न्यूरोलॉजी 

ज्या समस्या होकायंत्र आणि शासकाने सोडवता येत नाहीत. कंपास आणि शासक वापरून बांधकाम


हा लेख आधीच नमूद केलेल्या सेडगविक, वेन आणि डोन्डेरो यांच्या “प्रोग्रामिंग इन पायथन” या पुस्तकातील एका विभागातील सामग्रीवर आधारित आहे. या विभागाला "पुनरावृत्ती कार्यांची प्रणाली" असे म्हणतात, आणि ते अगदी सोप्या अल्गोरिदमचा वापर करून, सिएरपिन्स्की त्रिकोण, बार्नस्ले फर्न आणि काही इतर सारख्या विविध प्रतिमांच्या बांधकामाचे वर्णन करते, जे शिवाय, अंमलबजावणी करणे देखील सोपे आहे.

मी या अल्गोरिदमच्या वर्णनासह प्रारंभ करेन. मी गणितीय शब्दावली वापरेन, ज्यात पुस्तकाचे लेखक त्यांच्या कथन करताना वापरत नाहीत. अल्गोरिदमचे पूर्णपणे गणितीय दृश्य मला ते समजणे सोपे करते आणि गणितीय भाषा वापरून ते व्यक्त करणे माझ्यासाठी खूप सोयीचे आहे.

म्हणून, लेखाचा सैद्धांतिक भाग समजून घेण्यासाठी, वाचकांना गणिताच्या काही शाखांचे ज्ञान आवश्यक असेल, जे सहसा तांत्रिक विद्यापीठांमध्ये शिकवले जातात. अर्थात, संभाव्यता सिद्धांत आणि गणितीय विश्लेषणाच्या घटकांशी परिचित होणे उपयुक्त ठरेल.

लेखाचा सैद्धांतिक भाग C99 भाषेत अल्गोरिदमच्या अंमलबजावणीचे वर्णन करणारा व्यावहारिक भाग त्यानंतर येईल. कार्यक्रमाचे परिणाम प्रतिमा असतील म्हणून, आम्ही प्रोग्राममध्ये pgraph ग्राफिक्स लायब्ररीचा वापर करू, असे गृहीत धरून की वाचक किमान सामान्यतः त्याच्याशी परिचित आहे.

तर, आपल्या कथेच्या सैद्धांतिक भागाकडे वळूया.

पुनरावृत्ती कार्ये आणि यादृच्छिक क्रम

ज्या योजनेद्वारे प्रतिमा तयार केल्या जातील त्या योजनेची रूपरेषा सांगण्यापूर्वी, आवर्ती सूत्रे वापरून ज्यांच्या संज्ञा मोजल्या जातात त्या क्रमांबद्दल बोलूया.

खालील आवर्ती सूत्रे वापरून 2 अनुक्रम, x n n = 1 ∞ आणि y n n = 1 ∞ परिभाषित करू.

X n = f x n - 1, y n - 1, n ∈ ℕ, y n = g x n - 1, y n - 1, n ∈ ℕ.

चला ते समजावून सांगूया x 0 आणि y 0 काही पूर्वनिर्धारित संख्या आहेत, आणि f(x, y) आणि g(x, y) दोन व्हेरिएबल्सची काही कार्ये म्हणतात पुनरावृत्ती. अशा फंक्शन्सद्वारे विशिष्ट क्रमाच्या पुढील सदस्याची गणना करण्याची प्रक्रिया म्हटले जाईल पुनरावृत्ती, आणि आवर्ती सूत्रांचा वरील संच एक पुनरावृत्ती योजना आहे.

जर त्याने एखाद्या विद्यापीठात गणिताचा अभ्यास केला असेल तर अनुक्रम निर्दिष्ट करण्याची पुनरावृत्ती पद्धत बहुधा वाचकाला परिचित असेल. अनुक्रमांच्या सदस्यांची गणना करण्याची "क्रॉस" पद्धत काहीशी असामान्य वाटू शकते, ज्यामध्ये गणना करणे n-दोन अनुक्रमांपैकी प्रत्येकाची मुदत केवळ आवश्यक नाही n− त्याच क्रमाचा पहिला सदस्य, पण n− पहिला सदस्य वेगळा आहे.

आता पुनरावृत्ती फंक्शन्सची एक जोडी वापरून नव्हे तर दोन अनुक्रमांच्या संज्ञा तयार करण्याच्या योजनेचा विचार करूया मीवाफ यापैकी प्रत्येक फंक्शन दोन्ही व्हेरिएबल्समध्ये रेखीय असेल आणि त्यात एक जोड स्थिरांक देखील असेल. अधिक विशेषतः, फंक्शन्स असे दिसतील:

F k x, y = a k x + b k y + c k g k x, y = d k x + e k y + h k, k = 0, 1, …, m - 1.

प्रत्येकासाठी n, 1 पासून सुरू होणारी, 0 ते संख्या मी− 1, आणि गणना करताना x nआणि y nआवर्ती सूत्रे पुनरावृत्ती कार्यांची जोडी वापरतील ज्यांचे निर्देशांक दिलेल्या यादृच्छिक संख्येच्या समान आहेत. लक्षात घ्या की प्रत्येक पुनरावृत्तीच्या आधी "दिसणाऱ्या" यादृच्छिक संख्या तितक्याच संभाव्य असणे आवश्यक नाही. तथापि, भिन्न चरणांसाठी विशिष्ट निश्चित संख्या दिसण्याची संभाव्यता समान आहे.

आता आपण कठोर गणितीय भाषेत काय सांगितले आहे ते तयार करूया. समान कायद्यानुसार वितरीत केलेल्या T n = 1 ∞ या वेगळ्या, एकत्रितपणे स्वतंत्र यादृच्छिक चलांच्या क्रमाचा विचार करूया. म्हणजे: प्रत्येक यादृच्छिक चल 0, 1, ..., मूल्ये घेते. मी− 1 संबंधित संभाव्यतेसह p 0 , p 1 , …, p मी-1 .

आता आपण पुढील पुनरावृत्ती योजना वापरून x n n = 1 ∞ आणि y n n = 1 ∞ अनुक्रम परिभाषित करतो:

X n = f T n x n - 1 , y n - 1 , n ∈ ℕ , y n = g T n x n - 1 , y n - 1 , n ∈ ℕ .

पूर्वीप्रमाणे, x 0 आणि y 0 हे काही पूर्वनिर्धारित संख्या आहेत.

अशा प्रकारे, प्रत्येक क्रम यादृच्छिक आहे, म्हणजे त्याचे सदस्य यादृच्छिक चल आहेत. तथापि, यापैकी प्रत्येक अनुक्रम "साक्षात्कार" केला जाऊ शकतो, म्हणजेच त्याच्या सर्व अटींची गणना केली जाऊ शकते (अर्थात, अशा अंमलबजावणीची अमर्याद संख्या असेल).

चला या विभागाचा मुख्य प्रश्न स्वतःला विचारूया. यादृच्छिक अनुक्रमांच्या या जोडीशी आपण ज्या प्रतिमा तयार करणार आहोत त्यांचा काय संबंध आहे? अगदी साधे. चला या दोन अनुक्रमांची अंमलबजावणी तयार करूया. प्रत्येक नैसर्गिक साठी nएक जोडपे ( x n, y n) हे विमानावरील कार्टेशियन आयताकृती समन्वय प्रणालीमध्ये निर्दिष्ट केलेल्या बिंदूचे निर्देशांक मानले जाऊ शकते. तर, साकारलेल्या अनुक्रमांच्या एका विशिष्ट जोडीशी संबंधित प्रतिमा विमानावरील अशा सर्व बिंदूंचे भौमितिक स्थान दर्शवते.

असे दिसते की अनुक्रमांच्या जोडीच्या प्रत्येक अंमलबजावणीसाठी आम्हाला आमची स्वतःची प्रतिमा मिळेल, इतरांपेक्षा वेगळी. तथापि, विरोधाभासाने, परिणामी प्रतिमा प्रत्येक वेळी व्यावहारिकदृष्ट्या एकसारख्या असतील (म्हणजे, संगणकावर तयार केल्यावर, त्या मानवी डोळ्यांना अभेद्य असतील). आणि अनुक्रम सदस्यांच्या निर्मितीमध्ये गुंतलेल्या यादृच्छिक चलांच्या पुनरावृत्ती कार्ये आणि वितरण कायद्यांच्या योग्य निवडीसह, अतिशय मनोरंजक नमुने तयार केले जाऊ शकतात.

आपण जोडूया की संगणकावर प्रतिमा तयार करताना, आपण अर्थातच, केवळ मर्यादित (परंतु मोठ्या प्रमाणात) पुनरावृत्ती करू.

छद्म यादृच्छिक संख्यांच्या निर्मितीबद्दल

प्रोग्राम लिहिताना, आम्हाला छद्म-यादृच्छिक संख्या व्युत्पन्न करण्याची गरज भासते जी सामान्यत: समान रीतीने वितरित केली जात नाहीत, परंतु पूर्वनिर्धारित कायद्यानुसार. त्याच वेळी, आमच्याकडे फक्त छद्म-यादृच्छिक संख्यांचे सॉफ्टवेअर जनरेटर असेल जे मध्यांतरावर समान रीतीने वितरीत केले जाईल. दुसऱ्या वितरणातून पहिले कसे मिळवायचे?

चला समस्येचे गणितीय समतल भाषांतर करूया. सतत यादृच्छिक चल असू द्या यू, विभागावर एकसमान वितरीत केले. स्वतंत्र यादृच्छिक व्हेरिएबल तयार करण्याचे ध्येय आपण स्वतः सेट करूया टचे कार्य म्हणून यू, त्या मार्गाने ट 0, 1, …, मूल्ये घेतली मी− 1 संबंधित संभाव्यतेसह p 0 , p 1 , …, p मी-1 .

समस्येचे निराकरण करणे अगदी सोपे आहे. आपण संभाव्यतेची बेरीज विचारात घेऊ या

s k = ∑ i = 0 k - 1 p i , k = 0 , 1 , … , m - 1 .

जर बेरीजची वरची मर्यादा ओव्हर iखालच्या पेक्षा कमी आहे, तर व्याख्येनुसार अशी बेरीज 0 च्या बरोबरीची आहे असे आपण गृहीत धरू.

टते व्यक्त करूया यूखालील प्रकारे:

T = 0, जर U ∈ s 0, s 1, 1, जर U ∈ s 1, s 2, 2, जर U ∈ s 2, s 3, …… …… …… …… …… …… ……, m - 1 जर U ∈ s m - 1, 1.

स्पष्टपणे एक यादृच्छिक चल टआम्हाला आवश्यक असलेल्या कायद्यानुसार वितरीत केले. लक्षात घ्या की, खरं तर, ट- ही मध्यांतराची संख्या आहे ज्यामध्ये यादृच्छिक चल येते यू(आम्ही अंतराल 0 ते अंकांसह क्रमांकित करतो मी− 1 त्यांच्या डाव्या सीमांच्या चढत्या क्रमाने).

व्यावहारिक दृष्टिकोनातून, प्राप्त परिणाम प्रत्येक पुनरावृत्ती चरणावर, पुनरावृत्ती फंक्शन्सची संख्या म्हणून मध्यांतराची संख्या घेण्यास अनुमती देतो ज्यामध्ये छद्म-यादृच्छिक संख्यांच्या सेन्सरद्वारे व्युत्पन्न केलेली संख्या, खंडावर समान रीतीने वितरित केली जाते, पडतो

आता तुम्ही प्रोग्राम लिहिण्यास पुढे जाऊ शकता.

कार्यक्रम रचना

प्रोग्राममध्ये main.c फाइल आणि pgraph ग्राफिक्स लायब्ररी बनवणाऱ्या फाइल्स असतात. main.c फाइलची सामग्री खालील निर्देशांसह सुरू होते ज्यात ग्राफिक्स लायब्ररी समाविष्ट आहे:

# "pgraph.h" समाविष्ट करा

खालील फाइलमध्ये जागतिक स्थिर व्हेरिएबल्स आणि स्थिर अॅरेचे वर्णन आहे. त्यांच्या मागे get_random_value() आणि main() फंक्शन्सच्या व्याख्या आहेत. त्यापैकी पहिला छद्म-यादृच्छिक संख्या तयार करतो आणि दुसरा प्रतिमा तयार करण्याचे मुख्य काम करतो.

जागतिक स्थिर चल आणि स्थिर अॅरे

विशिष्ट प्रतिमा तयार करण्यासाठी आवश्यक असलेली सर्व माहिती जागतिक स्थिर व्हेरिएबल्स आणि स्थिर अॅरेमध्ये समाविष्ट आहे. अर्थात, प्रत्येक प्रतिमेसाठी स्थिरांक आणि स्थिर अॅरेच्या घटकांच्या मूल्यांचा संच "स्वतःचा" असेल.

खाली या स्थिरांक आणि अॅरेचे वर्णन आहे.

  • n - पुनरावृत्तीची संख्या;
  • w - पिक्सेलमध्ये प्रतिमेची रुंदी;
  • h - पिक्सेलमध्ये प्रतिमेची उंची;
  • xc - जुन्या प्रणालीमध्ये नवीन समन्वय प्रणालीच्या सुरुवातीचा abscissa;
  • yc - जुन्या सिस्टीममधील नवीन समन्वय प्रणालीच्या सुरूवातीस ordinate;
  • l ही एका समांतर अक्षाच्या समांतर विभागाची पिक्सेलमधील लांबी आहे, ज्याची नवीन समन्वय प्रणालीमध्ये एकक लांबी आहे;
  • m ही पुनरावृत्ती कार्यांच्या जोड्यांची संख्या आहे, म्हणजे संख्या मी;
  • s - आकाराचा एक-आयामी अॅरे मी, यादृच्छिक चलांच्या संभाव्यतेची बेरीज असलेली Tn (kअॅरेच्या व्या घटकामध्ये समाविष्ट आहे s k);
  • f एक द्विमितीय अॅरे आहे ज्याचा समावेश आहे मी fk(x, yk, 0), (k, 1), (k, 2) संख्या असतात a k, b k, c kअनुक्रमे, जेथे 0 ≤ k ≤ मी − 1);
  • g एक द्विमितीय अॅरे आहे ज्याचा समावेश आहे मी"पंक्ती" आणि 3 "स्तंभ" ज्यामध्ये फंक्शन्समध्ये स्थिरांक असतात g k(x, y) (निर्देशांकांसह अॅरे घटक ( k, 0), (k, 1), (k, 2) संख्या असतात dk, e k, h kअनुक्रमे, जेथे 0 ≤ k ≤ मी − 1).

सर्व व्हेरिएबल्स int प्रकारचे आहेत आणि सर्व अॅरेचा बेस प्रकार दुहेरी आहे.

आपण स्पष्ट करूया की "जुनी" समन्वय प्रणाली म्हणजे pgraph लायब्ररीमध्ये परिभाषित केलेली प्रणाली. सर्व प्रतिमा समांतर हस्तांतरणाद्वारे जुन्या प्रतिमा मिळवलेल्या नवीन प्रणालीमध्ये तयार केल्या जातील (अनुक्रमे अॅब्सिसा आणि ऑर्डिनेट अक्षांसह शिफ्ट समान आहेत. x cआणि y c) आणि "संक्षेप" मध्ये lएकदा अशा प्रकारे, नवीन प्रणालीमध्ये समन्वय असलेला एक बिंदू ( x, y), जुन्यामध्ये निर्देशांक असतील ( x l + x c, y l + y c). मला वाटते की, कोणत्या प्रकारची संख्या साठवायची हे स्पष्ट करणे अनावश्यक आहे x c, y cआणि l xc, yc आणि l ही स्थिर चल अनुक्रमे जबाबदार आहेत.

संख्या साठवण्यासाठी x 0 आणि y 0 व्हेरिएबल्स हायलाइट केलेले नाहीत, कारण प्रतिमा तयार करण्याच्या सर्व प्रकरणांमध्ये, शून्य ही संख्या म्हणून घेतली जातात.

स्यूडो-यादृच्छिक संख्या निर्मिती: get_random_value() फंक्शन

get_random_value() फंक्शन 0 ते श्रेणीतील एक छद्म-यादृच्छिक पूर्णांक तयार करते मी− 1 पूर्वी वर्णन केलेल्या योजनेनुसार. या फंक्शनचा कोड येथे आहे:

1. int get_random_value() 2. { 3. दुहेरी r = (दुहेरी) रँड() / RAND_MAX; 4. int c = 1 ; ५. तर (s[c]< r && ++c < m) 6. ; 7. परतावा c - 1 ; 8. }

स्टँडर्ड लायब्ररी फंक्शन रँड() वापरून, आम्ही 0 ते मॅक्रो RAND_MAX च्या मूल्यापर्यंतच्या श्रेणीतील एक छद्म-यादृच्छिक संख्या प्राप्त करतो, या मूल्याने परिणाम विभाजित करतो आणि भाग r (p. 3) व्हेरिएबलला नियुक्त करतो. आता आर सेगमेंटशी संबंधित संख्या संग्रहित करते. या विभागावर एकसमान वितरीत केलेल्या यादृच्छिक चलचे मूल्य अंदाजे मानले जाऊ शकते.

RAND_MAX मॅक्रोचे मूल्य, आमच्या बाबतीत (म्हणजे, 64-बिट सिस्टमसाठी MinGW64 कंपाइलर आवृत्ती 4.9.2 वापरण्याच्या बाबतीत) 32767 आहे हे स्पष्ट करू.

आता, while loop वापरून रेखीय शोध वापरून, आम्ही r च्या मूल्यापेक्षा जास्त नसलेल्या अॅरे s च्या सर्वात मोठ्या घटकाची अनुक्रमणिका शोधतो आणि c व्हेरिएबलमध्ये संग्रहित करतो (पृष्ठ 4-6 पहा. ). लक्षात घ्या की जर r चे मूल्य शून्य असेल तर, लूप एकदाच चालवला जात नाही आणि c व्हेरिएबल त्याचे एक मूल्य राखून ठेवते (पृष्ठ 4 पहा).

फंक्शनद्वारे परत केलेले मूल्य अंदाजे यादृच्छिक व्हेरिएबलचे मूल्य मानले जाऊ शकते टवर नमूद केलेल्या विभागात वर्णन केले आहे.

प्रतिमा निर्माण करणे: main() फंक्शन

आणि येथे main() फंक्शनसाठी कोड आहे:

1. इंट मुख्य() 2. { 3. प्रतिमा *img = create_image(w, h); 4. दुहेरी x = 0 , y = 0 ; ५. साठी (int i = 0; i< n; i++) 6. { 7. int r = get_random_value(); 8. दुहेरी x1 = f[r] * x + f[r] * y + f[r]; 9. दुहेरी y1 = g[r] * x + g[r] * y + g[r]; 10. x = x1; 11. y = y1; 12. set_color(img, round(x * l) + xc, गोल(y * l) + yc, काळा); 13. } 14. save_to_file(img, "out.bmp"); 15.मुक्त(img); 16. परतावा 0 ; 17. }

आम्ही दिलेल्या परिमाणांसह एक प्रतिमा तयार करतो (पृष्ठ 3). व्हेरिएबल्ससाठी मेमरी वाटप करत आहे xआणि y, ज्यामध्ये अनुक्रमांचे वर्तमान सदस्य संग्रहित केले जातील, आणि त्यांना शून्यावर प्रारंभ करा (p. 4). मी तुम्हाला संख्या म्हणून आठवण करून देतो x 0 आणि y 0 प्रत्येक अनुक्रमांच्या पहिल्या पदांच्या गणनेत सहभागी होताना, शून्य घेतले जातात.

आम्ही फॉर लूपमधील पहिल्याची गणना करतो nप्रत्येक क्रमाचे सदस्य (pp. 5-13). आम्ही प्रथम एक छद्म यादृच्छिक संख्या प्राप्त करतो आणि तो r (p. 7) मध्ये लिहितो. पुढे, आम्ही दोन्ही अनुक्रमांच्या सदस्यांच्या वर्तमान मूल्यांची गणना करतो, त्यांना तात्पुरते व्हेरिएबल्स x1 आणि y1 (पृष्ठ 8, 9) मध्ये ठेवतो. गणना करताना, आम्ही स्थिरांक वापरतो जे पुनरावृत्ती फंक्शन्समध्ये दिसतात आणि f आणि g अॅरेमध्ये संग्रहित असतात. गुणांकांच्या संचाच्या एक किंवा दुसर्‍या जोडीची निवड (आणि म्हणून पुनरावृत्ती कार्यांची जोडी) r च्या मूल्यावर अवलंबून असते, जी गणनामध्ये समाविष्ट असलेल्या अॅरे घटकांच्या प्रथम निर्देशांक म्हणून वापरली जाते.

आम्ही गणना केलेली वर्तमान मूल्ये x आणि y (पृष्ठ 10, 11) व्हेरिएबल्समध्ये पुन्हा लिहितो. या चलांमध्ये असलेल्या बिंदूचे निर्देशांक मूळ समन्वय प्रणालीच्या निर्देशांकांमध्ये रूपांतरित केले जातात, पूर्णांकांमध्ये गोलाकार केले जातात आणि परिणामी निर्देशांकांसह बिंदू काळ्या रंगात प्रतिमेवर प्लॉट केला जातो (पृ. 12).

सायकल पूर्ण झाल्यावर, व्युत्पन्न केलेली प्रतिमा “out.bmp” (p. 14) फाइलमध्ये सेव्ह करा आणि इमेजने व्यापलेली मेमरी मोकळी करा (p. 15). हे कार्य पूर्ण करते.

सिएरपिन्स्की त्रिकोणाची प्रतिमा तयार करणे

सिएरपिन्स्की त्रिकोण हा खालीलप्रमाणे काही मूळ समभुज त्रिकोणाच्या सर्व बिंदूंमधून मिळवलेल्या बिंदूंचा संच आहे. त्रिकोण तीन मध्य रेषांनी 4 त्रिकोणांमध्ये विभागलेला आहे, त्यानंतर "मध्य" त्रिकोण काढला जातो. पुढे, उर्वरित तीन समभुज त्रिकोणांपैकी प्रत्येकासह समान ऑपरेशन केले जाते. शेवटी, आपण परिणामी नऊ समभुज त्रिकोणांसह तेच करतो.

वर्णन केलेल्या ऑपरेशन्स जाहिरात अनंत पुढे चालू ठेवून, आम्ही शेवटी मूळ त्रिकोणातून अनंत संख्येने समभुज त्रिकोण काढून टाकतो, ज्याच्या क्षेत्रांची बेरीज मूळच्या क्षेत्रफळाइतकी असते. उर्वरित बिंदू एक रेषा तयार करतात ज्याला म्हणतात सिएरपिन्स्की त्रिकोण, जे सेट सिद्धांतामध्ये महत्वाची भूमिका बजावते.

सेडगविक आणि इतर लेखकांच्या पुस्तकात सिएरपिन्स्की त्रिकोणाची प्रतिमा तयार करण्यासाठी खालील पद्धत प्रस्तावित आहे. समभुज त्रिकोणाचे शिरोबिंदू असलेल्या समतल वरील 3 बिंदूंचा विचार करा, उदाहरणार्थ, कार्टेशियन आयताकृती समन्वय प्रणालीमध्ये 0, 0, 0, 1, 1/2, 3/2 निर्देशांक असलेले बिंदू. आम्ही यादृच्छिकपणे (समान संभाव्यतेसह) त्रिकोणाच्या तीन शिरोबिंदूंपैकी एक निवडतो आणि शिरोबिंदूला 0, 0 आणि यादृच्छिकपणे निवडलेल्या शिरोबिंदूला कोऑर्डिनेटसह जोडणारा भाग विभाजित करणारा बिंदू तयार करतो. हा आपल्या प्रतिमेचा पहिला मुद्दा आहे.

वरील अल्गोरिदम यादृच्छिक अनुक्रम आणि पुनरावृत्ती कार्ये वापरून, पूर्वी वर्णन केलेल्या प्रतिमा निर्मिती योजनेमध्ये ठेवता येते.

आम्हाला पुनरावृत्ती फंक्शन्सच्या 3 जोड्या लागतील. त्यांचे निर्देशांक 0, 1, 2 अनुक्रमे 1/3, 1/3, 1/3 संभाव्यतेसह निवडले पाहिजेत. पुनरावृत्ती कार्ये स्वतः खाली दिली आहेत.

F 0 x , y = 1 / 2 x , g 0 x , y = 1 / 2 y , f 1 x , y = 1 / 2 x + 1 / 2 , g 1 x , y = 1 / 2 y , f 2 x, y = 1/2 x + 1/4, g 2 x, y = 1/2 y + 3/4.

आता या संभाव्यता आणि या पुनरावृत्ती फंक्शन्सशी संबंधित ग्लोबल कॉन्स्टंट व्हेरिएबल्स आणि कॉन्स्टंट अॅरेचे आमच्या प्रोग्रामचे वर्णन टाकू. पण प्रथम, #include स्टेटमेंट नंतर खालील सूचना main.c फाईलमध्ये ठेवून TRIANGLE मॅक्रो परिभाषित करू.

# त्रिकोण परिभाषित करा

सूचनांनंतर, फाइलमध्ये खालील कोड पेस्ट करा:

//सियरपिन्स्की त्रिकोण #ifdef त्रिकोण const int n = 100000 ; // पुनरावृत्तीची संख्या const int w = 620, h = 550; // प्रतिमा परिमाणे const int xc = 10 , yc = 10 ; // जुन्या मध्ये नवीन समन्वय प्रणालीच्या सुरुवातीचे निर्देशांक const int l = 600 ; //संक्षेप प्रमाण const int m = 3 ; //पुनरावृत्ती कार्यांच्या जोड्यांची संख्या const double s = (0, 0.3333333, 0.6666667); //संभाव्यता रकमेचा अॅरे const दुहेरी f = (0.5 , 0.0 , 0.0 ) फंक्शन्स f(x,y) साठी // गुणांकांचे अॅरे, {0.5 , 0.0 , 0.5 }, //गणनेत गुंतलेले x {0.5 , 0.0 , 0.25 }}; const double g = ((०.० , ०.५ , ०.० ) // फंक्शन्स g(x,y) साठी गुणांकांचे अॅरे, {0.0 , 0.5 , 0.0 }, //गणनेत गुंतलेले y {0.0 , 0.5 , 0.4330127 }}; #endif

दिलेला कोड फ्रॅगमेंट (प्रीप्रोसेसर निर्देशांशिवाय) फक्त जर TRIANGLE मॅक्रो परिभाषित केला असेल (आणि ते परिभाषित केले असेल) तरच संकलित केले जाईल. अर्थात, आम्ही स्थिरांक एकत्र केले जे केवळ अनंत दशांश अपूर्णांक (परिमेय किंवा अपरिमेय) वापरून दर्शवले जाऊ शकतात.

प्रोग्राम संकलित आणि कार्यान्वित करण्याच्या परिणामी, एक ग्राफिक फाइल out.bmp एक्झिक्युटेबल फाइलच्या रूट निर्देशिकेत दिसते, ज्यामध्ये खालील प्रतिमा आहे:

बार्नस्ले फर्नची प्रतिमा तयार करणे

पुढील प्रतिमा, ज्याचे बांधकाम सेडगविक आणि इतरांच्या पुस्तकात वर्णन केले आहे, ती बार्नस्ले फर्नची आहे. आता आपल्याला पुनरावृत्ती फंक्शन्सच्या 4 जोड्या लागतील. त्यांचे निर्देशांक 0, 1, 2, 3 अनुक्रमे 0.01, 0.85, 0.07, 0.07 संभाव्यतेसह निवडले जातील. आणि येथे स्वतः पुनरावृत्ती कार्ये आहेत:

F 0 x , y = 0.5 , g 0 x , y = 0. 16 y , f 1 x , y = 0.85 x + 0.04 y + 0.075 , g 1 x , y = - 0 , 04 x + 0, 85 y + 0, 18, f 2 x, y = 0, 2 x - 0, 26 y + 0, 4, g 2 x, y = 0, 23 x + 0, 22 y + 0, 045, f 3 x, y = - 0.15 x + 0.28 y + 0.575, g 3 x, y = 0.26 x + 0.24 y - 0.086.

आता आम्ही प्रोग्राममध्ये बदल करतो. #define सूचना निर्देशाने बदलली आहे

#FERN परिभाषित करा

आणि #ifdef ब्लॉक नंतर आम्ही खालील कोडचा तुकडा ठेवतो:

//बार्नस्ले फर्न #ifdef FERN const int n = 100000 ; const int l = 600 ; const int m = 4 ; const double s = (0, 0.01, 0.86, 0.93); const दुहेरी f = (0.0 , 0.0 , 0.5 ) {0.85 , 0.04 , 0.075 }, {0.2 , -0.26 , 0.4 }, {-0.15 , 0.28 , 0.575 }}; const double g = ((०.० , ०.१६ , ०.० ) {-0.04 , 0.85 , 0.18 }, {0.23 , 0.22 , 0.045 }, {0.26 , 0.24 , -0.086 }}; #endif

प्रोग्राम संकलित आणि चालवण्याचा परिणाम खालील प्रतिमा आहे:

झाडाची प्रतिमा तयार करणे

आता पुस्तकात सेडगविक आणि इतर ज्याला "वृक्ष" म्हणतात ते तयार करूया, जरी दाखवले आहे ते वेगवेगळ्या आकाराच्या झाडांच्या संग्रहासारखे आहे. या वेळी, पुनरावृत्ती कार्याच्या 6 जोड्या पुनरावृत्ती प्रक्रियेत सहभागी होतील. त्यांचे निर्देशांक 0, 1, 2, 3, 4, 5 अनुक्रमे 0.1, 0.1, 0.2, 0.2, 0.2, 0.2 संभाव्यतेसह निवडले जातील. ही कार्ये आहेत:

F 0 x , y = 0.55 , g 0 x , y = 0.6 y , f 1 x , y = - 0.05 x + 0.525 , g 1 x , y = - 0.5 x + 0 , 75 , f 2 x , y = 0 , 46 x - 0 , 15 y + 0 , 27 , g 2 x , y = 0 , 39 x + 0 , 38 y + 0 , 105 , f 3 x , y = 0 , 47 x - 0 , 15 y + 0 , 265 , g 3 x , y = 0 , 17 x + 0 , 42 y + 0 , 465 , f 4 x , y = 0 , 43 x + 0 , 26 y + 0 , 29 , g 4 x , y = - 0 , 25 x + 0 , 45 y + 0 , 625 , f 5 x , y = 0 , 42 x + 0 , 26 y + 0 , 29 , g 5 x , y = - 0.35 x + 0.31 y + 0.525.

#झाड परिभाषित करा

शेवटच्या #ifdef ब्लॉक नंतर आम्ही खालील कोड समाविष्ट करतो:

//झाड #ifdef झाड const int n = 100000 ; const int w = 620 , h = 620 ; const int xc = 0 , yc = 10 ; const int l = 600 ; const int m = 6 ; const double s = (0, 0.1, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8); const दुहेरी f = ((०.० , ०.० , ०.५५ ) {-0.05 , 0.0 , 0.525 }, {0.46 , -0.15 , 0.27 }, {0.47 , -0.15 , 0.265 }, {0.43 , 0.26 , 0.29 }, {0.42 , 0.26 , 0.29 }}; const double g = ((०.० , ०.६ , ०.० ) {-0.5 , 0.0 , 0.75 }, {0.39 , 0.38 , 0.105 }, {0.17 , 0.42 , 0.465 }, {-0.25 , 0.45 , 0.625 }, {-0.35 , 0.31 , 0.525 }}; #endif

संकलित प्रोग्रामचे आउटपुट खालील चित्र आहे:

सेडगविकच्या पुस्तकाद्वारे निर्देशित केलेली शेवटची प्रतिमा कोरलची प्रतिमा आहे. आम्हाला पुनरावृत्ती फंक्शन्सच्या 3 जोड्या लागतील. त्यांचे निर्देशांक 0, 1, 2 अनुक्रमे 0.4, 0.15, 0.45 च्या संभाव्यतेसह निवडले जातील. पुनरावृत्ती कार्ये खाली दिली आहेत.

F 0 x , y = 0 , 3077 x - 0 , 5315 y + 0 , 8863 , g 0 x , y = - 0 , 4615 x - 0 , 2937 y + 1 , 0962 , f 1 x , y = 370 x - 0, 0769 y + 0, 2166, g 1 x, y = 0, 1538 x - 0, 4476 y + 0, 3384, f 2 x, y = 0, 5455 y + 0, 0106, g 2 x, y = 0.6923 x - 0.1958 y + 0.3808.

#define सूचना निर्देशाने बदला

# कोरल परिभाषित करा

शेवटच्या #ifdef ब्लॉक नंतर आम्ही एक नवीन ब्लॉक समाविष्ट करतो:

// कोरल #ifdef कोरल const int n = 100000 ; const int w = 620 , h = 620 ; const int xc = 10 , yc = 10 ; const int l = 600 ; const int m = 3 ; const double s = (0, 0.4, 0.55); const double f = ((0.3077 , -0.5315 , 0.8863 ) {0.3077 , -0.0769 , 0.2166 }, {0.0 , 0.5455 , 0.0106 }}; const double g = (-0.4615 , -0.2937 , 1.0962 ) {0.1538 , -0.4476 , 0.3384 }, {0.6923 , -0.1958 , 0.3808 }}; #endif

प्रोग्राम संकलित आणि कार्यान्वित केल्यामुळे आम्हाला मिळालेली ही प्रतिमा आहे:

निष्कर्ष

मला तुमच्याबद्दल माहिती नाही, पण गणितीय सूत्रांचे संच अतिशय मजेदार प्रतिमांमध्ये कसे बदलतात हे पाहणे माझ्यासाठी मनोरंजक होते. मला हे देखील आश्चर्यचकित करते की ज्यांनी हे सर्व केले ते पुनरावृत्ती फंक्शन्समध्ये समाविष्ट असलेल्या संभाव्यता आणि स्थिरांक अशा प्रकारे निवडू शकले की अशी आश्चर्यकारक चित्रे मिळवता येतील! या सर्व अंकांची निवड करण्याची पद्धत (सिएरपिन्स्की त्रिकोणाचा अपवाद वगळता) माझ्यासाठी पूर्णपणे अनाकलनीय आहे!

मी लक्षात घेतो की, प्रतिमांच्या आधारे, सिएरपिन्स्की त्रिकोण आणि बार्नस्ले फर्न हे भग्न आहेत. बहुधा, "झाड" आणि "कोरल" बद्दल असेच म्हटले जाऊ शकते, परंतु त्यांचे भग्न स्वरूप कदाचित थोडे कमी स्पष्ट आहे.

खालील लिंकवरून, नेहमीप्रमाणे, आपण लेखात चर्चा केलेल्या प्रोग्रामचा स्त्रोत कोड डाउनलोड करू शकता. main.c मध्ये चार #define विधाने आहेत, प्रत्येक चार प्रतिमांपैकी एकाशी संबंधित आहेत. त्यापैकी तिघांवर भाष्य केले आहे. स्पष्टपणे, एका प्रतिमेवरून दुस-या प्रतिमेवर जाण्यासाठी टिप्पणी न केलेल्या विधानावर टिप्पणी करणे आणि टिप्पणी केलेल्यांपैकी एकावर टिप्पणी करणे आवश्यक आहे. बरं, तुला समजलं...

आणि एका साध्या अल्गोरिदमच्या मदतीने, आपण लेखात चर्चा केलेल्या प्रतिमा एकमेकांमध्ये सहजतेने "रूपांतरित" होतील याची खात्री करू शकता. पण हा स्वतंत्र लेखाचा विषय आहे.

बांधकाम कार्यांमध्ये आम्ही भौमितिक आकृतीच्या बांधकामाचा विचार करू, जे शासक आणि कंपास वापरून केले जाऊ शकते.

शासक वापरुन आपण हे करू शकता:

    अनियंत्रित सरळ रेषा;

    दिलेल्या बिंदूतून जाणारी अनियंत्रित सरळ रेषा;

    दोन दिलेल्या बिंदूंमधून जाणारी सरळ रेषा.

होकायंत्र वापरून, तुम्ही दिलेल्या केंद्रातून दिलेल्या त्रिज्येच्या वर्तुळाचे वर्णन करू शकता.

होकायंत्र वापरून तुम्ही दिलेल्या बिंदूपासून दिलेल्या रेषेवर एक खंड प्लॉट करू शकता.

चला मुख्य बांधकाम कार्ये विचारात घेऊ या.

कार्य १.दिलेल्या बाजू a, b, c सह त्रिकोण तयार करा (चित्र 1).

उपाय. शासक वापरून, एक अनियंत्रित सरळ रेषा काढा आणि त्यावर एक अनियंत्रित बिंदू B घ्या. a च्या बरोबरीचे होकायंत्र उघडणे वापरून, आम्ही केंद्र B आणि त्रिज्या a असलेल्या वर्तुळाचे वर्णन करतो. C ला त्याच्या रेषेसह छेदनबिंदूचा बिंदू समजा. c च्या बरोबरीच्या होकायंत्राच्या ओपनिंगसह, आम्ही केंद्र B पासून एका वर्तुळाचे वर्णन करतो आणि b च्या बरोबरीचे होकायंत्र उघडून, आम्ही C मध्यभागी असलेल्या वर्तुळाचे वर्णन करतो. A ला या वर्तुळांचा छेदनबिंदू मानूया. त्रिकोण ABC ला a, b, c च्या समान बाजू आहेत.

टिप्पणी. त्रिकोणाच्या बाजू म्हणून तीन सरळ विभागांसाठी, त्यापैकी सर्वात मोठा भाग इतर दोनच्या बेरीजपेक्षा कमी असणे आवश्यक आहे (आणि< b + с).

कार्य २.

उपाय. शिरोबिंदू A आणि किरण OM सह हा कोन आकृती 2 मध्ये दर्शविला आहे.

दिलेल्या कोनाच्या A वर मध्यभागी असलेले अनियंत्रित वर्तुळ काढू. B आणि C हे कोनाच्या बाजूंनी वर्तुळाच्या छेदनबिंदूचे बिंदू असू द्या (चित्र 3, a). त्रिज्या AB सह आपण O बिंदूवर केंद्रासह वर्तुळ काढतो - या किरणाचा प्रारंभ बिंदू (चित्र 3, b). या किरणाने या वर्तुळाच्या छेदनबिंदूचा बिंदू C 1 म्हणून दर्शवू. केंद्र C 1 आणि त्रिज्या BC असलेल्या वर्तुळाचे वर्णन करू. दोन वर्तुळांच्या छेदनबिंदूचा बिंदू B 1 इच्छित कोनाच्या बाजूला आहे. हे समानता Δ ABC = Δ OB 1 C 1 (त्रिकोणांच्या समानतेचे तिसरे चिन्ह) वरून येते.

कार्य 3.या कोनाचे दुभाजक तयार करा (चित्र 4).

उपाय. दिलेल्या कोनाच्या शिरोबिंदू A वरून, केंद्राप्रमाणे, आपण अनियंत्रित त्रिज्याचे वर्तुळ काढतो. B आणि C हे कोनाच्या बाजूंसह त्याच्या छेदनबिंदूचे बिंदू समजा. B आणि C बिंदूंवरून आपण समान त्रिज्या असलेल्या वर्तुळांचे वर्णन करतो. D हा त्यांचा छेदनबिंदू असू द्या, A पेक्षा वेगळा आहे. रे AD कोन A पेक्षा वेगळे करतो. हे समानता Δ ABD = Δ ACD (त्रिकोणांच्या समानतेचा तिसरा निकष) पासून पुढे येतो.

कार्य 4.या विभागासाठी लंबदुभाजक काढा (चित्र 5).

उपाय. अनियंत्रित परंतु एकसारखे कंपास ओपनिंग (1/2 AB पेक्षा मोठे) वापरून, आम्ही बिंदू A आणि B वर केंद्र असलेल्या दोन आर्क्सचे वर्णन करतो, जे एकमेकांना काही बिंदू C आणि D वर छेदतील. सरळ रेषेची CD इच्छित लंब असेल. खरंच, बांधकामावरून पाहिल्याप्रमाणे, C आणि D पैकी प्रत्येक बिंदू A आणि B पासून समान अंतरावर आहे; म्हणून, हे बिंदू AB खंडाच्या लंबदुभाजकावर असले पाहिजेत.

कार्य 5.हा भाग अर्ध्यामध्ये विभाजित करा. हे समस्या 4 प्रमाणेच सोडवले जाते (चित्र 5 पहा).

कार्य 6.दिलेल्या बिंदूद्वारे दिलेल्या रेषेला लंब असलेली रेषा काढा.

उपाय. दोन संभाव्य प्रकरणे आहेत:

1) दिलेला बिंदू O दिलेल्या सरळ रेषेवर आहे (चित्र 6).

O बिंदू वरून आपण अनियंत्रित त्रिज्याचे वर्तुळ A आणि B बिंदूंना छेदतो. A आणि B बिंदूंवरून आपण समान त्रिज्या असलेली वर्तुळे काढतो. O 1 हा त्यांच्या छेदनबिंदूचा बिंदू असू द्या, O पेक्षा वेगळा. आम्हाला OO 1 ⊥ AB मिळतो. खरं तर, बिंदू O आणि O 1 हे AB खंडाच्या टोकापासून समान अंतरावर आहेत आणि म्हणून, या खंडाच्या लंबदुभाजकावर आहेत.

ग्रीक भूमापकांनी त्यांच्या तार्किक शुद्धतेचा अभिमान बाळगला; तथापि, जेव्हा भौतिक जागेचा प्रश्न येतो तेव्हा त्यांना अंतर्ज्ञानाने मार्गदर्शन केले होते. ग्रीक भूमितीचा एक पैलू जो विशेषतः भौतिक विचारांनी प्रभावित झाला होता तो म्हणजे बांधकामांचा सिद्धांत. सरळ रेषा आणि वर्तुळांच्या प्राथमिक भूमितीचा बहुतेक भाग शासक आणि कंपास वापरून बांधकामांचा सिद्धांत मानला जाऊ शकतो. ऑब्जेक्टचे नाव, रेषा आणि वर्तुळे, ते काढण्यासाठी वापरल्या जाणार्‍या साधनांचे प्रतिबिंबित करतात. आणि भूमितीच्या अनेक प्राथमिक समस्या, उदाहरणार्थ, रेषाखंड किंवा कोन अर्ध्यामध्ये विभाजित करणे,

लंब बांधणे किंवा तीन दिलेल्या बिंदूंमधून वर्तुळ काढणे हे शासक आणि कंपास वापरून बांधकामाद्वारे सोडवले जाऊ शकते.

जेव्हा निर्देशांक सादर केले जातात तेव्हा हे दर्शविणे कठीण नाही की बिंदूंपासून तयार केले जाऊ शकणारे बिंदू ऑपरेशन्सद्वारे निर्देशांकांपासून तयार केलेल्या संख्यांच्या संचामध्ये समन्वय आहेत आणि [पहा Muaz (1963) किंवा कलम 6.3 साठी व्यायाम]. चौरस मुळे, अर्थातच, पायथागोरियन प्रमेयामुळे दिसतात: जर बिंदू प्लॉट केले असतील, तर त्यांच्यामधील अंतर प्लॉट केले जाईल (विभाग 1.6 आणि आकृती 2.4). याउलट, कोणत्याही दिलेल्या लांबी I (व्यायाम 2.3.2) साठी बांधणे शक्य आहे.

आकृती 2.4: अंतर बांधणे

आपण या दृष्टिकोनातून पाहिल्यास, सरळ धार आणि होकायंत्र वापरून केलेली बांधकामे खूप खास दिसतात आणि अशी संख्या देण्याची शक्यता नाही, उदाहरणार्थ, तथापि, ग्रीक लोकांनी या विशिष्ट समस्येचे निराकरण करण्यासाठी खूप प्रयत्न केले, ज्याला दुप्पट म्हणून ओळखले जात असे. घन (तथाकथित कारण एका घनाचे आकारमान दुप्पट करण्यासाठी, बाजूने गुणाकार करावा लागतो इतर कुप्रसिद्ध समस्या म्हणजे कोनाचे त्रिविभाजन आणि वर्तुळाचे वर्गीकरण. नंतरच्या समस्येमध्ये क्षेत्रफळाचा चौरस बांधणे समाविष्ट होते. दिलेल्या वर्तुळात, किंवा समान संख्या तयार करणे. त्यांनी ही उद्दिष्टे उघडपणे सोडली नाहीत, जरी त्यांनी नकारात्मक समाधानाची शक्यता ओळखली आणि कमी प्राथमिक माध्यमांद्वारे उपायांना परवानगी दिली. आम्ही त्यापैकी काही पुढीलमध्ये पाहू. विभाग

शासक आणि कंपास वापरून या समस्यांचे निराकरण करण्याची अशक्यता एकोणिसाव्या शतकापर्यंत अप्रमाणित राहिली. घनाच्या दुप्पट आणि कोनाच्या त्रिविभाजनासाठी, वांटझेल (1837) द्वारे अशक्यता दर्शविली गेली. या समस्या सोडवण्याचे श्रेय, ज्यासाठी सर्वोत्तम गणितज्ञांनी 2,000 वर्षे संघर्ष केला, ते क्वचितच वाँटझेलला दिले जाते, कदाचित त्याच्या पद्धती अधिक शक्तिशाली गॅलॉईस सिद्धांताने मागे घेतल्यामुळे.

वर्तुळाचे वर्गीकरण करण्याची अशक्यता लिंडेमन (1882) यांनी अत्यंत कठोरपणे सिद्ध केली होती, केवळ अनिश्चितपणे तर्कसंगत क्रिया आणि वर्गमूळांनीच नव्हे; ते ट्रान्सेंडेंटल देखील आहे, म्हणजेच ते परिमेय गुणांक असलेल्या कोणत्याही बहुपदी समीकरणाचे मूळ नाही. वाँटझेलच्या कार्याप्रमाणेच, एका अल्पवयीन गणितज्ञाने सिद्ध केलेल्या महत्त्वपूर्ण निकालाचे हे एक दुर्मिळ उदाहरण होते. लिंडेमनच्या बाबतीत, स्पष्टीकरण असू शकते

त्यामध्ये हर्मिट (1873) ने अतिक्रमण सिद्ध केल्यावर एक महत्त्वपूर्ण पाऊल आधीच उचलले गेले होते. या दोन्ही परिणामांचे उपलब्ध पुरावे क्लेन (1924) मध्ये आढळू शकतात. लिंडेमनची त्यानंतरची कारकीर्द गणितीयदृष्ट्या अविस्मरणीय, अगदी लाजिरवाणी होती. त्याचे यश हे फ्लूक आहे असे मानणाऱ्या संशयींना उत्तर देताना, त्याने गणितातील सर्वात प्रसिद्ध न सुटलेल्या समस्येकडे लक्ष वेधले, फर्मॅटचे शेवटचे प्रमेय (या समस्येच्या उत्पत्तीसाठी अध्याय 11 पहा). अनिर्णायक पेपर्सच्या मालिकेत त्याचे प्रयत्न अयशस्वी झाले, प्रत्येकाने मागील एक त्रुटी सुधारली. Fritsch (1984) यांनी लिंडेमनबद्दल एक मनोरंजक चरित्रात्मक लेख लिहिला.

या परिच्छेदातील सामग्री निवडक वर्गांमध्ये वापरली जाऊ शकते. हे व्याख्यानाच्या स्वरूपात आणि विद्यार्थ्यांच्या अहवालांच्या स्वरूपात विद्यार्थ्यांना सादर केले जाऊ शकते.

प्राचीन काळापासून "प्राचीन काळातील प्रसिद्ध समस्या" म्हणून ओळखल्या जाणार्‍या समस्यांकडे अनेक शतकांपासून लक्ष वेधले गेले आहे. तीन प्रसिद्ध समस्या सहसा या नावाखाली दिसू लागल्या:

1) वर्तुळाचे वर्गीकरण करणे,

2) कोनाचे त्रिविच्छेदन,

3) घन दुप्पट करणे.

ही सर्व कार्ये प्राचीन काळात लोकांच्या व्यावहारिक गरजांमधून उद्भवली. त्यांच्या अस्तित्वाच्या पहिल्या टप्प्यावर, त्यांनी संगणकीय समस्या म्हणून काम केले: काही "पाककृती" वापरून, इच्छित परिमाणांची अंदाजे मूल्ये (वर्तुळाचे क्षेत्र, घेर इ.) मोजली गेली. या समस्यांच्या इतिहासाच्या दुसऱ्या टप्प्यावर, त्यांच्या स्वभावात लक्षणीय बदल घडतात: ते भौमितिक (रचनात्मक) समस्या बनतात.

प्राचीन ग्रीसमध्ये या काळात त्यांना शास्त्रीय सूत्रे देण्यात आली होती:

1) दिलेल्या वर्तुळाच्या समान आकाराचा चौरस तयार करा;

2) हा कोन तीन समान भागांमध्ये विभाजित करा;

3) नवीन घनाची एक धार तयार करा, ज्याचा आकार दिलेल्या घनाच्या दुप्पट असेल.

ही सर्व भौमितिक बांधकामे कंपास आणि शासक वापरून करण्याचे प्रस्तावित होते.

या समस्यांच्या सूत्रीकरणातील साधेपणा आणि त्या सोडवण्याच्या मार्गावर आलेल्या “दुर्गम अडचणी” यांनी त्यांची लोकप्रियता वाढण्यास हातभार लावला. या समस्यांवर कठोर उपाय उपलब्ध करून देण्याच्या प्रयत्नात, प्राचीन ग्रीक शास्त्रज्ञांनी गणितासाठी अनेक महत्त्वाचे परिणाम मिळवले, ज्याने भिन्न गणितीय ज्ञानाचे स्वतंत्र व्युत्पन्न विज्ञानात रूपांतर करण्यास हातभार लावला (पायथागोरियन, चिओसचे हिप्पोक्रेट्स आणि आर्किमिडीज बाकी. त्या वेळी विशेषतः लक्षणीय चिन्ह).

घन दुप्पट करण्याची समस्या.

घन दुप्पट करण्याची समस्या खालीलप्रमाणे आहे: दिलेल्या घनाची धार जाणून घेऊन, घनाची एक धार तयार करा ज्याचे आकारमान दिलेल्या घनाच्या आकारमानाच्या दुप्पट असेल.

a ही दिलेल्या घनाच्या काठाची लांबी असू द्या, x ही इच्छित घनाच्या काठाची लांबी असू द्या. दिलेल्या क्यूबचे व्हॉल्यूम असू द्या, आणि इच्छित क्यूबचे व्हॉल्यूम असू द्या, मग, घनाच्या व्हॉल्यूमची गणना करण्याच्या सूत्रानुसार, आपल्याकडे ते आहे: =, आणि कारण, समस्येच्या परिस्थितीनुसार, आम्ही समीकरणावर पोहोचा.

बीजगणितावरून हे ज्ञात आहे की पूर्णांक गुणांकांसह दिलेल्या समीकरणाची परिमेय मुळे केवळ पूर्णांक असू शकतात आणि समीकरणाच्या मुक्त पदाच्या विभाजकांमध्ये समाविष्ट असू शकतात. परंतु संख्या 2 चे फक्त विभाजक +1, - 1, +2, - 2 या संख्या आहेत आणि त्यापैकी कोणतेही मूळ समीकरण पूर्ण करत नाही. म्हणून, समीकरणाला तर्कसंगत मुळे नाहीत, याचा अर्थ असा की घन दुप्पट करण्याची समस्या होकायंत्र आणि शासक वापरून सोडवता येत नाही.

कंपास आणि शासक वापरून घन दुप्पट करण्याची समस्या केवळ अंदाजे सोडविली जाऊ शकते. या समस्येचे अंदाजे निराकरण करण्याचा एक सोपा मार्ग येथे आहे.

AB=BC=a आणि ABC समजा. आम्ही AD=AC, नंतर CD 1% च्या अचूकतेसह तयार करतो. खरंच, CD 1.2586…. त्याच वेळी = 1.2599….

वर्तुळाचे वर्गीकरण करण्याची समस्या.

होकायंत्र आणि शासक वापरून समस्येच्या निराकरण न होण्याचे औचित्य.

वर्तुळाचे वर्गीकरण करण्याची समस्या खालीलप्रमाणे आहे: वर्तुळाच्या समान आकाराचा चौरस तयार करा.

दिलेल्या वर्तुळाची त्रिज्या असू द्या आणि इच्छित चौकोनाच्या बाजूची लांबी असू द्या. मग, येथून.

परिणामी, जर आपण लांबीचा एक भाग तयार केला तर वर्तुळाचे वर्गीकरण करण्याची समस्या सोडवली जाईल. दिलेल्या वर्तुळाची त्रिज्या एकक खंड (=1) म्हणून घेतल्यास, एकक खंडापासून लांबीचा एक खंड तयार करण्यासाठी बाब कमी होईल.

ज्ञात आहे की, एकक विभाग जाणून घेतल्यास, आपण कंपास आणि शासक वापरून फक्त तेच खंड तयार करू शकतो ज्यांची लांबी परिमेय संख्यांनुसार परिमेय क्रियांचा मर्यादित संच वापरून व्यक्त केली जाते आणि वर्गमूळ काढतात आणि म्हणूनच, बीजगणितीय संख्या आहेत. या प्रकरणात, सर्व बीजगणित संख्या वापरल्या जाणार नाहीत. उदाहरणार्थ, तुम्ही लांबीचा एक भाग तयार करू शकत नाही, इ.

1882 मध्ये, लिंडेमनने हे सिद्ध केले की ते अतींद्रिय आहे. हे खालीलप्रमाणे आहे की होकायंत्र आणि शासक यांच्या सहाय्याने लांबीचा एक खंड तयार करणे अशक्य आहे आणि म्हणूनच, या माध्यमांसह वर्तुळाचे वर्गीकरण करण्याची समस्या सोडवता येणार नाही.

होकायंत्र आणि शासक वापरून समस्येचे अंदाजे निराकरण.

लांबीच्या भागांच्या अंदाजे बांधकामाच्या तंत्रांपैकी एकाचा विचार करूया. हे तंत्र खालीलप्रमाणे आहे. O बिंदूवर केंद्र असलेल्या AB चा एक चतुर्थांश वर्तुळ आणि त्रिज्या बिंदू C ने अर्ध्या भागात विभागली आहे. व्यास CD चालू ठेवल्यावर, आम्ही त्रिज्येच्या बरोबरीचा DE खंड ठेवतो. बिंदू E पासून आपण EA आणि EB किरण काढतो जोपर्यंत ते स्पर्शिकेला C बिंदूला छेदत नाहीत. कट सेगमेंट AB अंदाजे चाप AB च्या लांबीएवढे आहे आणि दुप्पट विभाग अर्धवर्तुळाच्या समान आहे.

या अंदाजे संबंधित त्रुटी 0.227% पेक्षा जास्त नाही.

कोन ट्रायसेक्शन समस्या.

होकायंत्र आणि शासक वापरून समस्येच्या निराकरण न होण्याचे औचित्य.

कोन ट्रायसेक्शन समस्या खालीलप्रमाणे आहे: या कोनाचे तीन समान भाग करा.

90 पेक्षा जास्त नसलेल्या कोनांसाठी समस्या सोडवण्यापुरते स्वतःला मर्यादित करू या. जर एक अस्पष्ट कोन असेल, तर =180-, कुठे<90, так что, и поэтому задача о трисекции тупого угла сводится к задаче о трисекции острого угла.

लक्षात घ्या की (एकक खंडाच्या उपस्थितीत) कोन बांधण्याची समस्या (90) x=cos खंड तयार करण्याच्या समस्येच्या समतुल्य आहे. खरेतर, जर कोन तयार केला असेल, तर x = cos खंडाचे बांधकाम कर्ण आणि तीव्र कोन वापरून काटकोन त्रिकोणाच्या बांधकामापर्यंत कमी केले जाते.

मागे. जर x हा खंड तयार केला असेल, तर कर्ण आणि पाय वापरून काटकोन त्रिकोणाच्या बांधकामात x = cos अशा कोनाचे बांधकाम कमी केले जाते.

दिलेला कोन असू द्या आणि इच्छित कोन असू द्या, म्हणून =. नंतर cos=cos 3. हे ज्ञात आहे की cos 3= 4cos-3cos. म्हणून, cos = आणि cos = गृहीत धरून, आपण समीकरणावर पोहोचतो:

cos = 4cos-3cos,

या समीकरणात किमान एक परिमेय मूळ असेल तरच एक खंड आणि म्हणून कोन तयार केला जाऊ शकतो. परंतु हे प्रत्येकासाठी घडत नाही, आणि म्हणूनच कोनाच्या त्रिविभाजनाची समस्या, सामान्यत: होकायंत्र आणि शासक वापरून सोडवता येत नाही. उदाहरणार्थ. =60 साठी आपल्याला =1 मिळेल आणि सापडलेले समीकरण असे फॉर्म घेते: . या समीकरणाला कोणतेही तर्कसंगत मूळ नाही हे सत्यापित करणे सोपे आहे, याचा अर्थ असा की होकायंत्र आणि शासक वापरून 60 चा कोन तीन समान भागांमध्ये विभागणे अशक्य आहे. अशाप्रकारे, कोनाच्या त्रिविभाजनाची समस्या सामान्य स्वरूपात कंपास आणि शासकाने सोडविली जाऊ शकत नाही.

होकायंत्र आणि शासक वापरून समस्येचे अंदाजे निराकरण.

अल्बर्ट ड्युरर (1471-1528) यांनी प्रस्तावित कंपास आणि शासक वापरून समस्येचे अंदाजे निराकरण करण्याच्या पद्धतींपैकी एकाचा विचार करूया.

कोन ASB द्या. शिरोबिंदू S वरून आपण अनियंत्रित त्रिज्या असलेल्या वर्तुळाचे वर्णन करतो आणि कोनाच्या बाजूंच्या छेदनबिंदूंना वर्तुळाच्या जीवा AB द्वारे जोडतो. ही जीवा आपण R आणि R (A R = R R = RB) बिंदूंवर तीन समान भागांमध्ये विभागतो. बिंदू A आणि B पासून, केंद्रांप्रमाणे, त्रिज्या A R = RB सह आपण वर्तुळाला T आणि T बिंदूंवर छेदणाऱ्या आर्क्सचे वर्णन करतो. चला RSAB चालवू. त्रिज्या A S= BS सह आपण AB ला U आणि U बिंदूंवर छेदणारे आर्क्स काढतो. आर्क्स AT, SS आणि TB एकमेकांना समान आहेत, कारण ते समान जीवा द्वारे जोडलेले आहेत.

कोन X आणि X चे त्रिविभाजन बिंदू शोधण्यासाठी, Dürer RU आणि RU या खंडांना PV आणि PV या बिंदूंनी तीन समान भागांमध्ये विभाजित करतो. मग आपण त्रिज्या AV आणि BV सह आर्क्स काढतो जे वर्तुळाला X आणि X बिंदूंवर छेदतात. या बिंदूंना S सह जोडून, ​​आपल्याला खऱ्या मूल्यांच्या चांगल्या अंदाजे तीन समान भागांमध्ये या कोनाचे विभाजन मिळते.

भौमितिक बांधकाम समस्या

कंपास आणि शासक वापरणे

आठव्या वर्गातील विद्यार्थी

पर्यवेक्षक:मोस्काएवा व्ही.एन.,

गणिताचे शिक्षक

निझनी नोव्हगोरोड

परिचय

व्हिज्युअलायझेशन आणि कल्पनाशक्ती ही कलेशी संबंधित आहे, कठोर तर्कशास्त्र हा विज्ञानाचा विशेषाधिकार आहे. तंतोतंत निष्कर्षाचा कोरडेपणा आणि व्हिज्युअल चित्राची ज्वलंतता - "बर्फ आणि आग एकमेकांपासून भिन्न नाहीत." भूमिती या दोन विरुद्ध गोष्टी एकत्र करते.

ए.डी. अलेक्झांड्रोव्ह

शाळेसाठी तयार होताना, आम्ही आमच्या ब्रीफकेसमध्ये कंपास, रुलर आणि प्रोट्रॅक्टर ठेवण्यास विसरत नाही. ही साधने तुम्हाला तुमची रेखाचित्रे अचूकपणे पूर्ण करण्यात आणि सुंदर रेखाटण्यात मदत करतात. ही साधने अभियंते, वास्तुविशारद, कामगार, कपडे आणि फुटवेअर डिझायनर, बांधकाम व्यावसायिक आणि लँडस्केप डिझाइनर वापरतात. संगणक असले तरी, तुम्ही ते अद्याप बांधकामाच्या ठिकाणी किंवा बागेत वापरू शकत नाही.

मशीन काही सेकंदात लगेच काढते. मशिनला समजेल अशा भाषेत मशीनला काय करावे लागेल हे समजावून सांगण्यासाठी गणितज्ञांना बराच वेळ घालवावा लागतो - एक प्रोग्राम लिहा आणि तो मशीनमध्ये प्रविष्ट करा, म्हणून डिझाइनर बहुतेक वेळा सर्वात सोप्या आणि सर्वात प्राचीन सह कार्य करण्यास प्राधान्य देतात. साधने - होकायंत्र आणि शासक.

काय सोपे असू शकते? सरळ धार असलेला एक गुळगुळीत बोर्ड - एक शासक, एका टोकाला दोन टोकदार काठ्या बांधलेल्या - एक होकायंत्र. शासक वापरून, दिलेल्या दोन बिंदूंमधून सरळ रेषा काढा. होकायंत्र वापरून, दिलेल्या मध्यभागी आणि दिलेल्या त्रिज्यासह वर्तुळे काढा, दिलेल्या एकाच्या बरोबरीचा विभाग बाजूला ठेवा.

कंपास आणि शासक 3 हजार वर्षांहून अधिक काळ ओळखले जातात; 200-300 वर्षांपूर्वी ते दागिने आणि नमुन्यांनी सजवले गेले होते. पण असे असूनही ते आजही आमची नियमित सेवा करतात. मोठ्या संख्येने बांधकामांसाठी सर्वात सोपी साधने पुरेसे आहेत. प्राचीन ग्रीक लोकांना असे वाटले की या साधनांसह कोणतेही वाजवी बांधकाम करणे शक्य आहे, जोपर्यंत त्यांना पुरातन काळातील तीन महत्त्वपूर्ण समस्या सापडत नाहीत: “वर्तुळाचे वर्गीकरण”, “कोनाचे त्रिखंड”, “घन दुप्पट”.

म्हणून, मी माझ्या कामाचा विषय आधुनिक आणि मानवी क्रियाकलापांच्या अनेक क्षेत्रांमध्ये मानवी क्रियाकलापांसाठी महत्त्वपूर्ण मानतो.

प्रत्येकाला चांगले माहित आहे की गणिताचा उपयोग विविध व्यवसाय आणि जीवन परिस्थितींमध्ये केला जातो. गणित हा अवघड विषय आहे. आणि बहुतेक विद्यार्थी भूमितीला “कठीण” म्हणतात. बांधकाम समस्या पारंपारिक भूमिती समस्यांपेक्षा भिन्न आहेत.

बांधकाम समस्यांचे निराकरण केल्याने गणना समस्या सोडवण्यापेक्षा भौमितिक विचार अधिक पूर्ण आणि तीव्रतेने विकसित होतो आणि कामाची आवड निर्माण होऊ शकते, ज्यामुळे कुतूहल वाढते आणि भूमितीचा अभ्यास विस्तृत आणि गहन करण्याची इच्छा निर्माण होते.

समृद्ध ऐतिहासिक भूतकाळ असूनही, 21 व्या शतकात बांधकाम समस्यांचे निराकरण करण्याची समस्या संबंधित आहे. आजकाल, भौमितिक वस्तू रेखाटण्यासाठी ग्राफिक संपादकांच्या वापरासह संगणक तंत्रज्ञान वेगाने विकसित होत आहे. नवीन संगणक तंत्रज्ञानाच्या आगमनामुळे भौमितिक वस्तू तयार करण्याचे साधन बदलले आहे. तथापि, प्राचीन काळाप्रमाणे, भूमितीय वस्तूंच्या बांधकामातील मुख्य घटक वर्तुळ आणि सरळ रेषा, दुसऱ्या शब्दांत, होकायंत्र आणि शासक राहतात. नवीन संगणक तंत्रज्ञानाच्या आगमनाने, समान वस्तूंचा वापर करून बांधकामाच्या नवीन समस्या उद्भवल्या आहेत - एक सरळ रेषा आणि वर्तुळ. त्यामुळेच बांधकामाच्या समस्या सोडविण्याचा प्रश्न अधिक निकडीचा बनतो.

भूमिती प्रोग्राममध्ये फक्त सर्वात सोपी तंत्रे आणि बांधकाम पद्धतींचा अभ्यास करणे समाविष्ट आहे. परंतु ही तंत्रे लागू करताना अनेकदा अडचणी येतात. म्हणून, माझ्या संशोधनाचा उद्देश म्हणजे होकायंत्र आणि शासक वापरून तयार केलेली भौमितिक आकृती.

माझ्या कामाचा उद्देश:होकायंत्र आणि शासक वापरून भौमितिक आकार तयार करण्याचे विविध मार्ग विचारात घ्या.

संशोधन पद्धती:

ü विद्यमान बांधकाम पद्धतींचे विश्लेषण

ü वापरण्यास सोप्या असलेल्या नवीन पद्धती शोधा (HMT आणि Steiner बांधकाम)

कार्ये:

ü विविध बांधकाम पद्धतींची अधिक संपूर्ण माहिती मिळवा

ü गणिताच्या इतिहासात भूमितीच्या या तुकड्याच्या विकासाचे अनुसरण करा

ü संशोधन कौशल्ये विकसित करणे सुरू ठेवा.

होकायंत्र आणि शासक सह भौमितिक बांधकाम इतिहास पासून.

भौमितिक बांधकामांसाठी साधनांची पारंपारिक मर्यादा प्राचीन काळापासून आहे. त्याच्या “एलिमेंट्स” या पुस्तकात युक्लिड (3रे शतक बीसी) कंपास आणि शासक यांच्या सहाय्याने केलेल्या भौमितिक बांधकामांचे काटेकोरपणे पालन करतो, जरी त्याने कोठेही साधनांच्या नावांचा उल्लेख केलेला नाही. मर्यादा, वरवर पाहता, या साधनांनी दोरीची जागा घेतली या वस्तुस्थितीमुळे होती, जी मूळत: सरळ रेषा काढण्यासाठी आणि वर्तुळांचे वर्णन करण्यासाठी दोन्ही काम करते. परंतु अनेक इतिहासकार-गणितज्ञ युक्लिडच्या साहित्याच्या निवडीचे स्पष्टीकरण देतात की त्यांनी प्लेटो आणि पायथागोरियन्सचे अनुसरण करून केवळ सरळ रेषा आणि वर्तुळ यांना "परिपूर्ण" रेषा मानले.

प्राचीन ग्रीसमध्ये भौमितिक आकृत्या बांधण्याची कला अत्यंत विकसित झाली होती. 3000 वर्षांपूर्वी प्राचीन ग्रीक गणितज्ञांनी त्यांचे बांधकाम दोन उपकरणे वापरून केले: सरळ काठ असलेला एक गुळगुळीत बोर्ड - एक शासक आणि दोन टोकदार काठ्या एका टोकाला जोडलेल्या - एक होकायंत्र. तथापि, ही साधी साधने विविध बांधकामांची प्रचंड विविधता करण्यासाठी पुरेशी ठरली. प्राचीन ग्रीक लोकांना असे वाटले की या साधनांनी कोणतेही वाजवी बांधकाम पूर्ण केले जाऊ शकते, जोपर्यंत त्यांना नंतरच्या तीन प्रसिद्ध समस्यांचा सामना करावा लागत नाही.

ते बर्याच काळापासून कंपास आणि शासक वापरून कोणत्याही रेक्टलाइनर आकृतीचे समान आकाराच्या अनियंत्रित रेक्टलाइनर आकृतीमध्ये रूपांतर करत आहेत. विशेषतः, कोणतीही रेक्टलाइनर आकृती समान आकाराच्या चौरसात बदलली गेली. म्हणून, हे स्पष्ट आहे की या समस्येचे सामान्यीकरण करण्यासाठी कल्पना उद्भवली: कंपास आणि शासक वापरून, एक चौरस तयार करणे ज्याचे क्षेत्रफळ दिलेल्या वर्तुळाच्या क्षेत्रफळाच्या समान असेल. या समस्येला वर्तुळाचे वर्गीकरण म्हणतात. बीसीच्या दुसऱ्या सहस्राब्दीच्या प्राचीन ग्रीक आणि बॅबिलोनियन स्मारकांमध्ये या कार्याच्या खुणा दिसतात. तथापि, त्याची थेट रचना 5 व्या शतकातील ग्रीक लेखनात आढळते.

प्राचीन काळातील आणखी दोन समस्यांनी अनेक शतकांपासून प्रमुख शास्त्रज्ञांचे लक्ष वेधून घेतले आहे. ही दुहेरी घन समस्या आहे. त्यामध्ये कंपास आणि शासकासह एक घन तयार करणे समाविष्ट आहे, ज्याचा आकार दिलेल्या घनाच्या आकारमानाच्या दुप्पट आहे. त्याचे स्वरूप या दंतकथेशी संबंधित आहे की एजियन समुद्रातील डेलोस बेटावर, एका दैवज्ञने रहिवाशांना प्लेगच्या महामारीपासून वाचवण्यासाठी, घनाच्या आकारात असलेली वेदी दुप्पट करण्याचे आदेश दिले. आणि कोनाच्या त्रिविभाजनाची तिसरी समस्या म्हणजे कंपास आणि शासक वापरून कोनाचे तीन समान भाग करणे.

या तीन समस्या, पुरातन काळातील तथाकथित 3 प्रसिद्ध शास्त्रीय समस्यांनी, दोन सहस्र वर्षांपासून प्रख्यात गणितज्ञांचे लक्ष वेधून घेतले आहे. आणि केवळ 19 व्या शतकाच्या मध्यभागी त्यांची अविघटनशीलता सिद्ध झाली, म्हणजेच, केवळ कंपास आणि शासक वापरून या बांधकामांची अशक्यता. गणितात, जेव्हा निराकरणाची साधने दर्शविली जातात तेव्हा समस्यांच्या निराकरण न होण्यावर हे पहिले परिणाम होते. ते भूमितीच्या माध्यमाने नव्हे तर बीजगणिताद्वारे (या समस्यांचे समीकरणांच्या भाषेत भाषांतर करून) प्राप्त केले गेले, ज्याने पुन्हा एकदा गणिताच्या एकतेवर जोर दिला. सोडवता येत नसल्यामुळे, या समस्यांनी गणिताला महत्त्वपूर्ण परिणामांसह समृद्ध केले आणि गणिताच्या विचारात नवीन दिशा निर्माण केल्या.

कंपास आणि शासक वापरून बांधकाम समाविष्ट असलेले आणखी एक मनोरंजक कार्य म्हणजे दिलेल्या संख्येसह नियमित बहुभुज तयार करणे. प्राचीन ग्रीक लोकांना नियमित त्रिकोण, एक चौरस, एक नियमित पंचकोन आणि 15-गोन, तसेच बाजूंच्या दुप्पट करून त्यांच्याकडून प्राप्त होणारे सर्व बहुभुज आणि फक्त ते कसे तयार करायचे हे माहित होते. केवळ 1796 मध्ये, महान जर्मन गणितज्ञ के.एफ. गॉस यांनी कंपास आणि शासक वापरून नियमित 17-गॉन बांधण्याची पद्धत शोधून काढली आणि N ची सर्व मूल्ये दर्शविली ज्यावर सूचित साधन वापरून नियमित N-gon तयार करणे शक्य आहे. . कार्ल गॉस या गॉटिंगेन विद्यापीठातील प्रथम वर्षाच्या विद्यार्थ्याने 2 हजार वर्षांहून अधिक काळ गणित विज्ञानाने दिलेली समस्या सोडवली. अशाप्रकारे, होकायंत्र आणि शासक वापरून योग्य 7, 9, 11, 13, 18, 21, 22, 23, इत्यादी बांधण्याची अशक्यता सिद्ध झाली. कोन

कंपास आणि शासक वापरून बांधकामाचा सिद्धांत पुढे विकसित झाला. विचाराधीन दोन साधनांपैकी फक्त एक वापरून समस्या सोडवणे शक्य आहे का या प्रश्नाचे उत्तर होते आणि ते अगदीच अनपेक्षित होते. एकमेकांपासून स्वतंत्रपणे, 1672 मध्ये डेन जी. मोहर आणि 1797 मध्ये इटालियन एल. माशेरोनी यांनी हे सिद्ध केले की होकायंत्र आणि शासक यांच्याद्वारे सोडवलेली कोणतीही बांधकाम समस्या केवळ एकाच कंपासचा वापर करून सोडवता येते. हे अविश्वसनीय वाटत असले तरी ते खरे आहे. आणि 19 व्या शतकात, हे सिद्ध झाले की कंपास आणि शासकासह केलेले कोणतेही बांधकाम केवळ एका शासकाच्या मदतीने केले जाऊ शकते, जर बांधकाम विमानात एक विशिष्ट वर्तुळ निर्दिष्ट केले असेल आणि त्याचे केंद्र सूचित केले असेल.

3. कंपास आणि शासक वापरून भौमितिक आकृत्या तयार करण्यासाठी सर्वात सोपी कार्ये

आपण मूलभूत (प्राथमिक) बांधकामांचा विचार करूया ज्या बहुतेकदा बांधकाम समस्या सोडवण्याच्या सरावात येतात. शालेय अभ्यासक्रमाच्या पहिल्या अध्यायांमध्ये या प्रकारच्या समस्यांचा विचार केला गेला आहे.

बांधकाम १.दिलेल्या एकाच्या बरोबरीचा एक विभाग तयार करणे.

दिले:लांबीचा विभाग a.

बिल्ड:लांबीचा AB खंड a.

बांधकाम:

बांधकाम २. दिलेल्या कोनाच्या समान कोन तयार करणे.

दिले:∟AOB.

बिल्ड:∟ KMN, ∟ AOB च्या समान.

बांधकाम:

बांधकाम 3.सेगमेंटला अर्ध्यामध्ये विभाजित करणे (खंडाच्या मध्यभागी बांधणे).

दिले:खंड AB.

बिल्ड:बिंदू O हा AB चा मध्य आहे.

बांधकाम:

बांधकाम ४.कोन अर्ध्यामध्ये विभाजित करणे (कोन दुभाजक बांधणे).

दिले:∟ ABC.

बिल्ड:ВD – दुभाजक ∟АВС.

बांधकाम:

बांधकाम ५.दिलेल्या बिंदूतून जाणाऱ्या दिलेल्या रेषेला लंब बांधणे.

अ) दिले:सरळ रेषा a, बिंदू A a.

बिल्ड:

सरळ अ.

बांधकाम:

ब) दिले:सरळ रेषा a, बिंदू A a.

बिल्ड:बिंदू A मधून जाणारी रेषा, ज्याला लंब आहे

सरळ अ.

बांधकाम:

निर्मिती 6. दिलेल्या रेषेला समांतर रेषा बांधणे आणि दिलेल्या बिंदूतून जाणे.

दिले:सरळ रेषा a, बिंदू A a.

बिल्ड:बिंदू A मधून जाणारी रेषा आणि रेषा a ला समांतर.

पद्धत I (दोन लंबकांद्वारे).

बांधकाम:

पद्धत II (समांतरभुज चौकोनाद्वारे).

बांधकाम:

बांधकाम 7.तीन बाजू वापरून त्रिकोण तयार करणे.

दिले: a, b, c लांबीचे खंड.

बिल्ड:Δ ABC.

बांधकाम:

निर्मिती 8.दोन बाजू आणि त्यांच्यामधील कोन वापरून त्रिकोण तयार करणे.

दिले:लांबीचे खंड b, c, कोन α.

बिल्ड:त्रिकोण ABC.

बांधकाम:

निर्मिती 9.एक बाजू आणि दोन समीप कोन वापरून त्रिकोण तयार करणे.

दिले: c लांबीचा खंड, कोन α आणि β.

बिल्ड:ΔABC.

बांधकाम:

निर्मिती 10.दिलेल्या बिंदूतून जाणाऱ्या दिलेल्या वर्तुळाची स्पर्शिका बांधणे.

दिले:वर्तुळ (O), त्याच्या बाहेर बिंदू A.

बिल्ड:बिंदू A मधून जात असलेल्या वर्तुळाची स्पर्शिका ω(O)

बांधकाम:

विचारात घेतलेल्या समस्या अधिक जटिल समस्यांचे निराकरण करण्यासाठी घटक म्हणून समाविष्ट केल्या आहेत, म्हणून, भविष्यात, मुख्य बांधकामांच्या टप्प्यांचे वर्णन केले जात नाही.

बांधकाम समस्यांचे निराकरण करण्यात चार भाग असतात:

1. समस्येचे निराकरण झाले आहे असे गृहीत धरून, आम्ही इच्छित आकृतीचे अंदाजे हाताने रेखाचित्र बनवतो आणि नंतर काढलेल्या आकृतीचे काळजीपूर्वक परीक्षण करतो, समस्या डेटा आणि आवश्यक डेटा यांच्यातील अवलंबित्व शोधण्याचा प्रयत्न करतो ज्यामुळे आम्हाला समस्या कमी करता येईल. इतर, पूर्वी ज्ञात. समस्येचे निराकरण करण्याच्या या सर्वात महत्वाच्या भागाला, समाधान योजना तयार करण्याच्या उद्दिष्टासह, म्हणतात विश्लेषण

2. जेव्हा अशा प्रकारे उपाय योजना सापडते, तेव्हा ते त्यानुसार कार्यान्वित करतात. बांधकाम

3. पुरावा - सुप्रसिद्ध प्रमेयांच्या आधारे योजनेची शुद्धता तपासण्यासाठी, ते सिद्ध करतात की परिणामी आकृती समस्येच्या सर्व आवश्यकता पूर्ण करते.

4. अभ्यास - दोन प्रश्न विचारा:

1) दिलेला डेटा दिल्यास उपाय शक्य आहे का?

२) किती उपाय आहेत?

खालील समस्या सोडवण्याच्या उदाहरणाचा वापर करून या टप्प्यांच्या वापराचा विचार करूया.

कार्य:त्याचा पाया b, पायाला लागून असलेला कोन A आणि दोन बाजूंची बेरीज s दिल्याने त्रिकोण तयार करा.

विश्लेषण:समजू की समस्या सोडवली आहे, म्हणजे. a ΔABC ज्याचा आधार सापडला आहे AC=b, ∟ВАС=Aआणि AB+BC=s. आता परिणामी रेखांकनाचा विचार करूया. बाजू एसी,च्या समान b, ∟BAC=A, आम्हाला कसे बांधायचे हे माहित आहे. तर, बाकीच्या बाजूला शोधणे बाकी आहे ∟ एअसा मुद्दा INजेणेकरून रक्कम AB+BCबरोबरी s. चालू आहे एबी, विभाग बाजूला ठेवा इ.स, समान s. आता प्रश्न कमी झाला की सरळ रेषेवर इ.सअसा मुद्दा शोधा IN, जे पासून तितकेच दूर असेल सहआणि डी. असा बिंदू, जसे आपल्याला माहित आहे, खंडात काढलेल्या लंबावर असणे आवश्यक आहे सीडीत्याच्या मध्यभागी. डॉट INसह या लंबाच्या छेदनबिंदूवर आढळते इ.स.

बांधकाम:

1. आम्ही बांधतो ∟ ए, दिलेल्या कोनाच्या समान

2. त्याच्या बाजूंना बाजूला ठेवा AC=bआणि AD=s

3. एका सरळ रेषेच्या मध्यभागी सीडीलंब काढा बी.ई

4. बी.ईक्रॉस इ.सबिंदूवर IN

5. ठिपके जोडणे INआणि सह

6. ΔАВС - इच्छित.

पुरावा:

परिणामी ΔABC चा विचार करू या, ज्यामध्ये ∟A दिलेल्या कोनाइतका आहे (बांधकामाच्या बिंदू क्रमांक 1 नुसार). बाजू AC=b(बिंदू क्रमांक 2) आणि पक्ष एबीआणि रविएकूण s (गुण क्रमांक 2,3,4) आहे. म्हणून, त्रिकोणांच्या समानतेच्या 1ल्या निकषानुसार, ΔABC हा इच्छित आहे.

अभ्यास:

1.दिलेला डेटा दिल्यास उपाय शक्य आहे का?

बांधकाम लक्षात घेता, आम्ही लक्षात घेतो की कार्य सर्व डेटासह शक्य नाही. खरंच, जर s ची बेरीज b च्या तुलनेत खूप लहान दिली असेल, तर लंब बी.ईविभाग ओलांडू शकत नाही इ.स(किंवा बिंदू D च्या पलीकडे त्याच्या निरंतरतेला छेदेल), अशा परिस्थितीत कार्य अशक्य होईल.

आणि, बांधकामाची पर्वा न करता, कोणीही पाहू शकतो की कार्य अशक्य आहे तर s< b किंवा s = b, कारण असा त्रिकोण असू शकत नाही ज्यामध्ये दोन बाजूंची बेरीज तिसऱ्या बाजूपेक्षा कमी किंवा समान असेल.

2. किती उपाय आहेत?

जेव्हा एखादी समस्या शक्य असते तेव्हा त्याच्याकडे फक्त एकच उपाय असतो, म्हणजे. फक्त एक त्रिकोण आहे जो समस्येच्या गरजा पूर्ण करतो, कारण लंबाचा छेदनबिंदू बी.ईसरळ रेषेसह इ.सफक्त एका टप्प्यावर असू शकते.


©2015-2019 साइट
सर्व अधिकार त्यांच्या लेखकांचे आहेत. ही साइट लेखकत्वाचा दावा करत नाही, परंतु विनामूल्य वापर प्रदान करते.
पृष्ठ निर्मिती तारीख: 2016-04-27