительно простые задачи изменения показателей надёжности систем. С усложнением системы и увеличением количества факторов, влияющих на надёжность, на первый план выходят статистические модели.

Метод статистического моделирования позволяет решать многомерные задачи большой сложности за короткое время и с приемлемой точностью. С развитием вычислительной техники возможности этого метода расширяются.

Ещё большими возможностями обладает комбинированный метод, который предусматривает создание функционально – статистических моделей. В таких моделях для элементов создаются аналитические модели, а система в целом моделируется в статистическом режиме.

Выбор той или иной математической модели зависит от целей исследования надёжности объекта, от наличия исходной информации о надёжности элементов, от знания всех факторов, влияющих на изменение надёжности, от подготовленности аналитического аппарата для описания процессов накопления повреждений и возникновения отказов и многих других причин. В конечном итоге выбор модели осуществляет исследователь.

Это распределение чаще всего используется для исследования интенсивности отказов для периодов приработки и старения.

Надежность наиболее распространенных элементов электрических сетей, таких, как силовые трансформаторы, КЛ, в значительной степени определяется надежностью работы изоляции, «прочность» которой изменяется в течение эксплуатации. Прочность изоляции в зависимости от условий эксплуатации и вида изделия определяется механической прочностью, эластичностью, исключающей возможности образования остаточных деформаций, трещин, расслоений под воздействием механических нагрузок, т. е. неоднородностей.

Однородность и монолитность структуры изоляции и ее высокая теплопроводность исключают возникновение повышенных местных нагревов, неизбежно приводящих к увеличению степени неоднородности электрической прочности. Разрушение изоляции при функционировании элемента происходит в основном в результате нагревания токами нагрузок и температурных воздействий внешней среды. Механические нагрузки (вибрации, деформации, удары и др.) также приводят к разрушению изоляции.

Среди перечисленных факторов, определяющих срок службы изоляции указанных элементов электрических сетей, одним из основных факторов, является тепловое старение. На основании экспериментальных исследований было получено известное «восьмиградусное» правило, согласно которому повышение температуры изоляции, выполненной на органической основе, на каждые восемь градусов в среднем вдвое сокращается срок службы изоляции. В настоящее время в зависимости от класса применяемой изоляции используются шести- , восьми- , десяти- и двенадцатиградусное правила.

Срок службы изоляции в зависимости от температуры нагревания:

T и = А е-γς, (5.43)

где А - срок службы изоляции при ς = 0- некоторая условная величина;

γ- коэффициент, характеризующий степень старения изоляции в зависимости от класса;

ς - температура перегрева изоляции.

Другим важным фактором, вызывающим интенсивное старение изоляции, является обусловленная электрическими процессами при резких изменениях тока, например при резкопеременной нагрузке силового трансформатора, набросах и сбросах нагрузки, сквозных токах КЗ. Механические характеристики прочности изоляции также зависят от температуры. Предел механической прочности изоляции быстро снижается по мере ее нагревания, но в то же время она становится более эластичной.

При воздействии переменных неблагоприятных условий неоднородности материала увеличиваются, например микротрещина распространяется в глубь изоляции и при случайном повышении напряжения может вызвать пробой изоляции. Причиной отказа может быть даже небольшая неоднородность материала.

Число неблагоприятных воздействий (тепловых или электромеханических), вызывающих пробой изоляции, есть функция, убывающая в зависимости от размеров неоднородности. Это число минимально для наибольшей по размерам неоднородности (трещины, расслоения и др.). Т.о., число неблагоприятных воздействий, или срок службы изоляции, должно подчиняться закону распределения минимального числа из числа независимых СВ - чисел неблагоприятных воздействий, соответствующих различным по размерам неоднородностям, т. е. если Ти - время безотказной работы всей изоляции, а Тиi - время безотказной работы i-го участка (i = 1, 2,..., n), то:

T и = min (T и1,T и2,…,T иn). (5.44)

Таким образом, для определения закона распределения времени безотказной работы такого объекта, как изоляция элемента электрической сети, необходимо найти вероятность распределения минимальных времен безотказной работы совокупности всех участков. Причем наибольший интерес представляет случай, когда законы распределения времени безотказной работы отдельных участков имеют произвольный характер, но вид законов распределения одинаков, т. е. резковыраженных отличающихся участков нет.

В смысле надежности участки такой системы соответствуют последовательному соединению. Поэтому функция распределения времени безотказной работы такой системы:

q c (t) = 1 – n. (5.45)

Далее математическими преобразованиями выводится формула, при которой основным параметром является «порог чувствительности», т. е. элемент гарантированно не откажет в интервале времени (0, t0) (в частном случае t0 = 0). Если распределение не имеет порога чувствительности t0, то закон распределения называется распределением Вейбулла:

где с > 0 – некоторый постоянный коэффициент;

α – параметра распределения.

Этот закон распределения довольно часто используется при аппроксимации распределения времени безотказной работы систем с конечным числом последовательно (в смысле надежности) соединенных элементов (длинные КЛ со значительным числом муфт и др.).

Плотность распределения:

(5.47)

При α = 1 плотность распределения превращается в обычную показательную функцию (см. рисунок 5.12).

Рисунок 5.12 - Дифференциальная функция распределения времени безотказной работы изоляции по закону

Вейбулла

Рисунок 5.13 - Интенсивность отказов при

распределении по закону Вейбулла

Интенсивность отказов при распределении плотности по закону Вейбулла (см. рисунок 5.13):

λ(t) = αctα-1. (5.48)

Интенсивность отказов для этого закона в зависимости от параметра распределения может расти, оставаться постоянной (показательный закон) и уменьшаться.

Как видно из рисунков 5.12 и 5.13 экспоненциальный закон распределения является частным случаем закона Вейбулла при α = 1 (λ = const). При α = 2 функция распределения времени безотказной работы совпадет с законом Рэлея, при α »1 достаточно хорошо аппроксимируется нормальным законом распределения в окрестности среднего времени безотказной работы.

При соответствующем подборе параметра α можно с помощью закона Вейбулла описывать надежность и стареющих элементов (период старения и износа), у которых λ(t) возрастает, и надежность элементов, имеющих скрытые дефекты (период приработки), у которых λ(t) убывает с течением времени.

Математическое ожидание (среднее время) безотказной работы и дисперсия при распределении по закону Вейбулла:

T и.ср = Г(1+1/α) c-1/α, (5.49)

Д(Tи ) = c-2/α [Г(1+2/α) – Г2(1+1/α)]. (5.50)

где Г(х ) - гамма-функция .

Эксплуатация изделий по ресурсу целесообразна только в том случае, если надежность изделия зависит от его наработки. Такие изделия составляют всего 5% от всех установленных на самолете. Поэтому, поскольку анализ MSG-3 позволяет определить, КАКИЕ работы по ТО должны быть включены в первоначальный перечень важных объектов MSI, и КАК они должны выполняться, необходим инструмент, который поможет ответить на эти вопросы.

После того как будет накоплен достаточный опыт, первоначальные интервалы могут быть изменены как для конкретного оператора, так и для всех эксплуатантов через ревизию отчета MRB. Для того чтобы обосновать изменение интервала, необходимы инструменты.

Таким инструментом является анализ надежности. Наиболее эффективный и широко используемый метод - анализ надежности по распределению Вейбулла.

Распределение Вейбулла, названное в честь шведского инженера Валодди Вейбулла (Waloddi Weibull, 1887-1979 гг.), введшего это распределение в практику анализа результатов усталостных испытаний, широко используется для исследования надежности элементов технических систем. В России это распределение связывают с именем известного русского математика Бориса Владимировича Гнеденко (1912-1995 гг.), получившего его в качестве предельного при изучении максимального из результатов испытаний. технический обслуживание авиационный ремонт

Опыт эксплуатации технических систем и их элементов показывает, что для них характерны три вида зависимостей интенсивности отказов л от времени t, соответствующих трем периодам жизненного цикла этих устройств (рис. 18.).

Рис. 18.

Указанные три вида зависимостей интенсивности отказов от времени можно получить, используя для вероятностного описания случайной наработки до отказа распределение Вейбулла - Гнеденко. Согласно этому распределению зависимость для плотности вероятности момента отказа f (t) имеет вид:

где c - параметр формы распределения, с > 0;

b - параметр масштаба распределения, b > 0;

и - параметр положения распределения, и < t.

Интенсивность отказов л(t), подчиняющихся распределению Вейбулла - Гнеденко, определяется выражением:

При параметре формы распределения c < 1 интенсивность отказов л(t) монотонно убывает (период приработки), при с = 1 интенсивность отказов постоянна: л(t) = const (период нормальной работы), а при с > 1 - монотонно возрастает (период износа). Следовательно, путем подбора параметра с на каждом из трех периодов жизненного цикла можно получить такую теоретическую зависимость л(t), которая достаточно близко совпадет с экспериментальной. В этом случае расчет показателей надежности можно производить на основе теоретической зависимости л(t).

Функция распределения Вейбулла - Гнеденко F(t), показывающая какова вероятность наступления случайного события (отказа) при случайном времени

Функция надежности, обычно обозначаемая как R(t), определяется равенством R(t) = 1 - F(t). Иногда функция R(t) называется функцией выживания, т.к. описывает вероятность того, что отказ произойдет после определенного момента времени t.

На рис. 19. показан вид функций надежности при различных значениях параметра формы с. Если параметр формы распределения с меньше 1, то функция надежности R(t) резко уменьшается в начале времени жизни, затем, с ростом времени t, уменьшение происходит более медленно. Если параметр формы с больше 1, то сначала наблюдается небольшое уменьшение надежности, а затем, начиная с некоторого значения времени t, она снижается довольно быстро.

Рис. 19.

Точка, где все кривые пересекаются, называется характеристическим временем жизни и определяет момент времени, когда отказало 63,2 % выборки: R(t) = 1 - 0,632 = 0,368.

В авиации распределение Вейбулла используется для расчета объектов:

• - диски двигателя, с ограниченным ресурсом;
• - модули двигателя и компоненты (с пределом эксплуатации);
• - элементы планера, подверженные усталостному разрушению;
• - надежность компонентов.

Распределение описывает все три основных распределения отказов:

• - отказы приработки;
• - случайные отказы;
• - отказы, зависящие от наработки.

Здесь необходима оговорка. Допустим, что по MGS-3 анализу отказ не был отнесен ни к категории 5 (небезопасный), ни к 8 (скрытый, небезопасный), а объект имеет случайное распределение отказов или отказы периода приработки. Тогда мы имеем все основания утверждать, что работы по ТО в данном случае не требуются, более того, объект можно вычеркнуть из списка важных объектов для ТО.

В случае если отказы зависят от наработки, анализ по Вейбуллу поможет определить наиболее подходящий интервал.

По этой причине необходимо очень внимательно подойти к определению зависимости отказов изделий от наработки.

Таки образом, программа ТО B737 может постоянно совершенствоваться на основе аналитических и эмпирических данных, предоставляемых средствами сбора и анализа данных о надежности.