अशा प्रकारे, थेल्स प्रमेय सिद्ध झाले आहे.

या प्रमेयाच्या वापरामुळे भौमितिक समस्यांचे निराकरण मोठ्या प्रमाणात सुलभ आणि वेगवान होईल. गणिताच्या या मनोरंजक विज्ञानात प्रभुत्व मिळविण्यासाठी शुभेच्छा!

साइट, सामग्रीच्या पूर्ण किंवा आंशिक कॉपीसह, स्त्रोताचा दुवा आवश्यक आहे.

धड्याचा विषय

धड्याची उद्दिष्टे

• नवीन व्याख्यांसह परिचित व्हा आणि आधीच अभ्यासलेल्या काही आठवा.
• चौरसाचे गुणधर्म तयार करा आणि सिद्ध करा, त्याचे गुणधर्म सिद्ध करा.
• समस्यांचे निराकरण करताना आकारांचे गुणधर्म लागू करण्यास शिका.
• विकसनशील - विद्यार्थ्यांचे लक्ष, चिकाटी, चिकाटी, तार्किक विचार, गणितीय भाषण विकसित करणे.
• शैक्षणिक - धड्याद्वारे, एकमेकांकडे लक्ष देण्याची वृत्ती जोपासणे, कॉम्रेड्सचे ऐकण्याची क्षमता, परस्पर सहाय्य, स्वातंत्र्य निर्माण करणे.

धड्याची उद्दिष्टे

• विद्यार्थ्यांची समस्या सोडवण्याची क्षमता तपासा.

पाठ योजना

1. ऐतिहासिक संदर्भ.
2. थेल्स एक गणितज्ञ आणि त्यांची कामे.
3. लक्षात ठेवणे चांगले.

ऐतिहासिक संदर्भ

• सागरी नेव्हिगेशनमध्ये थेलेसचे प्रमेय आजही वापरले जाते कारण जहाजे एकमेकांच्या दिशेने जात राहिल्यास स्थिर वेगाने जाणाऱ्या जहाजांमधील टक्कर अटळ आहे.

• रशियन भाषेच्या साहित्याच्या बाहेर, थॅलेस प्रमेयाला कधीकधी प्लॅनिमेट्रीचे दुसरे प्रमेय म्हटले जाते, म्हणजे, वर्तुळाच्या व्यासावर आधारित कोरलेला कोन योग्य आहे असे विधान. या प्रमेयाच्या शोधाचे श्रेय खरंच थॅलेसला आहे, जसे की प्रोक्लसने पुरावा दिला आहे.

• थेल्सने इजिप्तमधील भूमितीच्या मूलभूत गोष्टी समजून घेतल्या.

त्याच्या लेखकाचे शोध आणि गुणवत्ते

तुम्हाला माहित आहे का की मिलेटसचे थेलेस हे त्यावेळी ग्रीसमधील सात सर्वात प्रसिद्ध ऋषींपैकी एक होते. त्यांनी आयोनियन शाळेची स्थापना केली. थॅलेसने या शाळेत जो विचार मांडला तो सर्व गोष्टींचा एकता होता. ऋषींचा असा विश्वास होता की एकच स्त्रोत आहे ज्यातून सर्व गोष्टींचा उगम झाला आहे.

थेल्स ऑफ मिलेटसची महान गुणवत्ता म्हणजे वैज्ञानिक भूमितीची निर्मिती. ही महान शिकवण इजिप्शियन मोजमापाच्या कलेतून एक वजावटी भूमिती तयार करण्यास सक्षम होती, ज्याचा आधार सामान्य जमीन आहे.

भूमितीच्या त्यांच्या अफाट ज्ञानाव्यतिरिक्त, थेल्स खगोलशास्त्रातही पारंगत होते. सूर्याच्या संपूर्ण ग्रहणाची भविष्यवाणी करणारे एम हे पहिले होते. परंतु हे आधुनिक जगात घडले नाही, तर दूरच्या 585 मध्ये, अगदी आपल्या युगापूर्वीही.

थेल्स ऑफ मिलेटस हा माणूस होता ज्याला हे समजले होते की उर्सा मायनर नक्षत्राद्वारे उत्तर अचूकपणे निर्धारित केले जाऊ शकते. पण हा त्याचा शेवटचा शोध नव्हता, कारण तो वर्षाची लांबी अचूकपणे ठरवू शकला, तीनशे पासष्ट दिवसांत मोडू शकला आणि विषुववृत्ताची वेळही ठरवू शकला.

थेल्स हा एक सर्वसमावेशक विकसित आणि ज्ञानी माणूस होता. एक उत्कृष्ट गणितज्ञ, भौतिकशास्त्रज्ञ आणि खगोलशास्त्रज्ञ म्हणून प्रसिद्ध असण्याबरोबरच, तो एक वास्तविक हवामानशास्त्रज्ञ म्हणून देखील होता, जो ऑलिव्हच्या कापणीचा अचूक अंदाज लावण्यास सक्षम होता.

परंतु सर्वात उल्लेखनीय गोष्ट अशी आहे की थेल्सने आपले ज्ञान केवळ वैज्ञानिक आणि सैद्धांतिक क्षेत्रापुरतेच मर्यादित ठेवले नाही, तर सरावात त्याच्या सिद्धांतांचे पुरावे एकत्रित करण्याचा नेहमीच प्रयत्न केला. आणि सर्वात मनोरंजक गोष्ट अशी आहे की महान ऋषींनी त्यांच्या ज्ञानाच्या कोणत्याही एका क्षेत्रावर लक्ष केंद्रित केले नाही, त्यांच्या आवडीच्या दिशा वेगवेगळ्या होत्या.

थॅलेस हे नाव तेव्हाही ऋषींसाठी घराघरात प्रसिद्ध झाले. ग्रीससाठी त्याचे महत्त्व आणि महत्त्व रशियासाठी लोमोनोसोव्हच्या नावाइतकेच मोठे होते. अर्थात, त्याच्या शहाणपणाचा वेगवेगळ्या प्रकारे अर्थ लावला जाऊ शकतो. परंतु आपण निश्चितपणे असे म्हणू शकतो की तो कल्पकता आणि व्यावहारिक चातुर्य आणि काही प्रमाणात अलिप्तपणा या दोन्ही गोष्टींनी वैशिष्ट्यीकृत होता.

थेल्स ऑफ मिलेटस एक उत्कृष्ट गणितज्ञ, तत्वज्ञानी, खगोलशास्त्रज्ञ होते, प्रवासाची आवड होती, एक व्यापारी आणि उद्योजक होता, व्यापारात गुंतलेला होता, तसेच एक चांगला अभियंता, मुत्सद्दी, द्रष्टा आणि राजकीय जीवनात सक्रियपणे भाग घेतला होता.

त्याने कर्मचारी आणि सावलीच्या मदतीने पिरॅमिडची उंची निश्चित केली. आणि ते असे होते. एक चांगला सनी दिवस, थॅलेसने आपला स्टाफ सीमेवर ठेवला जिथे पिरॅमिडची सावली संपली. मग तो त्याच्या काठीच्या सावलीची लांबी त्याच्या उंचीइतकी होईपर्यंत थांबला आणि पिरॅमिडच्या सावलीची लांबी मोजली. तर, असे दिसते की थॅलेसने फक्त पिरॅमिडची उंची निश्चित केली आणि हे सिद्ध केले की एका सावलीची लांबी इतर सावलीच्या लांबीशी संबंधित आहे, ज्याप्रमाणे पिरॅमिडची उंची स्टाफच्या उंचीशी संबंधित आहे. याचा फटका स्वत: फारो अमासिसला बसला.

थॅलेसचे आभार, त्या वेळी ज्ञात असलेले सर्व ज्ञान वैज्ञानिक स्वारस्याच्या क्षेत्रात हस्तांतरित केले गेले. ठराविक संकल्पनांवर प्रकाश टाकून तो निकाल वैज्ञानिक वापरासाठी योग्य पातळीवर आणण्यात सक्षम होता. आणि कदाचित थेल्सच्या मदतीने, प्राचीन तत्त्वज्ञानाचा पुढील विकास सुरू झाला.

थेल्स प्रमेय गणितात एक महत्त्वाची भूमिका बजावते. हे केवळ प्राचीन इजिप्त आणि बॅबिलोनमध्येच नव्हे तर इतर देशांमध्ये देखील ओळखले जात होते आणि गणिताच्या विकासाचा आधार होता. होय, आणि दैनंदिन जीवनात, इमारती, संरचना, रस्ते इत्यादींच्या बांधकामात, थॅलेस प्रमेयाशिवाय करू शकत नाही.

संस्कृतीत थेल्सचे प्रमेय

थेल्सचे प्रमेय केवळ गणितातच प्रसिद्ध झाले नाही, तर संस्कृतीलाही त्याची ओळख झाली. एकदा, अर्जेंटिनाच्या संगीत समूह लेस लुथियर्स (स्पॅनिश) ने प्रेक्षकांना एक गाणे सादर केले, जे त्यांनी एका सुप्रसिद्ध प्रमेयाला समर्पित केले. लेस लुथियर्सच्या सदस्यांनी त्यांच्या व्हिडिओ क्लिपमध्ये विशेषत: या गाण्यासाठी आनुपातिक विभागांसाठी थेट प्रमेयचा पुरावा प्रदान केला.

प्रश्न

1. कोणत्या रेषांना समांतर म्हणतात?
2. थेल्स प्रमेय व्यवहारात कुठे लागू केला जातो?
3. थेल्स प्रमेय कशाबद्दल आहे?

वापरलेल्या स्त्रोतांची यादी

1. मुलांसाठी विश्वकोश. T.11. गणित / मुख्य संपादक M.D. Aksenova.-m.: Avanta +, 2001.
2. "युनिफाइड स्टेट परीक्षा 2006. गणित. विद्यार्थ्यांच्या तयारीसाठी शैक्षणिक आणि प्रशिक्षण साहित्य / Rosobrnadzor, ISOP - M.: Intellect-Center, 2006 "
3. L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev, E. G. Poznyak, I. I. Yudina "भूमिती, 7 - 9: शैक्षणिक संस्थांसाठी एक पाठ्यपुस्तक"

प्रमेयातील सेकंट्सच्या परस्पर व्यवस्थेवर कोणतेही निर्बंध नाहीत (हे छेदणाऱ्या रेषांसाठी आणि समांतर रेषांसाठीही खरे आहे). रेषाखंड secants वर कुठे आहेत हे देखील महत्त्वाचे नाही.

समांतर रेषांच्या बाबतीत पुरावा

BC एक रेषा काढू. कोन ABC आणि BCD समांतर रेषा AB आणि CD आणि secant BC अंतर्गत आतील क्रॉस आणि AC आणि BD आणि secant BC या समांतर रेषांखाली असलेल्या अंतर्गत क्रॉस प्रमाणे ACB आणि CBD कोन समान आहेत. त्यानंतर, त्रिकोणांच्या समानतेच्या दुसऱ्या निकषानुसार, ABC आणि DCB त्रिकोण एकरूप आहेत. याचा अर्थ असा होतो की AC = BD आणि AB = CD. ■

तसेच अस्तित्वात आहे आनुपातिक विभाग प्रमेय:

\frac(A_1A_2)(B_1B_2)=\frac(A_2A_3)(B_2B_3)=\frac(A_1A_3)(B_1B_3).

थेलेस प्रमेय हे आनुपातिक खंड प्रमेयाचे एक विशेष प्रकरण आहे, कारण समान खंड हे 1 च्या समानतेच्या गुणांकासह आनुपातिक विभाग मानले जाऊ शकतात.

व्यस्त प्रमेय

जर थॅलेस प्रमेयामध्ये समान खंड शिरोबिंदूपासून सुरू होतात (हे सूत्र अनेकदा शालेय साहित्यात वापरले जाते), तर संवाद प्रमेय देखील खरे ठरेल. छेदनबिंदूंसाठी, ते खालीलप्रमाणे तयार केले आहे:

अशा प्रकारे (अंजीर पहा.) वस्तुस्थितीवरून $\backslash frac(CB\_1)(CA\_1)=\backslash frac(B\_1B\_2)(A\_1A\_2)=\backslash ldots\; =\; (\backslash rm\; idem)$ते थेट अनुसरण करते $A\_1B\_1||A\_2B\_2||\backslash ldots$.

जर सेकंट्स समांतर असतील, तर दोन्ही सेकंट्समधील विभागांची समानता आवश्यक आहे, अन्यथा हे विधान चुकीचे ठरते (काउंटर उदाहरण म्हणजे पायाच्या मध्यबिंदूंमधून जाणार्‍या रेषेने छेदलेला ट्रॅपेझॉइड).

भिन्नता आणि सामान्यीकरण

खालील विधान सोलर्टिन्स्कीच्या लेमाशी दुहेरी आहे:

1. 
   शब्दरचना
2. 
   पुरावा;

1. 
   आनुपातिक विभागांवर प्रमेय;
2. 
   Ceva चे प्रमेय;

1. 
   शब्दरचना
2. 
   पुरावा;

1. 
   मेनेलॉसचे प्रमेय;

1. 
   शब्दरचना
2. 
   पुरावा;

1. 
   कार्ये आणि त्यांचे निराकरण;
2. 
   निष्कर्ष;
3. 
   वापरलेल्या स्त्रोतांची आणि साहित्याची यादी.

परिचय.

सर्व लहान गोष्टी आवश्यक आहेत

लक्षणीय होण्यासाठी...

I. सेवेरियनिन
हा गोषवारा प्रमेयांचा पुरावा आणि समस्या सोडवण्यासाठी समांतर रेषांच्या पद्धतीचा वापर करण्यासाठी समर्पित आहे. आपण ही पद्धत का वापरत आहोत? या शैक्षणिक वर्षात, शालेय गणित ऑलिम्पियाडमध्ये, एक भौमितिक समस्या प्रस्तावित करण्यात आली होती, जी आम्हाला खूप कठीण वाटली. या कार्यामुळेच विभागांच्या लांबीचे गुणोत्तर शोधण्यासाठी समस्या सोडवण्यासाठी समांतर रेषांच्या पद्धतीचा अभ्यास आणि विकास करण्याच्या कामाच्या सुरुवातीस चालना मिळाली.

पद्धतीची कल्पना सामान्यीकृत थेल्स प्रमेयच्या वापरावर आधारित आहे. थेलेस प्रमेय आठव्या इयत्तेत, त्याचे सामान्यीकरण आणि नवव्या इयत्तेत आणि फक्त दहाव्या इयत्तेत “आकृतींची समानता” या विषयाचा अभ्यास केला जातो, प्रास्ताविक योजनेत, Ceva आणि Menelaus या दोन महत्त्वाच्या प्रमेयांचा अभ्यास केला जातो. खंडांच्या लांबीचे गुणोत्तर शोधण्यासाठी अनेक समस्या तुलनेने सहजपणे सोडवल्या जातात. म्हणून, मूलभूत शिक्षणाच्या स्तरावर, आम्ही या शैक्षणिक सामग्रीवरील कार्यांची एक ऐवजी संकुचित श्रेणी सोडवू शकतो. मुख्य शाळेच्या अभ्यासक्रमासाठी आणि गणिताच्या USE येथे अंतिम प्रमाणन असताना, परीक्षेच्या दुसऱ्या भागात या विषयावरील कार्ये (थेल्सचे प्रमेय. त्रिकोणांची समानता, समानता गुणांक. त्रिकोणांच्या समानतेची चिन्हे) दिली जातात. कागद आणि जटिलतेच्या उच्च पातळीचे आहेत.

अ‍ॅबस्ट्रॅक्टवर काम करण्याच्या प्रक्रियेत, या विषयावरील आपले ज्ञान अधिक सखोल करणे शक्य झाले. त्रिकोणातील आनुपातिक विभागांवर प्रमेयाचा पुरावा (प्रमेय शालेय अभ्यासक्रमात समाविष्ट नाही) समांतर रेषांच्या पद्धतीवर आधारित आहे. बदल्यात, या प्रमेयाने आम्हाला Ceva आणि Menelaus च्या प्रमेये सिद्ध करण्याचा दुसरा मार्ग प्रस्तावित करण्याची परवानगी दिली. आणि परिणामी, आम्ही विभागांच्या लांबीची तुलना करण्यासाठी विस्तृत समस्यांचे निराकरण कसे करावे हे शिकू शकलो. ही आमच्या कामाची प्रासंगिकता आहे.

सामान्यीकृत थेल्स प्रमेय.

सूत्रीकरण:

दिलेल्या दोन रेषांना छेदणार्‍या समांतर रेषा या रेषांवर आनुपातिक भाग कापतात.
दिले:

सरळ एसमांतर रेषा कापून ( ए 1 IN 1 , ए 2 IN 2 , ए 3 IN 3 ,…, ए n बी n) विभागांमध्ये ए 1 ए 2 , ए 2 ए 3 , …, ए n -1 ए n, आणि सरळ रेषा b- विभागांमध्ये IN 1 IN 2 , IN 2 IN 3 , …, IN n -1 IN n .

पुरावा:

उदाहरणार्थ, ते सिद्ध करूया

दोन प्रकरणांचा विचार करा:

1 केस (Fig. b)

थेट aआणि bसमांतर आहेत. मग चतुर्भुज

ए 1 ए 2 IN 2 IN 1 आणि ए 2 ए 3 IN 3 IN 2 - समांतरभुज चौकोन. म्हणून

ए 1 ए 2 =IN 1 IN 2 आणि ए 2 ए 3 =IN 2 IN 3 , जेथून ते त्याचे अनुसरण करते

2 केस (अंजीर c)

रेषा a आणि b समांतर नाहीत. डॉट द्वारे ए 1 एक सरळ रेषा काढू सह, रेषेच्या समांतर b. ती ओळी पार करेल ए 2 IN 2 आणि ए 3 IN 3 काही ठिकाणी सह 2 आणि सह 3 . त्रिकोण ए 1 ए 2 सह 2 आणि ए 1 ए 3 सह 3 दोन कोनांमध्ये समान आहेत (कोन ए 1 - सामान्य, कोन ए 1 ए 2 सह 2 आणि ए 1 ए 3 सह 3 समांतर रेषांखाली अनुरूप ए 2 IN 2 आणि ए 3 IN 3 secant ए 2 ए 3 ), म्हणून

1+

किंवा गुणोत्तरांच्या गुणधर्मानुसार

दुसरीकडे, पहिल्या प्रकरणात काय सिद्ध झाले आहे, आमच्याकडे आहे ए 1 सह 2 =IN 1 IN 2 , सह 2 सह 3 =IN 2 IN 3 . प्रमाणात बदलणे (1) ए 1 सह 2 वर IN 1 IN 2 आणि सह 2 सह 3 वर IN 2 IN 3 , आम्ही समानतेवर पोहोचतो

Q.E.D.
त्रिकोणातील आनुपातिक विभागांवर प्रमेय.

बाजूंना एसीआणि रवित्रिकोण ABCगुण चिन्हांकित केले आहेत TOआणि एमतर AC:CS=मी: n, बी.एम: एम.सी= p: q. विभाग आहेआणि कुलगुरूएका बिंदूला छेदणे बद्दल(Fig. 124b).

पुरावा:
डॉट द्वारे एमएक सरळ रेषा काढू एमडी(Fig. 124a), समांतर कुलगुरू. ती बाजू पार करते एसीबिंदूवर डी, आणि थेल्स प्रमेयच्या सामान्यीकरणानुसार

द्या एके =mx. मग, समस्येच्या स्थितीनुसार KS =nx, आणि पासून केडी: डी.सी= p: q, नंतर पुन्हा आम्ही थेल्स प्रमेयचे सामान्यीकरण वापरतो:

तसेच हे सिद्ध झाले आहे .

Ceva चे प्रमेय.
प्रमेयाचे नाव इटालियन गणितज्ञ जिओव्हानी सेवा यांच्या नावावर आहे, ज्यांनी 1678 मध्ये हे सिद्ध केले.

सूत्रीकरण:

ABC बिंदू C त्रिकोणाच्या AB, BC आणि CA या बाजूंवर अनुक्रमे घेतल्यास 1 , ए 1 आणि बी 1 , नंतर विभाग AA 1 , बी.बी 1 आणि एसएस 1 एका बिंदूवर छेदतात जर आणि फक्त जर

दिले:

त्रिकोण ABCआणि त्याच्या बाजूला एबी, रविआणि एसीगुण चिन्हांकित केले आहेत सह 1 ,ए 1 आणि IN 1 .

2.कट ए ए 1 , बीबी 1 आणि एस.एस 1 एका बिंदूवर छेदतात.

दोन्ही बाजूंना उजव्या बाजूने विभागून, आपण समानतेवर पोहोचतो (3).

2. आपण संभाषण विधान सिद्ध करूया. गुण द्या सह 1 ,ए 1 आणि IN 1 बाजूंनी घेतले एबी, रविआणि एसएजेणेकरून समानता (3) राखली जाईल. आपण ते खंड सिद्ध करू ए.ए 1 , बीबी 1 आणि एस.एस 1 एका बिंदूवर छेदतात. अक्षराने सूचित करा बद्दलविभागांच्या छेदनबिंदूचा बिंदू ए ए 1 आणि बीबी 1 आणि सरळ रेषा काढा SO. ती बाजू पार करते एबीकाही ठिकाणी, जे आम्ही सूचित करतो सह 2 . सेगमेंट्स पासून ए.ए 1 , बीबी 1 आणि एस.एस 1 एका बिंदूवर छेदतात, नंतर पहिल्या परिच्छेदात काय सिद्ध केले होते

अशा प्रकारे, समानता (3) आणि (4) धारण करतात.

त्यांची तुलना करून, आपण समानता = वर पोहोचतो, जे बिंदू दर्शविते सी 1 आणि सी 2 एक बाजू शेअर करा एबी सी 1 आणि सी 2 एकरूप, आणि म्हणून विभाग ए.ए 1 , बीबी 1 आणि एस.एस 1 एका बिंदूला छेदणे ओ.

Q.E.D.
मेनेलॉसचे प्रमेय.

सूत्रीकरण:

AB आणि BC बाजूंवर आणि बाजूच्या AC चा विस्तार (किंवा AB, BC आणि AC बाजूंच्या विस्तारांवर) बिंदू C घेतल्यास अनुक्रमे 1 , ए 1 , IN 1 , नंतर हे बिंदू एकाच रेषेवर आहेत if आणि only if

दिले:

त्रिकोण ABCआणि त्याच्या बाजूला एबी, रविआणि एसीगुण चिन्हांकित केले आहेत सह 1 ,ए 1 आणि IN 1 .

2. गुण ए 1 ,सह 1 आणि IN 1 त्याच ओळीवर झोपा
पुरावा:
1. गुण द्या ए 1 ,सह 1 आणि IN 1 त्याच ओळीवर झोपा. समानता (5) आहे हे सिद्ध करूया. चला खर्च करूया इ.स,बी.ईआणि CFसरळ रेषेच्या समांतर IN 1 ए 1 (बिंदू डीसरळ रेषेत आहे रवि). सामान्यीकृत थेल्स प्रमेयानुसार, आमच्याकडे आहे:

या समानतेच्या डाव्या आणि उजव्या भागांचा गुणाकार केल्याने आपल्याला मिळते

त्या समानता (5) धारण करते.
2. आपण संभाषण विधान सिद्ध करूया. मुद्दा द्या IN 1 सातत्य बाजूने घेतले एसी, आणि गुण सह 1 आणि ए 1 - बाजूंना एबीआणि रवि, आणि अशा प्रकारे की समानता (5) धारण करते. ते गुण सिद्ध करू ए 1 ,सह 1 आणि IN 1 त्याच ओळीवर झोपा. A 1 C 1 ही सरळ रेषा B 2 बिंदूवरील बाजूच्या AC च्या निरंतरतेला छेदू द्या, नंतर, पहिल्या परिच्छेदात सिद्ध केलेल्या गोष्टीवरून

(5) आणि (6) ची तुलना करून, आपण समानता = वर पोहोचतो, जे बिंदू दर्शविते IN 1 आणि IN 2 एक बाजू शेअर करा एसीत्याच संदर्भात. म्हणून, गुण IN 1 आणि IN 2 एकरूप, आणि म्हणून गुण ए 1 ,सह 1 आणि IN 1 त्याच ओळीवर झोपा. जेव्हा सर्व तीन मुद्द्यांवर उलटसुलट विधान सिद्ध होते ए 1 ,सह 1 आणि IN 1 संबंधित बाजूंच्या विस्तारांवर झोपा.

Q.E.D.

समस्या सोडवणे.

उपाय: AB 1: B 1 C हे गुणोत्तर शोधणे आवश्यक आहे, AC हा इच्छित विभाग आहे ज्यावर B 1 बिंदू आहे.

समांतर पद्धत खालीलप्रमाणे आहे:

1. 
   समांतर रेषांसह इच्छित विभाग कट करा. एक BB 1 आधीच आहे, आणि दुसरा MN BB 1 च्या समांतर M बिंदूमधून काढला जाईल.
2. 
   ज्ञात गुणोत्तर कोनाच्या एका बाजूपासून त्याच्या दुसऱ्या बाजूला हस्तांतरित करा, म्हणजे. या सरळ रेषांनी कापलेल्या बाजूच्या कोनांचा विचार करा.

चला AB 1: B 1 C \u003d AB 1: (B 1 N + NC) \u003d 2n: (3p + 2p) \u003d (2 * 3p): (5p) \u003d ६:५.

उत्तर: AB 1:B 1 C = 6:5.

टिप्पणी: ही समस्या मेनेलॉस प्रमेय वापरून सोडवली जाऊ शकते. त्रिकोण AMC वर लागू करणे. मग रेषा BB 1 त्रिकोणाच्या दोन बाजूंना B 1 आणि P या बिंदूंवर छेदते आणि बिंदू B वर तिसऱ्याची सातत्य. त्यामुळे समानता लागू होते: , म्हणून
कार्य क्रमांक 2 त्रिकोणामध्ये ABC AN हा मध्यक आहे. AC बाजूला, बिंदू M घेतला आहे जेणेकरून AM: MC \u003d 1: 3. विभाग AN आणि BM बिंदू O वर छेदतात आणि किरण CO AB ला बिंदू K वर छेदतो. बिंदू K कोणत्या प्रमाणात AB खंडाला विभाजित करतो.

उपाय:आपल्याला AK ते KV चे गुणोत्तर शोधावे लागेल.

1) SK रेषेच्या समांतर रेषा NN 1 आणि VM रेषेच्या समांतर NN 2 रेषा काढा.

2) ABC च्या बाजू सरळ रेषा SC आणि NN 1 ने छेदलेल्या आहेत आणि, सामान्यीकृत थेल्स प्रमेयानुसार, आपण BN 1:N 1 K=1:1 किंवा BN 1 = असा निष्कर्ष काढतो. एन 1 के= y.

3) BCM कोनाच्या बाजू BM आणि NN 2 रेषांनी छेदतात आणि सामान्यीकृत थेल्स प्रमेयानुसार, आपण CN 2:N 2 M=1:1 किंवा CN 2 = N 2 M=3:2= असा निष्कर्ष काढतो. 1.5.

4) NAC कोनाच्या बाजू BM आणि NN 2 रेषांनी छेदलेल्या आहेत आणि सामान्यीकृत थेल्स प्रमेयानुसार आपण AO: ON=1:1.5 किंवा AO=m ON=1.5m असा निष्कर्ष काढतो.

5) कोन BAN च्या बाजू SK आणि NN 1 या सरळ रेषांनी छेदलेल्या आहेत आणि, सामान्यीकृत थेल्स प्रमेयानुसार, आपण AK: KN 1 \u003d 1: 1.5 किंवा AK \u003d n असा निष्कर्ष काढतो. के.एन 1 =1,5 n.

6) KN 1 \u003d y \u003d 1.5n.

उत्तर: AK:KV=1:3.

टिप्पणी: ही समस्या Ceva चे प्रमेय वापरून सोडवता येते, त्रिकोण ABC वर लागू होते. स्थितीनुसार, बिंदू N, M, K त्रिकोणाच्या ABC च्या बाजूंवर आहेत आणि AN, CK आणि VM हे खंड एका बिंदूला छेदतात, याचा अर्थ समानता सत्य आहे: , आम्ही ज्ञात संबंधांना बदलतो, आमच्याकडे आहे , AK:KV=1:3.

कार्य क्रमांक 3 त्रिकोण ABC च्या BC बाजूला, बिंदू D असा घेतला आहे की BD: DC \u003d 2: 5, आणि बाजू AC, बिंदू E असा आहे की . BE आणि AD हे विभाग त्यांच्या छेदनबिंदूच्या बिंदू K ने कोणत्या प्रमाणात भागले आहेत?
उपाय:शोधण्याची गरज आहे 1) AK:KD=? 2) VK:KE=?

1) BE रेषेच्या समांतर DD 1 रेषा काढा.

2) ALL च्या बाजू BE आणि DD 1 रेषांनी छेदलेल्या आहेत आणि, सामान्यीकृत थेल्स प्रमेयानुसार, आपण CD 1:D 1 E=5:2 किंवा CD 1 = 5z, D 1 E=2z असा निष्कर्ष काढतो.

3) स्थितीनुसार AE:EC=1:2, म्हणजे AE \u003d x, EC \u003d 2x, परंतु EC \u003d CD 1 + D 1 E, नंतर 2y = 5z+2 z=7 z, z=

4) DCA कोनाच्या बाजू BE आणि DD 1 या रेषांनी छेदलेल्या आहेत आणि सामान्यीकृत थेल्स प्रमेयानुसार, आपण निष्कर्ष काढतो

5) VK:KE हे गुणोत्तर ठरवण्यासाठी आपण EE 1 ही सरळ रेषा काढतो आणि त्याच प्रकारे वाद घालत आहोत.

उपाय: O बिंदू द्या दुभाजक AD आणि मध्य CE चे छेदनबिंदू. आम्हाला AO:OD गुणोत्तर शोधण्याची आवश्यकता आहे.

1) रेषा CE ला समांतर DD 1 रेषा काढा.

2) ABC कोनाच्या बाजू CE आणि DD 1 या रेषांनी छेदलेल्या आहेत आणि, सामान्यीकृत थेल्स प्रमेयानुसार, आपण BD 1:D 1 E=2:1 किंवा BD 1 = 2p, D 1 E=p असा निष्कर्ष काढतो.

3) स्थितीनुसार AE:EB=1:1, म्हणजे AE=y, EB=y, पण EB= BD 1 + D 1 E, तर y = 2p+ p=3 p, p =
4) कोन BAD च्या बाजू OE आणि DD 1 रेषांनी छेदलेल्या आहेत आणि सामान्यीकृत थेल्स प्रमेयानुसार, आपण निष्कर्ष काढतो .

उत्तर: AO:OD=3:1.

समस्या №6 बिंदू K हा त्रिकोण ABC च्या मध्यक AM वर घेतला आहे आणि AK:KM=1:3. बाजू AC च्या समांतर बिंदू K मधून जाणारी रेषा बाजू BC ला भाग करते ते गुणोत्तर शोधा.

उपाय: M ला 1 बिंदू समजा बाजूच्या AC आणि बाजू BC च्या समांतर बिंदू K मधून जाणार्‍या रेषेचा छेदनबिंदू. BM 1:M 1 C चे गुणोत्तर शोधणे आवश्यक आहे.

1) AMC कोनाच्या बाजू KM 1 आणि AC या सरळ रेषांनी छेदलेल्या आहेत आणि सामान्यीकृत थेल्स प्रमेयानुसार, आपण MM 1: M 1 C=3:1 किंवा MM 1 \u003d 3z, M 1 C \u003d असा निष्कर्ष काढतो. z

2) स्थितीनुसार VM:MS=1:1, म्हणजे VM=y, MC=y, परंतु MC=MM 1 + M 1 C, त्यामुळे y=3z+ z=4 z,

3) .

उत्तर: VM 1:M 1 C = 7:1.

टिप्पणी:मेनेलॉस प्रमेय वापरून ही समस्या सोडवली जाऊ शकते. ते ABC त्रिकोणावर लावणे. मग सरळ रेषा KN त्रिकोणाच्या दोन बाजूंना K आणि K 1 बिंदूंवर छेदते आणि N बिंदूवर तिसऱ्याची सातत्य. त्यामुळे समानता लागू होते: , म्हणून VK 1:K 1 C=2:1.

कार्य #8

साइट्स:

http://www.problems.ru

http://interneturok.ru/

युनिफाइड स्टेट एक्झामिनेशन 2011 गणित कार्य C4 आर.के. गॉर्डिन एम.: MTSNMO, 2011, - 148 s

निष्कर्ष:

खंडांच्या लांबीचे गुणोत्तर शोधण्यासाठी समस्या आणि प्रमेयांचे निराकरण सामान्यीकृत थेल्स प्रमेयावर आधारित आहे. आम्ही एक पद्धत तयार केली आहे जी, थेल्स प्रमेय लागू न करता, समांतर रेषा वापरण्यास, ज्ञात प्रमाण कोनाच्या एका बाजूपासून दुसऱ्या बाजूला हस्तांतरित करू देते आणि अशा प्रकारे, आम्हाला आवश्यक असलेल्या बिंदूंचे स्थान शोधून लांबीची तुलना करू देते. अमूर्तावर काम केल्याने आम्हाला उच्च पातळीच्या जटिलतेच्या भौमितिक समस्यांचे निराकरण कसे करावे हे शिकण्यास मदत झाली. प्रसिद्ध रशियन कवी इगोर सेव्हेरियनिन यांच्या शब्दांची सत्यता आम्हाला जाणवली: “प्रत्येक गोष्ट महत्त्वाची असणे आवश्यक आहे ...” आणि आम्हाला खात्री आहे की युनिफाइड स्टेट परीक्षेत आम्ही वापरून प्रस्तावित कार्यांचे निराकरण करण्यात सक्षम होऊ. समांतर रेषांची पद्धत.

1 त्रिकोणातील आनुपातिक विभागांवरील प्रमेय हे वर वर्णन केलेले प्रमेय आहे.