मानक फॉर्म उदाहरणांमध्ये लिहिलेले मोनोमिअल. मोनोमियलची संकल्पना आणि त्याचे मानक स्वरूप

विषयावरील धडा: "एकपदार्थाचे मानक स्वरूप. व्याख्या. उदाहरणे"

अतिरिक्त साहित्य
प्रिय वापरकर्ते, आपल्या टिप्पण्या, पुनरावलोकने, शुभेच्छा देण्यास विसरू नका. सर्व साहित्य अँटी-व्हायरस प्रोग्रामद्वारे तपासले गेले आहे.

ग्रेड 7 साठी इंटिग्रल ऑनलाइन स्टोअरमध्ये शिकवण्याचे साधन आणि सिम्युलेटर
इयत्ता 7-9 साठी इलेक्ट्रॉनिक पाठ्यपुस्तक "समजण्यायोग्य भूमिती".
इयत्ता 7-9 साठी मल्टीमीडिया पाठ्यपुस्तक "10 मिनिटांत भूमिती".

एकपद. व्याख्या

एकपदही एक गणितीय अभिव्यक्ती आहे जी प्राइम फॅक्टर आणि एक किंवा अधिक व्हेरिएबल्सचे उत्पादन आहे.

मोनोमिअलमध्ये सर्व संख्या, चल, नैसर्गिक घातांकासह त्यांची शक्ती समाविष्ट असते:
42; 3; 0; ६ २ ; २ ३ ; b 3 ; कुर्हाड ४ ; 4x 3; 5a 2 ; 12xyz 3 .

दिलेली गणितीय अभिव्यक्ती एकपदार्थाचा संदर्भ देते की नाही हे ठरवणे बर्‍याचदा कठीण असते. उदाहरणार्थ, $\frac(4a^3)(5)$. हे एकपद आहे की नाही? या प्रश्नाचे उत्तर देण्यासाठी आपल्याला अभिव्यक्ती सुलभ करणे आवश्यक आहे, म्हणजे. फॉर्ममध्ये उपस्थित आहे: $\frac(4)(5)*a^3$.
आपण निश्चितपणे म्हणू शकतो की ही अभिव्यक्ती एकपदार्थ आहे.

मोनोमियलचे मानक स्वरूप

गणना करत असताना, मोनोमियलला मानक स्वरूपात कमी करण्याचा सल्ला दिला जातो. हे मोनोमियलचे सर्वात संक्षिप्त आणि समजण्यायोग्य रेकॉर्डिंग आहे.

मोनोमियलला मानक स्वरूपात कमी करण्याची प्रक्रिया खालीलप्रमाणे आहे:
1. मोनोमिअल (किंवा संख्यात्मक घटक) च्या गुणांकांचा गुणाकार करा आणि परिणामी परिणाम प्रथम स्थानावर ठेवा.
2. समान अक्षर बेससह सर्व शक्ती निवडा आणि त्यांचा गुणाकार करा.
3. सर्व व्हेरिएबल्ससाठी बिंदू 2 पुन्हा करा.

उदाहरणे.
I. दिलेल्या मोनोमिअल $3x^2zy^3*5y^2z^4$ ला मानक स्वरूपात कमी करा.

उपाय.
1. मोनोमियल $15x^2y^3z * y^2z^4$ च्या गुणांकांचा गुणाकार करा.
2. आता आम्ही $15x^2y^5z^5$ समान संज्ञा सादर करतो.

II. दिलेले मोनोमियल $5a^2b^3 * \frac(2)(7)a^3b^2c$ मानक फॉर्ममध्ये कमी करा.

उपाय.
1. $\frac(10)(7)a^2b^3*a^3b^2c$ च्या गुणांकांचा गुणाकार करा.
2. आता आम्ही $\frac(10)(7)a^5b^5c$ समान संज्ञा सादर करतो.

या धड्यात आपण एकपदाची कठोर व्याख्या देऊ आणि पाठ्यपुस्तकातील विविध उदाहरणे पाहू. समान आधारांसह शक्तींचा गुणाकार करण्याचे नियम आठवूया. मोनोमिअलचे मानक स्वरूप, एकपदाचे गुणांक आणि त्याचे अक्षर भाग परिभाषित करूया. मोनोमिअल्सवरील दोन मुख्य वैशिष्ट्यपूर्ण ऑपरेशन्सचा विचार करूया, म्हणजे मानक फॉर्ममध्ये घट करणे आणि त्यात समाविष्ट केलेल्या शाब्दिक चलांच्या दिलेल्या मूल्यांसाठी मोनोमियलच्या विशिष्ट संख्यात्मक मूल्याची गणना. एकपदरी प्रमाण कमी करण्यासाठी एक नियम तयार करूया. कोणत्याही monomials सह मानक समस्या कसे सोडवायचे ते शिकूया.

विषय:मोनोमिअल्स. monomials वर अंकगणित ऑपरेशन्स

धडा:मोनोमियलची संकल्पना. मोनोमियलचे मानक स्वरूप

काही उदाहरणे विचारात घ्या:

3. ;

दिलेल्या अभिव्यक्तींसाठी सामान्य वैशिष्ट्ये शोधूया. तिन्ही प्रकरणांमध्ये, अभिव्यक्ती ही संख्या आणि व्हेरिएबल्सची घात आहे. याच्या आधारे आम्ही देतो monomial व्याख्या : मोनोमियल ही बीजगणितीय अभिव्यक्ती आहे ज्यामध्ये शक्ती आणि संख्यांचे उत्पादन असते.

आता आम्ही अभिव्यक्तींची उदाहरणे देतो जी मोनोमियल नाहीत:

या अभिव्यक्ती आणि मागील शब्दांमधील फरक शोधूया. यात तथ्य आहे की 4-7 उदाहरणांमध्ये बेरीज, वजाबाकी किंवा भागाकार क्रिया आहेत, तर उदाहरणे 1-3 मध्ये, जे मोनोमिअल आहेत, या ऑपरेशन्स नाहीत.

येथे आणखी काही उदाहरणे आहेत:

अभिव्यक्ती क्रमांक 8 हा एकपदार्थ आहे कारण तो शक्ती आणि संख्येचा गुणाकार आहे, तर उदाहरण 9 हे एकपद नाही.

आता जाणून घेऊया monomials वर क्रिया .

1. सरलीकरण. उदाहरण क्रमांक ३ पाहू ;आणि उदाहरण क्रमांक २ /

दुसऱ्या उदाहरणात आपण फक्त एक गुणांक पाहतो - , प्रत्येक व्हेरिएबल फक्त एकदाच येते, म्हणजे व्हेरिएबल " ए" एकाच प्रतमध्ये "" म्हणून दर्शविले जाते, त्याचप्रमाणे, "" आणि "" व्हेरिएबल्स फक्त एकदाच दिसतात.

उदाहरण क्र. 3 मध्ये, त्याउलट, दोन भिन्न गुणांक आहेत - आणि , आपण व्हेरिएबल "" दोनदा - "" आणि "" म्हणून पाहतो, त्याचप्रमाणे, "" व्हेरिएबल दोनदा दिसतो. म्हणजेच, ही अभिव्यक्ती सरलीकृत केली पाहिजे, अशा प्रकारे आपण पोहोचू मोनोमिअल्सवर केलेली पहिली कृती म्हणजे मोनोमिअलला मानक स्वरूपात कमी करणे . हे करण्यासाठी, आम्ही उदाहरण 3 वरून मानक फॉर्ममध्ये अभिव्यक्ती कमी करू, त्यानंतर आम्ही हे ऑपरेशन परिभाषित करू आणि कोणत्याही एकपदरीला मानक स्वरूपात कसे कमी करायचे ते शिकू.

तर, एक उदाहरण विचारात घ्या:

मानक फॉर्ममध्ये घट करण्याच्या ऑपरेशनमधील पहिली क्रिया नेहमी सर्व संख्यात्मक घटकांना गुणाकार करणे असते:

;

या कृतीचा परिणाम म्हटले जाईल मोनोमियलचे गुणांक .

पुढे आपल्याला शक्तींचा गुणाकार करणे आवश्यक आहे. चला व्हेरिएबलच्या शक्तींचा गुणाकार करूया " एक्स"समान क्षारांसह शक्तींचा गुणाकार करण्याच्या नियमानुसार, जे सांगते की गुणाकार करताना, घातांक जोडले जातात:

आता शक्तींचा गुणाकार करूया" येथे»:

;

तर, येथे एक सरलीकृत अभिव्यक्ती आहे:

;

कोणतेही एकपद मानक स्वरूपात कमी केले जाऊ शकते. चला सूत्रबद्ध करू मानकीकरण नियम :

सर्व संख्यात्मक घटक गुणाकार;

परिणामी गुणांक प्रथम स्थानावर ठेवा;

सर्व अंशांचा गुणाकार करा, म्हणजे, अक्षराचा भाग मिळवा;

म्हणजेच, कोणतेही एकपद गुणांक आणि अक्षर भाग द्वारे दर्शविले जाते. पुढे पाहताना, आम्ही लक्षात घेतो की समान अक्षरांचा भाग असलेल्या मोनोमिअलला समान म्हणतात.

आता आपल्याला कसरत करायची आहे मोनोमियल्स मानक स्वरूपात कमी करण्यासाठी तंत्र . पाठ्यपुस्तकातील उदाहरणे विचारात घ्या:

असाइनमेंट: मोनोमिअलला मानक स्वरूपात आणा, गुणांक आणि अक्षराच्या भागाला नाव द्या.

कार्य पूर्ण करण्यासाठी, आम्ही एका मानक फॉर्ममध्ये कमी करण्याचा नियम आणि शक्तींचे गुणधर्म वापरू.

1. ;

3. ;

पहिल्या उदाहरणावर टिप्पण्या: प्रथम, ही अभिव्यक्ती खरोखर एकपदार्थ आहे की नाही हे ठरवूया; हे करण्यासाठी, त्यात संख्या आणि शक्तींच्या गुणाकाराची क्रिया आहे का आणि त्यात बेरीज, वजाबाकी किंवा भागाकाराची क्रिया आहे का ते तपासूया. वरील स्थिती पूर्ण झाल्यामुळे ही अभिव्यक्ती एकपदार्थ आहे असे आपण म्हणू शकतो. पुढे, मानक फॉर्ममध्ये एकपद कमी करण्याच्या नियमानुसार, आम्ही संख्यात्मक घटकांचा गुणाकार करतो:

- आम्हाला दिलेल्या मोनोमिअलचे गुणांक आढळले;

; ; ; म्हणजेच, अभिव्यक्तीचा शाब्दिक भाग प्राप्त होतो:;

चला उत्तर लिहूया: ;

दुसऱ्या उदाहरणावर टिप्पण्या: नियमाचे पालन करून आम्ही करतो:

1) संख्यात्मक घटक गुणाकार:

२) शक्तींचा गुणाकार करा:

व्हेरिएबल्स एकाच प्रतमध्ये सादर केले जातात, म्हणजे, ते कशानेही गुणाकार केले जाऊ शकत नाहीत, ते बदल न करता पुन्हा लिहिले जातात, पदवी गुणाकार केली जाते:

चला उत्तर लिहूया:

;

या उदाहरणात, मोनोमियलचे गुणांक एक आहे आणि अक्षर भाग आहे.

तिसऱ्या उदाहरणावरील टिप्पण्या: अमागील उदाहरणांप्रमाणेच, आम्ही खालील क्रिया करतो:

1) संख्यात्मक घटक गुणाकार:

;

२) शक्तींचा गुणाकार करा:

;

चला उत्तर लिहूया: ;

या प्रकरणात, मोनोमियलचे गुणांक "" आणि अक्षर भाग आहे .

आता विचार करूया monomials वर द्वितीय मानक ऑपरेशन . मोनोमियल ही एक बीजगणितीय अभिव्यक्ती आहे ज्यामध्ये शाब्दिक व्हेरिएबल्स असतात जी विशिष्ट संख्यात्मक मूल्ये घेऊ शकतात, आमच्याकडे अंकगणित अंकीय अभिव्यक्ती आहे ज्याचे मूल्यांकन करणे आवश्यक आहे. म्हणजेच, बहुपदांवर पुढील क्रिया आहे त्यांच्या विशिष्ट संख्यात्मक मूल्याची गणना करणे .

एक उदाहरण पाहू. दिलेले एकपद:

हा मोनोमिअल आधीच मानक स्वरूपात कमी केला गेला आहे, त्याचा गुणांक एक आहे आणि अक्षराचा भाग

याआधी आपण म्हटले होते की बीजगणितीय अभिव्यक्ती नेहमी मोजली जाऊ शकत नाही, म्हणजेच त्यात समाविष्ट केलेले चल कोणतेही मूल्य घेऊ शकत नाहीत. मोनोमिअलच्या बाबतीत, त्यात समाविष्ट केलेले व्हेरिएबल्स कोणतेही असू शकतात; हे मोनोमियलचे वैशिष्ट्य आहे.

तर, दिलेल्या उदाहरणात, तुम्हाला , , , , वर मोनोमियलच्या मूल्याची गणना करणे आवश्यक आहे.

monomials बद्दल मूलभूत माहिती मध्ये स्पष्टीकरण समाविष्टीत आहे की कोणत्याही monomial ला मानक स्वरूपात कमी केले जाऊ शकते. खालील सामग्रीमध्ये आम्ही या समस्येकडे अधिक तपशीलवार पाहू: आम्ही या क्रियेच्या अर्थाची रूपरेषा देऊ, आम्हाला एकपदार्थाचे मानक स्वरूप सेट करण्यास अनुमती देणारे चरण परिभाषित करू आणि उदाहरणे सोडवून सिद्धांत एकत्रित करू.

एकपदरीला मानक स्वरूपात कमी करण्याचा अर्थ

मानक स्वरूपात एकपद लिहिणे त्याच्यासह कार्य करणे अधिक सोयीस्कर बनवते. बर्‍याचदा मोनोमिअल्स अ-मानक स्वरूपात निर्दिष्ट केल्या जातात आणि नंतर दिलेल्या मोनोमिअलला मानक स्वरूपात आणण्यासाठी एकसारखे परिवर्तन करणे आवश्यक होते.

व्याख्या १

मानक फॉर्ममध्ये मोनोमियल कमी करणेते प्रमाणित स्वरूपात लिहिण्यासाठी एकपदासह योग्य कृती (समान परिवर्तन) ची कामगिरी आहे.

मानक फॉर्ममध्ये मोनोमियल कमी करण्याची पद्धत

व्याख्येवरून असे दिसून येते की नॉन-स्टँडर्ड फॉर्मचे एकपद हे संख्या, चल आणि त्यांच्या शक्तींचे उत्पादन आहे आणि त्यांची पुनरावृत्ती शक्य आहे. या बदल्यात, मानक प्रकाराच्या एकपदार्थात त्याच्या नोटेशनमध्ये फक्त एक संख्या आणि पुनरावृत्ती न होणारी चल किंवा त्यांची शक्ती असते.

मानक फॉर्ममध्ये नॉन-स्टँडर्ड मोनोमियल आणण्यासाठी, तुम्ही खालील वापरणे आवश्यक आहे एकपदरी प्रमाण कमी करण्यासाठी नियम:

पहिली पायरी म्हणजे संख्यात्मक घटक, समान व्हेरिएबल्स आणि त्यांच्या शक्तींचे गट करणे;
दुसरी पायरी म्हणजे संख्यांच्या उत्पादनांची गणना करणे आणि समान आधारांसह शक्तींचे गुणधर्म लागू करणे.

उदाहरणे आणि त्यांचे उपाय

उदाहरण १

एकपदरी 3 x 2 x 2 दिले . ते प्रमाणित स्वरूपात आणणे आवश्यक आहे.

उपाय

चला x सह संख्यात्मक घटक आणि घटकांचे गट करू या, परिणामी दिलेला एकपद फॉर्म घेईल: (3 2) (x x 2) .

कंसातील उत्पादन 6 आहे. समान आधारांसह शक्तींच्या गुणाकाराचा नियम लागू करून, आम्ही कंसात अभिव्यक्ती सादर करतो: x 1 + 2 = x 3. परिणामी, आम्हाला मानक फॉर्मचे एकपद प्राप्त होते: 6 x 3.

सोल्यूशनची एक छोटी आवृत्ती अशी दिसते: 3 · x · 2 · x 2 = (3 · 2) · (x · x 2) = 6 · x 3 .

उत्तर:३ x २ x २ = ६ x ३.

उदाहरण २

एकपदार्थ दिलेला आहे: a 5 · b 2 · a · m · (- 1) · a 2 · b . ते प्रमाणित स्वरूपात आणणे आणि त्याचे गुणांक सूचित करणे आवश्यक आहे.

उपाय

दिलेल्या मोनोमिअलच्या नोटेशनमध्ये एक संख्यात्मक घटक आहे: - 1, चला ते सुरवातीला हलवू. मग आपण a व्हेरिएबलसह घटक आणि b व्हेरिएबलसह घटकांचे गट करू. व्हेरिएबल m सह गटबद्ध करण्यासाठी काहीही नाही, म्हणून आम्ही ते मूळ स्वरूपात सोडतो. वरील क्रियांचा परिणाम म्हणून आपल्याला मिळते: - 1 · a 5 · a · a 2 · b 2 · b · m.

चला कंसातील शक्तींसह ऑपरेशन्स करू, नंतर एकपदी मानक फॉर्म घेईल: (- 1) · a 5 + 1 + 2 · b 2 + 1 · m = (- 1) · a 8 · b 3 · m. या नोंदीवरून आपण एकापदाचे गुणांक सहज ठरवू शकतो: ते - 1 च्या बरोबरीचे आहे. वजा एक ला फक्त वजा चिन्हाने बदलणे शक्य आहे: (- 1) · a 8 · b 3 · m = - a 8 · b 3 · m.

सर्व क्रियांची एक छोटी नोंद असे दिसते:

a 5 b 2 a m (- 1) a 2 b = (- 1) (a 5 a a 2) (b 2 b) m = = (- 1) a 5 + 1 + 2 b 2 + 1 m = (- 1 ) a 8 b 3 m = - a 8 b 3 m

उत्तर:

a 5 · b 2 · a · m · (- 1) · a 2 · b = - a 8 · b 3 · m, दिलेल्या मोनोमिअलचा गुणांक - 1 आहे.

तुम्हाला मजकुरात त्रुटी आढळल्यास, कृपया ते हायलाइट करा आणि Ctrl+Enter दाबा

गणितामध्ये अनेक भिन्न गणितीय अभिव्यक्ती आहेत आणि त्यापैकी काहींची स्वतःची नावे आहेत. आम्ही यापैकी एका संकल्पनेशी परिचित होणार आहोत - ही एक एकपदी आहे.

मोनोमियल ही एक गणितीय अभिव्यक्ती आहे ज्यामध्ये संख्या, व्हेरिएबल्सचे उत्पादन असते, ज्यापैकी प्रत्येक उत्पादनामध्ये काही प्रमाणात दिसू शकतो. नवीन संकल्पना चांगल्या प्रकारे समजून घेण्यासाठी, तुम्हाला अनेक उदाहरणांसह स्वतःला परिचित करणे आवश्यक आहे.

मोनोमियल्सची उदाहरणे

अभिव्यक्ती 4, x^2 , -3*a^4, 0.7*c, ¾*y^2 monomials आहेत.तुम्ही बघू शकता, फक्त एक संख्या किंवा व्हेरिएबल (शक्तीसह किंवा त्याशिवाय) देखील एकपदार्थ आहे. परंतु, उदाहरणार्थ, 2+с, 3*(y^2)/x, a^2 –x^2 ही अभिव्यक्ती आधीच आहेत monomials नाहीत, कारण ते व्याख्यांमध्ये बसत नाहीत. प्रथम अभिव्यक्ती "सम" वापरते, जी अस्वीकार्य आहे, दुसरी "विभाग" वापरते आणि तिसरी फरक वापरते.

चला विचार करूया आणखी काही उदाहरणे.

उदाहरणार्थ, 2*a^3*b/3 ही अभिव्यक्ती देखील एकपदार्थ आहे, जरी त्यात विभागणी समाविष्ट आहे. परंतु या प्रकरणात, भागाकार एका संख्येने होतो, आणि म्हणून संबंधित अभिव्यक्ती खालीलप्रमाणे पुन्हा लिहिली जाऊ शकते: 2/3*a^3*b. आणखी एक उदाहरण: 2/x आणि x/2 यापैकी कोणते एकपदार्थ आहे आणि कोणते नाही? बरोबर उत्तर हे आहे की पहिली अभिव्यक्ती एकपदार्थ नाही, परंतु दुसरी एकपदार्थ आहे.

मोनोमियलचे मानक स्वरूप

खालील दोन एकपदरी अभिव्यक्ती पहा: ¾*a^2*b^3 आणि 3*a*1/4*b^3*a. खरं तर, हे दोन समान मोनोमिअल आहेत. प्रथम अभिव्यक्ती दुसऱ्यापेक्षा अधिक सोयीस्कर वाटते हे खरे नाही का?

याचे कारण असे आहे की प्रथम अभिव्यक्ती प्रमाणित स्वरूपात लिहिलेली आहे. बहुपदीचे मानक स्वरूप हे संख्यात्मक घटक आणि विविध चलांच्या शक्तींनी बनलेले उत्पादन आहे. संख्यात्मक घटकाला मोनोमिअलचा गुणांक म्हणतात.

मोनोमियलला त्याच्या मानक स्वरूपात आणण्यासाठी, मोनोमियलमध्ये उपस्थित असलेल्या सर्व संख्यात्मक घटकांचा गुणाकार करणे आणि परिणामी संख्या प्रथम स्थानावर ठेवणे पुरेसे आहे. नंतर समान अक्षर बेस असलेल्या सर्व शक्तींचा गुणाकार करा.

मोनोमियलला त्याच्या मानक स्वरूपात कमी करणे

जर आपल्या उदाहरणात दुसऱ्या अभिव्यक्तीमध्ये आपण सर्व संख्यात्मक घटकांचा 3*1/4 गुणाकार केला आणि नंतर a*a गुणाकार केला, तर आपल्याला पहिला एकपद मिळेल. या क्रियेला त्याच्या मानक स्वरुपात मोनोमियल कमी करणे म्हणतात.

जर दोन मोनोमिअल्स फक्त संख्यात्मक गुणांकाने भिन्न असतील किंवा एकमेकांच्या समान असतील तर अशा मोनोमिअल्सना गणितात समान म्हटले जाते.

विषय:मोनोमिअल्स. monomials वर अंकगणित ऑपरेशन्स

धडा:मोनोमियलची संकल्पना. मोनोमियलचे मानक स्वरूप

काही उदाहरणे विचारात घ्या:

3. ;

आता आम्ही अभिव्यक्तींची उदाहरणे देतो जी मोनोमियल नाहीत:

येथे आणखी काही उदाहरणे आहेत:

आता जाणून घेऊया monomials वर क्रिया .

1. सरलीकरण. उदाहरण क्रमांक ३ पाहू ;आणि उदाहरण क्रमांक २ /

तर, एक उदाहरण विचारात घ्या:

;

या कृतीचा परिणाम म्हटले जाईल मोनोमियलचे गुणांक .

आता शक्तींचा गुणाकार करूया" येथे»:

;

तर, येथे एक सरलीकृत अभिव्यक्ती आहे:

;

सर्व संख्यात्मक घटक गुणाकार;

परिणामी गुणांक प्रथम स्थानावर ठेवा;

सर्व अंशांचा गुणाकार करा, म्हणजे, अक्षराचा भाग मिळवा;

1. ;

3. ;

- आम्हाला दिलेल्या मोनोमिअलचे गुणांक आढळले;

; ; ; म्हणजेच, अभिव्यक्तीचा शाब्दिक भाग प्राप्त होतो:;

चला उत्तर लिहूया: ;

दुसऱ्या उदाहरणावर टिप्पण्या: नियमाचे पालन करून आम्ही करतो:

1) संख्यात्मक घटक गुणाकार:

२) शक्तींचा गुणाकार करा:

चला उत्तर लिहूया:

;

या उदाहरणात, मोनोमियलचे गुणांक एक आहे आणि अक्षर भाग आहे.

1) संख्यात्मक घटक गुणाकार:

;

२) शक्तींचा गुणाकार करा:

;

चला उत्तर लिहूया: ;

या प्रकरणात, मोनोमियलचे गुणांक "" आणि अक्षर भाग आहे .

एक उदाहरण पाहू. दिलेले एकपद: